Lời giải

Ta có:

\({\sin ^2}\frac{x}{2} - 2co{s^2}\frac{x}{4} = \frac{3}{4}\)

\[ \Leftrightarrow \left( {1 - co{s^2}\frac{x}{2}} \right) - \left( {cos\frac{x}{2} + 1} \right) = \frac{3}{4}\]

\[ \Leftrightarrow 1 - co{s^2}\frac{x}{2} - cos\frac{x}{2} - 1 - \frac{3}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow co{s^2}\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {co{s^2}\frac{x}{2} + 2.cos\frac{x}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} = 0\] (vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải

Gọi (d): y = 2x – 1 và (d’): y = 3x + m.

Trục Ox: y = 0.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và Ox: \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Với \(x = \frac{1}{2}\), ta có: y = 0.

Suy ra giao điểm của (d) và trục hoành là \(I\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Yêu cầu bài toán ⇔ Đường thẳng (d’) đi qua điểm \(I\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Ta có I ∈ (d’). Suy ra \(0 = 3.\frac{1}{2} + m\).

\( \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}\).

Vậy \(m = - \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD.

Khi đó PQ là đường trung bình của tam giác ABD nên PQ // BD.

Do I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SAD nên \(\frac{{SI}}{{SP}} = \frac{2}{3} = \frac{{SJ}}{{SQ}}\).

Do đó IJ // PQ, suy ra IJ // BD

Có IJ // BD, IJ ⊂ (IJM), BD ⊂ (ABCD)

Þ giao tuyến của (IJM) và (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với BD.

Đường thẳng này cắt AD tại N.

Khi đó mp(IJM) chính là mp (IJNM), mp(SAD) chính là mp(SAN)

Trong mp(SAN), JN cắt SD tại E.

Ta có: JN ∩ SD = {E}; JN ⊂ (IJM)

Khi đó E là giao điểm của SD và (IJM).

Lời giải

Khi dịch dấu phẩy của số bé sang trái một hàng, ta thấy số bé ban đầu gấp 10 lần số bé sau khi dịch dấu phẩy.

HIệu số bé ban đầu và số bé sau khi dịch dấu phẩy là: 117,83 – 66,8 = 51,03.

Số bé ban đầu là: 51,03 : (10 – 1) ⨯ 10 = 56,7.

Số lớn là: 56,7 + 66,8 = 123,5.

Đáp số : 123,5.

Lời giải

– Lấy nước đổ vào đầy cái cốc loại 250 ml, sau đó đổ hết vào cái cốc loại 400 ml.

– Tiếp tục lấy nước đổ vào đầy cái cốc loại 250 ml, sau đó đổ vào cái cốc loại 400 ml cho đến khi cái cốc loại 400 ml chứa đầy nước.

– Khi đó trong cái cốc loại 250 ml còn lại 100 ml nước.

Lời giải

Ta có \(A \subset B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 2\\2m + 2 > 4\\m - 1 < 4\\2m + 2 > - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\2m > 2\\m < 5\\2m > - 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m > 1\\m < 5\\m > - 2\end{array} \right.\)

⇔ 1 < m < 5.

Vậy 1 < m < 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Ta thấy a, b ∈ ℕ.

Ta có ƯCLN(a, b) = 4.

Suy ra a = 4m và b = 4n, với m, n ∈ ℕ* và (m, n) = 1.

Ta lại có a + b = 48.

Suy ra 4m + 4n = 48.

Do đó 4(m + n) = 48.

Vì vậy m + n = 48 : 4 = 12.

Suy ra m + n = 11 + 1 = 10 + 2 = 9 + 3 = 8 + 4 = 7 + 5 = 6 + 6.

Giả sử a ≥ b. Suy ra m ≥ n.

Mà (m, n) = 1.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}m = 11\\n = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m = 7\\n = 5\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 6\end{array} \right.\).

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m = 11\\n = 1\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4m = 4.11 = 44\\b = 4n = 4.1 = 4\end{array} \right.\) (nhận)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m = 7\\n = 5\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4m = 4.7 = 28\\b = 4n = 4.5 = 20\end{array} \right.\)   (nhận)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 6\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4m = 4.6 = 24\\b = 4n = 4.6 = 24\end{array} \right.\)   (nhận)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 44 và 4; 28 và 20; 24 và 24.

Lời giải

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AC.

Gọi K là trọng tâm của tam giác JBC.

Theo đề, ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\).

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\)

\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {MJ} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MI} .3\overrightarrow {MK} = \vec 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {MK} = \vec 0\]

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} \bot \overrightarrow {MK} \)

\( \Leftrightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \).

Khi đó ta thấy điểm M luôn nhìn đoạn IK một góc 90°.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn đường kính IK.

Lời giải

Số đối của 24 là –24.

Lời giải

Ta có: \({K^2} = {\left( {\frac{{x + y}}{{x - y}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} = \frac{{3{x^2} + 6xy + 3{y^2}}}{{3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}}\)

                 \( = \frac{{10xy + 6xy}}{{10xy - 6xy}} = \frac{{16xy}}{{4xy}} = 4\)

Suy ra K = 2 hoặc K = – 2.

Mà y > x > 0 nên x + y > 0 và x – y < 0, suy ra \(K = \frac{{x + y}}{{x - y}} < 0\).

Do đó K = – 2.

Lời giải

Ta xét phương trình: 5sin²x + 3sinxcosx – 4cos²x = 2 (1)

Với cosx = 0 ta có (1) trở thành:

5sin²x = 2 \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{2}{5}\) (vô lí vì khi cosx = 0 thì cos²x = 0 nên sin²x = 1)

Với cosx ≠ 0, ta chia 2 vế của (1) cho cos²x được:

\(5.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3.\frac{{sinxcosx}}{{{{\cos }^2}x}} - 4.\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\)

Û 5tan²x + 3tanx – 4 = 2(tan²x + 1)

Û 3tan²x + 3tanx – 6 = 0

Û tan²x + tanx – 2 = 0

Û (tanx – 1)(tanx + 2) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 2\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;\,\,x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Điều kiện: n ∈ ℕ.

Ta có A = n³ – 4n² + 4n – 1

= (n³ – 1) – (4n² – 4n)

= (n – 1)(n² + n + 1) – 4n(n – 1)

= (n – 1)(n² + n + 1 – 4n)

= (n – 1)(n² – 3n + 1).

Để A là số nguyên tố thì A là tích của 1 và chính nó (A > 1).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 1 = 1\\{n^2} - 3n + 1 = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\{n^2} - 3n = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n\left( {n - 3} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n = 0\\n - 3 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\\n = 0\\n = 3\end{array} \right.\)

Với n = 2, ta có: A = n³ – 4n² + 4n – 1 = 2³ – 4.2² + 4.2 – 1 = –1 < 1.

Do đó ta loại n = 2.

Với n = 0, ta có: A = n³ – 4n² + 4n – 1 = 0³ – 4.0² + 4.0 – 1 = –1 < 1.

Do đó ta loại n = 0.

Với n = 3, ta có: A = n³ – 4n² + 4n – 1 = 3³ – 4.3² + 4.3 – 1 = 2 > 1.

Do đó ta nhận n = 3.

So với điều kiện n ∈ ℕ, ta nhận n = 3.

Vậy n = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Ta có x⁴ + 2x³ – 6x – 9 = 0.

⇔ (x⁴ + 2x³ + x²) – (x² + 6x + 9) = 0.

⇔ (x² + x)² – (x + 3)² = 0.

⇔ (x² + x – x – 3)(x² + x + x + 3) = 0.

⇔ (x² – 3)(x² + 2x + 3) = 0.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3 = 0\\{x^2} + 2x + 3 = 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \).

Vậy \(x = \pm \sqrt 3 \).

Lời giải

Ta có \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\).

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\2x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

• Với –π < x < π, ta có: \( - \pi < \frac{\pi }{{24}} + k\pi < \pi \).

\( \Leftrightarrow - \frac{{25\pi }}{{24}} < k\pi < \frac{{23\pi }}{{24}}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{25}}{{24}} < k < \frac{{23}}{{24}}\).

Mà k ∈ ℤ.

Suy ra k ∈ {–1; 0}.

Khi đó \(x = - \frac{{23\pi }}{{24}};\,x = \frac{\pi }{{24}}\).

• Với –π < x < π, ta có: \( - \pi < - \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi < \pi \).

\( \Leftrightarrow - \frac{{17\pi }}{{24}} < k\pi < \frac{{31\pi }}{{24}}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{17}}{{24}} < k < \frac{{31}}{{24}}\).

Mà k ∈ ℤ.

Suy ra k ∈ {0; 1}.

Khi đó \(x = - \frac{{7\pi }}{{24}};\,\,x = \frac{{17\pi }}{{24}}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ { - \frac{{23\pi }}{{24}};\,\,\frac{\pi }{{24}};\, - \frac{{7\pi }}{{24}};\,\,\frac{{17\pi }}{{24}}} \right\}\).

Lời giải

Ta có \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\).

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{24}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi ;\,x = - \frac{\pi }{{24}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Ta có cos2x – 3cosx + 2 = 0.

⇔ 2cos²x – 1 – 3cosx + 2 = 0.

⇔ 2cos²x – 3cosx + 1 = 0.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = k2\pi ;\,x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Ta có \(34\frac{6}{x} = \frac{{34.x + 6}}{x}\).

Theo đề, ta có khi chuyển hỗn số \(34\frac{6}{x}\) về dạng phân số thì ta được phân số tối giản A có tổng tử số và mẫu số là 461.

Suy ra 34 . x + 6 + x = 461.

Do đó 35 . x = 455.

Vì vậy x = 455 : 35 = 13.

Vậy x = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Ta có \(B = \left( {\frac{1}{{x - 4}} - \frac{1}{{x - 4\sqrt x + 4}}} \right).\frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\left( {\sqrt x + 2} \right)\)

\( = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}\).

Vậy \(B = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}\).

Lời giải

Ta có sin²2x + sin²4x = sin²6x.

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 - \cos 8x}}{2} = \frac{{1 - \cos 12x}}{2}\)

⇔ 1 – cos4x + 1 – cos8x = 1 – cos12x

⇔ (cos12x – cos4x) + (1 – cos8x) = 0

⇔ –2sin8x.sin4x + 2sin²4x = 0

⇔ –2sin4x.(sin8x – sin4x) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x = 0\\\sin 8x = \sin 4x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k\pi \\8x = 4x + k2\pi \\8x = \pi - 4x + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{4}\\4x = k2\pi \\12x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{4}\\x = k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{4}\\x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = k\frac{\pi }{4};\,\,x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có \({\sin ^2}2x = \frac{1}{2}\).

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{1}{2}\)

⇔ 1 – cos4x = 1

⇔ cos4x = 0

\( \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

ĐKXĐ: x ≥ 0.

Ta có \(\sqrt {16x} - 2\sqrt {36x} + 3\sqrt {9x} = 2\).

\( \Leftrightarrow 4\sqrt x - 2.6\sqrt x + 3.3\sqrt x = 2\).

\( \Leftrightarrow 4\sqrt x - 12\sqrt x + 9\sqrt x = 2\).

\( \Leftrightarrow \sqrt x = 2\).

⇔ x = 4.

So với điều kiện x ≥ 0, ta nhận x = 4.

Vậy x = 4.

Lời giải

Gọi số cần tìm là \(n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \), với 1 ≤ a₁ ≤ 5 và a₆ lẻ.

Đặt X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Trường hợp 1: a₁ lẻ.

Do a₁ ∈ {1; 3; 5} nên a₁ có 3 cách chọn.

Do a₆ ∈ {1; 3; 5; 7; 9} và bỏ đi {a₁} nên a₆ có 4 cách chọn.

Do a₂ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆} nên a₂ có 8 cách chọn.

Do a₃ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂} nên a₃ có 7 cách chọn.

Do a₄ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃} nên a₄ có 6 cách chọn.

Do a₅ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃, a₄} nên a₅ có 5 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có 3.4.8.7.6.5 = 20160 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 1.

Trường hợp 2: a₁ chẵn.

Do a₁ ∈ {2; 4} nên a₁ có 2 cách chọn.

Do a₆ ∈ {1; 3; 5; 7; 9} nên a₆ có 5 cách chọn.

Do a₂ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆} nên a₂ có 8 cách chọn.

Do a₃ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂} nên a₃ có 7 cách chọn.

Do a₄ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃} nên a₄ có 6 cách chọn.

Do a₅ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃, a₄} nên a₅ có 5 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có 2.5.8.7.6.5 = 16800 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 2.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả 20160 + 16800 = 36960 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Số lẻ nhỏ nhất có ba chữ số khác nhau là số 103.

Số chẵn lớn nhất gồm 2 chữ số chẵn khác nhau là số 88.

Vậy tổng của hai số trên là: 103 + 88 = 191.

Lời giải

Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + … + 99.

Số các số hạng của A là: (99 – 1) : 1 + 1 = 99.

Khi đó A = (99 + 1) . 99 : 2 = 4950.

Vậy A = 4950.

Lời giải

Ta có 7(x² + xy + y²) = 39(x + y).

⇔ 7.[(x + y)² – xy] = 39(x + y).

⇔ 7(x + y)² – 39(x + y) = 7xy.

⇔ 28(x + y)² – 156(x + y) = 7.4xy   (1)

Ta có (x – y)² ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ x² + 2xy + y² ≥ 4xy, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ (x + y)² ≥ 4xy, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ 7(x + y)² ≥ 7.4xy, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ 7(x + y)² ≥ 28(x + y)² – 156(x + y), ∀x, y ∈ ℝ   (2)

Đặt t = x + y.

Khi đó (2) tương đương với: 7t² ≥ 28t² – 156t.

⇔ 21t² – 156t ≤ 0.

⇔ t(21t – 156) ≤ 0.

\[ \Leftrightarrow 0 \le t \le \frac{{52}}{7}\].

⇔ 0 ≤ t ≤ 7.

Thế t = x + y vào (1), ta được: 7t² – 39t = 7xy.

\( \Leftrightarrow {t^2} - \frac{{39}}{7}t = xy\).

Vì x, y là các số nguyên nên t nguyên và xy nguyên.

Khi đó \(\frac{{39}}{7}t\) nguyên.

Vì vậy t ⋮ 7.

Mà 0 ≤ t ≤ 7.

Suy ra t = 0 hoặc t = 7.

Với t = 0, ta có: x + y = 0 ⇔ x = –y.

Thế x = –y vào phương trình ban đầu, ta được: 7(y² – y² + y²) = 39(–y + y).

⇔ 7y² = 0 ⇔ y² = 0 ⇔ y = 0.

Khi đó x = –y = 0.

Với t = 7, ta có: x + y = 7 ⇔ x = 7 – y.

Thế x = 7 – y vào phương trình ban đầu, ta được:

7[(7 – y)² + (7 – y)y + y²] = 39(7 – y + y).

⇔ 7.(49 – 14y + y² + 7y – y² + y²) = 273.

⇔ 7.(49 – 7y + y²) = 273.

⇔ 343 – 49y + 7y² = 273.

⇔ 70 – 49y + 7y² = 0.

⇔ 7(y – 5)(y – 2) = 0.

⇔ y = 5 hoặc y = 2.

Với y = 5, ta có: x = 7 – y = 7 – 5 = 2.

Với y = 2, ta có: x = 7 – y = 7 – 2 = 5.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 0), (2; 5), (5; 2).

Lời giải

Ta có \(\frac{{m!\,\, - \left( {m - 1} \right)!}}{{\left( {m + 1} \right)!}} = \frac{1}{6}\) (Điều kiện: m ≠ –1, m ≠ 0)

\( \Leftrightarrow \frac{{m.\left( {m - 1} \right)!\,\, - \left( {m - 1} \right)!}}{{\left( {m + 1} \right).m.\left( {m - 1} \right)!}} = \frac{1}{6}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {m - 1} \right).\left( {m - 1} \right)!}}{{\left( {m + 1} \right).m.\left( {m - 1} \right)!}} = \frac{1}{6}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{\left( {m + 1} \right).m}} = \frac{1}{6}\)

Þ 6(m – 1) = m(m + 1)

⇔ 6m – 6 = m² + m

⇔ m² – 5m + 6 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 2\end{array} \right.\).

So với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 1\end{array} \right.\), ta nhận \(m \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ {2;3} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Ta có \(C_n^{12} = C_n^{n - 12}\).

Suy ra \(C_n^{n - 12} = C_n^8\).

Do đó n – 12 = 8.

Vì vậy n = 8 + 12 = 20.

Khi đó \(C_n^{17} = C_{20}^{17} = 1140\).

Vậy \(C_n^{17} = 1140\).

Lời giải

Ta có x³(x² – 7)² – 36x = 0.

⇔ x.[x²(x² – 7)² – 36] = 0.

⇔ x.[x.(x² – 7) – 6].[x.(x² – 7) + 6] = 0.

⇔ x.(x³ – 7x – 6)(x³ – 7x + 6) = 0.

⇔ x.[x²(x + 1) – x.(x + 1) – 6(x + 1)].[x².(x – 1) + x.(x – 1) – 6(x – 1)] = 0.

⇔ x.(x + 1)(x² – x – 6)(x – 1)(x² + x – 6) = 0.

⇔ x.(x + 1)(x – 1)[x.(x – 3) + 2(x – 3)].[x.(x + 3) – 2(x + 3)] = 0.

⇔ x.(x + 1)(x – 1)(x – 3)(x + 2)(x + 3)(x – 2) = 0.

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\\x - 1 = 0\\x - 3 = 0\\x + 2 = 0\\x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\\x = 3\\x = - 2\\x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {0; –1; 1; 3; –2; –3; 2}.

Lời giải

Ta có \(\left( {x - \frac{2}{7}} \right)\left( {x + \frac{3}{4}} \right) = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{2}{7} = 0\\x + \frac{3}{4} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{7}\\x = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{2}{7}; - \frac{3}{4}} \right\}\).

Lời giải

ĐK: 1 + 2sin2x ≠ 0   (*)

Ta có \(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\).

\( \Leftrightarrow 5\left[ {\frac{{\sin x\left( {1 + 2\sin 2x} \right) + \cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right] = \cos 2x + 3\)

Þ 5.(sinx + 2sinx.sin2x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5.(sinx + cosx – cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5.(sinx + sin3x + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5.(2sin2x.cosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

⇔ 5cosx.(2sin2x + 1) – (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) = 0

⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – cos2x – 3) = 0

⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – 2cos²x + 1 – 3) = 0

⇔ (2sin2x + 1)(–2cos²x + 5cosx – 2) = 0

Û –2cos²x + 5cosx – 2 = 0 (do 2sin2x + 1 ≠ 0)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 2\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

So với điều kiện (*), nhận \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).

\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{5\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6}\)

Mà k ∈ ℤ nên k = 0

Khi đó \(x = \frac{\pi }{3}\).

• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\)

Mà k ∈ ℤ nên k = 1

Khi đó \(x = \frac{{5\pi }}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\).

Lời giải

Ta có \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 3\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {CB} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {BC} \)    (1)

Lại có \(\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} - 3\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {CG} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {CB} + 2\overrightarrow {CG} = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NG} = \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {GC} \)    (2)

Từ (1), (2), suy ra \(7\overrightarrow {MG} = - 2\overrightarrow {NG} \).

\( \Leftrightarrow 7\overrightarrow {GM} = - 2\overrightarrow {GN} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{{ - 2}}{7}\overrightarrow {GN} \).

Suy ra \(\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} \) cùng phương.

Vậy ba điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.