Gọi số cần tìm là a, ta có:

• a = 18.n + 8 Þ a + 10 = (18.n + 18) ⋮ 18;

• a = 30.m + 20 Þ a + 10 = (30.m + 30) ⋮ 30;

• a = 45.k + 35 Þ a + 10 = (45.k + 45) ⋮ 45.

(với n, m, k Î ℕ)

Do đó A + 10 là bội chung của 18; 30; 45.

Mà BCNN(18, 30, 45) = 90 nên BC(18, 30, 45) = 90.x với x Î ℕ*

Do đó ta có: A + 10 = 90.x.

Vì A là số có 3 chữ số nhỏ nhất nên 1 < x < 3

Với x = 2 Þ A + 10 = 180

Vậy A = 170.

Hỗn số \[3\frac{1}{4}\] được viết dưới dạng số thập phân là:

\[\frac{{13}}{4}\]= 6,25.

a) Viết các hỗn số thành số thập phân

\[3\frac{1}{4} = \frac{{13}}{4} = 3,25\]

\[6\frac{1}{8} = \frac{{49}}{8} = 6,125\]

b) Viết các số thập phân thành phân số thập phân

\[0,35 = \frac{{35}}{{100}}\]

\[\frac{5}{8} = \frac{{625}}{{1000}}\]

\[12,15 = \frac{{1215}}{{100}}\]

Gọi a (học sinh) là số học sinh khối 6.

Ta có:

• a : 8 dư 3 Þ (a - 3) ⋮ 8

• a : 11 dư 1 Þ (a - 1) ⋮ 11

Ta có: (a - 3) ∈ B(8) và (a - 1) ∈ B(11)

Mà 100 < a < 200

Khi đó:

• (a -3) Î {104; 112; 120; ... ; 152; ... ; 192} và

• (a -1) Î {110; 121; ...154; ... 198}

Do đó a = 155

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 55 học sinh.

Gọi x là số học sinh khối 6 (x Î ℕ, đơn vị: học sinh)

Ta có: x ⋮ 8; x ⋮ 10; x ⋮ 15; x ⋮ 20

x Î BC(8, 10, 15, 20)

8 = 2³ ; 10 = 2.5; 15 = 3.5; 20 = 2².5

BCNN(8, 10, 15, 20) = 2³.3.5 = 120

x Î B(120) = {0; 120; 240; 480; ...}

mà 100 < x < 200 nên x = 120

Vậy số học sinh khối 6 là 120 học sinh.

• Chứng minh: \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \]

\[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} \]

\[ = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {FE} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FE} \]

\[\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \] (đpcm) (1)

• Chứng minh: \[\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]

\[\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \]

\[ = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {ED} \]

\[ = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \](đpcm) (2)

Từ (1) và (2): \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \].

VT = \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} \]

\[ = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} \]

\[ = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right) + \overrightarrow {FE} \]

\[ = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FE} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EE} \]

\[ = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \](do \[\overrightarrow {EE} = \overrightarrow 0 \]) = VP

Vậy \[\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \].

a) Hỗn số 1 và \[\frac{9}{{10}}\] viết dưới dạng số thập phân là 1,9;

b) Hỗn số 2 và \[\frac{{66}}{{100}}\] viết dưới dạng số thập phân là 2,66;

c) Hỗn số 3 và \[\frac{{72}}{{100}}\] viết dưới dạng số thập phân là 3,72;

d) Hỗn số 4 và \[\frac{{99}}{{100}}\] viết dưới dạng số thập phân là 4,999.

Ta viết phân số và hỗn số dưới dạng số thập phân như sau:

\[\frac{{17}}{{100}} = 0,17;\]

\[\frac{{ - 100}}{{1000}} = - \,0,1;\]

\[\frac{7}{{ - 25}} = \frac{{ - 28}}{{100}} = - 0,28;\]

\[ - \frac{{19}}{4} = - \frac{{475}}{{100}} = - \,4,75;\]

\[\frac{{26}}{{65}} = \frac{2}{5} = \frac{4}{{10}} = 0,4;\]

\[\frac{{45}}{{ - \,250}} = - \frac{9}{{50}} = - \frac{{18}}{{100}} = - \,0,18;\]

\[2\frac{3}{8} = 2\frac{{375}}{{1000}} = 2,375;\]

\[\frac{{36}}{{ - \,400}} = - \frac{9}{{100}} = - 0,09;\]

\[1\frac{{469}}{{2000}} = 1\frac{{2345}}{{10000}} = 1,2345.\]

Nếu làm xong trong 14 ngày thì cần số người là:

14 × 3 = 42 (người)

Vậy làm xong trong 7 ngày thì cần số người là:

42 : 7 = 6 (người)

Đáp số: 6 người.

1 thùng chứa:

27 : 3 = 9 (lít)

Có tất cả số thùng là:

12 + 5 = 17 (thùng)

Có tất cả số lít mật ong là:

9 × 17 = 153 (lít)

Đáp số: 153 lít mật ong

Để ăn hết số gạo đó trong 1 ngày cần số em là:

120 × 20 = 2400 (em)

Số gạo còn ăn được trong số ngày nữa là:

20 - 4 = 16 (ngày)

Số em đến thêm là:

(2400 : 16) - 120 = 30 (em)

Đáp số: 30 em.

Gọi \[\overline {{a_1}a{ & _2}a{ & _3}{a_4}{a_5}} \] là các số tự nhiên cần tìm

Xét a₁ = 5

Chọn \[\overline {{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \]: \[A_6^4\]cách

Þ 360 số

Xét a₁ ≠ 5 Þ a₁ có 5 cách

Đặt chữ số 5 có 4 cách

Chọn 3 vị trí còn lại \[A_5^3\]

Þ Có \[5.4.A_5^3 = 1200\]số

Vậy có 1200 + 360 = 1560 số

Ta đặt S = u + v, P = uv

1) S² - 4S = 14² - 4.40 = 36 ³ 0

suy ra u, v là nghiệm của phương trình: x² - 14x + 40 = 0

Ta có: \[\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 14} \right)^2} - 4.40 = 36\]

\[{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{14 - 6}}{2} = 4\];

\[{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{14 + 6}}{2} = 10\].

Ta để ý hai số u và v có vai trò tương tự như nhau, nên ta có đáp án:

\[\left\{ \begin{array}{l}u = 10\\v = 4\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}u = 4\\v = 10\end{array} \right.\]

2) S² - 4S = (-5)² - 4.(-25) = 125 ³ 0

suy ra u, v là nghiệm của phương trình x² + 5x - 25 = 0  

\[\Delta = {b^2} - 4ac = {5^2} - 4.\left( { - 25} \right) = 125\]

\[{x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5 - 5\sqrt 5 }}{2}\]

\[{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{2}\]

Ta để ý hai số u và v có vai trò tương tự như nhau, nên ta có đáp án:

\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{2}\\v = \frac{{ - 5 - 5\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{{ - 5 - 5\sqrt 5 }}{2}\\v = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\]

3) S² - 4P = (10)² - 4.26 = -4 < 0

Vì vậy, không tồn tại 2 số u, v thoả mãn điều kiện tổng tích ban đầu

a) Vì S = 8, P = 11 thoả mãn S² ³ 4P nên tồn tại hai số cần tìm 

Hai số đó là nghiệm của phương trình x² - 8x + 11 = 0

D = (-8)² - 4.11 = 64 - 44 = 20 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{8 + \sqrt {20} }}{2} = 4 + \sqrt 5 \]

\[x{ & _2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{8 - \sqrt {20} }}{2} = 4 - \sqrt 5 \]

Vậy với hai số cần tìm là 4 ± \[\sqrt 5 \].

b) Với S = 17, P = 180 thì S² = 289 < 4P = 720 nên          không tồn tại hai số thoả mãn yêu cầu của đề bài.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD = 35 cm.

Diện tích hình bình hành đó là:

35 × 42 = 1470 (cm²)

Độ dài đường cao AK là:

1470 : 30 = 49 (cm)

Đáp số: 49 cm.

Cả 3 đợt cửa hàng đã nhập về:

150 × 3 = 450 (kg)

Đợt 2 cửa hàng nhập về:

170 + 40 = 210 (kg)

Đợt 3 cửa hàng nhập về:

450 - 170 - 210 = 70 (kg)

Đáp số: 70 kg.

Một bạn lớp 5A trồng 3 cây thì thừa 2 cây.

Một bạn 5B trồng 4 cây thì thiếu 38 cây, cũng như 1 bạn 5A trồng 4 cây thì thiếu:

38 + 5 = 43 (cây)

Số cây đủ cho một bạn trồng 4 cây nhiều hơn số cây đủ cho một bạn trồng 3 cây là:

2 + 43 = 45 (cây)

Một bạn trồng 4 cây nhiều hơn một bạn trồng 3 cây số cây là:

4 - 3 = 1 (cây)

Số học sinh lớp 5A (hoặc lớp 5B) là:

45 : 1 = 45 (học sinh)

Lớp 5A trồng được số cây là:

45 × 3 + 2 = 137 (cây)

Lớp 5B trồng được số cây là:

45 × 4 - 38 = 142 (cây)

Đáp số: Lớp 5A: 137 cây;

   Lớp 5B: 142 cây.

Số có 4 chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 9 là: 6210; 6120.

Tích các chữ số là: 6 × 2 × 1 × 0 = 0; 6 × 1 × 2 × 0 = 0.

Đáp số: 0.

Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau là: 9876

Số bé nhất có 4 chữ số khác nhau là: 1023

Hiệu của chúng là: 9876 - 1023 = 8853

Đáp số: 8853.

Số chia hết cho cả 8 và 6 là:

6 × 8 = 48

Hiệu của 8 và 6 là:

8 - 6 = 2

Số cần tìm là:

48 : 2 × 4 = 96

Đáp số: 96.

Chiều cao miếng đất là:

57 : 3 = 28,5 (m)

Diện tích miếng đất là:

25 × 28,5 = 712,5 (m²)

Đáp số: 712,5 m².

Chiều cao miếng đất là:

51 : 3 = 17 (m)

Diện tích miếng đất là:

25 × 17 = 425 (m²)

Đáp số: 425 m².

Số khăn mỗi ngày chị thứ nhất dệt ít hơn chị thứ hai là:

56 - 48 = 8 (cái)

Sau khi dệt một số ngày thì số khăn chị thứ nhất dệt ít hơn chị thứ hai là:

48 : 8 = 6 (cái)

Số khăn mỗi chị dệt được là:

48 × 6 + 62 = 350 (cái)

Đáp số: 350 cái

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

= (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + ... + 100

= 100 + 100 + 100 + ... + 100 (50 số 100)

= 100 × 50

= 5000

 Gọi x là ước chung của ba số

144 = 2⁴.3²

192 = 2⁶.3

240 = 2⁴.3.5

ƯCLN(144, 192, 240) = 2⁴.3

ƯC(144, 192, 240) Î {0; 48; 96; 144; ...}

mà x là số tự nhiên có hai chữ số nên x Î {48; 96}.

Vậy x Î {48; 96}.

Gọi x là ước chung của hai số

Ta có 144 = 2⁴.3²; 192 = 2⁶.3.

Suy ra ƯCLN(144, 192) = 2⁴.3

Do đó ƯC(144, 192) Î {0; 48; 96; 144; ...}

Mà x là số tự nhiên có hai chữ số nên x Î {48; 96}

Vậy x Î {48; 96}.

Gọi x là số nhỏ nhất cần tìm (x > 1950)

Ta có x ⋮ 5 dư 4; x ⋮ 4 dư 3; x ⋮ 3

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 4} \right)\,\, \vdots \,\,5\\\left( {x - 3} \right)\,\, \vdots \,\,4\\x\, \vdots \,3\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 4 + 25} \right)\,\, \vdots \,\,5\\\left( {x - 3 + 24} \right)\,\, \vdots \,\,4\\x\,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 21} \right)\,\, \vdots \,\,5\\\left( {x + 21} \right)\,\, \vdots \,\,4\\\left( {x + 21} \right)\,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\]

x + 21 là BC(3, 4, 5)

Mà x + 21 là số nhỏ nhất

Þ (x + 21) là BCNN(3, 4, 5) Î {0; 60; 120; 180; ... ; 1920; 1980; ... }
Mà x > 1950 Þ (x + 21) > 1971

Þ x + 21 = 1980

Þ x = 1961.

Vậy số nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện bài toán là 1961.

Ta có: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2 187 + 6 561 + 19 683 + 59 049

= (1 + 59 049) + (3 + 2 187) + (9 + 6 561) + (27 + 243) + (81 + 729) + 19 683

= 59 050 + 2 190 + 6 570 + 270 + 810 + 19 683

= 59 050 + (2190 + 810) + 6570 + 270 + 19 683

= 59 050 + 3 000 + 6 570 + 270 + 19 683

= 59 050 + (3 000 + 6 570) + 270 + 19 683

= 59 050 + 9 570 + 270 + 19 683

= 68 620 + 270 + 19 683

= 68 890 + 19 683

= 88 583.

Do 280 ⋮ x; 700 ⋮ x; 420 ⋮ x

Þ x Î ƯC(280, 700, 420)

280 = 2³.5.7

700 = 2².5².7

420 = 2².3.5.7

Mà ƯCLN(280, 700, 420) = 2².5.7 = 140

x Î ƯC(140) = {1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140}

Mà 40 < x < 100

Þ x = 70

Vậy x = 70

Tuổi bố bằng \[\frac{9}{8}:\frac{1}{4} = \frac{9}{2}\] (tuổi Lan)

Tuổi mẹ Lan là: \[\frac{8}{9} \times 36 = 32\] (tuổi)

Tuổi của Lan là: \[\frac{1}{4} \times 32 = 8\] (tuổi)

Đáp số: Lan: 8 tuổi,

   Mẹ: 32 tuổi,

   Bố: 36 tuổi.

Gọi khoảng thời gian để 2 xe cùng rời bến lần 2 là a (phút); a Î ℕ*

Theo bài ra, ta có: a ⋮ 10; a ⋮ 12 và a nhỏ nhất nên a = BCNN(10, 12).

Ta có: 10 = 2.5; 12 = 2².3

Suy ra BCNN(10, 12) = 2².3.5 = 60.

Hay A = 60

Do đó khoảng thời gian để 2 xe cùng cập bến lần 2 là 60 phút tức 1 giờ

Vậy 2 xe cùng cập bến lần tiếp theo lúc: 6 + 1 = 7 (giờ).

Số phút tiếp theo sớm nhất để một xe buýt tuyến 26 và một xe buýt tuyến 50 cùng đến sân vận động Quốc gia Mỹ Đình là bội chung nhỏ nhất của 10 và 15.

Mà BCNN(10, 15) = 30.

Khi đó sau ít nhất 30 phút thì xe buýt tuyến 26 và một xe buýt tuyến 50 cùng đến sân vận động Quốc gia Mỹ Đình.

Vậy thời điểm tiếp theo là lúc 3 giờ 30 phút chiều thì một xe buýt tuyến 26 và một tuyến xe buýt 50 cùng đến sân vận động Quốc gia Mỹ Đình.

Ta có sơ đồ:

Tổng chúng là : 1975 + 79 - 54 = 2000

Tổng số phần bằng nhau : 1 + 4 = 5 (phần)

Số bé là : 2000 : 5 = 400

Số lớn là : 2000 - 400 = 1600

Đáp số: Số bé: 400;

   Số lớn: 1600.

Chiều dài gấp rưỡi chiều rộng nghĩa là chiều dài bằng \[\frac{3}{2}\] chiều rộng.

Nếu chiều rộng thêm 20 m và chiều dài thêm 40 m thì chiều dài vẫn gấp đôi chiều rộng.

Như thế chiều dài tăng thêm:

40 - 15 = 25 (m)

25 m ứng với:

\[\frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\] (chiều rộng khi đã thêm)

Chiều rộng khi đã thêm 20 m là:

25 × 2 = 50 (m)

Chiều rộng ban đầu là:

50 - 20 = 30 (m)

Chiều dài ban đầu là:

30 × 2 = 60 (m)

Diện tích thửa ruộng là:

60 × 30 = 1800 (m²)

Đáp số: 1800 m².

a) Điều kiện xác định: x ³ 0

Ta có: \[B = \frac{{2\sqrt x + 2 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\]

Þ B Î ℤ \[ \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}\]

Với \[\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1\]

\[ \Rightarrow 0 < \frac{5}{{\sqrt x + 1}} \le 5\]

\[ \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 1}} \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].

Ta có các bảng sau:

Kết luận: x Î {16; \[\frac{9}{4}\]; \[\frac{4}{9}\]; \[\frac{1}{{16}}\]; 0} thì B nhận giá trị nguyên.

b) Điều kiện xác định: x ³ 0

x ³ 0 \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x \ge 0\\x + \sqrt x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \ge 0\](*)

Ta có: \[x \ge 0 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}}}{{\frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\]

\[ \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}\] (**)

Từ (*) và (**) \[ \Rightarrow 0 \le \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}\]

Mà C nhận giá trị nguyên Þ C = 0 \[ \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\].

Vậy với x = 0 thì C nhận giá trị nguyên.

a) \[\frac{2}{{x - 1}}\] có điều kiện x ≠ 1

Để \[\frac{2}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên thì 2 ⋮ (x - 1) Û (x - 1) Î Ư(2) = {±1; ±2}.

Ta có bảng:

Vậy với x Î {-1; 0; 1; 2; 3} thì biểu thức \[\frac{2}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên

b) \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] có điều kiện x ≠ 1.

Ta có: \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\].

Để nhận giá trị nguyên thì 1 ⋮ (x - 1) Û (x - 1) Î Ư(1) = {±1}.

Ta có bảng:

Vậy với x Î {0; 2}\[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] thì biểu thức \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên.

c) \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] có điều kiện là x ³ 0

\[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\]

Để \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] nhận giá trị nguyên thì 3 ⋮ \[\left( {\sqrt x + 1} \right)\] \[ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 3 \right) = {\rm{\{ }} \pm 1;\,\, \pm 3\} \].

Ta có bảng:

Vậy với x Î {0; 4} thì biểu thức \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] nhận giá trị nguyên.

Đáp án cần chọn là: D

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng HB; MB; MH.

Xét tam giác BCH vuông tại H có

\[\cos B = \frac{{HB}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{HB}}{{BC}} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow HB = \frac{{BC}}{2} = BM = CM\]

Xét tam giác HBM có BM = BH (cmt) và \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] nên DHBM là tam giác đều

Þ BM = BH = HM        

Suy ra ba cung HB; MB; MH bằng nhau.

Điều kiện: x Î \[\left[ {\frac{7}{2};5} \right]\]

PT Û \[\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right) + \left( {\sqrt {5 - x} - 1} \right) + \left( {\sqrt {2x - 7} - 1} \right) - \left( {x - 4} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\]

Û \[\frac{{x - 4}}{{\sqrt {x - 3} + 1}} - \frac{{x - 4}}{{\sqrt {5 - x} + 1}} + \frac{{2\left( {x - 4} \right)}}{{\sqrt {2x - 7} + 1}} - \left( {x - 4} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 3} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {5 - x} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 7} }} - 2x + 1} \right) = 0\]

Vì \[\frac{1}{{\sqrt {x - 3} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {5 - x} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {2x - 7} + 1}} - 2x + 1 \ne 0\] (với \[\forall x \in \left[ {\frac{7}{2};5} \right]\])

Þ x = 4

Vậy nghiệm của PT là x = 4

Đáp án đúng là: C

\[\sqrt {2{x^2} - 9x - 9} = 3 - x\](*)

Bình phương 2 vế (*) ta có:

2x² - 9x - 9 = (3 - x)²

Û 2x² - 9x - 9 = 9 - 6x + x²

Û x² - 3x - 18 = 0

Û x = 6 hoặc x = -3

Thay x = 6 vào (*) ta có:

\[\sqrt {{{2.6}^2} - 9.6 - 9} = 3 - 6 \Leftrightarrow 3 = - 3\] (không thoả mãn)

Thay x = -3 vào (*) ta có:

\[\sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2} - 9.\left( { - 3} \right) - 9} = 3 - \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow 6 = 6\] (thoả mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S = {-3}.

a) Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE.

DBEC có O là trung điểm DE nên OE là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Þ OE = OB = OC \[\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\].

Chứng minh tương tự, ta có OD = OB = OC \[\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\]

Þ OE = OD Þ D ODE cân tại O

DODE cân tại O có OI là trung tuyến (I là trung điểm DE) nên OI cũng là đường cao

Þ OI ^ ED hay OI ^ HK

Mà BH ^ HK, CK ^ HK

Þ OI // BH // CK Þ BCHK là hình thang

Dễ chứng minh I là trung điểm HK Þ IH = IK

Có IE + EH = IH, ID + DK = IK, mà IH = IK, IE = ID

Þ EH = DK (đpcm)

b) DABC cân tại A Þ \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} \Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB\] (cạnh huyền - góc nhọn)

Þ BE = CD. Mà AB = AC Þ \[\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{AC}}\]. Theo định lý Ta - lét:

DE // BC

Þ HK // BC mà CK // BH (vì cùng vuông góc với DE)

Þ Tứ giác BCKH là hình bình hành có: \[\widehat {BHK}\]vuông Þ BCKH là hình chữ nhật (đpcm)

\[4S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}\]

\[4S - S = \left( {1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}} \right)\]

\[3S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]

Đặt \[A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 4A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{4^{2012}}}}\]

\[4A - A = 4 - \frac{1}{{{4^{2013}}}} \Rightarrow A = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 3S = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]\[ \Rightarrow \]\[S = \frac{4}{9} - \frac{1}{{{{9.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{{3.4}^{2014}}}}\]

Vì \[\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\] nên \[\frac{4}{9} - \frac{1}{{9 \times {4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{3 \times {4^{2014}}}} < \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \]S < \[\frac{1}{2}\].

Vậy \[S < \frac{1}{2}\].

\[ \Rightarrow 4.S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 4.S - S = \left( {1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + \frac{4}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}} \right)\]

\[ \Rightarrow 3.S = 1 + \left( {\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{{{4^2}}} - \frac{2}{{{4^2}}}} \right) + \left( {\frac{4}{{{4^3}}} - \frac{3}{{{4^3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{2014}}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2013}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]

\[ \Rightarrow 3.S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]

Tính \[A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 4.A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2012}}}}\]

\[ \Rightarrow 4.A - A = 4 - \frac{1}{{{4^{2013}}}} \Rightarrow A = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 3.S = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}} \Rightarrow S = \frac{4}{9} - \frac{1}{{{{9.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\].

Vậy S < 1.

(x + 2y + z)(x + 2y – z)

= (x + 2y)² – z²

= x² + 4y + 4y² – z².

a) x² + 4x + 4 = (x + 2)²

b) (x + 2).(x² – 2x + 4) = x³ + 8

c) x³ – 6x² + 12x – 8 = (x – 2)³

d) (x + 5).(x – 5) = x² – 25

a) x² + 4x + 4 = (x + 2)²

b) (x - 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 27

c) x² – 1 = (x – 1)(x + 1)

d) 36x² + 36x + 9 = 9(2x + 1)²

A = (2 – 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) (nhân với 2 – 1 =1. Giá trị không thay đổi)

A = (2² – 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)\[\]

A = (2⁴ – 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

A = (2⁸ – 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

A = (2¹⁶ – 1)(2¹⁶ + 1)

A = 2³² – 1 < 2³² = B

Vậy A < B.

Dễ thấy

\[\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}}\].

\[\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}}\]

…………….

\[\frac{1}{{{8^2}}} = \frac{1}{{8.8}} < \frac{1}{{7.8}}\]

Cộng vế theo vế ta được:

 \[B < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{7.8}}\]

\[ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{7} - \frac{1}{8}\]

\[ = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} < 1\]

Vậy \[B = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{8^2}}} < 1\] (đpcm)

Đáp án đúng là: D

Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác OAB tìm OB

Theo định lý hàm sin, ta có:

\[\frac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}} \Leftrightarrow OB = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB}\]

\[\frac{1}{{\sin 30^\circ }}.\sin \widehat {OAB} = 2\sin \widehat {OAB}\]

Đánh giá GLTN của OB

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi \[\sin \widehat {OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ \]

Khi đó OB = 2

Đáp án cần chọn là: D

Tỉ số phần trăm của 28 và 80 là :

(28 : 80) × 100 % = 35 %

Tỉ số phần trăm của 80 và 28 là:

(80 : 28) × 100 % = 285,714...857 %

Đáp án đúng là: D

A sai vì nếu n là số lẻ thì n + 1 là số chẵn

B sai vì hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn nên tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn là số chẵn

C sai vì ba số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn là số chẵn

D đúng vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6

Đáp án đúng là: D

"n Î ℕ, n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó, luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 2.3 = 6.

Nếu đổ đầy số can 10 lít bằng với số can 6 lít thì còn thiếu:

10 × 5 - 2 = 48 (lít)

Thiếu 48 lít này do mỗi can 6 lít ít hơn:

10 - 6 = 4 (lít)

Số can 6 lít: 48 : 4 = 12 (can)

Số lít dầu: 6 × 12 = 72 (lít)

Giả sử bạn Dung mua số quyển vở gấp đôi và số bút chì cũng gấp đôi thì giá tiền là:

57 000 × 2 = 114 000 (đồng)

Vậy số bút chì bạn Dung mua nhiều hơn số bút chì bạn Công mua là:

12 - 3 = 9 (bút chì)

Số tiền mua 9 bút chì là:

114 000 - 51 000 = 63 000 (đồng)

Giá của 3 bút chì là:

63 000 : 9 × 3 = 21 000 (đồng)

Giá 10 quyển vở là:

51 000 - 21 000 = 30 000 (đồng)

Giá của 1 quyển vở là:

30 000 : 10 = 3000 (đồng)

Đáp số: 3000 đồng

Giả sử bạn Lan mua số quyển vở và số bút gấp 5 lần: 15 vở và 25 bút

Giả sử bạn Bình mua số quyển vở và số bút gấp 3 lần: 15 vở và 9 bút

Số tiền tương ứng của bạn Lan là:

51 000 × 5 = 255 000 (đồng)

Số tiền tương ứng của bạn Bình là:

53 000 × 3 = 159 000 (đồng)

Số bút bạn Lan nhiều hơn số bút bạn Bình mua là:

25 - 9 = 16 (bút)

Số tiền bạn Lan mua bút nhiều hơn số tiền bạn Bình mua là:

255 000 - 159 000 = 96 000 (đồng)

Vậy giá mua cây bút chì là:

96 000 : 16 = 6000 (đồng)

Giá mua 3 cây bút chì là:

6000 × 3 = 18 000 (đồng)

Giá mua 1 quyển vở là:

(53 000 - 18 000) : 5 = 7000 (đồng)

Đáp số: Bút chì: 6 000 đồng;

    Vở: 7000 đồng.

Gọi a là số học sinh đồng diễn sau khi đã bớt 5 học sinh thừa.

Khi đó a vừa xếp đủ hàng thành 12, và hàng 15 mà không thừa ai. Do đó A chia hết cho 12 và 15, tức là chia hết cho 3, 4, 5 (hay là bội của 3 × 4 × 5 = 60)

Xét số học sinh là 60. Số hàng 15 là 4, số hàng 12 là 5, tức là ít hơn 1 hàng.

Để ít hơn 4 hàng thì cần 60 × 4 = 240 (học sinh)

Vậy số học sinh ban đầu đồng diễn là 240 + 5 = 245 học sinh

Hàm số y = mx + 3 có các hệ số a = m, b = 3.

Hàm số y = (2m + 1)x - 5 có các hệ số a' = 2m + 1, b' = -5

Vì hai hàm số là hai hàm số bậc nhất nên a và a' phải khác 0, tức là:

m ≠ 0 và 2m + 1≠ 0 hay

m ≠ 0 và \[m \ne - \frac{1}{2}\]

Theo đề bài ta có: b ≠ b' (vì 3 ≠ -5)

Vậy đồ thị của hai hàm số là đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a ≠ a' tức là:

m = 2m + 1 Þ m = -1

Kết hợp với điều kiện ta thấy m = -1 là giá trị cần tìm

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của MN. Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt đáy.

E là hình chiếu của I lên AB.

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.DMN. K là hình chiếu của O lên SH

Đặt OI = x.

Ta có DI = \[\frac{1}{2}MN = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\]. Suy ra:

• \[OD = \sqrt {I{D^2} + O{I^2}} = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{{16}} + {x^2}} \]

• SK = SH - x = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\], KO = HI;

• EI = \[\frac{{AM + HN}}{2} = \frac{{3a}}{2}\]

• \[HI = \sqrt {E{I^2} + H{E^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{4}\]

Do đó \[SO = \sqrt {S{K^2} + K{O^2}} = \sqrt {\frac{{49{a^2}}}{{16}} - a\sqrt 3 x + {x^2}} \]

Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

SO = DO Þ \[\frac{{49{a^2}}}{{16}} - a\sqrt 3 x + {x^2} = {x^2} + 5a\]

Þ x = \[\frac{{11a}}{{4\sqrt 3 }}\]Þ R = OD = \[\frac{{a\sqrt {102} }}{6}\].