Chia hình chữ nhật thành 3 hình vuông bằng nhau

Diện tích một hình vuông là:

48 : 3 = 16 (cm²)

Cạnh của hình vuông đó là 4 cm (vì 4 × 4 = 16)

Vậy chiều rộng hình chữ nhật bằng 4 cm, chiều dài là:

4 × 3 = 12 (cm)

Chu vi hình chữ nhật là:

(12 + 4) × 2 = 32 (cm)

Đáp số: 32 cm

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, vậy chiều dài sẽ là 3a. Chu vi là 48 cm.

Do vậy: (a + 3a) × 2 = 48

Tức là: 8a = 48

Vậy a là: 48 : 8 = 6 (cm)

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm, chiều dài là: 6 × 3 = 18 cm

Diện tích hình chữ nhật là: 6 × 18 = 108 (cm²)

Đáp số: 108 cm²

Chiều dài hình chữ nhật:

36 : 3 × 5 = 60 (cm)

Sợi dây thép đó dài:

(60 + 36) × 2 = 192 (cm)

Đổi: 192 cm = 1,92 m

Đổi: 5 km 60 dam = 5 600 m

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là:

5600 : 2 = 2 800 (m)

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là:

(2 800 + 800) : 2 = 1 800 (m)

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

1800 - 800 = 1 000 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

1 800 × 1 000 = 1 800 000 (m²)

Đáp số: 180 000 m²

Đổi: 5 km 60 dam = 5 600 m

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là:

5600 : 2 = 2 800 (m)

Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là:

(2 800 + 800) : 2 = 1 800 (m)

Chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là:

1800 - 800 = 1 000 (m)

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

1 800 × 1 000 = 1 800 000 (m²) = 180 (ha)

Đáp số: 180 ha

Số bộ bàn ghế xưởng mộc làm trong hai mươi bốn giờ là:

15 × 24 = 360 (bộ bàn ghế)

số ngày xưởng mộc đó làm để hoàn thành kế hoạch là:

360 : 20 = 18 (ngày)

Đáp số: 18 ngày.

Số bộ bàn ghế cần phải đóng là:

12 × 30 = 360 (bộ)

Thực tế, số ngày để hoàn thành kế hoạch là:

360 : 18 = 20 (ngày)

Đáp số: 20 ngày

Số thóc thửa ruộng thứ hai thu hoạch được số ki - lô - gram thóc là:

1 070 + 386 = 1 456 (kg)

Trung bình mỗi thửa ruộng thu hoạch được số ki - lô - gam thóc là:

(1 070 + 1 456) : 2 = 1 263 (kg)

Đáp số: 1 263 kg thóc

Đặt x² + x + 1991 = a² (với a > 0)

Û 4x² + 4x + 7964 = 4a²

Û (2x + 1)² + 7963 = 4a²

Û (2x + 1)² − 4a² = 7963

Û (2x + 1 − 2a)(2x + 1 + 2a) = −7963

Mà 7963 là số nguyên tố nên suy ra

+) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 1\\2x + 1 + 2a = 7963\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 1\\x + a = 3981\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1990\\a = 1991\end{array} \right.\)

+) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 7963\\2x + 1 + 2a = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 3982\\x + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1991\\a = 1991\end{array} \right.\)

Vậy x = 1990 và x = −1991 là các giá trị của x thỏa mãn

Đặt x² + x + 6 = a² (với a > 0)

Û 4x² + 4x + 24 = 4a²

Û (2x + 1)² + 23 = 4a²

Û (2x + 1)² − 4a² = 23

Û (2x + 1 − 2a)(2x + 1 + 2a) = −23

Mà 7963 là số nguyên tố nên suy ra

+) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 1\\2x + 1 + 2a = 23\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 1\\x + a = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\a = 6\end{array} \right.\)

+) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 23\\2x + 1 + 2a = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 12\\x + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\a = 6\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 và x = −6 là các giá trị của x thỏa mãn

Cha có số tuổi là:

(56 + 28) : 2 = 42 (tuổi)

Con có số tuổi là:

56 − 42 = 14 (tuổi)

Đáp số: cha: 42 tuổi; con: 14 tuổi

Lúc cha sinh ra con là 27 tuổi. Vậy cha hơn con 27 tuổi

Tuổi cha là:

(53 + 27) : 2 = 40 (tuổi)

Tuổi con là:

53 − 40 = 13 (tuổi)

Đáp số: cha: 40 tuổi; con: 13 tuổi

Ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} \Rightarrow y = \frac{{3x}}{2}\)

Thế vào phương trình x² + y² = 52 ta có

\({x^2} + {\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)^2} = 52\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \frac{9}{4}{x^2} = 52\)

\( \Leftrightarrow \frac{{13}}{4}{x^2} = 52\)

Û x² = 16

Û x = ± 4

+) Với x = 4 Þ y = 6

+) Với x = −4 Þ y = −6

Vậy hệ phương trình có hai tập nghiệm (x; y) là (4; 6) và (−4; −6).

Ta có: 2x = 3y \( \Leftrightarrow x = \frac{{3y}}{2}\)

Thế vào phương trình x² + y² = 52 ta có

\({\left( {\frac{{3y}}{2}} \right)^2} + {y^2} = 52\)

\( \Leftrightarrow \frac{9}{4}{y^2} + {y^2} = 52\)

\( \Leftrightarrow \frac{{13}}{4}{y^2} = 52\)

Û y² = 16

Û y = ± 4

+) Với y = 4 Þ x = 6

+) Với y = −4 Þ x = −6

Vậy hệ phương trình có hai tập nghiệm (x; y) là (6; 4) và (−6; −4).

1 ha = 10 000 km²

\(\frac{1}{{10}}\;k{m^2} = \frac{1}{{100\,000}}\;ha\)

Đổi: 1 hm 25 m = 125 m

Chiều cao của khu đất hình bình hành là:

\(125 \times \frac{4}{5} = 100\;\left( m \right)\)

Diện tích khu đất hình bình hành là:

100 × 125 = 12 500 (m²) = 125 (dam²)

Đáp số: 125 dam².

a) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2²) + 2²(2 + 2²) + ... + 2⁵⁸(2 + 2²)

= (2 + 2²)(1 + 2² + ... + 2⁵⁸)

= 6(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3.

b) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2² + 2³) + 2³(2 + 2² + 2³) + ... + 2⁵⁷(2 + 2² + 2³)

= (2 + 2² + 2³)(1 + 2³ + ... + 2⁵⁷)

= 14(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7.

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 259 + 2⁶⁰)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁵⁶(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴)(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶)

= 30(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶) ⋮ 15

Vì (15, 7) = 1 nên A chia hết cho 7 × 15

Vậy A ⋮ 105.

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= (2 + 2²) + 2²(2 + 2²) + ... + 2⁵⁸(2 + 2²)

= (2 + 2²)(1 + 2² + ... + 2⁵⁸)

= 6(1 + 2² + ... + 2⁵⁸) ⋮ 6

Vậy A ⋮ 6.

Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là:

100 : 4 = 25 (cm²)

Ta có 25 = 5 × 5

Do đó cạnh của mỗi hình vuông nhỏ là 5 cm.

Chu vi hình vuông nhỏ là: 5 × 4 = 20 (cm)

Cạnh hình vuông lớn là:

36 : 4 = 9 (cm)

Diện tích hình vuông lớn là:

9 × 9 = 81 (cm²)

Vì hình vuông lớn được cắt thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau

Diện tích một hình vuông bé là:

81 : 4 = 20,25 (cm²)

Cạnh hình vuông bé là: 4,5 (cm)

Chu vi hình vuông bé là:

4,5 × 4 = 18 (cm)

Chu vi bốn hình vuông bé là:

18 × 4 = 72 (cm)

Đáp số: 72 cm

a) Ta có :

• 23! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11…23 chia hết cho 11, 10

• 19! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11…19 chia hết cho 11, 10

• 15! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11…15 chia hết cho 11, 10

Nên B = 23! + 19! − 15! chia hết cho 11 và 10

b) Do (11, 10) = 1 nên  B chia hết cho 11 × 10 hay B chia hết cho 110. 

a) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^9} + {4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^9}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\)

\( = 21\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\; \vdots \;21\)

Vậy A ⋮ 21.

b) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

\( = \left( {1 + 4} \right) + \left( {{4^2} + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right) + {4^2}\,.\,\left( {1 + 4} \right) + ... + {4^{10}}\,.\,\left( {1 + 4} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right)\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\; \vdots \;5\)

Vậy A ⋮ 5

Với A ⋮ 5 và A ⋮ 21 mà ƯCLN(5; 21) = 1 nên A ⋮ 5 × 21 hay A ⋮ 105.

c) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + \left( {4 + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^8} + {4^{10}}} \right) + \left( {{4^9} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right) + 4\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + ... + {4^8}\,.\,\left( {1 + {4^2}} \right) + {4^9}\left( {1 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\)

\( = 17\,.\,\left( {1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}} \right)\; \vdots \;17\)

Vậy A ⋮ 17.

Xét \(B = 1 + 4 + {4^4} + {4^5} + {4^8} + {4^9}\)

\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + \left( {4 + {4^5} + {4^9}} \right)\)

\( = \left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) + 4\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^4} + {4^8}} \right) = 5\,\,.\,\,65\,\,793\)

Vì 65793 ⋮ 241 nên B ⋮ 241 suy ra A ⋮ 241.

Với A ⋮ 17 và A ⋮ 241 mà ƯCLN(17; 241) = 1 nên A ⋮ 17 × 241 hay A ⋮ 4097.

Ta có: A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹¹

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4} + {4^5}} \right) + ... + \left( {{4^9} + {4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + {4^3}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right) + ... + {4^9}\,.\,\left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4 + {4^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\)

\( = 21\,.\,\left( {1 + {4^3} + ... + {4^9}} \right)\; \vdots \;21\)

Vậy A ⋮ 21

Lại có: \(A = 1 + 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{11}}\)

\( = \left( {1 + 4} \right) + \left( {{4^2} + {4^3}} \right) + ... + \left( {{4^{10}} + {4^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right) + {4^2}\,.\,\left( {1 + 4} \right) + ... + {4^{10}}\,.\,\left( {1 + 4} \right)\)

\( = \left( {1 + 4} \right)\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\)

\( = 5\,.\,\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{10}}} \right)\; \vdots \;5\)

Vậy A ⋮ 5

Với A ⋮ 5 và A ⋮ 21 mà ƯCLN(5; 21) = 1 nên A ⋮ 5 × 21 hay A ⋮ 105.

Gọi số con gà là x (con), số con mèo là y (con) (x, y ∈ ℕ*; x, y ≤ 54)

Theo bài ra ta có:

x + y = 54 Þ x = 54 − y (*)

Tổng số chân gà và chó là:

2x + 4y = 154       (1)

Thay (*) vào (1) ta được biểu thức:

2(54 − y) + 4y = 154

Û 108 − 2y + 4y = 154

Û 2y = 46

Û y = 23 (TMĐK)

Hay số mèo là 23 con.

Do đó số gà là:

54 − 23 = 21 (con)

Vậy số gà là 21 con; số mèo là 23 con.

Chiều dài khu vườn hình chữ nhật đó là:

225 : 5 = 45 (m)

Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật ban đầu là:

(45 + 5) : 2 = 25 (m)

Chiều dài khu vườn hình chữ nhật ban đầu là:

25 × 3 = 75 (m)

Diện tích khu vườn hình chữ nhật đó là:

75 × 25 = 1 875 (m²)

Đáp số: 1 875 m².

Chia số bị chia cho hai lần số chia thì thương giảm đi 2 lần. 

Thương ban đầu là: 

6 × 2 = 12 Chia số bị chia cho ba lần số thương thì số chia giảm đi 3 lần. 

Do đó, số chia ban đầu là: 

6 × 3 = 18 

Số bị chia ban đầu là: 

18 × 12 = 216 

Đáp số: số bị chia: 216; số chia: 18.

Nếu chia số bị chia cho hai lần số chia thì thương sẽ giảm đi hai lần

Thương ban đầu là:

0,6 × 2 = 1,2

Nếu chia số bị chia cho ba lần thương thì số chia giảm đi 3 lần

Số chia ban đầu là:

0,6 × 3 = 1,8

Số bị chia ban đầu là:

1,8 × 1,2 = 2,16

Đáp số: 2,16 và 1,8

Chiều dài thật khu đất đó là:

6 × 1 000 = 6 000 (cm)

Chiều rộng thật khu đất đó là:

4 × 1 000 = 4 000 (cm)

Diện tích khu đất đó là:

6 000 × 4 000 = 24 000 000 (cm2)

Đổi : 24 000 000 cm² = 0,24 ha

Đáp số: 0,24 ha

\(A = \frac{{2{m^2} - 4m + 5}}{{{m^2} - 2m + 2}} = \frac{{2{m^2} - 4m + 4 + 1}}{{{m^2} - 2m + 2}} = 2 + \frac{1}{{{m^2} - 2m + 2}}\).

Để A đạt giá trị lớn nhất thì \[\frac{1}{{{m^2} - 2m + 2}}\] đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra m² − 2m + 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Lại có m² − 2m + 2 = m² − 2m + 1 + 1 = (m − 1)² + 1 ≥ 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m − 1 = 0 Û m = 1

Vậy giá trị lớn nhất của A là \[A \le 2 + \frac{1}{1} = 3\] khi m = 1.

\[S = \frac{{{m^2} + 2m}}{{{m^2} - 2m + 4}} = 1 + 4\,.\,\frac{{m - 1}}{{{m^2} - 2m + 4}}\].

Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\frac{{m - 1}}{{{m^2} - 2m + 4}}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt \(A = \frac{{m - 1}}{{{m^2} - 2m + 4}} \Leftrightarrow A{m^2} - (2A + 1)m + 4A + 1 = 0\)

+) TH1: A = 0 \( \Rightarrow m = 1\)

+) TH2: A ≠ 0: phương trình trên có nghiệm khi

\(\Delta = {\left( {2A + 1} \right)^2} - 4A\left( {4A + 1} \right) = - 12{A^2} + 1 \ge 0\)

\[ \Rightarrow - \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \le A \le \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là \[S = 1 + 4\,.\,\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right) = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]

Ta gọi thương là a

Số bị chia là b

Số chia là c

Ta có: \(a = \frac{1}{6}b \Rightarrow b = 6a\)

Và \(a = 3c \Rightarrow c = \frac{1}{3}a\)

Ta có: \[a = b:c = \frac{{6a}}{{\frac{1}{3}a}} = 6 \times 3 = 18\]

Vậy thương cần tìm là 18.

3 577 + 1 456 + 6 423 − 456

= (3577 + 6423) + (1456 − 456)

= 10 000 + 1 000

= 11 000.

2 547 + 1 456 + 6 923 − 456

= (2 547 + 6 923) + (1 456 − 456)

= 9 470 + 1 000

= 10 470.

x³ + y³ + z³ − 3xyz

= (x + y)³ − 3xy(x + y) + z³ − 3xyz

= (x + y)³ + z³ − 3xy(x + y) − 3xyz

= (x + y + z)[(x + y)² − z(x + y) + z²] − 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)[(x + y)² − z(x + y) + z² − 3xy]

= (x + y + z)(x² + y² + z² − xz − yz − xy).

(x + y + z)³ − x³ − y³ − z³

= x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3y²z + 3yz² + 3z²x + 3zx² + 6xyz − x³ − y³ − z³

= 3(xyz + x²y + zx² + z²x + xy² + y²z + xyz + yz²)

= 3[xy(x + z) + xz(x + z) + y²(x + z) + yz(x + z)]

= 3(x + z)[xy + xz + y² + yz]

= 3(x + z)[x(y + z) + y(y + z)]

= 3(x + y)(x + z)(y + z).

Quy luật: Lấy 2 số phía trước cộng cho nhau rồi trừ đi 5 sẽ ra số tiếp theo.

Ví dụ:

10 + 13 − 5 = 18

13 + 18 − 5 = 26

………

Vậy số thứ nhất cần điền là:

39 + 60 − 5 = 94

Số thứ hai cần điền là:

60 + 94 − 5 = 149.

10 + 13 − 5 = 18

13 + 18 − 5 = 26

Vậy số tiếp theo cần điền là:

18 + 26 − 5 = 39.

Bước 1: Cắt chia hình 9 × 4 (ô) đó thành hình 6 × 4 (ô) và hình 3 × 4 (ô)

Bước 2: Cắt hình 3 × 4 (ô) thành hai hình bằng nhau 3 × 2 (ô) và 3 × 2 (ô)

Bước 3: Nối 2 hình 3 × 2 (ô) lên hình 6 × 4 (ô) ta được hình vuông 6 × 6 (ô)

Số ngày đủ để cho 120 học sinh ăn hết số gạo còn lại sau 20 ngày là:

60 − 20 = 40 (ngày)

1 học sinh ăn số gạo còn lại trong:

40 × 120 = 4800 (ngày)

Số học sinh đủ để ăn trong 30 ngày là:

4800 : 30 = 160 (học sinh)

Số học sinh mới đến thêm là:

160 − 120 = 40 (học sinh)

Đáp số: 40 học sinh.

Thửa ruộng thứ nhất có diện tích là:

42 × 26 = 1 092 (m²)

Thửa ruộng thứ hai có diện tích là:

1 092 × 2 = 2 184 (m²)

Tổng diện tích của hai thửa ruộng là:

1 092 + 2 184 = 3 276 (m²)

Vậy 2 thửa ruộng thu được số kg thóc là:

3 276 × 2 = 6 552 (kg)

Đáp số: 6 552 kg thóc.

Thửa ruộng thứ nhất có diện tích là:

42 × 26 = 1 092 (m²)

Thửa ruộng thứ hai có diện tích là:

1 092 × 3 = 3 276 (m²)

Tổng diện tích của hai thửa ruộng là:

1 092 + 3276 = 4 368 (m²)

Vậy 2 thửa ruộng thu được số kg thóc là:

4 368 × 2 = 8 736 (kg)

Đáp số: 8 736 kg thóc.

Mảnh đất thứ 2 thu được số yến lúa mì là:

(5795 − 1125) : 2 = 2335 (kg)

Đổi: 2335 kg = 233,5 yến

Đáp số: 233,5 yến.

Tìm giao điểm của (d) với trục hoành  ta xét phương trình hoành độ giao điểm

2x − 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Do đó (d) giao với trục hoành tại \(I\left( {\frac{1}{2};\;0} \right)\).

Để hai đường đã cho cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì đường y = 3x + m (d') cũng cắt trục hoành tại điểm I.

Suy ra tọa độ của I thỏa mãn phương trình đường thẳng (d')

\[ \Rightarrow 0 = 3\,.\,\frac{1}{2} + m \Rightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\].

Vậy \[m = \frac{{ - 3}}{2}\] là giá trị của tham số m thỏa mãn.

Tìm giao điểm của (d) với trục hoành ta xét phương trình hoành độ giao điểm

3x − 2 = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Do đó (d) giao với trục hoành tại \(I\left( {\frac{2}{3};\;0} \right)\).

Để hai đường đã cho cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì đường y = 2x + b (d') cũng cắt trục hoành tại điểm I.

Suy ra tọa độ của I thỏa mãn phương trình đường thẳng (d')

\[ \Rightarrow 0 = 2\,.\,\frac{2}{3} + b \Rightarrow b = \frac{{ - 4}}{3}\].

Vậy \[b = \frac{{ - 4}}{3}\] là giá trị của tham số b thỏa mãn.

Ta có:

\(\overline {abba} = a\,.\,1000 + b\,.\,100 + b\,.\,10 + a = 1001a + 110b = 11\left( {91a + 10b} \right)\; \vdots \;11\)

Do đó \(\overline {abba} \) chia hết cho 11

a) Vì \(\overline {x987} \) có chữ số tận cùng là 7 nên \(\overline {x987} \) không chia hết cho 2.

Do đó không tồn tại giá trị nào của chữ số x để số \(\overline {x987} \) chia hết cho 2.

Vậy không tồn tại x để \(\overline {x987} \) chia hết cho 2.

b) Vì \(\overline {x987} \) có chữ số tận cùng là 7 nên \(\overline {x987} \) không chia hết cho 5.

Do đó không tồn tại giá trị nào của chữ số x để số \(\overline {x987} \) chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại x để \(\overline {x987} \) chia hết cho 5.

Xét tam giác OAB có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}} = \frac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \frac{{OA}}{{\sin \widehat {OBA}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}}\)

\( \Leftrightarrow OB = \frac{{\sin \widehat {OAB}}}{{\sin 30^\circ }} = 2\sin \widehat {OAB}\).

Mà \( - 1 \le \sin \widehat {OAB} \le 1\) nên OB đạt giá trị lớn nhất là 2 khi \(\sin \widehat {OAB} = 1\).

Hay tam giác OAB là tam giác vuông tại A.

Sợi dây thứ hai dài là :

\[12,6 \times \frac{3}{5} = 7,56\;\left( m \right)\]

Ta có: \[1,5 = \frac{3}{2}\]

Sợi dây thứ ba dài là:

\[7,56 \times \frac{3}{2} = 11,34\;\left( m \right)\]

Trung bình mỗi sợi dây dài số m là:

(12,6 + 11,34 + 7,56) : 3 = 10,5 (m)

Đáp số: 10,5 m.

Số lẻ nhó nhất có 3 chữ số là 101

Số thứ hai là:

138 × 2 − 101 = 175

Đáp số: 175.

150 cm² = 1 dm² 50 cm²

2010 m² = 20 dam² 10 m²

a) 150 cm² = 1 dm² 50 cm²

b) 423 dm² = 4 m² 23 dm²

c) 709 mm² = 7 cm² 9 mm²

d) 2010 m² = 20 dam² 10 m²

e) 4,567409 km² = 456,7409 hm² = 45674,09 dam² = 45 674 090 000 cm²

f) 8,07 ha = 807 dam² = 80 700 m²

\[A = \frac{3}{{2 \times 5}} + \frac{3}{{5 \times 8}} + \frac{3}{{8 \times 11}} + ... + \frac{3}{{92 \times 95}}\]

\[ = \frac{{5 - 2}}{{2 \times 5}} + \frac{{8 - 5}}{{5 \times 8}} + \frac{{11 - 8}}{{8 \times 11}} + ... + \frac{{95 - 92}}{{92 \times 95}}\]

\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{92}} - \frac{1}{{95}}\)

\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{{95}} = \frac{{93}}{{190}}\)

a) \[\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{9}{8} = \frac{{1 + 3 + 9}}{8} = \frac{{13}}{8}\].

b) \[\frac{1}{{20}} + \frac{3}{4} + \frac{6}{5} = \frac{1}{{20}} + \frac{{15}}{{20}} + \frac{{24}}{{20}}\]

\[ = \frac{{1 + 15 + 24}}{{20}} = \frac{{40}}{{20}} = 2\].

c) \[\frac{3}{4} + \frac{1}{{25}} + \frac{3}{{100}} = \frac{{75}}{{100}} + \frac{4}{{100}} + \frac{3}{{100}}\]

\[ = \frac{{75 + 4 + 3}}{{100}} = \frac{{82}}{{100}} = \frac{{41}}{{50}}\].

d) \(\frac{2}{7} + \frac{3}{{25}} + \frac{7}{5} = \frac{{50}}{{175}} + \frac{{21}}{{175}} + \frac{{245}}{{175}}\)

\( = \frac{{50 + 21 + 245}}{{175}} = \frac{{316}}{{175}}\).

Làm 2 đơn hàng trong 5 ngày cần số người là:

15 × 8 : 5 = 24 (người)

Làm 4 đơn hàng trong 5 ngày cần số người là:

24 : 2 × 4 = 48 (người)

Đáp số: 48 người.

x⁴(y − z) + y⁴(z − x) + z⁴(x − y)

= x⁴y − x⁴z + y⁴z − y⁴x + z⁴x − z⁴y

= xy(x³ − y³) − z(x⁴ − y⁴) + z⁴(x − y)

= xy(x − y)(x² + xy + y²) − z(x − y)(x + y)(x² + y²) + z⁴(x − y)

= (x − y)[xy(x² + xy + y²) − z(x + y)(x² + y²) + z⁴]

= (x − y)(x³y + x²y² + xy³ − x³z − x²yz − xy²z − y³z + z⁴)

= (x − y)[x²y(x − z) + xy²(x − z) + y³(x − z) − z(x³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²y + xy² + y³ − z(x² + xz + z²)]

= (x − y)(x − z)(x²y + xy² + y³ − zx² − xz² − z³)

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y² − z²) + (y³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y − z)(y + z) + (y − z)(y² + yz + z²)]

= (x − y)(x − z)(y − z)(x² + y² + z² + xy + xz + yz).

Ta có:

A = x⁴(y − z) + y⁴(z − x) + z⁴(x − y)

= x⁴y − x⁴z + y⁴z − y⁴x + z⁴x − z⁴y

= xy(x³ − y³) − z(x⁴ − y⁴) + z⁴(x − y)

= xy(x − y)(x² + xy + y²) − z(x − y)(x + y)(x² + y²) + z⁴(x − y)

= (x − y)[xy(x² + xy + y²) − z(x + y)(x² + y²) + z⁴]

= (x − y)(x³y + x²y² + xy³ − x³z − x²yz − xy²z − y³z + z⁴)

= (x − y)[x²y(x − z) + xy²(x − z) + y³(x − z) − z(x³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²y + xy² + y³ − z(x² + xz + z²)]

= (x − y)(x − z)(x²y + xy² + y³ − zx² − xz² − z³)

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y² − z²) + (y³ − z³)]

= (x − y)(x − z)[x²(y − z) + x(y − z)(y + z) + (y − z)(y² + yz + z²)]

= (x − y)(x − z)(y − z)(x² + y² + z² + xy + xz + yz)

Với x > y > z nên suy ra x − y > 0; x − z > 0; y − z > 0     (1)

Lại có: x² + y² + z² + xy + xz + yz

\[ = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 2xy + 2yz + 2xz} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2xz + {z^2}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z} \right)}^2} + {{\left( {x + z} \right)}^2}} \right] > 0,\;\forall x > y > z\]              (2)

Từ (1) và (2) nên A luôn luôn dương.

a² + b² + c² = (a − b)² + (b − c)² + (c − a)²

Û a² + b² + c² = a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + c² − 2ca + a²

Û a² + b² + c² = 2(ab + bc + ca)

Û a² + b² + c² = 18

Û a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 18 + 18

Û (a + b + c)² = 36

Mà a, b, c là các số thực dương Þ a + b + c > 0.

Vậy a + b + c = 6.

Vì (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

Û a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + c² − 2ca + a² ≥ 0

Û 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Û a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Ta có:

f(x) − g(x) = (x⁵ − 3x⁴ + x² − 5) − (2x⁴ + 7x³ − x² + 6)

= x⁵ − 3x⁴ + x² − 5 − 2x⁴ − 7x³ + x² − 6

= x⁵ + (−3x⁴ − 2x⁴) − 7x³ + (x² + x²) + (−5 − 6)

= x⁵ − 5x⁴ − 7x³ + 2x² – 11.

TXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 5\\x \ne - 2\end{array} \right.\]

\[\frac{3}{{x - 5}} = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\]

Û 3(x + 2) = −4(x − 5)

Û 3x + 6 = −4x + 20

Û 7x = 14

Û x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình

y = 2x − 2 Û 2x − y − 2 = 0

a) Khoảng cách từ O đến d là: \[{d_{(O;\,\,d)}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

Vậy khoảng cách từ O đến d là \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

b) Khoảng cách từ I đến d là: \[{d_{(I;\,d)}} = \frac{{\left| {2\,.\,3 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

Vậy khoảng cách từ I đến d là \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

y = 2x − 2 Û 2x − y − 2 = 0

a) Khoảng cách từ O đến d là:

\[{d_{(O;\,\,d)}} = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

Vậy khoảng cách từ O đến d là \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

b) Khoảng cách từ I đến d là:

\[{d_{(I;\,\,d)}} = \frac{{\left| {2\,.\,3 - \left( { - 2} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 5 }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}\].

Vậy khoảng cách từ I đến d là \[\frac{{6\sqrt 5 }}{5}\].

0,075 kg = 75 g

12 km² = 1 200 hm²

2 km² 12 hm² = 2,12 km²

5 cm² = 500 mm²

12 km² = 1 200 hm²

1 hm² = 10 000 m²

7 hm² = 70 000 m²

1 m² = 10 000 cm²

5 m² = 50 000 cm²

12 m² 9 dm² =1 209 dm²

37 dam² 24 m² = 3 724 m²

Ta có: a²(b + c) = b²(c + a)

Û a²b + a²c = b²c + b²a

Û a²b − b²a + a²c − b²c = 0

Û ab(a − b) + c(a² − b²) = 0

Û ab(a − b) + c(a − b)(a + b) = 0

Û (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

Û (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

Û (a − b)(ab + bc + ca) = 0

Do a ≠ b Þ ab + bc + ca = 0

Xét hiệu c²(a + b) − a²(b + c) = ac² + bc² − a²b − a²c

= ac(c − a) + b(c − a)(c + a)

= (c − a)(ac + bc + ab) = 0

Do đó: c²(a + b) = a²(b + c) = 2018

Ta có: a²(b + c) = b²(c + a)

Û a²b + a²c = b²c + b²a

Û a²b − b²a + a²c − b²c = 0

Û ab(a − b) + c(a² − b²) = 0

Û ab(a − b) + c(a − b)(a + b) = 0

Û (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

Û (a − b)[ab + c(a + b)] = 0

Û (a − b)(ab + bc + ca) = 0

Do a ≠ b Þ ab + bc + ca = 0

Xét hiệu c²(a + b) − a²(b + c) = ac² + bc² − a²b − a²c

= ac(c − a) + b(c − a)(c + a)

= (c − a)(ac + bc + ab) = 0

Do đó: H = c²(a + b) = a²(b + c) = 2013

Chữ số có năm chữ số cần tìm có dạng: \(\overline {abcde} \)

Vì số cần tìm là số chẵn nên e có 2 cách chọn: 4, 8

Chọn chữ số a có 4 cách chọn

Chọn chữ số b có 3 cách chọn

Chọn chữ số c có 2 cách chọn

Chọn chữ số d có 1 cách chọn

Vậy có tất cả 2.4.3.2.1 = 48 số có thể lập được

Nếu cả hai số gấp lên 33lần thì tổng của chúng là: 

20,47 × 3 = 61,41

Số thứ hai là: 

(77,07 − 61,41) : (5 − 3) = 7,83

Số thứ nhất là: 

20,47 − 7,83 = 12,64

Đáp số: 7,83 và 12,64

Ta có: \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuôgn tại A ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {14} \)

a) Xét tam giác ABC có AB > AC nên \(\widehat B < \widehat C\)

b) Vì \(\widehat B < \widehat C\) nên góc ngoài tại đỉnh B lớn hơn góc ngoài tại đỉnh C