Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IJ} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} } \right) + \left( {\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {JC} } \right) = 2\overrightarrow {IJ} \).

cos3x + cosx – cos2x = 0 \( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{2\cos 2x - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos3x.cosx = cos2x \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 1 - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 1}\\{\cos 2x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với cos2x = 1 \( \Rightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với cos2x = \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos3x.cosx = cos2x \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 1 - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 1}\\{\cos 2x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với cos2x = 1 \( \Rightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với cos2x = \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: \({\left( {a - b - c} \right)^3}\)

\[ = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^3}\]

\( = {\left( {a - b} \right)^3} - 3{\left( {a - b} \right)^2}c + 3\left( {a - b} \right){c^2} - {c^3}\)

\( = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} - 3c\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 3a{c^2} - 3b{c^2} - {c^3}\)

\( = {a^3} - {b^3} - {c^3} - 3ab\left( {a - b} \right) - 3ac\left( {a - c} \right) - 3bc\left( {b + c} \right) + 6abc\).

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{x^2} + xy} \right)}^2} = 2x + 9}\\{xy = 3x + 3 - \frac{{{x^2}}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 3 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)^2} = 2x + 9\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 12{x^3} + 48{x^2} + 64x = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 4} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\)

+) x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình.

+) x = –4 \( \Rightarrow y = \frac{{17}}{4}\)

Nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 4;\frac{{17}}{4}} \right)\).

Giả sử hình vuông ABCD độ dài cạnh 2, đường chéo AC chia hình vuông thành 2 tam giác ABC và ACD. Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ABC:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)

Hay \(A{C^2} = {2^2} + {a^2} = {2.2^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Vậy đường chéo hình vuông có độ dài cạnh a là 2\(\sqrt 2 \).

Gọi x là phần tử bất kì thuộc tập A

\(x \in A \Rightarrow x \in A \cup B.\) Mà \(A \cup B = A \cap B\) nên x \( \in A \cap B \Rightarrow x \in B\)

A là tập con của B(1)

Gọi y là phần tử bất kì thuộc tập B.

\( \Rightarrow y \in A \cup B.\) Mà \(A \cup B = A \cap B\) nên y \( \in A \cap B \Rightarrow y \in A\)

\( \Rightarrow B\) là tập con của A(2)

Từ (1) và (2) ⇒ A = B (đpcm).

Ta có tập A ∪ B là tập các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B nên A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; tràm; tím}.

Tâp hợp \(A \cap B\) là tập các phần tử vừa thuộc tập A vừa thuộc B nên \(A \cap B = \){lục; lam}.

Vậy A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; tràm; tím} và A ∩ B = {lục; lam}.

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a\)

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AM} \) (ABA’C là hình bình hành, M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của AA’)

\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - m = 2 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = m + 2\)

PT trên có nghiệm \( \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m + 2 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1\).

Đặt t = sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vì \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Ta có \({t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

\(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 5\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Với t = 1, ta được sinx + cosx = 1 \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Chiều rộng cánh đồng là: \(1200.\frac{3}{5} = 720\left( m \right)\)

Diện tích cánh đồng là: 1200 x 720 = 864000 \(\left( {{m^2}} \right)\)

\(864000{m^2} = 86,4ha\)

Cánh đồng lúa thu hoạch được là: 86,4 × 5 = 432 (tấn).

a. ĐK: x ≠ 2; x ≠ 3; x ≥ 0

\(A = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }} = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\)

\(A = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {x - 9} \right) + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

\(A = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\).

b. ĐK: x ≥ 0

A < 1 \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 3}} < 0\)

Do –2 < 0

Để \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x + 3 > 0\) (luôn đúng do x ≥ 0)

⇒ ∀x ∈ ℝ thì A < 1.

Ta có: \({x^2} - 6x - 7 = {x^2} + x - 7x - 7 = x\left( {x + 1} \right) - 7\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 7} \right)\).

Đặt f(x) = \({x^3} - 2x - 1\)

Ta có: f(0) = –1, f(2) = 3

Do f(0).f(2) < 0 nên tồn tại a ∈ (0, 2) sao cho f(a) = 0.

Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Áp dụng công thức \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) vào tam giác đã cho ta được \(AB = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).

Vậy độ dài của cạnh cần tìm là \(\sqrt {13} \).

y = 6sin2x – 8cos2x – 2 \( = 10\left( {\frac{3}{5}\sin 2x - \frac{4}{5}\cos 2x} \right) - 2\)

Đặt \(\cos \alpha = \frac{3}{5};\sin \alpha = \frac{4}{5}\)

Khi đó

y = 10(cosα sin2x – sinα cos2x) – 2 = 10sin(2x – α) – 2

Ta có: –1 ≤ sin(2x – α) ≤ 1 \( \Leftrightarrow - 10 \le 10\sin \left( {2x - \alpha } \right) \le 10 \Leftrightarrow - 12 \le y \le 8\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\)

\[Ma{x_y} = 8\] khi sin(2x – α) = 1

\( \Leftrightarrow 2x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{\alpha }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\({\cos ^2}2x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = \frac{1}{2}}\\{\cos 2x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \pm k2\pi }\\{2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi }\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm \(\left\{ {\frac{{ \pm \pi }}{3} + k\pi ;\frac{{ \pm \pi }}{6} + k\pi } \right\}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos2x – 3cosx + 2 = 0 \( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 3\cos x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1}\\{\cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k2\pi }\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ; \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

\({\cos ^2}x + 3\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos = - 1\) hay cosx = –2 (VN)

\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = \(\pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

cos4x + cos2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 1 + \cos 2x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x + \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0\left( 1 \right)}\\{2\cos 2x + 1 = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

1 + cos4x = cos2x \( \Leftrightarrow 1 + 2{\cos ^2}2x - 1 = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{\cos 2x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

tanx = cotx \( \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{{\tan x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = 1}\\{\tan x = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right. \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

TH1: Nếu cosx = 0 là nghiệm của phương trình đã cho: cosx = 0 \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\) không thỏa mãn phương trình.

TH2: cosx ≠ 0, chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(2{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = - 1}\\{\tan x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(2{\sin ^2}x - \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2 \Leftrightarrow 1 - \cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\)

\( \Leftrightarrow 2 - 2\cos 2x - \sin 2x - 1 - \cos 2x = 4 \Leftrightarrow - 3\cos 2x - \sin 2x = 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt {10} }}\cos 2x - \frac{1}{{\sqrt {10} }}\sin 2x = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)

Đặt \(\cos a = - \frac{3}{{\sqrt {10} }},\sin a = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {a + 2x} \right) = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow a + 2x = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Hoặc a + 2x = –arc\(\cos \frac{3}{{\sqrt {10} }} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Rightarrow x = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }} + k\pi - \frac{a}{2}\) hoặc 2x = –arc\(\cos \frac{3}{{2\sqrt {10} }} + k\pi - \frac{a}{2}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Gọi số đó là abc

Ta có: abc5 = abc + 2444

⟺ 10(100a + 10b + c) + 5 = 100a + 10b + c + 2444

⟺ 9(100a + 10b + c) = 2439

⟺ 100a + 10b + c = 271 ⟺ abc = 271.

PT \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) = 7\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} = 7 \Leftrightarrow \left( {x + y + 3} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 7\)

Mặt khác, x, y > 0 ⇒ x + y + 3 > x – y – 1 và x + y +3 > 0

Nên ta có cặp nghiệm duy nhất sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 3 = 7}\\{x - y - 1 = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{x - y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

sinx = cos3x \( \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \) hoặc \(3x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) hoặc \(2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\) hoặc \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Hai tia đối nhau là hai tia có chung gốc tạo thành một đường thẳng nhất định.

⇒ Tia đối của tia NM là tia có chung gốc N với tia NM và tạo thành một đường thẳng.

⇒ Tia NP là tia đối của tia NM.

\(\begin{array}{l}{n^4} - 14{n^3} + 71{n^2} - 154n + 120\\ = \left( {{n^4} - 14{n^3} + 49{n^2}} \right) + 22{n^2} - 154n + 120\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {n^2}\left( {{n^2} - 14n + 49} \right) + 22n\left( {{n^2} - 7} \right) + 120\\ = {\left( {n\left( {n - 7} \right)} \right)^2} + 10n\left( {n - 7} \right) + 12n\left( {n - 7} \right) + 10.12\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = n\left( {n - 7} \right)\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right] + 12\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right]\\ = \left[ {n\left( {n - 7} \right) + 10} \right].\left[ {n\left( {n - 7} \right) + 12} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{n^2} - 7n + 10} \right)\left( {{n^2} - 7n + 12} \right)\\ = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\\ = \left( {n - 5} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\end{array}\)

Đặt \(B = \left( {n - 5} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\).

Ta có B là tích của 4 số tự nhiên liên tiế .

Trong 4 số liên tiếp luôn có 2 số chẵn, một số chia cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Ngoài ra có ít nhất 1 số chia hết cho 3.

Vì vậy B luôn chia hết cho 4.3.2 = 24.

\(2{x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x + \frac{1}{4} - \frac{7}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}}\\{x - \frac{1}{2} = - \frac{{\sqrt 7 }}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{\sqrt 7 + 1}}{2}}\\{x = - \frac{{\sqrt 7 - 1}}{2}}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(4{a^2}{b^2} - {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)^2} = \left( {2ab + {a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {2ab - {a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\)

\( = \left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}} \right)\left( {{c^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right)\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {c - a + b} \right)\).

\(A = 4{a^2}{b^2} - {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)^2} = \left( {2ab - {a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\left( {2ab + {a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \left[ {{c^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}} \right]\\ = \left( {c - a + b} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\end{array}\)

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác thì ta có:

b + c – a > 0, a + c – b > 0, a + b – c > 0

Lại có: a + b + c > 0

Vậy A > 0.                                                                                       

\(\begin{array}{l}{a^2} + 5{b^2} - 4ab + 2a - 6b + 3\\ = {a^2} - 4ab + 4{b^2} + 2a - 4b + 1 + {b^2} - 2b + 1 + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {a - 2b} \right)^2} + 2\left( {a - 2b} \right) + 1 + {\left( {b - 1} \right)^2} + 1\\ = {\left( {a - 2b + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + 1 > 0\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số không âm ta có:

\(\frac{{4a + 1 + 1}}{2} \ge \sqrt {4a + 1} \Leftrightarrow \frac{{4a + 2}}{2} \ge \sqrt {4a + 1} \Leftrightarrow 2a + 1 \ge \sqrt {4a + 1} \)

Mà a > 0 nên \(2a + 1 > \sqrt {4a + 1} \)

Tương tự với \(\sqrt {4b + 1} \) và \(\sqrt {4c + 1} \) ta có:

\(2b + 1 > \sqrt {4b + 1} ;2c + 1 > \sqrt {4c + 1} \)

\( \Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1} < 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1\)

\( = 2\left( {a + b + c} \right) + 3 = 2.1 + 3 = 5\).

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\)

\(\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{a}{b} = \frac{5}{4}\), b = 8

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\(\frac{{\sin A}}{{\sin C}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{3}\), c = 6

Chu vi là: 8 + 6 + 10 = 24.

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}\)

Theo bài ta có: \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{3} \Rightarrow \frac{{\frac{a}{{2R}}}}{1} = \frac{{\frac{b}{{2R}}}}{2} = \frac{{\frac{c}{{2R}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{{\sqrt 3 }}\)

Đặt \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{{\sqrt 3 }} = t\)

\( \Rightarrow a = t;b = 2t;c = t\sqrt 3 \Rightarrow {a^2} = {t^2};b = 4{t^2};c = 3{t^2}\)

Ta thấy: \({a^2} + {c^2} = {b^2} = 4{t^2}\)

Theo định lí Pytago đảo ta có ∆ABC vuông tại B.

\( \Rightarrow \sin B = 1 \Rightarrow \frac{{\sin A}}{1} = \frac{1}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow \sin A = \frac{1}{2}\) và \(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \sin A = \frac{1}{2}\) và \(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat A = 30^\circ \) và \(\widehat C = 60^\circ \)

Vậy \(\widehat A = 30^\circ ;\widehat B = 90^\circ ;\widehat C = 60^\circ \).

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {c^2}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng) ⇒ đpcm

PT \( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến

\( \Leftrightarrow a > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.\)

Mà m ∈ Z mà m \( \in \left[ { - 2017;2017} \right]\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2017; - 2016; - 2015;...; - 3} \right\} \cup \left\{ {3;4;5;...2017} \right\}\)

Vậy có 2.(2017 – 3 + 1) = 2.2015 = 4030 giá trị nguyên của m cần tìm.

Gọi số có 6 chữ số đó là \({a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}\)

TH1: \({a_6} \in \left\{ {1;3;5} \right\} \Rightarrow \)3 cách chọn

Mà \(1 \le {a_1} \le 5 \Rightarrow {a_1}\) có 4 cách chọn

Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số gắn vào 4 vị trí còn lại là \(A_8^4\)

⇒ Số cách chọn trong TH1 là 3.4. \(A_8^4\)

TH2: \({a_6} \in \left\{ {7;9} \right\} \Rightarrow {a_6}\) có 2 cách chọn

\(1 \le {a_1} \le 5 \Rightarrow {a_1}\) có 5 cách chọn

Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số gắn vào 4 vị trí còn lại là \(A_8^4\)

⇒ Số cách chọn trong Th2 là 2.5.\(A_8^4\).

a. Độ dài \(AB = 2\sqrt {{{15}^2} - {{13}^2}} = 4\sqrt {14} \approx 14,97\)

b. Chu vi ∆CAB = 15 x 2 + \(4\sqrt {14} = 30 + 4\sqrt {14} \)

Diện tích xung quanh là: \(\left( {30 + 4\sqrt {14} } \right)x22 = 660 + 88\sqrt {14} \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích 2 đáy là: \(13x\sqrt {14} :2 = 26\sqrt {14} \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích sơn là: \(660 + 88\sqrt {14} + 26\sqrt {14} = 660 + 114\sqrt {14} \approx 1086,55\left( {c{m^2}} \right)\).

\(B = \frac{{{u_0}I}}{{4\pi R}}\) (cosĐ\(_1\)– cosĐ\(_2\))

\({B_1} = {B_3} = \frac{{u.I}}{{4\pi .\frac{{AB}}{2}}}.2\)cosĐ\(_1 = \frac{{{u_0}.I}}{\pi }.\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\({B_2} = {B_4} = \frac{{{u_0}I}}{{4\pi R}}.2\)cosĐ\(_1 = \frac{{{u_0}I}}{{\pi a}}.\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Rightarrow B = {B_1} + {B_2} + {B_3} + {B_4}\)

\(B = 2\left( {\frac{{{u_0}I}}{{\pi b}}.\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{{u_0}I.b}}{{\pi a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right) = \frac{{2{u_0}I}}{{\pi \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)\)

\(B = \frac{{2{u_0}I}}{\pi }.\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{ab}} = 4\frac{{{u_0}}}{{2\pi }}I.\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{ab}}\).

Tóm tắt:

9 ngày : 25 người

5 ngày : .... người

Để sửa xong quãng đường đó trong 1 ngày thì cần số người là:

            25 x 9 =  225 (người)

Muốn làm xong công đó trong 5 ngày thì cần số người là:

           225 : 5 = 45 (người).

\({x^2} - 4{y^2} - x - 2y = \left( {x - 2y} \right) + \left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\)

\( = \left( {x - 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y + 1} \right)\).

\({x^3} + 2{x^2} - 2{y^2} + {y^3} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\)

\( = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 2\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2x - 2y} \right)\).

\(VT = {\left( {{{\sin }^4}x + 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = VP\) ⇒ đpcm

\({\left( {1 - 2x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {.1^{8 - k}}{\left( { - 2} \right)^k}.{x^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 2} \right)^k}{x^k}\)

Hệ số của \({x^2}\) ứng với k ⇒ k = 2

Vậy hệ số \({x^2}\) là \(C_8^2.\left( { - 2} \right) = C_8^2{.2^2}\).

Tổng 2 số là: 138 x 2 = 276

Số lẻ nhỏ nhất có 3 chữ số là 101

Số thứ hai là: 276 – 101 = 175.

\(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - 2\pi } \right) = \sin x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - 2x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - 2x = \pm \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x = \frac{{2\pi }}{9} + 2k\frac{\pi }{3}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};2\pi } \right)\)

Nên (1) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < - \frac{1}{3} + 2k < 2 \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} < k < \frac{7}{6} \Rightarrow k = \left\{ 1 \right\}\), do k nguyên.

(2) \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{9} + \frac{{2k}}{3} < 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{3} + 2k < 6\]

\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} < k < \frac{8}{3} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\), do k nguyên.

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

PT \( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\sin x = m - 2\left( * \right)\)

+) m = –1, (*) ⟺ 0.sinx = –3, PT vô nghiệm

+) m ≠ –1, (*) ⟺ \(\sin x = \frac{{m - 2}}{{m + 1}}\)

PT có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le \frac{{m - 2}}{{m + 1}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 2}}{{m + 1}} + 1 \ge 0 \ge \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2m - 1}}{{m + 1}} \ge 0 \ge \frac{{ - 3}}{{m + 1}} \Leftrightarrow m + 1 > 0\) và 2m – 1 ≥ 0

\( \Leftrightarrow m > - 1\) và m ≥ \(\frac{1}{2} \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}\).

Gọi M(x; y) là giao điểm của đường thẳng (d) và trục hoành.

Khi đó; tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5y + 6}\\{y = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 6}\\{y = 0}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm M(–6; 0).

Ta có \({x^2} - 8x + 16 = {\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow BPT\) \({x^2} - 8x + 16 < 0\) vô nghiệm.

Dãy tổng trên có số số hạng là:

(99 – 1 ) : 1 + 1 = 99 (số hạng)

Tổng của dãy tổng trên là:

(99 + 1) x 99 : 2 = 4950

Vậy 1 + 2 + 3 + ............ + 99 = 4950.

Ta có: \({d_1}\) đi qua A(–4; 0) và B(0; 2)

\( \Rightarrow {d_1}:\frac{{x + 4}}{4} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow 2x + 8 - 4y = 0\)

Hay \({d_1}:x - 2y + 4 = 0\)

Gọi \(d' = {T_{\overrightarrow v }}{d_1} \Rightarrow d':x - 2y + m = 0\)

Gọi \(A' = {T_{\overrightarrow v }}(A)\). Do A ∈ \({d_1}\) ⇒ A’(–4; 3)

\( \Rightarrow A' \in d' \Rightarrow m = 10\)

\( \Rightarrow d':x - 2y + 10 = 0\).

\(y' = \frac{{{x^2} - 2mx + 2}}{{x - m}},y'' = \frac{{2\left( {2 - {m^2}} \right)x + 2{m^3} + 4m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^4}}}\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì: \(y'\left( 2 \right) = \frac{{{2^2} - 2.2.m + 2{m^2} - 2}}{{{{\left( {2 - m} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

Với m = 1 và x = 2 thay vào \(y''\) ta được:

\(y''\left( 2 \right) = \frac{{2\left( {2 - 1} \right).2 + {{2.1}^3} + 4.1}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^4}}} = \frac{{4 + 2 + 4}}{{{1^4}}} = 10 > 0\)

Với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

PT \( \Leftrightarrow \cos x + {\sin ^2}x\cos x + \sin x + {\cos ^2}x.\sin x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right) + {\sin ^2}x.\cos x + {\cos ^2}x.\sin x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\)

Đặt t = sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{1}{2}\)

⇒ Ta có: \(t + \left( {\frac{{{t^2}}}{2} - \frac{1}{2}} \right).t = {t^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^3} - {t^2} + \frac{1}{2}t = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc t = 1

\(t = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) hoặc \(x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = k2\pi \) hoặc \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\)

Vậy S = \[\left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ; - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Ta có: \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\). (đpcm)

Ta có: 0 < x < \(\frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0}\\{\cos x > 0}\end{array}} \right.\)

+) \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\frac{2}{{\sqrt 5 }}^2} + {\sin ^2}x = 1\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {TM} \right)}\\{\sin x = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( L \right)}\end{array}} \right.\)

\( + )1 + {\cos ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x = \frac{1}{2}(TM)}\\{{\mathop{\rm t}\nolimits} = - \frac{1}{2}(L)}\end{array}} \right.\).

cosx \( \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 2\cos x \in \left[ { - 2;2} \right]\).

\( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos x \le 2 \Leftrightarrow - 2 + \sqrt 2 \le 2\cos x + \sqrt 2 \le 2 + \sqrt 2 \)

Vậy GTLN là 2 + \(\sqrt 2 \), GTNN là –2 + \(\sqrt 2 \).

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow A{G^2} = \frac{1}{9}\left( {A{B^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{C^2}} \right) = \frac{1}{9}\left( {{b^2} + {c^2}2bc.\cos A} \right)\)

\( = \frac{1}{9}\left( {{b^2} + {c^2} + 2bc.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right) = \frac{1}{9}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right)\)

Tương tự ta có: \(G{B^2} = \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}} \right);G{C^2} = \frac{1}{9}\left( {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \right)\)

\( \Rightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Đồ thị hàm số y = cos\(\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\) được suy từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến sang phải \(\frac{\pi }{2}\) đơn vị.

\(\begin{array}{l}\cot x = \tan \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \tan \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} - x = \frac{x}{2} - \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \pi + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm âm lớn nhất \( \Leftrightarrow k = - 2 \Rightarrow x = - \frac{{2\pi }}{3}\).

Với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) Xét PT: sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2

⟺ (sin2x – cosx) + (1 – cos2x) – 3sinx + 1 = 0

⟺ cosx(2sinx – 1) + \(2{\sin ^2}x - 3\sin x + 1 = 0\)

⟺ (cosx + sinx –1)(2sinx – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right. \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\) do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

\(C = \frac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} = \frac{{\frac{{\sin a}}{{{{\cos }^3}a}}}}{{\frac{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}{{{{\cos }^3}a}}}}\) (chia cả tử cả mẫu cho \({\cos ^3}a\))

\( \Rightarrow C = \frac{{\tan a.\frac{1}{{{{\cos }^2}a}}}}{{{{\tan }^3}a + 2}} = \frac{{\tan a\left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)}}{{{{\tan }^3}a + 2}} = \frac{{2\left( {{2^2} + 1} \right)}}{{{2^3} + 2}} = 1\).

Ta có: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x \Leftrightarrow y + \sqrt {{y^2} + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} - x\left( 1 \right)\)

Tương tự, nhân cả 2 vế với \(\sqrt {{y^2} + 1} - y\), ta có: \(x + \sqrt {{x^2} + 1} = \sqrt {{y^2} + 1} - y\left( 2 \right)\)

Trừ (1) cho (2), ta có: 2y = –2x

⇒ y = –x ⇒ x + y = 0.

Với x = 0 ⟺ y = 0

Với x, y ≠ 0: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow y + \sqrt {{y^2} + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

Tương tự ta cũng có: \(x + \sqrt {{x^2} + 1} = \sqrt {{y^2} + 1} - y \Rightarrow x + y = - \left( {x + y} \right) \Leftrightarrow x + y = 0\)

\(M = 10{x^4} + 8{y^4} - 15xy + 6{x^2} + 5{y^2} + 2017 = 18{x^4} + 26{x^2} + 2017 \ge 2017\)

Dấu “=” xảy ra tại x = 0 ⇒ y = 0.

A = (3; 6), B = [m; m + 2]

Để \(A \cap B = \emptyset \) thì A ≠ B \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 2 < 3}\\{m \ge 6}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 1}\\{m \ge 6}\end{array}} \right.\).

A = (m; m + 1), B = (3; 5)

\(A \cap B\) là 1 khoảng \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 5}\\{m + 1 > 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 5}\\{m > 2}\end{array}} \right. \Rightarrow 2 < m < 5\).

\(6\left( {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right) = {P_{x + 1}}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6\left( {x! - \left( {x - 1} \right)!} \right) = \left( {x + 1} \right)!\\ \Leftrightarrow \frac{{6\left[ {x! - \left( {x - 1} \right)!} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)!}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{\left( {x - 1} \right)!}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 1} \right).x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy x = 2, x = 3.

Xét phép chia

Để \({x^4} + ax + b\) chia hết cho \({x^2} - 4\) thì đa thức dư ax + b + 16 phải đồng nhất 0

Do đó, a = 0, b = –16

Vậy với a = 0, b = –16 thì \({x^4} + ax + b\) chia hết cho \({x^2} - 4\).

Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2m \ge \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}\)

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{ - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - 1 < 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(\mathop {\max }\limits_{\left( {1;\, + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow 2m \ge 2 \Rightarrow m \ge 1\).

Đáp án đúng là: D

\(\widehat A = 90^\circ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}\)

\(\widehat A < 90^\circ \Leftrightarrow \cos A > 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} > {a^2}\)

\(\widehat A > 90^\circ \Leftrightarrow \cos A < 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} < 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} < {a^2}\).

\(2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + y = 4 \Leftrightarrow 2\left( {2{x^2} + {y^2} - 2xy - 2x + y} \right) = 2.4\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + 2{y^2} - 4xy - 4x + 2y = 8 \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + {y^2} + 1 - 4xy - 4x + 2y} \right) + {y^2} = 8 + 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2x - y - 1} \right)^2} + {y^2} = 9\)

Vì x; y ∈ ℤ \( \Rightarrow {\left( {2x - y - 1} \right)^2};{y^2} \in Z \Rightarrow {\left( {2x - y - 1} \right)^2} + {y^2} = 9 = {\left( { - 3} \right)^2} + {0^2} = {3^2} + {0^2}\)

TH1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2x - y - 1} \right)}^2} = {{\left( { - 3} \right)}^2}}\\{{y^2} = {0^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1\left( {TM} \right)}\\{y = 0\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

TH2:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2x - y - 1} \right)}^2} = {3^2}}\\{{y^2} = {0^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\left( {TM} \right)}\\{y = 0\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

TH3: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2x - y - 1} \right)}^2} = {0^2}}\\{{y^2} = {{\left( { - 3} \right)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1\left( {TM} \right)}\\{y = - 3\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

TH4: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2x - y - 1} \right)}^2} = {0^2}}\\{{y^2} = {3^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\left( {TM} \right)}\\{y = 3\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;0} \right);\left( {2;0} \right);\left( { - 1; - 3} \right);\left( {2;3} \right)} \right\}\).

\(\sqrt {7 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {6 - 2\sqrt 6 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 6 - 1} \right| = \sqrt 6 - 1\).

Ta có: AB = BC nên ∆ABC cân tại B ⇒ \(\widehat A = \widehat C\)

Vì BC > AC nên \(\widehat A > \widehat B\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Vậy \(\widehat A = \widehat C > \widehat B\).

Áp dụng công thức \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA\) ta tính được a = \(\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

a. \(P = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\)

\(P = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( { - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right)\)

\(P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - 9 + 4 - x + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\(P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{1} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\).

b. Có: \(P = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\)

Để P ∈ Z \( \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \in Z \Rightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

\( + )\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {TM} \right)\)

\( + )\sqrt x + 1 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = - 2(L)\)

\( + )\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\left( L \right)\)

\( + )\sqrt x + 1 = - 3 \Leftrightarrow \sqrt x = - 4\left( L \right)\)

Vậy x = 0 thì P ∈ ℤ.

B = 2 + \({2^3} + {2^5} + {2^7} + ... + {2^{2009}}\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^2}.B = {2^3} + {2^5} + {2^9} + {...2^{2011}}\\ \Leftrightarrow 4B = {2^3} + {2^5} + {2^9} + {...2^{2011}}\\ \Leftrightarrow 4B - B = {2^{2011}} - 2\end{array}\]

\( \Leftrightarrow 3B = {2^{2011}} - 2 \Leftrightarrow B = \frac{{{2^{2011}} - 2}}{3}\).

\(\sqrt {4 - \sqrt 7 } - \sqrt {4 + \sqrt 7 } = \frac{{\sqrt {8 - 2\sqrt 7 } }}{{\sqrt 2 }} - \frac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }}{{\sqrt 2 }}\)

\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 7 - 1 - \sqrt 7 - 1}}{{\sqrt 2 }}\left( {do\sqrt 7 \pm 1 > 0} \right)\)

\( = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \).

PT \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 = 0}\\{2x - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

\(y = \frac{{5 + 2\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} - \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right) - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{5\sqrt 5 + 10 - 10 - 4\sqrt 5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{0}{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = 0\)

Mẫu chung là \(\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 2} \right)\).

\(A = \left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right) = 5 - 4 = 1\).

\(\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}\)

 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = \frac{\pi }{{15}} + k2\pi }\\{3x = - \frac{\pi }{{15}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{15}}.\frac{1}{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{15}}.\frac{1}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{45}} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{{45}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .

\({x^2}\)– 5x + 6 = 0

⇔ \({x^2}\)– 2x – 3x + 6 = 0 (Tách để xuất hiện nhân tử chung)

⇔ (\({x^2}\)– 2x) – (3x – 6) = 0

⇔ x(x – 2) – 3(x – 2) = 0

⇔(x – 3)(x – 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0

+ x – 3 = 0 ⇔ x = 3.

+ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 3}.

Gọi AH là đường phân giác góc A.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ABC: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{HC}}\)

\(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AB + AC}}{{BH + HC}} = \frac{{2 + 3}}{{BC}} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\)

\( \Rightarrow BH = AB:\frac{5}{{\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{5}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{A{C^2} - A{B^2} - B{C^2}}}{{ - 2AB.BC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\)

Xét ∆ABH có: \(A{H^2} = A{B^2} + B{H^2} - 2.AB.BH.cos\widehat B = \frac{{108}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{5}\).

Ta có: A(1; –2), B(–2; 3), C(0; 4)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;5} \right)}\\{\overrightarrow {BC} = \left( {2;1} \right)}\\{\overrightarrow {CA} = \left( {1; - 6} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {34} }\\{BC = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 }\\{CA = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {37} }\end{array}} \right.\)

p = \(\frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{\sqrt {34} + \sqrt 5 + \sqrt {37} }}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} = \frac{{13}}{2}\).

Nghiệm mũ lẻ thì người ta gọi là nghiệm bội lẻ

VD: \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^{15}}\) có nghiệm x = 1 là nghiệm bội lẻ.

\({x^4}\left( {y - z} \right) + {y^4}\left( {z - x} \right) + {z^4}\left( {x - y} \right) = \left( {{x^4}y - x{y^4}} \right) + {z^4}\left( {x - y} \right) - z\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\)

\( = xy\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + {z^4}\left( {x - y} \right) - z\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {{x^3}y + {x^2}{y^2} + x{y^3} + {z^4} - z{x^3} - x{y^2}z - {x^2}yz - {y^3}z} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left[ {\left( {{x^3}y - {x^3}z} \right) + \left( {{x^2}{y^2} - {x^2}yz} \right) + \left( {x{y^3} - x{y^2}z} \right) + \left( {{z^4} - {y^3}z} \right)} \right]\)

\( = \left( {x - y} \right)\left[ {{x^3}\left( {y - z} \right) + {x^2}y\left( {y - z} \right) + x{y^2}\left( {y - z} \right) - z\left( {y - z} \right)\left( {{y^2} + yz + {z^2}} \right)} \right]\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} - z\left( {{y^2} + yz + {z^2}} \right)} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left[ {\left( {{x^3} - {z^3}} \right) + \left( {{x^2}y - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2} - {y^2}z} \right)} \right]\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left[ {\left( {x - z} \right)\left( {{x^2} + xz + {z^2}} \right) + y\left( {x - z} \right)\left( {x + z} \right) + {y^2}\left( {x - z} \right)} \right]\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)\left( {y - z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + xy + yz + xz} \right)\).

Đáp án đúng là: A

cos2a = \({\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\).