\({Q_{(I; - 180^\circ )}}:\Delta \to d\)

Phép quay −180° là phép đối xứng tâm nên ∆ và d song song hoặc trùng với nhau 

Đặt ∆: 2x − 5y + c = 0

Chọn điểm N (1; 1) ∈ d, tạo ảnh của N là điểm M ∈ ∆

I là trung điểm MN nên:

M (2.(−1) − 1; 2.2 − 1) = (−3; 3)

M ∈ ∆ nên ta có:

− 2.3 − 5.3 + c = 0

− 6 − 15 + c = 0

c = 21

Vậy ∆: 2x − 5y + 21 = 0.

Giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật là trung điểm mỗi đường, mà hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau nên điểm đó sẽ cách đều cả 4 đỉnh của hình chữ nhật hay chính là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật.

\(\frac{1}{4}{x^2} - \left( {\frac{1}{2}x - 4} \right)\frac{1}{2}x = - 14\)

\(\frac{1}{4}{x^2} - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 2x} \right) = - 14\)

\(\frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{4}{x^2} + 2x = - 14\)

2x = −14

x = − 7               

Vậy x = − 7.

2^x = 64

⇔ log₂64 = x

⇔ x = 8

Vậy x = 8.

3^x = 27

log₃27 = x

x = 3

Vậy x = 3.

260 cm² = 2 dm² 60 cm².

Ta quy đồng tử số cho 3 phân số:

\(\frac{1}{2} = \frac{{1 \times 15}}{{2 \times 15}} = \frac{{15}}{{30}}\);

\(\frac{3}{7} = \frac{{3 \times 5}}{{7 \times 5}} = \frac{{15}}{{35}}\);

\(\frac{5}{9} = \frac{{5 \times 3}}{{9 \times 3}} = \frac{{15}}{{27}}\)

Khi đó\(\frac{1}{2}\) số thóc kho A bằng \(\frac{3}{7}\) số thóc kho B bằng \(\frac{5}{9}\) số thóc kho C

Hay \(\frac{{15}}{{30}}\) số thóc kho A bằng \(\frac{{15}}{{35}}\) số thóc kho B bằng \(\frac{{15}}{{27}}\) số thóc kho C

Do đó \(\frac{1}{{30}}\) số thóc kho A bằng \(\frac{1}{{35}}\) số thóc kho B bằng \(\frac{1}{{27}}\) số thóc kho C.

Coi số thóc kho A là 30 phần; số thóc kho B là 35 phần thì số thóc kho C là 27 phần.

Số thóc kho A là :

1 012 : (30 + 35 + 27) × 30 = 330 (tạ)

Số thóc kho B là :

1 012 : (30 + 35 + 27) × 35 = 385 (tạ)

Số thóc kho C là :

1012 − 330 − 385 = 297 (tạ)

Đáp số: Số thóc kho A: 330 tạ;

Số thóc kho B: 385 tạ;

Số thóc kho C: 297 tạ.

Vì trung bình cộng ba số là 60 nên tổng ba số là 60 × 3 = 180
Gọi số thứ nhất là a
Theo đề bài:
Nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất thì được số thứ hai nên số thứ hai gấp 10 lần số thứ nhất
Số thứ hai là: a × 10
Số thứ ba gấp 4 lần số thứ nhất
 Số thứ ba là: a × 4
Do đó, ta có: a + a × 10 + a × 4 = 180
a × (1+10+4) = 180
a × 15 = 180
a = 12
Khi đó, số thứ nhất là 12
Số thứ hai là 12 × 10 = 120
Số thứ ba là 12 × 4 = 48
Vậy ba số cần tìm là 12; 120; 48.

Đặt \(a = \frac{1}{x}\), \(a = \frac{1}{x}\) (điều kiện x ≠ 0; y ≠ 0)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{5}\\\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{4}{5}\\a - b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{4}{5}\\a = b + \frac{1}{5}\end{array} \right.\)  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + \frac{1}{5} + b = \frac{4}{5}\\a = b + \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b = \frac{3}{5}\\a = b + \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{3}{{10}}\\a = b + \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{3}{{10}}\\a = \frac{3}{{10}} + \frac{1}{5}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{3}{{10}}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Khi đó ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}\\\frac{1}{y} = \frac{3}{{10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (2; \(\frac{{10}}{3}\))

Trong 31 số đã cho có ít nhất 1 số là số dương (vì nếu 31 số đã cho đều âm thì tổng của 5 số bất kỳ không thể là 1 số dương).

Tách riêng số dương đó ra còn 30 số, nhóm 5 số vào 1 nhóm thì được 6 nhóm. Trong đó nhóm nào cũng là 1 số dương.

Tổng của 30 số là 1 số dương cộng thêm 1 số dương đã tách.

Vậy tổng của 31 số đó là 1 số dương.

Trong 43 số nguyên ta có tổng của 7 số nguyên bất kì là một số nguyên âm nên trong đó có ít nhất một số nguyên âm. Gọi số nguyên âm này là a (a < 0). Còn lại 42 số nguyên nghĩa là có 6 tổng của 7 số nguyên âm bất kì mà tổng 7 số nguyên bất kì là một số nguyên âm nên 6 tổng này cũng là một số nguyên âm.

Vì vậy tổng của 43 số đó là số nguyên âm.

Có 2 cách chọn hàng đơn vị (0 và 5) Vì số ⋮ 5 cần có tận cùng là 0; 5.

Có 5 cách chọn hàng nghìn.

5 cách chọn hàng nghìn có 4 cách chọn hàng trăm.

4 cách chọn hàng trăm có 3 cách chọn hàng chục.

Vậy tìm được: 2 × 5 × 4 × 3 = 120 (số).

Lãi 10% tiền vốn là:

198 000 × 10 : 100% = 19 800 (đồng)

Tiền vốn mỗi chiếc quạt là:

198 000 − 19 800 = 180 000 (đồng)

180 000 đồng ứng với: 100% − 10% = 90% (giá bán)

Để lãi 10% giá bán thì phải bán nó với giá:

180 000 : 90 × 100 = 200 000 (đồng)

Đáp số: 200 000 đồng

Mỗi người bắt tay số lần là:

8 – 1 = 7 (lần)

Có tất cả số lần bắt tay là:

7 × 8 : 2 = 28 (lần)

Đáp số: 28 lần.

Vì mỗi người phải bắt tay 9 người còn lại.

Nên 10 người sẽ có :

9 × 10 = 90 (cái bắt tay)

Như vậy mỗi người sẽ bắt tay nhau 2 lần nên thực chất số lần bắt tay là:

90 : 2 = 45 (cái bắt tay)

Đáp số: 45 cái bắt tay.

Số người hiện có:

10 + 20 = 30 (người)

30 người so với 10 người thì tăng số lần là:

30 : 10 = 3 (lần)

Số mét mương một ngày đào được sau khi bổ sung người là:

35 × 3 = 105 (m)

Đáp số: 105 m.

6 ngày so với 3 ngày thì giảm số lần là:

6 : 3= 2 (lần)

Số công nhân sửa xong đoạn đường trong 3 ngày là:

15 × 2 = 30 (công nhân)

Số công nhân cần bổ sung:

30 – 15 = 15 (công nhân)

Đáp số: 15 công nhân.

15 dm² = 150 000 cm².

15 dm² = 150 000 cm²

15 dm² 2 cm² = 150 002 cm²

1996 dm² = 199 600 000 cm²:

Ta thử nhân các số theo bảng sau:

Ta thấy cột cuối cùng là: 5 × 5 =25

Vậy số cần tìm là: số 5.

Con vịt nặng số ki-lô-gam là:

1,5 + 0,9 = 2,4 (kg) 

Gà và vịt cân nặng số ki-lô-gam là:

1,5 + 2,4 = 3,9 (kg)

Con ngỗng cân nặng số ki-lô-gam là:

10,5 – 3,9 = 6,6 (kg)

Đáp số: 6,6kg.

Để 2 đường thẳng (d) và (d') cắt nhau trên trục tung thì x = 0

Ta có : (d): y = 2m² + 1

(d'): y = 3.0 + 3 = 3

Vì (d) ∩ (d') nên 2m² + 1 = 3

Do đó m = 1 hoặc m = − 1.

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên 2m + 1 ≠ 0 hay \(m \ne \frac{{ - 1}}{2}\).

Gọi góc α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox . Theo giả thiết α = 45°.

Ta có: tan α = a

⇒ tan 45° = 2m + 1

⇒ 1 = 2m + 1

⇒ 0 = 2m

⇒ m = 0.

Vậy m = 0.

a) Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì 2m – 1 ≠ 0 hay m ≠ \(\frac{1}{2}\).

b) Để hàm số đã cho là hàm số đồng biến thì 2m – 1 ≥ 0 hay m ≥ \(\frac{1}{2}\).

c) Để đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A (2; 4) thì:

Thay vào x = 2; y = 4 ta có:

4 = 4m – 2 + 2

4 = 4m

m = 1

d) Do đồ thị hàm số y song song với đường thẳng y = 3x, nên ta có:

2m – 1 = 3

⇒ 2m = 4

⇒ m = 2

Chiều dài khu đất là:

130 + 70 = 200 (m)

Diện tích khu đất là:

200 × 130 = 26 000 (m²)

26 000 m² gấp 100 m² số lần là:

26 000 : 100 = 260 (lần)

Trên cả khu đất đó người ta thu hoạch được số tấn mía là:

300 × 260 = 78 000 (kg)

Đáp số: 78 000 kg.

Xét hình bình hành ABCD có O là giao điểm của AC và BD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh liên tiếp nên:

\(\frac{{BD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{DA}}{{OA}} = \frac{{AB}}{{OB}}\).

Xét tam giác DAB và tam giác AOB có:

\(\widehat {DBA} = \widehat {ABO}\) (góc chung)

\(\frac{{DA}}{{AO}} = \frac{{AB}}{{OB}}\) (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆AOB (g.c.g)

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {DAB}\) (hai góc tương ứng).

Có tất cả số tiền là:

5000 × 15 = 75 000 (đồng)

Với số tiền đó nếu mua kẹo loại 7 500 đồng thì được số gói là:

75 000 : 7 500 = 10 (gói)

Đáp số: 10 gói.

Số người trong gia đình là

4 + 1 = 5 (người)

Tổng thu nhập hàng tháng của gia đình (4 người) là:

2 000 000 × 4 = 8 000 000 (đồng)

Bình quân thu nhập hàng tháng của 1 người khi gia đình có thêm một con là:

8 000 000 : 5 = 1 600 000 (đồng)

Bình quân thu nhập hàng tháng của 1 người bị giảm khi gia đình có thêm con:

2 000 000 – 1 600 000 = 400 000 (đồng)

Đáp số: 400 000 đồng.

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

2 + 1 + 3 = 6 (phần)

Số quả táo là:

18 : 6 × 2 = 6 (quả)

Đáp số: 6 quả

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:

7 + 8 = 15 (phần)

Số thứ nhất là:

90 : 15 × 7 = 42

Số thứ hai là:

90 – 42 = 48

Đáp số: số thứ nhất là 42; số thứ hai là 48

P = 18a + 30b + 7a − 5b

= (18a + 7a) + (30b − 5b)

= 25a + 25b

= 25 . (a + b)

Thay a + b = 100 vào biểu thức P ta được :

25 . 100 = 2 500 

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\({a^3} + {a^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{a^6}}} = 3{a^2}\)

\({b^3} + {b^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{b^6}}} = 3{b^2}\)

\({c^3} + {c^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{c^6}}} = 3{c^2}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:

2(a³ + b³ + c³) + 3 ≥ 3(a² + b² + c²)

⇔ 2A + 3 ≥ 9

⇔ A ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy A_min = 3 khi và chỉ khi a = b = c = 1.

x⁵ = x³

x⁵ − x³ = 0

x³(x² – 1) = 0

x³(x – 1)(x + 1) = 0

x³ = 0 hoặc x – 1 = 0 hoặc x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = – 1

Vậy x ∈ {– 1; 0; 1}.

Giờ đầu vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể, giờ thứ hai chảy vào được\(\frac{1}{5}\) bể nên vòi nước chảy trong 2 giờ được :

\(\frac{2}{{15}} + \frac{1}{5} = \frac{1}{3}\) (bể)

Trung bình mỗi giờ vòi nước chảy được :

\(\frac{1}{3}:2 = \frac{1}{6}\) (bể)

Đáp số: \(\frac{1}{6}\) bể.

Trước đây mua 5 m vải phải trả 60 000 đồng nên mỗi mét vải có giá là:

60 000 : 5 = 12 000 (đồng)

Hiện nay giá bán mỗi mét vải đã giảm 2 000 đồng nên giá mỗi mét vải hiện nay là:

12 000 – 2 000 = 10 000 (đồng)

Hiện nay giá mỗi mét vải là 10 000 đồng nên với 60 000 đồng có thể mua được số mét vải là :

60 000 : 10 000 = 6 (m)

Đáp số: 6 mét vải.

Số thức ăn trại chăn nuôi cần trong 1 ngày là:

104 × 375 = 39000 (g)

39000 (g) = 39 (kg)

Số thức ăn trại chăn nuôi cần trong 10 ngày là:

39 × 10 = 390 (kg)

Đáp số: 390 kg.

x² – y² + 12y – 36

= x² – (y² – 2y + 36)

= x² – (y – 6)²

= (x – y + 6)( x + y – 6).

Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5 000 đồng người đó có (0 < x < 15, x ∈ N).

Vì tổng số tờ 2 000 đồng và 5 000 đồng là 15 tờ nên ta có điều kiện x < 15

Và số tờ 2 000 đồng người đó có là: 15 – x (tờ)

Khi đó, tổng số tiền người đó có là: 5 . x + 2 . (15 – x) (nghìn đồng).

Theo bài ra, người đó có số tiền không quá 70 000 đồng nên ta có bất phương trình:

5 . x + 2 . (15 – x) ≤ 70

⇔ 5x + 30 – 2x ≤ 70

⇔ 3x ≤ 70 – 30

⇔ 3x ≤ 40

\( \Leftrightarrow x \le \frac{{40}}{3}\).

Kết hợp với điều kiện trên nên x có thể nhận một trong các giá trị {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.

Nếu cả lớp đều đạt điểm 9.

Khi đó, tổng số điểm của lớp là : 

43 × 9 = 387 (điểm)

406 điểm thì hơn 387 điểm là : 

406 – 387 = 19 (điểm)

Số học sinh được điểm 10 là :

19 : (10 – 9) = 19 (học sinh)

Số học sinh được điểm 9 là : 

43 – 19 = 24 (học sinh). 

Đáp số: 19 học sinh được điểm 10, 24 học sinh được điểm 9.

Các số thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng \(\overline {abc0} \)

Chọn 3 chữ số khác nhau từng đôi một từ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} và xếp vào 3 vị trí

Do đó có \(A_7^3 = 210\) (cách).

Vậy có 210 số thỏa mãn điều kiện đề bài.

a) Tính diện tích mảnh đất:

Chiều dài mảnh đất đó là :

194 : (3 + 1) × 3 = 1 455 (m)

Chiều rộng mảnh đất đó là :

194 – 45,5 = 485 (m)

Diện tích mảnh đất đó là :

145,5 × 48,5 = 7 056,75 (m²)

b) Tính diện tích mảnh đất làm nhà:

Diện tích đất làm nhà là :

16,5 × 16,5 = 272,25 (m²)

Diện tích mảnh đất: 7 056,75 (m²)

Diện tích mảnh đất làm nhà: 272,25 (m²)

Đáp số: a) 7 056,75 m²;

   b) 272,25 m².

100 lít dầu hỏa nặng số ki-lô-gam là:

0,8 × 100 = 80 (kg)

Can dầu hỏa đó nặng số ki-lô-gam là:

80 + 12,5 = 92,5 (kg)

Đáp số: 92,5 kg.

Giá của 1 mét vải là:

192 000 : 4 = 48 000 (đồng)

Giá của 1,25 mét vải là:

48 000 × 1,25 = 60 000 (đồng)

Toàn bộ số tiền may chiếc áo đó là:

60 000 + 30 000 = 90 000 (đồng)

Đáp số: 90 000 đồng

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là:

20 × 15 = 300 (m²)

Diện tích phần đất trồng rau muống là:

300 : 100 × 25 = 75 (m²)

Diện tích phần đất trồng rau cải là:

300 : 100 × 10 = 30 (m²)

Đáp số: 75 m² đất trồng rau muống

30 m² đất trồng rau cải

10 lít dầu cân nặng số ki-lô-gam:

10 × 0,8 = 8 (kg)

Can dầu cân nặng số ki-lô-gam:

8 + 1,3 = 9,3 (kg)

Đáp số: 9,3 kg.

Đổi 5 dam = 5 000 cm

Số vải dùng để may 1 bộ quần áo là:

500 + 685 = 1 185 (cm)

Số vải dùng để may 25 bộ quần áo là:

1 185 × 25 = 29 625 (cm)

Tấm vải ban đầu dài là:

29 625 + 5 000 = 34 625 (cm)

Đáp số: 34 625 cm vải.

Sáu tháng cuối năm lắp được số xe đạp là:

36 900 + 6 900 = 43 800 (xe đạp)

Cả năm phân xưởng đó lắp được số xe đạp là:

36 900 + 43 800 = 80 700 (xe đạp)

Vậy trong cả năm đó, trung bình mỗi tháng phân xưởng lắp ráp được số chiếc xe đạp là:

80 700 : 12 = 6 725 (xe đạp)

Đáp số: 6 725 xe đạp.