Gọi x là độ dài quãng đường AB

Khi đó vận tốc của xe thứ nhất là:

\(\frac{x}{{14 - 8}}\,\, = \,\,\frac{x}{6}\) (km/h)

Thời gian xe thứ hai chạy là: 12 giờ 30 phút – 8 giờ 30 phút = 4 giờ

Vận tốc của xe thứ 2 là :\(\,\frac{x}{4}\) (km/h)

Lúc 8 giờ 30 phút, xe thứ nhất đi được \(\,\frac{x}{6}\). 0,5 = \(\,\frac{x}{3}\)(km)

Khoảng cách hai xe lúc đó là: x –\(\,\frac{x}{3}\)= \(\,\frac{{2x}}{3}\) (km)

Thời gian hai xe gặp nhau là: \(\frac{{\frac{{2x}}{3}}}{{\frac{x}{6} + \frac{x}{4}}}\, = \,\,1,6\)giờ = 1 giờ 36 phút

Vậy thời điểm hai xe gặp nhau là: 8 giờ 30 phút + 1 giờ 36 phút = 10 giờ 06 phút.

Trong 2,5 giờ người đó đi được số km là:

12,5 . 2,5 = 31,25 (km)

Đáp số: 31,25 km.

Số công để sửa xong đoạn đường là:

16 . 9 = 144 (công)

Nếu thêm 2 người thì có tất cả số người là:

16 + 2 = 18 (người)

Đoạn đường xong trong số ngày là:

144 : 18 = 8 (ngày)

Đáp số: 8 ngày.

Vì giả thiết yêu cầu là số có 4 chữ số, do đó các chữ số đều nhỏ hơn 10, chữ số đầu tiên khác 0.

Ta có: 48 = 8 . 6 = 8 . 3 . 2 . 1

Để số tự nhiên là lớn nhất, ta có số 8321.

Đáp số: 8321.

Số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số là 99.

Giả sử x là số thập phân cần tìm.

Theo đề bài, ta có:

\(\frac{x}{{3,25}} + 24,56\,\, = \,\,99\)

Suy ra: x = 241,93

Đáp số: 241,93.

Theo giả thiết, tìm số lớn nhất có 2 chữ số, nên số cần tìm có dạng 9x.

Để hiệu các chữ số của chúng bằng 6 thì chữ số hàng đơn vị là:

9 – 6 = 3.

Vậy số cần tìm là: 93

Đáp số: 93.

a = 8,1;  a = 8,2;  a = 8,3;  a = 8,4;  a = 8,5;

a = 8,6;  a = 8,7; a = 8,8;  a = 8,9.

Ta thấy trong 3 số thì số b là nhỏ nhất

b kém a 10 lần

b kém c 100 lần 

Tổng a + b + c = 100b + b + 10b = 111b = 221,778

Suy ra b = 1,998

Do đó số a là 19,98; số c là: 199,8

Vậy số thập phân a cần tìm là 19,98.

Gọi số cần tìm là a.

Ta có : a – 3 chia hết cho 70; 210; 350

Do đó a – 3 ∈ BC(70; 210 ; 350) = {70; 140; ... ; 980; 1050;...}

Vì a là số nhỏ nhất có 4 chữ số nên a – 3 = 1050 hay a = 1053.

Vậy số cần tìm là 1053.

(28,7 + 34,5) . 2,4

= 63,2 . 2,4

= 151,68.

102,3 : 0,25 : 40 + 98,3 : 1,25 : 8

= 102,3 : (0,25 . 40) + 98,3 : ( 1,25 . 8)

= 102,3 : 10 + 98,3 : 10

= (102,3 + 98,3) : 10

= 200,6 : 10

= 20,06.

Ta có: \(\frac{x}{2}\,\, = \,\,\frac{y}{3}\,\, = \,\frac{z}{4}\)⇒ \(\frac{{{x^2}}}{4}\,\, = \,\,\frac{{{y^2}}}{9}\,\, = \,\,\frac{{{z^2}}}{{16}}\)⇒ \(\frac{{2{x^2}}}{8}\,\, = \,\,\frac{{3{y^2}}}{{27}}\,\, = \,\,\frac{{5{z^2}}}{{80}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{2{x^2}}}{8}\,\, = \,\,\frac{{3{y^2}}}{{27}}\,\, = \,\,\frac{{5{z^2}}}{{80}}\,\, = \,\,\frac{{2{x^2} + \,3{y^2}\, - \,5{z^2}\,}}{{8\, + \,27\, - \,80}}\,\, = \,\,\frac{{ - 405}}{{ - 45}}\,\, = \,\,9\).

⇒\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4}\, = \,9\\\frac{{{y^2}}}{9}\, = \,9\\\frac{{{z^2}}}{{16}}\, = \,9\end{array} \right.\)   ⇒\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\, = \,36\\{y^2}\, = \,81\\{z^2}\, = \,144\end{array} \right.\)   ⇒\(\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, \pm 6\\y\, = \, \pm 9\\z\, = \, \pm 12\end{array} \right.\) .

Ta có: \(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{7}\,\); \(\frac{y}{2}\,\, = \,\,\frac{z}{5}\,\) suy ra: \(\frac{x}{6}\,\, = \,\,\frac{y}{{14}}\,\, = \,\,\frac{z}{{35}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x}{6}\,\, = \,\,\frac{y}{{14}}\,\, = \,\,\frac{z}{{35}}\,\, = \,\,\frac{{x\, + \,y\, + \,z}}{{6\, + \,14\, + \,35}}\,\, = \,\,\frac{{ - 110}}{{55}}\,\, = \,\, - 2\).

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{6}\, = \,\, - 2\\\frac{y}{{14}}\, = \,\, - 2\\\frac{z}{{35}} = \,\, - 2\end{array} \right.\]   ⇒\(\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, - 12\\y\, = \, - 28\\z\, = \,\, - 70\end{array} \right.\).

Từ giả thiết, ta có:

\(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{z}{{ - 2}}\) hay \(\frac{{5x}}{{15}}\,\, = \,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{{3z}}{{ - 6}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{5x}}{{15}}\, = \,\frac{y}{5}\, = \,\frac{{3z}}{{ - 6}}\, = \,\frac{{5x\, - \,y\, + \,3z}}{{15\, - \,5\, + \,\left( { - 6} \right)}}\,\, = \,\,\frac{{124}}{4}\,\, = \,\,31\)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3}\, = \,\,31\\\frac{y}{5}\, = \,\,31\\\frac{z}{{ - 2}} = \,\,31\end{array} \right.\]   ⇒\[\left\{ \begin{array}{l}x\, = \,93\\y\, = \,155\\z\, = \,\, - 62\end{array} \right.\].  

Để tổng mỗi dòng mỗi cột đều là số chẵn, thì mỗi dòng hoặc mỗi cột phải có 2 số 1 hoặc 4 số 1.

Chẳng hạn như ma trận sau:

Phân số chỉ khối lượng công việc 8 thợ xây làm trong 1 ngày là

1 : 6 = \(\frac{1}{6}\) (công việc)

Phân số chỉ khối lượng công việc 1 thợ xây làm trong 1 ngày là

\(\frac{1}{6}\,:\,\,8\, = \,\,\frac{1}{{48}}\) (công việc)

Phân số chỉ khối lượng công việc làm trong 1 ngày khi muốn hoàn thành công việc trong 4 ngày là

1 : 4 = \(\frac{1}{4}\)  (công việc)

Để hoàn thành công việc trong 4 ngày cần số người là

\(\frac{1}{4}\,:\,\frac{1}{{48}}\) = 12 (người).

Đáp số: 12 người.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

P = 5x + 3y + \(\frac{{10}}{x}\, + \,\frac{8}{y}\) = \(\left( {5x + \frac{{10}}{x}} \right) + \left( {3y + \frac{8}{y}} \right)\)≥ \(2\sqrt {5x\, \cdot \,\frac{{10}}{x}\,} \, + \,2\sqrt {3y\, \cdot \,\frac{8}{y}\,} \)

= \(2\sqrt {50\,} + \,2\sqrt {24\,} \, = \,4\sqrt 6 \, + 10\sqrt 2 \).

Vậy P_min = \(4\sqrt 6 \, + 10\sqrt 2 \) khi \(\left\{ \begin{array}{l}5x\,\, = \,\,\frac{{10}}{x}\\3y\,\, = \,\,\frac{8}{y}\,\end{array} \right.\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\, = \,2\\{y^2}\, = \,\frac{8}{3}\,\end{array} \right.\,\).

Vì x, y > 0 nên: \(\left\{ \begin{array}{l}x\, = \,\sqrt 2 \\y = \,\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\,\end{array} \right.\).

Gọi tuổi con hiện nay là x (x > 0)

Thì tuổi cha hiện nay là 7x.

Sau 7 năm nữa, tuổi con là x + 7; tuổi cha là 7x + 7.

Theo giả thiết ta có: x + 7 = \(\frac{2}{7}\,\left( {7x + 7} \right)\, = \,2x\, + \,2\).

Suy ra: x = 5

Vậy tuổi con hiện nay là 5.

Tuổi cha hiện nay là: 5 . 7 = 35 (tuổi).

Ta có: n³ + 3n² + 2n = n (n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

Thấy n, n + 1 và n + 2 là ba số nguyên liên tiếp

Suy ra: n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 (vì chia hết cho 2 và 3).

Vậy n³ + 3n² + 2n chia hết cho 6.

Bấm máy tính, ta được:

sin 30° = \(\frac{1}{2}\)

cos 52° = 0,6156

Vậy thứ tự sắp xếp là: sin 30°, cos 52°.

Ta có:

A = 55 . 55 = 55 . (54 + 1) = 55 . 54 + 55 . 1 = 55 . 54 + 54 . 1 + 1

B = 54 . 57 = 54 . (55 + 2) = 54 . 55 + 54 . 2 = 54 . 55 + 54 . 1 + 54

Vì 54 . 55 + 54 . 1 đều xuất hiện ở cả A và B và bằng nhau

Mà 54 > 1 nên B > A.

Số phần tử của không gian mẫu là:

\(\left| \Omega \right|\)= \(C_{40}^2\)

Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 bi viên đỏ” ta có:

n(D) = \(C_{20}^2\) = 190;

X: “lấy được 2 bi viên xanh” ta có:

n(X) = \(C_{10}^2\) = 190;

V: “lấy được 2 bi viên vàng” ta có: 

n (V) = \(C_6^2\) = 15;

T: “lấy được 2 bi màu trắng” ta có:

n (T) = \(C_4^2\) = 6 .

Ta có D, X, V, T là các biến cố đôi một xung khắc và A = D ∪ X ∪ V ∪ T.

Suy ra xác xuất để lấy được 2 viên bi cùng màu là:

P(A) = P(D) + P(X) + P(V) + P(T) = \(\frac{{256}}{{C_{40}^2}}\,\, = \,\,\frac{{64}}{{195}}\).

115 phút = 1 giờ 55 phút.

Ta có: 18,987 = 18 + 0,9 + … + 0,007

Số cần điền là: 18,897 – (18 + 0,9 + 0,007) = 0,08.

Ta có:

18a³b – 24a²b² + 8ab³

= ab (18a² – 24ab + 8b²)

= ab \[\left[ {{{\left( {3\sqrt 2 a} \right)}^2}\, - \,2ab\,.\,3\sqrt 2 \,.\,2\sqrt 2 + {{\left( {2\sqrt 2 b} \right)}^2}} \right]\,\]

= ab \({\left( {3\sqrt 2 a\, - \,2\sqrt 2 b} \right)^2}\).

Người đó đi được số km là:

42,5 . 4 + 40,5 . 2 = 251 (km).

Ta có: \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\), suy ra: \(a + \frac{1}{b}\, = \,\,b + \frac{1}{c}\,\, = \,\,c + \frac{1}{a}\).

Từ \(a + \frac{1}{b}\, = \,b + \frac{1}{c}\,\) suy ra: a – b = \(\frac{{b - c}}{{bc}}\) (1)

Tương tự ta có: b – c = \(\frac{{c - a}}{{ac}}\) (2)

c – a = \(\frac{{a - b}}{{ab}}\) (3)

Nhân (1), (2) , (3) theo vế ta có:

(a – b)(b – c)(c – a) = \(\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

hay (a – b)(b – c)(c – a)\(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right)\) = 0

Vì abc ≠ 1 nên a²b²c² ≠ 1. Suy ra: \(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right) \ne 0\)

Do đó: (a – b)(b – c)(c – a) = 0

Suy ra: a = b hoặc b = c hoặc c = a

Với a = b, thay vào (1) suy ra: b = c. Vậy a = b = c

Tương tự đối với b = c hoặc c = a.

Vậy a = b = c.

2 gói kẹo cân nặng là: 4,3 – 3,5 = 0,8 (kg)

1 gói kẹo nặng là: 0,8 : 2 = 0,4 (kg)

5 gói kẹo nặng là: 0,4 . 5 = 2 (kg)

3 gói bánh nặng là: 3,5 – 2 = 1,5 (kg)

1 gói bánh nặng là: 1,5 : 3 = 0,5 (kg)

Vậy mỗi gói kẹo nặng 0,4 kg và mỗi gói bánh nặng 0,5kg.

Gọi các cạnh của tam giác là x ; y ;  z ( x ; y ; z > 0)

Các cạnh của tam giác tỉ lệ với 4; 5; 3 nên ta có:

\[\frac{x}{4}\,\, = \,\,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{z}{3}\]

Chu vi của tam giác bằng 120 m nên ta có: x + y + z = 120

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\[\frac{x}{4}\,\, = \,\,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{z}{3}\,\, = \,\,\,\frac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}}\,\, = \,\,\frac{{120}}{{12}}\,\, = \,10\]

Do đó x = 4.10 = 40 m  ; y = 5.10 = 50 m ; z = 3.10 = 30 m.

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác dài 30 m.

245 . 11 + 11 . 365

= 11 . (245 + 365)

= 11 . 610

= 6710.

Điều kiện xác định: x, y > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} \ge \,\frac{2}{{\sqrt {xy} }}\,\,hay\,\,6\,\, \ge \,\,\frac{2}{{\sqrt {xy} }}\).

Suy ra: \(\sqrt {xy} \, \ge \,\,\frac{1}{3}\)

Khi đó: \(\frac{1}{{\sqrt {xy} }}\, \le \,\,3\)

Ngày thứ 2 bán được là:

1,25 + 0,75 = 2 (tấn)

Ngày thứ 3 bán được là:

4 – 2 = 2 (tấn)

Đáp số: 2 tấn gạo.

Chiều rộng mảnh đất là: 12,5 – 2,3 = 10,2 (m).

Chu vi mảnh đất là: (12,5 + 10,2 ) . 2 = 45,4 (m).

Diện tích mảnh đất là: 12,5 . 10,2 = 127,5 (m²).

Lần lượt cân 2 trong 3 bạn cùng lúc.

Coi cân nặng của An và Linh là x (kg); của Linh và Nga là y (kg); của Nga và An là z (kg)

Tổng cân nặng của 3 bạn sẽ là t = \(\frac{{x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z}}{2}\)(kg).

Đổi: 1m² 69 dm² = 169 dm².

Hình vuông có diện tích là 169 dm² nên có độ dài một cạnh là 13 dm (vì 13 . 13 = 169).

Chu vi hình vuông là:

13 . 4 = 52 (dm)

Đáp số: 52 dm.

Người đó dùng số tiền để mua bưởi là:

30000 . 150 = 4500000 (đồng)

Khi nhà vườn hạ giá, người đó đủ tiền mua số bưởi là:

4500000 : 25000 = 180 (quả)

Đáp số : 180 quả.

3 giờ đầu đi số km là:

42,8 . 3 = 128,4 (km)

2 giờ sau đi số km là:

48,3 . 2 = 96,6 (km)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi được số km là: 

(128,4 + 96,6) : (3 + 2) = 45 (km)

Đáp số: 45km.

Gọi số đội viên của đội thiếu niên là a.

Ta có:

a chia 2 ; 3; 4; 5 đều dư 1 suy ra a + 1 chia hết cho 2; 3; 4; 5.

suy ra a + 1 ∈ BC (2; 3; 4; 5)

Mà BCNN (2; 3; 4; 5) = 60

a + 1 ∈ {0; 60; 120; 180; 240}

Vì a < 300 và a chia hết cho 7

Thử a + 1 = 60 thì a = 59 (loại vì 59 không chia hết cho 7)

Tương tự với a + 1 = 60, 180, 240 đều loại.

Suy ra a + 1 = 120 hay a = 119

Vậy số đội viên của đội thiếu niên là 119 người.

4,86 . 0,25 . 40 = 4,86 . 10 = 48,6.

Chiều rộng hình chữ nhật đó là:

7,2 − 3,55 = 3,65 (cm)

Chu vi hình chữ nhật đó là:

(7,2 + 3,65) . 2 = 21,7 (cm)

Diện tích hình chữ nhật đó là:

7,2 . 3,65 = 26,28 (cm²).

Ta có: x³ . 27x² . 17x³ = 459x⁸.

Đường chéo AC là

220,5 : 18 = 12,25 (cm)

Đáp số : 12,25 cm.

Số được nhân với 53 là:

112 : ( 5 + 3 ) = 14

Tích đúng của phép nhân đó là:

14 . 53 = 742

Đáp số: 742.

Gọi số đội viên của đội thiếu niên là a

Ta có:

a chia 2 ; 3; 4; 5 đều dư 1 suy ra a – 1 chia hết cho 2; 3; 4; 5.

suy ra a – 1 ∈ BC(2; 3; 4; 5)

Mà BCNN (2; 3; 4; 5) = 60

a – 1 ∈{0; 60; 120; 180; 240;...}

Vì số học viên từ khoảng 100 đến 150

Suy ra a – 1 = 120 hay a = 121.

Đổi 1 giờ = 60 phút

Số lần hít thở của một người trong 1 giờ là: 15 . 60 = 900 (lần).

Số lần hít thở của sáu người trong 1 giờ là: 6 . 900 = 5400 (lần).

Số lít không khí sáu người hít thở trong 1 giờ là: 5400 . 0,55 = 2970 (lít)

Khối lượng không khí sáu người hít thở trong 1 giờ là: 2970 . 1,3 = 3861 (gam)

Đáp số: 3861 (gam).

1 m² = 10000 cm² hay 1 cm² = 0,0001 m²

1 m² = 100 dm² hay 1 dm² = 0,01 m²

Suy ra: 13 dm² 4 cm² = 0,1304 m².

Ta có:

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n.(n + 1).3

3C = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + n.(n + 1).(n + 2) – (n – 1).n.(n + 1)

3C = n(n + 1)(n + 2)

C = \[\frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\].

(792,36 . 0,75 + 792,36 : 4) : (7,2 : 0,1 : 10)

= (792,36 . 0,75 + 792,36 . 0,25) : (7,2 : 0,1 : 10)

= 792,36 . (0,75 + 0,25) : 7,2

= 792,36 : 7,2

= 110,05.

Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Mà 91 còn chia hết cho 13 và 7.

Nên 91 không phải là số nguyên tố.

Gọi số cây trồng được của 3 lớp 7A 7B 7C lần lượt là x, y , z.

Theo bài ra ta có:

\(\frac{x}{3}\, = \,\frac{y}{4}\, = \,\frac{z}{5}\) và x + y + z = 180.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{4}\,\, = \,\,\frac{z}{5}\,\, = \,\,\frac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 5}}\,\, = \,\,\frac{{180}}{{12}}\,\, = \,\,15\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3} = 15\\\frac{y}{4} = 15\\\frac{z}{5} = 15\end{array} \right.\)     hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 60\\z = 75\end{array} \right.\).

Tổng của a, b, c là: \(\frac{{5 + 16 + \left( { - 19} \right)}}{2}\,\, = \,\,\,1\)

Suy ra: c = 1 – 5 = –4

a = 1 – 16 = –15

b = 16 – (–4) = 20.

Với p = 3 suy ra: 8p – 1= 23 (thỏa mãn); 8p + 1 = 25 (loại vì không là số nguyên tố)

Với p khác 3 suy ra: p không chia hết cho 3 ⇒ 8p không chia hết cho 3

mà 8p.(8p – 1).(8p + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp 

Ta có: 8p – 1 >3 (p ∈ ℕ) ⇒ 8p – 1 không chia hết cho 3 

⇒ 8p + 1 chia hết cho 3

Mà 8p + 1 > 3 

⇒ 8p + 1 là hợp số 

Vậy 8p + 1 là hợp số, 8p – 1 là số nguyên tố.

Phép chia có tính phân phối phải, không có tính phân phối trái, ví dụ:

\[\frac{{{a_1} \pm {a_2}\, \pm ... \pm {a_n}}}{b}\,\, = \,\,\frac{{{a_1}}}{b} \pm \frac{{{a_2}}}{b} \pm .... + \frac{{{a_n}}}{b}\]

Nhưng: \[\frac{b}{{{a_1} \pm {a_2}\, \pm ... \pm {a_n}}}\, \ne \,\frac{b}{{{a_1}}} \pm \frac{b}{{{a_2}}} \pm .... + \frac{b}{{{a_n}}}\].

Đặt \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{CB}}\)= k

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \,k.\,\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {CN} = \,k.\,\overrightarrow {CB} \end{array} \right.\] với k là hằng số

\[\overrightarrow {EI} = \,\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NF\,} = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {NM} \]

\[\overrightarrow {EI} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) + \,\overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DM} } \right)\,\]

\[ = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \,\overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DM} \]

= \[\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DM} \, = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CN} \, = \,\,\,\frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} } \right)\]

\[\overrightarrow {EF} = \,\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BF\,} = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \]

= \[\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \,\overrightarrow {CB} \, + \,\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} \, = \,\,\,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} } \right)\]

Suy ra: \(\overrightarrow {EF} \, = \,k.\,\overrightarrow {EI} \)

Vậy E, F, I thẳng hàng hay I luôn chuyển động trên đoạn EF.

Bán kính hình tròn là:

37,68 : 3,14 : 2 = 6 (dm).

Diện tích hình tròn là:

 6 . 6 . 3,14 = 113,04 (dm²).

Do viết nhầm các tích riêng thẳng cột nên kết quả sai gấp thừa số thứ nhất số lần là:

4 + 3 = 7 (lần)

Thừa số thứ nhất là: 10724 : 7 = 1532

Tích đúng là: 1532 . 7 = 65876

Đáp số: 65876.

Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp, ta thấy:

a) ¨ = 6.

b) ¨ = 10.

Giá tiền 1 m vải là:

180 000 : 8 = 22 500 (đồng)

Giá tiền 1,4m vải là:

22 500 . 1,4 = 31 500 (đồng)

Toàn bộ số tiền để may chiếc áo đó là:

31 500 + 20 000 = 51 500 (đồng)

Đáp số: 51 500 đồng.

Quãng đường ô tô đó đi được trong 1 giờ là:

21 . 2 = 42 (km).

Đổi \(1\frac{1}{2}\,\, = \,\,\frac{3}{2}\) giờ

Quãng đường ô tô đó đi được trong \(\frac{3}{2}\) giờ là:

42 . \(\frac{3}{2}\) = 63 (km).

Đáp số: 63 km.

Hai xe đầu chở được số tạ hàng là : 35 . 2 = 70 (tạ hàng) .

Ba xe sau chở được số tạ hàng là : 45 . 3 = 135 (tạ hàng) .

Trung bình mỗi xe chở được số tạ hàng là : (70 + 135) : 5 = 41 (tạ hàng).

Gọi số học sinh các khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là x, y, z, t (học sinh)

Số học sinh bốn khối 6 , 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9 ; 8 ; 7 ; 6 nghĩa là :

\(\frac{x}{9}\,\, = \,\,\frac{y}{8} = \frac{z}{7} = \frac{t}{6}\)

Số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh nghĩa là y – t = 70.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{9}\,\, = \,\,\frac{y}{8}\, = \,\frac{z}{7}\, = \frac{t}{6} = \frac{{y - t}}{{8 - 6}} = \frac{{70}}{2} = 35\)

Suy ra: \(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{9} = 35\\\frac{y}{8} = 35\\\frac{z}{7} = 35\\\frac{t}{6} = 35\end{array} \right.\)     hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 315\\y = 280\\z = 245\\t = 210\end{array} \right.\).    

Vậy số học sinh khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315 ; 280 ; 245 ; 210 học sinh.

A = {x | x ∈ ℝ, x < 1}.

0,8 . 96 + 0,8 . 2 . 2

= 0,8 . 96 + 0,8 . 4

=0,8 . (96 + 4)

= 0,8 . 100 = 80.

Diện tích hình vuông là: 8 . 8 = 64 (cm²).

Diện tích hình tròn là: 64 + 86 = 150 (cm²).

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 2 - y\,\,(1)\\\left( {y - 2} \right){\left( {y + 1} \right)^2} = 4 - 2z\,\,(2)\\\left( {z - 2} \right){\left( {z + 1} \right)^2} = 6 - 3x\,\,(3)\end{array} \right.\)    

Nhân 3 vế của 3 phương trình với nhau ta được:

\[\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {y + 1} \right)^2}{\left( {z + 1} \right)^2} = - 6\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\]

⇔ \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 6} \right]\)= 0

Mà \(\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 6} \right]\)> 0 với mọi x, y, z

Nên: \[\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\,\, = \,\,0\]

Suy ra:

\(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 2 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\)

Với x = 2, thay vào (1) ta có: y = 2. Thay y = 2 vào (2) tìm được z = 2.

Tương tự với y = 2 và z = 2.

Vậy x = y = z = 2.

Ta có:

B = bc(y – z)² + ca(z – x)² + ab(x – y)²

= bcy² + bcz² + caz² + cax² + abx² + aby² – 2(bcyz + acxz + abxy) (1)

Từ giả thiết suy ra:

a²x² + b²y² + c²z² + 2(bcyz + acxz + abxy) = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

B = ax² (b + c) + by² (a + c) + cz² (a + b) + a²x² + b²y² + c²z²

= ax² (a + b + c) + by² (a + b + c) + cz² (a + b + c)

= (ax² + by² + cz²) (a + b + c)

Do đó A =  \(\frac{B}{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\) = a + b + c.