53 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 37) - vietjack.online

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 37)

8755 lượt thi
53 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh.

* Phân tích:

	Năm ngoái	Năm nay
Tỉnh A	x	x + x.1,1% = 1,011.x
Tỉnh B	4 – x	(4 – x) + (4 – x).1,2% = (4 – x).1,012

Dân số tỉnh A năm nay nhiều hơn dân số tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 (triệu người) nên ta có phương trình:

1,011.x – 1,012.(4 – x) = 0,8072.

Gọi x là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < x < 4; x ∈ ℕ*; triệu người)

Số dân năm ngoái của tỉnh B là 4 – x (triệu người).

Năm nay dân số của tỉnh A tăng 1,1% nên số dân của tỉnh A năm nay là:

x + 1,1% x = 1,011.x (triệu người).

Năm nay dân số của tỉnh B tăng 1,2 % nên số dân của tỉnh B năm nay là:

(4 – x) + 1,2% (4 – x) = 1,012(4 – x) (triệu người).

Vì số dân tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 triệu người nên ta có phương trình:

1,011.x – 1,012(4 – x) = 0,8072

⇔ 1,011x – 4,048 + 1,012x = 0,8072

⇔ 2,023. x = 4,8552

⇔ x = 2,4 (thỏa mãn).

Vậy dân số của tỉnh A năm ngoái là 2,4 triệu người, dân số tỉnh B năm ngoái là 4 – 2,4 = 1,6 triệu người.

Câu 2:

Cho biểu thức $P = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$ .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để $P > \frac{1}{2}$ .

a) Với x > 0 và x ≠ 1 ta có:

$P = (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$

$= [\frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}] : \frac{\sqrt{x}}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}$

$= \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} . \frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x}}$

$= \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{x} = \frac{x - 1}{x}$

Vậy với x > 0 và x ≠ 1 thì $P = \frac{x - 1}{x}$ .

b) Với x > 0 và x ≠ 1, để $P > \frac{1}{2}$ thì $\frac{x - 1}{x} > \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 1}{x} - \frac{1}{2} > 0$

$\frac{2 x - 2 - x}{2 x} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2 x} > 0$

$\Leftrightarrow x - 2 > 0$ (do $x > 0$ )

$\Leftrightarrow x > 2$

Kết hợp điều kiện x > 0 và x ≠ 1, ta được x > 2.

Vậy x > 2 thì $P > \frac{1}{2}$ .

Câu 3:

Cho biểu thức $P = \frac{15 \sqrt{x} - 11}{x + 2 \sqrt{x} - 3} + \frac{3 \sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của x sao cho $P < \frac{1}{2}$ .

c) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức P nguyên.

a) Điều kiện xác định: $x \geq 0, x \neq 1$ .

$P = \frac{15 \sqrt{x} - 11}{x + 2 \sqrt{x} - 3} + \frac{3 \sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$

$Cho biểu thức P= 15 căn bậc hai x-11/ x+ 2 căn bậc hai x-3+ 3 căn bậc hai x-2/1 - căn bậc hai x-\ (ảnh 1)$

Vậy với $x \geq 0, x \neq 1$ thì $P = \frac{2 - 5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ .

b) Với $x \geq 0, x \neq 1$ , để $P < \frac{1}{2}$ thì $\frac{2 - 5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{2} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{2 (2 - 5 \sqrt{x}) - (\sqrt{x} + 3)}{2 \sqrt{x} + 3} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{4 - 10 \sqrt{x} - \sqrt{x} - 3}{2 \sqrt{x} + 3} < 0$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 11 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} + 3} < 0$

$\Leftrightarrow 1 - 11 \sqrt{x} < 0$ (do $2 \sqrt{x} + 3 > 0$ )

$\Leftrightarrow \sqrt{x} > \frac{1}{11} \Leftrightarrow x > \frac{1}{121}$

Kết hợp điều kiện $x \geq 0, x \neq 1$ ta được $x > \frac{1}{121}, x \neq 1$ .

c) Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có $P = \frac{2 - 5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{17 - 5 (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} = \frac{17}{\sqrt{x} + 3} - 5$ .

Với x là số nguyên, để P có giá trị nguyên thì $\frac{17}{\sqrt{x} + 3}$ có giá trị nguyên

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + 3 \in$ Ư(17) = {1; 17; –1; –17}.

Mà $x \geq 0, x \neq 1$ nên $\sqrt{x} + 3 \geq 3$ , do đó $\sqrt{x} + 3 = 17$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = 14 \Leftrightarrow x = 196$ (tm)

Vậy x = 196 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 4:

Tìm số nguyên x, y biết xy – 2x – 3y = 1.

Ta có: xy – 2x + 3y = 1.

$\Leftrightarrow$ (xy − 2x) + (3y − 6) = −5

$\Leftrightarrow$ x(y − 2) + 3(y − 2) = −5

$\Leftrightarrow$ (x + 3)(y − 2) = −5 = 1.(−5) = (−1).5

Vì x, y là số nguyên nên x + 3 và y – 2 cũng là số nguyên.

Do đó ta có bảng sau:

x + 3	1	–5	5	–1
y – 2	–5	1	–1	5
x	–2	–8	2	–4
y	–3	3	1	7

Vậy (x; y) ∈ {(−2; −3); (−8; 3); (2; 1); (−4; 7)}.

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $\frac{A C}{A B} = \sqrt{2}$ , HC – HB = 2. Tính:

a) Tỉ số $\frac{H C}{H B}$ .

b) AB, BC, CA.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC/AB= căn bậc hai 2 , HC – HB = 2. Tính: (ảnh 1)

Câu 6:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4sin²x – 4sinx + 3.

Tập xác định: D = ℝ.

y = 4sin²x – 4sinx + 3

= 4sin²x – 4sinx + 1 + 2

= (2sinx – 1)² + 2.

Ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1

$\Leftrightarrow$ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

$\Leftrightarrow$ –2 ≤ 2sinx ≤ 2

$\Leftrightarrow$ –3 ≤ 2sinx – 1 ≤ 1

$\Leftrightarrow$ 0 ≤ (2sinx – 1)² ≤ 1

$\Leftrightarrow$ 2 ≤ (2sinx – 1)² + 2 ≤ 3

$\Leftrightarrow$ 2 ≤ y ≤ 3

Khi đó giá trị nhỏ nhất của y là 2, xảy ra khi và chỉ khi (2sinx – 1)² = 0

$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}$

Khi đó giá trị lớn nhất của y là 3, xảy ra khi và chỉ khi sinx = 1 $\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π$ .

Câu 7:

Tập nghiệm S của phương trình cos²x – 3cosx = 0 là

A. $S = \{- \frac{π}{2}\}$ ;

B. $S = \{\frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ\}$ ;

C. $S = \{\frac{π}{2}\}$ ;

D.

S = \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}

.

Đáp án đúng là: D

cos²x – 3cosx = 0

Û cosx (cosx – 3) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = 3 (l o a i) \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ .$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$ .

Câu 8:

Giải phương trình: cos²x + 3cosx = 0.

cos²x + 3cosx = 0

$\Leftrightarrow$ cosx(cosx + 3) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = - 3 (l o a i) \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

Vậy phương trình trên có nghiệm là $x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$ .

Câu 9:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng $a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng . (ảnh 1)

Câu 10:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tâm O và cạnh bằng a, cạnh bên bằng a. Khoảng cách từ O đến (SAD) bằng bao nhiêu?

A. $\frac{a}{2}$ ;

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$ ;

C. $\frac{a}{\sqrt{6}}$ ;

D. a.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tâm O và cạnh bằng a, cạnh bên bằng a (ảnh 1)

Câu 11:

Một người đứng trên tháp quan sát của ngọn hải đăng cao 50 m nhìn về hướng Tây Nam, người đó quan sát hai lần một con thuyền đang hướng về ngọn hải đăng. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy thuyền với góc hạ là 20°, lần thứ 2 người đó nhìn thấy thuyền với góc hạ là 30°. Hỏi con thuyền đã đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Một người đứng trên tháp quan sát của ngọn hải đăng cao 50 m nhìn về hướng Tây Nam, người đó (ảnh 1)

Ta có Bx // AC nên $\hat{A C B} = 20 °$ và $\hat{A D B} = 30 °$

Khoảng cách giữa con thuyền và tháp quan sát ở lần quan sát thứ nhất là:

$A C = A B . \cot \hat{A C B} = 50. \cot 20 °$

Khoảng cách giữa con thuyền và tháp quan sát ở lần quan sát thứ hai là:

$A D = A B . \cot \hat{A D B} = 50. \cot 30 °$

Vậy con thuyền đã đi được: $C D = A C - A D = 50 \cot 20 ° - 50 \cot 30 ° \approx 50, 8$ (m).

Câu 12:

Cho biểu thức

P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}

\sqrt{P} < \frac{1}{2}

Cho biểu thức P= căn bậc hai x-2/ căn bậc hai x+1 . Tìm x để căn bậc hai P < 1/2. (ảnh 1)

Câu 13:

Tính tổng của các số nguyên x thỏa mãn

- 2009 < x \leq 2008

Ta có: $- 2009 < x \leq 2008$ và x là số nguyên nên ta có:

x ∈ {–2008; –2007; …; –1; 0 ; 1; …; 2007; 2008}.

Khi đó tổng của các số nguyên x thỏa mãn $- 2009 < x \leq 2008$ là:

–2008 + (–2007) + …+ (–1) + 0 + 1 + … + 2007 + 2008

= [(–2008) + 2008] + [(–2007) + 2007] + …+ [(–1) + 1] + 0

= 0.

Câu 14:

Chứng minh các hệ thức:

a) $1 + \tan^{2} a = \frac{1}{\cos^{2} a}$ ;

b) $1 + \cot^{2} a = \frac{1}{\sin^{2} a}$ .

Chứng minh các hệ thức: a) 1 + tan ^2a= 1/ cos ^2a; b) 1+ cot^2a= 1/ sin ^2a. (ảnh 1)

Câu 15:

Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = 5 x + 3 y + \frac{10}{x} + \frac{8}{y}

Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= 5x+3y+ 10/x+8/x. (ảnh 1)

Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= 5x+3y+ 10/x+8/x. (ảnh 2)

Câu 16:

Cho đường tròn (O) dây cung BC (BC không là đường kính). Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C, độ dài cạnh AB khác AC). Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hai điểm E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA'.

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Chứng minh BD.AC = AD.A'C.

Cho đường tròn (O) dây cung BC (BC không là đường kính). Điểm A di động trên cung (ảnh 1)

a) Vì BE ⊥ AA' suy ra $\hat{B E A} = 90 °$

AD ⊥ BC suy ra $\hat{A D B} = 90 °$

Suy ra tứ giác AEDB có $\hat{B E A} = \hat{A D B}$ cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc bằng 90°.

Suy ra tứ giác AEDB nội tiếp.

Hay 4 điểm A, B, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Xét tam giác ACA' và tam giác ADB có:

$\hat{A B D} = \hat{C A' F}$ (cùng chắn cung AC)

$\hat{A D B} = \hat{A' C A} = 90 °$

Do đó $Δ A C A' ∽ Δ A D B (g . g)$

Suy ra $\frac{A C}{A D} = \frac{A' C}{B D}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay BD.AC = AD.A'C.

Câu 17:

sin15° bằng bao nhiêu?

sin15° bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Câu 18:

Cho $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

a) Tính sin75°, cos105°, tan165°.

b) Tính giá trị của biểu thức: A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°.

Cho sin 15 độ =căn bậc hai 6- căn bậc hai 2 /4. a) Tính sin75°, cos105°, tan165°. (ảnh 1)

Cho sin 15 độ =căn bậc hai 6- căn bậc hai 2 /4. a) Tính sin75°, cos105°, tan165°. (ảnh 2)

Câu 19:

Trong khai triển nhị thức (3 + 0,02)⁷. Tìm tổng của ba số hạng đầu tiên.

A. 2289,3283;

B. 2291,1012;

C. 2275,93801;

D. 2291,1141.

Ta có: (3 + 0,02)⁷ = $C_{7}^{0} {.3}^{7} + C_{7}^{1} {.3}^{6} .0, 02 + C_{7}^{2} {.3}^{5} . {(0, 02)}^{2} + ...$

Tổng ba số hạng đầu tiên là:

$C_{7}^{0} {.3}^{7} + C_{7}^{1} {.3}^{6} .0, 02 + C_{7}^{2} {.3}^{5} . {(0, 02)}^{2} = 2291, 1012$ .

Chọn B

Câu 20:

Cho hình thang ABCD có đáy AB, DC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Chứng minh MN // DC và $M N = \frac{1}{2} (A B + D C)$ .

Cho hình thang ABCD có đáy AB, DC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC (ảnh 1)

Ta có: MA = MB (Vì M là trung điểm của AD);

NB = NC (Vì N là trung điểm của BC)

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD với AB // CD.

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} (A B + D C)$ và MN // AB // CD.

Câu 21:

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.

b) Chứng minh AM vuông góc với BC.

c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau. (ảnh 1)

Câu 22:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có $B C = a \sqrt{2}$ . Tính $\vec{C A} . \vec{C B}$ .

A. a²;

B. a;

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ ;

D.

a \sqrt{2}

.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao AD và BE cắt nhau tại H. a) Chứng minh CH vuông góc AB. (ảnh 1)

Câu 23:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AB = a. Khi đó $|2 \vec{A B} - \vec{A C}|$ bằng

A. $a \sqrt{5}$ ;

B. $a \sqrt{2}$ ;

C. $a \sqrt{3}$ ;

D. a.

Đáp án đúng là: A

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AB = a. Khi đó |2AB- AC| bằng (ảnh 1)

Lấy D sao cho $\vec{A D} = 2 \vec{A B}$ . Khi đó AD=2AB= a.

Khi đó $|2 \vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{A D} - \vec{A C}| = |\vec{C D}| = C D = \sqrt{A C^{2} + A D^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Câu 24:

Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

b) Tính diện tích thiết diện đó.

Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là (ảnh 1)

Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là (ảnh 2)

Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là (ảnh 3)

Câu 25:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là hình gì?

A. Thiết diện là hình thang cân;

B. Thiết diện là hình bình hành;

C. Thiết diện là hình tam giác;

D. Thiết diện là hình tứ giác không có cặp cạnh nào song song.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm (ảnh 1)

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm (ảnh 2)

Câu 26:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.

a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.

b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R².

c) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với (ảnh 1)

a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra ME = MF nên M thuộc đường trung trực của EF.

Ta có OE = OF nên O thuộc đường trung trực của EF.

Do đó OM là đường trung trực của EF.

Þ EF ⊥ OM.

Tứ giác ABHM có $\hat{B A M} = \hat{B H M} = 90 °$ , mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.

b) Xét DOHB và DOAM có:

$\hat{O H B} = \hat{O A M} = 90 °; \hat{M O A}$ chung

$\Rightarrow Δ O H B ∽ Δ O A M (g . g)$

$\Rightarrow \frac{O H}{O A} = \frac{O B}{A M}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ OA.OB = OH.OM (1)

Xét DOHE và DOEM có:

$\hat{O H E} = \hat{O E M} = 90 °$ ; $\hat{M O E}$ chung

$\Rightarrow Δ O H E ∽ Δ O E M (g . g)$

$\Rightarrow \frac{O H}{O E} = \frac{O E}{O M}$ (tỉ số đồng dạng)

Þ OH.OM = OE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = OE² = R².

c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

Ta có: $\hat{M F I} = \hat{F E I}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI)

Do EF ⊥ OM nên $\overset{⏜}{F I} = \overset{⏜}{E I}$ suy ra $\hat{F E I} = \hat{E F I}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow \hat{M F I} = \hat{E F I}$

Suy ra FI là phân giác của $\hat{M F E}$ .

Lại có MI là phân giác của góc $\hat{E M F}$ (do ME, MF là tiếp tuyến của (O)).

Do đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác MEF.

Þ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.

d) Diện tích tam giác HBO là: $S = \frac{1}{2} H O . H B$

Xét DOHB và DOAM có:

$\hat{O H B} = \hat{O A M} = 90 °; \hat{A O M}$ là góc chung

$\Rightarrow Δ O H B ∽ Δ O A M (g . g)$

Câu 27:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy điểm M. Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O; R) tiếp điểm lần lượt là E và F. Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.

a) Chứng minh OM vuông góc với EF.

b) Cho biết R = 6cm, OM = 10cm. Tính OH.

c) Chứng minh 4 điểm A, B, H, M cùng thuộc một đường tròn.

d) Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên d.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc (ảnh 1)

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc (ảnh 2)

Câu 28:

Cho (O) đường kính AB = 10cm, C là 1 điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = 6cm. Vẽ CH vuông góc với AB (H thuộc AB).

a) Tính AH và góc ABC.

b) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Chứng minh rằng OD vuông góc với BC.

c) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh CE.CB = AH.AB.

d) Gọi I là trung điểm của CH tia BI cắt AE tại F. Chứng minh FC là tiếp tuyến của (O).

Cho (O) đường kính AB = 10cm, C là 1 điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = 6cm. Vẽ CH vuông góc với AB (H thuộc AB). (ảnh 1)

a) Xét DABC có C thuộc đường tròn đường kính AB nên $\hat{A C B} = 90 °$

Do đó DABC vuông tại C.

Cho (O) đường kính AB = 10cm, C là 1 điểm trên đường tròn (O) sao cho AC = 6cm. Vẽ CH vuông góc với AB (H thuộc AB). (ảnh 2)

b) Do DB, DC là tiếp tuyến với đường tròn suy ra DB = DC nên D thuộc đường trung trực của BC.

Ta có OB = OC nên O thuộc đường trung trực của BC.

Do đó OD là đường trung trực của BC.

Þ OD ⊥ BC.

c) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông EAB ta có: AC² = CE.CB

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có: AC² = AH.AB

Suy ra CE.CB = AH.AB.

d) Ta có: CH ⊥ AB, EA ⊥ AB nên CH // AB.

Xét DABF có IH // FA, theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{B I}{B F} = \frac{I H}{F A}$ .

Xét DEBF có CI // EF, theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{B I}{B F} = \frac{C I}{E F}$ .

$\Rightarrow \frac{I H}{F A} = \frac{C I}{E F}$ , mà IH = CI (do I là trung điểm của CH)

Þ FA = EF, hay F là trung điểm của AE

Xét DACE vuông tại C có đường trung tuyến CF nên FA = FC = FE.

Xét DOAF và DOCF có:

FA = FC (cmt); FO là cạnh chung; OA = OC (cùng bằng bán kính)

Do đó DOAF = DOCF (c.c.c)

$\Rightarrow \hat{O A F} = \hat{O C F} = 90 °$

Þ FC ⊥ OC, mà C thuộc đường tròn (O)

Do đó FC là tiếp tuyến của (O).

Câu 29:

Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng:

$\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$

Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng: (ảnh 1)

Câu 30:

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3 \sqrt{3}}{2}

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: sin A+ sin B + sin C bé hơn bằng 3 căn bậc hai 3 /2 (ảnh 1)

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: sin A+ sin B + sin C bé hơn bằng 3 căn bậc hai 3 /2 (ảnh 2)

Câu 31:

Có bao nhiêu phân số với mẫu số có 2 chữ số tương đương với

\frac{1}{5}

Mẫu số bé nhất có hai chữ số mà chia hết cho 5 là 10.

Mẫu số lớn nhất có hai chữ số mà chia hết cho 5 là 95.

Vậy có số các phân số bằng $\frac{1}{5}$ có mẫu số là số có 2 chữ số là (95 – 10) : 5 + 1 = 18.

Câu 32:

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường tròn tại A lấy K cố định. Một đường thẳng d đi qua K và không đi qua tâm O cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C (B nằm giữa C và K). Gọi M trung điểm BC

a) Chứng minh 4 điểm A, O, M, K cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Vẽ đường kính AN của đường tròn tâm O. Đường thẳng qua A và vuông góc BC cắt MN tại H. Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành.

c) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

d) Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài thì H di động trên đường nào?

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường (ảnh 1)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường (ảnh 2)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với đường (ảnh 3)

Câu 33:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A là một điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A), kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H.

a) Chứng minh BM tiếp tuyến của (O) và bốn điểm A; O; M; B cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Kẻ đường kính AD của (O), đoạn thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là E. Chứng minh MA² = MH.MO = ME.MD , từ đó suy ra $\hat{E H M} = \hat{O D M}$ .

Cho đường tròn (O; R) và điểm A là một điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng d tiếp (ảnh 1)

Cho đường tròn (O; R) và điểm A là một điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng d tiếp (ảnh 2)

Câu 34:

Diện tích hình bình hành bằng 24 cm². Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng 2 cm và 3 cm. Tính chu vi của hình bình hành.

Diện tích hình bình hành bằng 24 cm2. Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến (ảnh 1)

Câu 35:

Cho hàm số y = (2 – m)x + 3.

a) Tìm m để (d) đi qua điểm A(2; 3).

b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1.

c) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

a) Để (d) đi qua điểm A(2; 3) thì:

3 = (2 – m).2 + 3 Û 2.(2 – m) = 0 Û m = 2.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

b) Để (d) cắt trục hoành thì 2 – m ≠ 0 Û m ≠ 2.

Do (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –1 nên tọa độ giao điểm đó là A(–1; 0).

Do điểm A thuộc (d) nên ta có:

0 = (2 – m).(–1) + 3 Û m – 2 = –3 Û m = –1 (tm).

Vậy m = –1 là giá trị cần tìm.

c) Do (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3 nên tọa độ giao điểm đó là B(0; 3).

Do điểm B thuộc (d) nên ta có:

3 = (2 – m).0 + 3 Û 0.(2 – m) = 0 (luôn đúng với mọi m).

Vậy với mọi giá trị m ∈ ℝ thì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

Câu 36:

Cho hàm số y = (a – 2)x + 5 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3).

A. a = –1;

B. a = 0;

C. a = –2;

D. a = 1.

Đáp án đúng là: D

Để đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 3) thì:

3 = (a – 2).2 + 5 Û 2.(a – 2) = –2 Û a – 2 = –1 Û a = 1.

Câu 37:

Một chiếc cổng hình parabol dạng $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ có chiều rộng d = 8 m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh).

Một chiếc cổng hình parabol dạng y= -1/2 x^2 có chiều rộng d = 8 m. Hãy tính chiều cao h (ảnh 1)

A. h = 8 m;

B. h = 7 m;

C. h = 5 m;

D. h = 9 m.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa chiều rộng d = 8m cắt (P) tại A(4; –h)

Điểm A ∈ (P) $\Rightarrow - h = - \frac{1}{2} {.4}^{2} \Rightarrow h = 8 (m)$ .

Câu 38:

Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất của biến cố C: “Học sinh được chọn không giỏi Văn và Toán” là:

A. $\frac{15}{32}$ ;

B. $\frac{7}{8}$ ;

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. Một đáp số khác.

Đáp án đúng là: C

Ta có n(Ω) = 40

Số học sinh giỏi Văn hoặc Toán gồm: học sinh chỉ giỏi Văn, học sinh chỉ giỏi Toán, học sinh giỏi cả Văn và Toán nên bằng

(15 +10) – 5 = 20 (bạn).

Do đó, số học sinh không giỏi cả Toán và Văn là 40 – 20 = 20 bạn, nên n(C) = 20.

Vì vậy $P (C) = \frac{n (C)}{n (Ω)} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$ .

Câu 39:

Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.

Xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn giỏi Toán” là:

A. $\frac{1}{40}$ ;

B. $\frac{8}{3}$ ;

C. $\frac{3}{8}$ ;

D.

\frac{1}{8}

.

Đáp án đúng là: C

Ta có n(Ω) = 40 và n(A) = 15.

Do đó $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$ .

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB, AB. Điểm M là một điểm bất kì trên nửa đường thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của điểm M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB, AB. (ảnh 1)

Gọi K là giao điểm của AC và JD.

Khi đó:

• Nếu M ∈ Cx thì thiết diện là hình tam giác;

• Nếu M ∈ KC thì thiết diện là hình tứ giác;

• Nếu M ∈ Cx thì thiết diện là hình ngũ giác.

Câu 41:

Cho tam giác AEB vuông tại A, từ điểm C trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE cắt tia đối của tia AB ở F, cắt AE ở D. Tia phân giác của góc E cắt AB, CD lần lượt ở M, P. Tia phân giác của góc F cắt BC, DA lần lượt ở N và Q. Chứng minh:

a) EM vuông góc với FN.

b) Tứ giác MPNQ là hình thoi.

Cho tam giác AEB vuông tại A, từ điểm C trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE cắt tia đối (ảnh 1)

Cho tam giác AEB vuông tại A, từ điểm C trên cạnh BE kẻ đường vuông góc với BE cắt tia đối (ảnh 2)

Câu 42:

Cho (O), điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.

c) Gọi I là giao của BC và DE. Chứng minh AB² = AI.AH.

d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh AE // CK.

Cho (O), điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE (ảnh 1)

Cho (O), điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE (ảnh 2)

Câu 43:

Cho đường thẳng (d): y = (m² – 3)x – m + 1. Tìm m để (d) cắt (d’): y = –2x tại điểm có hoành độ x = 2.

Để (d) cắt (d’) thì m² – 3 ≠ –2 Û m² ≠ 1 Û m ≠ ± 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là:

(m² – 3)x – m + 1 = –2x

Û (m² – 1)x = m – 1

$\Leftrightarrow x = \frac{m - 1}{m^{2} - 1} = \frac{m - 1}{(m - 1) (m + 1)} = \frac{1}{m + 1}$

Để (d) cắt (d’) tại điểm có hoành độ x = 2 thì

$\frac{1}{m + 1} = - 2 \Rightarrow - 2 m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{- 3}{2} (t m)$

Vậy $m = - \frac{3}{2}$ .

Câu 44:

Mỗi giờ ô tô đi được 43,8km. Hỏi trong 5 giờ ô tô đi được số ki lô mét là bao nhiêu?

5 giờ ôtô đi được số ki lô mét là:

43,8 × 5 = 219 (km)

Đáp số: 219 km.

Câu 45:

Tính giới hạn:

\lim [\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}]

Tính giới hạn: lim [1/1.3+ 1/3.5+...+ 1/ (2n-1) (2n+1) ] (ảnh 1)

Câu 46:

Một mảnh đất hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là là 76,4m. Tính diện tích mảnh đất đó, biết đường chéo thứ nhất hơn đường chéo thứ 2 là 4,4m.

Đường chéo lớn hơn có độ dài là: (76,4 + 4,4) : 2 = 40,4 (m).

Đường chéo nhỏ hơn có độ dài là: 40,4 – 4,4 = 36 (m).

Diện tích mảnh đất đó là: 40,4 . 36 : 2 = 727,2 (m²).

Câu 47:

Rút gọn phân thức $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(2 y - x)}^{3}}$ .

Ta có: $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(2 y - x)}^{3}} = \frac{5 x (x - 2 y)}{2 {(2 y - x)}^{3}} = \frac{- 5 x (2 y - x)}{2 {(2 y - x)}^{3}} = \frac{- 5 x}{2 {(2 y - x)}^{2}}$ .

Câu 48:

Rút gọn phân thức

\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(2 y - x)}^{2}}

Ta có:

\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(2 y - x)}^{2}} = \frac{5 x (x - 2 y)}{2 {(x - 2 y)}^{2}} = \frac{5 x}{2 (x - 2 y)}

Câu 49:

Trong một cuộc thi chạy, nếu bạn vượt qua người thứ 2, bạn sẽ đứng thứ mấy?

Trong một cuộc thi chạy, nếu bạn vượt qua người thứ 2 thì bạn vẫn sau người đi đầu thứ nhất, nên bạn vẫn chỉ đứng thứ 2.

Câu 50:

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày. Biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

Gọi số thợ cần thiết là x (người), x ∈ ℕ* , thời gian cần thiết là y (ngày), y > 0.

Số ngày công cần để hoàn thành công việc là: xy (ngày).

Nếu giảm đi 3 người thì thời gian kéo dài 6 ngày. Như vậy, x – 3 người làm trong y + 6 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình (x – 3)(y + 6) = xy.

Nếu tăng thêm 2 người thì xong sớm 2 ngày. Như vậy, x + 2 người làm trong y – 2 ngày thì xong công việc. Do đó, ta có phương trình: (x + 2)(y – 2) = xy.

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} (x - 3) (y + 6) = x y \\ (x + 2) (y - 2) = x y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y + 6 x - 3 y - 18 = x y \\ x y - 2 x + 2 y - 4 = x y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x - 3 y = 18 \\ - 2 x + 2 y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - y = 6 \\ x - y = - 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 \\ y = x + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 \\ y = 10 \end{cases} (t m)$

Vậy cần 8 người làm trong 10 ngày thì xong công việc.

Câu 51:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF của đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh H, I, F thẳng hàng.

b) Chứng minh AH = 2OI.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh $S_{Δ A H G} = 2 S_{Δ A G O}$ .

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Đường cao BD, CE cắt nhau (ảnh 1)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Đường cao BD, CE cắt nhau (ảnh 2)

Câu 52:

Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (hình vẽ), phần còn lại có dạng hình tứ giác ABCD với độ dài các cạnh là AB = 15m, BC = 19m, CD = 10m, DA = 20m. Diện tích mảnh đất ABCD bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (hình vẽ), phần còn lại có dạng hình (ảnh 1)

Một mảnh đất hình chữ nhật bị xén đi một góc (hình vẽ), phần còn lại có dạng hình (ảnh 2)

Câu 53:

Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài 65,3m. Vì mở rộng đường quốc lộ nên miếng đất bị xén đi một góc có dạng hình tam giác (phần tô đậm của hình vẽ). Tính diện tích phần đất còn lại.

Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài 65,3m. Vì mở rộng đường quốc lộ nên miếng đất (ảnh 1)

Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu là:

(2 . 46,5) : 7,5 = 12,4 (m).

Diện tích miếng đất hình chữ nhật ban đầu là:

65,3 . 12,4 = 809,72 (m²)

Vậy diện tích phần đất còn lại là:

809,72 – 46,5 = 763,22 (m²).

Đáp số: 763,22 m².

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan