Đáp án đúng là: A.

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử, kí hiệu là \(C_n^k\) và được cho bởi công thức: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k\left( {n - k} \right)!}}\).

x⁸ + x⁷ + 1 = (x⁸ – x²) + (x⁷ – x) + x² + x + 1

= x²(x⁶ – 1) + x(x⁶ – 1) + x² + x + 1

= x(x + 1)(x⁶ – 1) + (x² + x + 1)

= x(x + 1)(x³ – 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1)

= x(x + 1)(x – 1)(x³ + 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)[(x³ – x)(x³ + 1) + 1]

= (x² + x + 1)(x⁶ – x⁴ + x³ – x +1).

x⁵ + x + 1 = x⁵ – x² + x² + x + 1

= x²(x³ – 1) + (x² + x + 1)

= x²(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x+ 1)[x²(x – 1) + 1]

= (x² + x + 1)(x³ – x² + 1).

Đáp án đúng là: B

• TH1. Ông An đứng ở đầu hàng, bà An đứng ở cuối hàng và 6 người con đứng ở giữa.

Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.

• TH2. Ông An đứng ở cuối, bà An đứng ở đầu hàng và 6 người con đứng ở giữa.

Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.

Số cách xếp hàng khác nhau nếu ông hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là:

2 . 6! = 2 . 720 = 1 440 (cách)

Vậy có 1 440 cách cần tìm.

Ta có: x² – 2y² = 1 ⇔ x² = 2y² + 1; \({y^2} = \frac{{{x^2} - 1}}{2}\).

Suy ra x² là một số chính phương lẻ, x là số lẻ.

Đặt x = 2k + 1 (k nguyên dương).

Ta có \({y^2} = \frac{{{{\left( {2k + 1} \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{4{k^2} + 4k}}{2} = 2k(k + 1)\)    (*)

Y là một số nguyên tố nên y² sẽ là một số nguyên dương mà có duy nhất 3 ước là {1; y; y²}.

Từ (*) dễ thấy \({y^2} \vdots 2\) và do y là số nguyên tố nên suy ra y = 2 \( \Rightarrow \)k = 1 \( \Rightarrow \) x = 3.

Vậy x = 3 và y = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C.

Ước của 4 gồm các số: –4; –2; –1; 1; 2; 4.

Tổng các ước của 4 là:

−4 – 2 – 1 + 1 + 2 + 4 = (4 – 4) + (2 – 2) + (1 – 1) = 0.

Vậy tổng các ước của 4 là 0.

4x² – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0

⇔ (4x² – 25) – (2x – 5)(2x + 7) = 0

⇔ (2x – 5)(2x + 5) – (2x – 5)(2x + 7) = 0

⇔ (2x – 5)(2x + 5 – 2x – 7) = 0

⇔ (2x – 5).(–2) = 0

⇔ 2x – 5 = 0

⇔ \(x = \frac{5}{2}\)

Vậy \(x = \frac{5}{2}\).

8x³ – 12x² + 6x – 1 = 0

⇔ (2x)³ – 3. (2x)². 1 + 3. 2x . 1² – 1³ = 0

⇔ (2x – 1)³ = 0

⇔ 2x – 1 = 0

⇔\(x = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có 49(y – 4)² − 9(y + 2)²  = 0

⇔ 49(y² − 8y + 16) − (y² + 4y + 4) = 0

⇔ 49y² − 392y + 784 – 9y² − 36y − 36 = 0

⇔ 40y² − 428y + 748 = 0 

⇔ 4(y² − 107y + 187) = 0

⇔ 4[(10y² − 22y) − ( 85y − 187)] = 0 

⇔ 4[2y(5y − 11) − 17(5y − 11)] = 0

⇔ 4(5y − 11)(2y − 17) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5y - 11 = 0\\2y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{11}}{5}\\y = \frac{{17}}{2}\end{array} \right.\)

A = x(5x – 3) – x²(x – 1) + x(x² – 6x) – 10 + 3x

= 5x² – 3x – x³ + x² + x³ – 6x² – 10 + 3x = −10.

Với A = (m – 1; 4], B = (−2; 2m + 2) là các tập khác tập rỗng, ta có điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m > - 2\end{array} \right.\)⇔ −2 < m < 5 (*)

a) Ta có: A ∩ B = Ø ⇔ m – 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3.

So sánh với điều kiện (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu là: −2 < m < 5.

b) A ⊂ B \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 2\\2m + 2 > 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\).

So sánh với điều kiện (*) ta có các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 < m < 5.

c) B ⊂ A \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le - 2\\2m + 2 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1\).

So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: −2 < m ≤ −1.

d) (A ∩ B) ⊂ (−1; 3) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 1\\2m + 2 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{2}\) (*).

Vậy với \(0 \le m \le \frac{1}{2}\) thoản mãn yêu cầu bài toán.

A = ab(a + b) – bc(b + c) + ac (a – c)

= a²b + ab² – b²c – bc² + a²c – ac²

= (a²b + a²c) + (ab² – ac²) – (b²c + bc²)

= a²(b + c) + a(b² – c²) – bc(b + c)

= a²(b + c) + a(b + c)(b – c) – bc(b + c)

= (b + c)[a² + a(b – c) − bc]

= (b + c)(a² + ab – ac − bc)

= (b + c)[a(a + b) – c (a + b)]

= (b + c)(a + b)(a – c).

Ta có: x + yz = x(x + y + z) + yz

= x² + yz + x(y + z) = A

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

A \( \ge 2x\sqrt {yz} + x\left( {y + z} \right)\left( {{x^2} + yz \ge 2\sqrt {{x^2}yz} } \right)\)\( = x{\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)^2}\).

Hay \(x + yz \ge x{\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)^2}\).

Tương tự ta có: \(y + zx \ge y{\left( {\sqrt z + \sqrt x } \right)^2}\);

\(z + xy \ge z{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}\).

Khi đó ta có:

\(P \le \frac{x}{{x + \sqrt {x{{\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)}^2}} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {y{{\left( {\sqrt z + \sqrt x } \right)}^2}} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {z{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}} }}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y + \sqrt z + \sqrt x }} + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt z + \sqrt x + \sqrt y }}\)

\( = \frac{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }}{{\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z }} = 1\).

Vậy P_max = 1 khi \(x = y = z = \frac{1}{3}\).

Xét \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} \) (1)

Xét \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP} = 2\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \)

\( = 2\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right) = 2\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} \)

\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MP} = 3\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} \)

Từ (1) và (2) suy ra \(3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MP} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MP} \).

Từ đây ta có: \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {MP} \).

Do đó điểm M, N, P thẳng hàng.

(ab – 1)² + (a + b)²

= a²b² – 2ab + 1 + a² + 2ab + b²

= a²b² + a² + b² + 1

= a²(b² + 1) + (b² + 1)

= (b² + 1)(a² + 1).

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó ta có:

Gọi a₁ = 1. 2 ⇒ 3.a₁ = 1. 2. 3 ⇒ 3.a₁ = 1. 2. 3 – 0. 1. 2

a₂ = 2. 3 ⇒ 3.a₂ = 2. 3. 3 ⇒ 3.a₂ = 2. 3. 4 – 1. 2. 3

a₃ = 3. 4 ⇒ 3.a₃ = 3. 3. 4 ⇒ 3.a₃ = 3. 4. 5 – 2. 3. 4

…

a_{n – 1} = (n – 1)n ⇒ 3. a_{n – 1} = 3(n – 1)n ⇒ 3.a_{n – 1} = (n – 1)n(n + 1) – (n – 2)(n – 1)n

a_n = n(n + 1) ⇒ 3a_n = 3n(n + 1) ⇒ 3a_n = n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các hằng đẳng thức, ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

⇔ 3A= n(n + 1)(n + 2) ⇒ \(A = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\).

Vậy \(A = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Khổ giấy A1 lớn hơn 4 lần khổ giấy A3.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x² = mx + 4

⇔ x² – mx – 4 = 0.

Với m = 3 ta có: x² – 3m – 4 = 0.

Ta thấy 1 – (−3) – 4 = 0 nên ta có nghiệm của phương trình trên có hai nghiệm là:

x₁ = −1 và x₂ = 4.

Với x₁ = −1 suy ra y₁ = 1 \[ \Rightarrow \]A( −1; 1).

Với x₂ = 4 suy ra y₂ = 16 \[ \Rightarrow \]B(4; 16).

Vậy với m = 3 ta có tọa độ của hai giao điểm là: A( −1; 1); B(4; 16).

Đáp án đúng là: A

Do \(A \ne \emptyset ;\,\,B \ne \emptyset \) ta có điều kiện:

 \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m > - 2\end{array} \right.\)⇔ −2< m < 5        (*)

Để A ∩ B = Ø ⇔ 2m + 2 ≤ m – 1 ⇔ m ≤ −3 (không thuộc khoảng (*)).

Do đó không có giá trị nào của m để A ∩ B = Ø.

Vậy với mọi m ∈ (−2; 5) thì A ∩ B ≠ Ø.

Vậy A đúng.

Đặt 2^x + 5^y = k², k ∈ ℕ (1)

Với y = 0 ta có: 2^x + 1 = k² \( \Rightarrow \) (k – 1)(k + 1) = 2^x (2)

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1)

Với x > 0 thì k² = 2^x + 1 > 1 \( \Rightarrow \) k > 1.

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{12}^5 = 792\).

Gọi A là biến cố “chọn đủ ba loại hoa và số cúc không ít hơn 2”.

TH1: 2 cúc, 1 hồng, 2 lan có: \(C_3^2.C_5^1.C_4^2 = 90\) (cách chọn).

TH2: 2 cúc, 2 hồng, 1 lan có: \(C_3^2.C_5^2.C_4^1 = 120\) (cách chọn).

TH3: 3 cúc, 1 hồng, 1 lan có: \(C_3^3.C_5^1.C_4^1 = 20\) (cách chọn)

n(A) = 90 + 120 + 20 = 230 ( cách).

Vậy \(P(A) = \frac{{230}}{{792}} = \frac{{115}}{{396}}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: a₀ + a₁x¹ + … + a₁₀₀x¹⁰⁰ = (x – 2)¹⁰⁰      (*)

Với x = 1 thì khi đó (*) trở thành:

a₀ + a₁ + a₂ + … + a₁₀₀ = (1 – 2)¹⁰⁰ = 1¹⁰⁰ = 1.

ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2.

Đặt \(\sqrt {x + 2}  = a;\sqrt {2 - x} = b\) (a, b ≥ 0).

\( \Rightarrow \) a² + b² = 4.

Ta có: y = a + b + 2ab.

• Tìm min:

\(y = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} + 2ab = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab} + 2ab\)\( = \sqrt {4 + 2ab} + ab\).

Vì a, b ∈ [0; 2] ⇒ ab ≥ 0.

\( \Rightarrow \)\[y \ge \sqrt {4 + 0} + 0 \Leftrightarrow y \ge 2\].

Vậy y_min = 2 ⇔ ab = 0 ⇔ x = ± 2.

• Tìm max:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow y \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\) (1)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

a² + b² ≥ 2ab ⇔ 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

⇔ (a + b)² ≤ 8 \( \Rightarrow a + b \le 2\sqrt 2 \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow y \le 2\sqrt 2 + \frac{8}{2} = 4 + 2\sqrt 2 \)

Do đó y_max \( = 4 + 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi a = b \( \Leftrightarrow \sqrt {2 + x} = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy y_max + y_min =\(2 + 4 + 2\sqrt 2 = 6 + 2\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Nếu hình lăng trụ có đáy là đa giác n cạnh thì số cạnh đáy của hình lăng trụ là 2n và số cạnh bên là n.

Do đó tổng số cạnh của hình lăng trụ là 3n.

Vậy số cạnh của hình lăng trụ là một số chia hết cho 3.

Suy ra loại các đáp án A, B, C.

Đáp án D đúng vì 2016 chia hết cho 3.

x² + 5x – 6 = x² + 6x – x – 6

= x(x + 6) – (x + 6)

= (x + 6)(x – 1).

Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: \(S = {a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Trong đó: S là diện tích tam giác đều; a là độ dài cạnh của tam giác.

Ta có: y = 3f(x + 2) – x³ + 3x

⇒ y' = 3f '(x + 2) – 3x² + 3.

Xét −1 < x < 0 ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}1 < x + 2 < 2 \Rightarrow f'(x + 2) > 0\\{x^2} < 1 \Rightarrow {x^2} - 1 < 0\end{array} \right.\]

⇒ 3f '(x + 2) – 3x² + 3 > 0 \(\forall x \in (0;\,\,1)\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (−1; 0).

Đáp án đúng là: A

Số nghiệm thực của phương trình \(f(x) = \frac{1}{2}\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\).

Dựa vào hình trên ta thấy đồ thị hàm số f(x) với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) có hai giao điểm.

Vậy phương trình f(x) = \(\frac{1}{2}\) có hai nghiệm.

TH1: p = 2.

Khi đó p + 2 = 4 là hợp số (loại).

TH2: p = 3

Khi đó p + 2 = 5; p + 3 = 13 đều là những số nguyên tố. ( thỏa mãn).

TH3: p > 3.

Khi đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ ℕ*)

• p = 3k + 1 \( \Rightarrow \)p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 3) luôn có một ước là 3.

Do đó p = 3k + 1 là hợp số (loại).

• p = 3k + 2 \( \Rightarrow \)p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) luôn có một ước là 3.

Do đó p = 3k + 2 là hợp số (loại).

Vậy ta có một số nguyên tố p = 3 thỏa mãn duy nhất.

x² – 2x – 4y² – 4y = x² – 4y² – 2x – 4y

= (x² – 4y²) – (2x + 4y)

= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 2y – 2).

Đáp án đúng là: A

Số học sinh trong lớp chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội) là:

25 + 24 – 10 = 39 (học sinh)

Vậy lớp có 39 học sinh chỉ khá đúng một nhóm môn (tự nhiên hoặc xã hội).

Đáp án B

Hai vectơ cùng phương với một vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau nên hai vectơ này cùng phương với nhau.

Đáp án đúng là: B.

Tổng các góc của một hình thang cân là 360°.

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3.

Ta có tích 4 số đó là x(x + 1)(x + 2)(x + 3).

• Vì x(x + 1) là tích 2 số liên tiếp nên chia hết cho 2;

• Vì x(x+1)(x+2) là tích 3 số liên tiếp nên chia hết cho 3;

• Vì x(x+1)(x+2)(x+3) là tích 4 số liên tiếp nên chia hết cho 4.

Mà 2 . 3 . 4 = 24 ⇒ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) là bội của 24

Hay x(x + 1)(x + 2)(x + 3) chia hết cho 24.

Ta có y = (2m – 1)x + m – 1 (d).

Điều kiện 2m – 1 ≠ 0 \(m \ne \frac{1}{2}\).

Gọi A là giao điểm của (d) và Ox \( \Rightarrow A\left( {\frac{{ - m + 1}}{{2m - 1}};0} \right)\).

Gọi B là giao điểm của (d) và Oy nên B(0; m – 1).

Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống (d).

Để khoảng cách từ O đến (d) bằng \(\sqrt 3 \) thì \(OH = \sqrt 3 \).

Khi đó \(OA = \left| {\frac{{ - m + 1}}{{2m - 1}}} \right|\); OB = |m – 1|.

Xét \(\Delta \)OAB vuông tại O, đường cao AH có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{ - m + 1}}{{2m - 1}}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\) (điều kiện: m ≠ 1).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{{4{m^2} - 4m + 1 + 1}}{{{m^2} - 2m + 1}}\)

⇔ m² – 2m + 1 = 12m² – 12m + 6

⇔ 11m² – 10m + 5 = 0

⇔ \(11\left( {{m^2} - 2\frac{5}{{11}}m + \frac{{25}}{{121}}} \right) = \frac{{30}}{{11}} = 0\)

\[ \Leftrightarrow 11{\left( {m - \frac{5}{{11}}} \right)^2} + \frac{{30}}{{11}} = 0\] (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn khoảng cách từ O đến (d) bằng \(\sqrt 3 \).

\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x + \frac{2}{5} = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{5}} \right) + \frac{2}{5} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{11}}{{15}}x + \frac{2}{5} = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 6}}{{11}}\).

Vậy \(x = \frac{{ - 6}}{{11}}\).

Đáp án đúng là: B

Đặt t = 4^x (t > 0). Phương trình đã cho trở thành

t² – 4mt + 5m² – 45 = 0 (*)

Với mỗi nghiệm t > 0 của phương trình (*) sẽ tương ứng với duy nhất một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 45 > 0\\4m > 0\\5{m^2} - 45 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\sqrt 5 < m < 3\sqrt 5 \\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 3\sqrt 5 \)

Do m ∈ ℤ nên m ∈ {4; 5; 6}.

Vậy S = 4 + 5 + 6 = 15.

Đáp án đúng là: B

Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) xác định và liên tục trên [−4; 0].

y’ = x² + 4x + 3, y’ = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Ta có: f(0) = −4; f(−1) \( = \frac{{ - 16}}{3}\); f(−3) = −4; \(f( - 4) = \frac{{ - 16}}{3}\).

Vậy M = −4, \(m = \frac{{ - 16}}{3}\) nên \(M + n = - \frac{{28}}{3}\).

3x(x – 2) – 5x(1 – x) – 5(x² – 3)

= 3x² – 6x – 5x + 5x² – 5x² + 15

= 3x² – 11x + 15.

Ta có: x² – 2x – 15 = x² – 5x + 3x – 15

= (x² + 3x) – (5x + 15) = x(x + 3) – 5(x + 3)

= (x + 3)(x – 5).

Ta có: a³ + b³ + ab = (a + b)³ – 3ab(a + b) + ab

= 1 – 3ab + ab (do a + b = 1)

= 1 – 2ab = 1 – 2a( 1 – a)

= 2a² – 2a + 1 =\(2\left( {{a^2} - a + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2}\)

\( = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\).

Vậy \({a^3} + {b^3} + ab \ge \frac{1}{2}\) (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Gọi các yếu tố như hình vẽ, diện tích phần phải xây của bể là phần xung quanh và đáy.

\(\left\{ \begin{array}{l}V = 2{x^3}.h = \frac{{500}}{3}\\S = 2{x^2} + 6xh\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = 2{x^2} + \frac{{500}}{x} = 2{x^2} + \frac{{250}}{x} + \frac{{250}}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

S ≥ \(3.\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{250}}{x}.\frac{{250}}{x}}} = 3.50 = 150\)

Vậy số chi phí thấp nhất là: 150 . 500 000 = 75 000 000 (đồng).

Đáp án đúng là: B.

Cứ hai đội nếu đá cả lượt đi và lượt về thì có 2 trận đấu diễn ra.

Vậy có tất cả: \(2.C_{10}^2 = 90\) (trận).

Ta có: \(A = 11 - \sqrt {{{\left( {x + \frac{7}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \le 11\) ( do \(\sqrt {{{\left( {x + \frac{7}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} \ge 0\))

Đẳng thức xảy ra khi \({\left( {x + \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 6\end{array} \right.\)

Vậy A_max = 11.

Đáp án đúng là: D.

Nếu 2 vecto \(\overrightarrow a \); \(\overrightarrow b \) cùng phương thì \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\) = 180° hoặc \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \).

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = - 1\) hoặc \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)} \right| = 1\)

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.1 = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).

Vậy D là đáp án đúng.

Ta có n³ – n = n(n² – 1) = n(n + 1)(n – 1)

Vì n(n + 1)(n – 1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên \(n(n + 1)(n - 1)\,\, \vdots \,\,3\).

Vậy \(({n^3} - n)\,\, \vdots \,\,3\) (đpcm).

(x – 5)(x – 4) – (x + 1)(x – 2) = 7

⇔ x² – 9x + 20 – (x² – x – 2) = 7

⇔ −8x + 22 = 7

⇔ 8x = 15\[ \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{8}\]

Vậy \(x = \frac{{15}}{8}\).