• Với x = 0 Þ y = -2 Þ OB = 2.

• Với y = 0 Þ \[y = \frac{2}{{2m + 1}} \Rightarrow OA = \left| {\frac{2}{{2m + 1}}} \right|\] .

Khi đó \[{S_{OAB}} = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {\frac{2}{{2m + 1}}} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {2m + 1} \right| = 4\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 1 = 4\\2m + 1 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{3}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right\}\).

Ta có (d): y = (m² – 2m + 3)x + 6m.

Điều kiện (d) cắt Ox, Oy Û (m² - 2m + 3) = (m - 1)² + 2 ≠ 0 với mọi m Î ℝ

Ta có \[A\left( {\frac{{ - 6m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\,\,0} \right)\];

B(0; 6m);

O(0; 0).

Khi đó \[{S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {{x_a}} \right|.\left| {{y_b}} \right|\]

\[ = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 6m}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right|.\left| {6m} \right| = 6.\left| {\frac{{{m^2}}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right|\].

Đặt \[y = \frac{{{m^2}}}{{{m^2} - 2m + 3}}\]

S_max Û y max

Û (m² - 2m + 3).y = m²

Với y = 0 Þ m = 0

Với y ≠ 0 . Ta có f(m) = (y - 1)m² - 2ym + 3y phải có nghiệm

D = y² - 3y(y - 1) = -2y² + 3y ³ 0 Þ 0 £ y £ \[\frac{3}{2}\].

GTLN y đạt tại m = \[\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{2y}}{{2(y - 1)}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2} - 1}} = 3\].

Vậy GTLN đạt được khi m = 3.

Theo định lý Steward ta có:

a.AD² = BD.b² - DC.c² - a.BD.DC     (1)

Do \[BD = \frac{a}{n},DC = \frac{{\left( {n - 1} \right)a}}{n}\], vậy từ (1) có:

a.AD² = \[\frac{{a{b^2}}}{n} + \frac{{\left( {n - 1} \right)a{c^2}}}{n} - a.\frac{{a\left( {n - 1} \right)a}}{{{n^2}}}\]

\[ \Rightarrow {d_a}^2 = \frac{{{b^2} + \left( {n - 1} \right)a{c^2}}}{n} - \frac{{\left( {n - 1} \right){a^2}}}{{{n^2}}}\]

\[ \Rightarrow {d_a}^2 = \frac{{n{b^2} + n\left( {n - 1} \right){c^2} - \left( {n - 1} \right){a^2}}}{{{n^2}}}\] (2)

Lý luận tương tự, ta có: \[{d_b}^2 = \frac{{n{c^2} + n\left( {n - 1} \right){a^2} - \left( {n - 1} \right){b^2}}}{{{n^2}}}\] (3)

\[{d_c}^2 = \frac{{n{a^2} + n\left( {n - 1} \right){b^2} - \left( {n - 1} \right){c^2}}}{{{n^2}}}\]          (4)

Cộng từng vế (2), (3), (4) suy ra:

\[{d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = \frac{{{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\](đpcm)

Vậy \[{d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = \frac{{{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\].

1 người làm xong công việc đó trong thời gian là:

4 × 12 = 48 (ngày)

16 người làm xong công việc đó trong thời gian là:

48 : 16 = 3 (ngày)

Đáp số: 3 ngày.

Đặt tích 3 số tự nhiên liên tiếp là T = a.(a + 1).(a + 2).

• Chứng minh T chia hết cho 2: Chỉ có 2 trường hợp

+) Nếu a chia hết cho 2 (a chẵn) Þ T chia hết cho 2

+) Nếu a chia hết cho 2 dư 1 (a lẻ) Þ (a + 1) chia hết cho 2 Þ T chia hết cho 2

• Chứng minh T chia hết cho 3: Có 3 trường hợp

+) Nếu a chia hết cho 3 Þ T chia hết cho 3

+) Nếu a chia 3 dư 1 Þ (a + 2) chia hết cho 3 Þ T chia hết cho 3

+) Nếu a chia 3 dư 2 Þ (a + 1) chia hết cho 3Þ T chia hết cho 3

Mà ta có 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau .

Þ T chia hết cho 2.3 = 6 (đpcm).

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2.

Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là n(n+1)(n+2)

Với n = 2k Þ 2k(2k + 1)(2k + 2) chia hết cho 2

Với n = 2k + 1 Þ (2k + 1)(2k + 2)(2k + 3) = (2k + 1).2(k + 1)(2k + 3) chia hết cho 2

Þ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2         (1)

Với n = 3k Þ 3k(3k + 1)(3k + 2) chia hết cho 3

Với n = 3k + 1 Þ (3k + 1)( 3k + 2).3(k + 1) chia hết cho 3

Với n = 3k + 2 Þ (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) chia hết cho 3

Þ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3         (2)

Từ (1) và (2) suy ra n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 (đpcm).

Nếu bớt số bị trừ đi 735 đơn vị và thêm số trừ 256 đơn vị thì hiệu sẽ giảm:

735 + 265 = 1 000

Hiệu của hai số cũ là:

12 000 + 1000 = 13 000

Đáp số: 13 000.

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = x\\\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = y\\\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}} = z\end{array} \right.\].

a) Ta chứng minh x + y + z > 1 hay x + y + z - 1 > 0       (1)

Ta có BĐT (1) Û (x + 1) + (y - 1) + (z - 1) > 0     (2)

Ta có: x + 1 = \[\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + 1 = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{2ab}}\]

và y - 1 = \[\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} - 1 = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{\left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)}}{{2bc}}\]

và z - 1 = \[\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}} - 1 = \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{\left( {c - a - b} \right)\left( {c - a + b} \right)}}{{2ac}}\]

(2) Û \[\left( {a + b - c} \right)\left[ {\frac{{c\left( {a + b + c} \right) + a\left( {b - c - a} \right) - b\left( {c - a + b} \right)}}{{2abc}}} \right] > 0\]

Û (a + b - c)[c² - (a - b)²] > 0 (abc > 0)

Û (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) > 0

BĐT cuối đúng vì a, b, c thoả mãn BĐT D (đpcm).

b) Để M = 1 Û (z + 1) + (y - 1) + (z - 1) = 0

Û (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) = 0

Từ trên ta suy ra được 3 trường hợp:

• Trường hợp 1: a + b - c = 0

 Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\]

• Trường hợp 2: a - b + c = 0

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \frac{{\left( {a - b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)}}{{2ab}} = 0\\y - 1 = 0\\z + 1 = \frac{{\left( {c + a - b} \right)\left( {c + a + b} \right)}}{{2ac}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = - 1\end{array} \right.\]

• Trường hợp 3: -a + b + c = 0

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 1 = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)}}{{2bc}}\\z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\].

Từ các trường hợp trên ta thấy trường hợp nào cũng có 2 trong 3 phân thức x, y, z = 1 và còn lại đều bằng −1 (đpcm).

Vậy M = 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M = 1, phân thức còn lại bằng -1.

Ta có:

• S = \[\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.6.9.\sin 60^\circ = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\]

• BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cos60°

= 6² + 9² - 2.6.9.cos60° = 63

Þ BC = \[3\sqrt 7 \].

Khi đó, \[S = \frac{1}{2}.BC.AH \Rightarrow AH = \frac{{2.S}}{{BC}} = \frac{{27\sqrt 3 }}{{3\sqrt 7 }} = \frac{{9\sqrt {21} }}{7}\].

Vâỵ diện tích \[S = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\] và  \[AH = \frac{{9\sqrt {21} }}{7}\].

Vì DABH vuông tại H nên ta có:

• \[\sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}}\] Þ AH = \[\sin \widehat {ABH}.AB = \sin 60^\circ .6 = 3\sqrt 3 \](cm)

• \[\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = \cos \widehat {ABH}.AB = \cos 60^\circ .6 = 3\](cm)

Do đó HC = 1 cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào DAHC, ta có:

\[AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {27 + 9} = 6\](cm).

Vậy AC = 6 cm.

Ta có n⁶ + 10n⁴ + n³ + 98n - 6n⁵ - 26

= (1 + n³ - n)(n³ - 6n² + 11n - 6) + 17n² + 81n - 20.

Thương của phép chia A cho B, ta được:

n³ - 6n² + 11n - 6 và dư 17n² + 81n - 20

Lại có: n³ - 6n² + 11n - 6

= n³ - n + 12n - 6n² - 6

= (n - 1)n.(n + 1) + 6.(2n - n² + 1).

Vì (n - 1).n.(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6.

Mặt khác 6(2n - n² + 1) chia hết cho 6.

Do đó thương của phép chia A cho B là bội số của 6.

Vậy với mọi n Î ℤ thì thương của phép chia a cho b là bội của 6.

Ta có n⁶ + 10n⁴ + n³ + 98n - 6n⁵ - 26

= (1 + n³ - n)(n³ - 6n² + 11n - 6) + 17n² + 81n - 20.

Thương của phép chia A cho B, ta được:

n³ - 6n² + 11n - 6 và dư 17n² + 81n - 20

Lại có: n³ - 6n² + 11n - 6

= n³ - n + 12n - 6n² - 6

= (n - 1)n.(n + 1) + 6.(2n - n² + 1).

Vì (n - 1).n.(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6.

Mặt khác 6(2n - n² + 1) chia hết cho 6.

Do đó thương của phép chia A cho B là bội số của 6.

Vậy với mọi n Î ℤ thì thương của phép chia a cho b là bội của 6.

Ta có

99 (9 + 9 = 18, 18 : 9 = 2) nên 99 chia hết cho 9

33 (3 + 3 = 6, 6 không chia hết cho 9), nên 33 không chia hết cho 9

57 (5 + 7 = 12, 12 không chia hết cho 9), nên 57 không chia hết cho 9

72 (7 + 2 = 9, 9 : 9 = 1), nên 72 chia hết cho 9

2019 (2 + 0 + 1 + 9 = 12, 12 không chia hết cho 9), nên 2019 không chia hết cho 9

8820 (8 + 8 + 2 + 0 = 18, 18 : 9 = 2), nên 8820 chia hết cho 9

1739 (1 + 7 + 3 + 9 = 20, 20 không chia hết cho 9), nên 1739 không chia hết cho 9

639 (6 + 3 + 9 = 18, 18 : 9 = 2), nên 639 chia hết cho 9

1392 (1 + 3 + 9 + 2 = 15, 15 không chia hết cho 9) nên 1392 không chia hết cho 9

a) Số chia hết cho 9 là: 99, 72, 8820, 639

b) Số không chia hết cho 9 là: 33, 57, 2019, 1739, 1392

Gọi số cần tìm là \[\overline {a97b} \]

Ta có: \[\overline {a97b} \] ⋮ 5 và 27

Mà 27 ⋮ 9

Þ \[\overline {a97b} \]⋮ 5 và 9

Để \[\overline {a97b} \]⋮ 5 Þ b Î{0; 5}

Xét b = 0 Þ \[\overline {a97b} \] trở thành số tương ứng \[\overline {a970} \]

Để \[\overline {a97b} \]⋮ 9 Þ a + 9 + 7 + 0 = (a + 16) ⋮ 9 Þ a = 2

Þ \[\overline {a97b} \] trở thành số tương ứng 2970

Thử lại 2970 ⋮ 27 (thoả mãn)

Xét b = 5 Þ \[\overline {a97b} \] trở thành số tương ứng \[\overline {a975} \]

Để \[\overline {a97b} \]⋮ 9 Þ a + 9 + 7 + 5 = (a + 21) ⋮ 9 Þ a = 6

Þ \[\overline {a97b} \] trở thành số tương ứng 6975

Thử lại : 6975 \[\cancel{ \vdots }\]27 (loại)

Vậy số cần tìm là 2970.

Nếu thêm 9 đơn vị vào tử số ta được một phân số có giá trị bằng 1 có nghĩa là mẫu số hơn tử số 9 đơn vị, Tổng của chúng là 175

Tử số là: (175 - 9) : 2 = 83.

Mẫu số là: 175 - 83 = 92.

Vậy phân số đó là: \[\frac{{83}}{{92}}\].

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

24 : 2 = 17 (cm)

Chiều dài của hình chữ nhật là:

(12 + 2) : 2 = 7 (cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật là:

12 - 7 = 5 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

7 × 5 = 35 (cm²)

Đáp số: 35 cm².

Nửa chu vi hình chữ nhật đó là:

24 : 2 = 12 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

12 : (3 + 1) = 3 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

3 × 3 = 9 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

9 × 3 = 27 (cm²)

Đáp số: 27 cm².

Đáp án đúng là: D

Do AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên: \[AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{17}}{2}\].

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của AC suy ra:

\[AM = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2}\]

Do DBAM vuông tại A

\[BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]

Vậy đáp án cần chọn là D

Gọi a (đội viên) là số đội viên (a ∈ ℕ*; 100 < a < 150).

Ta có: a chia hết cho 2; 3; 4; 5 đều dư 1 nên (a - 1) chia hết cho 2; 3; 4; 5.

Do đó (a - 1) ∈ BC(2, 3, 4, 5).

Mà BCNN(2, 3, 4, 5) = 60 nên (a - 1) ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; ...}.

Vì rằng số đội viên khoảng từ 100 đến 150 nên (a - 1) thuộc khoảng 100 đến 150.

Do đó a - 1 = 120 hay a = 121.

Vậy số đội của liên đội là 121 người.

Tổng của hai số là 139 là một số lẻ do đó tổng của một số chẵn và một số lẻ.

Mà hai số đó là số nguyên tố nên số chẵn là 2 suy ra số còn lại là 139 - 2 = 137.

2 giờ 15 phút = 2,25 giờ

1 giờ 45 phút =1,75 giờ

4 giờ 54 phút = 4,9 giờ

3 giờ 36 phút = 3,6 giờ

15 phút = 0,25 giờ

84 phút = 1,4 giờ

360 giây = 0,1 giờ

426 giây = 7,1 phút

• Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 90°.

Vì vậy, trong các hình vẽ có các cặp góc phụ nhau là: \[\widehat {aOb}\]và \[\widehat {bOd}\], \[\widehat {cOd}\] và \[\widehat {cOa}\].

• Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180°.

Vì vậy, trong hình vẽ có các cặp góc bù nhau là: \[\widehat {dOc}\]và \[\widehat {cOm}\], \[\widehat {mOa}\]và \[\widehat {aOd}\].

Vì \[AB = \frac{1}{2}BC\] mà AC = 3 cm.

Suy ra \[BC = \frac{1}{2}\,.\,3 = 6\] (cm).

Vì độ dài đường gấp khúc BCD dài hơn độ dài đường gấp khúc ABC 5 cm mà độ dài đường gấp khúc ABC bằng: 3 + 6 = 9 (cm)

Do đó, độ dài BCD bằng: 9 + 5 = 14 (cm)

Vậy độ dài đường gấp khúc ABCD là: 3 + 14 = 17 (cm)

Đường gấp khúc ABC và đường gấp khúc BCD có chung BC mà đường gấp khúc ABC dài hơn đường gấp khúc BCD là 3 cm nên độ dài đường gấp khúc AB lớn hơn độ dài đường gấp khúc CD là 3 cm.

Độ dài đường gấp khúc CD là:

15 - 3 = 12 (cm)

Vậy CD = 12 cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\left| {x - 5} \right| \le 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge - 4\\x - 5 \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 9\].

Trên [1;9], phương trình \[\left| {x - 5} \right| \le 4\] có 9 nghiệm nguyên.

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: A

Ta có 2x² - 3x - 15 £ 0 Û -2,089 £ x £ 3,589.

Mà x Î ℤ nên x Î {-2; -1; 0; 1; 2; 3}.

Do đó có 6 giá trị nguyên của x là nghiệm của BPT .

Vậy đáp án đúng là A.

Mỗi chai nặng số kg là:

0,5 × 1,02 + 0,2 = 0,71 (kg)

Vậy 50 chai nặng số kg là:

0,71 × 50 = 35,5 (kg)

Đáp số: 35,5 kg.

(3.x - 2⁴).7³ = 2.7⁴

Û (3.x - 16) . 343 = 2.2401

Û (3.x - 16) . 343 = 4802

Û (3.x - 16) = 4802 : 343

Û 3.x - 16 = 14

Û 3.x = 14 + 16

Û 3.x = 30

Û x = 30 : 3 = 10

Vậy x = 10

Ta có 729 = 27² = 9³ = 3⁶.

Vậy 729 được viết dưới dạng 3⁶.

20 chai sữa có số lít sữa là:

20 . 0,75 = 15 (l)

15 lít sữa nặng số kg là:

15 . 1,04 = 15,6 (kg)

20 chai sữa cân nặng số kg là:

15,6 + (20 . 0,25) = 20,6 (kg)

          Đáp số : 20,6 kg

Đáp án đúng là: C

Ta có 4^x + 3^{2x + 1} = 3.18^x + 2^x Û (2^x)² + (3^x)².3 = 3.2^x.(3^x)² + 2^x

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = a\\{3^x} = b\end{array} \right.\]

Þ a² + 3b² - 3.ab² - a = 0 Û a(a - 1) - 3b²(a - 1) = 0

Û (a - 3b²)(a - 1) = 0 Û \[\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 3.{\left( {{3^x}} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{2^x} = 3.{\left( {{3^2}} \right)^x}(1)\end{array} \right.\]

(1) \[ \Leftrightarrow 1 = 3.\frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^x}}}{{{2^x}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{2}} \right)^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{9}{2}}}\frac{1}{3}\].

Vậy \[\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _{\frac{9}{2}}}\frac{1}{3}\end{array} \right.\].

Đáp án đúng là C

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

4^x + 3^{2x + 1} = 3.18^x + 2^x

Û 2^2x + 3.9^x = 3.2^x.9^x + 2^x

Û (2^x)² - 2^x + 3.9^x - 3.2^x.9^x = 0

Û 2^x (2^x - 1) - 3.9^x (2^x - 1) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 1 = 0\\{2^x} - {3.9^x} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = {3.9^x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {\frac{9}{2}} \right)^x} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _{\frac{9}{2}}}\frac{1}{3}\end{array} \right.\].

Tổng hai nghiệm của phương trình là \[{\log _{\frac{9}{2}}}\frac{1}{3}\].

Đáp án đúng là B

\[\sqrt {2x + 1} = 7 - x\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 - x \ge 0\\2x + 1 = {\left( {7 - x} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\2x + 1 - 49 + 14x - {x^2} = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\ - {x^2} + 16x - 48 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 12\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\] (thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

Đáp án đúng là: A

Tổng số học sinh giỏi là: 45 - 13 = 32 (học sinh)

Số học sinh chỉ giỏi Văn là: 32 - 25 = 7 (học sinh)

Số học sinh chỉ giỏi Toán là: 32 - 17 = 15 (học sinh)

Số học sinh chỉ giỏi cả hai môn là: 32 - 7 - 15 = 10 (học sinh).

Vậy đáp án cần chọn là A

Ta có:

2a² + b² + 2ab + 2a - 4b < 0

Û a² + 2ab + b² - 4a - 4b + a² + 2a + 1 - 1 < 0

Û (a + b)² - 4(a + b) + 4 + (a + 1)² - 5 < 0

Û (a + b - 2)² + (a + 1)² - 5 < 0

Û (a + b - 2)² + (a + 1)² < 5

mà a, b Î ℕ

Þ a, b phải có giá trị sao cho:

(a + b - 2)² £ 0 và (a + 1)² £ 4

hoặc (a + b - 2)² £ 4 và (a + 1)² £ 0

+) Trường hợp 1: a = 0, b = 1

Û (0 + 1 - 2)² + (0 + 1)² < 5

Û 1 + 1 < 5

Û 2 < 5 (thoả mãn)

+) Trường hợp 2: a = b = 1

Û (1 + 1 - 2)² + (1 + 1)² < 5

Û 0 + 2² < 5

Û 4 < 5 (thoả mãn)

Vậy nghiệm của phương trình gồm:

\[\begin{array}{l} + )\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\end{array} \right.\\ + )\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\end{array}\]

Vì khi chia số tự nhiên a cho 36, ta được số dư là 12 nên số đó có dạng là 36.k + 12 (k Î ℕ, k > 0).

Ta có: 36.k + 12 = 4.9.k + 4.3 = 4.(9.k + 3)

Do đó số đó chia hết cho 4.

Ta có 36.k = 9.4.k chia hết cho 9.

Do đó 36.k + 12 chia 9 dư 3.

Vậy số đó chia hết cho 4, không chia hết cho 9.

Có 371,5 mét vải thì may được số mét vải như thế là:

371,5 : 2,8 = 132 (bộ) dư 1,9 mét vải

Vậy may được nhiều nhất 132 bộ và dư 1,9 mét vải.

Ta có: 38 : 18 = 2 (dư 4)

Số cần tìm là: 14 . 18 + 2 = 254.

Vậy a = 254.

2^{x + 1} – 2^x = 32

2^x  . (2 – 1) = 32

2^x  = 32 = 2⁵

x = 5.

Vậy x = 5.

2^{x + 1} – 2^x = 32

2^x  . (2 – 1) = 32

2^x  = 32 = 2⁵

x = 5.

Vậy x = 5.

Vì x là số tự nhiên thỏa mãn 12 < x < 91 nên x Î{13; 14; 15; ...; 90}.

Tổng các số tự nhiên x là:

13 + 14 + 15 + ... + 90 = (13 + 90).78 : 2 = 103 . 39 = 4017.

Vậy tổng các số tự nhiên x là 4017.

Số mứt cửa hàng đã chuẩn bị là:

320 × 20 = 6 400 (hộp)

Số mứt chuẩn bị để bán hết được số ngày là:

6400 : 400 = 16 (ngày)

Đáp số: 16 ngày

Công thức tính số hạng:

(Số cuối - Số đầu ) : Khoảng cách + 1

a) Các số chia hết cho 2 từ 2 đến 2020 là: 2; 4; 6; 8; ...; 2018; 2020

Ta thấy các số trên cách nhau 2 đơn vị

Từ 2 đến 2020 có số chia hết cho 2 là:

(2020 - 2) : 2 + 1 = 1010 (số)

Đáp số : 1010 số

b) Các số chia hết cho 5 từ 2 đến 2020 là: 5; 10; 15; 20; ...; 2015; 2020

Ta thấy các số trên cách nhau 5 đơn vị

Từ 2 đến 2020 có số chia hết cho 5 là:

(2020 - 5) : 5 + 1 = 404 (số)

Đáp số: 404 số.

c) Các số chia hết cho 3 từ 2 đến 2020 là: 3; 6; 9; 12; ...; 2016; 2019

Ta thấy các số trên cách nhau 3 đơn vị

Từ 2 đến 2020 có số chia hết cho 3 là:

(2019 - 3) : 3 + 1 = 673 (số)

Đáp số: 673 số.

d) Các số chia hết cho 9 từ 2 đến 2020 là: 9; 18; 27; 36; ...; 2007; 2016

Ta thấy các số trên cách nhau 9 đơn vị

Từ 2 đến 2020 có số chia hết cho 9 là:

(2016 - 9) : 9 + 1 = 224 (số)

Đáp số: 224 số.

2^{x + 2} - 2^x = 96

Û 2^x.2² - 2^x = 96

Û 2^x . (4 - 1) = 96

Û 2^x . 3 = 96

Û 2^x = 32

Û 2^x = 2⁵

Û x = 5.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5.

Ta có C = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰⁰

Suy ra 3C = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰¹

Do đó 3C - C = (3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰¹) - (3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰⁰)

2C = 3¹⁰⁰¹ - 3

Þ C = \[\frac{{{3^{1001}} - 3}}{2}\]

Vậy \[C = \frac{{{3^{1001}} - 3}}{2}\]

Chiều rộng căn phòng hình chữ nhật là:

\[8 \times \frac{3}{4} = 6\] (m)

Diện tích căn phòng hình chữ nhật là:

8 × 6 = 48 (m²) = 4800 (dm²)

Diện tích 1 viên gạch men hình vuông là:

4 × 4 = 16 (dm²)

Căn phòng được lát số viên gạch men là:

4800 : 16 = 300 (viên).

Đáp số: 300 viên.

a) Diện tích căn phòng là:

6 × 8 = 48 (m²) = 4 800 (dm²)

Diện tích viên gạch là:

4 × 4 = 16 (dm²)

Số viên gạch cần để lát nền căn phòng là:

4800 : 16 = 300 (viên)

b) Số tiền cần để mua gạch lát nền là:

 48 × 12 0000 = 5 760 000 (đồng)

Đáp số: a) 300 viên gạch;

   b) 5 760 000 đồng.

12 người làm trong 1 ngày được số sản phẩm là:

144 : 4 = 36 (sản phẩm)

1 người làm sản phẩm trong 1 ngày thì được là:

36 : 12 = 3 (sản phẩm)

Nếu chỉ có 12 người làm sản phẩm trong 5 ngày thì được số sản phẩm là:

36 × 5 = 180 (sản phẩm)

Số sản phẩm trong 12 người trong 5 ngày ít hơn số sản phẩm làm trong 5 ngày là:

210 - 180 = 30 (sản phẩm)

Nếu muốn làm được 210 sản phẩm trong 5 ngày thì cần thêm số người là:

30 : 3 = 10 (người).

Đáp số: 10 người.

Năng suất công việc mà 15 người làm xong một công việc là:

15 × 20 × 8 = 2 400 (đơn vị).

Số người của tổ sau khi thêm là:

15 + 5 = 20 (người)

Số ngày mà mọi người làm xong công việc đó khi thêm 5 người là:

2400 : (20 × 10) = 12 (ngày)

Đáp số: 12 ngày