Từ 10 đến 70 có số số là: 70 – 10 +1 = 61

Khi xóa đi 5 số và viết lại lên bảng trung bình cộng của các số đã xóa thì lúc đó trên bảng sẽ mất đi: 4 số

Giả sử sau x (x ∈ ℕ*) lần xóa và viết lại như thế thì còn lại 1 số trên bảng

Khi đó trên bảng mất đi: 4x (số)

Trên bảng còn lại: 61 – 4x (số)

Vì còn lại 1 số trên bảng nên ta có:

61 – 4x = 1

4x = 60

x = 60 : 4

x = 15

Đáp số: 15 lần.

Sau mỗi bước, Linh xóa hai số a và b và viết lên bảng a + b.

Do đó tổng các số trên bảng không thay đổi.

Khi đó ta suy ra số cuối cùng được viết trên bảng là tổng các số trên bảng lúc đầu.

Vậy số cuối cùng là:

(20 + 10).11 : 2 = 165.

y : 15 – 34,87 = 52,21 + 6

y : 15 = 58,21 + 34,87

y : 15 = 93,08

y = 93,08 ´ 15

y = 1396,2

Vậy y = 1396,2.

a) Vì 10 chia hết cho n nên n ∈ Ư(10).

Mà Ư(10) = {1; 2; 5; 10} nên n ∈ {1; 2; 5; 10}.

Vậy n ∈ {1; 2; 5; 10}.

b) Vì (n + 2)là ước của 20 nên (n + 2) = Ư(20)       (1)

Mà 20 = 1 . 2² . 5

Do đó Ư(20) = {1; 2; 4; 5;10; 20}       (2)

Từ (1) và (2) suy ra n ∈ {−1; 0 ; 2; 3; 8; 18}.

Mặt khác n ∈ ℕ suy ra n ∈ {0 ; 2; 3; 8; 18}.

Quãng đường người đi xe đạp đi trong 3 giờ đầu là:

12,5 × 3 = 37,5 (km)

Quãng đường người đi xe đạp trong 2 giờ tiếp sau là:

13,75 × 2 = 27,5 (km)

Thời gian người đi xe đạp đi trên cả quãng đường là:

3 + 2 = 5 (giờ)

Trên cả quãng đường, trung bình mỗi giờ người đó đi được là:

(37,5 + 27,5) : 5 = 13 (km)

Đáp số: 13 km

Ta có:

B(25) = {0; 25; 50; 75; 100; 125; 150; 175; 200; 225; 250; 275; 300; 325;…}

300 = 1.2².3.5²

Ư(300) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 25; 30; 50; 60; 75; 100; 150; 300}

Mà ta thấy {25; 50; 75; 100; 150} đều thuộc cả hai tập hợp trên.

Vậy các số 25; 50; 75; 100;1 50 vừa là bội của 25 vừa là ước của 300.

Đổi 2 m 3 dm = 2,3 m

Mau 18 bộ quần áo cần số mét vải là:

2,3 ´ 10 = 23 (m)

Thừa số mét vải là:

34 − 23 = 11 (m)

Đáp số: 11 m

Ta có: y = (m – 1)x + 2m – 3

\( \Leftrightarrow \)y = m(x + 2) – x – 3

Ta thấy với x = −2 thì y = −1 \(\forall m\).

Vậy M = (−2; −1) \( \Rightarrow \) \(OM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Có tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn 56 là:

(56 − 0):1+1 = 57 (số hạng)

Đáp số: 57 số.

 a) |x – 2,3| – |−1,2| = 2,1

|x – 2,3| − 1,2 = 2,1

|x – 2,3| = 2,1 + 1,2 = 3,3

x – 2,3 = 3,3 hoặc x – 2,3 = −3,3

• Xét x – 2,3 = 3,3 nên ta có x = 2,3 + 3,3 = 5,6;

• Xét x – 2,3 = −3,3 nên ta có x = 2,3 – 3,3 = −1.

Vậy x = 5,6 hoặc x = −1.

b) |x| + |x – 1| = 0

Ta có |x| ≥ 0 \(\forall x\), |x – 1| ≥ 0 \(\forall x\)∈ ℝ

Do đó |x| + |x – 1| = 0; |x| = |x – 1| = 0

 x = 0 và x = 1 (vô lí)

Vậy không có giá trị x thỏa mãn.

Đổi 2 m 3 dm = 2,3 m

Mau 18 bộ quần áo cần số mét vải là:

2,3 ´ 18 = 41,4 (m)

Thừa số mét vải là:

43 − 41,4 = 1,6 (m)

Đáp số: 1,6 m

Nhận xét:

+ Số thứ nhất: u₁​ = 3

 + Số thứ hai: u₂ ​= 4 = 3 + 1

 + Số thứ ba: u₃​ = 6 = 4 + 2

 + Số thứ tư: u₄​ = 9 = 6 + 3

 + Số thứ năm: u₅ ​= 13 = 9 + 4

 Quy luật: Mỗi số đều bằng số đằng trước nó cộng với số thứ tự của số đằng trước nó. Hoặc: u_n​ = u_{n – 1} + n − 1 

Ta có:

+ Số thứ sáu: u₆ ​= 13 + 5 = 18

+ Số thứ bảy: u₇​ = 18 + 6 = 24

+ Số thứ tám: u₈ ​= 24 + 7 = 31

Vậy 3 số hạng tiếp theo là: 18 ; 24 ; 31.

Gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt là: a, b, c (học sinh. a, b, c ∈ ℕ*)

Theo bài cho ta có:

\(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}\) và b + c – a = 180.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = \frac{{b + c - a}}{{3 + 5 - 2}} = \frac{{180}}{6} = 30\)

Suy ra:

a = 2.30 = 60 (thỏa mãn điều kiện)

b = 3.30 = 90 (thỏa mãn điều kiện)

c = 5.30 = 150 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình khối 7 lần lượt là: 60 em; 90 em; 150 em.

Số công nhân sau khi được tăng thêm là:

12 + 8 = 20 (công nhân)

Gọi thời gian 20 công nhân hoàn thành xong công việc là a.

Vì thời gian và số công nhân tỉ lệ nghịch với nhau nên:

5.12 = x.20

\[x = \frac{{5.12}}{{20}} = 3\]

Thời gian hoàn thành công việc được giảm:

5 – 3 = 2 (giờ)

Đáp số: 2 giờ

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất của hình thoi ta có:

OA = OC, OB = OD.

Vậy đáp án đúng là C.

12 giờ gấp 8 giờ số lần là:

\(12:8 = \frac{3}{2}\) (lần)

Người đó làm trong 12 giờ được số sản phẩm là:

\(50 \times \frac{3}{2} = 75\) (sản phẩm)

Đáp số: 75 sản phẩm

Vì trút hết gạo từ bao gạo chứa 13,9 kg  gạo vào thùng thì số gạo trong thùng được cộng thêm 13,9 kg.

Số gạo trong thùng lúc này là :

13,9 + 43,8 = 57,7 (kg)

Đáp số: 57,7 kg.

Gọi khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là x (x > 0)

Vì 120 chia hết cho x, 48 chia hết cho x, x lớn nhất

x = ƯCLN(120, 48) = 2³.3 = 24

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp là 24 m.

Tổng số cây của chiều dài là:

(120 : 24) . 2 = 10 (cây)

Tổng số cây của chiều rộng là:

(48 : 24) . 2 = 4 (cây)

Tổng số cây của mảnh vườn là:

10 + 4 = 14 (cây)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp là 24 m, khi đó tổng số cây trồng được là 14 cây.

a) Quy luật của dãy số trên là mỗi số hạng gấp đôi số đứng liền trước nó.

Hay u_n­ = 2.u_{n – 1}

b) 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024.

\( \Rightarrow \) 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 = 2046

25% của 530 là:

530 : 100 ´ 25 = 132,5

Đáp số: 132,5

x% : 3 + 45% = 0,7

x% : 3 + 0,45 = 0,7

x% : 3 = 0,7 – 0,45 = 0,25

x% = 0,25 . 3 = 0,75

x% = 75%

x = 75.

Vậy x = 75.

1 người bắt tay với 9 người còn lại nên có số cái bắt tay là :

9 x 10  = 90 (cái)

Nhưng nếu tính như vậy thì mỗi cái bắt ta đã được tính 2 lần.

Vậy số cái bắt tay thực tế là:

90 : 2 = 45 (cái)

Đáp số : 45 cái

a) Ta có:

\(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow B \equiv A\)(vô lý)

Vậy không có giá trị nào của M thỏa mãn.

b) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \)M là trọng tâm của tam giác ABC.

2.5⁷ + 3.5⁶ + 4.5⁵

= 5⁵(2.5² + 3.5 + 4)

= 5⁵.69

Vì 69 \( \vdots \) 69

\( \Rightarrow \) 5⁵.69 \( \vdots \) 69

Vậy (2.5⁷ + 3.5⁶ + 4.5⁵) chia hết cho 69.

Trung bình mỗi giờ xe máy đi được số km là:

121 : 4 = 30,25 (km)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi được số km là:

111 : 2 = 55,5 (km)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi nhiều hơn xe máy số km là:

55,5 − 30,25 = 25,25 (km)

Đáp số: 25,25 km

Ta thấy A chính là tổng số của các số lẻ.

Áp dụng công thức:

Tổng của dãy số cách đều = [(số hạng đầu + số hạng cuối). số các số hạng] : 2.

Từ đó, ta tính tổng của A như sau:

A = [(1 + 2n − 1) . n] : 2 = (2n . n) : 2 = 2n² : 2  = n².

Ta có số 46 chia hết cho 2.

Nhưng không chia hết cho 2² = 4 nên suy ra số 46 không phải là số chính phương.

Ta có: a_n  = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)(n²  + 3n + 2) + 1

= (n²  + 3n)²  + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)².

Với n là một số tự nhiên thì (n² + 3n + 1)² cũng sẽ là một số tự nhiên.

Vậy nên a_n là một số chính phương.

Cần tối thiểu 3 lần cân để xác định viên bi có khối lượng khác.

Chia đều 8 viên bi vào 2 mặt cân lấy bên nặng hơn.

Chia đều 4 viên bi nặng hơn vào 2 mặt cân lấy bên nặng hơn.

 Chia đều 2 viên bi nặng hơn vào 2 mặt cân lấy bên nặng hơn.

Viên bi đó chính là viên có khối lượng khác.

a) Khoảng cách giữa các số trong dãy số là 3 đơn vị.

Suy ra ta có: u_n = u_n-1 + 3 = u₁ + (n – 1).3

Số thứ 100 là: 3 ´ (100 − 1) + 4 = 301

b) Ta có tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số:

 4 + 7 + 10 + ... + 301 = (301 + 4) ´ 100 : 2 = 15 250

Đáp số: a) 301

b) 15 250

Số số tự nhiên có 2 chữ số nhỏ hơn 68 là:

(67 – 10) + 1 = 58 (số)

Đáp số: 58 số.

Một công nhân có thể hoàn thành công việc trong số ngày là:

15 ´ 20 = 300 (ngày)

Sau 6 ngày số công việc đã làm được là:

15 ´ 6 = 90 (ngày)

Số người còn lại sau khi đi bớt:

15 – 5 = 10 (người)

Vậy số ngày cần để hoàn thành xong công việc là:

(300 – 90) : 10 = 21 (ngày)

Đáp số: 21 ngày.

Trong kho có tất cả số ki-lô-gam thóc là:

672 ´ 50 = 33 600 (kg)

Người ta lấy đi số ki-lô-gam thóc là:

\(33\,\,600 \times \frac{1}{7} = 4800\) (kg)

Đáp số: 4800 kg.

Gọi số đội viên là a. (100 ≤ a ≤ 150)

Ta có: a chia 2; 3; 4; 5 đều dư 1 suy ra  (a – 1) chia hết cho 2; 3; 4; 5 

\( \Rightarrow \) a − 1 ∈ BC(2, 3, 4, 5)

Mà BCNN(2, 3, 4, 5) = 60 

\( \Rightarrow \) (a – 1) ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240....} (*)

Theo bài cho:

100 ≤ a ≤ 150

\( \Rightarrow \)101 ≤ a −1 ≤ 151

Kết hợp với (*) ta có:

a – 1 = 120

\( \Rightarrow \)a = 121.

Vậy số đội viên của đội là 121 người.

Đáp án đúng là: A

(6xy² + 4x²y – 2x³) : 2x

= 6xy² : 2x + 4x²y : 2x – 2x³ : 2x

= 3y² + 2xy – x²

Q = (2x + 3y)(4x² – 6xy + 9y²)

= (2x + 3y)[(2x)² – 2x.3y + (3y)²]

= (2x)³ + (3y)³

25% của 300 là:

300 ´ 25 : 100 = 75

Đáp số: 75.

Thứ tự từ bé đến lớn của các số thập phân: 8,09; 8,8; 8,89; 8,9.

a) Quy luật của dãy số là: u_n = u_{n – 1} . 0,3

 Vậy số hạng tiếp theo của dãy số là:

0,0324. 0,3 = 0,00972.

b) Quy luật của dãy số là: u_n = u_{n – 1} . n

 Vậy số hạng tiếp theo của dãy số là:

28,8. 5 = 144.

x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1

= x⁴ + 6x³ + 9x² – 2x² – 6x + 1

= (x²)² + 2x².3x + (3x)² – 2.(x² + 3x) + 1

= (x² + 3x)² – 2(x² + 3x).1 + 1²

= (x² + 3x – 1)²

tanx + cotx = 3

\( \Leftrightarrow \) (tanx + cotx)² = 9

\( \Leftrightarrow \)tan²x + 2tanx.cotx + cot²x = 9

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\tan x.\cot x = 9\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x}} = 9 - 2\)

\( \Leftrightarrow \) sin⁴x + cos⁴x = 7cos²x.sin²x

\( \Leftrightarrow \)(sin²x + cos²x)² = 9sin²x.cos²x

\( \Leftrightarrow \)1 = 9sin²x.cos²x

\( \Leftrightarrow \)sin²x.cos²x = \(\frac{1}{9}\)

\( \Leftrightarrow \)\(\sin x.\cos x = \frac{1}{3}\)

Vậy \(A = \sin x\,\,.\,\,\cos x = \frac{1}{3}\).

Vì c.5 chia hết cho 5 nên d ⋮ 5 mà d ≠ 0 nên d = 5.

Vì a.5 ≤ d mà d = 5 nên a ≤ 1 mà a ≠ 0 nên a = 1.

Ta có:

\[\overline {1bc} \,\,.\,\,5{\rm{ }} = {\rm{ }}515\]

\[\overline {1bc} = {\rm{ }}515:5\]

Do đó \[\overline {1bc} = 103\]

Vậy số \[\overline {abc} \] cần tìm là 103.

Ta có: (5² – 1).P = (5² – 1).12.(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5² – 1)(5² + 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5⁴ – 1)(5⁴ + 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5⁸ – 1)(5⁸ + 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5¹⁶ – 1)(5¹⁶ + 1)

= 12.(5³² – 1)

Ta có: 35x – 14y + 2⁹ – 1

= 35x – 14x + 511

= 7(5x – 2y + 73) \( \vdots \) 7 ∀x, y ∈ ℝ (đpcm)

Ta có \(\frac{{\sqrt {15} + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + 1}} - \frac{6}{{\sqrt 3 }} + 2\sqrt {27} \)

\( = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\sqrt 5 + 1}} - \frac{{6.\sqrt 3 }}{3} + 2.\sqrt {9.3} \)

\( = \sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 6\sqrt 3 = 5\sqrt 3 \).

Ta có:

\(\frac{1}{{10}} > 0\), \(\frac{1}{{11}} > 0\),…, \(\frac{1}{{100}} > 0\)

Suy ra \(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > 0\)

Ta có: f(x) = ax³ + 4x(x² – x) – 4x + 8

= (a + 4)x³ − 4x² – 4x + 8

g(x) = x³ – 4x(bx + 1) + c – 3

= x³ – 4bx² – 4x + c – 3

Để f(x) = g(x) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + 4 = 1\\ - 4 = - 4b\\8 = c - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 1\\c = 11\end{array} \right.\)

Vậy a = −3; b = 1; c = 11.