- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 51)
-
11344 lượt thi
-
76 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Đề bài. Hai ô tô đi ngược chiều nhau từ A và B. Xe thứ nhất đi từ A lúc 8 giờ và đến B lúc 14 giờ. Xe thứ hai đi từ B lúc 8 giờ 30 phút và đến B lúc 12 giờ 30 phút. Vậy hai xe gặp nhau lúc?
Gọi x là độ dài quãng đường AB
Khi đó vận tốc của xe thứ nhất là:
\(\frac{x}{{14 - 8}}\,\, = \,\,\frac{x}{6}\) (km/h)
Thời gian xe thứ hai chạy là: 12 giờ 30 phút – 8 giờ 30 phút = 4 giờ
Vận tốc của xe thứ 2 là :\(\,\frac{x}{4}\) (km/h)
Lúc 8 giờ 30 phút, xe thứ nhất đi được \(\,\frac{x}{6}\). 0,5 = \(\,\frac{x}{3}\)(km)
Khoảng cách hai xe lúc đó là: x –\(\,\frac{x}{3}\)= \(\,\frac{{2x}}{3}\) (km)
Thời gian hai xe gặp nhau là: \(\frac{{\frac{{2x}}{3}}}{{\frac{x}{6} + \frac{x}{4}}}\, = \,\,1,6\)giờ = 1 giờ 36 phút
Vậy thời điểm hai xe gặp nhau là: 8 giờ 30 phút + 1 giờ 36 phút = 10 giờ 06 phút.
Câu 2:
Nêu định nghĩa hình bát giác.
Hình bát giác là một đa giác trong hình học, có 8 cạnh và 8 góc. Điều đó có nghĩa là số đỉnh là 8 và số cạnh là 8.
Câu 3:
Một người đi xe đạp mỗi giờ đi được 12,5 km. Hỏi trong 2,5 giờ người đó đi được bao nhiêu km?
Trong 2,5 giờ người đó đi được số km là:
12,5 . 2,5 = 31,25 (km)
Đáp số: 31,25 km.
Câu 4:
Một đội sửa đường gồm 16 người dự định sửa xong một đoạn đường trong 9 ngày. Hỏi nếu bổ sung thêm 2 người thì làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? Biết mức làm của mỗi người như nhau.
Số công để sửa xong đoạn đường là:
16 . 9 = 144 (công)
Nếu thêm 2 người thì có tất cả số người là:
16 + 2 = 18 (người)
Đoạn đường xong trong số ngày là:
144 : 18 = 8 (ngày)
Đáp số: 8 ngày.
Câu 5:
Diện tích hình bình hành bằng 24 cm2. Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng 2 cm và 3 cm. Tính chu vi của hình bình hành.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, khoảng cách từ O đến cạnh AB là OH = 2 cm , đến cạnh BC là OK = 3 cm
* Kéo dài OH cắt cạnh CD tại H'.
Ta có OH ⊥ BC
⇒ OH' ⊥ CD và OH' = 2 cm
Suy ra HH' bằng đường cao của hình bình hành.
SABCD = HH'.AB ⇒ AB = \(\frac{{{S_{ABCD}}}}{{HH'}}\,\, = \,\,\frac{{24}}{4}\,\, = \,\,6\) (cm)
* Kéo dài OK cắt AD tại K'.
Ta có: OK ⊥ BC ⇒ OK' ⊥ AD và OK' = 3 (cm)
Suy ra KK' là đường cao của hình bình hành.
SABCD = KK'.BC ⇒ BC = \(\frac{{{S_{ABCD}}}}{{KK'}}\,\, = \,\,\frac{{24}}{6}\,\, = \,\,4\)(cm)
Chu vi của hình bình hành ABCD là: (6 + 4) . 2 = 20 (cm).
Đáp số: 20 cm.
Câu 6:
Tìm số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số khác nhau sao cho tích của các chữ số của nó bằng 48.
Vì giả thiết yêu cầu là số có 4 chữ số, do đó các chữ số đều nhỏ hơn 10, chữ số đầu tiên khác 0.
Ta có: 48 = 8 . 6 = 8 . 3 . 2 . 1
Để số tự nhiên là lớn nhất, ta có số 8321.
Đáp số: 8321.
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC}\)= 120°, AB = 3 cm , AC = 6 cm và đường phân giác trong AD. Tính độ dài cạnh AD.
Kẻ DE // AB
Ta có: \(\widehat {ADE}\,\, = \,\,\widehat {BAD}\,\)(hai góc so le trong, DE // AB)
⇒ \(\widehat {ADE}\,\, = \,\,\widehat {DAE}\,\)( cùng bằng 60°) suy ra tam giác ADE là tam giác đều.
Đặt AD = DE = EA = x. Ta có:
\(\frac{{DE}}{{AB}}\,\, = \,\,\frac{{CE}}{{CA}}\,\,\,hay\,\,\,\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{{6 - x}}{6}\)
Từ đó x = 2.
Vậy AD = 2 cm.
Câu 8:
Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC}\)= 120°, AB = 4 cm và đường phân giác trong AD = 3 cm. Tính độ dài cạnh AC.
Qua D kẻ DE // AB
Ta có: \(\widehat {ADE}\,\, = \,\,\widehat {BAD}\,\)(hai góc so le trong, DE // AB)
⇒ \(\widehat {ADE}\,\, = \,\,\widehat {DAE}\,\)(cùng bằng 60°) suy ra tam giác ADE là tam giác đều.
AD = AE = DE = 3 cm (1)
Áp dụng định lí Thalès tam giác ABC ta có:
\(\frac{{EC}}{{AC}}\,\, = \,\,\frac{{DE}}{{AB}}\,\)⇒ \(\frac{{EC}}{{AC}}\, = \,\frac{3}{4}\) ⇒ \(\frac{{AE}}{{AC}}\, = \,\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1) và (2), suy ra: AC = 4AE = 12 cm
Vậy AC = 12 cm.
Câu 9:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và AB = AD = BC = a, CD = 2a. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB.
Ta có: ABCD là hình thang cân.
Gọi V1 là thể tích khối trụ bán kính r1 = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), chiều cao h1 = 2a. Khi đó:
V1 = \(\pi \)r12h1 = \(\frac{{3\pi {a^3}}}{2}\).
Gọi V2 là thể tích khối trụ bán kính r2 = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), chiều cao h1 = \(\frac{a}{2}\). Khi đó:
V2 = \(\pi \)r22h2 = \(\frac{{\pi {a^3}}}{8}\).
Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tìm. Khi đó
V = V1 – 2V2 = \(\frac{{5\pi {a^3}}}{4}\).
Câu 10:
Tìm một số thập phân biết rằng khi chia số đó cho 3,25 rồi cộng với 24,56 thì được kết quả là một số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số.
Số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số là 99.
Giả sử x là số thập phân cần tìm.
Theo đề bài, ta có:
\(\frac{x}{{3,25}} + 24,56\,\, = \,\,99\)
Suy ra: x = 241,93
Đáp số: 241,93.
Câu 11:
Tìm số lớn nhất có hai chữ số mà hiệu các chữ số của chúng bằng 6.
Theo giả thiết, tìm số lớn nhất có 2 chữ số, nên số cần tìm có dạng 9x.
Để hiệu các chữ số của chúng bằng 6 thì chữ số hàng đơn vị là:
9 – 6 = 3.
Vậy số cần tìm là: 93
Đáp số: 93.
Câu 12:
a = 8,1; a = 8,2; a = 8,3; a = 8,4; a = 8,5;
a = 8,6; a = 8,7; a = 8,8; a = 8,9.
Câu 13:
Tìm một số thập phân a biết rằng nếu chuyển dấu phẩy của nó sang bên trái 1 hàng ta được số b. Nếu chuyển dấu phẩy của nó sang bên phải một hàng ta được số c. Tổng của ba số a, b, c là 221,778.
Ta thấy trong 3 số thì số b là nhỏ nhất
b kém a 10 lần
b kém c 100 lần
Tổng a + b + c = 100b + b + 10b = 111b = 221,778
Suy ra b = 1,998
Do đó số a là 19,98; số c là: 199,8
Vậy số thập phân a cần tìm là 19,98.
Câu 14:
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số. Biết rằng khi chia số đó cho các số 70; 210; 350 có cùng số dư là 3.
Gọi số cần tìm là a.
Ta có : a – 3 chia hết cho 70; 210; 350
Do đó a – 3 ∈ BC(70; 210 ; 350) = {70; 140; ... ; 980; 1050;...}
Vì a là số nhỏ nhất có 4 chữ số nên a – 3 = 1050 hay a = 1053.
Vậy số cần tìm là 1053.
Câu 16:
Tính bằng cách thuận tiện nhất: 102,3 : 0,25 : 40 + 98,3 : 1,25 : 8.
102,3 : 0,25 : 40 + 98,3 : 1,25 : 8
= 102,3 : (0,25 . 40) + 98,3 : ( 1,25 . 8)
= 102,3 : 10 + 98,3 : 10
= (102,3 + 98,3) : 10
= 200,6 : 10
= 20,06.
Câu 17:
Tìm x, y, z biết \(\frac{x}{2}\,\, = \,\,\frac{y}{3}\,\, = \,\,\frac{z}{4}\) và 2x2 + 3y2 – 5z2 = –405.
Ta có: \(\frac{x}{2}\,\, = \,\,\frac{y}{3}\,\, = \,\frac{z}{4}\)⇒ \(\frac{{{x^2}}}{4}\,\, = \,\,\frac{{{y^2}}}{9}\,\, = \,\,\frac{{{z^2}}}{{16}}\)⇒ \(\frac{{2{x^2}}}{8}\,\, = \,\,\frac{{3{y^2}}}{{27}}\,\, = \,\,\frac{{5{z^2}}}{{80}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{{2{x^2}}}{8}\,\, = \,\,\frac{{3{y^2}}}{{27}}\,\, = \,\,\frac{{5{z^2}}}{{80}}\,\, = \,\,\frac{{2{x^2} + \,3{y^2}\, - \,5{z^2}\,}}{{8\, + \,27\, - \,80}}\,\, = \,\,\frac{{ - 405}}{{ - 45}}\,\, = \,\,9\).
⇒\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4}\, = \,9\\\frac{{{y^2}}}{9}\, = \,9\\\frac{{{z^2}}}{{16}}\, = \,9\end{array} \right.\) ⇒\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\, = \,36\\{y^2}\, = \,81\\{z^2}\, = \,144\end{array} \right.\) ⇒\(\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, \pm 6\\y\, = \, \pm 9\\z\, = \, \pm 12\end{array} \right.\) .
Câu 18:
Tìm x, y, z biết \(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{7}\,\); \(\frac{y}{2}\,\, = \,\,\frac{z}{5}\,\)và x + y + z = –110.
Ta có: \(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{7}\,\); \(\frac{y}{2}\,\, = \,\,\frac{z}{5}\,\) suy ra: \(\frac{x}{6}\,\, = \,\,\frac{y}{{14}}\,\, = \,\,\frac{z}{{35}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x}{6}\,\, = \,\,\frac{y}{{14}}\,\, = \,\,\frac{z}{{35}}\,\, = \,\,\frac{{x\, + \,y\, + \,z}}{{6\, + \,14\, + \,35}}\,\, = \,\,\frac{{ - 110}}{{55}}\,\, = \,\, - 2\).
Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{6}\, = \,\, - 2\\\frac{y}{{14}}\, = \,\, - 2\\\frac{z}{{35}} = \,\, - 2\end{array} \right.\] ⇒\(\left\{ \begin{array}{l}x\, = \, - 12\\y\, = \, - 28\\z\, = \,\, - 70\end{array} \right.\).
Câu 19:
Tìm x, y, z biết x : y : z = 3 : 5 : (–2) và 5x – y + 3z = 124.
Từ giả thiết, ta có:
\(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{z}{{ - 2}}\) hay \(\frac{{5x}}{{15}}\,\, = \,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{{3z}}{{ - 6}}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{{5x}}{{15}}\, = \,\frac{y}{5}\, = \,\frac{{3z}}{{ - 6}}\, = \,\frac{{5x\, - \,y\, + \,3z}}{{15\, - \,5\, + \,\left( { - 6} \right)}}\,\, = \,\,\frac{{124}}{4}\,\, = \,\,31\)
Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3}\, = \,\,31\\\frac{y}{5}\, = \,\,31\\\frac{z}{{ - 2}} = \,\,31\end{array} \right.\] ⇒\[\left\{ \begin{array}{l}x\, = \,93\\y\, = \,155\\z\, = \,\, - 62\end{array} \right.\].
Câu 20:
Điền số 1 và 0 vào mỗi ô bất kì của ma trận 5×5 sao cho tổng mỗi dòng tổng mỗi cột đều là số chẵn (Mỗi dòng và mỗi cột đều phải chứa số 0 và 1).
Để tổng mỗi dòng mỗi cột đều là số chẵn, thì mỗi dòng hoặc mỗi cột phải có 2 số 1 hoặc 4 số 1.
Chẳng hạn như ma trận sau:
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Câu 21:
Để lát xong một nền nhà trong 6 ngày cần huy động 8 thợ xây. Hỏi nếu muốn lát xong nền nhà đó trong 4 ngày cần huy động bao nhiêu thợ xây? Biết mức làm việc của mỗi thợ như nhau.
Phân số chỉ khối lượng công việc 8 thợ xây làm trong 1 ngày là
1 : 6 = \(\frac{1}{6}\) (công việc)
Phân số chỉ khối lượng công việc 1 thợ xây làm trong 1 ngày là
\(\frac{1}{6}\,:\,\,8\, = \,\,\frac{1}{{48}}\) (công việc)
Phân số chỉ khối lượng công việc làm trong 1 ngày khi muốn hoàn thành công việc trong 4 ngày là
1 : 4 = \(\frac{1}{4}\) (công việc)
Để hoàn thành công việc trong 4 ngày cần số người là
\(\frac{1}{4}\,:\,\frac{1}{{48}}\) = 12 (người).
Đáp số: 12 người.
Câu 22:
Cho x + y ≥ 6; x, y > 0. Tìm min của P = 5x + 3y + \(\frac{{10}}{x}\,\, + \,\,\frac{8}{y}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
P = 5x + 3y + \(\frac{{10}}{x}\, + \,\frac{8}{y}\) = \(\left( {5x + \frac{{10}}{x}} \right) + \left( {3y + \frac{8}{y}} \right)\)≥ \(2\sqrt {5x\, \cdot \,\frac{{10}}{x}\,} \, + \,2\sqrt {3y\, \cdot \,\frac{8}{y}\,} \)
= \(2\sqrt {50\,} + \,2\sqrt {24\,} \, = \,4\sqrt 6 \, + 10\sqrt 2 \).
Vậy Pmin = \(4\sqrt 6 \, + 10\sqrt 2 \) khi \(\left\{ \begin{array}{l}5x\,\, = \,\,\frac{{10}}{x}\\3y\,\, = \,\,\frac{8}{y}\,\end{array} \right.\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\, = \,2\\{y^2}\, = \,\frac{8}{3}\,\end{array} \right.\,\).
Vì x, y > 0 nên: \(\left\{ \begin{array}{l}x\, = \,\sqrt 2 \\y = \,\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\,\end{array} \right.\).
Câu 23:
Hiện nay tuổi cha gấp 7 lần tuổi con. Sau 7 năm nữa thì tuổi con bằng \(\frac{2}{7}\) tuổi cha. Tính tuổi con và tuổi cha hiện nay?
Gọi tuổi con hiện nay là x (x > 0)
Thì tuổi cha hiện nay là 7x.
Sau 7 năm nữa, tuổi con là x + 7; tuổi cha là 7x + 7.
Theo giả thiết ta có: x + 7 = \(\frac{2}{7}\,\left( {7x + 7} \right)\, = \,2x\, + \,2\).
Suy ra: x = 5
Vậy tuổi con hiện nay là 5.
Tuổi cha hiện nay là: 5 . 7 = 35 (tuổi).
Câu 24:
Chứng minh rằng n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6.
Ta có: n3 + 3n2 + 2n = n (n2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)
Thấy n, n + 1 và n + 2 là ba số nguyên liên tiếp
Suy ra: n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6 (vì chia hết cho 2 và 3).
Vậy n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6.
Câu 25:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi AD là phân giác trong của tam giác AHC. Chứng minh tam giác BAD là tam giác cân.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAD}\, = \,90^\circ - \,\widehat {{A_1}}\,\).
Vì tam giác AHD vuông tại H nên \(\widehat {BDA}\,\, = \,\,90^\circ - \,\widehat {{A_2}}\).
Mà \(\widehat {{A_1}} = \,\,\widehat {{A_2}}\) (do AD là phân giác của góc HAC) nên \(\widehat {BAD}\, = \,\,\widehat {BDA}\).
Do đó tam giác BAD cân tại B.
Câu 26:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi AD là phân giác trong của tam giác AHC.
a) Chứng minh tam giác BAD là tam giác cân;
b) Cho BC = 25 cm, HD = 6 cm. Tính AB.
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAD}\, = \,90^\circ - \,\widehat {{A_1}}\,\).
Vì tam giác AHD vuông tại H nên \(\widehat {BDA}\,\, = \,\,90^\circ - \,\widehat {{A_2}}\).
Mà \(\widehat {{A_1}} = \,\,\widehat {{A_2}}\) (do AD là phân giác của góc HAC) nên \(\widehat {BAD}\, = \,\,\widehat {BDA}\).
Do đó tam giác BAD cân tại B.
b) Vì tam giác BAD cân tại B nên BA = BD.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
BH . BC = AB2
⇔ (BD – HD) . BC = AB2
⇔ (BA – 6) . 25 = AB2
⇔ AB2 – 25AB + 150 = 0
Suy ra: AB = 15 cm hoặc AB = 10 cm.
Vậy AB = 15 cm hoặc AB = 10 cm.
Câu 27:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, bán kính R. Từ điểm C trên tia đối của tia BA kẻ 1 cát tuyến cắt đường tròn ở E và D (E nằm giữa D và C) biết góc \(\widehat {DOE}\) = 90° và OC = 3R.
a) Tính độ dài CD, CE theo R.
b) Chứng minh CE.CD = CA.CB.
a) Tam giác DOE vuông tại O có OD = OE = R
Do đó: DE = \(\sqrt {O{D^2} + O{E^2}} \)= \(R\sqrt 2 \)
Xét tam giác EBC và tam giác DAC có:
\(\widehat C\)chung
\(\widehat {CEB} = \,\widehat {CAD} = \,\left( {180^\circ - \,\widehat {DEB}} \right)\)
⇒ \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CE}}{{CA}}\, \Rightarrow \,CD = \frac{{AC\,.\,BC}}{{CE}}\)
\( \Rightarrow CD = \frac{{\left( {OA + OC} \right)\,.\,\left( {OC - OB} \right)}}{{DC - DE}} = \,\frac{{8{R^2}}}{{DC - R\sqrt 2 }}\)
Suy ra: DC2 – DC. \(R\sqrt 2 \)– 8R2 = 0
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}CD = \frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\\CD = \frac{{R\left( { - \sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\end{array} \right.\)
Vì CD > 0 nên CD = \(\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2}\)
CE = DC – DE = \(\frac{{R\left( {\sqrt {34} + \sqrt 2 } \right)}}{2} - R\sqrt 2 \,\,\, = \,\,\,\frac{{R\left( {\sqrt {34} - \sqrt 2 } \right)}}{2}\)
b) Theo phần a ở trên ta có:
∆CEB ᔕ ∆CAD (g.g)
⇒ \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{CE}}{{CA}}\, \Rightarrow \,CD\,.\,CE = AC\,.\,BC\).
Câu 28:
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần sin 30°, cos 52°.
Bấm máy tính, ta được:
sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
cos 52° = 0,6156
Vậy thứ tự sắp xếp là: sin 30°, cos 52°.
Câu 29:
Không cần tính, hãy so sánh A = 55 . 55; B = 54 . 57.
Ta có:
A = 55 . 55 = 55 . (54 + 1) = 55 . 54 + 55 . 1 = 55 . 54 + 54 . 1 + 1
B = 54 . 57 = 54 . (55 + 2) = 54 . 55 + 54 . 2 = 54 . 55 + 54 . 1 + 54
Vì 54 . 55 + 54 . 1 đều xuất hiện ở cả A và B và bằng nhau
Mà 54 > 1 nên B > A.
Câu 30:
Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 10 viên bi xanh, 20 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất biến cố A: “lấy được 2 viên bi cùng màu”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
\(\left| \Omega \right|\)= \(C_{40}^2\)
Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 bi viên đỏ” ta có:
n(D) = \(C_{20}^2\) = 190;
X: “lấy được 2 bi viên xanh” ta có:
n(X) = \(C_{10}^2\) = 190;
V: “lấy được 2 bi viên vàng” ta có:
n (V) = \(C_6^2\) = 15;
T: “lấy được 2 bi màu trắng” ta có:
n (T) = \(C_4^2\) = 6 .
Ta có D, X, V, T là các biến cố đôi một xung khắc và A = D ∪ X ∪ V ∪ T.
Suy ra xác xuất để lấy được 2 viên bi cùng màu là:
P(A) = P(D) + P(X) + P(V) + P(T) = \(\frac{{256}}{{C_{40}^2}}\,\, = \,\,\frac{{64}}{{195}}\).
Câu 32:
Chọn 1 số thích hợp điền vào chỗ chấm: 18,987 = 18 + 0,9 + … + 0,007.
Ta có: 18,987 = 18 + 0,9 + … + 0,007
Số cần điền là: 18,897 – (18 + 0,9 + 0,007) = 0,08.
Câu 33:
Ta có:
18a3b – 24a2b2 + 8ab3
= ab (18a2 – 24ab + 8b2)
= ab \[\left[ {{{\left( {3\sqrt 2 a} \right)}^2}\, - \,2ab\,.\,3\sqrt 2 \,.\,2\sqrt 2 + {{\left( {2\sqrt 2 b} \right)}^2}} \right]\,\]
= ab \({\left( {3\sqrt 2 a\, - \,2\sqrt 2 b} \right)^2}\).
Câu 34:
Một người đi xe máy trong 4 giờ đầu mỗi giờ đi 42,5 km, trong 2 giờ tiếp theo mỗi giờ đi 40,5 km. Người đó đã đi được tất cả số ki– lô – mét là?
Người đó đi được số km là:
42,5 . 4 + 40,5 . 2 = 251 (km).
Câu 35:
Cho abc ≠ 1 và \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\). Chứng minh rằng a = b = c.
Ta có: \(\frac{{ab + 1}}{b}\,\, = \,\,\frac{{bc + 1}}{c}\,\, = \,\,\frac{{ca + 1}}{a}\), suy ra: \(a + \frac{1}{b}\, = \,\,b + \frac{1}{c}\,\, = \,\,c + \frac{1}{a}\).
Từ \(a + \frac{1}{b}\, = \,b + \frac{1}{c}\,\) suy ra: a – b = \(\frac{{b - c}}{{bc}}\) (1)
Tương tự ta có: b – c = \(\frac{{c - a}}{{ac}}\) (2)
c – a = \(\frac{{a - b}}{{ab}}\) (3)
Nhân (1), (2) , (3) theo vế ta có:
(a – b)(b – c)(c – a) = \(\frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
hay (a – b)(b – c)(c – a)\(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right)\) = 0
Vì abc ≠ 1 nên a2b2c2 ≠ 1. Suy ra: \(\left( {1 - \frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right) \ne 0\)
Do đó: (a – b)(b – c)(c – a) = 0
Suy ra: a = b hoặc b = c hoặc c = a
Với a = b, thay vào (1) suy ra: b = c. Vậy a = b = c
Tương tự đối với b = c hoặc c = a.
Vậy a = b = c.
Câu 36:
Biết 5 gói kẹo và 3 gói bánh cân nặng 3,5 kg ; 7 gói kẹo và 3 gói bánh cân nặng 4,3kg. Hỏi mỗi gói kẹo, mỗi gói bánh cân nặng bao nhiêu kg? Biết rằng các gói kẹo và các gói bánh lấy ra cùng loại.
2 gói kẹo cân nặng là: 4,3 – 3,5 = 0,8 (kg)
1 gói kẹo nặng là: 0,8 : 2 = 0,4 (kg)
5 gói kẹo nặng là: 0,4 . 5 = 2 (kg)
3 gói bánh nặng là: 3,5 – 2 = 1,5 (kg)
1 gói bánh nặng là: 1,5 : 3 = 0,5 (kg)
Vậy mỗi gói kẹo nặng 0,4 kg và mỗi gói bánh nặng 0,5kg.
Câu 37:
Biết các cạnh của 1 tam giác tỉ lệ 4 ; 5 ; 3 và chu vi của nó bằng 120 m. Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác đó.
Gọi các cạnh của tam giác là x ; y ; z ( x ; y ; z > 0)
Các cạnh của tam giác tỉ lệ với 4; 5; 3 nên ta có:
\[\frac{x}{4}\,\, = \,\,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{z}{3}\]
Chu vi của tam giác bằng 120 m nên ta có: x + y + z = 120
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\[\frac{x}{4}\,\, = \,\,\,\frac{y}{5}\,\, = \,\,\frac{z}{3}\,\, = \,\,\,\frac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}}\,\, = \,\,\frac{{120}}{{12}}\,\, = \,10\]
Do đó x = 4.10 = 40 m ; y = 5.10 = 50 m ; z = 3.10 = 30 m.
Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác dài 30 m.
Câu 38:
Tính bằng cách thuận tiện nhất: 245 . 11 + 11 . 365.
245 . 11 + 11 . 365
= 11 . (245 + 365)
= 11 . 610
= 6710.
Câu 39:
Cho \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{1}{{\sqrt {xy} }}\).
Điều kiện xác định: x, y > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có:
\(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} \ge \,\frac{2}{{\sqrt {xy} }}\,\,hay\,\,6\,\, \ge \,\,\frac{2}{{\sqrt {xy} }}\).
Suy ra: \(\sqrt {xy} \, \ge \,\,\frac{1}{3}\)
Khi đó: \(\frac{1}{{\sqrt {xy} }}\, \le \,\,3\)
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là 3 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\\sqrt {xy\,} = \,\frac{1}{3}\end{array} \right.\,\,\,hay\,\,\,x\,\, = \,\,y\,\, = \,\,\frac{1}{3}\).Câu 40:
Một cửa hàng trong 3 ngày bán được 4 tấn gạo. Ngày đầu bán được 1,25 tấn ít hơn ngày thứ 2 là 0,75 tấn gạo. Hỏi ngày thứ 3 bán được bao nhiêu tấn gạo?
Ngày thứ 2 bán được là:
1,25 + 0,75 = 2 (tấn)
Ngày thứ 3 bán được là:
4 – 2 = 2 (tấn)
Đáp số: 2 tấn gạo.
Câu 41:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 12,5 m, chiều rộng kém chiều dài 2,3 m. Tính chu vi và diện tích mảnh đất đó?
Chiều rộng mảnh đất là: 12,5 – 2,3 = 10,2 (m).
Chu vi mảnh đất là: (12,5 + 10,2 ) . 2 = 45,4 (m).
Diện tích mảnh đất là: 12,5 . 10,2 = 127,5 (m2).
Câu 42:
Một chiếc cân bàn dùng để cân các vật có khối lượng từ 50 kg đến 100 kg. Ba bạn An, Linh, Nga đều muốn biết hiện nay mình cân nặng là bao nhiêu.Các bạn nhớ rằng,lần khám sức khỏe gần đây cả ba bạn đều có cân nặng khoảng từ 35 kg đến 40 kg. Em hãy nêu cách để biết được chính xác cân nặng của từng bạn khi dùng chiếc cân nói trên.
Lần lượt cân 2 trong 3 bạn cùng lúc.
Coi cân nặng của An và Linh là x (kg); của Linh và Nga là y (kg); của Nga và An là z (kg)
Tổng cân nặng của 3 bạn sẽ là t = \(\frac{{x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z}}{2}\)(kg).
Cân nặng của Nga sẽ là t – x (kg); của An là t – y (kg); của Linh là t – z (kg).Câu 43:
Một hình vuông có diện tích 1 m2 69 dm2. Chu vi của hình vuông là?
Đổi: 1m2 69 dm2 = 169 dm2.
Hình vuông có diện tích là 169 dm2 nên có độ dài một cạnh là 13 dm (vì 13 . 13 = 169).
Chu vi hình vuông là:
13 . 4 = 52 (dm)
Đáp số: 52 dm.
Câu 44:
Một người mua bưởi về để bán, nếu mỗi quả bưởi giá 30000 đồng thì người đó đủ tiền mua được 150 quả. Do được mùa, các nhà vườn bán hạ giá còn 25000 đồng một quả. Hỏi người đó đủ tiền mua được bao nhiêu quả bưởi ?
Người đó dùng số tiền để mua bưởi là:
30000 . 150 = 4500000 (đồng)
Khi nhà vườn hạ giá, người đó đủ tiền mua số bưởi là:
4500000 : 25000 = 180 (quả)
Đáp số : 180 quả.
Câu 45:
Một ô tô trong 3 giờ đầu, mỗi giờ đi được 42,8 km. Hai giờ sau , mỗi giờ đi được 48,3 km. Hỏi trung bình mỗi giờ ô tô đi được bao nhiêu ki–lô–mét?
3 giờ đầu đi số km là:
42,8 . 3 = 128,4 (km)
2 giờ sau đi số km là:
48,3 . 2 = 96,6 (km)
Trung bình mỗi giờ ô tô đi được số km là:
(128,4 + 96,6) : (3 + 2) = 45 (km)
Đáp số: 45km.
Câu 46:
Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người, còn nếu xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học viên chưa đến 300 người. Tính số đội viên của đội thiếu niên?
Gọi số đội viên của đội thiếu niên là a.
Ta có:
a chia 2 ; 3; 4; 5 đều dư 1 suy ra a + 1 chia hết cho 2; 3; 4; 5.
suy ra a + 1 ∈ BC (2; 3; 4; 5)
Mà BCNN (2; 3; 4; 5) = 60
a + 1 ∈ {0; 60; 120; 180; 240}
Vì a < 300 và a chia hết cho 7
Thử a + 1 = 60 thì a = 59 (loại vì 59 không chia hết cho 7)
Tương tự với a + 1 = 60, 180, 240 đều loại.
Suy ra a + 1 = 120 hay a = 119
Vậy số đội viên của đội thiếu niên là 119 người.
Câu 47:
Tính bằng cách thuận tiện nhất 4,86 . 0,25 . 40.
4,86 . 0,25 . 40 = 4,86 . 10 = 48,6.
Câu 48:
Tính chu vi và diện tích của một hình chữ nhật có chiều dài 7,2 cm và chiều rộng kém chiều dài 3,55 cm.
Chiều rộng hình chữ nhật đó là:
7,2 − 3,55 = 3,65 (cm)
Chu vi hình chữ nhật đó là:
(7,2 + 3,65) . 2 = 21,7 (cm)
Diện tích hình chữ nhật đó là:
7,2 . 3,65 = 26,28 (cm2).
Câu 50:
Hình thoi ABCD có diện tích là 220,5 cm2, độ dài đường chéo BD là 18 cm. Tính độ dài đường chéo AC của hình thoi.
Đường chéo AC là
220,5 : 18 = 12,25 (cm)
Đáp số : 12,25 cm.
Câu 51:
Khi nhân một số tự nhiên với 53, một bạn đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng, do đó được kết quả là 112. Tìm tích đúng của phép nhân đó.
Số được nhân với 53 là:
112 : ( 5 + 3 ) = 14
Tích đúng của phép nhân đó là:
14 . 53 = 742
Đáp số: 742.
Câu 52:
Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thừa 1 người. Biết số học viên nằm trong khoảng 100 đến 150 người. Tính số đội viên của đội thiếu niên?
Gọi số đội viên của đội thiếu niên là a
Ta có:
a chia 2 ; 3; 4; 5 đều dư 1 suy ra a – 1 chia hết cho 2; 3; 4; 5.
suy ra a – 1 ∈ BC(2; 3; 4; 5)
Mà BCNN (2; 3; 4; 5) = 60
a – 1 ∈{0; 60; 120; 180; 240;...}
Vì số học viên từ khoảng 100 đến 150
Suy ra a – 1 = 120 hay a = 121.
Câu 53:
Một người trung bình mỗi phút hít thở 15 lần, mỗi lần hít thở 0,55 lít không khí, biết 1 lít không khí nặng 1,3g. Hãy tính khối lượng không khí 6 người hít thở trong 1 giờ?
Đổi 1 giờ = 60 phút
Số lần hít thở của một người trong 1 giờ là: 15 . 60 = 900 (lần).
Số lần hít thở của sáu người trong 1 giờ là: 6 . 900 = 5400 (lần).
Số lít không khí sáu người hít thở trong 1 giờ là: 5400 . 0,55 = 2970 (lít)
Khối lượng không khí sáu người hít thở trong 1 giờ là: 2970 . 1,3 = 3861 (gam)
Đáp số: 3861 (gam).
Câu 54:
Số thích hợp để điền vào chỗ chấm: 13 dm2 4 cm2 = … m2.
1 m2 = 10000 cm2 hay 1 cm2 = 0,0001 m2
1 m2 = 100 dm2 hay 1 dm2 = 0,01 m2
Suy ra: 13 dm2 4 cm2 = 0,1304 m2.
Câu 55:
Tính C = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ n(n + 1)
Ta có:
3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n.(n + 1).3
3C = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + n.(n + 1).(n + 2) – (n – 1).n.(n + 1)
3C = n(n + 1)(n + 2)
C = \[\frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\].
Câu 56:
Tính bằng cách thuận tiện nhất: (792,36 . 0,75 + 792,36 : 4) : (7,2 : 0,1 : 10).
(792,36 . 0,75 + 792,36 : 4) : (7,2 : 0,1 : 10)
= (792,36 . 0,75 + 792,36 . 0,25) : (7,2 : 0,1 : 10)
= 792,36 . (0,75 + 0,25) : 7,2
= 792,36 : 7,2
= 110,05.
Câu 57:
91 có phải là số nguyên tố không?
Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
Mà 91 còn chia hết cho 13 và 7.
Nên 91 không phải là số nguyên tố.
Câu 58:
Gọi số cây trồng được của 3 lớp 7A 7B 7C lần lượt là x, y , z.
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x}{3}\, = \,\frac{y}{4}\, = \,\frac{z}{5}\) và x + y + z = 180.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{3}\,\, = \,\,\frac{y}{4}\,\, = \,\,\frac{z}{5}\,\, = \,\,\frac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 5}}\,\, = \,\,\frac{{180}}{{12}}\,\, = \,\,15\).
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{3} = 15\\\frac{y}{4} = 15\\\frac{z}{5} = 15\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 60\\z = 75\end{array} \right.\).
Câu 59:
Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b = 5; b + c = 16; c + a = – 19.
Tổng của a, b, c là: \(\frac{{5 + 16 + \left( { - 19} \right)}}{2}\,\, = \,\,\,1\)
Suy ra: c = 1 – 5 = –4
a = 1 – 16 = –15
b = 16 – (–4) = 20.
Câu 60:
Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố. Hỏi một trong hai số, số nào là số nguyên tố?
Với p = 3 suy ra: 8p – 1= 23 (thỏa mãn); 8p + 1 = 25 (loại vì không là số nguyên tố)
Với p khác 3 suy ra: p không chia hết cho 3 ⇒ 8p không chia hết cho 3
mà 8p.(8p – 1).(8p + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
Ta có: 8p – 1 >3 (p ∈ ℕ) ⇒ 8p – 1 không chia hết cho 3
⇒ 8p + 1 chia hết cho 3
Mà 8p + 1 > 3
⇒ 8p + 1 là hợp số
Vậy 8p + 1 là hợp số, 8p – 1 là số nguyên tố.
Câu 61:
Phép chia có tính phân phối phải, không có tính phân phối trái, ví dụ:
\[\frac{{{a_1} \pm {a_2}\, \pm ... \pm {a_n}}}{b}\,\, = \,\,\frac{{{a_1}}}{b} \pm \frac{{{a_2}}}{b} \pm .... + \frac{{{a_n}}}{b}\]
Nhưng: \[\frac{b}{{{a_1} \pm {a_2}\, \pm ... \pm {a_n}}}\, \ne \,\frac{b}{{{a_1}}} \pm \frac{b}{{{a_2}}} \pm .... + \frac{b}{{{a_n}}}\].
Câu 62:
Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AD, BC sao cho \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{CB}}\). Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh I luôn chuyển động trên đoạn EF.
Đặt \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{CB}}\)= k
Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \,k.\,\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {CN} = \,k.\,\overrightarrow {CB} \end{array} \right.\] với k là hằng số
\[\overrightarrow {EI} = \,\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NF\,} = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {NM} \]
\[\overrightarrow {EI} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) + \,\overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DM} } \right)\,\]
\[ = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \,\overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DM} \]
= \[\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CN} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DM} \, = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CN} \, = \,\,\,\frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} } \right)\]
\[\overrightarrow {EF} = \,\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BF\,} = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \]
= \[\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} + \,\overrightarrow {CB} \, + \,\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \,\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} \, = \,\,\,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} } \right)\]
Suy ra: \(\overrightarrow {EF} \, = \,k.\,\overrightarrow {EI} \)
Vậy E, F, I thẳng hàng hay I luôn chuyển động trên đoạn EF.
Câu 63:
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E). Tia phân giác góc \(\widehat {DBE}\)cắt DE tại I. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{AB}}\).
b) \(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{CE}}\).
a) Xét tam giác ADB và tam giác ABE có:
\(\widehat A\)chung
\(\widehat {ABD} = \,\widehat {AEB}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, đều bằng \(\frac{1}{2}\)cung BD)
Suy ra: ∆ADB ᔕ ∆ABE (g.g)
⇒ \(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)
b) Theo câu a ta có: ∆ADB ᔕ ∆ABE (g.g)
⇒ \(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{AB}}{{AE}}\)(1)
Xét ∆ADC và ∆ACE có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat {ACD} = \,\widehat {AEC}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, đều bằng \(\frac{1}{2}\)cung BD)
Suy ra: ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)
⇒ \(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{AC}}{{AE}}\)
Mà AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{CE}}\).
Câu 64:
Bán kính hình tròn là:
37,68 : 3,14 : 2 = 6 (dm).
Diện tích hình tròn là:
6 . 6 . 3,14 = 113,04 (dm2).
Câu 65:
Ta thấy O là trung điểm AC, OM // AI (Cùng vuông góc với BC) nên OM là đường trung bình tam giác AIC.
Suy ra: M là trung điểm của IC hay IM = MC
Xét tam giác AIM và tam giác CNM có
\[\widehat {IMA}\, = \,\widehat {NMC}\](hai góc đối đỉnh)
\[\widehat {AIM}\, = \,\widehat {CNM}\](hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Suy ra: ΔAIM ᔕ ΔCNM (g−g).
Câu 66:
Khi nhân một số với 43, một học sinh đã viết nhầm các tích riêng thẳng cột nên được kết quả sai là 10724. Tìm tích đúng của phép nhân đó.
Do viết nhầm các tích riêng thẳng cột nên kết quả sai gấp thừa số thứ nhất số lần là:
4 + 3 = 7 (lần)
Thừa số thứ nhất là: 10724 : 7 = 1532
Tích đúng là: 1532 . 7 = 65876
Đáp số: 65876.
Câu 67:
Không cần tính, hãy điền số thích hợp vào ô trống:
a) 6 + 3 = 3 + ¨;
b) 10 + (2 + 5) = 5 + 2 + ¨.
Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp, ta thấy:
a) ¨ = 6.
b) ¨ = 10.
Câu 68:
Một mảnh vải 8 m giá 180 000 đồng. Người ta cắt ra 1,4 m để may áo với giá tiền công may áo là 20 000 đồng . Hỏi toàn bộ số tiền may chiếc áo đó là bao nhiêu.
Giá tiền 1 m vải là:
180 000 : 8 = 22 500 (đồng)
Giá tiền 1,4m vải là:
22 500 . 1,4 = 31 500 (đồng)
Toàn bộ số tiền để may chiếc áo đó là:
31 500 + 20 000 = 51 500 (đồng)
Đáp số: 51 500 đồng.
Câu 69:
Một ô tô đi trong \(\frac{1}{2}\) giờ được 21 km. Hỏi ô tô đó đi trong \(1\frac{1}{2}\) giờ được bao nhiêu ki–lô–mét?
Quãng đường ô tô đó đi được trong 1 giờ là:
21 . 2 = 42 (km).
Đổi \(1\frac{1}{2}\,\, = \,\,\frac{3}{2}\) giờ
Quãng đường ô tô đó đi được trong \(\frac{3}{2}\) giờ là:
42 . \(\frac{3}{2}\) = 63 (km).
Đáp số: 63 km.
Câu 70:
Một đội xe chở hàng, hai xe đầu mỗi xe chở được 35 tạ hàng, ba xe sau mỗi xe chở được 45 tạ hàng. hỏi trung bình mỗi xe chở được bao nhiêu tạ hàng?
Hai xe đầu chở được số tạ hàng là : 35 . 2 = 70 (tạ hàng) .
Ba xe sau chở được số tạ hàng là : 45 . 3 = 135 (tạ hàng) .
Trung bình mỗi xe chở được số tạ hàng là : (70 + 135) : 5 = 41 (tạ hàng).
Câu 71:
Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tìm số học sinh mỗi khối.
Gọi số học sinh các khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là x, y, z, t (học sinh)
Số học sinh bốn khối 6 , 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9 ; 8 ; 7 ; 6 nghĩa là :
\(\frac{x}{9}\,\, = \,\,\frac{y}{8} = \frac{z}{7} = \frac{t}{6}\)
Số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh nghĩa là y – t = 70.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{9}\,\, = \,\,\frac{y}{8}\, = \,\frac{z}{7}\, = \frac{t}{6} = \frac{{y - t}}{{8 - 6}} = \frac{{70}}{2} = 35\)
Suy ra: \(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{9} = 35\\\frac{y}{8} = 35\\\frac{z}{7} = 35\\\frac{t}{6} = 35\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 315\\y = 280\\z = 245\\t = 210\end{array} \right.\).
Vậy số học sinh khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315 ; 280 ; 245 ; 210 học sinh.
Câu 73:
Tính bằng cách thuận tiện nhất: 0,8 . 96 + 0,8 . 2 . 2.
0,8 . 96 + 0,8 . 2 . 2
= 0,8 . 96 + 0,8 . 4
=0,8 . (96 + 4)
= 0,8 . 100 = 80.
Câu 74:
Tính diện tích hình tròn, biết cạnh hình vuông là 8 cm, diện tích phần gạch chéo là 86 cm2.
Diện tích hình vuông là: 8 . 8 = 64 (cm2).
Diện tích hình tròn là: 64 + 86 = 150 (cm2).
Câu 75:
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x - 2 = 2 - y\\{y^3} - 3y - 2 = 4 - 2z\\{z^3} - 3z - 2 = 6 - 3x\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 2 - y\,\,(1)\\\left( {y - 2} \right){\left( {y + 1} \right)^2} = 4 - 2z\,\,(2)\\\left( {z - 2} \right){\left( {z + 1} \right)^2} = 6 - 3x\,\,(3)\end{array} \right.\)
Nhân 3 vế của 3 phương trình với nhau ta được:
\[\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {y + 1} \right)^2}{\left( {z + 1} \right)^2} = - 6\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\]
⇔ \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 6} \right]\)= 0
Mà \(\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^2}{{\left( {z + 1} \right)}^2} + 6} \right]\)> 0 với mọi x, y, z
Nên: \[\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right)\,\, = \,\,0\]
Suy ra:
\(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 2 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\)
Với x = 2, thay vào (1) ta có: y = 2. Thay y = 2 vào (2) tìm được z = 2.
Tương tự với y = 2 và z = 2.
Vậy x = y = z = 2.
Câu 76:
Cho ax + by + cz = 0.
Rút gọn A = \(\frac{{bc{{\left( {y - z} \right)}^2} + ca{{\left( {z - x} \right)}^2} + ab{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\).
Ta có:
B = bc(y – z)2 + ca(z – x)2 + ab(x – y)2
= bcy2 + bcz2 + caz2 + cax2 + abx2 + aby2 – 2(bcyz + acxz + abxy) (1)
Từ giả thiết suy ra:
a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2(bcyz + acxz + abxy) = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
B = ax2 (b + c) + by2 (a + c) + cz2 (a + b) + a2x2 + b2y2 + c2z2
= ax2 (a + b + c) + by2 (a + b + c) + cz2 (a + b + c)
= (ax2 + by2 + cz2) (a + b + c)
Do đó A = \(\frac{B}{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}\) = a + b + c.