Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 200 là:

Số khoảng cách là: 5 + 1 = 6 (khoảng cách)

Hiệu các số là: 2 × 6 = 12

Số bé là: (216  −  12) : 2 = 102

Số lớn là: 102 + 12 = 114

Vậy hai số cần tìm là 102 và 114.

Ta có: ab + a + b = 95

Hay 10a + b + a + b = 95

11a + 2b = 95

\(\overline {aa} \) + 2b = 95

Vì 95 là số lẻ và 2b là số chẵn nên \(\overline {aa} \) là số lẻ

Ta có \(\overline {aa} \) Î {11; 33; 55; 77; 99}.

Để b là số có 1 chữ số thì b × 2 cao nhất là: 9 × 2 = 18

Ta có: 95 − 11 = 84, 95 − 33 = 62, 95 − 55 = 40, 95 − 77 = 18, 95 − 99 = −5.

Trong các giá trị vừa tìm được thì chỉ có 95 − 77 mới không vượt qua 18 và là số tự nhiên.

Vậy a = 7 và b = 9.

Thử lại: 79 + 7 + 9 = 95

Số lớn là:

a = (95 + 5) : 2 = 50

Số bé là:

b = (95 − 5) : 2 = 45

Vậy a = 50 và b = 45

\[\frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \frac{{5x}}{{{x^2} - 5x + 3}} = - \frac{3}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{4x\left( {{x^2} - 5x + 3} \right) + 5x\left( {{x^2} + x + 3} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}} + \frac{3}{2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{8x\left( {{x^2} - 5x + 3} \right) + 10x\left( {{x^2} + x + 3} \right) + 3\left( {{x^2} + x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} + x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}} = 0\]

\[ \Rightarrow 8x\left( {{x^2} - 5x + 3} \right) + 10x\left( {{x^2} + x + 3} \right) + 3\left( {{x^2} + x + 3} \right)\left( {{x^2} - 5x + 3} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 3} \right) = 0\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 3 = 0\\{x^2} + 5x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}VN\\x = \frac{{ - 5}}{2} \pm \frac{{\sqrt {13} }}{2}\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{{ - 5}}{2} \pm \frac{{\sqrt {13} }}{2}\].

(x² + 4x − 3)² − 5x(x² + 4x − 3) + 6x²

= (x² + 4x − 3)² − 3x(x² + 4x − 3) − 2x(x² + 4x − 3) + 6x²

= (x² + 4x − 3)[(x² + 4x − 3) − 3x] − 2x[(x² + 4x − 3) − 3x]

= [(x² + 4x − 3) − 3x].[(x² + 4x − 3) − 2x]

= (x² + x − 3).(x² + 2x − 3)

= (x² + x − 3).(x² + x − 3x − 3)

= (x² + x − 3).[x(x + 1) − 3(x + 1)]

= (x² + x − 3).(x + 1).(x − 3)

Ta có 5n + 14 ⋮ n + 2

5n + 10 + 4 ⋮ n + 2

5(n + 2) + 4 ⋮ n + 2

Vì 5(n + 2) ⋮ n + 2 nên để 5(n + 2) + 4 ⋮ n + 2 thì suy ra:

4 ⋮ n + 2 Þ n + 2 Î Ư(4) = {1; 2; 4; −1; −2; −4}

Þ n Î {−1; 0; 2; −3; −4; −6}

Vậy các số tự nhiên n thỏa mãn là n Î {0; 2}.

Số lớn là: (35,36 + 18,64) : 2 = 27

Số bé là: 35,36 − 27 = 8,36

Đáp số: Số lớn: 27; số bé: 8,36.

Gọi a là chiều dài và b là chiều rộng.

Theo đề bài ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}P = \left( {a + b} \right)\,.\,2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\P = 8b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\a = b + 20\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét điều kiện (1) và (2), ta có:

(a + b).2 = 8b

Û 2a + 2b = 8b

Û 2a = 6b

Û a = 3b

Xét thêm điều kiện (3) ta có:

2.(b + 20) = 6b

Û 2b + 40 = 6b

Û 40 = 4b

Û b = 10

Từ đây suy ra: a = b + 20

Þ a = 10 + 20 = 30

Vậy diện tích mảnh đất đó là:

 S = a.b = 30.10 = 300 (m²)

Đáp số: 300 m².

Gọi a là chiều dài và b là chiều rộng.

Theo đề bài ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}P = \left( {a + b} \right)\,.\,2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\P = 8b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\a = b + 36\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét điều kiện (1) và (2), ta có:

(a + b).2 = 8b

Û 2a + 2b = 8b

Û 2a = 6b

Û a = 3b

Xét thêm điều kiện (3) ta có:

2.(b + 36) = 6b

Û 2b + 72 = 6b

Û 72 = 4b

Û b = 18

Từ đây suy ra: a = b + 36

Þ a = 18 + 36 = 54

Vậy diện tích mảnh đất đó là:

 S = a.b = 54.18 = 972 (m²)

Đáp số: 972 m²

 Ta có: 74³⁰ = 74.74.74.74…74.74 (Tích của 30 thừa số 74)

= (74.74).(74.74)…(74.74)

Do 74.74 = 5476 có chữ số tận cùng là 6

Nên 74³⁰ được phân tích thành tích của 15 thừa số 5476 có tận cùng là 6.

Vậy 74³⁰ có tận cùng là 6.

+) \({74^{30}} = {\left( {{{74}^2}} \right)^{15}} = {\left( {\overline {.....6} } \right)^{15}} = \overline {.....6} \)

Vậy 74³⁰ có chữ số tận cùng là 6.

+) \({49^{31}} = {49^{30}}\,.\,49 = {\left( {{{49}^2}} \right)^{15}}\,.\,49 = {\left( {\overline {....1} } \right)^{15}}\,.\,49 = \overline {....1} \;.\;\overline {....9} = \overline {....9} \)

Vậy 49³¹ có chữ số tận cùng là 9.

+) \({97^{32}} = {\left( {{{97}^4}} \right)^8} = {\overline {....1} ^8} = \overline {....1} \)

Vậy 97³² có chữ số tận cùng là 1.

+) \({58^{33}} = \left( {{{58}^{32}}} \right)\,.\,58 = {\left( {{{58}^4}} \right)^8}\,.\,58 = {\overline {....6} ^8}\;.\;\overline {....8} = \overline {....6} \;.\;\overline {....8} = \overline {....8} \)

Vậy 58³³ có chữ số tận cùng là 8.

+) \({23^{35}} = {23^{32}}\,.\,{23^3} = {\left( {{{23}^4}} \right)^8}\,.\,{23^3} = {\overline {....1} ^8}\;.\;\overline {....7} = \overline {....1} \;.\;\overline {....7} = \overline {....7} \)

Vậy 22³⁵ có chữ số tận cùng là 7.

x² + y² + 2z² + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1 = 0

Û 2.(x² + y² + 2z² + xy + 2yz + 2zx + x + y + 1) = 0

Û 2x² + 2y² + 4z² + 2xy + 4yz + 4zx + 2x + 2y + 2 = 0

Û (x² + 2xy + y²) + 4z.(x + y) + 4z² + (x² + 2x + 1) + (y² + 2y + 1) = 0

Û (x + y)² + 4z.(x + y) + 4z² + (x + 1)² + (y + 1)² = 0

Û (x + y + 2z)² + (x + 1)² + (y + 1)² = 0

Mà (x + y + 2z)² ≥ 0; (x + 1)² ≥ 0; (y + 1)² ≥ 0 nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2z = 0\\x + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = - \frac{{x + y}}{2}\\x = - 1\\y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\).

Vậy (x; y; z) = (−1; −1; 1) là nghiệm của phương trình.

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2xy + 2yz - 2zx + 1 = 0\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy + 2yz - 2zx + \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 2z\left( {x - y} \right) + {z^2} + {x^2} + {y^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} - 2z\left( {x - y} \right) + {z^2} + {x^2} + {y^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y - z} \right)^2} + {x^2} + {y^2} = 0\)

Mà \({\left( {x - y - z} \right)^2} \ge 0;\;{x^2} \ge 0;\;{y^2} \ge 0\) nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - z = 0\\x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = x - y\\x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 0\\x = 0\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là nghiệm của hệ phương trình.

Gọi số tự nhiên cần tìm là: \(\overline {ab} \).

Nếu viết thêm số 64 vào bên trái số đó thì số đó trở thành: \(\overline {64ab} \)

Theo bài ra ta có:

\(\overline {64ab} = 81 \times \overline {ab} \)

Hay \(6400 + \overline {ab} = 81 \times \overline {ab} \)

\(81 \times \overline {ab} - \overline {ab} = 6400\)

\(80 \times \overline {ab} = 6400\)

\(\overline {ab} = 6400:80\)

Vậy \(\overline {ab} = 80\)

Vậy số có hai chữ số cần tìm là 80.

Gọi số tự nhiên cần tìm là: \(\overline {ab} \).

Nếu viết thêm số 7 vào bên trái số đó thì số đó trở thành: \(\overline {7ab} \).

Theo bài ra, ta có: \(\overline {7ab} = 15 \times \overline {ab} \)

Hay \(700 + \overline {ab} = 15 \times \overline {ab} \)

\(15 \times \overline {ab} - \overline {ab} = 700\)

\(14 \times \overline {ab} = 700\)

\(\overline {ab} = 700:14\)

Do đó \(\overline {ab} = 50\)

Vậy số có hai chữ số cần tìm là 50.

a) \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^9} + {4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^9}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\)

\( = 21\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\; \vdots \;21\)

Vậy A ⋮ 21

b) \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)

\( = \left( {1 + 4} \right) + \left( {{4^2} + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right) + {4^2}\,.\,\left( {1 + 4} \right) + ... + {4^{10}}\,.\,\left( {1 + 4} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right)\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\; \vdots \;5\)

Vậy A ⋮ 5

Với A ⋮ 5 và A ⋮ 21 mà ƯCLN(5, 21) = 1 nên A ⋮ 105.

c) \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + \left( {4 + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^8} + {4^{10}}} \right) + \left( {{4^9} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + 4\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + ... + {4^8}\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + {4^9}\left( {1 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\)

\( = 17\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\; \vdots \;17\)

Vậy A ⋮ 17

Xét \(B = 1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}\)

\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + \left( {4 + {4^5} + {4^9}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + 4\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) = 5\,.\,65793\)

Vì 65 793 ⋮ 241 nên B ⋮ 241 suy ra A ⋮ 241

Với A ⋮ 17 và A ⋮ 241 mà ƯCLN(17, 241) = 1 nên A ⋮ 4097.

Cách đây 5 năm tổng tuổi 2 ông cháu là:

68 − (5 +5) = 58 (tuổi)

Cách đây 5 năm, tuổi cháu là:

(58 − 52) : 2 = 3 (tuổi)

Tuổi cháu hiện nay là:

3 + 5 = 8 (tuổi)

Tuổi ông hiện nay là:

68 − 8 = 60 (tuổi)

Đáp số: cháu: 8 tuổi; ông: 60 tuổi.

105 cm² = 1,05 dm² = 0,0105 m²

10,08 ha = 10 ha 8 m²

105 cm² = 1 dm² 5 cm²

50800 m² = 5 ha 800 m²

266 ha 6 dam² = 2,666 km²

300,7 dm² = 3 m² 70 cm²

3208 ha cm² = 32 km² 8 ha

12 phút = 0,2 giờ

1 giờ 24 phút cm² = 1,4 giờ

2,6 phút = 66 giây

\(\frac{2}{3}\) giờ = 40 phút

\(\frac{1}{2}\) giờ = 30 phút

90 phút = 1,5 giờ

1,5 giờ = 90 phút

2 tiếng rưỡi = 2,5 giờ

105 phút = 1,75 giờ

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3

3A = 1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + … + n(n + 1)[(n + 2) − (n + 1)]

3A = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + … + n(n + 1)(n + 2) − (n − 1)n(n + 1)

3A = n(n + 1)(n + 2)

Vậy \(A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\).

Dãy số trên có số số hạng là:

(2 015 − 1) : 2 + 1 = 1 008

Giá trị của T là:

(2 015 + 2) × 1 008 : 2 = 1 016 568

Đáp số: 1 016 568.

1 quyển hết số tiền là:

36 000 : 15 = 2 400 (đồng)

25 quyển vở hết số tiền là:

2 400 × 25 = 60 000 (đồng)

Đáp số: 60 000 đồng.

a) Tập hợp A gồm các số nguyên thỏa mãn nhỏ hơn 4.

Do đó A = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}.

Ta có: (5x − 3x²)(x² + 2x − 3) = 0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 3{x^2} = 0\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{5}{3}\\x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Mà x Î ℤ nên x Î {−3; 0; 1}

Suy ra B = {−3; 0; 1}.

b) Ta có:

A ∩ B = {−3; 0; 1} = B;

A ∪ B = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} = A;

A \ B = {…; −4; −2; −1; 2; 3}.

Ta có A = {x Î ℤ | −2 ≤ x ≤ 1} nên suy ra A = {−2; −1; 0; 1};

B = (−2; 1].

Khi đó:

• A ∩ B = {−1; 0; 1};

• B ∩ ℕ = {0; 1}.

Dấu hiệu chia hết cho 13: Tổng của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 4 lần chữ số tận cùng chia hết cho 13.

• Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11.

• Dấu hiệu chia hết cho 13: Tổng của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 4 lần chữ số tận cùng chia hết cho 13.

Gọi d là ước chung lớn nhất của 5a + 2b và 7a + 3b nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}5a + 2b\; \vdots \;d\\7a + 3b\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {7a + 3b} \right) - 7\left( {5a + 2b} \right)\; \vdots \;d\\3\left( {5a + 2b} \right) - 2\left( {7a + 3b} \right)\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}35a + 15b - 35a - 14b\; \vdots \;d\\15a + 5b - 14a - 6b\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b\; \vdots \;d\\a\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b hay ƯCLN(a, b) = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).

x ⋮ 2, 3, 5 Þ x Î BC(2, 3, 5)

Þ x Î{30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; 240; 270; 300; 330; 360; 390; 420; ...}

Mà 300 < x < 400 Þ x Î{330; 360; 390}.

Vậy x Î{330; 360; 390}.

Gọi số học sinh của trường đó là x (x Î ℕ*; 300 ≤ x ≤ 400 )

Vì xếp hàng 5; 8; 12 thì đều thừa ra 1 em nên ta có:

x − 1 chia hết cho 5; 8; 12 Þ x − 1 Î BC(5, 8, 12) 

Ta có: 5 = 5; 8 = 2³; 12 = 2².3

BCNN(5, 8,1 2) = 2³.3.5 = 120

Suy ra BC(5,8,12) = B(120) = {0; 120; 240; 360; 480;......}

Vì x Î ℕ*; 300 ≤ x ≤ 400 Þ x = 360

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 360 em.

Nếu đựng đầy nước mắm trong 1 can 10 lít thì số can 2 lít được rót đầy nước mắm sẽ là: 10 : 2 = 5

Theo bài ra ta có số can 10 lít ít hơn số can 2 lít là 12 can nên ta có số can 10 lít là:

12 : (5 − 1) = 3 (can) 

Vậy số lít nước mắm là:

3 × 10 = 30 (lít)

 Đáp số: 30 lít.

Hiệu giữa số lớn nhất và số bé nhất là:

(20 − 1) × 2 = 38

Số bé nhất là:

246 − 38 = 208

Tổng của 20 số chẵn liên tiếp mà số lớn nhất là 246 là:

(208 + 246) × 20 : 2 = 4540

Đáp số: 4540.

Phân tích thành tích các thừa số nguyên tố: 

520 = 2³.5.13

Số ước tự nhiên của 520 là: 

(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) =16 (ước)

Đáp số: 16 ước.

333 : 3 + 225 : 15²

= 333 : 3 + 225 : 225

= 111 + 1 = 112

Phân tích số 112 thành tích các thừa số nguyên tố là:

112 = 2⁴ × 7.

4x² − 12x + 9

= (2x)² − 2.2x.3 + 3²

= (2x + 3)²

4x² − 12x = −9

Û 4x² − 12x + 9 = 0

Û (2x)² − 2.2x.3 + 3² = 0

Û (2x + 3)² = 0

Þ 2x + 3 = 0

\( \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\).

Ta có: 

(b + c − a)(c + a − b) = c² − (a − b)² ≤ c²

(c + a − b)(a + b − c) = a² − (b − c)² ≤ a²

(a + b − c)(b + c − a) = b² − (c − a)² ≤ b²

Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b − c > 0; b + c − a > 0; c + a − b > 0 ta có:

[(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)]² ≤ (abc)²

Û (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) £ abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Áp dụng BĐT AM - GM:

• \({a^2} + bc \ge 2a\sqrt {bc} \Rightarrow \frac{1}{{{a^2} + bc}} \le \frac{1}{{2a\sqrt {bc} }}\)

• \({b^2} + ca \ge 2b\sqrt {ca} \Rightarrow \frac{1}{{{b^2} + ca}} \le \frac{1}{{2b\sqrt {ca} }}\)

\({c^2} + ab \ge 2c\sqrt {ab} \Rightarrow \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{1}{{2c\sqrt {ab} }}\)

Khi đó:

\(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{1}{{2a\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{2b\sqrt {ca} }} + \frac{1}{{2c\sqrt {ab} }}\)

\( = \frac{{\sqrt {bc} + \sqrt {ca} + \sqrt {ab} }}{{2abc}} \le \frac{{\frac{{b + c}}{2} + \frac{{c + a}}{2} + \frac{{a + b}}{2}}}{{2abc}}\)

\( = \frac{{a + b + c}}{{2abc}}\).

Vậy \(\frac{1}{{{a^2} + bc}} + \frac{1}{{{b^2} + ac}} + \frac{1}{{{c^2} + ab}} \le \frac{{a + b + c}}{{2abc}}\)

Ta có: 2x + 3y chia hết cho 17

Û 4(2x + 3y) ⋮ 17

Û 8x + 12y ⋮ 17

Mà ta có:

8x + 12y + 9x + 5y = 17x + 17y ⋮ 17

Vậy 9x + 5y ⋮ 17

Đổi: 4,25 tấn = 425 yến; 7 tạ = 70 yến

Xe 2 chở được số tấn hàng là:

425 + 130 = 555 (yến)

Xe 3 chở được số tấn hàng là:

425 − 70 = 355 (yến)

Cả 3 xe chở được số tấn hàng là:

425 + 555 + 355 = 1335(yến)

Đổi: 1335 yến = 13,55 tấn

Đáp số: 13,55 tấn.

Đổi: 130 yến = 1,3 tấn

Xe thứ hai chở số tấn hàng là:

4,25 + 1,3 = 5,55 (tấn)

Đáp số: 5,55 tấn hàng.

A = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸

\( = \left( {5 + {5^2}} \right) + \left( {{5^3} + {5^4}} \right) + ... + \left( {{5^9} + {5^{10}}} \right)\)

\( = \left( {5 + {5^2}} \right) + {5^2}\,.\,\left( {5 + {5^2}} \right) + ... + {5^8}\,.\,\left( {5 + {5^2}} \right)\)

\( = \left( {5 + {5^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {5^2} + ... + {5^8}} \right)\)

\( = 30\,.\,\left( {1 + {5^2} + ... + {5^8}} \right)\; \vdots \;30\)

Vậy A là bội của 30.

B = 3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷ + … + 3²⁹

\( = \left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right) + \left( {{3^7} + {3^9} + {3^{11}}} \right) + ... + \left( {{3^{25}} + {3^{27}} + {3^{29}}} \right)\)

\( = \left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right) + {3^6}\,.\,\left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right) + ... + {3^{24}}\,.\,\left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right)\)

\( = \left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right)\,.\,\left( {1 + {3^6} + ... + {3^{24}}} \right)\)

\( = 273\,.\,\left( {1 + {3^6} + ... + {3^{24}}} \right)\; \vdots \;273\)

Vậy B là bội của 273.

B = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + … + 3²⁰

\( = \left( {3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4}} \right) + ... + \left( {{3^{19}} + {3^{20}}} \right)\)

\( = \left( {3 + {3^2}} \right) + {3^2}\,.\,\left( {3 + {3^2}} \right) + ... + {3^{18}}\,.\,\left( {3 + {3^2}} \right)\)

\( = \left( {3 + {3^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {3^2} + ... + {3^{18}}} \right)\)

\( = 12\,.\,\left( {1 + {3^2} + ... + {3^{18}}} \right)\; \vdots \;12\)

Vậy B là bội của 12.

a) a00 > −111

Vậy các giá trị của a thỏa mãn là a Î {1; 2; 3; …; 9}.

b) −a99 > −600

Vậy các giá trị của a thỏa mãn là a Î {1; 2; 3; 4; 5}.

c) −cb3 < −cba

Vậy các giá trị của a thỏa mãn là a Î {1; 2}.

Các giá trị của b thỏa mãn là b Î {0; 1; 2; 3; …; 9}

Các giá trị của của c thỏa mãn là c Î {1; 2; 3; …; 9}.

d) −cab < −c85

Vậy các giá trị của ab thỏa mãn là ab Î {86; 87; 88; …; 99}

Các giá trị của của c thỏa mãn là c Î {1; 2; 3; …; 9}.

Gọi a (học sinh) là số học sinh của trường đó.

Vì a chia hết cho cả 40 và 45 nên a Î BC(40, 45).

Ta có 40 = 2³.5; 45 = 3².5

Þ BCNN(40, 45) = 2³.3².5 = 360

Þ a Î BC(40, 45) = B(360) = {0; 360; 720; 1080; ...}.

mà 700 ≤ a ≤ 800 nên a = 720.

Vậy số học sinh là 720 học sinh.

Gọi a (học sinh) là số học sinh của trường đó.

Vì a chia hết cho cả 40 và 45 nên a Î BC(40, 45).

Ta có 40 = 2³.5; 45 = 3².5

Þ BCNN(40, 45) = 2³.3².5 = 360

Þ a Î BC(40, 45) = B(360) = {0; 360; 720; 1080; ...}

mà 700 ≤ a ≤ 800 nên a = 720.

Do đó trường đó có 720 học sinh.

Vậy để xếp 40 người 1 xe thì cần số xe là: 

720 : 40 = 18 (xe).

Số cần tìm là:

(88,5 − 25,71) × 6 = 376,74

Đáp số: 376,74.

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3

 Ta có tích 4 số đó là x(x + 1)(x + 2)(x + 3).

Vì x(x+1) là tích 2 số liên tiếp nên chia hết cho 2

x(x+1)(x+2) là tích 3 số liên tiếp nên chia hết cho 3

x(x+1)(x+2)(x+3) là tích 4 số liên tiếp nên chia hết cho 4.

Mà 2.3.4 = 24 Þ x(x+1)(x+2)(x+3) là bội của 24.

Hay x(x+1)(x+2)(x+3) chia hết cho 24.

Đổi: 9m² = 90 000 cm².

Diện tích của một viên gạch là:

30 × 30 = 900 (viên)

Vậy để lát hết phòng ngủ cần số viên gạch là:

90 000 : 90 = 100 (viên)

Số viên gạch dùng để lát phòng khách là:

300 − 100 = 200 (viên)

Diện tích của phòng khách là:

200 × 900 = 180 000 (cm²) = 18 (m²)

Đáp số: 18 m².

Đổi: \(\frac{{75}}{2} = 3,75\)

a) Chiều rộng của thửa ruộng là:

\(3,75 \times \frac{1}{3} = 1,25\;\,\left( m \right)\)

b) Diện tích thửa ruộng là:

\(3,75 \times 1,25 = 4,6875\;\,\,({m^2})\)

Đáp số: a) 1,25 m.

   b) 4,6875 m².

Chiều rộng thửa ruộng đó là:

\(75 \times \frac{2}{3} = 50\;\left( m \right)\)

Diện tích thửa ruộng là:

\(75 \times 50 = 3\,\,750\;\,\left( m \right)\)

a) Vì 105 ⋮ 35 nên ƯCLN(35, 105) = 35.

Vậy ƯCLN(35, 105) = 35.

b) Vì 180 ⋮ 15; 165 ⋮ 15 nên ƯCLN(15, 180, 165) = 15.

Vậy ƯCLN(15, 180, 165) = 15.

\({\left( {x + 3} \right)^2} = 9{\left( {2x - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 3\left( {2x - 1} \right)\\x + 3 = - 3\left( {2x - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 6x - 3\\x + 3 = - 6x + 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 6\\7x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\x = 0\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0;\;x = \frac{6}{5}\).

\(9{\left( {2x + 3} \right)^2} - 4{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\( = {3^2}.{\left( {2x + 3} \right)^2} - {2^2}.{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\[ = {\left[ {3.\left( {2x + 3} \right)} \right]^2} - {\left[ {2.\left( {x + 1} \right)} \right]^2}\]

\[ = {\left( {6x + 9} \right)^2} - {\left( {2x + 2} \right)^2}\]

\[ = \left( {6x + 9 + 2x + 2} \right)\left( {6x + 9 - 2x - 2} \right)\]

\[ = \left( {8x + 11} \right)\left( {4x + 7} \right)\].

• Với cos a = 0.

Thứ lại vào \(\sin a + \cos a = \frac{7}{5}\) ta suy ra \(\sin a = \frac{7}{5}\) (không thỏa mãn)

• Với cos a ≠ 0.

\(\sin a + \cos a = \frac{7}{5}\) (1)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = \frac{{49}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = \frac{{49}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2\sin a\cos a = \frac{{49}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow \sin a\cos a = \frac{{12}}{{25}}\)

\({\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a - 2\sin a\cos a\)

\( = 1 - 2\,.\,\frac{{12}}{{25}} = \frac{1}{{25}}\)

\( \Rightarrow \sin a - \cos a = \pm \frac{1}{5}\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được:

\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin a + \cos a = \frac{7}{5}\\\sin a - \cos a = \frac{1}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sin a + \cos a = \frac{7}{5}\\\sin a - \cos a = - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin a = \frac{4}{5}\\\cos a = \frac{3}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sin a = \frac{3}{5}\\\cos a = \frac{4}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan a = \frac{4}{3}\\\tan a = \frac{3}{4}\end{array} \right.\]

Ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - 0,{6^2} = 0,64\).

Vì  a là góc nhọn nên suy ra cos a = 0,8.

• \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = \frac{3}{4}\);

• \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{4}{3}\).

52 − (2x + 32) + 42 : 7 = 6

52 − (2x + 32) + 6 = 6

52 − (2x + 32) = 6 − 6

52 − (2x + 32) = 0

(2x + 32) = 52 − 0

2x + 32 = 52

2x = 20 

x = 20 : 2

Vậy x = 10 

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 3x + 3} = a\\\sqrt {x + 1} = b\end{array} \right.\,\,\;\left( {a,\;b \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} + 6 = {a^2} + 3{b^2}\)

Khi đó phương trình trở thành:

\({a^2} + 3{b^2} = 4ab\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 3{b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 3b} \right)\left( {a - b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = 3b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 3x + 3} = \sqrt {x + 1} \\\sqrt {{x^2} - 3x + 3} = 3\sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 3 = x + 1\\{x^2} - 3x + 3 = 9x + 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 2 = 0\\{x^2} - 12x - 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \pm \sqrt 2 \\x = 6 \pm \sqrt {42} \end{array} \right.\)

ĐK: \(x \ge \frac{1}{2}\)

\(\sqrt {2{x^2} + 3x - 2} - 3\sqrt {x + 6} = 4 - \sqrt {2{x^2} + 11x - 6} + 3\sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} - 3\sqrt {x + 6} = {\sqrt {x + 6} ^2} - {\sqrt {x + 2} ^2} - \sqrt {\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 6} \right)} + 3\sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} \left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 6} } \right) - 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 6} } \right) = \left( {\sqrt {x + 6} - \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 6} } \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1} - \sqrt {x + 6} + \sqrt {x + 2} - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 7} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x - 1} + \sqrt {x + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 7\).

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 7\).

Chiều dài cạnh khu đầm là:

2 : 4 = 0,5 (km)

Chiều dài đường chéo nhỏ khu đầm là:

0,5 × 6 : 5 = 0,6 (km)

Chiều dài đường chéo lớn khu đầm:

0,6 : 3 × 4 = 0,8 (km)

Diện tích khu đầm:

0,6 × 0,8 : 2 = 0,24 (km²) = 24 (ha)

Chú Tư hoạch được số tấn cá là:

24 : 1 × 15 = 360 (tấn)

Đáp số: 360 tấn.

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^3}\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{b^2}c + 2b{c^2} + 3{c^2}a + 3c{a^2} + 6abc\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {3{a^2}b + 3a{b^2} + 3abc} \right) + \left( {3{b^2}c + 2b{c^2} + 3abc} \right) + \left( {3{c^2}a + 3c{a^2} + 3abc} \right) - 3abc\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right) - 3abc\)

Với a + b + c = 0 nên suy ra \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\).

Hay a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm).

\({\left( {a + b + c} \right)^3}\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{b^2}c + 2b{c^2} + 3{c^2}a + 3c{a^2} + 6abc\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {3{a^2}b + 3a{b^2} + 3abc} \right) + \left( {3{b^2}c + 2b{c^2} + 3abc} \right) + \left( {3{c^2}a + 3c{a^2} + 3abc} \right) - 3abc\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right) - 3abc\)

Với a³ + b³ + c³ = 3abc nên suy ra:

\[{\left( {a + b + c} \right)^3} = 3ab\left( {a + b + c} \right) + 3bc\left( {a + b + c} \right) + 3ca\left( {a + b + c} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3ab + 3bc + 3ca\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c = 0\end{array} \right.\]

Vậy nếu a³ + b³ + c³ = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

• Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

• Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Vậy ƯC(18, 24) = {1; 2; 3; 6 }

18 = 2.3²; 24 = 2³.3

Þ ƯCLN(18, 24) = 2.3 = 6.

A = x² − 2xy + 2y² + 2x − 10y +17

= (x² − 2xy + y²) + 2(x − y) + 1 + (y² − 8y +16)

= (x − y)² + 2(x − y) + 1 + (y − 4)²

= (x − y + 1)² + (y − 4)² ≥ 0.

Vậy GTNN của A bằng 0 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\).

\(VT = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

\( = \frac{x}{x} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{z}{z}\)

\( = 3 + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right)\)

\( \ge 3 + 2\sqrt {\frac{x}{y}\,.\,\frac{y}{x}} + 2\sqrt {\frac{x}{z}\,.\,\frac{z}{x}} + 2\sqrt {\frac{x}{y}\,.\,\frac{y}{x}} \) (với x, y, z > 0)

\( = 3 + 2 + 2 + 2 = 9\)

Xét \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

\( = \frac{x}{x} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{z}{z}\)

\( = 3 + \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right)\)

\( \ge 3 + 2\sqrt {\frac{x}{y}\,.\,\frac{y}{x}} + 2\sqrt {\frac{x}{z}\,.\,\frac{z}{x}} + 2\sqrt {\frac{x}{y}\,.\,\frac{y}{x}} \) (với x, y, z > 0)

\( = 3 + 2 + 2 + 2 = 9\)

Vậy \(\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge \frac{9}{{x + y + z}}\)

Dấy “=” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{y}{x}\\\frac{z}{x} = \frac{x}{z}\\\frac{y}{z} = \frac{z}{y}\end{array} \right. \Rightarrow x = y = z\)

• TH1: a = 3k (k Î ℤ)

Ta có: (a − 1)(a + 2) + 12 = (3k − 1)(3k + 2) + 12

Vì (3k − 1)(3k + 2) không chia hết cho 3 mà 12 chia hết cho 3.

Nên suy ra: (3k − 1)(3k + 2) + 12 không chia hết cho 3.

Do đó (3k − 1)(3k + 2) + 12 không chia hết cho 9.

• TH2: a = 3k + 1 (k Î ℤ)

Ta có: (a − 1)(a + 2) + 12 = 3k(3k + 3) + 12 = 9k(k + 1) + 12

Vì 9k(k + 1) chia hết cho 9 mà 12 không chia hết cho 9.

Do đó 9k(k + 1) + 12 không chia hết cho 9.

• TH3: a = 3k + 2 (k Î ℤ)

Ta có: (a − 1)(a + 2) + 12 = (3k + 1)(3k + 4) + 12

Vì (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 3 mà 12 chia hết cho 3.

Nên suy ra: (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 3.

Do đó (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 9.

Vậy suy ra với mọi a thuộc ℤ, ta có: (a − 1)(a + 2) + 12 không là bội của 9.

Ta có: \({2^{300}} = {\left( {{2^3}} \right)^{100}} = {8^{100}}\);

\({3^{200}} = {\left( {{3^2}} \right)^{100}} = {9^{100}}\).

Vì \(8 < 9 \Rightarrow {8^{100}} < {9^{100}}\).

Vậy: 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.

Ta có: \(S = 1 + {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\)

\[3S = {3^1} + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{31}}\]

\[ \Rightarrow 2S = {3^{31}} - 1\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{{3^{31}} - 1}}{2}\]

\({3^{31}} - 1 = {\left( {{3^4}} \right)^7}\,.\,{3^3} - 1 = {\overline {...1} ^4}\;.\;\overline {...7} - 1\)

\( = \overline {...1} \;.\;\overline {...7} - 1 = \overline {...7} - 1 = \overline {...6} \)

Suy ra S có tận cùng là 3 hoặc 8

Mà số chính phương không có tận cùng là 3 hoặc 8 nên S không là số chính phương.

10% của 360 là 36

20% của 360 là 72

5% của 360 là 18

2,5% của 360 là 9

32,5% của 360 là 117

15 % của 360 lít là:

360 × 15 % = 54 (lít)

Đáp số: 54 lít.

Vì p là số nguyên tố nên \(p \in \left\{ {2;\;3;\;5;\;7;\;...} \right\}\)

• \(p = 2 \Leftrightarrow p + 2 = 2 + 2 = 4\) (hợp số, loại)

• \(p = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p + 2 = 3 + 2 = 5\\p + 10 = 3 + 10 = 13\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

• \(p > 3\) mà p là số nguyên tố nên p có 2 dạng:

+) \(p = 3k + 1\;\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Leftrightarrow p + 2 = 3k + 3\; \vdots \;3\) (hợp số, loại)

+) \(p = 3k + 2\;\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Leftrightarrow p + 10 = 3k + 12\; \vdots \;3\) (hợp số, loại)

Vậy p = 3 là giá trị cần tìm

(x + 3).(x + y − 5) = 7

Þ (x + 3), (x + y − 5) Î Ư(7) = {−1; 1; 7; −7}.

Lập bảng tìm x, y:

Vậy các cặp số (x; y) thỏa mãn là: (x; y) Î {(−10; 14); (−4; 2); (−2; 14); (4; 2)}.

(x − 3)(y − 5) = 7

Þ (x − 3), (y − 5) ΠƯ(7) = {−1; 1; 7; −7}.

Lập bảng tìm x, y:

Vậy các cặp số (x; y) thỏa mãn là: (x; y) Î {(−4; 4); (2; −2); (4; 11); (10; 6)}.

Đặt \(S = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}} + \frac{1}{{729}}\)

\(3S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}\)

\(3S - S = 1 - \frac{1}{{729}}\)

\(2S = \frac{{728}}{{729}}\)

\(S = \frac{{728}}{{729}}:2\)

Vậy \(S = \frac{{364}}{{729}}\)

Đặt \(S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} + \frac{1}{{243}}\)

\(3S = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}}\)

\(3S - S = 3 - \frac{1}{{243}}\)

\(2S = \frac{{728}}{{243}}\)

\(S = \frac{{728}}{{243}}:2\)

Vậy \(S = \frac{{364}}{{243}}\)

2^x + 2^{x + 3} = 144

\( \Leftrightarrow {2^x}\,.\,1 + {2^x}\,.\,{2^3} = 144\)

\( \Leftrightarrow {2^x}\,.\,\left( {1 + {2^3}} \right) = 144\)

\( \Leftrightarrow {2^x}\,.\,9 = 144\)

\( \Leftrightarrow {2^x} = 144:9 = 16\)

\( \Rightarrow x = 4\)

Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.

Từ 2 đến 9 có số chữ số là:

(9 − 2) : 1 + 1 = 8 (số)

Để viết từ 2 đến 9 cần số chữ số là:

8 × 1 = 8 (chữ số)

Từ 10 đến 99 có số chữ số là:

(99 − 10) : 1 + 1 = 90 (số)

Để viết từ 10 đến 99 cần số chữ số là:

90 × 2 = 180 (chữ số)

Từ 100 đến 125 có số chữ số là:

(125 − 100) : 1 + 1 = 26 (số)

Để viết từ 2 đến 9 cần số chữ số là:

26 × 3 = 78 (chữ số)

Vậy để viết các số tự nhiên liên tiếp từ 2 đến 125 thì cần dùng số chữ số là:

8 + 180 + 78 = 266 (chữ số)

Đáp số: 266 chữ số.