3^x + 16 = 19⁶ : (19³.19²) – 3.1²⁰⁰⁵ + 1

3^x + 16 = 19⁶ : 19⁵ – 3.1 + 1

3^x + 16 = 19 – 2

3^x + 16 = 17

3^x = 1

3^x = 30

x = 0

Vậy x = 0.

a) 88 – 3.(7 + x) = 64

3.(7 + x) = 88 − 64

3.(7 + x) = 24

7 + x = 24 : 3

7 + x = 8

x = 8 − 7

x = 1

Vậy x = 1.

b) 131.x – 941 = 2⁷.2³

131x – 941 = 2¹⁰

131x = 1024 + 941

131x = 1965

x = 1965 : 131

x = 15

Vậy x = 15

c) 12.(x – 1) : 3 = 4³ + 2³

12.(x – 1) : 3 = 64 + 8

12.(x – 1) : 3 = 72

12.(x – 1) = 72.3

12(x – 1) = 216

x – 1 = 216 : 12

x – 1 = 18

x = 19

Vậy x = 19.

5⁶ : 5⁴ + 2³.2² – 1²⁰¹⁷

= 5² + 2⁵ – 1

= 25 + 32 – 1

= 56

a) 3x – 17 = 28

3x = 28 + 17

3x = 45

x = 15

Vậy x = 15.

b) 3^x+1 + 3^x+2 = 324

3^x.3¹ + 3^x.3² = 324

3^x(3 + 9) = 324

3^x.12 = 324

3^x = 324 : 12

3^x = 27

3^x = 3³

x = 3

Vậy x = 3.

a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 3².7

2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7

2016 : [25 – (3x + 2)] = 63

25 – (3x + 2) = 2016 : 63

25 – (3x + 2) = 32

3x + 2 = 25 – 32

3x + 2 = −7

3x = −7 – 2

3x = −9

x = −3

Vậy x = −3.

b) 6x + x = 5¹¹ : 5⁹ + 3¹

7x = 5² + 3

7x = 25 + 3

7x = 28

x = 4

Vậy x = 4.

A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁹

= 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁹

\[ \Rightarrow \] 2A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰

\( \Rightarrow \) 2A – A = (2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰) – (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁹)

A = 2²⁰ – 1

Mà B = 2²⁰

\( \Rightarrow \)B = A + 1

Suy ra A và B là hai số liên tiếp.

Ta có:

A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰

= 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰

\[ \Rightarrow \] 2A = 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²¹

\( \Rightarrow \) 2A – A = ( 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²¹) – (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰)

A = 2²¹ – 2 = 2(2²⁰ – 1)

\( \Rightarrow \)\(A \vdots 2\) (đpcm).

Một người làm hoàn thành đoạn đường đó trong số ngày là:

50 ´ 30 = 1500 (ngày)

Số công nhân cần để hoàn thành đoạn đường đó trong 25 ngày là:

1500 : 25 = 60 (người)

Vậy cần thêm số công nhân là:

60 – 50 = 10 (người)

Đáp số: 10 người.

40 người làm được số mét đường trong 1 ngày là:

1600 : 40 = 40 (m)

1 người làm được số mét đường trong 1 ngày là:

40 : 10 = 4 (m)

Công ti cử thêm 60 người thì có tất cả số người là:

40 + 60 = 100 (người)

100 người làm được số mét đường trong 1 ngày là:

100 ´ 40 = 400 (m)

Vậy 100 người làm 3200m đường trong số ngày là:

3200 : 400 = 8 (ngày)

Đáp số: 8 ngày.

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{4}\]

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{2} - \frac{3}{4}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge a + b + c - \frac{3}{4}\)

 \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - a - \frac{1}{4}} \right) + \left( {{b^2} - b + \frac{1}{4}} \right) + \left( {{c^2} + b + \frac{1}{4}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {b - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với \(\forall a,b,c \in \mathbb{R}\))

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta có:

(a – 1)² ≥ 0

⇔ a² – 2a + 1 ≥ 0

⇔ a² + 1 ≥ 2a

⇔ 2a² + 2 ≥ 4a (1)

Tương tự ta có:

b² + 1 ≥ 2b

3b² + 3 ≥ 6b (2)

Cộng (1) và (2)

2a² + 2 + 3b² + 3 ≥ 4a + 6b

⇔ 2a² + 3b² ≥ 2(2a + 3b) – 5 = 2.5 – 5 = 5

⇔ 2a² + 3b² ≥ 5 (đpcm)

A = 12 + 15 + x

= 27 + x.

Ta thấy \(27 \vdots 3\).

a) Để A ⋮ 3 thì x ⋮ 3

Suy ra x có dạng: x = 3k (k ∈ ℕ)

b) Để \(A\cancel{ \vdots }3\) thì \(x\cancel{ \vdots }3\).

Vậy x có dạng: x = 3k + 1 hoặc x = 3k + 2 (k ∈ ℕ).

Ta có: A = 15 + 25 + x = 25 + x

Ta thấy: 25 ⋮ 5 suy ra A ⋮ 5 thì x ⋮ 5.

Vậy x có dạng: x = 5k (với k ∈ ℕ).

Ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x} \right)\)

\( = {x^2} + \sqrt {2005} - {x^2} = \sqrt {2005} \).

Mà theo bài cho ta có:

\(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2005} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } } \right) = \sqrt {2005} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 2005} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } } \right) = \left( {x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } = \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x\)   (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(x + \sqrt {{x^2} + 2005} = \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } - y\)                   (2)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta có:

\(x + \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } + y + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } = \sqrt {{x^2} + \sqrt {2005} } - x + \sqrt {{y^2} + \sqrt {2005} } - y\)

\( \Leftrightarrow \)x + y = −x – y

\( \Leftrightarrow \)x + y = 0.

Ta có: a, a + 1, a + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có đúng 1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1, 1 số chia cho 3 dư 2.

Suy ra a², (a + 1)², (a + 2)² có một số chia hết cho 3, 2 số cho 3 dư 1.

\( \Rightarrow \) (a²)^k, [(a + 1)²]^m và [(a + 2)²]ⁿ có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 1

\( \Rightarrow \) A = a^2k + (a + 1)^2m + (a + 2)²ⁿ chia 3 dư 2.

Mà số chính phương là một số chia hết cho 2 hoặc chia 3 dư 1.

Nên A không phải là một số chính phương.

Vậy tổng luỹ thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương.

Tổng số số tự nhiên lớn hơn 24 và nhỏ hơn 69 là:

(68 – 25) : 1 + 1 = 44 (số)

Đáp số: 44 số.

Đáp án đúng là: C.

Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng nhau là một phát biểu đúng.

Ta có tuổi mẹ luôn hơn tuổi con 24 tuổi nên ta có sơ đồ:

Nếu ban đầu có tất cả 20 con chó thì tổng số chân chó là:

20 ´ 4 = 80 (chân)

Số con gà là:

(80 – 50) : 2 = 15 (con)

Số con chó là:

20 – 15 = 5 (con)

Đáp số: Có 5 con chó.

Với số gạo đó thì một người có thể ăn được trong số ngày là:

120 ´ 50 = 6000 (ngày)

Tổng số người ăn sau đó là:

6000 : 30 = 200 (người)

Vậy số người đến thêm là:

200 – 120 = 80 (người)

Đáp số: 80 người

Vì sọt có thể chứa 14 kg táo hoặc chứa 21 kg mận nên chỗ 1 kg đựng táo có thể đựng được 1,5 kg mận.

Giả sử nếu sọt đang đựng 14 kg táo mỗi lần bỏ 1 kg táo ra thay bằng 1,5 kg mận thì sọt sẽ nặng thêm 0.5 kg

So với 14 kg táo thì vừa táo vừa mận cân nặng thêm là:

18 − 14 = 4 (kg)

Và ta thay một số kg táo là:

4 : (1,5 − 1) = 8 (kg)

Lúc có số kg táo là:

14 − 8 = 6 (kg)

Số kg mận là:

18 − 6 = 12 (kg)

Đáp số: 6 kg táo và 12 kg mận.

Một người thì làm xong đoạn đường trong số ngày là:

8 ´ 12 = 96 (ngày)

a) Vậy 12 người thì làm xong đoạn đường trong số ngày là:

96 : 12 = 8 (ngày)

b) 6 ngày cần số công nhân là:

96 : 6 = 16 (người)

Đáp số: a) 8 ngày;

   b) 16 người.

A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15 với n ∈ ℤ.

Vì n ∈ ℤ nên ta xét hai trường hợp.

TH1: n chẵn

\( \Rightarrow \) A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15 là một số lẻ.

Suy ra A không chia hết cho 16. (loại)

TH2: n lẻ

\( \Rightarrow \) A = n⁴ + 2n³ – 16n² – 2n + 15

= (n⁴ – n²) + (2n³ – 15n² – 2n + 15)

= n²(n² – 1) + [n²(2n – 15) – (2n – 15)]

= n²(n² – 1) + (n² – 1)(2n – 15)

= (n² – 1)(n² + 2n – 15)

= (n – 1)(n + 1)(n − 3)(n + 5).

Do n là một số lẻ nên n – 1; n + 1; n – 3; n + 5 đều là các số chẵn.

\( \Rightarrow \) A = (n – 1)(n + 1)(n – 3)(n + 5) chia hết cho (2 ´ 2 ´ 2 ´ 2 = 16)

Vậy với n là số lẻ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tổng chiều dài và chiều rộng:

40 : 2 = 20 (m)

Khi đó ta có sơ đồ:

Ta có:

• 71⁵⁰ < 81⁵⁰ = 3²⁰⁰

• 37⁷⁵ > 27⁷⁵ = 3²²⁵

Mà 3²⁰⁰ < 3²²⁵ hay 81⁵⁰ < 27⁷⁵

Suy ra 71⁵⁰ < 81⁵⁰ < 27⁷⁵ < 37⁷⁵.

Vậy 71⁵⁰ < 37⁷⁵.

Ta có:

• 78¹² – 78¹¹ = 78¹¹(78 – 1) = 77.78¹¹

• 78¹¹ – 78¹⁰ = 78¹⁰(78 – 1) = 77.78¹⁰

Ta thấy: 78¹¹ > 78¹⁰ \( \Rightarrow \) 77.78¹¹ > 77.78¹⁰

\( \Leftrightarrow \)78¹² – 78¹¹ > 78¹¹ – 78¹⁰.

Vậy 78¹² – 78¹¹ > 78¹¹ – 78¹⁰.

Ta có: 32⁹ = (2⁵)⁹ = 2^5.9 = 2⁴⁵.

18¹³ = 2¹³.9¹³ = 2¹³.9¹³ > 2¹³.8¹³ = 2¹³.2^3.13 = 2^{13 + 39} = 2⁵² > 2⁴⁵ = 32⁹.

Vậy 32⁹ < 18¹³.

Ta có:

• (0,216)⁵ = [(0,6)³]⁵ = (0,6)¹⁵

• (0,36)⁸ = [(0,6)²]⁸ = (0,6)¹⁶

Mà (0,6)¹⁵ < (0,6)¹⁶ \( \Leftrightarrow \) (0,126)⁵ < (0,36)⁸.

Vậy (0,126)⁵ < (0,36)⁸.

Ta có: (−0,7)²⁶ = (0,7)²⁶

= (0,7)²⁴.(0,7)²

= [(0,7)³]⁸.(0,7)²

= (0,343)⁸.(0,7)²

Mà 0,7 < 1 nên (0,7)² < 1

Do đó (0,343)⁸.(0,7)² < (0,343)⁸ hay (−0,7)²⁶ < (0,343)⁸.

Vậy (−0,7)²⁶ < (0,343)⁸.

a) Các số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2                              Đ

b) Các số có tận cùng là 3, 6, 9 thì chia hết cho 3                                      S

c) Các số có tận cùng là 0 thì chia hết cho cả 2 và 5                                  Đ

d) Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho cả 3 và 9      S

e) Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho cả 3 và 9      Đ

a) Vì * là một chữ số trong số \(\overline {3*7} \) nên * phải là một trong các số: 0; 1; 2;…; 9.

Số \(\overline {3*7} \) chia hết cho 3 nên tổng của các chữ số của \(\overline {3*7} \) là: 3 + * + 7 = 10 + * phải là một số chia hết cho3.

Thử thay * lần lượt bằng các số 0; 1; 2; …; 9 ta thấy các số thỏa mãn là 2; 5; 8

Vậy các chữ số * thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2; 5; 8.

b) Vì * là một chữ số trong số \(\overline {27*} \) nên * phải là một trong các chữ số 0; 1; 2; …; 9.

Số \(\overline {27*} \) chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của số \(\overline {27*} \) là: 2 + 7 + * = 9 + * phải là số chia hết cho 9.

Thử thay * lần lượt bằng các số 0; 1; 2; …; 9 ta thấy các số thỏa mãn là 0; 9.

Vậy các chữ số thích hợp điền vào dấu * để \(\overline {27*} \) chia hết cho 9 là: 0; 9

Số mét đường ống cần phải lắp là:

200 ´ 15 = 3000 (m)

Nếu cải tiến kỹ thuật thì mỗi ngày đội công nhân đó lắp được số ống là:

200 + 50 = 250 (m)

Số ngày cần có để đội công nhân lắp xong đường ống đó là:

3000 : 250 = 12 (ngày)

Đáp số: 12 ngày.

4 gọi bánh cân nặng số gam là:

250 ´ 4 = 1000 (g)

5 gói kẹo cân nặng số gam là:

200 ´ 5 = 1000 (g)

4 gói bánh và 5 gói kẹo cân nặng số ki-lô-gam là:

1000 + 1000 = 2000 (g) = 2 (kg)

Đáp số: 2 kg.

Tổng số tuổi của hai mẹ con hiện nay là:

41 + 2 ´ 2 = 45 (tuổi)

Khi đó ta có sơ đồ là:

Tổng số phần bằng nhau là:

2 + 7 = 9 (phần)

Tuổi của con hiện tại là:

45 : 9 ´ 2 = 10 (tuổi)

Tuổi của mẹ hiện tại là:

45 – 10 = 35 (tuổi)

Đáp số: Mẹ 35 tuổi. Con 10 tuổi.

• 5 số tự nhiên chia hết cho 2 là: 2; 4; 6; 8; 10.

• 5 số tự nhiên chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; 15.

• 5 số tự nhiên chia hết cho 5 là: 5; 10; 15; 20; 25.

• 5 số tự nhiên chia hết cho 9 là: 9; 18; 27; 36; 45.

Theo bài cho ta có: 25 < 5ⁿ < 625

\( \Leftrightarrow \) 5² < 5ⁿ < 5⁴.

Suy ra n = 3.

Vậy n = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các số đó là: 110 000; 101 000; 100 100; 100 010; 100 001.

Gọi a (con), b (con) lần lượt là số con chó (a, b ∈ ℕ*; a, b < 40).

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 40\\4a - 2b = 16\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 4b = 160\\4a - 2b = 16\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6b = 144\\a + b = 40\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả 24 con gà và 16 con chó.

\(\frac{{xy + 1}}{y} = \frac{{yz + 1}}{z} = \frac{{zx + 1}}{x}\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}\)

Do đó:

• x – y = \(\frac{1}{z} - \frac{1}{y} = \frac{{y - z}}{{yz}}\);

• \(y - z = \frac{1}{x} - \frac{1}{z} = \frac{{z - x}}{{xz}}\);

• \(z - x = \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{{x - y}}{{xy}}\).

Suy ra (x – y)(y – z)(z – x) = \(\frac{{(x - y)(y - z)(z - x)}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{(x - y)(y - z)(z - x).{x^2}{y^2}{z^2} - (x - y)(y - z)(z - x)}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) (x – y)(y – z)(z – x)(x²y²z² – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\y - z = 0\\z - x = 0\\{x^2}{y^2}{z^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2}{y^2}{z^2} = 1\end{array} \right.\)

 Vậy ta có điều phải chứng minh.

Các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

x ∈ {15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72; 75}

Trừ từng vế của hai đẳng thức đã cho ta được:

\(x(x - y) - y(x - y) = \frac{3}{{10}} - \left( {\frac{{ - 3}}{{50}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right) = \frac{{15 + 3}}{{50}} = \frac{9}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)

TH1: \(x - y = \frac{3}{5}\). Thay \(x - y = \frac{3}{5}\) vào hai đẳng thức đã cho ta được:

\(x = \frac{1}{2}\) và \(y = \frac{{ - 1}}{{10}}\).

TH2: \(x - y = \frac{{ - 3}}{5}\) thay vào hai đẳng thức đã cho ta được:

\(x = - \frac{1}{2}\); \(y = \frac{1}{{10}}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) và \(y = \frac{{ - 1}}{{10}}\) hoặc \(x = - \frac{1}{2}\); \(y = \frac{1}{{10}}\).

Cứ 4 vỏ kẹo thì đổi được 1 cái kẹo nên 12 vỏ kẹo sẽ đổi đc số cái kẹo là: 12 : 4 = 3 (cái)

Vậy bạn Hoa nói đúng.

125 – 2[56 – 48 : (15 – 7)]

= 125 – 2.(56 – 48 : 8)

= 125 – 2.(56 – 6)

= 125 – 2.50

= 125 – 100

= 25

Dấu hiệu chia hết cho 13:

1) Lập tổng xen kẽ từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái. Kết quả phải chia hết cho 13.

2) Cộng thêm 4 lần chữ số hàng đơn vị vào phần còn lại, kết quả phải chia hết cho 13.

3) Trừ đi số gồm hai chữ số cuối vào bốn lần phần còn lại, được kết quả chia hết cho 13.

4) Trừ đi 9 lần chữ số tận cùng vào phần còn lại, được kết quả chia hết cho 13.

Ta chứng minh BĐT phụ:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\) (với a, b, c > 0)

Ta có: \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right)\)

\( = 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + 1 + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + 1 + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}\)

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\)\( = 3 + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\); \(\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\); \(\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\).

Suy ra ta có: \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3 + 6 = 9\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\)(*)

Áp dụng (*) ta có:

\(\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2}{ + ^2} + 2bc + 2ac + 2ab}}\)

\(\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \frac{9}{{{{(a + b + c)}^2}}}\)

Mà a + b + c = 1 nên:

\(\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge 9\) (đpcm).

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Ta có: \(VT = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}}\)

\( = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{a + c}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1 - 3\)

\( = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{b + c + a}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}} - 3\)

\( = (a + b + c)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 3\)

\( = \frac{1}{2}[(a + b) + (b + c) + (c + a)]\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 3\)

Ta chứng minh BĐT phụ:

\(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 9\) (với a, b, c > 0)

Ta có: \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right)\)

\( = 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + 1 + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + 1 + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}\)

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\)\( = 3 + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\); \(\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\); \(\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\).

Suy ra ta có: \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 3 + 6 = 9\) (*)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

\(VT = \frac{1}{2}[(a + b) + (b + c) + (c + a)]\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 3\)

\( \Rightarrow VT \ge \frac{1}{2}.9 - 3 = \frac{3}{2}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ban đầu, ngăn dưới hơn ngăn trên có số quyển sách là:

6 + 1 + 3 = 10 (quyển)

Số sách ở ngăn dưới là:

(70 + 10) : 2 = 40 (quyển)

Vậy số sách ở ngăn trên là:

40 – 10 = 30 (quyển)

Đáp số: Ngăn trên có 30 quyển và ngăn dưới có 40 quyển.

Sau khi ăn hết một nửa số gạo, số gạo còn lại đủ ăn trong:

40 : 2 = 20 (ngày)

1 người ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là:

120 ´ 20  = 2 400 (ngày)

Tổng số người ăn số gạo còn lại trong 12 ngày là:

2400 : 12 = 200 (người)

Trường đó có thêm số học sinh là:

200 − 120 = 80 (người)

Đáp số: 80 người.

Số gạo còn lại 750 người ăn trong số ngày là:

50 – 10 = 40 (ngày)

Số người ăn hết gạo còn lại trong 25 ngày là:

750 × 40 : 25 = 1200 (người)

Số người đến thêm là:

1200 – 750 = 450 (người)

Ta có: 50²⁰ = 50^2.10 = (50²)¹⁰ = 2500¹⁰

Ta thấy 2500 > 2010 \( \Leftrightarrow \) 2500¹⁰ > 2010¹⁰

Hay 50²⁰ > 2010¹⁰.

Vậy 50²⁰ > 2010¹⁰.

x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0

\( \Leftrightarrow \) (x + y)³ – 3xy(x + y) + 3(x + y)² – 6xy + 4(x + y) + 4 = 0

\( \Leftrightarrow \)[(x + y)³ + 2(x + y)² +(x + y)² + 4(x + y) + 4] – [3xy(x +y) + 6xy] = 0

\( \Leftrightarrow \)[(x + y)²(x + y + 2) + (x + y + 2)²] – 3xy(x + y + 2) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + y + 2)[(x + y)² + x + y + 2] – 3xy(x + y + 2) = 0

\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x + y)² + x + y + 2 – 3xy] = 0

\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)(x² + 2xy + y² + x + y + 2 – 3xy) = 0

\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x² – 2xy + y²) + (x² + 2x + 1) + (y² + 2y + 1) + 2] : 2 = 0

\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x – y)² + (x + 1)² + (y + 1)² + 2] = 0

\( \Leftrightarrow \) x + y + 2 = 0

\( \Leftrightarrow \) x + y = −2

Ta có: \(M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{{ - 2}}{{xy}}\)

Vì 4xy ≤ (x + y)²

\( \Leftrightarrow \) 4xy ≤ (−2)²

\( \Leftrightarrow \) 4xy ≤ 4

\( \Leftrightarrow \) xy ≤ 1

\( \Rightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{xy}} \le - 2\) (do xy >0)

\( \Leftrightarrow \)M ≤ −2.

Dấu “=” xảy ra khi x = y = −1

Vậy M_max = −2 khi x = y = −1.

Vậy M_min = −2.

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

\({3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^x}}} = 2 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}} - 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 2 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\), t > 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:

t² – 3t² + 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.\)

Với t = 1 \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Với t = 2 \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{3}}}2 < 0\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm âm duy nhất \(x = {\log _{\frac{1}{3}}}2\).