Lời giải:

Tổng của hai số gấp 5 lần bé nghĩa là số lớn gấp 4 lần số bé.

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

                           4 − 1 = 3 (phần)

Số lớn là :          (705 : 3) × 4 = 940

Số bé là :             940 − 705 = 235

Đáp số: Số lớn: 940;

          Số bé: 235.

Lời giải:

Ta có 5a + 3b chia hết cho 2012 nên 13(5a + 3b) chia hết cho 2012

Do đó 65a + 39b chia hết cho 2012     (1)

Lại có: 13a + 8b chia hết cho 2012 nên 5(13a + 8b) chia hết cho 2012

Suy ra 65a + 40b chia hết cho 2012     (2)

Từ (1) và (2) suy ra (65a + 40b) – (65a + 39b) chia hết cho 2012.

Khi đó, b chia hết cho 2012.

Tương tự, ta có: a chia hết cho 2012.

Vậy a, b cũng chia hết cho 2012.

Lời giải:

Để được OBIC là hình vuông thì OB = OC (hai cạnh kề nhau).

Ta có \(OB = \frac{1}{2}BD\); \(OC = \frac{1}{2}AC\).

Suy ra AC = BD.

Do đó, tứ giác ABCD là hình vuông.

Vậy hình thoi ABCD là hình vuông thì OBIC là hình vuông.

Lời giải:

Ta có: 2 004 × 2 004 + 199

= 2 004 × 2 004 + (200 − 1)

= 2 004 × 2 004 + 200 − 1

= (200 × 10 + 4) × 2 004 + 200 − 1

= 200 × 10 × 2 004 + 4 × 2 004 + 200 − 1

= 200 × (10 × 2 004 + 1) + 4 × 2 004 − 1

= 200 × 20 041 + 8 016 − 1

 = 4 008 200 + 8 015                       

= 4 016 215.

Lời giải:

Ta có: \(\frac{{2003 \times 2005 + 200}}{{2004 \times 2004 + 199}}\)

= \[\frac{{2003 \times (2004 + 1) + 200}}{{(2003 + 1) \times 2004 + 199}}\]

= \[\frac{{2003 \times 2004 + 2003 + 200}}{{2003 \times 2004 + 2004 + 199}}\]

= \[\frac{{2003 \times 2004 + 2203}}{{2003 \times 2004 + 2203}}\]= 1.

Lời giải:

12 gấp 4 số lần là:

12 : 4 = 3 (lần)

May 12 bộ quần áo như thế hết:

7 × 3 = 21 (mét vải).

Đáp số: 21 mét vải.

Lời giải:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25

Suy ra: BC = 5 cm

Theo tính chất hai tiếp tuyến giao nhau ta có:

AD = AE; BD = BF; CE = CF.

Mà: AD = AB − BD

AE = AC − CF

Suy ra: AD + AE = AB − BD + (AC − CF)

= AB + AC − (BD + CF)

= AB + AC − (BF + CF)

= AB + AC − BC

Suy ra: AD = AE = \(\frac{{AB + AC - BC}}{2} = \frac{{3 + 4 - 5}}{2} = 1\) (cm)

Vậy bán kính đường tròn là 1 cm.

Lời giải:

Ta có: \[\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{{(x - y)}^2} + {{(y - z)}^2} + {{(x - z)}^2}}}\]

= \[\frac{{{{(x + y)}^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} - 3xyz + {z^3}}}{{{x^2} - 2xy + {y^2} - 2yz + {z^2} + {x^2} - 2xz + {z^2}}}\]

= \[\frac{{{\rm{[}}{{(x + y)}^3} + {z^3}{\rm{]}} - 3xy(x + y + z)}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2xz}}\]

= \(\frac{{(x + y + z){\rm{[}}{{(x + y)}^2} - z(x + y) + {z^2}{\rm{]}} - 3xy(x + y + z)}}{{2({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz)}}\)

= \(\frac{{(x + y + z)({x^2} + 2xy - zx - zy + {z^2} - 3xy)}}{{2({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz)}}\)

= \(\frac{{(x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz)}}{{2({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz)}}\)

= \[\frac{{x + y + z}}{2}\]= \[\frac{1}{2}(x + y + z)\].

Lời giải:

Đặt A = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{64}} + \frac{1}{{128}} + \frac{1}{{256}}\)

\( \Rightarrow \) 2A = \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{64}} + \frac{1}{{128}}\)

\( \Rightarrow \) 2A − A = 1 − \(\frac{1}{{256}}\)

\( \Rightarrow \) A = \(\frac{{255}}{{256}}\)

Lời giải:

Mua 3,5 kg đường thì hết:

\(\)38 500 × 3,5 : 5 = 26 950 (đồng)

Số tiền phải trả ít hơn là:

38 500 − 26 950 = 11 550 (đồng)

Đáp số: 11 550 đồng.

Lời giải:

Ta có \[{a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = 3abc\]

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) a = b = c

Ta có: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\]

\[ \Rightarrow \] a = b = c

\[ \Rightarrow A = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) = 2.2.2 = 8\].

Vậy giá trị của biểu thức A bằng 8.

Lời giải:

Số phần bằng nhau là :

  4 + 1 = 5 (phần)

Tuổi mẹ hiện nay là :

 40 : 5 × 4 = 32 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là :

 40 − 32 = 8 (tuổi)

Vậy: Mẹ: 32 tuổi

         Con: 8 tuổi

Lời giải:

Hiện nay tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con.

Suy ra: Hiện nay số tuổi của con bằng \[\frac{1}{4}\] tuổi mẹ

Năm năm nữa số tuổi con bằng \[\frac{1}{3}\] số tuổi mẹ

Phân số chỉ 5 năm là: \(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{12}}\)

Vậy tổng số tuổi của 2 mẹ con sau 5 năm nữa là: 5 : \[\frac{1}{{12}}\] = 60 (tuổi)

Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)

Tuổi của mẹ hiện nay là: 60 : 4 × 3 − 5 = 40 (tuổi)

Tuổi của con hiện nay là: 60 : 4 − 5 = 10 (tuổi)    

Lời giải:

Áp dụng BĐT: \[2({a^2} + {b^2}) \ge {(a + b)^2}\]

Ta có: \[2(19 - x) = 2(y + z) \ge {\left( {\sqrt y + \sqrt z } \right)^2} = {\left( {5 - \sqrt x } \right)^2} = 25 - 10\sqrt x + x\]

\[ \Leftrightarrow 3x - 10\sqrt x - 13 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {3\sqrt x - 13} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt x - 13 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt x \le \frac{{13}}{3} \Leftrightarrow x \le \frac{{169}}{9}\]

Vậy GTLN của \[x = \frac{{169}}{9}\] khi và chỉ khi \[y = z = \frac{1}{9}\].

Lời giải:

Kẻ MH ⊥ AB tại H.

Khi đó AM = 10 cm, MH = 8 cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AMH vuông tại H, ta có:

AM² = MH² + AH²

\[ \Rightarrow \] 10² = 8² + AH²

\[ \Rightarrow \] AH² = 36

\[ \Rightarrow \] AH = 6 (cm)

Kẻ CK ⊥ AB tại K

Ta có: MH // CK (cùng vuông góc với AB), M là trung điểm AC, suy ra H là trung điểm AK

Do đó AK = 2AH = 12 cm = \[\frac{1}{2}\]AB.

Như vậy, CK vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác ABC, cho nên ΔABC cân tại C.

Do đó, điểm O nằm trên CK.

Lại có MH là đường trung bình của tam giác ACK, suy ra CK = 2MH = 16 cm.

Xét ΔCMO và ΔCKA có:

\[\widehat C\] chung

\[\widehat {CMO} = \widehat {CKA} = 90^\circ \]

Suy ra: ΔCMO ᔕ ΔCKA (g.g).

\[ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CO}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{10}}{{16}} = \frac{R}{{20}}\]

Suy ra: R = 12,5 cm

Vậy R = 12,5 cm

Lời giải:

Tiền vốn của cửa hàng bán vải là:

 2 160 000 − 160 000 = 2 000 000 (đồng)

Số tiền lãi bằng số phần trăm tiền vốn là :

160 000 : 2 000 000 = 0,08 = 8%

Đáp số: 8%.

Lời giải:

Gọi a, b (xe) lần lượt là số xe 12 chỗ và số xe 7 chỗ (a, b ∈ ℕ*).

Số người đi xe 12 chỗ là: 12a (người)

Số người đi xe 7 chỗ là: 7b (người)

Suy ra: 7b + 12a = 64

Vì 12a ⋮ 4; 64 ⋮ 4 nên 7b ⋮ 4

Lại có: ƯC(7, 4) = 1 nên b chia hết cho 4.

Vì 12a + 7b = 64 nên 7b < 64 và b > 10

Ta thấy b = 4, a = 3.

Thay b = 8 vào (1) b = 8 và \(a \notin \mathbb{N}\).

Vậy có 3 xe 12 chỗ ngồi và 4 xe 7 chỗ ngồi.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 800 : 2 = 400 (m)

Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 400)

Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là: 400 − x (m)

Theo đề ra ta có phương trình:

\[x - 20\% x + \left( {400 - x} \right) + \frac{1}{3}\left( {400--x} \right) = 400\]

\[ \Leftrightarrow \frac{4}{5}x + \frac{4}{3}\left( {400 - x} \right) = 400\]

\( \Rightarrow \frac{4}{5}x + \frac{{1600}}{3} - \frac{4}{3}x = 400\)

 \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 8}}{{15}}x = \frac{{ - 400}}{3}\]

\( \Leftrightarrow \) x = 250 (TMĐK)

Suy ra chiều rộng hình chữ nhật là: 400 − 250 = 150 (m)

Vậy chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là 250 m và 150 m.

Lời giải:

Ta có \[\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } - \sqrt {14 + 6\sqrt 5 } \]

= \[\sqrt {5 - 2\sqrt {5 + 1} } - \sqrt {9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt 5 + 5} \]

= \[\sqrt {{{(\sqrt 5 - 1)}^2}} - \sqrt {{{(\sqrt 5 + 3)}^2}} \]       

= \[\left| {\sqrt 5 - 1} \right| - \left| {3 + \sqrt 5 } \right|\]

= \[\sqrt 5 - 1 - 3 - \sqrt 5 \]= 4.

Lời giải:

Tuổi chị bốn năm trước là:

          (24 + 8) : 2 = 16 (tuổi)

Tuổi chị hiện nay là:

          16 + 4 = 20 (tuổi)

Do mỗi năm chị tăng thêm 1 tuổi thì em cũng tăng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi của hai chị em không thay đổi. Hiệu số tuổi của hai chị em hiện nay vẫn là 88 tuổi

Tuổi em hiện nay là:

          20 − 8 = 12 (tuổi)

Đáp số: Chị: 20 tuổi;

   Em: 12 tuổi.

Lời giải:

Chiều rộng thửa ruộng là:

   100 : 5 × 3 = 60 (m)

Diện tích thửa ruộng là :

   100 × 60 = 6 000 (m²)

Bác Năm thu hoạch được là:

    6 000 : 100 × 55 = 3 300 (kg).

Đáp số: 3 300 kg thóc.

Lời giải:

Đổi: 1 m 4 cm = 104 cm.

Độ dài cạnh hình vuông là: 104 : 4 = 26 (cm)

Diện tích hình vuông là: 26 × 26 = 676 (cm²)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 26 × 2 = 52 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là: 52 : (1 + 3) × 3 = 39 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là: 52 − 39 = 13 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là: 39 × 13 = 507 (cm²)

Diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật là:

676 − 507 = 169 (cm²)

Đáp số: 169 cm².

Lời giải:

Chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật sau khi tăng thêm 50 m là:

100 + 50 = 150 (m)

Chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật ban đầu là:

100 × \(\frac{4}{5}\) = 80 (m)

Chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật lúc sau là:

150 × \(\frac{4}{5}\) = 120 (m)

Chu vi ban đầu thửa ruộng hình chữ nhật là:

2 × (100 + 80) = 360 (m)

Chu vi lúc sau của thửa ruộng hình chữ nhật là:

2 × (150 + 120) = 540 (m)

Nếu tăng chiều dài thêm 50 m thì chu vi thửa ruộng hình chữ nhật thay đổi số mét là:

540 – 360 = 180 (m)

Đáp số: 180 m.

Lời giải:

Vì A ∈ (P) nên 3 = 4a + 2b + c   (1)

Mặt khác (P) có đỉnh I (1; 2) nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 2a + b = 0\)    (2)

Và I ϵ (P) suy ra: 2 = a + b + c   (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.\]

Suy ra (P) cần tìm là: y = x² – 2x + 3.

Vậy a + b + c = 2.

Lời giải:

Kẻ AH vuông góc với SD tại H nên AH ⊥ SD         (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A; (SCD) = AH.

Mà \(d(A;(SCD)) = 2d(O;(SCD)) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác SAD vuông tại A, có \(\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow SA = a\)

Thể tích khối chóp S. ABCD là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}\,.\,SA\,.\,{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\,.\,{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) (đvtt).

Vậy thể tích khối chóp S. ABCD bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) (đvtt).

Lời giải:

18 : 3 + 182 + 3 × (51 : 17)

= 6 + 182 + 3 × 3 

= 188 + 9 = 197.

Lời giải:

Nếu Phương làm một mình mỗi giờ được số phần công việc là: 

\(1:5 = \frac{1}{5}\) ​(công việc)

Nếu Minh làm một mình mỗi giờ được số phần công việc là: 

\(1:6 = \frac{1}{6}\) ​(công việc)

Nếu hai bạn làm chung mỗi giờ làm được số phần công việc là: 

​\(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{{11}}{{30}}\) (công việc) 

Hai bạn cùng làm việc đó trong hai giờ thì còn số phần công việc là: 

\(1 - \frac{{11}}{{30}} \times 2 = \frac{4}{{15}}\) ​(công việc) 

Minh tiếp tục làm xong công việc còn lại thì sẽ xong sau số giờ là: 

\(\frac{4}{{15}}:\frac{1}{6} = \frac{8}{5}\) ​(giờ) = 1 giờ 36 phút 

Đáp số: 1 giờ 36 phút.

Lời giải:

Ư(48) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±8, ±16, ±6, ±12, ±24, ±48}

Giải thích các bước giải:

Ta có: 48 = 2⁴ . 3

Vậy uớc của 48 là: Ư(48) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±8, ±16, ±6, ±12, ±24, ±48}.

Lời giải:

[(−59) + 71] − [−83 − (−95)]

= (−59 + 71) – (−83 + 95)

= (71 − 59) – (95 − 83)

= 12 – 12 = 0.

Lời giải:

15 735 m² = 1,57 35 ha.

Lời giải:

Mỗi lít sữa cân nặng là:

10,8 : 10 = 1,08 (kg)

25 lít sữa cân nặng là:

1,08 × 25 = 27 (kg)

Đáp số: 27 kg.

Lời giải:

Khi bỏ dấu phẩy ở phần thập phân của số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân thu được số mới gấp 100 lần số ban đầu. 

Số thập phân thứ nhất là: 

   (158,6 − 36,38) : (100 − 1) = 1,23

Số thập phân thứ hai là : 

    36,83 − 1,23 = 35,6.

Đáp số: 1,23 và 35,6.

Lời giải:

Chiều dài hình chữ nhật là:

16,34 + 8,32 = 24,66 (m)

Chu vi hình chữ nhật là:

(24,66 + 16,34 ) × 2 = 82 (m)

Đáp số: 82 m.

Lời giải: 

 (123 − 27) + (27 + 13 − 123)

= 123 − 27 + 27 + 13 – 123

= (123 – 123) + (27 – 27) + 13= 13.

Lời giải:

(175 + 25 − 13) − (−15 + 175 + 25)

= 175 + 25 − 13 + 15 − 175 − 25

= 2

Lời giải:

O là trung điểm của AD \( \Leftrightarrow AO = OD\)

Mà AB = CD

\( \Rightarrow AO - AB = OD - CD\)

Hay OB = OC

Vậy ta có điều phải chứng minh

Lời giải:

Ta có: 11 − x = 8 − (−11)

⇔ 11 − x = 8 + 11

⇔ 11 − x = 19

⇔ x = 11 − 19

⇔ x = −8

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −8.

Lời giải:

13 − 12 + 11 + 10 − 9 + 8 − 7 − 6 + 5 − 4 + 3 + 2 − 1

= 13 − (12 − 11) + (10 − 9) + (8 − 7) − (6 − 5) − (4 − 3) + (2 − 1)

= 13 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1

= 13 + (− 1 + 1) + (1 − 1) + (− 1 + 1)

= 13.

Lời giải:

Xét n > 9 \( \Rightarrow \)  A = 2⁹ + 2¹³ + 2ⁿ  =  2⁹(1 + 2⁴ + 2^2n-9).

Thấy (1 + 2⁴ + 2^2n-9) là số lẻ nên A chia hết cho 2⁹ nhưng không chia cho 2¹⁰ nên A không là số chính phương

• Xét n = 9, ta có:

A  = 2⁹ + 2¹³ + 2⁹ = 2⁹(1 + 2⁴ + 1) = 9. 2¹⁰ = 9⁶² là số chính phương.

• Xét n < 9, ta có:

A = 2⁹ + 2¹³ + 2ⁿ  = 2n(2^9-n + 2^13-n + 1)

Do 2^9-n  + 2^13-n + 1  là số lẻ và A là số chính phương nên 2ⁿ là số chính phương nên n là số chẵn, n ∈ ℕ* suy ra n ∈ {2; 4; 6; 8}

Khi đó A chính phương, 2ⁿ chính phương suy ra B = 2^9-n + 2^13-n + 1 là số chính phương Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9.

• Với n = 2 \( \Rightarrow \) B = 2⁷ + 2¹¹ + 1 = 2177 (loại)

• Với n = 4 \( \Rightarrow \) B = 2⁵ + 2⁹ + 1 = 545, thấy B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương.

• Với n = 6 \( \Rightarrow \) B = 2³ + 2⁷ + 1 = 137 (loại)

• Với n = 8 \( \Rightarrow \) B =2 + 2⁵ + 1 = 35 (loại)

Vậy n = 9

Lời giải:

Ta có: 1 giờ = 60 phút

Suy ra: 3 giờ = 180 phút

Suy ra: 3 giờ 15 phút = 195 phút

Lời giải:

Ta có: a + a + 12 − b

= 2a + 12 − b

= 2 × (−13) + 12 − 25

= −26 + 12 – 25 = −29.

Lời giải:

Ta có:  a + b − (c + b)

= a + b – c – b

= a − c

= −13 − (−30)

= −13 + 30

= 27.

Vậy khi a = −13, b = 25, c = −30 thì a + b − (c + b) = 27.

Lời giải:

Ta có các số nguyên x nằm trong khoảng (−10; 5) là: −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4.

Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn −10 < x < 5 là:

−9 + (−8) + (−7) + (−6) + (−5) + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4

= −9 + (−8) + (−7) + (−6) + (−5) + [(−4) + 4]+ [(−3) + 3] + [(−2) + 2] + [(−1) + 1] + 0

= − (9 + 8 + 7 + 6 + 5) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

= −35

Đáp số: −35

Lời giải:

Trong tích A có các thừa số chia hết 5 là: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50.

Nói cách khác: 5 = 1 × 5; 10 = 2 × 5; … ; 40 = 8 × 5; 45 = 9 × 5; 50 = 10 × 5.

Suy ra mỗi thừa số 5 × 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục.

Mà tích trên có 11 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 11 chữ số 0.

Lời giải:

1 lít nước giặt quần áo cân nặng là:

      2,55 : 3 − 0,3 = 0,55 (kg) 

4 bình như thế mỗi bình 2 lít nước giặt quần áo cân nặng là:

      0,55 × 8 = 12,4 (kg)

 Đáp số: 12,4 kg.