63 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 4)

Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3, 4, 5 và chữ số 4 đứng cạnh chữ số 3 và chữ số 5?

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng: $\bar{abc \deg} .$

Sắp xếp cụm số 3, 4, 5 mà số 4 luôn đứng cạnh 3 và 5 thì ta có 2 cách sắp xếp: 345 và 543.

TH1: Nếu các cụm số 3, 4, 5 đứng đầu có các số tạo thành là: $2.7.6.5 = 420$ (số)

TH2: Nếu các cụm số 3,4,5 không đứng đầu có 3 cách sắp xếp là: x345xx; xx345x; xxx345.

Khi đó 3 chữ số còn lại có: $6.6.5 = 180$ cách chọn và sắp xếp.

Do đó ta có được các số tạo thành là: $2.3.180 = 1080$ (số)

Áp dụng quy tắc cộng có: $420 + 1080 = 1500$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2:

Gọi A là tập các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ A chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn có chữ số 3 và chữ số 4 đứng cạnh nhau.

Xem đáp án

Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau từ tập A (không tính chữ số 0 đứng đầu) là: $A_{6}^{6} - A_{5}^{5} = 600$ (số).

Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà số 3 và số 4 đứng cạnh nhau là: $2! .4.4.3.2 = 192$ (số).

Xác suất cần tìm thỏa mãn bài toán là: $\frac{192}{600} = \frac{8}{25} .$

Câu 3:

Từ các chữ số trong tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng abcdef sao cho a+b = c+d = e+f?

A. 128.

B. 120.

C. 144.

D. 80.

Xem đáp án

Ta có: 0 + 6 = 2 + 4 = 1 + 5

Suy ra a, b, c, d, e, f ∈ {0; 1; 2; 4; 5; 6}

+) a khác 0 nên a có 5 cách, b có 1 cách.

+) c khác a và b nên c có 4 cách, d có 1 cách.

+) e khác a, b, c, d nên e có 2 cách, d có 1 cách.

Do đó có 5.4.2 = 40 cách.

Ta lại có: 0 + 5 = 2 + 3 = 1 + 4

Do đó có 40 cách.

Vậy tổng cộng có 40 + 40 = 80 số.

Câu 4:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = | $x^{3}$ – 3 $x^{2}$ – 9x + m| trên đoạn [– 2; 4] bằng 16. Số phần tử của S là:

A. 0

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Xét hàm số f(x) = x3 – 3x2 – 9x + m trên đoạn [– 2; 4].

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |x^3 – 3x^2 – 9x + m| trên đoạn [– 2; 4] bằng 16. Số phần tử của S là: A. 0; B. 2; C. 4; D. 1. (ảnh 1)

Ta có: f(– 2) = m – 2, f(– 1) = m + 5, f(3) = m – 27, f(4) = m – 20.

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = |x^3 – 3x^2 – 9x + m| trên đoạn [– 2; 4] bằng 16. Số phần tử của S là: A. 0; B. 2; C. 4; D. 1. (ảnh 2)

Vậy S = {11}. Do đó S có 1 phần tử.

Câu 5:

y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|,

với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của tập S là.

Xem đáp án

Ta có: $y = |x^{3} - 3 x^{2} + m| = \sqrt{{(x^{3} - 3 x^{2} + m)}^{2}}$ $\Rightarrow y^{'} = \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + m) (3 x^{2} - 6 x)}{\sqrt{{(x^{3} - 3 x^{2} + m)}^{2}}} .$

Để đồ thị hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình: $y^{'} = 0$ có 5 nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với $(x^{3} - 3 x^{2} + m) (3 x^{2} - 6 x) = 0.$ Đặt $g (x) = (x^{3} - 3 x^{2} + m) = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và 2.

Ta có: $- x^{3} + 3 x^{2} = m,$ tức là ta cần đi tìm giá trị của m để đường thẳng y =m cắt đồ thị hàm số $y = f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ tại 3 điểm phân biêt.

Do đó ta khảo sát hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ thì ta có được: $- 4 + m < 0 < m \Leftrightarrow 0 < m < 4$

Vậy S $= {1; 2; 3},$ tổng tất cả các giá trị của S là 6.

Câu 6:

Đồ thị hàm số $y = |x^{3}| - 3 x^{2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực tri?

Xem đáp án

Xét hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1.$ Tập xác định D = R

Ta xét đạo hàm bậc nhất: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$ Khi đó ta có BBT sau:

Đồ thị hàm số y = trị x^3 -3x^2 +1 có bao nhiêu điểm cực tri? (ảnh 1)

Hàm số $y = |x^{3}| - 3 x^{2} + 1 = \{\begin{cases} x^{3} - 3 x^{2} + 1, x \geq 0 \\ - x^{3} - 3 x^{2} + 1, x < 0 \end{cases}$ là hàm số chẵn và đồ thị của nó được suy ra từ đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ bằng cách bỏ đi phần bên trái trục tung. Giữ nguyên phần bên phải trục tung và lấy đối xứng với phần bên phải Oy qua Oy. Như vậy ta sẽ thu được đồ thị hàm số $y = |x^{3}| - 3 x^{2} + 1$ có dạng sau:

Đồ thị hàm số y = trị x^3 -3x^2 +1 có bao nhiêu điểm cực tri? (ảnh 2)

Vậy đồ thị hàm số $y = |x^{3}| - 3 x^{2} + 1$ có 3 điểm cực trị.

Câu 7:

Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.

Xem đáp án

Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic, …

Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn, cái ghế, …

Câu 8:

Đếm số đỉnh, số cạnh của khối đa diện lồi đều như hình vẽ sau:

Xem đáp án

Khối bát diện đều trên có 6 đỉnh và 12 cạnh.

Câu 9:

Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90(cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là.

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của BC. Suy ra I là trung điểm của MN. Đặt $M N = x, (0 < x < 90) .$

Khi đó ta có: $\frac{M Q}{A I} = \frac{B M}{B I} \Leftrightarrow M Q = \frac{\sqrt{3}}{2} (90 - x) .$ Gọi R là bán kính của hình trụ $\Rightarrow R = \frac{x}{2 π} .$

Thể tích của khối trụ là: $V = π {(\frac{x}{2π})}^{2} \frac{\sqrt{3}}{2} (90 - x) = \frac{\sqrt{3}}{8 π} (- x^{3} + 90 x^{2}) .$

Xét $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{8 π} (- x^{3} + 90 x^{2}),$ với $0 < x < 90.$ Suy ra $f^{'} (x) = \frac{\sqrt{3}}{8 π} (- 3 x^{2} + 180 x) \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 60 \end{array} .$

Do đó $max_{x \in (0; 90)} f (x) = f (60) = \frac{13500. \sqrt{3}}{π} .$

Câu 10:

Ngày mùng 3 tháng 3 năm 2015 anh A vay ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất kép là $0,6 % /$ tháng theo thể thức như sau: Đúng ngày mùng 3 hàng tháng kể từ một tháng sau khi vay, ngân hàng sẽ tính số tiền nợ của anh bằng số tiền nợ tháng trước cộng với tiền lãi của số tiền nợ đó. Sau khi vay, anh A trả nợ như sau: Đúng ngày mùng 3 hàng tháng kể từ một tháng sau khi vay anh A đều đến trả ngân hàng 3 triệu đồng. Tính số tháng mà anh A trả được hết nợ ngân hàng, kể từ một tháng sau khi vay. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình vay.

Xem đáp án

Sử dụng tổng cấp số nhân, ta có công thức sau: $a = \frac{N . y^{n} (y - 1)}{y^{n} - 1} .$

Trong đó với N là số tiền vay, $y = 1 + m %, m %$ là lãi suất hàng tháng), a là số tiền trả hàng tháng và n là số tháng.

Khi đó: $3 = \frac{50. y^{n} (y - 1)}{y^{n} - 1} \Leftrightarrow 3. ({1,006}^{n} - 1) = {0,3.1,006}^{n}$

$\Leftrightarrow {1,006}^{n} = \frac{10}{9} \Rightarrow n \approx 18.$

Vậy anh A mất 18 tháng thì sẽ trả hết nợ cho ngân hàng.

Câu 11:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, C'D' và DD' Tính thể tích khối tứ diện MNPQ.

Xem đáp án

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, C'D' và DD' Tính thể tích khối tứ diện MNPQ. (ảnh 1)

Câu 12:

Cho các hình sau thì có bao nhiêu hình là đa diện lồi?

Xem đáp án

Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi.

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

Vậy theo định nghĩa trên thì chỉ có 1 hình là đa diện lồi.

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BC = 2a SA vuông góc với đáy, SA =a I thuộc cạnh SB sao cho $S I = \frac{1}{3} S B, J$ thuộc cạnh BC sao cho JB = JC Tính thể tích khối tứ diện ACIJ ?

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BC = 2a SA vuông góc với đáy, SA =a I thuộc cạnh SB sao cho thuộc cạnh BC sao cho JB = JC (ảnh 1)

Câu 14:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' Biết rằng góc giữa (A'BC) và (ABC) là $30^{0} .$ Tam giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

Xem đáp án

Gọi H là trung điểm của BC. Đặt AB =a ta có: $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xét tam giác AA'H ta tìm được: $A^{'} H = a, A A^{'} = \frac{a}{2} .$

Suy ra $S_{A^{'} B C} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2} A^{'} H . B C = 8 \Leftrightarrow a = 4.$

Thể tích của khối lăng trụ ABC. $A' B' C' : V = A A' . S_{A B C} = 8 \sqrt{3} .$

Cho hình lăng trụ đều ABC. A'B'C' Biết rằng góc giữa (A'BC) và (ABC) là 30 độ. Tam giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. (ảnh 1)

Câu 15:

Hình lập phương có bao nhiêu mặt đối xứng?

Xem đáp án

Hình lập phương có 9 mặt đối xứng

Hình lập phương có bao nhiêu mặt đối xứng? (ảnh 1)

Câu 16:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng $60^{0} .$ Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng 60 độ. Tính thể tích của khối lăng trụ đó. (ảnh 1)

Câu 17:

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA và S' là điểm đối xứng của S qua O. Tính thể tích của khối chóp $S^{'} . M N P Q .$

Xem đáp án

Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng (ảnh 2)

Câu 18:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, O là trung điểm của CD, $A D = 4 a, S A = S B = S O = 2 a .$ Tính khoảng cách giữa SA và CD.

Xem đáp án

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD, O là trung điểm của CD, AD = 4a, SA = SB = SO = 2a Tính khoảng cách giữa SA và CD. (ảnh 2)

Câu 19:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với $A B = A C = a, \hat{B A C} = 120^{0},$ mặt phẳng (A'BC') tạo với đáy một góc $60^{0} .$ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Xem đáp án

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB =AC= a, góc BAC = 120 độ mặt phẳng (ảnh 1)

Ta có: $B^{'} H = \sin 30^{0} . B^{'} C^{'} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Mà $\hat{B H B^{'}} = 60^{0} \Rightarrow B B^{'} = B^{'} H . \tan 60^{0} = \frac{3 a}{2} .$

Vậy suy ra thể tích của khối lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là:

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A B C} . B B^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{3 a}{2} = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8} .$

Câu 20:

Cho G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} a^{2}

B.

\vec{A C} . \vec{C B} = - \frac{1}{2} a^{2}

C.

\vec{G A} . \vec{G B} = \frac{a^{2}}{6}

D.

\vec{A B} . \vec{A G} = \frac{1}{2} a^{2}

Xem đáp án

Đáp án C.

Cho G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai? (ảnh 1)

Câu 21:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

Xem đáp án

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1. Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB.

Gọi I là trọng tâm của tam giác đều SAB, khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: $R = S I = \frac{2}{3} S O = \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là: $r = I O = \frac{1}{3} S O = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: $V_{1} = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{27} π .$

Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là: $V_{2} = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{\sqrt{3}}{54} π .$

Vậy $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 8.$

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số (ảnh 1)

Câu 22:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $A B = a, A D = A A' = 2 a .$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho.

Xem đáp án

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD =AA'= 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho. (ảnh 1)

Gọi O là mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ .

Khi đó bán kính của hình hộp sẽ là:

$R = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} + A D^{2} + A {A^{'}}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2} + {(2 a)}^{2}} = \frac{3 a}{2} .$

Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là:

$S = 4 π {(\frac{3 a}{2})}^{2} = 9 π a^{2} .$

Câu 23:

Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng $90^{0},$ góc ACB bằng $30^{0}$ tam giác BCC' đều cạnh a, mặt phẳng $(A C C^{'} A^{'})$ vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Xem đáp án

Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAC bằng góc ACB bằng 90 độ tam giác (ảnh 1)

Câu 24:

Số cách chia 12 phần quà giống nhau cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà.

Xem đáp án

+ Chia trước cho mỗi học sinh một phần quà thì số phần quà còn lại là 9 phần quà.

+ Chia 9 phần quà cho 3 học sinh sao cho học sinh nào cũng có ít nhất một phần quà: Đặt 9 phần quà theo một hàng ngang, giữa các phần quà sẽ có 8 khoảng trống, chọn 2 khoảng trống trong 8 khoảng trống đó để chia 9 phần quà còn lại thành 3 phần quà mà mỗi phần có ít nhất một phần quà, có $C_{8}^{2} .$

+ Vậy tất cả có số cách chia là: $C_{8}^{2} = 28$ (cách chia).

Câu 25:

Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng sao cho 3 học sinh nam đứng cạnh nhau?

Xem đáp án

Cho 3 học sinh nam cầm tay nhau coi như là một người, cùng với 2 học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, có 3! cách.

Ba học sinh nam có thể đổi chỗ cho nhau, có 3! cách.

Vậy theo quy tắc nhân sẽ có: $3! .3! = 36$ cách xếp.

Câu 26:

Từ một nhóm có 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 bạn nam và 2 bạn nữ?

Xem đáp án

B1: Số cách chọn ra 3 bạn nam trong 10 bạn nam là: $C_{10}^{3} .$

B2: Số cách chọn ra 2 bạn nữ trong 8 bạn nữ là: $C_{8}^{2} .$

B3: Áp dụng theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 5 bạn thỏa mãn đề bài là: $C_{10}^{3} .$ $C_{8}^{2} .$

Câu 27:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

Xem đáp án

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9. (ảnh 1)

Câu 28:

Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

Xem đáp án

Đặt y = 23 xét số $x = \bar{a b c d e}$ trong đó a; b; c; d; e đôi một khác nhau và thuộc tập {0; 1; y; 4; 5}.

Khi đó có 4 cách chọn a; 4 cách chọn b; 3 cách chọn c; 2 cách chọn d và 1 cách chọn e.

Theo quy tắc nhân có $4.4.3.2 = 96$ số.

Khi ta hoán vị trong y ta được hai số khác nhau.

Vậy có tất cả: $96.2 = 192$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 29:

Tính cosin góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau.

Xem đáp án

Tính cosin góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau. (ảnh 1)

Gọi các cạnh của đáy ABCD đều có độ dài là a.

Vì chóp S. ABCD là chóp tứ giác đều, nên do đó ta có: $S A = A B = a .$

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì ta có: $S O ⊥ (A B C D) .$

Suy ra ta có: $(S A, A B C D)) = \hat{S A O} .$

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có:

$\cos \hat{S A O} = \frac{S O}{S A} = \frac{\sqrt{S A^{2} - A O^{2}}}{S A} = \frac{\sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Câu 30:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 8 x^{2} + (m^{2} + 11) x - 2 m^{2} + 2$ có hai điểm cực trị nằm về hia phía của trục Ox.

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 8 x^{2} + (m^{2} + 11) x - 2 m^{2} + 2 (C)$ có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của Ox

$\Leftrightarrow (C)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

$\Leftrightarrow x^{3} - 8 x^{2} + (m^{2} + 11) x - 2 m^{2} + 2 = 0 (*)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: $(*) \Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} - 6 x + m^{2} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - 6 x + m^{2} - 1 = 0 (1) \end{array}$

Để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 10 - m^{2} > 0 \\ 2^{2} - 6.2 + m^{2} - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \sqrt{10} < m < \sqrt{10} \\ m \neq \pm 3 \end{cases} .$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên.

Câu 31:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có các cạnh bằng 2a. Biết $\hat{B A D} = 60^{0}, \hat{A^{'} A B} = \hat{A^{'} A D} = 120^{0} .$ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Xem đáp án

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2a. Biết góc BAD = 60 độ, A'AB = A'AD = 120 độ. Tính thể tích của khối hộp (ảnh 1)

Câu 32:

Cho tam giác ABC, biết $A B = 8, A C = 9, B C = 11.$ Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên đoạn AC sao cho $A N = x (0 < x < 9) .$ Hãy khai triển $\vec{M N}$ theo $\vec{A C} = \vec{c}, \vec{A B} = \vec{b} .$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, biết AB =8, AC =9, BC = 11 Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên đoạn AC sao cho (ảnh 1)

Câu 33:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi φ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Tính cot φ?

Xem đáp án

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Gọi φ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Tính cot φ? (ảnh 1)

Câu 34:

Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $S A = S B = S C = a,$ cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S. ABCD là bao nhiêu?

Xem đáp án

Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S. ABCD là bao nhiêu? (ảnh 2)

Câu 35:

Có bao nhiêu số nguyên dương không lớn hơn 2020 mà chia hết cho 2 hoặc cho 3?

Xem đáp án

Số các số chia hết cho 2 là: $\frac{2020 - 2}{2} + 1 = 1010.$

Số các số chia hết cho 3 là: $\frac{2019 - 3}{3} + 1 = 673.$

Số các số chia hết cho cả 2 và 3 (đồng nghĩa là chia hết cho 6) là: $\frac{2016 - 6}{6} + 1 = 336.$

Vậy các số thỏa mãn đề bài ra là: $1010 + 673 - 336 = 1347.$

Câu 36:

Phương trình

2 \cos^{2} x = 1

có bao nhiêu nghiệm trên đoạn

[- 2 π;  2π]

Xem đáp án

Ta có: $2 \cos^{2} x = 1 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}; k \in Ζ$

Vì $x \in [- 2 π; 2π]$ nên ta có: $- 2 π \leq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} \leq 2 π \Leftrightarrow \frac{- 9}{2} \leq k \leq \frac{7}{2} .$

Mặt khác k là số nguyên nên k sẽ nhận các giá trị: $- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3.$

Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm trên đoạn $[- 2 π; 2π] .$

Câu 37:

Khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình bình hành. Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều cả 5 điểm S, A, B, C, D?

Xem đáp án

Có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm S, A, B, C, D. Cụ thể như sau:

+ Mặt phẳng đi qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: có 1 mặt.

+ Mặt phẳng đi qua tâm O và song song với từng mặt bên: có 4 mặt như vậy.

Câu 38:

Khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S. ABCD thành mấy khối tứ diện.

Xem đáp án

Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S. ABCD thành 2 khối tứ diện là S. ABC và S. ACD.

Khối chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S. ABCD thành mấy khối tứ diện. (ảnh 1)

Câu 39:

Tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Xem đáp án

Tứ diện đều có ba trục đối xứng đó là ba đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối của nó.

Câu 40:

Gọi $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Tính các giá trị của $n_{1}, n_{2}, n_{3}$

Xem đáp án

Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện) nên $n_{1} = 3.$

Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác) nên $n_{2} = 1 .$

Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện) nên $n_{3} = 9 .$

Câu 41:

Trong hình học không gian:

A. Điểm luôn luôn phải thuộc mặt phẳng.

B. Điểm luôn luôn không phải thuộc mặt phẳng.

C. Điểm vừa thuộc mặt phẳng đồng thời không thuộc mặt phẳng.

D. Điểm có thể thuộc mặt phẳng, có thể không thuộc mặt phẳng.

Xem đáp án

Đáp án D.

Câu 42:

Trong hình học không gian:

A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.

B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.

C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

Xem đáp án

Đáp án D.

Câu 43:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15?

Xem đáp án

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15? (ảnh 1)

Câu 44:

Lớp 11A1 có 41 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 20 bạn nữ. Thứ hai đầu tuần lớp phải xếp hàng chào cờ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 21 bạn nam xen kẽ với 20 bạn nữ?

Xem đáp án

Vì số học sinh nam là lẻ nên bạn nam phải đứng đầu hàng.

Khi đó xếp 21 bạn nam vào 21 vị trí cố định có: $21! = P_{21}$ (cách).

Sau đó ta xếp 20 bạn nữ vào 20 vị trí trống xen kẽ với các bạn nam thì sẽ có: $20! = P_{20}$ (cách).

Vậy có tất cả số cách là: $20! .21! = P_{20} . P_{21}$

Câu 45:

Giải phương trình: $\sin (2 x + \frac{3 π}{4}) + \cos x = 0$

Xem đáp án

Ta có $\sin (2 x + \frac{3 π}{4}) + \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin (- 2 x - \frac{3 π}{4})$

$\Leftrightarrow \cos x = \sin (\frac{π}{2} - (2 x + \frac{5π}{4})) \Leftrightarrow \cos x = \cos (2 x + \frac{5π}{4})$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 x + \frac{5π}{4} + k 2 π \\ x = - 2 x - \frac{5π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{5π}{4} - k 2 π \\ x = - \frac{5π}{12} + \frac{2}{3} k π \end{array} (k \in Ζ)$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm là: $x = - \frac{5π}{4} - k 2 π$ và $x = - \frac{5π}{12} + \frac{2}{3} k π.$

Câu 46:

Một hình trục có chiều cao bằng 6cm nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng 5cm. Thể tích khối trụ này bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Ta có hình vẽ sau:

Một hình trục có chiều cao bằng 6cm nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng 5cm. Thể tích khối trụ này bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.$

Vậy thể tích của khối trụ cần tính là: $V = π r^{2} . h = π {.4}^{2} .6 = 96 π .$

Câu 47:

Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Tính vecto DM.

Xem đáp án

Ta sẽ phân tích vecto DM theo hai vecto DC và BC.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\vec{B D} = \vec{D A} + \vec{D C} .$

Mặt khác M là trung điểm của AB nên $2 \vec{D M} = \vec{D A} + \vec{D B} \Leftrightarrow 2 \vec{D M} = 2 \vec{D A} + \vec{D C} \Leftrightarrow 2 \vec{D M} = - 2 \vec{B C} + \vec{D C}$

Suy ra $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{D C} - \vec{B C} .$

Câu 48:

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Xem đáp án

Gọi số cần tìm có dạng $\bar{a b c d e}$

+ TH1: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí ab. Khi đó: a có 3 cách chọn; b có 2 cách chọn; c có 4 cách chọn; d có 3 cách chọn và e có 2 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: $3.2.4.3.2 = 144$ (số).

+ TH2: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí bc. Khi đó: a có 3 cách chọn; b có 3 cách chọn; c có 2 cách chọn; d có 3 cách chọn và e có 2 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có: $3.3.2.3.2 = 108$ (số).

+ TH3: 2 số lẻ liên tiếp ở vị trí cd (tượng tự TH2).

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $144 + 108.2 = 360$ (số).

Câu 49:

Xét phép thử gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là?

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là: $|Ω| = C_{6}^{1} . C_{6}^{1} = 6.6 = 36.$

Câu 50:

Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất” và biến cố A liên quan đến phép thử: “Mặt lẻ chấm xuất hiện”. Tính xác suất của biến cố A.

Xem đáp án

Khi đó ta có:

\{\begin{cases} n (Ω) = 6 \\ n (A) = 3 \end{cases} \Rightarrow P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Câu 51:

Tìm m để $m x^{2} - 2 (m + 1) x + m + 3 = 0$ là phương trình bậc hai nhận x = -2 là nghiệm.

Xem đáp án

Tìm m để mx^2 -2(m+1) x +m + 3 = 0 là phương trình bậc hai nhận x =-2 là nghiệm. (ảnh 1)

Câu 52:

Tìm m để hàm số

y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1

đồng biến trên R.

Xem đáp án

Ta có $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (2 m - 1); \forall x \in R .$

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi $y^{'} \geq 0; \forall x \in R \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 \geq 0; \forall x \in R .$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} = m^{2} - 2 m + 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 1.$

Vậy m =1là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán.

Câu 53:

Cho hàm số $y = x^{3} + m x^{2} + 3 x - 2 m + 5$ (với m là tham số thực). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên R.

Xem đáp án

Cho hàm số y =x^3 +mx^2 +3x - 2m +5 (với m là tham số thực). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên R. (ảnh 1)

Câu 54:

Có hai giỏ đựng trứng là giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi giỏ đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng giỏ A nhiều hơn số trứng giỏ B. Lấy ngẫu nhiên một quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả trứng lành là $\frac{55}{84} .$ Tính số trứng lành trong giỏ A.

Xem đáp án

Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A.

Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B.

Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng thì khi đó xác suất để lấy được 2 quả trứng lành là: $\frac{a}{a + b} . \frac{x}{x + y} = \frac{55}{84} .$

Do đó theo giả thiết bài toán ta có:

$\{\begin{cases} (a . x) ⋮ 55 \\ (a + b) (x + y) ⋮ 84 \\ a + b + x + y = 20 \\ (a + b) (x + y) \leq {(\frac{a + b + x + y}{2})}^{2} = 100 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a + b = 14 \\ x + y = 6 \\ (a . x) ⋮ 55 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 11 \\ x = 5 \end{cases} .$

Vậy giỏ A có 11 quả trứng lành.

Câu 55:

Một hình chóp 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Xem đáp án

Hình chóp $S . A_{1} A_{2} ... A_{n} (n \geq 3)$ có n cạnh bên và n cạnh đáy nên sẽ có 2n cạnh.

Khi đó ta có: $2 n = 16 \Leftrightarrow n = 8.$

Vậy hình chóp 16 cạnh sẽ có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên tổng số là 9 mặt.

Câu 56:

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty) .$ Tìm m.

Xem đáp án

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x+ 4/x trên khoảng (0; dương vô cùng).Tìm m. (ảnh 1)

Câu 57:

Với giá trị nào của m để phương trình $4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 4.$

Xem đáp án

Với giá trị nào của m để phương trình 4^x -m. 2^x +1 + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 +x2 = 4 (ảnh 1)

Câu 58:

Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Số vectơ bằng vectơ MN có điểm đầu và điểm cuối trùng với một trong các điểm A, B, C, M, N, P là bao nhiêu vectơ?

Xem đáp án

Do M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $M N // A B; M N = \frac{1}{2} A B . (1)$

Lại có P là trung điểm của AB nên: $A P = B P = \frac{1}{2} A B . (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $M N = A P = B P .$

Vậy khi đó số vecto bằng $\vec{M N}$ mà có điểm đầu và cuối trùng với các điểm trên là: $\vec{B P}; \vec{P A} .$

Câu 59:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu $H_{1}, H_{2}$ lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Tính giá trị của $\frac{V_{(H_{1})}}{V_{(H_{2})}} .$

Xem đáp án

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Các mặt phẳng (ABC') và (A'B'C') chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Tính giá trị của (ảnh 2)

Câu 60:

Với các số

a, b > 0

thỏa mãn

a^{2} + b^{2} = 6 a b,

tính biểu thức

\log_{2} (a + b) .

Xem đáp án

Ta có: $a^{2} + b^{2} = 6 a b \Rightarrow {(a + b)}^{2} = 8 a b \Leftrightarrow a + b = \sqrt{8 a b}$

Suy ra $\log_{2} (a + b) = \log_{2} \sqrt{8 a b} \Leftrightarrow \log_{2} (a + b) = \frac{1}{2} \log_{2} (8 a b)$

Do đó $\log_{2} (a + b) = \frac{1}{2} (3 + \log_{2} a + \log_{2} b) .$

Câu 61:

Với các số $a, b > 0$ thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b .$ Hãy chọn đẳng thức đúng sau:

A.

\log (\frac{a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}

B.

\log (\frac{3 a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}

C.

\log (\frac{a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)

D.

\log (\frac{3 a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)

Xem đáp án

Ta có: $9 a^{2} + b = 10 a b \Leftrightarrow {(\frac{3 a + b}{4})}^{2} = a b .$

Lấy log của cả hai vế của đẳng thức trên thì ta có được:

$\log {(\frac{3 a + b}{4})}^{2} = \log (a b) \Rightarrow 2 \log (\frac{3 a + b}{4}) = \log (a) + \log (b) \Rightarrow \log (\frac{3 a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2} .$

Chọn đáp án B.

Câu 62:

Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương?

Xem đáp án

Câu 63:

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có $B C = 3, \hat{B A C} = 30^{0} .$ Tính diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án