Lời giải

Gọi chiều dài hình chữ nhật là a (cm), chiều rộng hình chữ nhật là b (cm).

Theo đề bài ta có \(b = \frac{2}{5}a\)

Nếu chiều rộng thêm 21 cm và giữ nguyên chiều dài thì hình chữ nhật đó trở thành hình vuông

Suy ra b + 21 = a

\( \Leftrightarrow \frac{2}{5}a + 21 = a\)

\( \Leftrightarrow a - \frac{2}{5}a = 21\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{5}a = 21\)

⇔ a = 35

Suy ra b = 35 – 21 = 14

Chu vi hình chữ nhật là (35 + 14) . 2 = 98 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là 35 . 14 = 490 (cm²)

Vậy chu vi hình chữ nhật là 98 cm và diện tích là 490 cm².

Lời giải

Tỉ số phần trăm của số bi xanh và số bi trong hộp là:

24 : 40 . 100% = 60 %

Vậy tỉ số phần trăm của số bi xanh và số bi trong hộp là 60%.

Lời giải

Số bi xanh trong hộp là:

\(40 \times \frac{7}{{10}} = 28\) (viên)

Số bi đỏ trong hộp là:

40 – 28 = 12 (viên)

Vậy trong hộp có 28 viên bi xanh và 12 viên bi đỏ.

Lời giải

Gọi số học sinh khối 6 trường đó là x ( x ∈ ℕ*, 350 <  x < 400)

Theo đề bài xếp 30 hay 45 người ngồi vào 1 xe thì không còn dư một ai

Suy ra x chia hết cho cả 30 và 45

Do đó x ∈ BC(30, 45)

Ta có:

30 = 2 . 3 . 5

45 = 3² . 5

Suy ra BCNN(30, 45) = 2 . 3² . 5 = 90

Do đó BC(30, 45) = {0; 90; 180; 270; 360; 450; ...}

Mà 350 < x < 400

Suy ra x = 360

Vậy trường đó có 360 học sinh khối 6.

Lời giải

Gọi số học sinh khối 6 là a (a ∈ ℕ*, 400 < a < 500)

Theo đề bài ta có a ∈ BC(6; 8; 10)

Ta có

6 = 2 . 3

8 = 2³

10 = 2 . 5

Suy ra BCNN(6, 8, 10) = 2³ . 3 . 5 = 120

Suy ra BC(6, 8, 10) ={0; 120; 240; 360; 480; 600; ...}

Mà 400 < a < 500

Suy ra a = 480

Vậy số học sinh là 480 em.

Lời giải

Vì thương của số bé vá số lớn là 0,6 hay \(\frac{3}{5}\) nên tỉ số của hai số đó là \(\frac{3}{5}\)

Ta coi số bé là 3 phần bằng nhau thì số lớn là 5 phần bằng nhau như vậy.

Tổng số phần bằng nhau

3 + 5 = 8 (phần)

Giá trị của một phần

0,6 : 8 = 0,075

Số bé là:

0,075 × 3 = 0,225.

Số lớn là:

0,6 − 0,225 = 0,375.

Vậy hai số cần tìm là 0,225 và 0,375.

Lời giải

Gọi thời gian đội I và đội II làm một mình xong công việc lần lượt là x và y (ngày) (x, y > 0)

Do đó, đội I làm 1 ngày được \(\frac{1}{x}\) công việc.

Đội II làm 1 ngày được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình sau:

Do đó 1 ngày cả 2 đội làm được

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{78}} + \frac{7}{{156}} = \frac{3}{{52}}\) (công việc)

Suy ra 2 đội cùng làm thì sau \(\frac{{52}}{3}\) ngày thì xong công việc

Vậy 2 đội cùng làm thì sau \(\frac{{52}}{3}\) ngày thì xong công việc.

Lời giải

Tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh cả trường là:

13 : 25 × 100% = 52%

Vậy số học sinh nữ chiếm 52% số học sinh của lớp đó.

Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy có 42 hình tứ giác.

Lời giải

Mua 1 m vải hết số tiền là:

80 000 : 4 = 20 000 (đồng)

Mua 6,8 m vải cùng loại phải trả số tiền là:

20 000 × 6,8 = 136 000 (đồng)

Mua 6,8 m vải cùng loại phải trả nhiều hơn số tiền là:

136 000 – 80 000 = 56 000 (đồng)

Vậy mua 6,8 m vải cùng loại phải trả nhiều hơn 56 000 đồng.

Lời giải

Mua 1 kg đường phải trả:

85 000 : 5 = 17 000 (đồng)

Mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả :

17 000 × 3,5 = 59 500 (đồng)

Mua 3,5 kg đường cùng loại thì phải trả ít hơn số tiền là

85 000 – 59 500 = 25 500 (đồng)

Vậy mua 3,5 kg đường cùng loại thì phải trả ít hơn 25 500 đồng.

Lời giải

Các trang từ 1 đến 9: có 9 trang, mỗi trang viết 1 chữ số

Các trang từ 10 đến 99: có 90 trang, mỗi trang viết 2 chữ số

Các trang từ 100 đến 250 : có 151 trang, mỗi trang viết 3 chữ số.

Vậy phải viết tất cả là: 

9 × 1 + 90 × 2 + 151 × 3 = 642 (chữ số) 

Vậy cần dùng 642 chữ số.

Lời giải

Cửa hàng có tất cả:

175 × 40 = 7 000 (quả trứng)

Cửa hàng đã bán:

175 × 10 = 1 750 (quả trứng)

Cửa hàng còn lại:

7 000 – 1 750 = 5 250 (quả trứng)

Vậy cửa hàng còn lại 5 250 quả trứng.

Lời giải

Nếu giảm chiều dài 15 cm và giảm chiều rộng 5 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông nên hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là: 15 – 5 = 10 (cm).

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 124 : 2 = 62 (cm).

Chiều dài hình chữ nhật là: (62 + 10) : 2 = 36 (cm).

Chiều rộng là: 36 – 10 = 26 (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: 36.26 = 936 (cm²).

Vậy diện tích hình chữ nhật là 936 cm².

Lời giải

Gọi chiều rộng là a (a > 0).

Theo bài ra ta có phương trình

(a + 30) . 2 = 5a

⇔ 2a + 60 = 5a

⇔ 60 = 3a

⇔ a = 20

Diện tích hình chữ nhật là 20 . 30 = 600 (m²)

Vậy diện tích hình chữ nhật là 600 m².

Lời giải

Do tăng chiều dài thêm 3 m, chiều rộng thêm 9 m nên chiều dài hơn chiều rộng là:

9 – 3 = 6 (m).

Nửa chu vi hình chữ nhật hay tổng chiều dài và chiều rộng bằng số lần chiều rộng là: 

5 : 2 = 2,5 (lần)

Đổi \(2,5 = \frac{5}{2}\)

Nếu nửa chu vi là 5 phần thì chiều rộng là 2 phần.

Vậy số phần chỉ chiều dài là 5 – 2 = 3 (phần).

Hiệu số phần giữa chiều dài và chiều rộng là:

3 – 2 = 1 (phần)

Mà giá trị 1 phần là: 6 (m).

Chiều dài là: 

6.3 = 18 (m)

Chiều rộng là: 

6.2 = 12 (m)

Vậy chiều dài là 18 m và chiều rộng là 12 m.

Lời giải

Do bớt chiều dài đi 3,2m và thêm chiều rộng 1,2m thì hình chữ nhật đó trở thành hình vuông nên chiều dài hơn chiều rộng là: 

3,2 + 1,2 = 4,4 (m)

Nửa chu vi hình chữ nhật hay tổng chiều dài và chiều rộng bằng số lần chiều rộng là: 5 : 2 = 2,5 (lần)Đổi \(2,5 = \frac{5}{2}\)Nếu nửa chu vi là 5 phần thì chiều rộng là 2 phần. Vậy số phần chỉ chiều dài là 5 – 2 = 3 (phần).Hiệu số phần giữa chiều dài và chiều rộng là: 3 – 2 = 1 (phần)Mà giá trị 1 phần là: 4,4 (m).

Chiều rộng là: 

4,4 . 2 = 8,8 (m)

Chiều dài là: 

4,4 . 3 = 13,2 (m).

Diện tích của hình chữ nhật là: 

8,8 . 13,2 = 116,16 (m²).

Lời giải

Muốn nhân hai lũy thừa khác cơ số và số mũ ta sẽ đổi từ dạng lũy thừa sang dạng số tự nhiên và tính bình thường.

Ta có ví dụ sau:

2⁵ . 3² = 32 . 9 = 288.

Lời giải

Ta có:

x + y = 2

y + z = 3

z + x = – 5

Suy ra x + y + y + z + z + x = 2 + 3 + (− 5)

⇔ 2x + 2y + 2z = 0

⇔ 2(x + y + z) = 0

⇔ x + y + z = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = - \left( {x + y} \right)\\x = - \left( {y + z} \right)\\y = - \left( {x + z} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = - 2\\x = - 3\\y = 5\end{array} \right.\)

Vậy x = – 3, y = 5, z = – 2.

Lời giải

Ta có 5x = 7y \( \Leftrightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{5}\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{7} = \frac{{2y}}{{10}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{x}{7} = \frac{{2y}}{{10}} = \frac{{x + 2y}}{{7 + 10}} = \frac{{51}}{{17}} = 3\)

Suy ra x = 3 . 7 = 21, y = (3 . 10) : 2 = 15

Vậy x = 21, y = 15.

Lời giải

Ta có

\(\frac{9}{{25}} = \frac{{9{\rm{ }} \times {\rm{ }}3}}{{25{\rm{ }} \times {\rm{ }}3}} = \frac{{27}}{{75}}\)

Giữ nguyên \(\frac{{16}}{{75}}\).

Lời giải

Đổi: 6 giờ 30 phút = 6,5 giờ

1 giờ anh nông dân cày được là:

7 897,5 : 6,5 = 1 215 (m²)

Đổi: 4 giờ 45 phút = 4,75 giờ

Trong 4 giờ 45 phút anh nông dân cày được là:

4,75 × 1 215 = 5 771,25 (m²)

Vậy trong 4 giờ 15 phút thì anh nông dân đó cày được 5 771,25 m² đất.

Lời giải

Ta có

Vì 72⁴⁴ > 72⁴³ nên 72⁴⁵ – 72⁴⁴ > 72⁴⁴ – 72⁴³.

Vậy 72⁴⁵ – 72⁴⁴ > 72⁴⁴ – 72⁴³.

Lời giải

Ta có

Vậy (– 8) . 25 . (– 2) . 4 . (– 5) . 125 = 1 000 000.

Lời giải

Gọi số học sinh khối 6 của trường Kết Đoàn là a (học sinh) (a ∈ ℕ*) (300 < a < 400).

Vì xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ nên a chia hết cho cả 12, 15 và 18.

Do đó a = BC(12, 15, 18)

Ta có:

12 = 2² . 3;

15 = 3 . 5;

18 = 2 . 3²

Suy ra BCNN(12, 15, 18) = 2² . 3² . 5 = 180

Nên BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540; …}

Mà 300 < a < 400 nên a = 360 (học sinh)

Vậy số học sinh khối 6 của trường Kết Đoàn là 360 học sinh.

Lời giải

Số số lẻ là (99 – 11) : 2 + 1 = 45 (số)

Ta có

11 + 13 + 15 + 17+ ... + 99 (45 số hạng)

= (99 + 11) . 45 : 2

= 110 . 45 : 2

=2 475

Số trung bình cộng của 2 475 là

2 475 : 45 = 55

Vậy số trung bình cộng của các số lẻ từ 11 đến 100 là 45.

Lời giải

Ta có \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = \frac{9}{4}\)

\( \Leftrightarrow a + b + ab + 1 = \frac{9}{4}\)

\( \Leftrightarrow a + b + ab = \frac{4}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có

a² + b² ≥ 2ab

\[{{\rm{a}}^2} + \frac{1}{4} \ge 2.a.\frac{1}{2} = a\]

\[{b^2} + \frac{1}{4} \ge 2.b.\frac{1}{2} = b\]

Suy ra \[{{\rm{a}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^2}{\rm{ + 2}}\left( {{{\rm{a}}^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{b^2} + \frac{1}{4}} \right) \ge 2ab + 2{\rm{a}} + 2b\]

⇔ 3(a² + b²) + 1 ≥ 2(a + b + ab)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2.\frac{5}{4} - 1 = \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Min – cốp – ski ta có

\(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {{a^2}} \right)}^2}} + \sqrt {{1^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \ge \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right) + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \)

\[ \Leftrightarrow P \ge \sqrt {4 + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \]

\( \Leftrightarrow P \ge \sqrt {4 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow P \ge \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \[{\rm{a}} = b = \frac{1}{2}\]

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{\sqrt {17} }}{2}\) khi \[{\rm{a}} = b = \frac{1}{2}\].

Lời giải

Ta có 1 ngày = 24 giờ

Suy ra \(\frac{1}{4}\) ngày bằng số giờ là:

\(24{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{1}{4} = 6\) (giờ)

Vậy \(\frac{1}{4}\) ngày = 6 giờ.

Lời giải

Ta có

0,12 × 400

= 0,12 × (100 × 4)

= (0,12 × 100) × 4

= 12 × 4

= 48

Vậy 0,12 × 400 = 48.

Lời giải

Ta có

Vậy x = 13.

Lời giải

Ta có A = 1,7 × 2,7 × 3,7 × ... × 9,7 × 10,7.

Ta chia 10 số hạng của A thành các nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng thì có tất cả 10 : 4 = 2 (nhóm) dư 2 số hạng.

Do đó

A = (1,7 × 2,7 × 3,7 × 4,7) × (5,7 × 6,7 × 7,7 × 8,7) × 9,7 × 10,7 

A = ...1 × ...1 × ...9

A = ...9

Vậy tích A có tận cùng là 9.

Lời giải

Lượng nước trong 80kg nấm tươi là:

80.85% = 68 (kg).

Khối lượng nấm nguyên chất trong nấm tươi là: 80 – 68 = 12 (kg).

Lượng nấm trên chiếm 100% – 60% = 40% trong nấm khô nên ta thu được số kg nấm khô là:

12 : 40% = 30 (kg).

Vậy nếu phơi 80 kg nấm tươi thì thu được 30 kg nấm khô.

Lời giải

Cách 1:

(6,75 + 3,25) × 4,2

= 10 × 4,2 = 42

Cách 2:

(6,75 + 3,25) × 4,2

= 6,75 × 4,2 + 3,25 × 4,2

= 28,35 + 13,65

= 42.

Lời giải

Kéo dài AM cắt DC tại E 

Suy ra S_ABM = S_MCE

Do đó diện tích tam giác ADE bằng diện tích hình thang ABCD nên diện tích tam giác ADE bằng 18cm²

Vì M là trung điểm của AE nên diện tích tam giác ADE gấp đôi diện tích tam giác ADM

Suy ra diện tích tam giác ADM là:

18 : 2 = 9 (cm²)

Vậy diện tích tam giác ADM bằng 9 cm².

Lời giải

Giả sử P(x)= ax³ + bx² + cx + d (0 ≤ a, b, c, d < 5)

P(5) = 259

⇔ 125a + 25b + 5c + d = 259

Vì 0 ≤ a, b, c, d < 5

Nên a = 2

Suy ra 25 b + 5c + d = 259 – 125 . 2 = 9

Vì 9 < 25 nên b = 0

Khi đó 5c + d = 9

Mà 0 ≤ c, d < 5

Suy ra c = 1, d = 4

Do đó P(x) = 2x³ + x + 4

Suy ra P(2049) = 2 . 2049³ + 2049 + 4 = 17 205 049 351

Vậy P(2049) = 17 205 049 351.

Lời giải

Chiều dài hơn chiều rộng số cm là

115 + 5 = 120 (cm).

Do hình chữ nhật có chiều dài gấp 5 lần chiều rộng nên coi chiều rộng là 1 phần thì chiều dài là 5 phần. Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 1 = 4 (phần).

Chiều rộng hình chữ nhật là

120 : 4 = 30 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là

30 . 5 = 150 (cm)

Chu vi hình chữ nhật là

(150 + 30) × 2 = 360 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là

150 × 30 = 4 500 (cm²)

Vậy chu vi hình chữ nhật là 360 cm, diện tích hình chữ nhật là 4 500 cm².