Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là:

\[60 \times \frac{3}{5} = 36\,\,\,(m)\]

 Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là:

(60 + 36) ´ 2 = 192 (m)

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

60 ´ 36 = 2160 (m²)

Đáp số: 192 m; 2160 m².

Nửa chu vi của mảnh vườn là:

120 : 2 = 60 (m)

Chiều dài của mảnh vườn là:

(60 + 20) : 2 = 40 (m)

Chiều rộng của mảnh vườn là:

40 – 20 = 20 (m)

Diện tích của mảnh vườn là:

40 ´ 20 = 800 (m²)

Đáp số: 800 m²

Chiều rộng căn phòng hình chữ nhật là:

\[8\, \times \,\frac{3}{4}\, = \,6\,\,\,(m)\]

Diện tích căn phòng hình chữ nhật là:

8 ´ 6 = 48 (m²)

Đổi: 48 m² = 4800 dm²

Diện tích viên gạch men hình vuông là:

4 ´ 4 = 16 (dm²)

Số viên gạch để lát kín căn phòng là:

4800 : 16 = 300 (viên)

Đáp số: 300 viên gạch

Ta có sơ đồ:

Hiệu số phần bằng nhau là:

4 – 3 = 1 (phần)

Chiều dài căn phòng là:

2 : 1 ´ 4 = 8 (m)

Chiều rộng căn phòng là:

8 – 2 = 6 (m)

Diện tích căn phòng là:

8 ´ 6 = 48 (m²)

Diện tích viên gạch là:

2 ´ 2 = 4 (dm²)

Đổi 48 m² = 4800 dm²

Số viên gạch cần để lát kín căn phòng là:

4800 : 4 = 1200 (viên)

Đáp số: 1200 viên gạch

Trường hợp 1: Xếp mỗi hàng 2 viên gạch sao cho chiều dài không đổi.

Chiều rộng khối gạch là:

10 ´ 2 = 20 (cm)

Chiều cao khối gạch là:

5,5 ´ 3 = 16,5 (cm)

Diện tích xung quanh khối gạch là:

(22 + 20) ´ 2 ´ 16,5 = 1386 (cm²)

Diện tích toàn phần của khối gạch là:

1386 + 22 ´ 20 ´ 2 = 2266 (cm²)

Trường hợp 2: Xếp mỗi hàng 2 viên gạch sao cho chiều rộng không đổi.

Chiều dài khối gạch là:

22 ´ 2 = 44 (cm)

Chiều cao khối gạch là:

5,5 ´ 3 = 16,5 (cm)

Diện tích xung quanh khối gạch là:

(44 + 10) ´ 2 ´ 16,5 = 1782 (cm²)

Diện tích toàn phần của khối gạch là:

1782 + 44 ´ 10 ´ 2 = 2662 (cm²)

Đáp số: Trường hợp 1: 1386 cm²; 2266 cm²

             Trường hợp 2: 1782 cm²; 2662 cm²

Chu vi mặt đáy là:

(5 + 3) ´ 2 = 16 (m)

Diện tích xung quanh là:

16 ´ 4,5 = 72 (m²)

Đáp số: 72 m²

Số bị trừ là:

7652 : 2 = 3826

Tổng của số trừ và hiệu bằng 3826.

Ta có sơ đồ:

Hiệu là:

(3826 + 798) : 2 = 2312

Số trừ là:

3826 – 2312 = 1514

Đáp số: 3826; 1514; 2312

Số bị trừ là:

2000 : 2 = 1000

Tổng của số trừ và hiệu bằng 1000.

Ta có sơ đồ:

Số trừ là:

(1000 + 200) : 2 = 600

Hiệu là:

1000 – 600 = 400

Đáp số: 1000; 600; 400

Thay a lần lượt bằng 1, 2, 3, 4 vào biểu thức 3 ´ A > 6

Chọn a = 1 ta được 3 ´ 1 = 3 < 6

Chọn a = 2 ta được 3 ´ 2 = 6

Chọn a = 3 ta được 3 ´ 3 = 9 > 6

Chọn a = 4 ta được 3 ´ 4 = 12 > 6

Vậy số tự nhiên a bé nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.

Thay x lần lượt bằng 4, 5, 6, 7, 8 vào biểu thức 0,5 ´ x < 4

Chọn x = 4 ta được 0,5 ´ 4= 2 < 4

Chọn x = 5 ta được 0,5 ´ 5 = 2,5 < 4

Chọn x = 6 ta được 0,5 ´ 6 = 3 < 4

Chọn x = 7 ta được 0,5 ´ 7 = 3,5 < 4

Chọn x = 8 ta được 0,5 ´ 8 = 4

Vậy số tự nhiên x bé nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4.

A = xyz + xz – yz – z + xy + x – y – 1

= z(xy + x – y – 1) + (xy + x – y – 1)

= (z + 1)(xy + x – y – 1)

= (z + 1)[x(y + 1) – (y + 1)]

= (z + 1)(y + 1)(x – 1)

Vậy A = (z + 1)(y + 1)(x – 1)

B = xyz + xz – yz – z + xy + x – y – 1

= z(xy + x – y – 1) + (xy + x – y – 1)

= (z + 1)(xy + x – y – 1)

= (z + 1)[x(y + 1) – (y + 1)]

= (z + 1)(y + 1)(x – 1)

Thay x = 11; y = 19; z = 29 ta có:

B = (29 + 1)(19 + 1)(9 – 1)

= 30. 20. 10

= 600. 10

= 6000

Vậy B = 6000

Số km mà ô tô đi được trong 4 giờ là:

40 × 4 = 160 (km)

Đáp số: 160 km

Chiều dài quãng đường A B là:

50 × 4 = 200 (km)

Đáp số: 200 km.

Đổi 6 giờ = 6 × 60 = 360 (phút)

6 giờ 25 phút = 360 + 25 = 385 (phút)

Đáp số: 385 phút.

180 phút = 180 : 60 = 3 (giờ)

Đáp số: 3 giờ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

• \[{(a + b)^2} \ge 4ab\]\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}}\,\,\,\,\,(1)\]

• \[{(b + c)^2} \ge 4bc\]\[ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{4} \ge \frac{{bc}}{{b + c}}\,\,\,\,\,(2)\]

• \[{(c + a)^2} \ge 4ac\]\[ \Leftrightarrow \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ca}}{{c + a}}\,\,\,\,\,(3)\]

Cộng 3 vế (1); (2) và (3) ta có:

\[\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}}\]

Hay \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{(a + b) + (b + c) + (c + a)}}{4}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{2(a + b + c)}}{4}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]   (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Vậy \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

• \[{(a + b)^2} \ge 4ab\]\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}}\,\,\,\,\,(1)\]

• \[{(b + c)^2} \ge 4bc\]\[ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{4} \ge \frac{{bc}}{{b + c}}\,\,\,\,\,(2)\]

• \[{(c + a)^2} \ge 4ac\]\[ \Leftrightarrow \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ca}}{{c + a}}\,\,\,\,\,(3)\]

Cộng 3 vế (1); (2) và (3) ta có:

\[\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}}\]

Hay \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{(a + b) + (b + c) + (c + a)}}{4}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{2(a + b + c)}}{4}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Do đó, giá trị lớn nhất của A = 3 Û a = b = c = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của A = 3.

8 người trong 1 giờ sơn được số cái nhà là:

\[3:6 = \frac{1}{2}\] (cái nhà)

8 người trong 12 giờ sơn được số cái nhà là:

\[\frac{1}{2} \times 12 = 6\] (cái nhà)

12 người trong 12 giờ sơn được số cái nhà là:

\[6:8 \times 12 = 9\] (cái nhà)

Đáp số: 9 cái nhà

Áp dụng quy tắc chia hết cho 13 ta có:

65 + (0 × 4) = 65 (chia hết cho 13)

Vậy 650 chia hết cho 13.

Áp dụng quy tắc chia hết cho 13 ta có:

674 – 453 + 2 = 223 (không chia hết cho 13)

Vậy 2,453,674 không chia hết cho 13.

Cạnh thứ hai dài là:

11,5 + 0,6 = 12,1 (cm)

Cạnh thứ ba dài là:

11,5 – 0,9 = 10,6 (cm)

Chu vi hình tam giác đó là:

11,5 + 12,1 + 10,6 = 34,2 (cm)

Đáp số: 34,2 cm

Cạnh thứ hai dài là:

5 ´ 2,4 = 12 (cm)

Cạnh thứ ba dài là:

30 – 12 – 5 = 13 (cm)

Đáp số: 13 cm.

Ta có sơ đồ:

Độ dài mảnh vải thứ 2 là:

2,75 × 3 = 8,25 (m)

Độ dài mảnh vải thứ 3 là

8,25 – 0,86 = 7,39 (m)

Tổng độ dài của 3 mảnh vải là

2,75 + 8,25 + 7,39 = 18,39 (m)

Đáp số: 18,9 m

Ta có: \[40\% = \frac{{40}}{{100}} = \frac{2}{5}\]

Ta có sơ đồ:

Tỉ số giữa mảnh vải thứ nhất và mảnh vải thứ hai bằng \[\frac{2}{5}\]

Theo đề bài ta có:

Hiệu số phần bằng nhau:

5 – 2 = 3

Mảnh vải thứ nhất dài:

2,7 × 3 = 1,8 (m)

Mảnh vải thứ hai dài:

1,8 + 2,7 = 4,5 (m)

Đáp số: 1,8 m; 4,5 m

Cân nặng của 10 lít dầu hoả là:

10 × 0,8 = 8 (kg)

Sô cân nặng của cả can dầu là:

8 + 1,3 = 9,3 (kg)

Đáp số: 9,3 kg

Cân nặng của 10 lít nước là;

10 × 1 = 10 (kg)

Số cân nặng của cả xô nước là:

10 + 0,5 = 10,5 (kg)

Đáp số: 10,5 kg

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

24 × \[\frac{1}{2}\] = 12 (m)

Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là:

(24 + 12) × 2 = 72 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

24 × 12 = 288 (m²)

Đáp số: Chu vi: 72 m, Diện tích: 288 m²

Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là:

120 : 8 = 15 (m)

Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là:

(8 + 15) × 2 = 46 (m)

Đáp số: 46 m

Đặt x = a – b; y = b – c; z = c – a thì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0

Ta có \[\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\]

= \[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\,\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\]

= \[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\,\frac{{x + y + z}}{{xyz}}\]

= \[{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2}\]

= \[{\left( {\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{c - a}}} \right)^2}\] là bình phương của một số hữu tỉ

Vậy \[\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b - c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c - a)}^2}}}\] bằng bình phương của một số hữu tỉ.

Gọi số học sinh các lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt là a, b, c, d (học sinh)

(a, b, c, d Î ℕ^*)

Ta có: \[\frac{a}{{11}} = \frac{b}{{12}} = \frac{c}{{13}} = \frac{d}{{14}}\]và 2b – a = 39

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{a}{{11}} = \frac{b}{{12}} = \frac{{2b - a}}{{12.2 - 11}} = \frac{{39}}{{13}} = 3\]

­Ta có:

\[\frac{a}{{11}} = 3\] suy ra a = 3.11 = 33 (tmđk)

\[\frac{b}{{12}} = 3\] suy ra b = 3. 12 = 36 (tmđk)

\[\frac{c}{{13}} = 3\]suy ra c = 3. 13 = 39 (tmđk)

\[\frac{d}{{14}} = 3\]suy ra d = 3.14 = 42 (tmđk)

Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt là 33, 36, 39, 42 học sinh.

Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) (x, y, z Î ℕ^*)

Vì số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 21, 20, 22 nên:

\[\frac{x}{{21}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{22}}\]

Vì số học sinh lớp 7C nhiều hơn lớp 7A 2 học sinh nên: z – x = 2

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{x}{{21}} = \frac{y}{{20}} = \frac{z}{{22}} = \frac{{z - x}}{{22 - 21}} = 2\]

Suy ra x = 21. 2 = 42 (tmđk), y = 20. 2 = 40 (tmđk), z = 22. 2 = 44 (tmđk)

Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 42, 40, 44 học sinh.

Tổng của 3 số đó là:

25,42 × 3 = 76,26

Số thứ nhất là:

76,26 – 58,5 = 17,76

Số thứ 2 là:

17,76 + 7,4 = 24,8

Số thứ 3 là:

58,5 – 24,8 = 33,7

Đáp số: số thứ nhất: 17,76

Số thứ 2: 24,8

Số thứ 3: 33,7.

Tổng của 3 số là:

13,5 × 3 = 40,5

Số thứ 3 là:

40,5 – 29,1 = 11,4

Số thứ 1 là: 40,5 – 24,5 = 16

Số thứ 2 là: 40,5 – 11,4 – 16 = 13,1

Đáp số: Số thứ nhất:16

Số thứ 2: 13,1

Số thứ 3: 11,4.

Ta có: \[(3n + 10)\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\]

\[ \Rightarrow [2(3n + 10)]\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\]

\[ \Rightarrow (6n + 20)\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\]

\[ \Rightarrow (6n + 3 + 17)\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\]

\[ \Rightarrow [3(2n + 1) + 17)]\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\]

Vì \[[3(2n + 1)]\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\] nên \[17\,\, \vdots \,\,(2n + 1)\]

Þ (2n + 1) ∈ Ư(17)

Þ (2n + 1) = { -17; -1; 1; 17}

Þ n = {-9; -1; 0; 8}

Vậy n = {-9; -1; 0; 8}

\[ \Rightarrow \overline {bddbc} - \overline {abcd} = \overline {abc} \]

\[ \Rightarrow \overline {bddbc} = \overline {abcd} + \overline {abc} \]

Phép cộng ở hàng đơn vị: d + c = c. Suy ra d = 0

Phép cộng ở hàng chục: c + b = b. Suy ra c = 0

Giả sử phép cộng ở hàng trăm: b + a = d không nhớ 1 thì a khác \[\overline {bd} \]

Do đó phép cộng ở hàng trăm: b + a = d nhớ 1

Suy ra a + 1 = \[\overline {bd} \]

Suy ra a = 9 và b = 1

Vậy \[\overline {abcd} = 9100\]

Vì 3(n + 1) chia hết cho n + 1 nên để 3n + 13 chia hết cho 1 thì 10 phải chia hết cho n + 1 hay n + 1 là bội ước của 10.

Ta có: 10 = 2 ´ 5 nên các ước của 10 là: Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.

Ta có bảng sau:

Vậy n ∈{0; 1; 4; 9}.

Vì 5n + 19 chia hết cho 2n + 1 nên 2(5n + 19) chia hết cho 2n + 1

Xét 2(5n + 19) = 10n + 38 = 10n = 5 + 33 = 5(2n + 1) + 33

Vì 5(2n + 1) chia hết cho 2n + 1 nên để 2(5n + 19) chia hết cho 2n thì 33 chia hết cho 2n + 1 hay 2n +1 ∈ Ư(33).

Ta có bảng sau:

Vậy n ∈{0; 1; 5; 16}.

Gọi số cần lập có dạng:

\[\mathbb{N} = \overline {abcd} \,(1 \le a,b,c,d \le 9).\]

Ta có: ℕ ⁝ 15

⇒ ℕ ⁝ 3 và ℕ ⁝ 5

+ ℕ ⁝ 5 Þ d = 5

+ ℕ ⁝ 3 Þ (a + b + c + 5) ⁝ 3

Chọn a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn thì:

+ Nếu a + b + c + 5 chia hết cho 3 thì

c ∈ {3; 6; 9}Þ c có 3 cách chọn

+ Nếu a + b + c + 5 chia hết cho 3 dư 1 thì:

c ∈ {2; 5; 8}Þ c có 3 cách chọn

+ Nếu a + b + c + 5 chia hết cho 3 dư 2 thì:

c ∈ {1; 4; 7}Þ c có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có:

9. 9. 3 = 243 (số)

Đáp số: 243 số

a) Cứ một đội lại đấu với x – 1 đội khác tạo x – 1 trận.

Có tất cả x đội và mỗi trận lặp lại hai lần nên tổng số trận thi đấu là:

\[\frac{{x(x - 1)}}{2}\] (trận)

b) Khi số trận là 10 ta có:

\[\frac{{x(x - 1)}}{2} = 10\]

Suy ra x(x – 1) = 20

Suy ra x² – x – 20 = 0

Suy ra x² – 5x + 4x – 20 = 0

Suy ra x(x – 5) + 4(x – 5) = 0

Suy ra (x – 5)(x + 4) = 0

Vì x > 0 nên x + 4 > 0. Do đó: x – 5 = 0

Suy ra x = 5 (tmđk)

Vậy có 5 đội tham dự.

\[{x^2} - x + 1 = \,\,\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4}\]

\[ = \,\,{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\]

Với mọi giá trị của x ta có:

\[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow \,{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\] (đpcm)

Vậy x_­² – x + 1 > 0 với mọi x.

Gọi (a, b) = d, a = dm, b = dn, (m, n) = 1, m, n Î ℕ^*

Þ [a, b] = a . b : (a, b)

Theo đề bài ta có:

[a, b] + (a, b) = 55

Thay vào ta có:

dm.dn : d + d = 55

⇒ d.mn + d = 55

⇒ d(mn + 1) = 55

Vì d, m, n ϵ N*. Giả sử a > b thì m > n, ta có bảng sau:

Đkxđ: \[x \ne 2,\,\,x \ne 3\]

\[\frac{{2x}}{{x - 2}} + \frac{5}{{3 - x}} = \frac{5}{{{x^2} - 5x + 6}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2x(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}}\frac{{5(x - 2)}}{{(x - 2)(x - 3)}}\frac{5}{{(x - 2)(x - 3)}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 6x - 5x + 10}}{{(x - 2)(x - 3)}} = 0\]

\[ \Rightarrow 2{x^2} - 11x + 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow (2{x^2} - 10x) - (x - 5) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2x(x - 5) - (x - 5) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 5)(2x - 1) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5(tm)\\x = \frac{1}{2}(tm)\end{array} \right.\]

Vậy \[x = \left\{ {5;\,\,\frac{1}{2}} \right\}\]

Ta có: 40 : 6 = 6 dư 4

⇒ Có thể xếp 6 nhóm đủ 6 học sinh và thừa 4 học sinh 

⇒ Cần số nhóm đủ cho 4 học sinh nữa là: 6 + 1= 7 (nhóm)

Vậy số nhóm ít nhất có thể là 7 nhóm.

Ta có: 65 : 11 = 5 dư 10

⇒ Có thể xếp 5 nhóm đủ 11 cầu thủ và thừa 10 cầu thủ 

⇒ Cần số nhóm đủ cho 10 cầu thủ nữa là: 5+1= 6 (nhóm)

Vậy số nhóm ít nhất có thể là 6 nhóm.

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x³ + y³ ≥ x²y + xy²

⇔ (x³ + y³) – (x²y + xy²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y²) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y² – xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – 2xy + y²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)² ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 và (x – y)² ≥ 0)

Dấu “ = “ xảy ra khi (x – y)² = 0 ⇔ x = y

Ta có:

x³ – x²y – xy² + y³

= x²(x – y) – y²(x – y)

= (x² – y²)(x – y)

= (x – y)²(x + y)

Số đó nếu giảm đi 5 lần thì được số mới là:

41,72 + 32,28 = 74

Số cần tìm là:

74 ´ 5 = 370

Đáp số: 370

Số đó nếu chia cho 4 thì được số mới là:

89 – 9 = 80

Số cần tìm là:

80 ´ 4 = 320

Đáp số: 320

(1,1 ´ 1,2 ´ 1,3 ´ 1,4 ´ 1,5 ´ 1,6) ´ (1,25 - 0,25 ´ 5)

= (1,1 ´ 1,2 ´ 1,3 ´ 1,4 ´ 1,5 ´ 1,6) ´ (1,25 – 1,25)

= (1,1 ´ 1,2 ´ 1,3 ´ 1,4 ´ 1,5 ´ 1,6) ´ 0 = 0

a) 7,15 : 0,5 + 7,15 ´ 9 – 7,15

= 7,15 ´ 2 + 7,15 ´ 9 – 7,15

= 7,15 ´ (2 + 9 – 1)

= 7,15 ´ 10

= 71,5.

b) 198 ´ 27 + 198 ´ 72 + 198

= 198 ´ 27 + 198 ´ 72 + 198 ´ 1

= 198 ´ ( 27 + 72 + 1 )

= 198 ´ 100

= 19800.

Ta có: \[A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{63}}\]

\[ = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{64}} - \frac{1}{{64}}\]

\[ = \left( {1 + \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} + ... + \frac{1}{{64}}} \right) - \frac{1}{{64}}\]

\[ \Rightarrow A > 1 + \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{8} + ... + 32 \times \frac{1}{{64}} - \frac{1}{{64}}\]

\[ \Rightarrow A > 1 + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) - \frac{1}{{64}}\]

\[ \Rightarrow A > 1 + 3 - \frac{1}{{64}}\]

\[ \Rightarrow A > 3 + \left( {1 - \frac{1}{{64}}} \right)\]

Mà \[1 - \frac{1}{{64}} > 0\] nên A > 3

Vậy A > 3

\[A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\]

\[A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\]

\[A = \frac{5}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\]

\[A = \frac{5}{6} + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{6}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{49}} - \frac{1}{{48}}} \right) - \frac{1}{{50}}\]

\[\frac{1}{5} - \frac{1}{4} < 0\]

\[\frac{1}{7} - \frac{1}{6} < 0\]

...

\[\frac{1}{{49}} - \frac{1}{{48}} < 0\]

Do đó \[A < \frac{5}{6}\]

Vậy \[A < \frac{5}{6}\]

a) (x – 2)(x – 4) = 0

TH1: x – 2 = 0

x = 0 + 2

x = 2

TH2: x – 4 = 0

x = 0 + 4

x = 4

Vậy \[x = \left\{ {2;4} \right\}\]

b) x²(x – 3) = 0

TH1: x² = 0

x = 0

TH2: x – 3 = 0

x = 0 + 3

x = 3

Vậy x ∈ {0; 3}.

a) x³ – 2x² – 5x + 6

= x³ – x² – x² + 1 – 5x + 5

= x²(x – 1) – (x – 1)(x + 1) – 5(x – 1)

= (x – 1)(x² – x – 1 – 5)

= (x – 1)(x² – x – 6)

= (x – 1)(x² – 3x + 2x – 6)

= (x – 1)[x(x – 3) + 2(x – 3)]

= (x – 1)(x + 2)(x – 3)

b) x⁴ – 16

= (x² – 4)(x² + 4)

= (x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Một người làm xong công việc hết số ngày là:

4 × 12 = 48 (ngày)

16 người làm xong công việc hết số ngày là:

48 : 16 = 3 (ngày)

Đáp số: 3 ngày.

Một người làm xong công việc hết số ngày là:

8 × 12 = 96 (ngày)

Số người cần làm xong công việc trong vòng 3 ngày là:

96 : 3 = 32 (ngày)

Đáp số: 32 ngày

Ta có: A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ….+ 3⁹⁹

A = (1 + 3) + (3² + 3³) + …. + (3⁹⁸ + 3⁹⁹)

A = 4 + 3²(1 + 3) + …. + 3⁹⁸(1+3)

A = 4 + 3² ´ 4 + ….+ 3⁹⁸ ´ 4

A = 4 ´ (1 + 3² + …. + 3⁹⁸)

Vậy A chia hết cho 4.

Ta có: B = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ….+ 4⁵⁰

B = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + …. + (4⁴⁸ + 4⁴⁹ + 4⁵⁰)

B = (1 + 4 + 4²) + 4³(1 + 4 + 4²) + …. + 4⁴⁸(1 + 4 + 4²)

B = 21 + 21 ´ 4³ + …. + 21 ´ 4⁴⁸

B = 21 ´ (1 + 4³ + …. + 4⁴⁸)

Vậy B chia hết cho 21.

\[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right)\]

\[ = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\frac{{a + b + c}}{{abc}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\frac{0}{{abc}}\]

\[ = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2}\] (đpcm)

Thay ab + bc + ca = 1 và Q ta được:

Q = ( a² + ab + ac + bc) (b² + ab + ac + bc) (c² + ab + ac + bc)

= (a + b) (a + c) (b + c) (a + b) (a + c) (b + c)

= [(a + b) (a + c) (b + c)]² là bình phương của một số hữu tỉ (đpcm).

\[ \Leftrightarrow 3x(x + y) - 17 = 9x - 2(x + y)\]

\[ \Leftrightarrow (x + y)\,(3x + 2) = 17 + 9x\]

\[ \Leftrightarrow (x + y)\,(3x + 2) = 3(3x + 2) + 11\]

\[ \Leftrightarrow (3x + 2)\,(x + y - 3) = 11\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 11\\x + y - 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = - 1\\x + y - 3 = - 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = - 11\\x + y - 3 = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 1\\x + y - 3 = 11\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Vậy (x; y) = {(3; 1); (–1; –7)}

\[2{x^2} + 2xy + {y^2} - 4x + 2y + 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {(x + y + 1)^2} + {(x - 3)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\x + y + 1 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 4\end{array} \right.\]

Vậy (x; y) = (3; – 4)

\[A = \frac{{100 - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

Xét các mẫu số của dãy phân số: \[\frac{1}{1};\frac{1}{2};...;\frac{1}{{100}}\]

Ta có dãy số: 1; 2;...; 100

Dãy số trên có số hạng là: (100 – 1) : 1 + 1 = 100 (số)

Tách 100 thành tổng 100 số 1 rồi nhóm lần lượt với từng phân số thuộc dãy phân số trên khi đó ta có:

\[A = \frac{{100 - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

\[A = \frac{{(1 - 1) + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

\[A = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}... + \frac{{99}}{{100}}}}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}... + \frac{{99}}{{100}}}}\]

\[A = 1\]

Vậy A = 1

Ta có: a.b = a + b nên:

\[\begin{array}{l}a.b - a = b\\ \Leftrightarrow a(b - 1) = b\\ \Rightarrow a = \frac{b}{{b - 1}} = \frac{{b - 1 + 1}}{{b - 1}} = \frac{{b - 1}}{{b - 1}} + \frac{1}{{b - 1}}\end{array}\]

Þ b – 1 thuộc Ư(1)

Nếu b – 1 = 1 thì b = 2 suy ra a = 2

Nếu b – 1 = –1 thì b = 0 suy ra a = 0

Vậy (a,b) = (2,2); (0,0)

Biến đổi vế phải ta có:

VP = y⁴ – 6y³ + 11y² – 6y = (y – 1) (y – 2) (y – 3) = (x – 2019)²

Þ y – 1, y – 3 là 3 số nguyên liên tiếp.

Mà tích của 3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương

Þ x – 2019 = 0

y – 1 = 0 hoặc y – 2 = 0 hoặc y – 3 = 0

Vậy ta có các cặp x, y là (2019 : 1) hoặc (2019 : 2) hoặc (2019 : 3).

Đồ thị hàm số đi qua A(2;2)

Þ 2 = log_a2

Þ a² = 2

Þ \[a = \sqrt 2 \]

Vậy \[a = \sqrt 2 \]

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Do y = a^x và y = b^x là hai hàm đồng biến nên a, b > 1

Do y = c^x nghịch biến nên c < 1.

Suy ra c < a, b

Mặt khác: Lấy x = m, khi đó tồn tại y₁, y₂ > 0 sao cho \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^m} = {y_1}}\\{{b^m} = {y_2}}\end{array}} \right.\]

Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy y₂ > y₁ hay b^m > a^m

Mà y =a^x và y = b^x là hai hàm đồng biến

Suy ra b > a

Vậy b > a > c

Đáp án đúng là: C

Số dư là:

1593,48 – 56,9 ´ 28 = 0,28

A = x(x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)(x – 5)

Tại x = 3 ta có:

A = 3(3 – 1)(3 + 2)(3 – 3)(3 + 4)(3 – 5)

A = 0 (vì 3 – 3 = 0)

Vậy A = 0

 \[{x^3} - 2x + 4 = \sqrt {{x^2} + 4x + 4} \]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - 2x + 4 = \sqrt {{{(x + 2)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - 2x + 4 = \left| {x + 2} \right|\]

Vì x > 0 nên x + 2 > 0

Û x³ – 2x + 4 = x + 2

Û x³ – 2x + 4 – x – 2 = 0

Û x³ + 8 – 2x – 4 – x – 2 = 0

Û (x + 2)(x² – 2x + 4) – 2(x + 2) – (x + 2) = 0

Û (x + 2)(x² – 2x + 4 – 2 – 1) = 0

Û (x + 2)(x² – 2x + 1) = 0

Û (x+2)(x – 1)² = 0

\[ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 0}\\{{{(x - 1)}^2} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 0}\\{x - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2\,\,\,(L)}\\{x = 1\,\,\,(tm)}\end{array}} \right.\]

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: 10051,84 : 264 = 1005184 : 26400 = 38,07 (lấy 2 chữ số phần thập phân)

Số dư là:

10051,84 – 38,07 × 264 = 10051,84 – 10050,48 = 1,36

Vậy số dư là 1,36.