Phần việc còn lại sau 4 ngày là: 

4 : 8 = \(\frac{1}{2}\) (công việc).

1 người 1 ngày làm được là:

1 : 8 : 15 = \(\frac{1}{{120}}\)(công việc).

20 người hoàn thành nốt công việc trong số ngày là:

\(\frac{1}{2}\): (20 . \(\frac{1}{{120}}\)) = 3 (ngày).

Số ngày sớm hơn dự định là: 

8 – (4 + 3) = 1 (ngày).

Đáp số: 1 ngày.

Sau khi 480 người đến thêm, tổng số người cần ăn:

1200 + 480 = 1680 (người)

Số gạo đó đủ ăn trong số ngày:

(35 . 1200) : 1680 = 25 (ngày)

Đáp số: 25 ngày.

Đổi 11m 20cm = 1,2 m; 20cm = 0,2 m

Số hàng gỗ theo chiều dài của căn phòng là: 

6 : 1,2 = 5 (hàng)

Số hàng gỗ theo chiều rộng của căn phòng là:

4 : 0.2 = 20 (hàng)

Số miếng gỗ cần dùng là: 

5 . 20 = 100 (miếng gỗ).

Đáp số: 100 miếng gỗ.

Gọi tuổi con năm nay là a thì tuổi bố năm nay là 6a (a ≠ 0)

4 năm sau, tuổi bố là: 6a + 4

4 năm sau, tuổi con là a + 4

Ta có: 6a + 4 = 4 (a + 4)

6a + 4 = 4a + 16

2a = 12

a = 6

Vậy tuổi con năm nay là 6 thì tuổi bố năm nay là:

6 . 6 = 36 (tuổi).

Ta thấy:

2 = 1 . 2

6 = 2 . 3

12 = 3 . 4

Quy luật: mỗi số hạng thuộc dãy trên là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp và thừa số thứ nhất của 2 số liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị.

Vậy số hạng thứ 6 của dãy là: 6 . 7 = 42.

Gọi a là số bé, b là số lớn, ta có:

a + b = 102

\(\overline {a0} \)+ b = 10a + b = 417

⇔10a + b – (a + b) = 315

⇔10a + b – a – b = 315

⇔ 9a = 315

⇔ a = 35

Suy ra: b = 102 – 35 = 67.

Vậy số lớn là 67.

Ta có: a.b = a + b

⇔ a.b – a = b

⇔ a (b–1) = b

⇔ a = \(\frac{b}{{b - 1}} = 1 + \frac{1}{{b - 1}}\)

Vì a, b thuộc ℤ nên b – 1 ∈ Ư(1)

Suy ra: b – 1 = 1 hoặc b – 1 = –1

Với b – 1 = 1 hay b = 2, thì a = 2

Với b – 1 = – 1 hay b = 0, thì a = 0

Vậy (a; b) ∈ {(2; 2) , (0; 0)}.

Gọi số cần tìm là: \(\overline {ab} \) (a ≠ 0; a,b < 10)

Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị ta được số \(\overline {ab5} \)

Ta có:

\(\overline {ab} 5\) – \(\overline {ab} \)= 230

⇔ 10 . \(\overline {ab} \) + 5 – \(\overline {ab} \) = 230

⇔ 9 . \(\overline {ab} \)= 225

⇔ \(\overline {ab} \)= 25

Vậy số cần tìm là 25.

Gọi số tự nhiên bằng a

Số thập phân là x

Ta có:

a + x = 105,6 (1)

a + 0,1x = 84,36 (do dấu phẩy của số thập phân sang bên trái 1 hàng) (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

a + x – a – 0,1x = 105,6 – 84,36

⇔ 0,9x = 21,24

⇔ x = 23,6.

Vậy số thập phân ban đầu là 23,6.

Gọi số tự nhiên bằng a

Số thập phân là x

Ta có:

a + x = 47,24 (1)

a + 100x = 1259 (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

a + x – a – 100x = 47,24 – 1259

– 99x = –1211,76

x = 12,24

Vậy số thập phân ban đầu là 12,24.

Chị Lan phải cắt 7 lần tức là mảnh vải ban đầu có 8 phần bằng nhau.

Mảnh vải ban đầu dài là:

12 . 8 = 96 (dm).

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

⇔ \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

⇔ \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

⇔ \(1 - \frac{b}{a} = 1 - \frac{d}{c}\)

⇔ \(\frac{{a - b}}{a} = \frac{{c - d}}{c}\)

⇔ \(\frac{a}{{a - b}} = \frac{c}{{c - d}}\).

Để Ax // By thì \(\widehat {BAx}\) và \(\widehat {ABy}\)ở vị trí trong cùng phía nên chúng bù nhau.

Do đó: \(\widehat {BAx}\) + \(\widehat {ABy}\)= 180° hay a + 3a = 180°

Khi đó: a = 45°

Vậy với a = 45° thì Ax // By.

Ta thấy ai số đứng liền nhau hơn kém nhau 7 đơn vị. Từ đó ta tìm được hai số cần điền.

Suy ra hai số đó là 35 và 42.

1 người ăn số gạo đó trong số ngày là :

45 . 6 = 270 ( ngày)

54 người ăn thì số gạo đó ăn trong số ngày là :

270 : 54 = 5 (ngày)

Số ngày giảm đi khi có 54 người ăn là :

6 – 5 = 1 ( ngày)

Đáp số : 1 ngày.

Số học sinh đi tham quan là:

40 . 14 = 560 (học sinh)

Nếu mỗi xe chở 35 học sinh thì cần số xe là:

560 : 35 = 16 (xe)

Đáp số: 16 xe.

Gọi số cần tìm là A

Ta có:

(A . 6 + 6) : 6 = 6

A . 6 + 6 = 36

A . 6 = 30

A = 30 : 6

A = 5.

Vậy số cần tìm là 5

Chiều rộng căn phòng là:

10 . \(\frac{3}{5}\) = 6 (m)

Diện tích căn phòng là:

10 . 6 = 60 (m²)

Đổi 60 m² = 6000 dm²

Diện tích viên gạch là

4 . 4 = 16 (dm²)

Cần số viên gạch để lát kín nền căn phòng là:

6000 : 16 = 375 (viên)

Đáp số: 375 viên.

102 . 98

= (100 + 2) . (100 – 2)

= 100 . 100 – 2 . 100 + 2 . 100 – 2 . 2

= 10000 – 4

= 9996.

(2x + 1) (y – 5) = 1 . 12 = 2 . 6 = 3 . 4 = 4 . 3 = 6 . 2 = 12 . 1

Ta có bảng sau:

Vậy (x; y) ∈ {(0; 17) , (1; 9)}.

(100 – 99 )+ (98 – 97 )+ (96 – 95) +( 94 – 93) + (92 – 91) + 90

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 90

=1 . 5 + 90

= 5 + 90

= 95.

Do đặt tích riêng thẳng cột nên số đó được gấp lên:

6 + 3 = 9 lần

Số thập phân đó là:

38,43 : 9 = 4,27

Đáp số: 4,27.

Chiều dài thực tế của mảnh vường là:

8 . 500 = 4000 (cm).

Chiều rộng thực tế của mảnh vường là:

6 . 500 = 3000 (cm)

Diện tích của mảnh vườn là:

4000 . 3000 = 12000000 (cm²)

Đổi 12000000 cm² = 1200ha.

S = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + 99 . 100

3S = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . (4 – 1) + ..... + 99 . 100 . (101 – 98)

3S = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 – 1 . 2 . 3 + .... + 99 . 100 . 101 – 98 . 99 . 100

3S = 99 . 100 . 101

3S = 999900

S = 999900 : 3

S = 333300.

Vì chiều dài đám đất gấp 3 lần chiều rộng nên diện tích đám đất là số chia hết cho 3. Ta chia đám đất thành 3 hình vuông.

Từ 60 – 80 các số chia hết cho 3 là: 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78.

Suy ra diện tích của mỗi hình vuông có thể là: 21, 22, 23, 24, 25, 26

Vì cạnh hình vuông cũng là chiều rộng của đám đất hình chữ nhật là một số tự nhiên nên diện tích hình vuông bằng 25.

Suy ra cạnh hình vuông hay chiều rộng đám đất là 5m để có 5 . 5 = 25 m

Chiều dài đám đất:

5 . 3 = 15 (m)

Chu vi hình chữ nhật:

(15 + 5) . 2 = 40 (m)

Đáp số: 40 m.

4xⁿ⁺² + 8xⁿ = 4xⁿ (x² + 2).

x² – y² + 2x – 4y – 10 = 0

⇔ (x + 1)² – (y + 2)² = 7

Đặt (x + 1)² = m² và (y + 2)² = n²

Ta có: (x + 1)² – (y + 2)² = m² – n² = (m + n)(m – n) = 1 . 7

Vì m + n ≥ m – n nên m – n = 1 và m + n = 7

Suy ra: m = 4 và n = 3

Hay

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} = {4^2}\\{\left( {y + 2} \right)^2} = {3^2}\end{array} \right.\)⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 4\\y + 2 = 3\end{array} \right.\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {\rm{3}}\\y = 1\end{array} \right.\,\).

\(\frac{2}{5}\) của 3 tấn là: 3 : 5 . 2 = 1,2 (tấn).

\(\frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{9}{8} + \frac{{17}}{{16}} + \frac{{33}}{{32}} + \frac{{65}}{{64}} - 7\)

= \(\frac{{96}}{{64}} + \frac{{80}}{{64}} + \frac{{72}}{{64}} + \frac{{68}}{{64}} + \frac{{66}}{{64}} + \frac{{65}}{{64}} - 7\)

= \(\frac{{96 + 80 + 72 + 68 + 66 + 64}}{{64}} - 7\)

= \(\frac{{446}}{{64}} - 7\)

= \(\frac{{ - 1}}{{32}}\).

Ta có: 3²⁰ chia 100 được 34867844 dư 1

1 chia 100 được 0 dư 1

Nên 3²⁰ ≡ 1 (mod 100).

Giả sử số nguyên tố là p

Mọi số nguyên tố p lớn hơn 2 đều không chia hết cho 2

⇒ p có dạng 2n + 1 (k thuộc ℕ, k > 0)

Xét 2 trường hợp:

+ k chẵn (k = 2n) ⇒ p = 2k + 1 = 2.2n + 1 = 4n + 1

+ k lẻ (k = 2n – 1) ⇒ p = 2k + 1 = 2.(2n – 1) + 1 = 4n – 1

Vậy p luôn có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1.

Ta có: \(\frac{{4n - 1}}{{n - 2}} = 4 + \frac{7}{{n - 2}}\)

Để \(\frac{{4n - 1}}{{n - 2}}\)∈ ℤ thì 7 ⋮ (n–2)

Suy ra: n – 2 ∈ Ư(7)

n – 2 ∈ {–7; –1; 1; 7}

hay n ∈ {–5; 1; 3; 9}.

B = 5⁰ + 5¹ + … + 5²⁰¹¹

B = 1 + 5 + 5² + … + 5²⁰¹¹

B = (1 + 5) + (5² + 5³) + … + (5²⁰¹⁰ + 5²⁰¹¹)

B = 6 + 5²(1 + 5) + … + 5²⁰¹⁰(1 + 5)

B = 6 (1 + 5² + … + 5²⁰¹⁰)

Vì 6 (1 + 5² + … + 5²⁰¹⁰) chia hết cho 6 nên B chia hết cho 6.

Xét hàm số y = x⁴ – 2mx² + 64x

y' = 4x³ – 4mx + 64 (*)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^3} - 2mx + 64 = 0\,\,\,(1)\end{array} \right.\)

Phương trình (1) luôn có một nghiệm x₁ = 0 nên đồ thị hàm số y = x⁴ – 2mx² + 64x cắt Ox ít nhất tại 2 điểm và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{x^4}--{\rm{ }}2m{x^2} + {\rm{ }}64x} \right) = + \infty \)

Suy ra để hàm số y = \(\left| {{x^4} - 2m{x^2} + 64x} \right|\) có 3 điểm cực trị thì phương trình (*) có đúng một nghiệm đơn

m = \({x^2} + \frac{{16}}{x}\)có đúng một nghiệm đơn

Xét hàm số f(x) = \({x^2} + \frac{{16}}{x}\)

f'(x) =\(2x - \frac{{16}}{{{x^2}}}\)

f'(x) =\(2x - \frac{{16}}{{{x^2}}}\)= 0 ⇔ x = 2

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: m ≤ 12

Vì m là số nguyên dương nên m ∈ {1;2;3;...;11;12}.

Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m.

Số học sinh nữ là:

(28 – 4) : 2 = 12 (học sinh).

Số học sinh nam là:

28 – 12 = 16 (học sinh).

Đáp số: 12 học sinh nữ, 16 học sinh nam.

Cả hai đợt thu gom được số giấy vụn là:

2 tấn 750 kg + 3 tấn 250kg = 5 tấn 1000kg = 6 tấn.

Cứ 2 tấn giấy vụn làm được 50000 cuốn vở, 6 tấn giấy vụn là được là:

 6 : 2 . 50000 = 150000 (cuốn vở)

Đáp số: 150 000 cuốn vở.

Số suất ăn hiện có là:

80 . 27 = 2160 (suất).

Lúc sau có tất cả số người ăn là:

80 + 40 = 120 (người).

120 người ăn trong số ngày là:

2160 : 120 = 18 (ngày).

Đáp số: 18 ngày.

3⁹⁹⁹

= 3 . 3⁹⁹⁸

= 3 . (10 – 1)⁴⁹⁹

= 3 . (10⁴⁹⁹ – … + 499.10 – 1)

= 3. (BS 100 + 4989)

= ….67

Vậy hai chữ số tận cùng của 3⁹⁹⁹ là 67.

Để chứng minh A chia hết cho 24 tức là chứng minh A chia hết cho 2, 3 và 8.

Ta có:

A = n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120

A = n⁴ – 2n³ –12n³ + 24n² + 47n² – 94n–60n + 120

A = n³(n – 2) –12n² (n – 2) + 47n(n – 2) – 60(n – 2)

A= (n – 2)(n³ – 12n² + 47n – 60)

A = (n – 2)(n³ – 3n² – 9n² +27n + 20n – 60)

A = (n – 2)(n – 3)[(n² – 4n) – (5n – 20)]

A = (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

Ta có: n – 2 và n – 3 là hai số tự nhiên liên tiếp nên (n – 2)(n – 3) chia hết cho 2, suy ra A chia hết cho 2 (1)

n – 2; n – 3; n – 4 là ba số tự nhiên liên tiếp nên (n – 2)(n – 3)(n – 4) chia hết cho 2, suy ra A chia hết cho 3 (2)

n – 2; n – 3; n – 4; n – 5 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)chia hết cho 4, suy ra A chia hết cho 4 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A chia hết cho 24.

a⁴ + b⁴ + c⁴ – 2a²b² – 2b²c² – 2c²a²

= a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² – 4a²b² – 2b²c² – 2c²a²

= (a² + b²)² – 2 (a² + b²) c² + (c²)² – 4a²b²

= [(a² + b²) – c²]² – 4a²b²

= (a² + b² – c²)² – (2ab)²

= (a² + b² – c² – 2ab)( a² + b² – c² + 2ab)

= [(a – b)² – c²][(a + b)² + c²]

= (a – b – c)(a – b + c)(a + b + c)(a + b – c).

Ta có:

2 = 2 . 1

3 = 1 . 3

4 = 2²

Xét 2 và 3 thấy ước chung lớn nhất của 2 và 3 là 1. Nên 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Xét 3 và 4 thấy ước chung lớn nhất của 3 và 4 khác 1. Nên 3 và 4 không nguyên tố cùng nhau.
Xét 2 và 4 thấy ước chung lớn nhất của 2 và 4 là 2. Nên 2 và 4 không nguyên tố cùng nhau.

Vậy khẳng định trên là sai.

Ta thấy: 3(2x – 1)² ≥ 0 với mọi x

7(3y + 5)² ≥ 0 với mọi y

Suy ra: 3(2x – 1)² + 7(3y + 5)² ≥ 0 với mọi x, y

Mà 3(2x – 1)² + 7(3y + 5)² = 0.

Dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\3y + 5 = 0\end{array} \right.\,\,hay\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{{ - 5}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có: 1 tạ = 100 kg

Nên \(\frac{3}{4}\)tạ = 75 kg.

(5ⁿ)² – 5ⁿ = 600.

⇔ 5²ⁿ – 5ⁿ = 600

⇔ 5ⁿ (5² – 1) = 600

⇔ 5ⁿ = 25

⇔ n = 2.

Vậy n = 2.

A = 6 + 16 + 30 + 48 +... + 19600 + 19998

A : 2 = 3 + 8 + 15 + 24 + . . . + 9800 + 9999

A : 2 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + . . . + 98.100 + 99.101

A : 2 = 1.(1 + 2) + 2.(1 + 3) + 3.(1 + 4) + 4.(1 + 5) + . . . + 98.(1 + 99) + 99.(1 + 100)

A : 2 = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + 4.5 + . . . + 98 + 98.99 + 99 + 99.100

A : 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 199 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + . . . + 98.99 + 99.100

A : 2 = 4950 + 333300

A : 2 = 338250

A = 676500.

Cách 1:

60 : 12 = 5

Suy ra: 600 : 12 =50

Cách 2:

6 : 12 = 1 : 2 = 0,5

600 = 6 . 100

Suy ra: 600 : 12 = 0,5 .100 =50

Cách 3:

12 . 1 = 12

12 . 2 = 24

...

12 . 5 = 60

Suy ra: 12 . 50 = 600

A = 3⁰ + 3¹ + 3² + … + 3¹⁰

A = 1 + 3 + (3² + 3³) + … + (3⁹ + 3¹⁰)

A = 4 + 3²(1+3) + … + 3⁹ (1+3)

A = 4 (1 + 3² + … + 3⁹)

Ta thấy 4 (1 + 3² + … + 3⁹) chia hết cho 2, nên A chia hết cho 2.

Suy ra A là số chẵn.

Tổng số phần bằng nhau là:

5 + 3 = 8 (phần )

Anh mua quyển truyển đó hết số tiền là:

16000 : 8 . 5 = 10000 (đồng ).

Đáp số: 10 000 đồng.

Ta có:

C = 6¹ + 6³ + 6⁵

C = 6¹(1 + 6² + 6⁴)

C = 6 . 1333

C = 7998.

Đặt z = \( - \frac{{1 + xy}}{{x + y}}\)

Ta có: xy + yz + zx = –1

Bất đẳng thức ban đầu trở thành:

x² + y² + z² ≥ 2

⇔ x² + y² + z² ≥ –2 (xy + yz + zx)

⇔ x² + y² + z² + 2 (xy + yz + zx) ≥ 0

⇔ (x+y+z)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy x² + y² + \({\left( {\frac{{1 + xy}}{{x + y}}} \right)^2}\)≥ 2.

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)

Chữ số a có 9 cách chọn chữ số từ 1 đến 9 (khác chữ số 0),

Mỗi cách chọn của a có 9 cách chọn chữ số b từ 0 đến 9 (khác chữ số a)

Mỗi cách chọn chữ số b có 8 cách chọn chữ số c (khác chữ số a, chữ số b)

Suy ra có tất cả 9.9.8 = 648 số có 3 chữ số khác nhau.

Để số chia hết cho 25 thì số đó có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25.

Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25.

Tổng số phần bằng nhau là

5 + 7=12 (phần)

Dũng sưu tầm được số con tem là:

180 : 12 . 7 = 105 (con tem)

Đáp số: 105 con tem.

Cắt được 100 khúc thì sẽ cần cắt 99 lần cắt

Nếu liên tục cắt không ngừng nghỉ thì sau số thời gian sẽ xong là:

5 . 99 = 495 (giây)

Đáp số: 495 giây.

Gọi tuổi con là x. Tuổi mẹ hiện nay là 3x (x khác 0).

Tuổi con sau 15 năm nữa là x + 15

Tuổi mẹ sau 15 năm là 3x + 15

Ta có:

3x + 15 = 2(x + 15)

3x + 15 = 2x + 30

x = 15

Vậy tuổi con là 15, tuổi mẹ là 45.

Cần số máy bơm là:

(5 . 18) : 10 = 9 (cái)

Phải bổ sung thêm số máy bơm như thế là:

9 – 5 = 4 (máy bơm)

Đáp số : 4 máy bơm.

Đổi 2 tấn = 2000kg

Ngày thứ hai bán được là:

800 . 4 : 5 = 640 (kg)

Ngày thứ ba bán được là:

2000 – 800 – 640 = 560 (kg)

Đáp số: 560 kg đường.

Chu vi hình vuông ban đầu là: 

216 – 8 . 2 = 200 (m)

Cạnh hình vuông ban đầu là: 

200 : 4 = 50(m)

Diện tích mảnh đất ban đầu là: 

50 . 50 = 2500 (m²).

Đáp số 2 500 m².

Diện tích hình EFHG là:

24 . 8 = 192 (m²).

Diện tích hình ABCD là:

24 . (8 + 8 + 8) = 576 (m²).

Diện tích mảnh đất là:

192 + 576 = 768 (m²).

Đáp số: 768 m².

Số lít sơn đỏ dùng để pha là:

28 : (3 + 1) . 3 = 21 (lít).

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1; n + 2; n + 3

+ Nếu n chẵn thì n + 2 chẵn; n + 1 và n + 3 là số lẻ

Suy ra: có 2 số n và n + 2 chẵn hay n ⋮ 2 và n + 2 ⋮ 2

⇒ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 4

+ Nếu n lẻ thì n + 1 và n + 3 chẵn

Suy ra: có 2 số n + 1 và n + 3 chẵn hay n + 1 ⋮ 2 và n + 3 ⋮ 2

⇒ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) chia hết cho 4.

ĐKXĐ: x ≠ 7

Để x là số nguyên thì 1 chia hết cho (7 – x)

Hay 7 – x ∈ Ư(1)

Suy ra: 7 – x = 1 hoặc 7 – x = – 1

⇒ x = 6 hoặc x = 8

Với x = 6 thì A = 1

Với x = 8 thì A = –1.

Vậy với x = 6 thì A có giá trị nguyên lớn nhất.

Gọi chiều dài là a, chiều rộng là b

Chiều dài lúc sau là:

(100% + 20%) . a = 120% . a =1,2 . a

Chiều rộng lúc sau là:

(100%+20%) . b = 120% . b = 1,2 . b

Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là 100% . a . b

Diện tích lúc sau của hình chữ nhật là :

(1,2 . a) . (1,2 . b) =1,44 . a . b =144% . a . b

Diện tích lúc sau tăng số phần trăm là:

144% –100% = 44%.

Số các số hạng của dãy là:

99 – 1 + 1 = 99 (số)

Tổng dãy số này là:

(99 + 1) . 99 : 2 = 4950.

Diện tích mỗi viên gạch là:

20 . 20 = 400 (cm²)

Diện tích căn phòng là:

600 . 400 = 240000 (cm²).

Đáp số: 240 000 cm².

(x–y)⁴ – (a – b⁴)

= (x² – 2xy + y²)² – a + b⁴

= x⁴ – 4x³y + 6x²y² – 4xy³ + y⁴ – a + b⁴.

3ⁿ + 3ⁿ . 3³ = 252

3ⁿ (1 + 3³) = 252

3ⁿ = 9 = 3²

Vậy n = 2.

Ta có: 1 ha = 10000 m²

\(4\frac{1}{2}\)ha = 45000 m².

1 tấn = 1000 kg

\(\frac{5}{8}\)tấn = \(\frac{5}{8}\). 1000 = 625 kg.

B = 5⁰ + 5¹ + … + 5²⁰¹¹

B = 1 + 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹¹

B = (1 + 5) + (5² + 5³) + … + (5²⁰¹⁰ + 5²⁰¹¹)

B = 6 + 5² (1 + 5) + … + 5²⁰¹⁰ (1 + 5)

B = 6 (1 + 5² + … + 5²⁰¹⁰)

B = 2 . 3 . (1 + 5² + … + 5²⁰¹⁰)

Vì 2 chia hết cho 2 nên 2 . 3 . (1 + 5² + … + 5²⁰¹⁰) chia hết cho 2 hay B chia hết cho 2.

C = 6¹ + 6³ + 6⁵ + … + 6¹⁹

C = 6 (1+ 6² + 6⁴ + … + 6¹⁸)

C = 2 . 3 . (1+ 6² + 6⁴ + … + 6¹⁸)

Từ đây ta thấy C chia hết cho 2 và 3.

x + y + z = \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}} = xy + yz + zx\).

⇔ x + y + z – xy – yz – zx = 0

⇔ xyz – xy – zx – yz + x + y + z – 1 = 0 (vì xyz = 1)

⇔ xy (z – 1) – (z – 1)x – y(z – 1) + (z – 1) = 0

⇔(z – 1)(xy – x – y + 1) = 0

⇔(z – 1)(x – 1)(y – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 1 = 0\end{array} \right.\,\,\,hay\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\)

Vậy 1 trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số bằng 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\[\frac{{4a + 1 + 1}}{2} \ge \sqrt {4a + 1} \Leftrightarrow 2a + 1 \ge \sqrt {4a + 1} \]

Mà a > 0 nên: \[2a + 1 > \sqrt {4a + 1} \]

Tương tự ta có: \[2b + 1 > \sqrt {4b + 1} \]; \[2c + 1 > \sqrt {4c + 1} \]

Suy ra: 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 > \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \)

⇔ 3 + 2(a + b + c) > \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \)

⇔ 5 > \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \).

Điều kiện: x ≥ 0.

\(\sqrt {x + 3} + \sqrt {3x + 1} = 2\sqrt x + \sqrt {2x + 2} \)

⇔ \(\sqrt {x + 3} - 2 + \sqrt {3x + 1} - 2 = 2\sqrt x - 2 + \sqrt {2x + 2} - 2\)

⇔ \[\frac{{x + 3 - 4}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{{3x + 1 - 4}}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} = \frac{{4x - 4}}{{2\sqrt x - 2}} + \frac{{2x + 2 - 4}}{{\sqrt {2x + 2} - 2}}\]

⇔ \[\frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{2\sqrt x - 2}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {2x + 2} - 2}}\]

⇔ \[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} - \frac{4}{{2\sqrt x - 2}} - \frac{2}{{\sqrt {2x + 2} - 2}}} \right) = 0\]

Ta thấy: \[\frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 2}} - \frac{4}{{2\sqrt x - 2}} - \frac{2}{{\sqrt {2x + 2} - 2}}\] > 0

Suy ra: x – 1 = 0 hay x = 1 (t/m).

Vậy x = 1.

Gọi S là cả quãng đường thì \(\frac{S}{2}\) là nửa quãng đường (km) và t là thời gian

Thời gian người này dự định đi là:

S : 5 = \(\frac{S}{5}\)(giờ)

Thời gian người này đi bộ là:

\(\frac{S}{2}\) : 5 = \(\frac{S}{{10}}\)(giờ)

Thời gian người này đi xe đạp cùng bạn là

\(\frac{S}{2}\): 12 = \(\frac{S}{{24}}\)(giờ)

Ta có: t – \(\frac{{28}}{{60}}\)= \(\frac{S}{{10}}\) + \(\frac{S}{{24}}\)

\(\frac{S}{5}\) – \(\frac{{28}}{{60}}\)= \(\frac{S}{{10}}\) + \(\frac{S}{{24}}\)

\[S\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{7}{{15}}\]

S = 8 (km)

Người này đi bộ hết quãng đường thì hết thời gian là:

8 : 5 = 1,6 (giờ).

Muốn sửa xong quãng đường trong 1 ngày cần số người là:

63 . 11 = 693 (người)

Muốn sửa xong quãng đưòng trong 7 ngày cần số người là:

693 : 7 = 99 (người)

Số người cần thêm là:

99 – 63 = 36 (người)

Đáp số: 36 người.

x³ + y³ = 3xy – 1

⇔ x³ + y³ – 3xy + 1 = 0

⇔ (x+y)³ – 3xy(x+y) – 3xy + 1 = 0

⇔ (x+y+1)(x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy) = 0

Suy ra:

\(\left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\{x^2} + {\rm{ }}2xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}--{\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}3xy = 0\end{array} \right.\)

Vì x, y > 0 nên x + y + 1 > 0

Xét x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy = 0

⇔ 2 (x² + 2xy + y² – x – y + 1 – 3xy) = 0

⇔ (x – y)² + (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 0

⇔ (x – y)² + (x – 1)² + (y – 1)² = 0

Suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 1 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\)hay x = y = 1.

Vậy x = y = 1.

Ta có: x = 7 nên x + 1 = 8

B = x¹⁵ – 8x¹⁴ + 8x¹³ – 8x¹² + … – 8x² + 8x – 5

B = x¹⁵ – (x+1)x¹⁴ + (x+1)¹³ – (x+1)x¹² + …. – (x+1)x² + (x+1)x – 5

B = x¹⁵ – x¹⁵ – x¹⁴ + x¹⁴ – x¹³ – …. – x³ – x² + x² + x – 5

B = x – 5

B = 7 – 5

B = 2.

Diện tích cánh đồng thứ 2 là:

28000 – 9750 = 18250 (m²)

Diện tích cánh đồng thứ 3 là:

28000 + 15750 = 43750 (m²)

Cả 3 cánh đồng của xã A rộng là:

28000 + 18250 + 43750 = 90000 (m²) = 9(hecta)

Đáp số: 9 ha.

Đổi 30 cm = 0,3 m 

Diện tích viên gạch hình vuông đó là :

0,3 . 0,3 =  0,09 (m² )

Diện tích căn phòng là :

0,09 . 600 = 54 (m²)

Đáp số: 54m².

Để đánh số từ trang 1 đến trang 9 cần số chữ số là:

[(9 – 1) : 1 + 1] . 1 = 9 (chữ số)

Để đánh số từ trang 10 đến trang 99 cần số chữ số là:

[(99 – 10) : 1 + 1] . 2 = 180 (chữ số)

Để đánh số từ trang 100 đến trang 220 cần số chữ số là:

[(220 – 100) : 1 + 1] . 3 = 363 (chữ số)

Để đánh số trang cuốn sách thì cần số chữ số là:

9 + 180 + 363 = 552 (chữ số)

Đáp số: 552 chữ số.

(x + 2)(x² – 2x + 4) + x(x – 2)² = 32

⇔ x³ + 8 – x(x² – 4x + 4) – 32 = 0

⇔ x³ + 8 – x³ – 4x² + 4x – 32 = 0

⇔ 4x² – 4x – 24 = 0

⇔ x² – x – 6 = 0

⇔ (x + 2)(x – 3)= 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy x = –2 hoặc x = 3.

\[\frac{{1995{\rm{ }}.{\rm{ }}1996{\rm{ }}--1997}}{{1995\,\,.\,\,1994\,\, + \,\,1993}}\]

\[ = \frac{{1995{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( {1995 + 1} \right){\rm{ }}--1997}}{{1995\,\,.\,\,\left( {1995 - 1} \right)\,\, + \,\,1993}}\]

\[ = \frac{{1995.1995 + 1995 - 1997}}{{1995.1995 - 1995 + 1993}}\]

\[ = \frac{{1995.1995 - 2}}{{1995.1995 - 2}}\]

= 1

Anh hơn em 5 tuổi, vậy sau 5 năm nữa anh vẫn hơn em 5 tuổi.

Vậy tuổi anh 5 năm sau là:

(25 + 5) : 2 = 15 (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là:

15 – 5 = 10 (tuổi)

Tuổi em hiện nay là:

10 – 5 = 5 (tuổi)

Đáp số: Anh 10 tuổi, Em 5 tuổi.

Nếu số bị trừ bớt đi 735 đơn vị và thêm vào số trừ 265 đơn vị thì hiệu sẽ giảm:

735 + 265 = 1000 (đơn vị)

Hiệu hai số ban đầu là:

12000 + 1000 = 13000.

Đáp số: 13 000.

\(\frac{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}{{{x^3} - 8{y^3}}} = \frac{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right)}} = \frac{{x - 2y}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}\).

Đặt A = \(1 + {3^4} + {3^8} + {3^{12}}\)

3⁴ . A = 3⁴ + 3⁸ + 3¹² + 3¹⁶

80A = 3¹⁶ – 1

A = \(\frac{{{3^{16}} - 1}}{{80}}\)

Đặt B = \(1 + {3^2} + {3^4} + {3^6} + {3^4} + {3^8} + {3^{10}} + {3^{12}} + {3^{14}}\)

3² . B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + 3⁸ + 3¹⁰ + 3¹² + 3¹⁴ + 3¹⁶

8B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + 3⁸ + 3¹⁰ + 3¹² + 3¹⁴ + 3¹⁶ – 1 = 3¹⁶ – 1

B = \(\frac{{{3^{16}} - 1}}{8}\)

Vậy C = \(\frac{A}{B}\)= \(\frac{{{3^{16}} - 1}}{{80}}\):\(\frac{{{3^{16}} - 1}}{8}\) = 0,1.

A = a² – 4ab + 5b² + 10a – 22b + 28

A = (a² – 4ab + 4b²) + b² – 2b + 1 + 10a – 22b + 27

A = (a – 2b)² + (b – 1)² + 10(a – 2b) + 27

A = (a – 2b + 5)² + (b – 1)² + 2

Vì (a – 2b + 5)² + (b – 1)² ≥ 0 nên A ≥ 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 5 = 0\\b - 1 = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,hay\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 1\end{array} \right.\).

Giả sử 3 số tự nhiên liên tiếp là: n – 2; n – 1; n.

Ta có:

n(n – 2) = n² – 2n

(n – 1)² = n² – 2n + 1

Xét: n(n – 2) – (n – 1)² = n² – 2n – (n² – 2n + 1) = – 1.

Vậy thì tích của số thứ nhất và số thứ 3 cùng bé hơn bình phương của số thứ hai 1 đơn vị.

\[\frac{3}{{x + 2}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{3x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}\]

\(\frac{{x - 1}}{{5x}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{5x.3}} = \frac{{3x - 3}}{{15x}}\).

Tổng vận tốc của hai xe là:

80 : 2 = 40 (km/giờ)

Hiệu vận tốc của hai xe:

80 : 4 = 20 (km/giờ)

Vận tốc của xe đạp là:

(40 – 20) : 2 = 10 (km/giờ)

Vận tốc của xe máy là:

40 – 10 = 30 (km/giờ)

Đáp số: xe đạp 10 km/giờ, xe máy 30 km/giờ.

Số học sinh tham gia ủng hộ là:

25 + 27 = 52 (học sinh)

Đáp số: 52 học sinh.

Vì x chia hết cho 5, 6, 9 nên x ∈ BCNN (5; 6; 9)

5 = 5¹

6 = 2 . 3

9 = 3²

BCNN (5; 6; 9) = 2 . 3² . 5 = 90

Mà 300 < x < 400 nên x = 360

Vậy x = 360.

a) Xác suất để trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm là:

\(C_{10}^2\,.\,\,{\left( {3\% } \right)^2}.{\left( {1 - 3\% } \right)^{10 - 2}}\)= 0,032

b) Xác suất để trong 10 sản phẩm có không quá 1 phế phẩm là:

\(C_{10}^0\,.\,\,{\left( {3\% } \right)^0}.{\left( {1 - 3\% } \right)^{10 - 0}} + C_{10}^1\,.\,\,{\left( {3\% } \right)^1}.{\left( {1 - 3\% } \right)^{10 - 1}}\)= 0,965.

Diện tích mỗi viên gạch là:

4 . 4 = 16 (dm²).

Diện tích phòng họp đó là:

16 . 500 = 8000 (dm²) = 80 m².

Đáp số: 80 m².

(3x + 4)² = 3² + 2³ + 83

(3x + 4)² = 100 = 10²

3x + 4 = 10

x = 2

Vậy x = 2.

Gọi số nhân với 28 là x

Ta có:

28 . x = 100

x = \(\frac{{100}}{{28}}\)

x = \(\frac{{25}}{7}\).

Vậy 28 nhân với \(\frac{{25}}{7}\)bằng 100.

Theo bài ra ta có:

Người thứ hai làm xong công việc ban đầu trong:

8 : 3 = \(\frac{8}{3}\)(tuần)

Người thứ ba làm xong công việc ban đầu trong :

12 : 5 = \(\frac{{12}}{5}\) (tuần)

Trong một tuần người thứ nhất làm được \(\frac{1}{3}\) công việc, người thứ hai làm được \[\frac{3}{8}\]công việc, người thứ ba làm được \(\frac{5}{{12}}\)công việc .

Vậy cả ba người trong một tuần sẽ làm được:                   

\(\frac{1}{3}\)+ \[\frac{3}{8}\]+ \(\frac{5}{{12}}\)= \(\frac{9}{8}\) (công việc)

Thời gian (tuần) để cả ba người làm xong công việc là:

1 : \(\frac{9}{8}\)  = \(\frac{8}{9}\) (tuần)

Số giờ cả ba người làm xong công việc là:

45 .  \(\frac{8}{9}\) = 40 (giờ)

Đáp số: 40 giờ.

E = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7)

E = [(x – 1)(x + 5)][(x – 3)(x + 7)]

E = (x² + 4x – 5)(x² + 4x – 21)

Đặt x² + 4x – 5 = t

E = t (t – 16) = t² – 16t = (t–8)² – 64 ≥ –64

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là –64 khi: t = 8

Hay x² + 4x – 5 = 8

⇔ x² + 4x – 13 = 0

⇔ (x + 2)² – 17 = 0

⇔(x + 2)² = 17

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x + 2 = \sqrt {17} \\x + 2 = - \sqrt {17} \end{array} \right.\,\,\,hay\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {17} - 2\\x = - \sqrt {17} - 2\end{array} \right.\,\].

ab + bc + ca + abc = 2

⇔ (1 + a)(1 + b)(1 + c) = (1 + a) + (1 + b) + (1 + c)

⇔ \[\frac{1}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}} + \frac{1}{{\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)}} = 1\]

Đặt x = \(\frac{1}{{1 + a}}\); y = \(\frac{1}{{1 + b}}\); z = \(\frac{1}{{1 + c}}\)

Ta có: xy + yz + zx = 1

A = \[\frac{{a + 1}}{{{a^2} + 2a + 2}} + \frac{{b + 1}}{{{b^2} + 2b + 2}} + \frac{{c + 1}}{{{c^2} + 2c + 2}}\]

A = \(\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + 1}} + \frac{{\frac{1}{y}}}{{\frac{1}{{{y^2}}} + 1}} + \frac{{\frac{1}{z}}}{{\frac{1}{{{z^2}}} + 1}} = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + \frac{y}{{{y^2} + 1}} + \frac{z}{{{z^2} + 1}}\)

A = \[\frac{x}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + z} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{z}{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)}} = \frac{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\]

A = \(\frac{2}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

Mà 9(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8 (x + y + z)(xy + yz + zx)

⇔ \(\frac{2}{9}\)x²y + y²z + z²x + xy² + yz² + zx² ≥ 6xyz (đúng theo bất đẳng thức Côsi)

Suy ra:

A ≤ \(\frac{2}{{\frac{8}{9}\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right)}} = \frac{9}{{4\left( {x + y + z} \right)}} \le \frac{9}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

(Vì (x+y+z)² ≥ 3(xy+yz+zx) = 3)

Vậy giá trị lớn nhất của A = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)khi x = y = z = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra a = b = c = \(\sqrt 3 - 1\).

2 sin²A = tan B. tan C

⇔ 2 sin²A . cos B. cos C = sin B. sin C

⇔ \[2{\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\] = \(\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)

⇔ a⁴ = b⁴ + c⁴ (đúng với giả thiết).

P = \(\frac{{2\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{3}{{2\sqrt x + 2}}\)

Ta thấy: \(1 + \frac{3}{{2\sqrt x + 2}}\)≥ 1 với mọi x ∈ ℝ

Suy ra: P < P².

C = \(\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{9}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{16}}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)\)

C = \(\frac{3}{4}.\frac{8}{9}.\frac{{15}}{{16}}...\frac{{99}}{{100}}\)

C = \(\frac{{1.3}}{{2.2}}.\frac{{2.4}}{{3.3}}......\frac{{9.11}}{{10.10}}\)

C = \(\frac{{1.3.2.4.3.5....9.11}}{{2.2.3.3.4.4....10.10}}\)

C = \(\frac{{1.2.3.4....9}}{{2.3.4.5....10}}.\frac{{3.4.5.6....11}}{{2.3.4.5....10}}\)

C = \(\frac{1}{{10}}.\frac{{11}}{2}\)

C= \(\frac{{11}}{{20}}\).

Gọi số bé là a

Thì hiệu hai số là 4a

Suy ra: số lớn là 5a

Ta có:

5a + a = 360

6a = 360

a = 360 : 6

a = 60

Số lớn là: 5a = 60 . 5 = 300.

Vậy số bé là 60, số lớn là 300.

Gọi số bi của An là a

Thì số bi của Bình là 60 – a

Ta có:

a – \(\frac{1}{4}\)a = 60 – a + \(\frac{1}{4}\)a

\(\frac{3}{2}\)a = 60

a = 60 : \(\frac{3}{2}\)

a = 40

Vậy An có 40 viên bi.

Bình có số bi là:

60 – 40 = 20 (viên).

2x – 18³ = 0

2x = 5832

x = 2916

Vậy x = 2916.

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là {a;b;c}, {a;b;d}, {a;b;e}, {a;c;d}, {a;c;e}, {a;d;e}, {b;c;d}, {b;c;e}, {b;d;e}, {c;d;e}.

Vậy có 10 tập con.

A = (5n – 2)² – (2n – 5)²

A = (5n – 2 – 2n + 5)(5n – 2 + 2n – 5)

A = (3n + 3)(7n – 7)

A = 3 . 7 . (n + 1)(n – 1)

A = 21 . (n + 1)(n – 1)

Ta thấy: 21 chia hết cho 7 nên 21 . (n + 1)(n – 1) chia hết cho 7.

Vậy A chia hết cho 7 với mọi n.

Vì mỗi nhóm phải có số học sinh bằng nhau nên số nhóm là Ư(30)

Ư(30) ={1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Vì số nhóm lớn hơn 5 và bé hơn 10 nên số nhóm bằng 6.

Với số nhóm là 6; thì mỗi nhóm có: 30 : 6 = 5 (học sinh).

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a;

Chiều dài hình chữ nhật là b (a,b>0)

Theo bài ta có phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + b} \right){\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}80}\\{\left( {a + 3} \right)\left( {b + 5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}195}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5a + 3b + 15\,\,{\rm{ = }}\,\,195}\end{array}} \right.\)

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{5\left( {a + b} \right) - 2b\,\,{\rm{ = }}\,\,180}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = {\rm{40}}}\\{2b = 20}\end{array}} \right.\]

⇔ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3{\rm{0}}}\\{b = 10}\end{array}} \right.\]

Vậy chiều dài là 30m và chiều rộng là chiều rộng là 10m.

Kích thước mảnh đất là:

30 . 10 = 300 (m²).

Số đo một cạnh khu vườn đó là:

1000 : 4 = 250 (m)

Diện tích khu vườn đó là:

250 × 250 = 62500 (m²)

Đổi: 62500 m² = 6,25 ha.

Gọi số chia là a; thương là b ( a > 0)

Ta có:

235 : a = b dư 14

ab = 235 – 14

ab = 221 = 13 . 17

Vì 13 và 17 là các số nguyên tố nên số chia và thương là 13 và 17.

Mà số dư là 14; tức là số chia lớn hơn 14; nên số chia là 17; thương là 13.

Chiều cao của thửa ruộng là:

(23 + 7) : 2 = 15 (m)

Chu vi thửa ruộng là:

23 + 7 + 17 + 17 = 64 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

(23 + 7) . 15 : 2 = 225 (m²).

Số xăng ô tô đó tiêu thụ khi đi 1 km là:

12 : 100 = 0,12 (lít)

Khi đi quãng đường 50km thì tiêu thụ số lít là:

0,12 . 50 = 6 (lít).

Sau khi giặt tấm vải còn lại số % là:

100% – 2% = 98%

Sau khi giặt tấm vải còn lại là:

25 . 98% = 24,5 (m)

Đáp số: 24,5 m.

A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) − 120

= [(x + 2)(x + 5)][(x + 3)(x + 4)] − 120

= (x² + 7x + 10)(x² + 7x + 12) − 120

Đặt t = x² + 7x + 11

Suy ra:

A = (t – 1)(t + 1) – 120

A = t² – 121

A = (t – 11)(t + 11)

A = (x² + 7x + 11 – 11)( x² + 7x + 11 + 11)

A = (x² + 7x)( x² + 7x + 22)

A = x (x + 7)( x² + 7x + 22).

Số km mà mỗi ngày Lan phải đi là:

1,25 . 2 = 2,5 (km)

Đổi 2,5 km = 2500 m.

Ta xét: 1 – \(\frac{{2005}}{{2006}} = \frac{1}{{2006}}\)

1 – \(\frac{{2006}}{{2007}} = \frac{1}{{2007}}\)

Ta thấy: \(\frac{1}{{2006}}\)> \(\frac{1}{{2007}}\)nên : 1 – \(\frac{{2005}}{{2006}}\)> 1 –\(\frac{{2006}}{{2007}}\)

Suy ra: \(\frac{{2005}}{{2006}}\) < \(\frac{{2006}}{{2007}}\).

Số tự nhiên lớn nhất bé hơn 2012,5 là 2012.

Gọi 3 số đó là x; y; z

Theo bài cho ta có: x + y + z = x.y.z

Không mất tính tổng quát , coi x < y < z

⇒ x + y + z < z + z + z ⇒ xyz < 3z ⇒ xy < 3 (vì z > 0)

Do x; y là số tự nhiên khác 0 nên xy = 1 hoặc xy = 2

Với xy = 1 ⇒ x = y = 1 ⇒ 2 + z = z (Vô lí ) ⇒ Loại

Với xy = 2 = 1.2 mà x < y nên x = 1 ; y = 2 ⇒ 1 + 2 + z = 2z ⇒ 3 = z

Vậy 3 số đó là 1; 2; 3.

Ta có:

15 = 3 . 5

25 = 5²

BCNN (15; 25) = 3 . 5² = 75

Bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là :{0; 75; 150; 225; 300; 375}.

Ta có: a ∈ BCNN (15; 18)

15 = 3 . 5

18 = 2 . 3²

Suy ra: BCNN(21; 35; 99) = 2 . 3² . 5 = 90

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 nên a = 90.

Vậy a = 90.

Ta có: a ∈ BCNN (18; 21; 24)

18 = 2 . 3²

21 = 3 . 7

24 = 2³ . 3

Suy ra: BCNN (18; 21; 24) = 2³ . 3² . 7 = 504

Vì 1000 < a < 1500 nên a = 1008

Vậy a = 1008.

Gọi số học sinh của trường là x ( 800 < x < 1000)

Theo bài ra ta có: x chia hết cho 5; 6; 7; 8.

Suy ra: x ∈ BCNN (5; 6; 7; 8)

5 = 5¹

6 = 2.3

7 = 7¹

8 = 2³

BCNN (5; 6; 7; 8) = 2³ . 3 . 5 . 7 = 840

Vì 800 < x < 1000 nên x = 840.

Vậy trường đó có 840 học sinh.

2 vòi nước trong 1 giờ chảy được số phần bể là:

\(\frac{1}{3}:2 = \frac{1}{6}\)(bể)

6 vòi nước trong 1 giờ chảy được số phần bể là:

\(\frac{1}{6}:2\,.\,\,6 = \frac{1}{2}\)(bể)

Cần số giờ để bể đó đầy nước là:

1 : \(\frac{1}{2}\)= 2 (giờ).

Gọi số đã cho là a.

Ta có:

20 + \(\frac{1}{3}\)a = 2a

20 = \(\frac{5}{3}\)a

a = 20 : \(\frac{5}{3}\)

a = 12

Vậy số đã cho là 12.

(–525) – [(475 + 245) – 45]

= – (525 + 475) – (245 – 45 )

= –1000 – 200

= –1200.

P và P + 14 là số nguyên tố

Suy ra P là lẻ. Vì nếu P chẵn thì P = 2, P + 14 = 16 (là hợp số ⇒ vô lí)

Khi P lẻ thì P + 7 chẵn ⇒ P + 7 là hợp số. (Vì không có số nguyên tố chẵn nào ngoài số 2).

Vậy P + 7 là hợp số.

(72000 : y) : 60 = 5

72000 : y = 5 . 60

72000 : y = 300

y = 72000 : 300

y = 240.

Vậy y = 240.

Cả lớp thu được số kg giấy vụn là:

(25,3 + 36,2 + 24,5) : 2 = 43 (kg).

Tổ 1 thu được là:

43 – 24,5 = 18,5 (kg).

Tổ 2 thu được là:

43 – 36,2 = 6,8 (kg).

Tổ 3 thu được là:

43 – 25,5 = 17,5 (kg).

Ta có: 91 = 13 . 7

Do đó 91 không phải là số nguyên tố vì số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \)

Với a = 1

⇒ 90 số khác nhau thoả mãn

Với a = 2

⇒ 90 số khác nhau thoả mãn

Với a = 3

+)  b ≤ 2 ⇒ b có 3 cách chọn ⇒ c có 6 cách chọn

Khi đó có 3.6 =18 số thoả mãn

+) b = 4 ⇒ có 66 số thoả mãn

Vậy có tổng cộng 90 + 90 + 18 + 6 = 204 số thoả mãn.

(–3333)⁴⁴⁴ = ((–3333)⁴)¹¹¹

4444³³³ = (4444³)¹¹¹

Xét: (–3333)⁴ = (–1111 . 3)⁴ = (–1111)⁴ . 3⁴

4444³ = (1111 . 4)³ = 1111³ . 4³

Ta thấy: (–1111)⁴ > 1111³ và 3⁴ > 4³ nên (–3333)⁴ > 4444³.

Suy ra: (–3333)⁴⁴⁴ > 4444³³³.

Ta có: 1 m² = 100 dm² hay 1 dm² = 0,01 m²

1 m² = 10000 cm² hay 1 cm² = 0,0001 m²

16 dm² 8 cm² = 0,1608 m²

Ta có:

3x + 1 ⋮ y và 3y + 1 ⋮ x

Suy ra: (3x + 1)(3y + 1) ⋮ xy

Hay 9xy + 3x + 3y + 1 ⋮ xy

Mà 9xy ⋮ xy

Suy ra: 3x + 3y + 1 ⋮ xy

⇔ \(\frac{{3x}}{y} + 3 + \frac{1}{y}\)⋮ x

Do vai trò của x, y như nhau

Giả sử \(\frac{x}{y} \le 1\)

Suy ra: \(\frac{{3x}}{y} \le 3\)

y > 1 nên \(\frac{1}{y} < 1\)

\(\frac{{3x}}{y} + 3 + \frac{1}{y}\) < 3 + 3 + 1 = 7

Hay 1 < x < 7

Vậy x ∈ {2; 3; 4; 5; 6}

Thay x vào 3x + 1 ⋮ y ta được

y ∈ {7; 10; 13; 16; 19}

Vậy (x; y) ∈ {(2; 7), (3; 10), (4; 13), (5; 16), (6; 19)}.

A = 1 + 2012¹ + 2012² + 2012³ + … + 2012⁷²

2012A = 2012 + 2012² + …. + 2012⁷³

2012A – A = (2012 + 2012² + …. + 2012⁷³) – (1 + 2012¹ + 2012² + 2012³ + … + 2012⁷²)

2011A = 2012⁷³ – 1

A = \(\frac{{{{2012}^{73}}--{\rm{ }}1}}{{11}} = \frac{B}{{11}}\)

Suy ra: A < B.

Độ dài cạnh CD (hay AB) là:

24 : 3 = 8 (cm)

Độ dài CE là:

3 . 2 = 6 (cm)

Độ dài cạnh AD (hay BC)là:

24 : 6 = 4 (cm)

Chu vi hình bình hành ABCD là:

(8 + 4) . 2 = 24 (cm).

Đáp số: 24 cm.

Gọi giao điểm của MN với AB là I

Xét tam giác MON và tam giác NIO có:

Chung \(\widehat N\)

\(\widehat {NMO} = \widehat {NOI}\)= 90°

⇒ ∆MNO ᔕ ∆ONI (g.g)

⇒ \(\widehat {MIO} = \widehat {MON}\)

Xét tam giác IMO và tam giác OMN có:

\(\widehat {IMO} = \widehat {OMN}\)= 90°

\(\widehat {MIO} = \widehat {MON}\)

⇒ ∆IMO ~∆OMN (g.g)

⇒ \(\widehat {MOA} = \widehat {MNO}\)

Mà \(\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}\)(cùng chắn cung )

Vậy \[\widehat {MNO} = 2\widehat {MBA}\].

Tổng số tiền mẹ mua gạo là:

4500 . 20 = 90000 (đồng)

1 kg gạo ngon hết số tiền là:

4500 + 4500 = 9000 (đồng)

Với số tiền của mẹ có thể mua được là:

90000 : 9000 = 10 (kg gạo ngon).

Đáp số: 10 kg gạo ngon.

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

4 : 2 = 2 (km)

Đổi 2 km = 200 dam

Chiều rộng thửa ruộng là:

(200 – 6) : 2= 97 (dam)

Chiều rộng thửa ruộng là:

200 – 97 = 103 (dam)

Diện tích thửa ruộng là:

103 . 97 = 9991(dam²) = 999100 (m²)

Số khoai thu được là:

999100 : 100 . 4 = 39964 (tạ).

Đáp số: 39964 tạ.

Ta có: 2022 = 2 . 3 . 337

Các ước nguyên dương của 2022 không chia hết cho 3 là: 1, 2, 337, 2 . 337.

Vậy số 2022 có 4 ước nguyên dương không chia hết cho 3.

Tổng của hai số đó là:

548 + 132 = 680

Số bé là:

(680 – 132) : 2 = 274

Số lớn là:

680 – 274 = 406.

Đáp số: 406 và 274.

Tổng hai số là:

116 – 22 = 94.

Số bé là:

(94 – 22) : 2 = 36.

Số lớn là:

36 + 22 = 58.

Đáp số: 36 và 58.

Số các số có 2 chữ số là:

(99 – 10) : 1 + 1 = 90 (số)

Tổng các số có 2 chữ số là:

(99 + 10) . 90 : 2 = 4905

Dãy các số có 2 chữ số giống nhau: 11; 22; ....; 99 có tổng là:

(99 + 11) . 9 : 2 = 495

Tổng các số có 2 chữ số khác nhau là:

4905 – 495 = 4410.

(2xy + 1)² – (2x + y)²

= (2xy + 1 + 2x + y)(2xy + 1 – 2x – y)

= [(2xy – y) – (2x – 1)][(2xy + y) + (2x + 1)]

= [y(2x – 1) – (2x – 1)][y(2x + 1) + (2x + 1)]

= (2x – 1)(y – 1)(2x + 1)(y + 1).

(a + c)(b + c) = 4c²

⇔ \(\left( {\frac{a}{c} + 1} \right)\left( {\frac{b}{c} + 1} \right) = 4\)

Đặt \(\left( {\frac{a}{c};\frac{b}{c}} \right)\)= \(\left( {x;y} \right)\)

Suy ra: xy + x + y = 3.

⇒ 3 ≤ x + y + \(\frac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)⇒ x + y ≥ 2.

A = \(\frac{x}{{y + 3}} + \frac{y}{{x + 3}} + \frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right)}}{{xy + 3\left( {x + y} \right) + 9}} + \frac{{xy}}{{x + y}}\)

= \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2xy}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{3 - \left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 5\left( {x + y} \right) - 6}}{{2\left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{3}{{x + y}} - 1\)

Đặt x + y = t ⇒ 2 ≤ t < 3.

Khi ấy: A = \(\frac{{{t^2} + 5t - 6}}{{2t + 12}} + \frac{3}{t} - 1 = \frac{t}{2} + \frac{3}{t} - \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\)

Giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}\) khi t = \(\sqrt 6 \).

A = \(\frac{{{t^2} + 6}}{{2t}} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{2t}}} \right) + 2 = \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{2t}} + 2\)

Mà 2 ≤ t < 3 ⇒ (t – 2)(t – 3) ≤ 0.

Suy ra: A ≤ 2

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi t = 2.

Điều kiện xác định: x ≠ ±2.

\(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} - \frac{5}{{x + 2}} = \frac{{12}}{{{x^2} - 4}} + 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{5\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{12}}{{{x^2} - 4}} + \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 4}}\)

⇔ x² + 3x + 2 – 5x + 10 = 8 + x²

⇔ 12 – 2x = 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Sau mỗi lần gặp nhau thì cả hai người cùng chạy được đúng một vòng trên sân đó. Vậy 4 lần gặp nhau thì hai người chạy được 4 vòng quanh sân đó.

Mà hai người xuất phát cùng một lúc tại 1 thời điểm rồi lại dừng đúng điểm xuất phát nên mỗi người chạy được một số vòng nguyên. 

Mà: 4 = 3 + 1 = 2 + 2

Suy ra: anh chạy được 3 vòng, em chạy được 1 vòng.

Mà anh và em chạy cùng một thời gian. Nên tỉ số vận tốc của em và anh là 3.

Vậy thời gian em chạy 1 vòng là:

3 . 10 = 30 (phút).

Ta có thể tận dụng dòng kẻ của vở hoặc hoặc hai mép của thước thẳng để vẽ góc có số đo 90° (góc vuông).

Góc có số đo 60° thì bằng \(\frac{2}{3}\)số đo của góc 90°.

(Chia góc có số đo bằng 90° thành 3 phần bằng nhau, ta lấy 2 phần thì được số đo của góc 60°).

x – 2y > 1

2y < x – 1

y < \(\frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\)

Vẽ đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\) (d)

Đường thẳng (d) đi qua A (1; 0), B(–1; –1).

Xét n chẵn:

⇒ n + 10 chẵn ⇒ (n + 10)(n + 15) chẵn ⇒ chia hết cho 2.

Xét n lẻ

⇒ n + 15 chẵn ⇒ (n + 10)(n + 15) chẵn ⇒ chia hết cho 2.

Vậy (n + 10) (n + 15) chia hết cho 2 với mọi n.

C = 3 + 3² + …+ 3¹⁰⁰

3C = 3² + …+ 3¹⁰¹

3C – C = 3¹⁰¹ – 3

C = \(\frac{{{3^{101}} - {\rm{ }}3}}{2}\)

Vậy C = D.

\(\frac{{{{5.2}^{30}}{{.3}^{18}} - {2^2}{{.3}^{20}}{{.2}^{27}}}}{{{{5.2}^9}{{.2}^{19}}{{.3}^{19}} - {{7.2}^{29}}{{.3}^{18}}}}\)

= \(\frac{{{{5.2}^{30}}{{.3}^{18}} - {2^{29}}{{.3}^{20}}}}{{{{5.2}^{28}}{{.3}^{19}} - {{7.2}^{29}}{{.3}^{18}}}}\)

= \(\frac{{{2^{29}}{{.3}^{18}}\left( {5.2 - {3^2}} \right)}}{{{2^{28}}{{.3}^{18}}\left( {5.3 - 7.2} \right)}}\)

= \(\frac{{2.1}}{1}\)

= 2.

72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72 . 72⁴⁴ – 72⁴⁴ = 71 . 72⁴⁴

72⁴⁴ – 72⁴³ = 72 . 72⁴³ – 72⁴³ = 71 . 72⁴³

Ta thấy 72⁴⁴ > 72⁴³ nên 72⁴⁵ – 72⁴⁴ > 72⁴⁴ – 72⁴³.

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴

2A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵

2A – A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) – (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴)

A = 2⁵ – 1

Vậy A = B.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

a²⁰¹⁰ + b²⁰¹⁰ + a²⁰¹² + b²⁰¹² ≥ \(2\sqrt {{a^{2010 + 2012}}} + 2\sqrt {{b^{2010 + 2012}}} = 2{a^{2011}} + 2{b^{2011}}\)

Dấu “=” xảy ra khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^{2010}} = {a^{2012}}\\{b^{2010}} = {b^{2012}}\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)

S = a²⁰¹³ + b²⁰¹⁴ = 1 + 1 = 2.

Ta có: \(\overline {abcabc} \, = \,1000\,.\,\overline {abc} + \,\overline {abc} \, = \,1001\,.\,\overline {abc} \)

Vì 1001 chia hết cho 7, 11 và 13 nên 1001 . \(\overline {abc} \) chia hết cho 7, 11 và 13

Vậy \(\overline {abcabc} \) chia hết cho 7, 11 và 13 hay \(\overline {abcabc} \) là bội của 7, 11 và 13.

Để lập thành 1 số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3

Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là: {0; 1; 2; 3}, {0; 1; 3; 5}, {0; 2; 3; 4}, {0; 3; 4; 5}, {1; 3; 4; 5}, {1; 2; 4; 5}, {0; 3; 4; 5}.

Vậy có thể lập được: 5(4! – 3!) + 2 . 4! = 138 (số thỏa mãn).

Không mất tính tổng quát giả sử: \(\widehat A \ge \widehat B \ge \widehat C\)≥ 60° suy ra: \(\widehat A\)≥ 60°

Trường hợp 1: 60° ≤ \(\widehat A\)≤ 90°

Kẻ CH ⊥ AB, BK ⊥ AC

S_ABC = \(\frac{1}{2}CH.AB\)

Mà CH ≤ CC₁ ≤ 1

Lại có: AB = \(\frac{{BK}}{{\sin A}} \le \frac{{B{B_1}}}{{\sin A}} \le \frac{1}{{\sin A}} \le \frac{1}{{\sin 60^\circ }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Nên S_ABC ≤ \(\frac{1}{2}.1.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Trường hợp 2: \(\widehat A\)≥ 90°

AB ≤ BB₁ ≤ 1

CH ≤ CC₁ ≤ 1

S_ABC = \(\frac{1}{2}CH.AB \le \frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy S_ABC ≤ \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

172 : 2 = 86 (cm)

Nếu giảm chiều dài 5 cm và tăng chiều rộng 5 cm thì nó trở thành hình vuông nên chiều dài hơn chiều rộng là:

5 + 5 = 10 (cm)

Chiều rộng là: 

(86 – 10) : 2 = 38 (cm)

Chiều dài là: 

38 + 10 = 48 (cm).

Nhìn vào hình vẽ ta thấy

a ⊥ m

b ⊥ m

Suy ra: a // b.

Vì \(\widehat {{K_1}}\)và \(\widehat {{K_2}}\)là 2 góc kề bù nên:

\(\widehat {{K_1}}\)+\(\widehat {{K_2}}\)= 180°

\(\widehat {{K_1}}\) = 180° – 110°

\(\widehat {{K_1}}\)= 70°.

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: \(\overline {abc} \)

Để được số chia hết cho 5 thì c = 0 hoặc c = 5

Với c = 0 thì b có 9 cách chọn

a có 8 cách chọn

Vậy có: 8.9.1 = 72 (số)

+ Với c = 5, c có 1 cách chọn

Chữ số a có 8 cách chọn (vì a khác 0)

b có 8 cách chọn

Vậy có: 8.8.1 = 64 (số)

Vậy lập được: 72 + 64 = 136 (số).

Xét: \({\left( {\sqrt {2015} + \sqrt {2018} } \right)^2} = 2015 + 2018 + 2\sqrt {2015.2018} = 4033 + 2\sqrt {2015.2018} \)

\({\left( {\sqrt {2016} + \sqrt {2017} } \right)^2} = 2016 + 2017 + 2\sqrt {2016.2017} = 4033 + 2\sqrt {2016.2017} \)

Ta so sánh: \(2\sqrt {2015.2018} \)và \(2\sqrt {2016.2017} \)thấy:

2015 . 2018 = 2015² + 3.2015

2016 . 2017 = 2015² + 3.2015 + 2

Suy ra: \(2\sqrt {2015.2018} \) < \(2\sqrt {2016.2017} \)

Vậy \(\sqrt {2015} + \sqrt {2018} \)< \(\sqrt {2016} + \sqrt {2017} \).

A=11,3 + 4,7 + 78,06 + 25,9

A= (11,3 + 4,7) + (78,06 + 25,9)

B = 25,06 + 11,7 + 4,3 + 78,9

B= (11,7 + 4,3) + (25,06 + 78,9)

Ta thấy ngay: 11,3 + 4,7 = 11,7 + 4,3

78,06 + 25,9 = 25,06 + 78,9

Vậy A = B.

Chu vi sân vận động là:

36 . 15 = 540 (m)

Nửa chu vi của sân vận động là:

540 : 2 = 270 (m)

Chiều rộng sân vận động là:

(270 – 24) : 2 = 123 (m)

Chiều dài sân vận động là:

270 – 123 = 147 (m)

Diện tích sân vận động là:

123 . 147 = 18081 (m²)

Đáp số: 18081 m².

Chiều dài hình chữ nhật là:

(28 + 4) : 2 = 16 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

16 – 4 = 12 (m).

Số mét vải cửa hàng bán được trong hai tuần là:

314,78 + 525,22 = 840 (m)

Số ngày trong hai tuần là:

7 . 2 = 14 (ngày)

Trung bình mỗi ngày bán được số vải là:

840 : 14 = 60 (m)

Đáp số : 60m vải.

Quãng đường 3 giờ đầu ô tô đi được là

3 . 50 = 150 (km)

Quãng đường 2 giờ sau ô tô đi được là

2 . 45 = 90 (km)

Quãng đường trong 5 giờ ô tô đi được là

150 + 90 = 240 (km)

Trung bình mỗi giờ ô tô đi được là

240 : 5 = 48 (km)

Đáp số: 48 km.

Vì n ⋮ n mà để n + 6 ⋮ n thì  thì 6 ⋮ n (tức là 6 phải chia hết cho n)

Mà n ∈ ℕ nên n ∈{1; 2; 3; 6}.

Vậy n ∈{1; 2; 3; 6}.

Cạnh hình vuông của căn phòng là:

32 : 4 = 8 (m)

Diện tích căn phòng là:

8 . 8 = 64 (m²)

Đổi 20 cm = 2 dm

Diện tích mảnh gỗ là:

8 .2 = 16 (dm²)

Đổi: 16 dm² = 0,16 m²

Cần số mảnh gỗ là:

64 : 0,16 = 400 (mảnh)

Đáp số: 400 mảnh gỗ.

S = 1 + 2 + 2² + … + 2⁹

2S = 2 + 2² + … + 2¹⁰

2S – S = (2 + 2² + … + 2¹⁰) – (1 + 2 + 2² + … + 2⁹)

S = 2¹⁰ – 1 < 2¹⁰ = 2³.2⁷ = 8.2⁷

Mà 5.2⁸ = 5.2.2⁷ = 10.2⁷ > 8.2⁷

Vậy S < 5.2⁸.

Ta có:

M = –x² + 4x + 5

M = –(x² – 4x + 4) + 9

M = –(x – 2)² + 9

Vì –(x – 2)² ≤ 0 với mọi x nên M ≤ 9.

Vậy giá trị lớn nhất của M là 9.

Dấu “=” khi x = 2.

Số các số hạng của dãy là:

(99 – 1) : 1 + 1 = 99

Tổng của dãy số là:

(99 + 1) . 99 : 2 = 4950.

Số sách giáo khoa trong thư viện là:

(1800 + 1000) : 2 = 1400 (cuốn)

Đáp số: 1400 cuốn.

Số bé nhất có 3 chữ số khác nhau là: 102

Tổng của 2 số là:

102 . 2 = 204

Số thứ nhất là:

204 − 115=89

Đáp số: 89.

Vì mỗi con đều có 2 mắt nên tổng số gà và chó trên bãi cỏ là:

100 : 2 = 50 (con)

Số con gà là:

(50 – 12) : 2 = 19 (con).

Số con chó là

50 – 19 = 31 (con)

Đáp số: 19 con gà và 31 con chó.

Diện tích còn lại gồm 4 hình chữ nhật bằng nhau. Chiều rộng của mỗi hình chữ nhật là 3 m, chiều dài là 3 m cộng với cạnh của cái ao.

Diện tích mỗi hình chữ nhật là:

420 : 4 = 105 (m²)

Chiều dài của mỗi hình chữ nhật là:

105 : 3 = 35 (m)

Cạnh của cái ao là:

35 – 3 = 32 (m)

Diện tích cái ao là:

32 . 32 = 1024 (m²).

Đáp số: 1024 m².

Gọi số lớn là a, số nhỏ là b, ta có

a + b = 5(a – b)

a + b = 5a – 5b

b + 5b = 5a – a

6b = 4a

a = 1,5b

Lại có: ab = 24(a – b)

1,5b.b = 24(1,5b – b)

1,5b.b = 24.0,5b

1,5b = 12

b = 12 : 1,5

b = 8; a = 1,5.8 = 12

Vậy hai số đó là 8 và 12.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \(\overline {ab} \) (a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

\(\overline {ab} \)= (a+b) . 7 + 9

⇔ 10a + b = 7a + 7b + 9

⇔ 3a – 6b = 9

⇔ a – 2b = 3

⇔ a = 3 + 2b

Vì a < 10 nên 3 +2b < 10. Suy ra: b < 4

Vậy b = 0, 1, 2, 3

Suy ra a = 3, 5, 7, 9

+ Với \(\overline {ab} \) = 30 thì 30 : 3 = 10 (loại vì không thỏa mãn)

+ Với \(\overline {ab} \) = 51 thì 51 : 6 = 8 dư 3 (loại vì không thỏa mãn)

+ Với \(\overline {ab} \) = 72 thì 72 : 9 = 8 (loại vì không thỏa mãn)

+ Với \(\overline {ab} \) = 93 thì 93 : 12 = 7 dư 9 (thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 93.