Ta có x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y)³ − 3xy(x + y) + z³ − 3xyz

= [(x + y)³ + z³] − [3xy(x + y) + 3xyz]

= (x + y + z)[(x + y)² − (x + y)z + z²] − 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)(x² + 2xy + y² − xz − yz + z² − 3xy)

= (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − xz − yz)

Diện tích tam giác đều cạnh a bằng:$S=\frac{1}{2}.a.a.\sin 60°=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Lại có: $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Vây bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng $\frac{a\sqrt{3}}{6}$

A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − 24

= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) − 24

= (x² + 7x + 10)(x² + 7x + 12) – 24.

Đặt a = x² + 7x + 11. Thay vào A, ta được:

A = (a − 1)(a + 1) − 24 = a² − 25 = (a − 5)(a + 5) (2)

Thế a = x² + 7x + 11 vào (2), ta được:

A = (x² + 7x + 11 − 5)( x² + 7x + 11 + 5)

= (x² + 7x + 6)( x² + 7x + 16).

+) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

+) (a + b − c)² = a² + b² + c² + 2ab − 2bc − 2ca

+) (a − b − c)² = a² + b² + c² − 2ab + 2bc − 2ca.

F = 1² + 2² + 3² + … + n²

= 1 + (1 + 1).2 + (1 + 2).3 + … + (1 + n − 1).n

= 1 + 2 + 1.2 + 3 + 2.3 + … + n + (n − 1).n

= (1 + 2 + 3 + … + n) + [1.2 + 2.3 + … + (n − 1).n]

Đặt A = 1 + 2 + 3 + … + n

$\Rightarrow A=\frac{\left(n+1\right).n}{2}$ (1)

Đặt B = 1.2 + 2.3 + … + (n − 1).n

Þ 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + … + (n − 1).n.3

3B = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + … + (n − 1).n.[(n + 1) − (n − 2)]

3B = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + … + (n − 1).n.(n + 1) − (n − 2).(n − 1).n

3B = (n − 1).n.(n + 1)

$\Rightarrow B=\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow F=\frac{\left(n+1\right).n}{2}+\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{3}$.

x⁵ − 3x⁴ + 3x³ − x²

= x²(x³ − 3x² + 3x − 1)

= x²(x − 1)³.

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố bạn sinh viên này thi đậu ở vòng 1, 2, 3. Khi đó bạn này thi đậu tất cả các vòng khi tất cả các biến cố này đồng thời xảy ra, và áp dụng công thức nhân xác suất thứ hai ta có:

P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB) = 0,5.0,6.0,7 = 0,21.

 - Lần lượt chia 4 cho 1; 2; 3; 4 ta thấy 4 chia hết cho 1; 2; 4

Vậy Ư(4) = {1; 2; 4}

- Lần lượt chia 6 cho 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta thấy 6 chia hết 1; 2; 3; 6.

Vậy Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

- Lần lượt chia 9 cho 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ta thấy 9 chia hết cho 1; 3; 9

Vậy Ư(9) = {1; 3; 9}.

- Lần lượt chia 13 cho 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13. Ta thấy 13 chia hết cho 1 và 13.

Vậy Ư(13) = {1; 13}.

x³ – 7x – 6 = x³ + 1 – 7x – 7

= (x + 1)( x² – x + 1) – 7(x + 1)

= (x + 1) (x² – x + 1 – 7)

= (x + 1)( x² – x – 6)

= (x + 1)( x² + 2x – 3x – 6)

= (x + 1)[x .(x + 2) – 3(x + 2)]

= (x + 1)(x + 2)(x – 3).

x⁴ + 4

= x⁴ + 4 + 4x² – 4x²

= (x⁴ + 4x² + 4) – (2x)²

= (x² + 2)² – (2x)²

=(x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là: 5x + 3y < 20.

Chọn x₀ = 1 và y₀ = 1 ta có: 5. 1 + 3. 1 = 8 < 20.

Vậy (1; 1) là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 3y < 20.

a) Với x = 1, y = 2, thay vào bất phương trình ta có: 1 + 2.2 = 5 ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra (1; 2) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với x = −2, y = 1, thay vào bất phương trình ta có: −2 + 2.1 = 0 ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra (−2; 1) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với x = 7, y = −2, thay vào bất phương trình ta có: 7 + 2.(−2) = 3 ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra (7; −2) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Thay y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được: x + 2.0 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Vậy với y = 0 thì có vô số giá trị của x mà x ≥ 0 thỏa mãn bất phương trình đã cho.

x⁵ – x⁴ – x³ – x² – x – 2

= x⁵ – 2x⁴ + x³ – 2x³ + x² – 2x² + x – 2x – 2

= ( x⁵ – 2x⁴) + (x⁴ – 2x³) + (x³ – 2x²) + (x² – 2x) + (x – 2)

= x⁴(x – 2) + x³(x – 2) + x²(x – 2) + x(x – 2) + (x – 2)

= (x – 2)(x⁴ + x³ + x² + x + 1).

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = sinx đồng biến trên D khi y' = cosx > 0, ∀x ∈ D.

Lại có bất phương trình cos x > 0 có nghiệm: 

$x\in \left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, k ∈ ℤ .

Với k = 5 thì $x\in \left(\frac{19\pi }{2};\frac{21\pi }{2}\right)$.

Mà $\left(\frac{19\pi }{2};10\pi \right)\subset \left(\frac{19\pi }{2};\frac{21\pi }{2}\right)$.

Do đó hàm số y = sin x đồng biến trên $\left(\frac{19\pi }{2};10\pi \right)$.

Trên các đoạn $\left(7\pi ;\frac{15\pi }{2}\right);\left(\frac{-7\pi }{2};-3\pi \right);\left(-6\pi ;-5\pi \right)$

ta kiểm tra được cos x < 0.

Do đó hàm số y = sin x nghịch biến trên các khoảng này.

Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z.

Khi đó ta có:

x + y + z = a + b + c.

Áp dụng hằng đẳng thức: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x) ta có:

A = (x + y + z)³ – x³ – y³ – z²

= x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x) – x³ – y³ – z²

= 3(x + y)(y + z)(z + x)

= 3(a + b – c + b + c – a)(b + c – a + c + a – b)(c + a – b + a + b – c)

= 3. 2b. 2c. 2a

= 24abc.

Đáp án đúng là: D.

Không gian mẫu có số phần tử là 17³ = 4913.

Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số sau:

+) Số chia hết cho 3: có 5 số thuộc tập {3; 6; 9; 12; 15}.

+) Số chia cho 3 dư 1: có 6 số thuộc tập {1; 4; 7; 10; 13; 16}.

+) Số chia cho 3 dư 2: có 6 số thuộc tập {2; 5; 8; 11; 14; 17}.

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17] thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau:

TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 5³ = 125 cách.

TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 6³ = 216 cách.

TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có  6³ = 216 cách.

TH4: Một số chia hết cho 3, một số chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 có

5.6.3! = 1080 cách.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{125+216+216+1080}{4913}=\frac{1637}{4913}$.

Đáp án đúng là: C.

Gọi A tập các học sinh chơi bóng đá và B là tập các học sinh chơi bóng chuyền

Suy ra |A| = 35, |B| = 15.

Tập các học sinh của lớp là A ∪ B, |A ∪ B| = 45

Tập các học sinh đăng kí cả hai môn là A ∩ B

Ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| =  45

$\iff$ 35 + 15 − |A ∩ B| = 45

$\iff$|A ∩ B| = 5

Vậy số học sinh đăng kí cả hai môn bóng đá và bóng chuyền là 5 học sinh.

Đáp án đúng là: A.

Ta có x² – 6x + 8

= x² – 4x – 2x + 8

= x(x – 4) – 2(x – 4)

= (x – 4)(x – 2).

= −(x² + 8x – 5)

= −(x² + 2.x.4 + 16 – 21)

= −(x + 4)² + 21

Ta có với mọi x ∈ ℝ (x + 4)² ≥ 0 ⇔ −(x + 4)² + 21 ≤ 21.

Vậy A_max = 21 khi x = −4.

Ta có:

n⁵ + 1 = n²(n³ + 1) – n² + 1

Để A chia hết cho n³ + 1 thì số dư của phép chia bằng 0

(n⁵ + 1 chia cho n³ + 1 được thương là n² và số dư là 1 – n²)

Suy ra ta có: 1 – n² = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=1\\ n=-1\end{array}\right.$

Vì n là số nguyên dương nên ta có n = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có duy nhất một giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 1.

a) x⁵ + x⁴ + 1

= x⁵ + x⁴ + x² – x² + 1

= x²(x³ – 1) + (x⁴ + x² + 1)

= x²(x³ – 1) + ( x⁴ + x³ – x³ + x² – x² + x² – x + x + 1)

= x²(x³ – 1) + [(x⁴ + x³ + x²) – (x³ + x² + x) + ( x² + x + 1)]

= x²(x³ – 1) + [x²(x² + x + 1) – x(x² + x + 1) + (x² + x + 1)]

= x²(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)(x² – x + 1)

= (x² + x + 1)[x²(x – 1) + x² – x+ 1]

= (x² + x + 1)(x³ – x² + x² – x + 1)

= ( x² + x + 1)(x³ – x + 1)

Vì ABCD là hình bình hành

$\iff$AB//CD hay AE//CF.

Lại có: AE = CF (gt),

Suy ra AECF là hình bình hành.

$\iff$AC, EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hay O ∈ AC; O ∈ CF (1).

Mà AC và BD cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( do ABCD là hình bình hành).

O ∈ AC; O ∈ BD (2).

Từ (1) và (2) suy ra ba đường thẳng AC, BD, EF đồng quy (đpcm).

Đáp án đúng là: A

y’ = 3x² – 2mx + (m² – 2m)

$\iff$y’ = 0 $\iff$3x² – 2mx + (m² – 2m) = 0 (*)

Cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình (*):

f(x) = 3x² – 2mx + (m² – 2m) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 $\iff$ f’(0) > 0

Ta có: f’(x) = 6x – 2m

 $\iff$ f’(0) = −2m > 0 $\iff$m < 0

Vậy có vô số giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Các tập X cần tìm là: {1; 2}; {1; 2; 3}; {1; 2; 4}; {1; 2; 5}; {1; 2; 3; 4}; {1; 2; 3;5}; {1; 2; 4; 5}; {1; 2; 3; 4; 5}.

Đáp án đúng là: C.

u(0) = sin0 = 0.

$u\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$

Sin⁴x.cosxdx = sin⁴x d(sinx) = u⁴du

Vậy $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{4}x.\cos xdx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{4}du$.

ĐK: x² + x + 1 ≥ 0 và x – x² + 1 ≥ 0.

Nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si mỗi hạng số vế trái ta được:

$\sqrt{(x^2+x+1).1}\le \frac{x^2+x-1+1}{2}=\frac{x^2+x}{2}$ (1)

$\sqrt{(x-x^2+1).1}\le \frac{x-x^2+1+1}{2}=\frac{-x^2+x+2}{2}$(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x-x^2+1}\le \frac{x^2+x}{2}+\frac{-x^2+x+2}{2}=x+1$

Nên theo đề ta có: x² – x + 2 ≤ x + 1 $\iff$(x – 1)² ≤ 0.

Đẳng thức xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

x⁴ + 2x³ – 4x – 4

= (x⁴ – 4) + (2x³ – 4x)

= (x² + 2)(x² – 2) + 2x(x² – 2)

= (x² – 2)(x² + 2x + 2)

Đáp án đúng là: D.

Trục Ox có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;0;0)$ và đi qua điểm O (0; 0; 0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(3;1;-2)$

Do mặt phẳng (P) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(0;2;1\right)$

 Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và đi qua điểm O là:

2y + z =0

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$y={\left(3-x^2\right)}^{\frac{2}{3}}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{2}{3}{\left(3-x^2\right)}^{\frac{-1}{3}}.{\left(3-x^2\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{2}{3}{\left(3-x^2\right)}^{\frac{-1}{3}}\left(-2x\right)$

$=\frac{-4x}{3}{\left(3-x^2\right)}^{\frac{-1}{3}}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{-4}{3}{.2}^{\frac{-1}{3}}=\frac{-4}{3.\sqrt[3]{2}}=\frac{-2\sqrt[3]{4}}{3}$.

Áp dúng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a² + b² ≥ 2ab;

b² + c² ≥ 2bc;

c² + a² ≥ 2ca.

Cộng vế với vế ta có:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (*)

Mặt khác (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

Từ (*) suy ra: (a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3 (ab + bc + ca). (ab + bc + ca)²

⇔ (a + b + c)². (ab + bc + ca)² ≥ 3(ab + bc + ca)³ (đpcm).+ +²²²²²

TH1: m + 1 ≤ -1 ⇔ m ≤ -2. Khi đó khoản biểu diễn của A nằm bên trái B và không trung điểm nào với đoạn biểu diễn B.

TH2: m ≥ 3. Khi đó khoảng biểu diễn của A nằm bên phải B và không trùng điểm nào với đoạn biểu diễn B.

Vậy với m ≤ −2 hoặc m ≥ 3 thì A ∩ B = Ø.

x² – 5x + 6 = x² – 2x – 3x + 6

= (x² – 2x) – (3x – 6)

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Ta xét các trường hợp:

TH1. Chữ số hàng nghìn là số 1. Ta có tổng số số nhỏ hơn 2811 là:

1. 9. 9. 9 = 729

TH2. Chữ số hàng nghìn là số 2.

Chữ số hàng trăm là số < 8 suy ra có 7 cách chọn.

Chữ số hàng chục và đơn vị có 9 cách chọn.

Tổng số: 1. 7. 9. 9 = 567

Vậy tổng số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

1290 số.

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $n\left(\Omega \right)=C_8^3=56$

Gọi A là: “ 3 người được chọn có ít nhất 1 nữ”

Suy ra $\overline{A}$ là: “3 người được chọn không có bạn nữ nào”.

Khi đó:

$n\left(\overline{A}\right)=C_5^3=10$.

Suy ra $n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=56-10=46$( cách).

Đáp án đúng là: C.

Vì 5 người được chọn không phân biệt nam nữ nên số cách là:

$C_8^5=56$( cách).

ĐK: x ∈ ℤ.

Ta có: $\left(x-1\right)⋮\left(x-1\right)\Rightarrow \left(3x-3\right)⋮\left(x-1\right)$.

Đề $\left(3x+5\right)⋮\left(x+1\right)$ thì

$\left(3x+5-3x+3\right)⋮\left(x-1\right)\iff 8⋮\left(x-1\right)$

Suy ra (x – 1) ∈ Ư(8) = {1; - 1; 2; -2; 4; -4; 8; - 8}

Hay x ∈ {2; 0; 3; -1; 5; -3; 9; -7}