Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\); \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}}\)

Từ đó \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\,.\,\sqrt[3]{{abc}}\,.\,3\,.\,\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} = 9\).

Vậy \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).

Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}}\).

Lại có: \(\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d} = \frac{a}{d}\).

Vậy \(\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}} = \frac{a}{d}\).

Lan có số tiền là: 5 000 × 15 = 75 000 (đồng)

Nếu mua loại 7 500 đồng một gói thì Lan mua được số gói kẹo là:

75 000 : 7 500 = 10 (gói)

Đáp số: 10 gói kẹo.

Ta có \(\frac{1}{3} = \frac{4}{{12}}\).

Phân số lớn hơn \(\frac{1}{3}\) và có tử số là 4 thì mẫu của phân số đó phải nhỏ hơn 12 và lớn hơn hoặc bằng 1.

Đó là các phân số sau: \(\frac{4}{1};\,\,\frac{4}{2};\,\,\frac{4}{3};\,\,\frac{4}{4};\,\,\frac{4}{5};\,\,\frac{4}{6};\,\,\frac{4}{7};\,\,\frac{4}{8};\,\,\frac{4}{9};\,\,\frac{4}{{10}};\,\,\frac{4}{{11}}\).

Vậy có 11 phân số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Có: 5³ . 5⁴ : 25 = 5³ . 5⁴ : 5² = 5^{3 + 4} : 5² = 5⁷ : 5² = 5^{7 – 2} = 5⁵

Vậy chọn đáp án C.

53⁷ : 53⁶ + 3³ . 3 – 2⁴ : 2³

= 53^{7 − 6} + 3^{3 + 1} – 2^{4 − 3}

= 53 + 3⁴ – 2

= 53 + 81 – 2

= 132

Vậy 53⁷ : 53⁶ + 3³ . 3 – 2⁴ : 2³ = 132.

Các hoạt động trong thực tiễn có sử dụng đơn vị đo thời gian là giây :

• Chạy thi 60m.

• Uống nước

• Xe buýt dừng lại đón khách ….

1 ô tô chở đc số tấn hàng là: 24 : 8 = 3 (tấn)

Đoàn 1 chở đc số tấn hàng là: 3 × 5 = 15 (tấn)

Đoàn 2 chở đc số tấn hàng là: 11 × 3 = 33 (tấn)

Cả 2 đoàn chở được: 15 + 33 = 48 (tấn)

Đáp số: 48 tấn.

Đổi: 3 tấn 158 kg = 3 158 kg.

Ngày thứ 2 nhập về số kg gạo là:

3 158 – 378 = 2 780 (kg gạo)

Trung bình mỗi ngày nhập về số kg gạo là:

(2 780 + 3 158) : 2 = 2 969 (kg gạo)

Đáp số: 2 969 kg gạo.

Chiều rộng mảnh vườn là: (94 − 16) : 2 = 39 (m)   

Chiều dài mảnh vườn là: 94 − 39 = 55 (m)     

Diện tích mảnh vườn là: 39 × 55 = 2145 (m²)

Đáp số: 2145 m².

Đáp án đúng là: C

1 người ăn số gạo đó trong: 120 × 30 = 3 600 (ngày)

Sau khi tuyển thêm, phân xưởng đó có số công nhân là:

3 600 : 24 = 150 (người)

Đáp số: 150 người.

36 người gấp 18 người số lần là: 36 : 18 = 2 (lần)

Nếu đội 18 người thì thì đắp xong quãng đê đó trong 4 × 2 = 8 (ngày)

Đáp số: 8 ngày.

1 người trong 1 ngày trồng được số cấy là: 875 : 25 = 35 (cây)

Trồng 980 cây cần số người là: 980 : 35 = 28 (người)

Đáp số: 28 người.

Đáp án đúng là: B

Trung bình cộng của hai số là: 45 – 7 = 38

Tổng của hai số là: 38 × 2 = 76

Số bé là: 76 – 45 = 31

Đáp số: 31.

Số bé nhất có 2 chữ số: 10

Số chia là : 10 – 2 = 8

Thương của hai số đó: 72 : 8 = 9.

Đáp số: 9.

Gọi n là số cần tìm (n ∈ ℕ)

Do n chia 3 dư 1 nên n = 3a + 1 (a ∈ ℕ).

Ta có n + 179 = 3a + 1 + 179

= 3a + 180 = 3(a + 60)

Suy ra n + 179 ​⋮ 3           (1)

Tương tự, ta có:

• n = 7b + 3 (b ∈ ℕ) nên n + 179 = 7(b + 26)

Do đó (n + 179) ⋮ 7         (2)

• n = 11c + 8 (c ∈ ℕ) nên n + 179 = 11(c + 17)

Do đó n + 179 ⋮ 11         (3)

Từ (1), (2), (3) ta có n + 179 là ƯC(3, 7, 11).

Do 3; 7; 11 là các số nguyên tố cùng nhau

Nên ƯC(3, 7, 11) = 3 . 7 . 11m =  231m (m ∈ ℕ)

Như vậy: n + 179 = 231m, (m ∈ ℕ) suy ra n = 231m – 179, (m ∈ ℕ)    (4)

Theo đề bài, ta cần tìm n là số lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn điều kiện (4)

• Xét m = 6, ta có n = 231 . 6 − 179 = 1207 (không TMĐK vì n có ba chữ số)

• Xét m = 5, ta có n = 231 . 5 − 179 = 976 (không TMĐK vì n có ba chữ số)

Vậy n = 976 là số lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn điều kiện của đề bài.

4.24.5² – (3³ . 18 + 3³ . 12)

= 4 . 24 . 25 – 3³ . (18 + 12)

= 24 . (25 . 4) – 27 . (18 + 12)

= 24 . 100 – 27 . 30

= 2400 – 810

= 1590.

Nếu xếp vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và xếp vào ngăn thứ hai 120 cuốn thì số sách ở ngăn thứ nhất vẫn bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ở ngăn thứ hai hay số sách ở ngăn thứ hai khi thêm 120 cuốn thì bằng \(\frac{3}{2}\) số sách ở ngăn thứ nhất khi thêm 80 cuốn.

Số sách ở ngăn thứ hai khi thêm 40 cuốn bằng \(\frac{4}{3}\) số sách ở ngăn thứ nhất khi thêm 80 cuốn.

Số sách ở ngăn thứ nhất khi thêm 80 cuốn là: \(\left( {120 - 40} \right):\left( {\frac{3}{2} - \frac{4}{3}} \right) = 480\) (cuốn)

Số sách lúc đầu của ngăn thứ nhất là: 480 – 80 = 400 ( cuốn )

Số sách lúc đầu của ngăn thứ hai là : \(400:\frac{2}{3} = 600\) (cuốn)

Đáp số : Ngăn thứ nhất: 400 cuốn sách;

              Ngăn thứ hai: 600 cuốn sách.

Đáp án đúng là: A

Số người để sửa xong đoạn đường đó trong một ngày là:

15 × 24 = 360 (công nhân)

Muốn sửa xong đoạn đường đó trong 18 ngày thì cần số công nhân là:

360 : 18 = 20 (công nhân)

Đáp số: 20 công nhân.

8 dam² = 800 m².

y² – 5y + 62 = (y – 2)x² + (y² – 6y + 8)x

\( \Leftrightarrow \) y² – 5y + 6 + 56 = (y – 2)x² + (y² – 6y + 8)x

\( \Leftrightarrow \) (y – 2)(y – 3) + 56 = (y – 2)x² + (y – 2)(y – 4)x

\( \Leftrightarrow \) (y – 2)[x² + (y – 4)x – (y − 3)] = 56

\( \Leftrightarrow \) (y – 2)(x² + xy – 4x − y + 3) = 56

\( \Leftrightarrow \) (y – 2)(x² – 4x + 3+ xy − y) = 56

\( \Leftrightarrow \) (y – 2)[(x – 1)(x – 3)+ y(x − 1)] = 56

\( \Leftrightarrow \) (y – 2)(x – 1)(x + y – 3) = 56 = 1.2.28 = 1.4.14 = 1.8.7 = 2.2.14

Nhận thấy x – 1 + y – 2 = x + y – 3 nên ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 2 = 7\\x + y - 3 = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 9\end{array} \right.\);

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 7\\y - 2 = 1\\x + y - 3 = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 3\end{array} \right.\);

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 8\\y - 2 = 7\\x + y - 3 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 9\end{array} \right.\);

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 7\\y - 2 = - 8\\x + y - 3 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = - 6\end{array} \right.\);

TH5: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 8\\y - 2 = 1\\x + y - 3 = - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 3\end{array} \right.\);

TH6: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 2 = - 8\\x + y - 3 = - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.\).

Vậy các cặp giá trị nguyên là nghiệm của phương trình là: (2; 9), (8; 3), (−7; 9), (8; −6), (−7; 3), (2; −6).

1 người 1 ngày làm đc 630 : 15 = 42 (sản phẩm)

Thêm 5 người nữa là có 15 + 5 = 20 (người)

Lúc đó một ngày làm đc là: 42 × 20 = 840 (sản phẩm)

Đáp số: 840 sản phẩm.

\(29\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + 39\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6}\)\( = \frac{{59}}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{{118}}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6}\)

\( = \frac{{59}}{3} + \frac{{59}}{2} + \frac{5}{6}\)\( = \frac{{118}}{6} + \frac{{177}}{6} + \frac{5}{6} = \frac{{300}}{6} = 50\).

\(\frac{5}{3} - \frac{2}{3}:x = \frac{1}{5}\)

\(\frac{2}{3}:x = \frac{5}{3} - \frac{1}{5}\)

\(\frac{2}{3}:x = \frac{{22}}{{15}}\)

\(x = \frac{2}{3}:\frac{{22}}{{15}}\)

\(x = \frac{2}{3}.\frac{{15}}{{22}}\)

\(x = \frac{5}{{11}}\).

Vậy \(x = \frac{5}{{11}}\).

Vì a, b, c ≥ 0; a + b + c = 1 nên a, b, c ≤ 1.

Suy ra a² ≤ a; b² ≤ b, c² ≤ c.

Khi đó \(\sqrt {5a + 4} + \sqrt {5b + 4} + \sqrt {5c + 4} \)

\( = \sqrt {a + 4a + 4} + \sqrt {b + 4b + 4} + \sqrt {c + 4c + 4} \)\( \ge \sqrt {{a^2} + 4a + 4} + \sqrt {{b^2} + 4b + 4} + \sqrt {{c^2} + 4c + 4} \)

\( = \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {b + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {c + 2} \right)}^2}} \)

\( = a + 2 + b + 2 + c + 2 = 7\).

Vậy \(\sqrt {5a + 4} + \sqrt {5b + 4} + \sqrt {5c + 4} \ge 7\).

Dấu “=” xảy ra tại a = 1; b = 0; c = 0 và các hoán vị.

Các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà phần thập phân có 2 chữ số được lập từ 3 chữ số trên là: 0,12; 0,21; 1,02; 2,01.

Ta có:

• 100 = 22.52 nên 100 có 9 ước;

• 180 = 22.32.5 nên 180 có 18 ước;

• 400 = 24.52 nên 400 có 15 ước;

• 320 = 26.5 nên 320 có 14 ước;

• 160 = 25.5 nên 160 có 12 ước.

Đáp án đúng là: C

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng \(\overline {abcd} \) với a, b, c, d ∈ A  và đôi một khác nhau.

TH1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có  5.4.3 = 60 số.

TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4.

Khi đó có 4 cách chọn a (vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2 . 4 . 4 . 3 = 96 (số)

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 (số).

Chọn C.

8x³ – 72x = 0

8x(x² − 9) = 0

TH1: 8x = 0

 x = 0.

TH2: x² – 9 = 0

 x = 3 hoặc x = −3.

Vậy các giá trị của x là 0; 3; −3.

10 ngày gấp 5 ngày số lần là: 10 : 5 = 2 (lần)

Muốn làm xong công việc đó trong 5 ngày cần số người là: 2 × 2 = 4 (người)

Đáp số : 4 người.

1 người ăn số gạo đó trong số ngày là: 45 × 6 = 270 (ngày)

54 người ăn thì số gạo đó ăn trong số ngày là: 270 : 54 = 5 (ngày)

Số ngày giảm đi khi có 54 người ăn là: 6 – 5 = 1 (ngày)

Đáp số: 1 ngày.

Ta có 16 ≤ 8ⁿ ≤ 64.

Suy ra 2⁴ ≤ 2³ⁿ ≤ 2⁶.

Do đó 4 ≤ 3n ≤ 6 mà n là số nguyên dương nên n = 2.

(3x + 2)(x − 1) – 3(x + 1)(x −2) = 4

3x² – 3x + 2x −2 – 3x² + 6x – 3x + 6 = 4

2x = 0

x = 0

Vậy x = 0.

5⁶ : 5⁴ + 2³ . 2² − 1²⁰¹⁷

= 5^{6 − 4} + 2^{3 + 2}  − 1

= 5² + 2⁵  − 1

= 25 + 32 – 1 = 56.

Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z = 4 - x\\yz = 5 - x\left( {4 - x} \right)\end{array} \right.\) 

Suy ra (4 – x)² ≥ 4[5 − x(4 − x)] ⇔ 3x² − 8x + 4 ≤ 0⇔ \(\frac{2}{3}\) ≤ x ≤ 2.

Mặt khác (x³ + y³ + z³) = (x + y + z).(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + 3xyz

= 4((x + y + z)² − 3(xy + yz + zx)) + 3xyz = 4 + 3xyz

Suy ra P = \(\left( {4 + 3xyz} \right)\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}\)\( = \frac{{20}}{{xyz}} + 15\) \( = \frac{{20}}{{{x^3} - 4{x^2} + 5x}} + 15\) 

Xét hàm f(x) = x³ − 4x² + 5x trên \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\) ta có

f '(x) = 3x² - 8x + 5, f '(x) = 0 ⇔ x = 1, x = \(\frac{5}{3}\)

và f(1) = f(2) = 2, \(f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\); \(f\left( {\frac{5}{3}} \right) = \frac{{50}}{{27}}\)

Suy ra 0 < f(x) ≤ 2 với mọi x ∈ \(\left[ {\frac{2}{3};2} \right]\).

Do đó P ≥ 25

Dấu “=” xảy ra khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25, đạt được khi x = 2, y = z = 1 hoặc các hoán vị.

Có xy + 2(yz + xz) = 5 nên xy + 2yz + 2xz = 5

Có (x – y)² = x² – 2xy + y² ≥ 0, ∀x, y. Do đó x²  + y² ≥ 2xy, ∀x, y.

Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge xy\), ∀x, y (1).

Tương tự: y² + z² ≥ 2yz, ∀y, z (2)

và x² + z² ≥ 2xz, ∀x, z. (3)

Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {y^2} + {z^2} + {x^2} + {z^2} \ge xy + 2yz + 2zx\), ∀x, y, z

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2{z^2} \ge xy + 2yz + 2zx\), ∀x, y, z

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2{z^2} \ge 5\), ∀x, y, z

\( \Leftrightarrow \)3(x² + y²) + 4z² ≥ 10, ∀x, y, z.

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\xy + 2\left( {yz + zx} \right) = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\5{x^2} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\{x^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)x = y = z = 1 hoặc x = y = z = −1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 3(x² + y²) + 4z² là 10 khi x = y = z = 1 hoặc x = y = z = −1.

Có 7⁶ + 7⁵ – 7⁴ = 7⁴.(7² + 7 – 1) = 7⁴.(49 + 7 – 1) = 7⁴.55 = 7⁴.5.11

Vậy 7⁶ + 7⁵ – 7⁴ chia hết cho 11.

a) Mỗi ki-lô-gam gạo hết số tiền là:

85 000 : 5 = 17 000 (đồng)

b) Bác Hiền mua 4 kg gạo cần trả số tiền là:

17 000 x 4 = 68 000 (đồng)

Đáp số: a) 17 000 đồng;

   b)  68 000 đồng.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương, ta có:

\(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\); \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}}\)

Từ đó \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 3.\sqrt[3]{{xyz}}.3.\sqrt[3]{{\frac{1}{{xyz}}}} = 9\).

Do đó \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).

Vậy \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}\).

Đặt n² – 14n – 256 = a² (a ∈ ℕ)

n² – 14n – 256 = a² \( \Leftrightarrow \) (n – 7)² – a² = 305 \( \Leftrightarrow \)(n – 7 – a)(n – 7 + a) = 305 = 1.305 = 61.5.

Vì n + a – 7 > n – a – 7 nên ta xét các trường hợp sau:

• TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = 1\\n + a - 7 = 305\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 160\\a = 152\end{array} \right.\)\(\)(TM)

• TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = - 305\\n + a - 7 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 146\\a = 152\end{array} \right.\) (loại)

• TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = 5\\n + a - 7 = 61\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 40\\a = 28\end{array} \right.\)\(\)      (TM)

• TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = - 61\\n + a - 7 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 26\\a = 28\end{array} \right.\)\(\) (loại).

Vậy n = 40; n = 160.

Ta có x + y = 2 \( \Rightarrow \) x² + 2xy + y² = 4

\( \Rightarrow \) 2xy = 4 – (x² + y²) = 4 – 10 = −6

\( \Rightarrow \) xy = −3.

Lại có (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

\( \Rightarrow \) x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

Vậy x³ + y³ = 2³ −3. (−3).2 = 8 + 18 = 26.

(0,25)⁸ = [(0,5)²]⁸ = (0,5)^2.8 = (0,5)¹⁶.

(0,125)⁴ = [(0,5)³]⁴ = (0,5)^3.4 = (0,5)¹².

1) Đáp án đúng là: C

Thay x = 16 (TMĐK) vào biểu thức A, ta được

\(A = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{4}{7}\).

Vậy khi x = 16 thì \(A = \frac{4}{7}\).

2) Đáp án đúng là: A

Ta có\(A + B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 9}}{{x - 9}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 3x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3\sqrt x + 2x + 6\sqrt x - 3x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)\( = \frac{{3\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}\).

Từ giả thiết ta có:

\(\left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\left( {x + \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = \left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \left( {2006 + {x^2}} \right)} \right)\left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = \left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\)\( \Leftrightarrow - \left( {y + \sqrt {2006 + {y^2}} } \right) = \left( {x - \sqrt {2006 + {x^2}} } \right)\)          (1)

Tương tự ta có: \( - \left( {x + \sqrt {2006 + {x^2}} } \right) = \left( {y - \sqrt {2006 + {y^2}} } \right)\)                 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được và rút gọn ta được:

− x – y = x + y \( \Leftrightarrow \) x + y = 0.

Vì 12 chia hết cho số tự nhiên x nên x là ước của 12.

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Mà x > 4 nên x ∈ {6; 12}.

(15 + x) : 3 = 3¹⁵ : 3¹²

(15 + x) : 3 = 3³  

15 + x = 3³ . 3  

15 + x = 81  

        x = 81 − 15  

        x = 66.

Vậy x = 66.  

Ta có 21 < 35 nên 2²¹ < 2³⁵.

Lại có 2 < 5 nên 2³⁵ < 5³⁵.

Do đó 2²¹ < 2³⁵ < 5³⁵.

Vậy 2²¹ < 5³⁵.