Vì nếu thêm vào số bé 6,25 đơn vị và bớt ở số lớn đi 6,25 đơn vị thì được hai số bằng nhau nên hiệu hai số là: 6,25 + 6,25 = 12,5

Số lớn là: (56,9 + 12,5) : 2 = 34,7

Số bé là: 56,9 – 34,7 = 22,2.

–2750 – x = 1213 – (–315)

–2750 – x = 1528

–x = – 2750 – 1528

–x = – 4278

x = 4278.

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ..... + \frac{1}{{64}}\)

\( = 1 + \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} + ... + \frac{1}{{64}}} \right)\)

\( > 1 + \frac{1}{2} + 2.\frac{1}{4} + 4,\frac{1}{8} + ..... + 32.\frac{1}{{64}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4\)

Vậy \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ..... + \frac{1}{{64}}\) > 4.

Cách 1:

(2,45 + 7,55) × 2,75

= 10 × 2,75

= 27,5

Cách 2:

(2,45 + 7,55) × 2,75

= 2,45 × 2,75 + 7,55 × 2,75

= 27,5

a) X × 0,25 + 5,42 = 24,42

X × 0,25 = 24,42 – 5,42

X × 0,25 = 19

X = 76.

b) (X – 5,3) : 4,2 = 5,65

X – 5,3 = 5,65 × 4,2

X – 5,3 = 23,73

X = 23,73 + 5,3

X = 29,03

a) (– 2 018) + 2018 = 0. (vì – 2 108 và 2 018 là hai số đối nhau)

b) 57 + (– 93) = (– 93) + 57 = – (93 – 57) = – 36.

c) (– 38) + 46 = 46 + (– 38) = 46 – 38 = 8.

x = 39 vì 38,46 < 39 < 39,08.

a) 357,32 × 0,34 = 35,732 × 3,4

Vì 357,32 × 0,34 = 35,732 × 10 × 0,34 = 35,732 × 3,4

b) 491,5 × 0,05 = 4,915 × 5

Vì 491,5 × 0,05 = 4,915 × 100 × 0,05 = 4,915 × 5

Số số có 5 chữ số (không yêu cầu khác nhau) có thể có là:

4.4.4.4.4 = 1024 (số).

Ta có:

99⁵ = 99 × 99 × 99 × 99 × 99 có tận cùng là 9

98⁴ = 98 × 98 × 98 × 98 có tận cùng là 6

97³ = 97 × 97 × 97 có tận cùng là 3

96² = 96 × 96 có tận cùng là 6

Vậy \({99^5} - {98^4} + {97^3} - {96^2}\) có tận cùng là 9 – 6 + 3 – 6 = 0

Vậy \({99^5} - {98^4} + {97^3} - {96^2}\) chia hết cho 2 và 5.

Ta có:

\(\overline {abcabc} = \overline {abc\,} \, \times \,\,1000 + \overline {abc} = \overline {abc\,} \, \times 1001 = \overline {abc\,} \, \times \,7\, \times \,11\, \times \,13\)

Do đó, \(\overline {abcabc} \) chia hết cho 7, 11 và 13.

Gọi số tổ chia được là a (tổ)

Phải chia sao cho mổi tổ có số nam bằng nhau, nữ bằng nhau

Nên ta có:

28 chia hết cho a

24 chia hết cho a

Suy ra a thuộc ƯC(28,24)

Ta có :

28 = 2.2.7

24 = 2.3.3

Suy ra ƯCLN (28,24)=2.2=4

Suy ra ƯC(28,24)=Ư(4)={1,2,4}

Mà số tổ lớn hơn 1 nên có 2 cách chia là chia cho 2 và chia cho 4.

Số học sinh ít nhất ở mỗi tổ suy ra số tổ phải nhiều nhất.

Vậy số tổ chia nhiều nhất là 4 tổ.

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có \(C_9^2\) cách

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có \(C_7^3\)cách

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có \(C_4^4\) cách

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(C_9^2\).\(C_7^3\).\(C_4^4\) = 1260 số.

84,5 × 10,1

= (84,5 × 10) + (84,5 × 0,1)

= 845 + 8,45

= 853,45.

Ta thấy:

+ số thứ nhất: 1

+ số thứ 2: 1 + 1 = 2
+ số thứ 3: 1 + 1 + 2 = 4

+ số thứ 4: 1 + 1 + 2 + 3 = 7

Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra được số thứ 101 là: 1 + 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5051.
Vậy số thứ 101 là 5051.

Tính từng lũy thừa rồi cộng lại

Ví dụ: 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35.

a) 5x – 15y = 5(x – 3y).

b) 12y(2x – 5y) + 6xy(5 – 2x)

= 6y[2.(2x – 5y) + x(5 – 2x)]

= 6y.(4x – 10y + 5x – 2x²)

= 6y(–2x² + 9x – 10y).

c) x² – 7x + 12

= x² – 4x – 3x + 12

= (x² – 4x) – (3x – 12)

= x(x – 4) – 3(x – 4)

= (x – 3)(x – 4).

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{{b + c + d}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{a}{d}} \right)\) ta có:

\(\frac{{xy}}{{2x + y}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{{xy}}{x} + \frac{{xy}}{x} + \frac{{xy}}{y}} \right) = \frac{1}{9}\left( {y + y + x} \right) = \frac{1}{9}(2y + x)\)

\(\frac{{3yz}}{{2y + z}} \le 3.\frac{1}{9}\left( {\frac{{yz}}{y} + \frac{{yz}}{y} + \frac{{yz}}{z}} \right) = \frac{1}{3}\left( {z + z + y} \right) = \frac{1}{3}(2z + y)\)

\(\frac{{6xz}}{{2z + x}} \le 6.\frac{1}{9}\left( {\frac{{xz}}{z} + \frac{{xz}}{z} + \frac{{xz}}{x}} \right) = \frac{2}{3}\left( {x + x + z} \right) = \frac{1}{9}(2x + z)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \frac{{xy}}{{2x + y}} + \frac{{3yz}}{{2y + z}} + \frac{{6zx}}{{2z + x}} \le \frac{1}{9}\left( {2y + z} \right) + \frac{1}{3}\left( {2z + y} \right) + \frac{2}{3}\left( {2x + z} \right)\\ \Rightarrow M = \frac{{xy}}{{2x + y}} + \frac{{3yz}}{{2y + z}} + \frac{{6zx}}{{2z + x}} \le \frac{{13}}{9}x + \frac{5}{9}y + \frac{{12}}{9}z = \frac{1}{9}\left( {13x + 5y + 12z} \right) = \frac{1}{9}.9 = 1\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = \(\frac{3}{{10}}\).

Từ đề bài 8 người sơn dc 3 cái nhà trong 6 giờ suy ra trung bình mỗi giờ 8 người sơn được:

\(3:6 = \frac{1}{2}\) (căn nhà)

 Vậy trung bình 1 người 1 giờ sơn được:

\(\frac{1}{2}:8 = \frac{1}{{16}}\) (căn nhà)

Do đó, trong 12 giờ, 12 người sẽ sơn được:

\(\frac{1}{{16}}.12.12 = 9\) (căn nhà).

Đáp số: 9 căn nhà.

Theo đề bài thì:

Tổng 1,5 kg nho và 1,5 kg táo phải trả:

60 000 + 72 000 = 132 000 (đồng)

Vậy tổng 1 kg nho và 1 kg táo phải trả:

132 000 ÷ 1,5 = 88 000 (đồng)

Giá tiền của 0,5 kg nho là:

88 000 – 60 000 = 28 000 (đồng)

Như thế, giá tiền 1 kg nho là:

28 000 × 2 = 56 000 (đồng)

Cuối cùng, giá tiền 1 kg táo là:

60 000 – 28 000 = 32 000 (đồng).

Giải thích các bước giải:

Cuối năm 2004 thì số dân của phường đó là:

31250 × (100% + 1,6%) = 31750 (người)

Cuối năm 2005 thì số dân của phường đó là:

31750 × (100% + 1,6%) = 32258 (người)

Đáp số: 32358 người.

Số lít dầu ta có là :

6 × 4 = 24 (l)

Cần dùng :

24 : 3 = 8 (can)

Đáp án: 8 can.

Lấy 32 vỏ chai ban đầu chia 4 ta sẽ được 8 chai nước ngọt. Tuy nhiên, từ 8 chai nước ngọt đó, khi uống hết lại có thể dùng vỏ chai đổi được thêm 2 chai nữa và 2 vỏ chai cuối cùng không đổi được thêm chai nào nên kết quả cuối cùng là: 8 + 2 = 10 (chai).

Sau khi chuyển sọt thứ nhất là:

(76,65 – 1,85) : 2 = 37,4 (kg)

Lúc đầu sọt thứ nhất nặng là :

37,4 +4 = 41,4 (kg)

Lúc đầu sọt thứ hai nặng là :

76,65 – 41,4 = 35,25 (kg)

Khi bỏ dấu phẩy của số thập phân đó thì số thập phân đó sẽ gấp lên 100 lần

Vậy 497,97 ứng với 99 lần số thập phân đó

Số thập phân đó là:

407,97 : 99 = 5,03

Vì chiều rộng bằng \(\frac{3}{4}\) chiều dài.

Ta coi chiều dài là 3 phần, chiều rộng là 4 phần như thế.

Do vậy hình chữ nhật đó được chia số hình vuông là:

3 × 4 = 12 (hình)

Mỗi hình vuông có diện tích là:

972 : 12 = 81 (cm²)

 81 = 9 × 9 nên cạnh hình vuông là 9 cm.

Ta có chiều rộng hình chữ nhật là:

9 × 3 = 27 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

9 × 4 = 36 (cm)

Vậy chu vi hình chữ nhật là:

(36 + 27) × 2 = 126 (cm)

Đáp số: 126 cm.

Chiều dài hình chữ nhật là

\(\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1\) (m)

Chu vi HCN là

\(\left( {\frac{3}{4} + 1} \right) \times 2 = \frac{7}{2}\) (m)

Diện tích HCN là

\(\frac{3}{4} \times 1 = \frac{3}{4}\) (m²).

Đường kính đáy khối trụ là 80 cm = 0,8 m nên r = 0,4 m

Thể tích khối trụ là: V₁ = π.3.0,4 = 0,48π (m³)

Do khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ nên độ dài đường chéo khối lăng trụ

Do đó, độ dài cạnh đáy của khối lăng trụ là \(0,4\sqrt 2 \) m

Thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ là: V₂ = 0,96 m³

Tổng thể tích của 4 tấm bìa bị cưa là:

V = V₁ – V₂ = 0,48(π – 2) (m³).

Gọi số cần tìm là a

Theo bài ra, ta có:

a chia 21 dư 2 ⇒ a + 19 chia hết cho 21

a chia 12 dư 5 ⇒ a + 19 chia hết cho 5

⇒ a + 19 thuộc BC(21; 12)

Ta lại có:

21 = 3.7

12 = 22.3

⇒ BCNN(21; 12) = 22.3.7 = 84

⇒ BC(21; 12) = 84q

⇒ a + 19 = 84q

⇒ a = 84q – 19

⇒ a = 84q – 84 + 84 – 19

⇒ a = 84(q – 1) + 65

⇒ a chia 84 dư 65.

Một thùng mì nặng là:

453 × 60 = 27180 (g) = 27,18 kg

25 thùng mì nặng là:

25 × 27,18 = 679,5 (kg)

Đáp số: 679,5 kg.

Lần 2 bác Hà lấy số lít dầu là: 75,8 × 2 = 151,6 (l)

Sau 2 lần lấy số dầu trong thùng còn số lít là:

513 – 151,6 = 361,4 (l).

Đáp số: 361,4 lít dầu.

1 ngày 375 con gà mái đã đẻ hết : 375 × 104 = 39000 (g thức ăn)

10 ngày 375 con gà mái đẻ ăn hết : 39000 × 10 = 390000 (g thức ăn)

Đổi 390000 g = 390 kg.

Số 6 có 4 ước là: 1, 2, 3, 6.

23,45 : 12,5 : 0,8

= 23,45 : (12,5 × 0,8)

= 23,45 : 10

= 2,345.

Tỉ số phần trăm của 3 và 5 là: 3 : 5 × 100% = 60%.

Tỉ số phần trăm của 45 và 100 là: 45 : 100 × 100% = 45%.

\[\begin{array}{l}{x^3} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\]

1 tấn 54 tạ = 1000 kg + 5400 kg = 6400 kg.

Chiều dài là: 0,75 m

Chiều rộng là: \(\frac{1}{5}.0,75 = 0,15\) (m)

Diện tích hình chữ nhật đó là: 0,75 × 0,15 = 0,1125 (m²).

Chiều dài là: 0,75 m

Chiều rộng là: \(\frac{2}{3}.0,75 = 0,5\) (m)

Diện tích hình chữ nhật đó là: 0,75 × 0,5 = 0,375 (m²).

a) Mỗi cách lập một số có 3 chữ số khác nhau là việc lấy 3 phần tử từ tập chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6, rồi sắp xếp chúng, nên mỗi cách lập số là một chỉnh hợp chập 3 của 6.

Vậy có \(A_6^3\)= 120 số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn.

b) Số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3.

Ta có các bộ ba có tổng chia hết cho 3 là: (1; 2; 3), (1; 2; 6), (1; 3; 5), (1; 5; 6), (2; 3; 4), (2; 4; 6), (3; 4; 5), (4; 5; 6).

Mỗi bộ ba có 3! cách sắp xếp để được một số chia hết cho 3.

Vậy số các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6, chia hết cho 3 là: 8 . 3! = 48 (số).

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 2\\x \ne 0\end{array} \right.\)

a)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\\ = \left( {\frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{6}{{3\left( {x - 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{{{x^2} - 4 + 10 - {x^2}}}{{x - 2}}\\ = \left( {\frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right):\frac{6}{{x - 2}}\\ = \frac{{{x^2} - 2{x^2} - 4x + {x^2} - 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}:\frac{6}{{x - 2}}\\ = \frac{{ - 6x}}{{6x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + 2}}\end{array}\)

b)

Khi \(\left| x \right| = \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\x = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = - \frac{4}{{11}}\\P = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

c)

Để P = 7

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 7\\ \Leftrightarrow 7\left( {x + 2} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 7x + 14 = - 1\\ \Leftrightarrow 7x = - 15\\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 15}}{7}\end{array}\)

d)

Để P ∈ ℤ

⇔ 1 ⋮ x + 2

⇔ x + 2 ∈ Ư(1) = {±1}

⇔ x ∈ {–3; –1}.

a)

Với mọi n thuộc tập số nguyên ℤ thì n(n + 1) là số lẻ.

Mệnh đề phủ định: : Tồn tại một số nguyên n sao cho n(n + 1) là số chẵn.

b)

Tồn tại một số nguyên n để n(n+1) là số lẻ.

Mệnh đề phủ định: : Với mọi n thuộc tập số nguyên thì n(n + 1) là số chẵn.

\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right).4 - {x^2}\\ = ({x^2} - 3x - 2x + 6).4 - {x^2}\\ = 4{x^2} - 12x - 8x + 24 - {x^2}\\ = 3{x^2} - 20x + 24\end{array}\)

x² + 2y² – 3xy + x – 2y

= x² – 4xy + 4y² + xy – 2y² + x – 2y

= (x – 2y)² + y(x – 2y) + (x – 2y)

= (x – 2y)(x – 2y + y + 1)

= (x – 2y)(x – y + 1).

Ta có: x, y, z > 0

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(\left( {x + y} \right) \ge 2\sqrt {xy} \) và \(\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{1}{{xy}}} \)

\( \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 2\sqrt {xy} .2\sqrt {\frac{1}{{xy}}} = 4\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + y}} \le 4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (*)

Áp dụng (*) ta có:

\(\frac{1}{{2x + y + z}} = \frac{1}{{x + y + x + z}} = \frac{1}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x + z}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right)\left( 1 \right)\)

\(\frac{1}{{x + 2y + z}} = \frac{1}{{x + y + y + z}} = \frac{1}{{\left( {x + y} \right) + \left( {y + z} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\left( 2 \right)\)

\(\frac{1}{{x + y + 2z}} = \frac{1}{{x + z + y + z}} = \frac{1}{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x + z}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\left( 3 \right)\)

Cộng hai vế của (1) , (2), (3) ta có:

\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1\) (đcpcm).

1. Trâu ơi ta bảo trâu này,

Trâu ra ngoài ruộng trâu cày với ta.

2. Núi cao chi lắm núi ơi,

Núi che mặt trời chẳng thấy người thương.

3. Núi cao bởi có đất bồi, 

Núi chê đất thấp, núi ngồi ở đâu ?

4. Muôn dòng sông đổ biển sâu

Biển chê sông nhỏ biển đâu nước còn.

5. Khăn thương nhớ ai

    Khăn rơi xuống đất

    Khăn thương nhớ ai

    Khăn vắt lên vai

    Khăn thương nhớ ai

    Khăn chùi nước mắt...

6. Tôm đi chạng vạng, cá đi rạng đông

7. Bầu ơi thương lấy bí cùng– Tuy rằng khác giống nhưng chung một giàn.

8. Núi cao chi lắm núi ơi– Núi che mặt trời chẳng thấy người thương.

9. Bác giun đào đất suốt ngày

Hôm nay chết dưới gốc cây sau nhà

10. Thân gầy guộc, lá mong manh

Mà sao nên luỹ, nên thành tre ơi?

Số hạng thứ hai là : 3 = 0 + 1 + 2

Số hạng thứ ba là : 7 = 3 + 1 + 3

Số hạng thứ tư là :12 = 7 + 1 + 4

Từ đó rút ra quy luật của dãy là : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy .

Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ..

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \)

+ Trường hợp 1: a = 1

a: có 1 cách chọn

b: có 6 cách chọn

c: có 5 cách chọn

⇒ Theo quy tắc nhân có 1.6.5 = 30 số.

+ Trường hợp 2: a = 2, trường hợp 3: a = 3 làm tương tự.

+ Trường hợp 4: a = 5

a: có 1 cách chọn

b: có 4 cách chọn

c: có 5 cách chọn

Theo quy tắc nhân có: 1.4.5 = 20 số

Trường hợp 5: a = 5, b = 7

a có 1 cách chọn

b có 1 cách chọn

c có 3 cách chọn

Theo quy tắc nhân có: 1.1.3 = 3 số

Theo quy tắc cộng có 30 + 30 + 30 + 20 + 3 = 113 số thỏa mãn đề bài.

Sau khi cải tiến công cụ năng suất lao động đạt 100% + 20% = 120%

Cùng một công việc và số ngày làm việc như nhau thì năng suất lao động và số người là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Số người lúc sau là: \(\frac{{100\% .78}}{{120\% }} = 65\) người

Vậy số người cần giảm là: 78 – 65 = 13 người.

600 phút = 10 giờ vì 1 giờ = 60 phút.

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(A_6^4 = 360\) số.

Xét điểm I sao cho

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \frac{{\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} }}{2} = \overrightarrow {BK} \end{array}\)

(K là trung điểm AC)

Ta có: I là điểm thứ 4 của hình bình hành AIBK

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) - \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)} \right| = 2MI\end{array}\)

M thuộc d, nên giá trị nhỏ nhất đạt được khi IM vuông góc với d.

Khi đó \(\widehat {MAI} = \widehat {MAB} - \widehat {IAB} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \)

\( \Rightarrow 2IM = 2.IA.\sin 30^\circ = 2BK.\sin 30^\circ = a\sqrt 3 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là \(a\sqrt 3 \).

Lấy ngẫu nhiên 8 bi từ hộp, không gian mẫu là: \(C_{20}^8 = 125970\)

Số cách chọn 8 bi không có đủ cả 3 màu:

+ Chọn bi chỉ có 1 màu: 1 cách (chỉ chọn được màu vàng)

+ Chọn 8 bi có 2 màu: \(C_{12}^8 + C_{13}^8 + C_{15}^8 - 2C_8^8 = 8215\)

Xác suất để chọn 8 bi không đủ cả 3 màu là: \(P = \frac{{8215 + 1}}{{125970}} = \frac{{316}}{{4845}}\)

Xác suất để chọn 8 bi đủ cả 3 màu là: \(1 - P = 1 - \frac{{316}}{{4845}} = \frac{{4529}}{{4845}}\).

a, Số học sinh nữ chiếm số phần trăm số học sinh của lớp là:

14 : 35 × 100 = 40%

Số học sinh nam là:

35 – 14 = 21 (học sinh)

b, Tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh nam là:

14 : 21 × 100 = 66,7%.

Gọi số xe lúc đầu là x (x ∈ ℕ*) (xe)

Số xe lúc sau là x + 4 (xe)

Số hàng dự định trên xe lúc đầu là \(\frac{{48}}{x}\)(tấn)

Số hàng trên xe lúc sau là \(\frac{{48}}{{x + 4}}\)(tấn)

Theo bài ra ta có PT:

\(\frac{{48}}{x} - \frac{{48}}{{x + 4}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 16\\x = 12\end{array} \right.\)

Vì x là số tự nhiên nên đội xe lúc đầu có 12 chiếc

Số hàng trên xe dự định lúc đầu là 48 : 12 = 4 (tấn)

Số hàng trên xe lúc sau là 48 : (12 + 4) = 3 (tấn).

Số m vải còn lại chiếm là: 100% – 25% – 35% = 40%

a) Số m vải cửa hàng có lúc đầu là: 408 : 40 × 100 = 1020 (m)

b)

Ngày đầu cửa hàng bán được là: 1020 : 100 × 25 = 255 (m)

Ngày 2 cửa hàng bán được là: 1020 – 255 – 408 = 357 (m).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{225}} = {8^{75}}\\{3^{150}} = {9^{75}}\\{9^{75}} > {8^{75}} \Rightarrow {2^{225}} < {3^{150}}\end{array}\)

Các ước của 2 là: 1; 2

Các ước của 3 là: 1; 3

Các ước của 4 là: 1; 2; 4

Các ước của 5 là: 1; 5

Các ước của 6 là: 1; 2; 3; 6

Các ước của 7 là: 1; 7

Các ước của 34 là: 1; 2; 17; 34.

Ta có dãy số : 100,104 108.....996 .Vậy khoảng cách giữa cách số là 4

Số số hạng là: (996 – 100) : 4 + 1 = 225.

Tổng là : (996 + 100) × 225 : 2 = 123300.

(7,3 + 2,3) × X = 25,6 × 9,6

9,6 × X = 25,6 × 9,6

X = 25,6.

X : 0,25 + X × 11 = 24

X × 4 + X × 11 = 24

 X × ( 4 + 11 ) = 24

X × 15 = 24

X = 24 : 15

X = 1,6.

(1,25 × 3,6) : (9 × 5)                 

= (1,25 : 5) × (3,6 : 9)                                         

= 0,25 × 0,4

= 0,1.

11,11 + 12,12 + 13,13 + ... + 99,99

= 11 × 1,01 + 12 × 1,01 + 13 × 1,01 + ... + 99 × 1,01

= 1,01 × ( 11 + 12 + 13 + ... + 99 )

= 1,01 × 4895

= 4943,95.

Chọn 3 chữ số từ 9 số đã cho trừ số 1 và xếp theo thứ tự thành hàng ngang ta có \(A_8^3\)

Khi đó ta có 4 vị trí có thể xếp số 1, đó là 2 khoảng trống giữa 3 chữ số trên và hai đầu

Xếp số 1 vào ba trong 4 vị trí nói trên có \(C_4^3\) 

Suy ra trường hợp 2 có \(A_8^3.C_4^3\) cách xếp

Vậy có \(A_8^5.C_6^1 + A_8^3.C_4^3 = 58464\) số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hiệu của hai số là:

5.2 = 10

Số thứ nhất là: (64 + 10) : 2 = 37

Số thứ hai là: 64 – 37 = 27.

[(–851) + 5924] + [851 + (–5924)]

= [–851 + 5924] + [851 – 5924]

= –851 + 5924 + 851 – 5924

= (851 – 851) + (5924 – 5924)

= 0 + 0

= 0.

Chu vi hình chữ nhật là:

(5,5 + 3) × 2 = 17 (dm)

chu vi hình tròn là:

3 × 3,14 = 9,42 (dm)

độ dài sợi dây thép đó là:

17 + 9,42 – 3 – 3 = 20,42 (dm).

2 + (–3) + 4 + (–5) + ... + 2010 + (–2011) + 2012

= 2 + (4 – 3) + (6 – 5) + ... + (2010 – 2009) + (2012 – 2011)

= 2 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 (1005 số 1)

= 2 + 1005

= 1007.

Lượng dầu ban đầu trong 1000 kg hóa chất là:

1000 : 100 × 1 = 10 (kg)

Lượng dầu lúc sau chiếm số phần trăm là:

 100% – 96% = 4% (lượng hóa chất)

Loại hóa chất đó còn nặng là:

10 : 4 × 100 = 250 (kg)

Đáp số: 250 kg.

Cạnh của mảnh đất hình vuông đó là : 820 : 4 = 205 (m)

Diện tích mảnh đất là : 205 × 205 = 42025 (m²)

Đáp số: 42025 m².

\({\left( {12x + 7} \right)^2}\left( {3x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow \left( {144{x^2} + 168x + 49} \right)\left( {144{x^2} + 168 + 48} \right) = 72\)

Đặt \(144{x^2} + 168x + 48 = t \Rightarrow 144{x^2} + 168x + 49 = t + 1\)

Do đó, phương trình đã cho trở thành:

\(\left( {t + 1} \right)t = 72 \Leftrightarrow {t^2} + t - 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = - 9\end{array} \right.\)

Với t = 8 ta có: \(144{x^2} + 168x + 48 = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{3}\\x = \frac{{ - 5}}{6}\end{array} \right.\)

Với t = –9 ta có: \(144{x^2} + 168x + 48 = - 9 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 18\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 2 - 1} \right)\left( {2x + 2 + 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 18\\ \Leftrightarrow \left( {{{\left( {2x + 2} \right)}^2} - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 18\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + 1} \right)^4} - {\left( {x + 1} \right)^2} - 18 = 0\end{array}\)

Đặt t = (x + 1)² (t ≥ 0)

Phương trình trở thành:

\[4{t^2} - t - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{9}{4}\\t = - 2(L)\end{array} \right.\]

Với \(t = \frac{9}{4} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = \frac{3}{2}\\x + 1 = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Diện tích ban đầu là: 15 × 12 = 180 (cm²)

Chiều dài sau giảm là: 15 – 3 = 12 (cm)

Cạnh còn lại phải có độ dài để diện tích không đổi là: 180 : 12 = 15 (cm)

Vậy chiều rộng tăng: 15 – 12 = 3 (cm)

Nếu giảm chiều rộng 3 cm thì chiều rộng còn: 12 – 3 = 9 (cm)

Cạnh còn lại phải có độ dài để diện tích không đổi là: 180 : 9 = 20 (cm)

Vậy chiều dài phải tăng: 20 – 15 = 5 (cm).

12 – 12 + 11 + 10 – 9 + 8 – 7 + 5 – 4 + 3 + 2 – 1

= (12 – 12) + (11 + 10) – (9 – 8) – (7 – 5) – (4 – 3) + (2 – 1)

= 21 – 1 – 2 – 1 + 1

= (21 – 1) – (1 + 2 – 1)

= 20 – 2

= 18.

Vì 6 ngày gấp đôi 3 ngày nên số công nhân làm trong 3 ngày sẽ gấp đôi số công nhân làm trong 6 ngày.

Số công nhân làm trong 3 ngày là :

15 × 2 = 30 (công nhân)

Đáp số: 30 công nhân.

25 × 343 + 343 × 75

= 343 × (25 + 75)

= 343 × 100

= 34300.

483 + (–56) + 263 + (–64)

= 427 + 263 + (–64)

= 690 + (–64)

= 262.

\(\begin{array}{l}A = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2021}}.\\3A = 3\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{2021}}} \right) = 3 + {3^2} + ... + {3^{2022}}\\3A - A = 2A = {3^{2022}} - 1\\ \Rightarrow A = \frac{{{3^{2022}} - 1}}{2}\end{array}\)             \[\]

\(B - A = \frac{{{3^{2022}}}}{2} - \frac{{{3^{2022}} - 1}}{2} = \frac{{{3^{2022}} - {3^{2022}} + 1}}{2} = \frac{1}{2}\).

(27,5 × 0,1 + 2,5 × 0,1) × 2

= [0,1 × (2,5 + 27,5)] × 2

= (0,1 × 30) × 2

= 3 × 2

= 6.     

Ta có: abc + mnp = 579 (1)

Suy ra: anp + mbc =579 (2)

mbp + anc = 579 (3)

Vì: Ta thay đổi các chữ số trong các số hạng của biểu thức (1) thì sẽ có các phép cộng của biểu thức (2) và (3).

Ví dụ: ở biểu thức (1) b đứng ở vị trí hàng chục của số hạng thứ nhất, chuyển sang biểu thức (2) thì b vẫn đứng ở vị trí hàng chục nhưng ở số hạng thứ hai.... Các chữ số còn lại đều thay đổi như vậy. Nên tổng không thay đổi.

Chọn 2 điểm trong 7 điểm thuộc đường thẳng a và 1 điểm không thuộc đường thẳng a sẽ tạo thành 1 tam giác. Khi đó ta có: 6 . 7 : 2 = 21 tam giác.

Số thứ hai là: (130,08 – 83,49) : (2,5 – 1) = 31,08.

Số thứ nhất là: 83,49 – 31,08 = 52,41.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM kết hợp giả thiết có:

\(\begin{array}{l}B = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + z\left( {x + y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + x\left( {x + y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + y\left( {x + y + z} \right)}}} \\ = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)}}} \\ \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}} + \frac{y}{{y + x}} + \frac{z}{{z + x}} + \frac{z}{{z + y}} + \frac{x}{{z + x}}} \right) \le \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy GTLN của B là \(\frac{3}{2}\) khi x = y = z = 1.

Nhóm 1 có 1 chữ số. Nhóm 2 có 2 chữ số. nhóm 3 có 3 chữ số.......Nhóm thứ 99 có 99 chữ số. Như vậy trước nhóm thứ 100 là nhóm 99, ta có: 1 + 2 + 3 +......+ 99. Khoảng cách giữa hai số là 1 nên:

+ Số các số hạng của dãy là: (99 – 1) : 1 + 1 = 99.

+ Nhóm thứ 99 là số: [ (99 + 1) × 99 ] : 2 = 4950.

+ Nhóm thứ 100 là số: 4951.

Theo đề bài ta có: số bi xanh bằng \(\frac{9}{{11}}\) tổng số bi.

Tổng số vi đỏ và trắng chiếm \(1 - \frac{9}{{11}} = \frac{2}{{11}}\) (tổng số bi).

Tỉ số bi xanh và tổng số bi xanh và đỏ là:

\(\frac{9}{{11}}:\frac{2}{{11}} = \frac{9}{2}\) = 4,5

Số bi xanh là : (20 + 30) × 4,5 = 225 (viên bi).

Có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn (vì chữ số 0 không thể đứng đầu)

Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm (vì khác chữ số hàng nghìn)

Có 8 cách chọn chữ số hàng chục (vì khác chữ số hàng nghìn , trăm)

Có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì khác các chữ số hàng trăm chục nghìn)

Có số số có 4 chữ số khác nhau là:

9 × 9 × 8 × 7 = 4536 số.

Nếu chuyển 0,12 tấn từ kho A sang kho B thì lúc này số thóc không thay đổi

Tổng số phần bằng nhau: 2 + 3 = 5 (phần)

Số thóc khoA lúc sau: 1,45 : 5 × 2 = 0,58 (tấn)

Số thóc kho A ban đầu: 0,58 + 0,12 = 0,7 (tấn)

Số thóc kho B ban đầu: 1,45 – 0,7 = 0,75 (tấn)

Khi bớt \(\frac{2}{3}\)chiều dài thì chiều dài mới bằng : 1 – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\) chiều dài cũ.

Khi bớt \(\frac{5}{9}\) chiều rộng thì chiều rộng mới bằng : 1 – \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{4}{9}\) chiều rộng cũ. 

Lúc đó thì khu vườn trở thành hình vuông nên \(\frac{1}{3}\)chiều dài cũ = \(\frac{4}{9}\) chiều rộng cũ.

\(\frac{4}{{12}}\) chiều dài cũ = \(\frac{4}{9}\) chiều rộng cũ.Nghĩa là chiều dài hình chữ nhật là 12 phần, chiều rộng là 9 phần.

Tỉ số chiều dài và chiều rộng là \(\frac{4}{3}\)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

   15 : (4 – 3) × 3 = 45 (m)

Chiều dài hình chữ nhật là:

   45 + 15 = 60 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

   45 × 60 = 2700 (m²)

Đáp số: 2700 m².

Số tiền lãi bác Minh gửi ngân hàng sau 1 tháng:

60 000 000 × 0,6% = 360 000 (đồng)

Số tiền vốn và lãi bác Minh có sau khi gửi ngân hàng 1 tháng:

60 000 000 + 360 000 = 60 360 000 (đồng)

Đáp số: 60 360 000 đồng.

Tổng của đáy lớn và đáy bé là:

42 × 2 : 5,6 = 15 (m)

Đáy bé của hình thang là:

15 – 9,72 = 5,28 (m)

Đáp số: 5,28 m.

Diện tích mảnh đất là

15 × 13 = 195 (m²)

Diện tích phần đất làm nhà là

195 × 25% = 48,75 (m²)

Đáp số: 48,75 m².

Đáy lớn thửa ruộng là:

26 + 8 = 34 (m)

Chiều cao thửa ruộng là:

26 – 6 = 20 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

(34 + 26) × 20 : 2 = 600 (m²)

Số ki–lô–gam thóc thu hoạch được trên thửa ruộng đó là:

600 : 100 × 70,5 = 423 (kg)

Đáp số: 423 kg.