Ta có

\(\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} \)

\( = (\overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} ) + (\overrightarrow {E{\rm{D}}} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {FE} )\)

\( = (\overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} ) + (\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FE} )\)

\( = (\overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} ) + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} \)

Ta có

\(\overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {F{\rm{E}}} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} \)

\( = (\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CE}}} ) + (\overrightarrow {E{\rm{D}}} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {FE} )\)

\( = (\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CE}}} ) + (\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FE} )\)

\( = (\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CE}}} ) + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CE}}} \)

Vậy \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {A{\rm{E}}} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \).

a) Ta có

Vậy \(x = \frac{{k\pi }}{4}\), \(x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k2\pi }}{5}\), \[x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

b) Ta có:

\[4co{s^3}x + \;3\sqrt 2 sin2x = 8cosx\]

Vậy \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \), \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có

\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CB} \)

\( = \overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DC} ) - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CB} \)

\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CB} \)

\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DE} - \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).

Ta có – 2021; – 1 ∈ (– ∞; 1) và – 2021 < – 1

Mà trên khoảng (– ∞; 1) hàm số nghịch biến nên f(– 2021) > f(– 1)

Ta có \(\sqrt 3 ;2\; \in \;\left( {1;3} \right)\) và \(\sqrt 3 < 2\)

Mà trên khoảng (1; 3) hàm số đồng biến nên \(f\left( {\sqrt 3 } \right) < f\left( 2 \right)\)

Vậy f(– 2021) > f(– 1) và \(f\left( {\sqrt 3 } \right) < f\left( 2 \right)\).

a) Đồ thị hàm số y = – 3x đi qua gốc tọa độ O và điểm (– 1; 3)

b) Ta có: f(–2) = –3 . (–2) = 6

f(5) = –3 . 5 = – 15 

Vì 6 > – 15 nên f(–2) > f(5)

Vậy f(–2) > f(5).

y = \(\sqrt {{x^2} + 4{\rm{x}} + m} \)

Điều kiện xác định của y là x² + 4x + m ≥ 0

Để y có tập xác định là R

⇔ x² + 4x + m ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇔ Δ' < 0

⇔ 2²  – 1 . m < 0

⇔ 4 – m < 0

⇔ m > 4

Vậy m > 4 thì hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 4{\rm{x}} + m} \)có tập xác định là R.

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 10 trên ℝ thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\frac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{{{{\left( { - 2m} \right)}^2} - 4.m.\left( { - 3m - 2} \right)}}{{4m}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\frac{{16{m^2} + 8m}}{{4m}} = 10\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16{m^2} + 8m = 40m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16{m^2} - 32m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\16m\left( {m - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy m = 2.

Ta có (x³ – 5x² + x – 5) = (x – 5) . M

\( \Leftrightarrow M = \frac{{{x^3} - 5{{\rm{x}}^2} + x - 5}}{{x - 5}} = \frac{{{x^2}(x - 5) + x - 5}}{{x - 5}} = \frac{{({x^2} + 1)(x - 5)}}{{x - 5}} = {x^2} + 1\)

Vậy M = x² + 1.

a) \(\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt 2 = \sqrt {3 - 2\sqrt 6 + 2} + \sqrt 2 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt 2 = \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 2 = \sqrt 3 \)

b) \(\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } - \sqrt 5 = \sqrt {5 - 2\sqrt {15} + 3} - \sqrt 5 = \sqrt {{{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )}^2}} - \sqrt 5 = \sqrt 5 - \sqrt 3 - \sqrt 5 = - \sqrt 3 \)

c) \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } + 2 = \sqrt {4 - 4\sqrt 3 + 3} + 2 = \sqrt {{{(2 - \sqrt 3 )}^2}} + 2 = 2 - \sqrt 3 + 2 = 4 - \sqrt 3 \)

e) \(\sqrt {35 - 12\sqrt 6 } = \sqrt {27 - 12\sqrt 6 + 8} = \sqrt {{{(3\sqrt 3 - 2\sqrt 2 )}^2}} = 3\sqrt 3 - 2\sqrt 2 \)

g) \(\sqrt {7 - 3\sqrt 5 } = \sqrt {\frac{{14 + 6\sqrt 5 }}{2}} = \sqrt {\frac{{9 + 6\sqrt 5 + 5}}{2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}{2}} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}\)

f) \(\sqrt {11 - 6\sqrt 2 } = \sqrt {9 - 6\sqrt 2 + 2} = \sqrt {{{(3 - \sqrt 2 )}^2}} = 3 - \sqrt 2 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Suy ra

Vậy \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} \ge a + b + c\).

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC có:

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta có A(1; – 2), B(– 2; 3) và C(0; 4)

Nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}\)

Suy ra:

• \(p - AB = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2} - \sqrt {34} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {37} - \sqrt {34} }}{2}\)

• \(p - BC = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2} - \sqrt 5 = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt {37} - \sqrt 5 }}{2}\)

• \(p - CA = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2} - \sqrt {37} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {34} - \sqrt {37} }}{2}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} \)

\( = \sqrt {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}.\left( {\frac{{\sqrt 5 + \sqrt {37} - \sqrt {34} }}{2}} \right).\left( {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt {37} - \sqrt 5 }}{2}} \right).\left( {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)} \)

\( = \sqrt {\left( {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}} \right).\left( {\frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {37} + \sqrt 5 - \sqrt {34} }}{2}} \right).\left[ {\frac{{\sqrt {37} - \left( {\sqrt 5 - \sqrt {34} } \right)}}{2}} \right]} \)

\[ = \frac{{\sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt {34} + \sqrt 5 } \right)}^2} - 37} \right].\left[ {37 - {{\left( {\sqrt 5 - \sqrt {34} } \right)}^2}} \right]} }}{4}\]

\[ = \frac{{\sqrt {\left[ {34 + 2\sqrt {170} + 5 - 37} \right].\left[ {37 - \left( {5 - 2\sqrt {170} + 34} \right)} \right]} }}{4}\]

\[ = \frac{{\sqrt {\left( {2 + 2\sqrt {170} } \right).\left( {2\sqrt {170} - 2} \right)} }}{4}\]

\[ = \frac{{\sqrt {4.170 - 4} }}{4} = \frac{{2.\sqrt {170 - 1} }}{4} = \frac{{\sqrt {169} }}{2} = \frac{{13}}{2}\]

Vậy diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{{13}}{2}\).

Ta có C_RB = R ∖ B = (– ∞; 4 – 3m)

Để C_RB ⊂ A thì 4 – 3m < 2023

⇔ – 3m < 2019

⇔ m > 673

Vậy m > 673.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ACD có M là trung điểm của AD, P là trung điểm của AC

Suy ra MP là đường trung bình

Do đó MP // CD, \[MP = \frac{1}{2}CD\]

Suy ra \(\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 2\overrightarrow {PM} \)

Xét tam giác ACB có N là trung điểm của BC, P là trung điểm của AC

Suy ra NP là đường trung bình

Do đó NP // AB, \[NP = \frac{1}{2}AB\]

Suy ra \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {PN} \)

Ta có \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {PN} + 2\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} \) (vì \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \))

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là B

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán

X là số học sinh chỉ thích hai môn là văn và toán

y là số học sinh chỉ thích hai môn là Sử và toán

z là số học sinh chỉ thích hai môn là văn và Sử

Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 – 6 = 39

Dựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a + x + z + 5 = 25\\b + y + z + 5 = 18\\c + x + y + 5 = 20\\x + y + z + a + b + c + 5 = 39{\rm{       }}(1)\end{array} \right.\)

Suy ra a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 25 + 18 +20

Hay a + b + c + 2(x + y + z) = 48                 (2)

Từ (1) và (2) ta có

a + b + c + 2(39 – 5 – a – b − c) = 48

⇔ a + b + c = 20

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Gọi số phức z có dạng z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Ta có \(\left| z \right|\) + z = 3 + 4i

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 3\\b = 4\end{array} \right.\]

Do đó \(\sqrt {{a^2} + {4^2}} + a = 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 16} = 3 - a\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a \ge 0\\{a^2} + 16 = 9 - 6a + {a^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a = \frac{{ - 7}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{{ - 7}}{6}\]

Vậy số phức cần tìm là \[\frac{{ - 7}}{6} + 4i\].

Đáp án đúng là: D

Vì đồ thị hàm số đi qua A và B nên

Từ (1), (2) và (3) suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}7{\rm{a}} + 3b + c = - 1\\3{\rm{a}} + 2b + c = 0\\12{\rm{a}} + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7{\rm{a}} + 3b + c = - 1\\{\rm{4a}} + b = - 1\\{\rm{9a}} + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 9\\c = 12\end{array} \right.\)

Suy ra d = – 12

Khi đó y(– 1) = – a + b – c + d = – 35

Vậy ta chọn đáp án D.

1/ (– 37) + 14 + 26 + 37

= [(– 37) + 37] + (14 + 26)

= 0 + 40 = 40

2/ (– 24) + 6 + 10 + 24

= (– 24 + 24) + (6 + 10)

= 0 + 16 = 16

3/ 15 + 23 + (– 25) + ( – 23)

= [15 + (– 25) + [23 + (– 23)]

= – 10 + 0 = – 10

4/ 60 + 33 + (– 50) + (– 33)

= [60 + (– 50)] + [33 + (– 33)]

= 10 + 0 = 10

5/ (– 16) + ( – 209) + ( – 14) + 209

= [(– 16) + (– 14)] + [(– 209) + 209]

= – 20 + 0 = – 20

6/ (– 12) + ( – 13) + 36 + (– 11)

= (– 25) + (– 11) + 36

= – 36 + 36 = 0

7/ 300 – (– 200) – (– 120) + 18

= 300 + 200 + 120 + 18

= 500 + 120 + 18

= 620 + 18

= 638

8/ – (– 299) + (– 219) – 401 + 12

= 299 – 219 – 401 + 12

= 80 – 401 + 12

= – 321 + 12 = – 309

9/ 555 – (– 333) – 100 – 80

= 555 + 333 – 180

= 888 – 180

= 708

10/ 34 + 35 + 36 + 37 – 14 – 15 – 16 – 17

= (34 – 14) + (35 – 15) + (36 – 16) + (37 – 17)

= 20 + 20 + 20 + 20

= 80

11/ 1+ (– 2) + 3 + (– 4) + ..... + 19 + (– 20)

=[1 + (– 2)] . [(20 – 1) : 1 + 1] : 2 = – 1 . 10 = – 10

12/ 1 – 2 + 3 – 4 + ... + 99 – 100

= (1 – 2) . [(100 – 1) : 1 + 1] : 2 = –1 . 50 = – 50

Gọi A(x_A; y_A) là điểm cần tìm

Theo đề bài ta có x_A = 3y_A

Vì A thuộc đồ thị hàm số y = – x + 2

Nên y_A = – x_A + 2

⇔ y_A = – 3y_A + 2

⇔ 4y_A = 2

\( \Leftrightarrow {y_A} = \frac{1}{2}\)

Suy ra \({x_A} = 3{y_A} = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Ta có

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{a^2} + {b^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\{a^2} + {b^2} = 1\end{array} \right.\)

Mà a ≠ b

Suy ra a² + b² = 1.

a) Vì I là trung điểm của AC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy I (1; 3)

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 2 + 3}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{{x_A} + {y_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 0 + 4}}{3} = 2\end{array} \right.\)

Vậy G (\(\frac{4}{3}\); 2)

c) Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 1 = 3 - {x_D}\\0 - 2 = 4 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 6\end{array} \right.\)

Vậy D(0; 6)

d) Gọi K là trung điểm của AB

Suy ra \(\overrightarrow {E{\rm{A}}} + \overrightarrow {EB} = 2\overrightarrow {EK} \) và \(K\left( {\frac{1}{2};1} \right)\)

Ta có \(3\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {E{\rm{A}}} - \overrightarrow {EC} + 2\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {EB} = \overrightarrow {CA} + 4\overrightarrow {EK} \)

Mà \(3\overrightarrow {E{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {EK} \)

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}3 + 1 = 4\left( {\frac{1}{3} - {x_E}} \right)\\4 - 2 = 4\left( {1 - {y_E}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = \frac{{ - 2}}{3}\\{y_E} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Vậy \(E\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Xét (O) có \(\widehat {ABM},\widehat {BNA}\) cùng chắn cung BM

Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {BNA}\)

Xét DABM và DANB có

\(\widehat {ABM} = \widehat {BNA}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {BAM}\)là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)

Hay AB² = AM . AN

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có \(M = xy + \frac{9}{{xy}} = xy + \frac{1}{{16xy}} + \frac{{143}}{{16xy}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có

\[{\rm{x}}y + \frac{1}{{16{\rm{x}}y}} \ge 2\sqrt {xy.\frac{1}{{16{\rm{x}}y}}} \]

\[ \Leftrightarrow {\rm{x}}y + \frac{1}{{16{\rm{x}}y}} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Với x, y > 0 ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (BĐT Cosi)

Mà x + y ≤ 1 nên \(2\sqrt {xy} \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {xy} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{{143}}{{16}}.\frac{1}{{xy}} \ge \frac{{143}}{{16}}.4 = \frac{{143}}{4}\)

Do đó \(\frac{{143}}{{16xy}} \ge \frac{{143}}{4}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(xy + \frac{1}{{16xy}} + \frac{{143}}{{16xy}} \ge \frac{1}{2} + \frac{{143}}{4} = \frac{{145}}{4}\)

Do đó \(M \ge \frac{{145}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = \frac{1}{{16xy}}\\x + y = 1\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{145}}{4}\) khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là C

Ta có \(\overline {AD} .\overline {BC} \) = (d – a)(c – b) = cd – ac – bd + ab

Vậy học sinh giải sai từ bước 3.

a) (x² – x + 7) ⋮ (x – 1)

⇔ x(x – 1) + 7 ⋮ (x – 1)

Vì x(x – 1) ⋮ (x – 1) nên 7 ⋮ (x – 1)

Suy ra x – 1 ∈ Ư(7) = {1; – 1; 7; – 7}

Do đó x ∈ {2; 0; 8; – 6}

b) (x² – 9x + 7) ⋮ (x – 9)

⇔ x(x – 9) + 7 ⋮ (x – 9)

Vì x(x – 9) ⋮ (x – 9) nên 7 ⋮ (x – 9)

Suy ra x – 9 ∈ Ư(7) = {1; – 1; 7; – 7}

Do đó x ∈ {10; 8; 16; 2}

Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x – 3

Nên a = 2; b ≠ − 3

Vì đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ là 5 

nên x = 0 ; y = 5 

⇔ 5 = 2 . 0 + b 

⇔ 5 = b ( thỏa mãn ) 

Vậy y = 2x + 5 là hàm số cần tìm.

Cần số người để làm xong việc đó trong 1 ngày là

10 × 8 = 80 (người)

Cần số người để làm xong việc đó trong 5 ngày là

80 : 5 = 16 (người)

Vậy cần 16 người để hoàn thành công việc trong 5 ngày.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d₁) và (d₂) có

\[\frac{1}{2}x + 2 = - x + 2\]

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 0\)

⇔ x = 0

Suy ra y = 2

Khi đó C(0; 2), suy ra CO = |2| = 2.

Giao điểm A của \[\left( {{d_1}} \right):y = \frac{1}{2}x + 2\] và Ox là điểm A(− 4; 0) nên OA = |–4| = 4.

Giao điểm B của (d₂): y = − x + 2 và Ox là điểm B(2; 0) nên OB = |2| = 2.

Ta có AB = OA + OB = 4 + 2 = 6

Diện tích tam giác ABC là \[{{\rm{S}}_{ABC}} = \frac{1}{2}.CO.AB = \frac{1}{2}.2.6 = 6\].

Xét DOAC vuông tại O có AC² = OA² + OC²

\( \Rightarrow AC = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).

Xét DOBC vuông tại O có BC² = OB² + OC²

\( \Rightarrow BC = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)

Chu vi tam giác ABC là \(AB + BC + CA = 6 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 5 \).

a) Điều kiện xác định x ≠ {– 2; 0; 2; 3}

Ta có \(P = \left( {\frac{{2 + x}}{{2 - x}} - \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\frac{{{x^2} - 3{\rm{x}}}}{{2{{\rm{x}}^2} - {x^3}}}\)

b) Với x ≠ {– 2; 0; 2; 3}, ta có

\(P = \frac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{x - 3}} = \frac{{4x(x - 3) + 12\left( {x - 3} \right) + 36}}{{x - 3}} = 4{\rm{x}} + 12 + \frac{{36}}{{x - 3}}\)

\(P:4 = x + 3 + \frac{9}{{x - 3}}\)

Để P ⋮ 4 thì 9 ⋮ x – 3

Suy ra x – 3 ∈ Ư(9) = {1; 3; 9; – 1; – 3; – 9}

Do đó x ∈ {4; 6; 12; 2; 0; – 6}

Mà x ≠ {– 2; 0; 2; 3}

Suy ra x ∈ {4; 6; 12; – 6}

Vậy x ∈ {4; 6; 12; – 6}.

Đáp án đúng là: B

Vì MN // BS nên \(\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{CM}}{{CB}}\) (định lí Ta – let)

Vì MQ // CD // AB nên \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{DQ}}{{DA}}\)

Vì PN // CD nên \(\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{PD}}{{D{\rm{S}}}}\) (định lí Ta – let)

Suy ra \(\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{PD}}{{D{\rm{S}}}}\)

Do đó PQ // SA (định lí Ta – let đảo)

Ta có SA ⊂ (SAB), SA ⊂ (SAD)

Mà PQ ⊂ (SAD)

Suy ra PQ // (SAB), PQ không song song với mặt phẳng(SAD)

Vậy ra chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow {AC} \)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pytago ta có

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)

Suy ra \(AC = a\sqrt 2 \).

Ta có

\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AC} } \right| = 2{\rm{A}}C = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \)

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có

\( \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 } \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 1 \Leftrightarrow MG = 1\)

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính 1

Do đó có vô số điểm M

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Gọi giao điểm của BG và AC là H

Vì ABC là tam giác đều nên BH ⊥ AC, \[AH = CH = \frac{1}{2}AC\]

Hay tam giác ABH vuông tại H

Suy ra HB = \[\sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Do đó \(BG = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có

Vậy ta chọn đáp án B.

a) Hàm số đồng biến khi m – 2 > 0

Hay m > 2

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 6)

⇔ 6 = 2(m – 2) + m + 1

⇔ 6 = 3m – 3

⇔ 9 = 3m

⇔ m = 3

c) Ta có

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc tọa độ O) nên đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ và không song song với hai trục

Suy ra m – 2 ≠ 0 và m + 1 ≠ 0

Hay m ≠ 2 và m ≠ – 1

Khi đó \[{\rm{A}}\left( {\frac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right)\] và B(0; m + 1)

Suy ra \(OA = \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|\) và \(OB = \left| {m + 1} \right|\)

Xét tam giác AOB vuông tại O có OH ⊥ AB

Suy ra \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\)

⇔ \(\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - 4m + 5}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\)

⇔ (m + 1)² = 2(m² – 4m + 5)

⇔ m² + 2m + 1 = 2m² – 8m + 10

⇔ m² – 10m + 9 = 0

⇔ (m – 1)(m – 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 9\end{array} \right.\)

Vậy m = 1 hoặc m = 9.

a) • A ⋂ B = ∅

⇔ m < 3 – 2m

⇔ 3m < 3

⇔ m < 1

• A ⋂ B ≠ ∅

⇔ m ≥ 3 – 2m

⇔ 3m ≥ 3

⇔ m ≥ 1

• A ∪ B = ℝ

⇔ m ≥ 3 – 2m

⇔ 3m ≥ 3

⇔ m ≥ 1

b) A giao B là 1 tập hợp có 1 phần tử

⇔ m = 3 – 2m

⇔ 3m = 3

⇔ m = 1

a) Để A hợp B là một khoảng thì

Trường hợp 1: A ⊂ B, tức (m; m + 1) ⊂ (3; 5)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le m\\m + 1 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ {3;4} \right]\)

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 2: B ⊂ A, tức (3; 5) ⊂ (m; m + 1)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\5 \le m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\m \ge 4\end{array} \right.\] (loại)

Do đó không xảy ra trường hợp này.

Khi đó A ∪ B = (3; 5).

Trường hợp 3: A ∪ B = (m; 5) thì

\[\left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\m + 1 > 3\\m + 1 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 3\\m > 2\\m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 3 \Leftrightarrow m \in \left( {2;3} \right]\]

Trường hợp 4: A ∪ B = (3; m +1) thì

\[\left\{ \begin{array}{l}3 \le m\\5 > m\\5 \le m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m < 5\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < 5 \Leftrightarrow m \in \left[ {4;5} \right)\]

Vậy \[m \in \left( {2;3} \right]\] thì A ∪ B = (m; 5);

        \(m \in \left[ {3;4} \right]\) thì A ∪ B = (3; 5);

        \[m \in \left[ {4;5} \right)\] thì A ∪ B = (3; m +1).

b) A ⋂ B ≠ ∅

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 3\\m < 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < 5\end{array} \right.\)⇔ m ∈ (2; 5).

c) A ⋂ B = ∅

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 3\\m \ge 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 5\end{array} \right.\)⇔ m ∈ (– ∞; 2] ∪ [5; + ∞).

Gọi I(x; y)

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {4--x;3 - y} \right)\); \(\overrightarrow {IB} = \left( {--1--x;2--y} \right)\) và \(\overrightarrow {IC} = \left( {3--x;--2--y} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x + 2( - 1 - x) - (3 - x) = 0\\3 - y + 2(2 - y) + (2 + y) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x = 1\\ - 2y = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{9}{2}} \right)\).