Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OD} \)

Mà \(\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)

Ta có ABCD là hình chữ nhật có:

BD² = AB² + AD² = (12a)² + (5a)² = 169a²

⇒ BD = 13a \( \Rightarrow OD = \frac{{13}}{2}a\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} } \right| = \frac{{13}}{2}a\).

a) Gọi D (a ; b) là đỉnh của hình bình hành ABCD,

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {1 + 1;\,\,1 - 4} \right) = \left( {2;\,\, - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AD} = \left( {a - 2;\,\,b - 3} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a - 2}\\{ - 3 = b - 3}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

⟹ D(4; 0);

b) Ta có: \(\overrightarrow {DA} = \left( {2 - a;\,\,3 - b} \right)\).

Vì ACBD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 2 - a}\\{ - 3 = 3 - b}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 6}\end{array}} \right.\)

⇒ D (0; 6).

Ta có: sinα² = 1 – cos α²

\( \Rightarrow \sin {\alpha ^2} = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\)

Vì 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\) \( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{5}\)

Đáp án đúng là C.

a) A ∪ B ∪ C = [1; 6);

A ∩ B ∩ C = ∅;

b) A ∪ B ∪ C = (–3; 5);

A ∩ B ∩ C = ∅;

c) A ∪ B ∪ C = (–∞; 1] ∪ [3; +∞)

A ∩ B ∩ C = ∅.

a) A = (3x + 5)(2x – 1) – (1 – 4x)(3x + 2)

= 6x² – 3x + 10x – 5 – 3x – 2 + 12x² + 8x

= 18x² + 12x – 7

\(\left| x \right| = 2\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\)

• Với x = 2, ta có: A = 18.2² + 12.2 – 7 = 89.

• Với x = – 2, ta có: A = 18 (–2)² + 12. (– 2) – 7 = 41.

b) B = (2x + y)(2x – y) + xy(x – y) – xy(x + y)

= 4x² – y² + x²y – xy² – x²y – xy²

= 4x² – 2xy² – y².

Với x = 0; y = –1, ta có:

B = 4.0² – 2.0.( –1)² – (–1)² = –1.

Chiều rộng của thửa ruộng đó là:

\(60:\frac{3}{2} = 40\) (m)

Diện tích của thửa ruộng đó là:

60 × 40 = 2400 (m²)

Số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng đó là:

\(\frac{{2400}}{{100}}\,\,.\,\,50 = 1200\) (kg)

Đổi: 1200 kg = 12 tạ

Vậy Số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng đó là 12 tạ.

Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;

Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;

Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 10 có dạng: \(\overline {abcd0} \).

Ta có a ≠ 0 nên có 9 cách chọn.

Vì các chữ số khác nhau nên các số b, c, d lần lượt có số cách chọn là: 8; 7; 6

Vậy số các cố tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 là: 9.8.7.6 = 3024.

Đáp án đúng là D.

Gọi số cần tìm là x.

Ta có: 2,5x – 1,6 = 5,4

\( \Rightarrow x = \frac{{5,4 + 1,6}}{{2,5}} = 2,8\)

Vậy số cần tìm là: 2,8.

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \] (đccm)

Ta có:  A = x² − 6x + 11 = x² – 2.3x + 9 + 2 = (x – 3)² + 2

Vì (x – 3)² ≥ 0 nên (x – 3)² + 2 ≥ 2

Suy ra: A ≥ 2;

⇒ A = 2 khi và chỉ khi x – 3 = 0 ⇒ x = 3

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.

Ta có: x³ – 6x² + 12x – 8 = x³ – 3.x².2 + 3.x.2² – 2² = (x – 2)³

Đáp án đúng là D.

Ta có: Parabol y = ax² + bx + 2 với đỉnh I (2; – 2) có:

• \( - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b = - 4a\)

• \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 2 \Rightarrow \Delta = 8a\)

+) Với ∆ = b² – 4a.2 = b² – 8a

⇒ b² – 8a = 8a ⇔ b² = 16a

+) Với b = – 4a ⇒ 16a² = 16a

⇒ a = 1 ⇒ b = – 4.

Vậy parabol cần tìm là: y = x² – 4x + 2.

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên: OO’ ⊥ AB tại H

\( \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\) (cm);

Áp dụng định lý Py – ta – go trong ∆AOH có:

AO² = OH² + AH²

⇒ OH² = AO² – AH² = 15² – 12² = 81

⇒ OH = 9 cm

Trong ∆AO’H có: AO’² = O’H² + AH²

⇒ O’H² = AO’² – AH² = 13² – 12² = 25

⇒ O’H = 5 cm

Vậy OO’ = OH + O’H = 9 + 5 = 14 (cm).

Đặt phương trình dạng: f = x – y + 2z – 2

⇒ f(A) . f(B) = ( –2). 5 = −10 < 0 nên A, B nằm hai phía khác nhau so với mặt phẳng (P).

A’ là điểm đối xứng của A qua (P) có phương trinh đường thẳng AA’: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)

Gọi I là điểm đường thẳng AA’ và mặt phẳng (P) có: I (2 + t; 3 – t; 2t) ∈ (P)

⇒ t + 2 + t – 3 + 4t – 2 = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2};\,\,1} \right)\) ⇒ A’ (3; 2; 2).

\(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA - MB} \right| = A'B\)⇔ A’; B; M thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng A’B: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + a}\\{y = 2 + 3a}\\{z = 2}\end{array}} \right.\)

Mà M = A’B ∩ (P)

Vậy \(M = \left( {\frac{9}{2};\,\,\frac{{13}}{2};\,\,2} \right)\).

Ta có: Điểm A và B nằm khác phía với trục Oy

Gọi A’ điểm đối xứng với A qua trục Oy ⇒ A’ (2; –3)

\( \Rightarrow \left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B = M'A' - M'B\)

Với M’ là giao điểm của A’B với trục Oy.

Gọi đường thẳng A’B có dạng: y = ax + b

Ta có: A’ (2; 3) ∈ A’B ⇔ – 3 = 2a + b;

B’ (1; 1) ∈ A’B ⇔ 1 = a + b;

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = - 3}\\{a + b = 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 4}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

⇒ Đường thẳng A’B: y = – 4x + 5

Mà \({\left| {MA - MB} \right|_{\max }} = A'B\)⇔ M ≡ M’

Mặc khác M ∈ Oy nên khi x = 0 ⇒ y = 5 ⇒ M’≡ M = (0; 5)

Vậy \({\left| {MA - MB} \right|_{\max }} = A'B\)⇔ M = (0; 5).

Điều kiện xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\)⇔ x ≥ 0

Tập xác định: D = [0; +∞)

\(\sqrt {x + 1} + 1 = 4{x^2} + \sqrt {3x} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - \sqrt {3x} = 4{x^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {3x} } \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} } \right)}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = 4{x^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 1 - 3x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - \left( {2x - 1} \right)}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} - \left( {2x + 1} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - \left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} + 2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - 2x} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} + 2x + 1} \right) = 0\)

Với \(\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3x} }} + 2x + 1 > 0\forall x \in D\)

⇒ 1 – 2x = 0

⇔ 2x = 1

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

a) Ta có: OD = OB và D, B, C Î (O; R)

Suy ra tam giác BCD là tam giác vuông tại C

Þ \(\widehat {DCB} = 90^\circ \) hay CD ^ BC

Mặt khác OH ^ BH (giả thiết)

Þ DC // OH mà H Î OA nên DC // OA

b) Xét ∆OBH và ∆OCH có:

OH: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {OHB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \) (giả thiết)

Do đó ∆OBH = ∆OCH (cạnh huyền - cạnh góc nhọn)

\( \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {COH}\) (Hai góc tương ứng)

Xét ∆OBA và ∆OCA có:

AO: cạnh chung

BO = CO (bán kính của đường tròn tâm O)

\(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\) (cmt)

Do đó ∆ABO = ∆ACO (c.g.c)

Þ \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\) (Hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))

Nên \(\widehat {OCA} = \widehat {OBA} = 90^\circ \) và C Î AC; C Î (O; R)

Suy ra AC là tiếp tuyến của (O).

c) Ta có: \(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\;\left( {cm} \right)\) và R = 15 (cm) nên

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác OAB vuông tại B ta có:

+) \(\frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{12}^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{{{15}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{B{A^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{{400}}\)

\( \Rightarrow BA = 20\;\left( {cm} \right)\)

+) \(AB\,.\,OB = BH\,.\,OA \Leftrightarrow OA = \frac{{AB\,.\,OB}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow OA = \frac{{20\,.\,15}}{{12}} = 25\;\left( {cm} \right)\)

d₁: y = −5(x + 1);

d₂: y = mx + 3;

d₃: y = 3x + m.

Ta có để d₂ và d₃ cắt nhau thì: m ≠ 3

Để d₁ và d₂ cắt nhau thì: −5 ≠ m

Gọi A là giao điểm của d₁ và d₃

Như vậy, tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 5x - 5\\y = 3x + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + m = - 5x - 5\\y = 3x + m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - m - 5}}{8}\\y = 3\,.\,\frac{{ - m - 5}}{8} + m = \frac{{5m - 15}}{8}\end{array} \right.\)

\[ \Rightarrow A\left( {\frac{{ - m - 5}}{8};\;\frac{{5m - 15}}{8}} \right)\]

Để d₁, d₂, d₃ đồng quy thì A Î d₂ nên tọa độ của điểm A thỏa mãn phương trình đường thẳng d₂

\( \Rightarrow \frac{{5m - 15}}{8} = m\,.\,\frac{{ - m - 5}}{8} + 3\)

\( \Leftrightarrow 5m - 15 = m\left( { - m - 5} \right) + 24\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 39 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\;\;\;\;\;\;\;\left( {KTM} \right)\\m = - 13\;\;\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy m = − 13.

Giao điểm của hai đường thẳng y = 2x và y = −x + 3 là:

2x = −x + 3

Û 3x = 3

Û x = 1

Þ y = 2

Do đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đầu là A(1; 2).

Vì 3 đường thẳng đồng quy suy ra y = mx + 5 đi qua điểm A(1; 2)

Þ 2 = m + 5 Û m = −3.

Vậy m = −3.

Ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = 4\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ac}}} \right) = 4\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{c}{{abc}} + \frac{a}{{abc}} + \frac{b}{{abc}}} \right) = 4\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\frac{{a + b + c}}{{abc}} = 4\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\frac{{abc}}{{abc}} = 4\) (vì a + b + c = abc)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 2\) (đpcm)

a) Ta có: xⁿyⁿ⁺¹ ⋮ x²y⁵

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \ge 2}\\{n + 1 \ge 5}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \ge 2}\\{n \ge 4}\end{array}} \right.\)⇔n ≥ 4

b) Ta có: (13x⁴y³ – 5x³y³ + 6x²y²) ⋮ 5xⁿyⁿ

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{13{x^4}{y^3} \vdots 5{x^n}{y^n}}\\{5{x^3}{y^3} \vdots 5{x^n}{y^n}}\\{6{x^2}{y^2} \vdots 5{x^n}{y^n}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{n \le 4}\\{n \le 3}\\{n \le 2}\end{array}} \right.\)⇔n ≤ 2

a) Hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

Bảng giá trị:

Đồ thị (P) của hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\)

b) Điểm cách đều hai trục tọa độ nằm trên đường thẳng: y = x hoặc y = – x.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P)\(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng y = x:

\(\frac{1}{2}{x^2} = x\)⟺ x² – 2x = 0 ⇔ x(x – 2) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

• Với x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ điểm O (0; 0)

• Với x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ điểm A (2; 2)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P)\(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng y = − x:

\(\frac{1}{2}{x^2} = - x\)⟺ x² + 2x = 0 ⇔ x(x + 2) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\)

Với x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ điểm O (0; 0)

Với x = −2 ⇒ y = 2 ⇒ điểm B (−2; 2)

Vậy có hai đểm A (2; 2) và B (−2; 2) trên (P) cách đều hai trục tọa độ.

c) Gọi điểm\(M\left( {{x_0};\,\,\frac{9}{2}} \right)\)∈ (P)

\( \Rightarrow \frac{9}{2} = \frac{1}{2}{\left( {{x_0}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x_0}} \right)^2} = 9\)\[ \Leftrightarrow {x_0} = \left| 3 \right| \Rightarrow {x_0} = \pm 3\] ;

Vậy \({M_1}\left( {3;\,\,\frac{9}{2}} \right)\); \({M_2}\left( { - 3;\,\,\frac{9}{2}} \right) \in \left( P \right)\) .

a) Đồ thị hàm số y = 2x + 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là \( - \frac{3}{2}\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

Vậy đồ thị trên đi qua hai điểm \(\left( { - \frac{3}{2};\;0} \right)\) và \(\left( {0;\;3} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{2}x - 2\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là −4 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là −2.

Vậy đồ thị trên đi qua hai điểm \(\left( { - 4;\;0} \right)\) và \(\left( {0;\; - 2} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số của hai đường thẳng trên:

b) C là giao điểm của hai đường thẳng trên nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình:

\(2x + 3 = \frac{{ - 1}}{2}x - 2 \Leftrightarrow x = - 2\)

Þ y = −1.

Vậy C(−2; −1).

c) Ta có A(0; 3) và B(0; −2)

• \(AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \);

• \(BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Vì \(2\,\,.\,\,\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Vậy diện tích tam giác ABC vuông tại C là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BC = \frac{1}{2}\,\,.\,\,2\sqrt 5 \,\,.\,\,\sqrt 5 = 5\).

a) Đồ thị hàm số y = 2x − 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là \(\frac{3}{2}\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là −3.

Vậy đồ thị trên đi qua hai điểm \(\left( {\frac{3}{2};\;0} \right)\) và \(\left( {0;\; - 3} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{2}x + 2\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 4 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.

Vậy đồ thị trên đi qua hai điểm (4; 0) và (0; 2).

Ta có đồ thị hàm số của hai đường thẳng trên:

b) C là giao điểm của hai đường thẳng trên nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình:

\(2x - 3 = \frac{{ - 1}}{2}x + 2 \Leftrightarrow x = 2\)

Þ y = 1

Vậy C(2; 1)

c) Ta có A(0; −3) và B(0; 2)

\(AC = \sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)

\(BC = \sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)

Vì \(2\,.\,\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Vậy diện tích tam giác ABC vuông tại C là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BC = \frac{1}{2}\,.\,2\sqrt 5 \,.\,\sqrt 5 = 5\)

+) Ta có đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {\frac{3}{2};\; - \frac{1}{4}} \right)\)

+) Với x = 0 Þ y = 2

+) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số trên và trục Ox là nghiệm của phương trình:

x² − 3x + 2 = 0

Û (x − 1)(x − 2) = 0

Vậy x = 1 và x = 2

Suy ra y = x² − 3x + 2 cắt trục hoành tại hai điểm A(2; 0) và B(1; 0)

y = x² − 3x + 2 nhận \(x = \frac{3}{2}\) là trục đối xứng

Đồ thị y = −2x² + 2x + 3

+) Có đỉnh là điểm \(I\left( {\frac{1}{2};\;\frac{7}{2}} \right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\)

+) a = −2 < 0 nên đồ thị quay bề lõm xuống dưới

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;3); B(1;3)

Ta có parabol y = ax² + bx + c đi qua điểm A (8; 0)

⇒ 0 = a.8² + b.8 + c ⇒ 64a + 8b + c = 0 (1).

Mà parabol y = ax² + bx + c có đỉnh là I (6 ; –12):

\(\frac{{ - b}}{{2a}} = 6\)\( \Rightarrow b = - 12a\)(2)

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 12\)⇒∆ = 48a ⇒ b² – 4ac = 48a (3)

Từ (1), (2) và (3)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{64a + 8b + c = 0}\\{b = - 12a}\\{{b^2} - 4ac = 48a}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = - 36}\\{c = 96}\end{array}} \right.\)

Vậy a = 3; b = – 36 ; c = 96 và parabol y = 3x² – 36x + 96.

a) +) Lấy hai điểm thuộc d₁.

• x = 1 Þ y = 2 nên ta có điểm A(1; 2).

• x = 2 Þ y = 1 nên ta có điểm B(2; 1).

+) Lấy hai điểm thuộc d₂.

• x = 1 Þ y = 2 nên ta có điểm A(1; 2).

• x = 0 Þ y = −1 nên ta có điểm C(0; −1).

b) Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}y = - x + 3\\y = 3x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\3x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\;2} \right)\]

c) Ta có: \[\tan {\alpha _1} = {a_1} = - 1 \Rightarrow - {\alpha _1} = 45^\circ \].

Và \(\tan {\alpha _2} = {a_2} = 3 \Rightarrow {\alpha _2} \approx 71,565^\circ \).

Vậy \[\alpha = 180^\circ - 45^\circ - 71,565^\circ \approx 63^\circ \].

d) Khoảng cách từ O đến d₁ là:

\({d_{O/{d_1}}} = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Khoảng cách từ O đến d₂ là:

\({d_{O/{d_2}}} = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).

Theo hình vẽ ta có:

Khi x = − 2 thì y = 2

Ta có: y = a (−2)² = 2 ⇒ 4a = 2 \( \Rightarrow a = \frac{1}{2}\)

⇒ Parabol có dạng: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\)

⇒ Hoành độ các điểm có tung độ y = 8 thỏa mãn phương trình: \(y = \frac{1}{2}{x^2}\)\( \Leftrightarrow 8 = \frac{1}{2}{x^2}\)

⇔ x² = 16 ⇔ x = 4 hoặc x = − 4.

Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 8 là (4; 8) và (−4; 8).

Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{3}{{\sin x}}\):

sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ / {kπ, k ∈ ℤ}.

Đáp án đúng là D.

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{2}{x^2} = mx - \frac{1}{2}{m^2} + m + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0\)

\(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 2m + 2} \right) = 2m + 2\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta ^\prime } > 0 \Leftrightarrow 2m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)

Theo Viét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m - 2\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

|x₁ − x₂| = 2

\( \Leftrightarrow {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\)

\( \Rightarrow 4{m^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow 2m + 2 = 1\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m = \frac{{ - 1}}{2}\) là giá trị của m thỏa mãn.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{1}{2}{x^2} = mx + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 2mx + 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0\)

\(\Delta ' = {m^2} + 4 > 0,\;\forall m\)

Suy ra đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

b) Theo Viét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.\)

Ta có: \[\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3\]

\( \Leftrightarrow \frac{{4{m^2} + 8}}{{ - 4}} = - 3\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)

Vậy m = ±1 là các giá trị của m thỏa mãn.

Ta có \(\left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)⇒ AM = BC

Mặc khác ba điểm A; B; C cố định

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn, bán hính BC.

Đáp án đúng là C.

a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2) nên suy ra

2 = (3m – 2) + m – 2

Û 4m − 6 = 0

\( \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\)

Vậy với \(m = \frac{3}{2}\) ta có đường thẳng \(\left( d \right):\;y = \frac{9}{2}x - \frac{1}{2}\)

+) Với x = 0 Þ \(y = - \frac{1}{2}\)

+) Với \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{7}{4}\)

Ta có đồ thị hàm số của đường thẳng \(\left( d \right):\;y = \frac{9}{2}x - \frac{1}{2}\)

b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại \(A\left( {\frac{{2 - m}}{{3m - 2}};\;0} \right)\), Oy tại \(B\left( {0;\;m - 2} \right)\)

Khi đó diện tích tam giác OAB là:

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA\,.\,OB = \frac{1}{2}\,.\,\left| {\frac{{2 - m}}{{3m - 2}}} \right|\,.\,\left| {m - 2} \right|\)

Theo bài ra ta có:

\(\frac{1}{2}\,.\,\left| {\frac{{2 - m}}{{3m - 2}}} \right|\,.\,\left| {m - 2} \right| = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {\frac{{2 - m}}{{3m - 2}}} \right|\,.\,\left| {m - 2} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = \left| {3m - 2} \right|\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 = 3m - 2\\{m^2} - 4m + 4 = 2 - 3m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 6 = 0\\{m^2} - m + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 6\end{array} \right.\\VN\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 6\end{array} \right.\)

Vậy m = 1 và m = 6 là các giá trị của m thỏa mãn.

a) Gọi M(x; y) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua

Ta có M(x; y) thuộc (d) nên

y = (3m − 2)x + m − 2

Û 3mx − 2x + m − 2 − y = 0

Û m(3x + 1) − (2x + y + 2) = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 1 = 0\\2x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {\frac{{ - 1}}{3};\;\frac{2}{3}} \right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi giá trị của m.

b) (d): y = (3m − 2)x + m − 2

Û (3m − 2)x − y + m − 2 = 0

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là:

\(d = \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3m - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt {9{m^2} - 12m + 5} }}\)

Vậy để d lớn nhất thì m = 1 và khi đó \(d = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có:

+) \(\frac{{{x^2} + 3xy}}{{{x^2} - 9{y^2}}} + \frac{{2{x^2} - 5xy - 3{y^2}}}{{6xy - {x^2} - 9{y^2}}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + 3y} \right)}}{{\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)}} - \frac{{2{x^2} - 6xy + xy - 3{y^2}}}{{{{\left( {x - 3y} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{x}{{x - 3y}} - \frac{{2x\left( {x - 3y} \right) + y\left( {x - 3y} \right)}}{{{{\left( {x - 3y} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{x}{{x - 3y}} - \frac{{\left( {2x + y} \right)\left( {x - 3y} \right)}}{{{{\left( {x - 3y} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{x}{{x - 3y}} - \frac{{2x + y}}{{x - 3y}}\)

\( = \frac{{ - x - y}}{{x - 3y}}\)

\( = \frac{{x + y}}{{3y - x}}\) (1)

+) \(\frac{{{x^2} + xz + xy + yz}}{{3yz - {x^2} - xz + 3xy}}\)

\( = \frac{{x\left( {x + z} \right) + y\left( {x + z} \right)}}{{3y\left( {z + x} \right) - x\left( {x + z} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + z} \right)\left( {3y - x} \right)}}\)

\( = \frac{{x + y}}{{3y - x}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{x^2} + 3xy}}{{{x^2} - 9{y^2}}} + \frac{{2{x^2} - 5xy - 3{y^2}}}{{6xy - {x^2} - 9{y^2}}} = \frac{{{x^2} + xz + xy + yz}}{{3yz - {x^2} - xz + 3xy}}\)

\(\frac{{{x^2} - 6xy + 9{y^2}}}{{3y - x}} = \frac{{{{\left( {x - 3y} \right)}^2}}}{{3y - x}}\)

\( = \frac{{{{\left( {3y - x} \right)}^2}}}{{3y - x}} = 3y - x\).

Vì một con xúc xắc có 6 mặt và khi gieo hai lần thì số phần tử của không gian mẫu là \(\left| \Omega \right| = \left| {6.6} \right| = 36\);

Gọi A là biến cố để tổng số chấm hai mặt xuất hiện bằng 8;

Các kết quả của biến cố A là: A = {(2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)}

Số các kết quả của biến cố A là: 5;

Xác suất để tổng số chấm hai mặt xuất hiện bằng 8 là: \(P(A) = \frac{5}{{36}}\);

b) Gọi B là biến cố: “Tích số chấm hai mặt xuất hiện là số lẻ ”

Tích số chấm hai mặt xuất hiện là số lẻ khi ở cả hai lần gieo đểu xuất hiện số lẻ nên có 3.3 = 9 cách gieo

Xác suất của tích số chấm hai mặt xuất hiện số lẻ là: \(P(B) = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}\).

Vì một con xúc xắc có 6 mặt và khi gieo hai lần thì số phần tử của không gian mẫu là \(\left| \Omega \right| = \left| {6\,.\,6} \right| = 36\).

Gọi A là biến cố để tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.

Trường hợp 1: 

Ở lần gieo thứ nhất số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì trong lần gieo thứ 2 số chấm xuất hiện phải là số chẵn nên có 3 . 3 = 9 (cách gieo).

Trường hợp 2:

Lần gieo thứ nhất số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ  hoặc số chẵn.

 Khi đó có 3 . 3 + 3 . 3 = 18 (cách gieo).

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(\left| \Omega \right| = 9 + 18 = 27\)

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{27}}{{36}} = 0,75\).

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số f(x) = 3x² – x + 4 vô nghiệm ∀ x ∈ ℝ .

Hệ số a của tam thức f(x): 3 > 0;

Suy ra, f(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: S = ℝ.

Xét hàm số f(x) = –3x² + x + 4 có nghiệm x₁ = – 1; \({x_2} = \frac{4}{3}\).

Hệ số a của tam thức f(x): – 3 < 0.

Suy ra, f(x) ≥ 0 \( \Leftrightarrow - 1 \le x \le \frac{4}{3}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình: \(S = \left[ { - 1\,;\,\,\frac{4}{3}} \right]\).

a) Ta có: x = 2 thì y = – 2

⇒ f(2) = – 2

⇒ a.2² = – 2

⇔ 4a = – 2

\( \Leftrightarrow a = \frac{{ - 2}}{4} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\).

b) Hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\)

Bảng giá trị:

Đồ thị (P) của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\)

a) Ta có: f(3) = 16

⇒ a.3² – 2 = 16 ⇔ 9a = 18

⇔ a = 2

Vậy hàm số y = f(x) = 2x² – 2 

b) Ta có f(x) = 2x² – 2 ;

f(2) = 2.2² – 2 = 8 – 2 = 6;

f(– 2) = 2.( –2)² – 2 = 8 – 2 = 6;

f(1) = 2.1² – 2 = 2 – 2 = 0;

f(0) = 2.0² – 2 = 0 – 2 = – 2;

f(–1) = 2.( –1)² – 2 = 2 – 2 = 0.

a) Ta có:

\(\sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)\)

= cosα + sin α        (1)

\(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\[ = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)

= sin α + cosα       (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) (đccm);

b) Ta có: \(\sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\)

= cosα – sin α (3)

\( - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\[ = - \sqrt 2 \left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

\( = - \sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)\)

= – (sin α – cosα) = cosα – sin α (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\) (đpcm).

Ta có:

x + 456,95 × 8 = 5248

x + 3655.6 = 5248

x = 5248 – 3655,6

x = 1529,4

Vậy x = 1529,4.