Câu 1:

Tính nhanh: (–25) . (75 – 45) – 75 . (45 – 25).

Xem đáp án

Ta có

(–25) . (75 – 45) – 75 . (45 – 25)

= –25 . 75 – (–25) . 45 – 75 . 45 – (–75) . 25

= –25 . 75 + 25 . 45 – 75 . 45 + 75 . 25

= 75 . (–25 + 25) + 45 . (25 – 75)

= 75 . 0 + 45 . (–50)

= 0 + (–2250 )

= –2250.

Câu 2:

Chứng tỏ:

\bar{a b} .101 = \bar{a b a b}

Xem đáp án

Ta có: $\bar{a b} .101 = \bar{a b} . (100 + 1) = \bar{a b} .100 + \bar{a b} = \bar{a b a b}$

Vậy $\bar{a b} .101 = \bar{a b a b}$ .

Câu 3:

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_nlà tổng của n số nguyên tố đầu tiên (S₁ = 2; S₂ = 2 + 3 = 5; S₃ = 2 + 3 + 5 = 10; ...).

Chứng minh rằng trong dãy số S₁, S₂, S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.

Xem đáp án

Gọi p_n là số nguyên tố thứ n

Giả sử tồn tại m mà S_m-1 = k²; S_m = l²; k, l ∈ ℕ*

Vì S₂ = 5, S₃ = 10, S₄ = 17

Suy ra m > 4

Ta có: P_m = S_m – S_m-1 = l² – k² = (l – k)(l + k)

Vì p_m là số nguyên tố và k + l > 1 nên $\{\begin{cases} l - k = 1 \\ l + k = p_{m} \end{cases}$

Suy ra

p_{m} = 2 l - 1 = 2 \sqrt{S_{m}} - 1

Suy ra $S_{m} = {(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2}$ (1)

Do m > 4 nên

S_m ≤ (1 + 3 + 5 + 7 + ... + p_m) + 2 – 1 – 9

$\Leftrightarrow S_{m} \leq 1^{2} - 0^{2} + 2^{2} - 1^{2} + 3^{2} - 2^{2} + ... + [{(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2} - {(\frac{p_{m} - 1}{2})}^{2}] - 8$

$\Leftrightarrow S_{m} \leq {(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2} - 8 < {(\frac{p_{m} + 1}{2})}^{2}$ (mâu thuẫn với (1))

Vậy trong dãy số S₁, S₂, S₃ ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương.

Câu 4:

Thắng có 25 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Hỏi tỉ số phần trăm của số bi đỏ và số bi xanh.

Xem đáp án

Tỉ số phần trăm của số bi đỏ và viên bi xanh là:

$\frac{15}{25} .100 = 60 %$

Vậy tỉ số phần trăm của số bi đỏ và số bi xanh là 60%.

Câu 5:

Tính hợp lí: 19 . 25 + 9 . 95 + 19 . 30.

Xem đáp án

19 . 25 + 9 . 95 + 19 . 30

= 19 . 25 + 9 . 5 . 19 + 19 . 30

= 19 . (25 + 45 + 30)

= 19 . 100

= 1 900.

Câu 6:

Một thế kỉ rưỡi bằng bao nhiêu năm?

Xem đáp án

1 thế kỉ = 100 năm

Suy ra một thế kỉ rưỡi bằng

100 + (100 : 2) = 150 (năm)

Vậy một thế kỉ rưỡi bằng 150 năm.

Câu 7:

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x³ – (x + y + z)² = (y + z)³ + 34.

Xem đáp án

Đặt y + z = a với a ∈ ℤ, a ≥ 2 ta có:

x³ – (x + a)² = a³ + 34

Û x³ – a³ = (x + a)² + 34 (1)

Û (x – a)(x² + xa + a²) = x² + 2xa + a² + 34 (2)

Û (x² + xa + a²)(x – a – 1) = xa + 34

Vì x, a nguyên dương nên x² + xa + a² > 0 và xa + 34 > 0

Suy ra x – a – 1 > 0 hay x – a ≥ 2

Kết hợp với (2) suy ra x² + 2xa + a² + 34 ≥ 2(x² + xa + a²)

Û x² + a² ≤ 34

Þ x² ≤ 34 Þ x < 6

Mà x ≥ a + 2 ≥ 4 nên x ∈ {4; 5}

– Xét x = 5, từ x² + a² ≤ 34 suy ra a ≤ 3, kết hợp a ∈ ℤ, a ≥ 2 (theo cách đặt) ta được a ∈ {2; 3}.

• Với x = 5, a = 2 thay vào (1) không thỏa mãn.

• Với x = 5, a = 3 thỏa mãn (1) và được y = 1; z = 2 hoặc y = 2; z = 1.

– Xét x = 4, từ x – a ≥ 2 suy ra a ≤ 2 (mà a = 2 loại vì không thỏa mãn (1))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x; y; z) ∈ {(5; 1; 2); (5; 2; 1)}.

Câu 8:

Tìm n để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố.

Xem đáp án

Ta có: (n² – 8)² + 36

= n⁴ – 16n² + 64 + 36

= n⁴ – 16n² + 100

= n⁴ + 20n² + 100 – 36n²

= (n² + 10)² – (6n)²

= (n² + 6n + 10)(n² – 6n + 10)

Để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố thì n² + 6n + 10 = 1 hoặc n² – 6n + 10 = 1

TH1: n² + 6n + 10 = 1

⇔ n² + 6n + 9 = 0

⇔ (n + 3)² = 0

⇔ n + 3 = 0

⇔ n = –3 (loại)

TH2: n² – 6n + 10 = 1

⇔ n² – 6n + 9 = 0

⇔ (n – 3)² = 0

⇔ n – 3 = 0

⇔ n = 3 (thỏa mãn)

Vậy n = 3 thì (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố.

Câu 9:

Số chẵn bé nhất có 3 chữ số là bao nhiêu?

Xem đáp án

Số chẵn bé nhất có 3 chữ số là: 100.

Câu 10:

Giải phương trình (x – 5)⁴ + (x – 3)⁴ = 16.

Xem đáp án

Đặt x – 4 = t

Ta có phương trình:

(t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16

⇔ (t² – 2t + 1)² + (t² + 2t + 1)² = 16

⇔ t⁴ + 4t² + 1 + 2t² – 4t³ – 4t + t⁴ + 4t² + 1 + 2t² + 4t³ + 4t – 16 = 0

⇔ 2t⁴ + 12t² – 14 = 0

⇔ t⁴ + 6t² – 7 = 0

⇔ t⁴ + 7t² – t² – 7 = 0

⇔ t²(t² + 7) – (t² + 7) = 0

⇔ (t² + 7)(t² – 1) = 0

⇔ t² – 1 = 0 (vì t² + 7 > 0 với mọi t)

⇔ (t – 1)(t + 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t - 1 = 0 \\ t + 1 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 4 = 1 \\ x - 4 = - 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3; 5}.

Câu 11:

Tìm số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn điều kiện: Số đó cộng với tổng các chữ số của nó bằng 2013. Số đó là bao nhiêu?

Xem đáp án

Số cần tìm nhỏ hơn 2013.

Vì là số lớn nhất nên số đó có 4 chữ số

Gọi số đó là abcd

Theo đề bài abcd + a + b + c + d = 2013

Suy ra abcd < 2013

Do đó a = 1 hoặc a = 2

• Nếu a = 2

Khi đó 2bcd + 2 + b + c +d = 2013

⇔ 2000 + bcd + 2 + b + c + d = 2013

⇔ bcd + b + c + d = 11

⇔ bcd < 11

Suy ra b = 0 khi đó cd + c + d = 11

Do đó cd < 11

Không có chữ số c, d thỏa mãn để cd + c + d = 11 nên a = 2 không tìm được số nào thỏa mãn đề bài

• Nếu a = 1

⇔ 1bcd + 1 + b + c + d = 2013

⇔ 1000 + bcd + 1 + b + c + d = 2013

⇔ bcd + b + c + d = 1012

Vì b + c + d lớn nhất bằng 9 + 9 + 9 = 27 nên bcd nhỏ nhất là 1012 – 27 = 985

⇔ b = 9

⇔ 9cd + 9 + c + d = 1012

⇔ cd + c + d = 103

c + d lớn nhất bằng 9 + 9 = 18 nên cd nhỏ nhất là: 103 – 18 = 85

Suy ra c = 8 hoặc c = 9

c = 8 thì 8d + 8 + d = 103 ⇔ d + d = 15 (loại)

c = 9 thì 9d + 9 + d = 103 ⇔ d + d = 4 ⇔ d = 2

Vậy số cần tìm đó là 1992.

Câu 12:

Cho 1 số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp nhau từ 1 đến 2021 được viết theo thứ tự 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 2019 2020 2021 tính tổng các chữ số đó.

Xem đáp án

Bước 1: Tính tổng các chữ số từ 0 đến 999:

Thêm các chữ số 0 vào trước các số có 1 và 2 chữ số để ta được dãy số gồm toàn các số có 3 chữ số: 000; 001; 002; 003; 004; ...; 999 (Tổng các chữ số vẫn không thay đổi)

Khi này, dãy số trên có 1000 số

Số các chữ số là: 1000 × 3 = 3 000 (chữ số)

Mỗi chữ số 0; 1; 2; ...; 9 xuất hiện số lần là: 3000 : 10 = 300 (lần)

Vậy, tổng các chữ số từ 0 đến 999 là:

(0 + 1 + 2 + ... + 9) × 300 = 45 × 300 = 13 500

Bước 2: Tính tổng các chữ số từ 1000 đến 1999:

So với dãy số 000 đến 999 thì mỗi số tăng thêm 1 ở hàng nghìn

Vậy tổng các chữ số từ 1000 đến 1999 là:

13 500 + 1 × 1000 = 13 500 + 1000 = 14 500

Bước 3: Tính tổng các chữ số từ 2000 đến 2021:

Ta có tổng các chữ số từ 2000 đến 2021 là:

(2 × 21 + 1 × 10 + 2 + 2 × 45) + (2 + 0 + 2 + 1)

= (42 + 10 + 2 + 90) + 5

= 144 + 5

= 149

Vậy, tổng tất cả các chữ số từ 1 đến 2021 là 13 500 + 14 500 + 149 = 28 149.

Câu 13:

Có bao nhiêu phân số thập phân lớn hơn 1 và nhỏ hơn 5 có mẫu số là số có hai chữ số.

Xem đáp án

Phân số thập phân có mẫu số là số có hai chữ số

Suy ra mẫu số là 10

Gọi phân số cần tìm là $\frac{x}{10}$

Ta có: $1 < \frac{x}{10} < 5$

$\Leftrightarrow \frac{10}{10} < \frac{x}{10} < \frac{50}{10}$

⇔ 10 < x < 50

⇔ x ∈ {11; 12; 13; ...; 48; 49} có 49 – 11 + 1 = 39 số

Vậy có 39 phân số thỏa mãn.

Câu 14:

Một buổi sáng cửa hàng bán được 45,8kg gạo, buổi chiều cửa hàng bán được ít hơn buổi sáng 5,35kg. Hỏi buổi chiều cửa hàng bán được bao nhiêu kg gạo?

Xem đáp án

Buồi chiều cửa hàng bán được số kg gạo là:

45,8 – 5,35 = 40,45 (kg)

Đáp số: 40,45 kg.

Câu 15:

Khi chia hai số tự nhiên a và b cho 3 thì cùng có số dư là r. Chứng minh rằng (a – b) chia hết cho 3.

Xem đáp án

Vì a chia 3 dư r nên a = 3p + r

Vì b chia 3 dư r nên b = 3q + r

Xét a – b = (3p + r) – (3q + r)

= 3p + r – 3q – r

= 3p + 3q = 3(p + q)

Vì 3(p + q) ⋮ 3 nên (a – b) ⋮ 3

Vậy (a – b) chia hết cho 3.

Câu 16:

Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng tỏ rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Xem đáp án

Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).

Suy ra 5a + 2b, 7a + 3b chia hết cho d.

Do đó 7(5a + 2b), 5(7a + 3b) cũng chia hết cho d.

Khi đó, ta có: 5(7a + 3b) – 7(5a + 2b) = 35a + 15b – (35a + 14b) = b chia hết cho d.

Ta lại có 3(5a + 2b), 2(7a + 3b) cũng chia hết cho d.

Khi đó, ta có: 3(5a + 2b) – 2(7a + 3b) = 15a + 6b – (14a + 6b) = a cũng chia hết cho d.

Mà a và b nguyên tố cùng nhau nên d = 1.

Vậy 5a + 2b và 7a + 3b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Câu 17:

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) có BC là đường kính và AC = R. Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H.

a) Tính độ dài các cạnh AB, AH theo R;

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) có BC là đường kính và AC = R. Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H. a) Tính độ dài các cạnh AB, AH theo R; (ảnh 1)

Vì BC là đường kính của (O; R) nên BC = 2R

Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC² = AB² + AC² (Pythagore)

Hay (2R)² = AB² + R²

Suy ra $A B = R \sqrt{3}$

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH . BC = AB . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay $AH . 2R = R \sqrt{3} . R$

Suy ra $AH = \frac{R \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 18:

b) Chứng minh rằng HA . HD = HB . HC;

Xem đáp án

b) Xét (O) có BC là đường kính, AD là dây cung suy ra OC ⊥ AD tại H

Do đó H là trung điểm của AD (định lý đường kính vuông góc với dây)

Hay AH = HD

Suy ra AH . HD = AH²

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra HB . HC = AH² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Do đó HA . HD = HB . HC.

Câu 19:

c) Gọi M là giao điểm của AC và BD. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở I, cắt AB ở N. Chứng minh ba điểm N, C, D thẳng hàng;

Xem đáp án

c) Vì tam giác BCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC nên tam giác BCD vuông ở D, hay BD ⊥ DC

Do đó BM ⊥ DC (1)

Xét DMNB có hai đường cao BI và MA cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác

Suy ra MB ⊥ NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, D, N thẳng hàng.

Câu 20:

d) Chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xem đáp án

d) Xét tam giác ABC vuông tại A có $A C = R = \frac{1}{2} B C$

Suy ra $\hat{A B C} = 30 °$

Ta có: AD ⊥ BI, MN⊥ BI, suy ra AD // MN

Xét tam giác BMN có AD // MN

Suy ra $\frac{A H}{N I} = \frac{H D}{I M}$

Mà AH = HD, suy ra NI = IM

Hay I là trung điểm của MN

Xét tam giác BMN có BI vừa là trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra tam giác BMN cân tại B và BI là tia phân giác

Do đó $\hat{N B M} = 2 \hat{A B C} = 2.30 ° = 60 °$

Suy ra tam giác BMN đều

Lại có C là trực tâm, suy ra C cũng đồng thời là trọng tâm tam giác

Do đó BC = 2CI, hay 2OC = 2CI

Suy ra OC = CI

Mà OC + CI = OI

Suy ra $OC = CI = \frac{1}{2} O I$

Xét tam giác AIO có $OC = CI = \frac{1}{2} O I$

Suy ra tam giác AIO vuông tại A, hay AO ⊥ AI

Xét (O) có OA là bán kính, AO ⊥ AI

Suy ra AI là tiếp tuyến của (O)

Vậy AI là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Câu 21:

Điền số thích hợp vào chỗ trống theo quy luật 24, 48, 80, 120, ...

Xem đáp án

Ta có

48 – 24 = 24;

80 – 48 = 32 = 24 + 8;

120 – 80 = 40 = 32 + 8

Suy ra số tiếp theo là: 40 + 8 + 120 = 168

Vậy số cần tìm là 168.

Câu 22:

Cho hàm số y = f(x) = 4x² – 4mx + m² – 2m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho min(x) = 3 trên [–2; 0].

Xem đáp án

Hàm số y = f(x) = 4x² – 4mx + m² – 2m có a = 4 > 0, $- \frac{b}{2 a} = \frac{m}{2}$

• TH1: Nếu $\frac{m}{2} \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 4$

Thì f(x) đồng biến trên [–2; 0]

Suy ra f(x)_min = f(–2) = 4(–2)² – 4m . (–2) + m² – 2m = m² + 6m + 16 = 3

⇔ m² + 6m + 13 = 0

⇔ m² + 6m + 9 + 4 = 0

⇔ (m + 3)² + 4 = 0

Vì (m + 3)² ≥ 0 với mọi m

Nên (m + 3)² + 4 > 0 với mọi m

Suy ra phương trình m² + 6m + 13 = 0 vô nghiệm

• TH2: Nếu $\frac{m}{2} \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 0$

Thì f(x) nghịch biến trên [–2; 0]

Suy ra f(x)_min = f(0) = 4(0)² – 4m . 0 + m² – 2m = m² – 2m = 3

⇔ m² – 2m – 3 = 0

⇔ m² + m – 3m – 3 = 0

⇔ m(m + 1) – 3(m + 1) = 0

⇔ (m + 1)(m – 3) = 0

⇔ $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 3 \end{array}$

Mà m ≥ 0 nên m = 3

+) TH3: Nếu

Thì f(x) nghịch biến trên [–2; 0]

Suy ra $f {(x)}_{\min} = f (\frac{m}{2}) = 4 {(\frac{m}{2})}^{2} - 4 m (\frac{m}{2}) + m^{2} - 2 m = 3$

⇔ – 2m = 3

⇔ $m = \frac{- 3}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy $m = \frac{- 3}{2}$ hoặc m = 3.

Câu 23:

Số a chia cho 5 dư 2, số b chia cho 5 dư 3. Hỏi a + b chia 5 dư mấy?

Xem đáp án

Vì a chia 5 dư 2 nên a = 5x + 2

Vì b chia 5 dưa 3 nên b = 5y + 3

Ta có a + b = 5x + 2 + 5y + 3 = 5x + 5y + 5

Vì 5x ⋮ 5, 5y ⋮ 5, 5 ⋮ 5

Suy ra a + b ⋮ 5

Vậy a + b chia 5 dư 0.

Câu 24:

Đổi 2 giờ 45 phút = ... giờ (là số thập phân).

Xem đáp án

Ta có 1 giờ = 60 phút nên 2 giờ 45 phút = 2,75 giờ.

Câu 25:

Một số nếu giảm đi 6 lần rồi thêm 25,71 thì được 88,5. Tìm số đó.

Xem đáp án

Số cần tìm là:

(88,5 – 25,71 ) × 6 = 376,74

Vậy số cần tìm là 376,74.

Câu 26:

Cho a; b; c thõa mãn: a + b + c = 2000 và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2000}$ thì một trong ba số a; b; c phải có một số bằng 2000.

Xem đáp án

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2000}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + (\frac{1}{c} - \frac{1}{a + b + c}) = 0$

$\Leftrightarrow (\frac{a + b}{a b}) + (\frac{a + b + c - c}{c (a + b + c)}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a + b) c (a + b + c)}{a b c (a + b + c)} + \frac{(a + b) a b}{a b c (a + b + c)} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a + b) c (a + b + c) + a b (a + b)}{a b c (a + b + c)} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a + b) [c (a + b + c) + a b]}{a b c (a + b + c)} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a + b) (c a + c b + c^{2} + a b)}{a b c (a + b + c)} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a + b) (b + c) (c + a)}{a b c (a + b + c)} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a + b = 0 \\ b + c = 0 \\ a + c = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 200 \\ c = 200 \\ b = 200 \end{array}$

Vậy một trong ba số a, b, c có một số bằng 2000.

Câu 27:

Ba công nhân có năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính tổng số tiền ba người được thưởng nếu biết tổng số tiền thưởng của người thứ nhất và thứ hai là 5,6 triệu.

A. 11 triệu;

B. 15 triệu;

C. 10,5 triệu;

D. 10 triệu.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi x, y, z lần lượt là số tiền thưởng của ba công nhân (x, y, z > 0) (triệu đồng)

Giả sử x, y, z tỉ lệ thuận với 3; 5; 7

Ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ và x + y = 5,6

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Ba công nhân có năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính tổng số tiền ba người được thưởng nếu biết tổng số tiền thưởng của người thứ nhất và thứ hai là 5,6 triệu. A. 11 triệu; B. 15 triệu; C. 10,5 triệu; D. 10 triệu. (ảnh 1)

Do đó tổng số tiền thưởng của ba người là 10,5 triệu

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 28:

Một người đi ô tô trong 2 giờ đầu, mỗi giờ đi được 42,5 km; trong 4 giờ sau, mỗi giờ đi được 46,25 km. Hỏi trên cả quãng đường, trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu ki – lô – mét?

Xem đáp án

Hai giờ đầu người đó đi được:

42,5 × 2 = 85 (km)

Bốn giờ sau người đó đi được:

46,25 × 4 = 185 (km)

Trên cả quãng đường người đó đã đi được:

85 + 185 = 270 (km)

Thời gian ô tô đi trên cả quãng đường là:

2 + 4 = 6 (giờ)

Trung bình mỗi giờ người đó đi được:

270 : 6 = 45 (km)

Vậy trên cả quãng đường, trung bình mỗi giờ người đó đi được 45 km.

Câu 29:

Trong một tháng có hai ngày đầu tháng và cuối tháng đều là chủ nhật. Hỏi đó là tháng mấy?

Xem đáp án

Một tháng có hai ngày đầu tháng và cuối tháng đều là chủ nhật thì số ngày của tháng đó chia cho 7 dư 1.

Mà trong các tháng từ 1 đến 12 thì chỉ có tháng 2 của năm nhuận (29 ngày) có :

29 : 7 = 4 dư 1

Vậy tháng đó là tháng 2 của năm nhuận.

Câu 30:

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh rằng tam giác AQR và tam giác APS là tam giác cân.

Xem đáp án

a)

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh rằng tam giác AQR và tam giác APS là tam giác cân. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)

Nên AB = BC = CD = DA, $\hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = \hat{D A B} = 90 °$

Ta có $\hat{B AR} + \hat{R A D} = \hat{D A B} = 90 °$

$\hat{DAQ} + \hat{R A D} = \hat{R A Q} = 90 °$

Suy ra $\hat{B A R} = \hat{D A Q}$

Xét DABR và DADQ có:

$\hat{A B R} = \hat{ADQ} (= 90 °)$ ;

AB = AD (chứng minh trên);

$\hat{B A R} = \hat{D A Q}$ (chứng minh trên)

Do đó DABR = DADQ (g.c.g)

Suy ra AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

Do đó DAQR cân tại A

Chứng minh tương tự ta có DADS = DABP (g.c.g)

Suy ra AS = AP (2 cạnh tương ứng)

Do đó tam giác APS cân tại A.

Câu 31:

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh rằng tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

Xem đáp án

b) Xét DAQR cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao

Do đó AM ⊥ QR, hay $\hat{A M H} = 90 °$

Xét DAPS cân tại A có AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao

Do đó AN ⊥ SP, hay $\hat{A N H} = 90 °$

Vì DAQR vuông cân tại A nên $\hat{A Q R} = \hat{AR Q} = 45 °$

Vì DAPS vuông cân tại A nên $\hat{A P S} = \hat{ASP} = 45 °$

Xét DPHQ có $\hat{P Q H} + \hat{P H Q} + \hat{H P Q} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $45 ° + \hat{P H Q} + 45 ° = 180 °$

Suy ra $\hat{P H Q} = 90 °$

Xét tứ giác AMHN có: $\hat{A M H} = \hat{A N H} = \hat{M H N} = 90 °$ (chứng minh trên)

Suy ra AMHN là hình chữ nhật.

Câu 32:

c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR.

Xem đáp án

c) Xét tam giác SQR có:

BC ⊥ CD hay RC ⊥ SQ nên RC là đường cao

AP ⊥ AR hay QA ⊥RS nên QA là đường cao

Mà RC cắt QA tại P

Suy ra P là trực tâm tam giác SQR.

Câu 33:

d) Chứng minh rằng MN là đường trung trực của AC.

Xem đáp án

d) Vì DASP vuông tại A có trung tuyến AN, suy ra $A N = \frac{1}{2} S P$

Vì DCSP vuông tại C có trung tuyến CN, suy ra $C N = \frac{1}{2} S P$

Do đó AN = CN

Hay N thuộc trung trực của AC (1)

Vì DAQR vuông tại A có trung tuyến AM, suy ra $A M = \frac{1}{2} Q R$

Vì DCQR vuông tại C có trung tuyến CM, suy ra $C M = \frac{1}{2} Q R$

Do đó AM = CM

Hay M thuộc trung trực của AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là trung trực của AC

Vậy MN là trung trực của AC.

Câu 34:

e) Chứng minh rằng bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.

Xem đáp án

e) Ta có BA = BC (chứng minh câu a) nên B thuộc trung trực của AC

Mà MN là trung trực của AC (chứng minh câu d)

Suy ra B thuộc MN

Vì DA = DC (chứng minh câu a) nên D thuộc trung trực của AC

Mà MN là trung trực của AC (chứng minh câu d)

Suy ra D thuộc MN

Vậy M, B, N, D thẳng hàng.

Câu 35:

Cho hình thoi ABCD có cạnh a, có $\hat{B A D} = 60 °$ . Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính $|\vec{A B} + \vec{A D}|, |\vec{B A} - \vec{B C}|, |\vec{O B} - \vec{DC}| .$

Xem đáp án

cho hình thoi abcd cạnh a bad 60 độ gọi o là giao điểm của hai đường chéo ac và bd tính ab trừ bc (ảnh 1)

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a

Suy ra tam giác ABD cân tại A

Mà $\hat{B A D} = 60 °$ , do đó tam giác ABD đều

Suy ra BD = a

Vì ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Nên AO ⊥ BD, O là trung điểm của AC và BD

Hay tam giác AOB vuông tại O

Suy ra $A O = A B \sin \hat{A B D} = A B \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Do đó $A C = 2 A O = 2. \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

Ta có $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C = a \sqrt{3}$

$|\vec{B A} - \vec{B C}| = |\vec{C A}| = C A = a \sqrt{3}$

|\vec{O B} - \vec{DC}| = |\vec{D O} - \vec{DC}| = |\vec{C O}| = C O = A O = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Câu 36:

Tính chu vi và diện tích hình tròn có bán kính 4 cm.

Xem đáp án

Chu vi hình tròn đó là:

4 × 2 × 3,14 = 25,12 (cm)

Diện tích hình tròn đó là:

4 × 4 × 3,14 = 50,24 (cm²)

Vậy chu vi hình tròn bằng 25,12 cm và diện tích hình tròn là 50,24 cm².

Câu 37:

Hỏi có bao nhiêu phân số thập phân khác 0 mà tổng của mẫu số và tử số là số lẻ nhỏ nhất có tám chữ số?

Xem đáp án

Số lẻ nhỏ nhất có 8 chữ số là 10 000 001

Gọi phân số cần tìm là $\frac{a}{b}$ (0 < a, b < 10 000 001)

Vì $\frac{a}{b}$ là phân số thập phân

Nên b ∈ {10; 100; 1 000; 10 000; 100 000; 1 000 000; 10 000 000}

Do đó có 7 cách chọn b

Vì 0 < a < 10 000 001 nên có 10 000 000 cách chọn a

Suy ra có 7 × 10 000 000 = 70 000 000 phân số thỏa mãn

Vậy có 70 000 000 phân số thỏa mãn đề bài.

Câu 38:

Số nguyên tố là gì? Ví dụ minh họa.

Xem đáp án

Số nguyên tố là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1, chia hết cho 1 và chính nó. Hoặc hiểu một cách đơn giản, những số tự nhiên nào lớn hơn 1, không chia được cho số nào khác ngoài số 1 và chính số đó thì đó là số nguyên tố.

Ví dụ số nguyên tố là 3, 5, 7, 13, 17, 23, 29, 97, 101, 997….

Câu 39:

Có một cái ao ở giữa một khu đất, diện tích cái ao là 30,6 m² và nhỏ hơn diện tích của cả khu đất 45,57 m². Hỏi diện tích khu đất là bao nhiêu m²?

Xem đáp án

Diện tích khu đất là:

30,6 + 45,57 = 76,17 (m²)

Vậy diện tích khu đất là 76,17 m².

Câu 40:

Có tất cả bao nhiêu cặp số tự nhiên có trung bình cộng là 50?

Xem đáp án

Tổng của hai số là: 50 × 2 = 100

Ta có: 100 = 0 + 100 = 1 + 99 = 2 + 98 = 3 + 97 = ... = 49 + 51

Từ 0 đến 100 có: (100 – 0) + 1 = 101 số hạng nên có 50 cặp

Vậy có 50 cặp số tự nhiên có trung bình cộng là 50.

Câu 41:

Hai căn phòng hình chữ nhật. Căn phòng thứ nhất có chiều dài là 5,2 m và chiều rộng 3,4 m. Căn phòng thứ hai có chiều dài là 4,8 m chiều rộng là 3,7 m. Hỏi căn phòng nào có diện tích lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu mét vuông?

Xem đáp án

Diện tích căn phòng thứ nhất là:

5,2 × 3,4 = 17,68 (m²)

Diện tích cân phòng thứ hai là:

4,8 × 3,7 = 17,76 (m²)

Suy ra diện tích căn phòng thứ hai lớn hơn phòng thứ nhất là:

17,76 – 17,68 = 0,08 (m²)

Vậy diện tích căn phòng thứ hai lớn hơn và hơn 0,08 m².

Câu 42:

Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó.

Xem đáp án

Theo bài ra ta có:

Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó. (ảnh 1)

Số nhỏ là: (33 – 3) : 2 = 15

Số lớn là: 33 + 15 = 48

Vậy hai số cần tìm là 15 và 48.

Câu 43:

Lãi suất tiết kiệm là 0,65% / tháng. Để sau một tháng nhận được tiền lãi là 832 000 đồng thì khách hàng phải gửi số tiền gốc là bao nhiêu?

Xem đáp án

Khách hàng phải gửi số tiền vốn là:

832 000 : 0,65 . 100 = 128 000 000 (đồng)

Vậy khách hàng phải gửi 128 000 000 đồng để sau một tháng nhận 832 000 đồng tiền lãi.

Câu 44:

Một người bỏ ra 450 000 đồng tiền vốn để mua một cây quạt. Người đó đã bán cây quạt với giá 486 000 đồng. Hỏi người đó lãi bao nhiêu phần trăm tiền vốn?

Xem đáp án

Số tiền lãi là:

486 000 – 450 000 = 36 000 (đồng)

Người đó lãi số phần trăm là:

36 000 : 450 000 . 100 = 8%

Vậy người đó lãi 8% tiền vốn.

Câu 45:

Một người mua hai hộp kẹo, mỗi hộp chứa 4 túi kẹo, mỗi túi có 125 g kẹo. Hỏi người đó mua mấy kg kẹo? [giải bằng hai cách].

Xem đáp án

4 túi kẹo nặng số g là:

125 × 4 = 500 (g)

2 hộp kẹo nặng số g là:

500 × 2 = 1000 (g)

Đổi 1000 g = 1 kg

Vậy người đó mua 1 kg kẹo.

Câu 46:

Một đoàn tàu gồm 15 toa, mỗi toa dài 14 m chạy với vận tốc 43,2 km/giờ vượt qua một người đi bộ ngược chiều. Tính thời gian đoàn tàu vượt qua người đi bộ, biết vận tốc của người đi bộ là 4 km/giờ.

Xem đáp án

Đoàn tàu đó dài là:

14 × 15 = 210 (m)

Đổi 210 m = 0,21 km

Tổng vận tốc của tàu và người đi bộ là:

43,2 + 4 = 47,2 (km/giờ)

Thời gian đoàn tàu vượt qua người đi bộ là:

$0, 21 : 47, 2 = \frac{21}{4720}$ (giờ)

Vậy sau $\frac{21}{4720}$ giờ thì tàu vượt qua người đi bộ.

Câu 47:

Một cửa hàng đã bán được 240 kg gạo và số gạo đó bằng 12,5% tổng số gạo trước khi bán. Hỏi trước khi bán cửa hàng có mấy tấn gạo?

Xem đáp án

Trước khi bán gạo, cửa hàng có số gạo là:

240 : 12,5 × 100 = 1920 (kg)

Đổi 1920 kg = 1,92 tấn

Vậy trước khi bán cửa hàng có 1,92 tấn gạo.

Câu 48:

Tìm các ước của 10.

Xem đáp án

Ta thấy 10 chia hết cho 1; 2; 5; 10 và các số đối của các số trên là –1; –2; –5; –10.

Suy ra Ư(10) = {1; 2; 5; 10; –1; –2; –5; –10}.

Câu 49:

Nêu dấu hiệu chia hết cho cả 3 và 5.

Xem đáp án

Số chia hết cho cả 3 và 5 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 0 hoặc 5.

Ví dụ: 120; 135 ; ....

Câu 50:

a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số.

b) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số khác nhau

Xem đáp án

a) Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số là 100.

b) Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số khác nhau là 102.

Câu 51:

Theo kế hoạch, đội sản xuất phải trồng 15 ha rừng trong một năm.

a) Nửa năm đầu đội đã trồng được 7,8 ha rừng. Hỏi trong nửa năm đầu đội đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm kế hoạch cả năm?

Xem đáp án

a) Nửa năm đầu đội đã thực hiện được số phần trăm kế hoạch là:

7,8 : 15 × 100 = 52%

Câu 52:

b) Đến hết năm đội đã trồng được tất cả 16,8 ha rừng. Hỏi đội đó đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm và vượt mức kế hoạch bao nhiêu phần trăm?

Xem đáp án

b) Đội đó thực hiện được số phần trăm kế hoạch là:

16,8 : 15 × 100 = 112%

Như vậy đội đó đã vượt mức kể hoạch:

112 – 100 = 12%.

Câu 53:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

a) 5,2 × 9 + 5,2.

Xem đáp án

a) 5,2 × 9 + 5,2

= 5,2 × 9 + 5,2 × 1

= 5,2 × (9 + 1)

= 5,2 × 10

= 52.

Câu 54:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

b) 12,3 × 101 – 12,3.

Xem đáp án

b) 12,3 × 101 – 12,3

= 12,3 × 101 – 12,3 × 1

= 12,3 × (101 – 1)

= 12,3 × 100

= 1230.

Câu 55:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

c) 1,25 × 0,25 × 2,3 × 4 × 8 × 11.

Xem đáp án

c) 1,25 × 0,25 × 2,3 × 4 × 8 × 11.

= (1,25 × 8) × (0,25 × 4) × (2,3 × 11)

= 10 × 1 × 25,3

= 10 × 25,3

= 253.

Câu 56:

0,125 × 6,94 × 80. Tính bằng cách thuận tiện.

Xem đáp án

Ta có: 0,125 × 80 × 6,94

= 10 × 6,94

= 69,4.

Câu 57:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

a) 115,5 × 101 – 91 – 24,5;

b) 0,125 × 6,94 × 80;

Xem đáp án

a) 115,5 × 101 – 91 – 24,5

= 115,5 × 101 – (91 + 24,5)

= 115,5 × 101 – 115,5

= 115,5 × (101 – 1)

= 115,5 × 100

= 11 550.

b) 0,125 × 6,94 × 80

= (0,125 × 80) × 6,94

= 10 × 6,94

= 69,4.

Câu 58:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

c) 32 × 98 + 320 × 0,1 + 3 200 × 0,01;

d) 72,9 × 99 + 72 + 0,9;

e) 0,8 × 96 + 1,6 × 2.

Xem đáp án

c) 32 × 98 + 320 × 0,1 + 3 200 × 0,01

= 32 × 98 + 32 + 32

= 32 × (98 + 1 + 1)

= 32 × 100

= 3 200.

d) 72,9 × 99 + 72 + 0,9

= 72,9 × 99 + 72,9

= 72,9 × (99 + 1)

= 72,9 × 100

= 7 290.

e) 0,8 × 96 + 1,6 × 2

= 0,8 × 96 + 0,8 × 2 × 2

= 0,8 × 96 + 0,8 × 4

= 0,8 × (96 + 4)

= 0,8 × 100

= 80.

Câu 59:

Tính chu vi và diện tích của một hình chữ nhật có chiều dài 7,2 cm và chiều rộng kém chiều dài 3,55 cm.

Xem đáp án

Chiều rộng hình chữ nhật là:

7,2 – 3,55 = 3,65 (cm)

Chu vi hình chữ nhật là:

(7,2 + 3,65) × 2 = 21,7 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

7,2 × 3,65 = 26,28 (cm²).

Câu 60:

Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng với lãi suất 1 tháng là 0,7%. Hỏi nếu 3 tháng người đó mới rút cả gốc lẫn lãi thì được bao nhiêu tiền? Biết rằng tiền lãi hàng tháng được cộng dồn vào tiền gốc.

Xem đáp án

Số tiền lãi của tháng thứ nhất là:

100 000 000 × 0,7 : 100 = 700 000 (đồng)

Tổng số tiền lãi và gốc sau khi gửi tiết kiệm 1 tháng là:

100 000 000 + 700 000 = 100 700 000 (đồng)

Số tiền lãi của tháng thứ hai là:

100 700 000 × 0,7 : 100 = 704 900 (đồng)

Tổng số tiền lãi và gốc sau khi gửi tiết kiệm 2 tháng là:

100 700 000 + 704 900 = 101 404 900 (đồng)

Số tiền lãi của tháng thứ ba là:

101 404 900 × 0,7 : 100 = 709 834,3 (đồng)

Tổng số tiền lãi và gốc sau khi gửi tiết kiệm 3 tháng là:

101 404 900 + 709 834,3 = 102 114 734,3 (đồng)

Vậy sau 3 tháng rút cả lãi lần gốc thì người đó được 102 114 734,3 đồng.

Câu 61:

Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 20.

Xem đáp án

(x + 1)(x + 2) = 20

⇔ x² + 2x + x + 2 – 20 = 0

⇔ x² + 3x – 18 = 0

⇔ x² – 6x + 3x – 18 = 0

⇔ x(x – 6) + 3(x – 6) = 0

⇔ (x – 6)(x + 3) = 0

⇔ $[\begin{array}{l} x = 6 \\ x = - 3 \end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {– 6; 3}.

Câu 62:

Gọi S là tập hợp các ước tự nhiên của 51 251 616. Lấy 1 số thuộc S, xác suất để lấy được 1 số không là bội của 6?

Xem đáp án

Ta có: 51 251 616 = 2⁵.3⁶.13³

Suy ra số các ước nguyên dương của 51 251 616 là:

n(S) = (5 + 1)(6 + 1)(3 + 1) = 168.

⇒ Số cách chọn một ước nguyên dương: 168 cách

Hay số phần tử của không gian mẫu là 168

Giả sử các ước tự nhiên là bội của 6 trong S có dạng A = 2^a.3^b.13^c

⇒ 1 ≤ a ≤ 5, 1 ≤ b ≤ 6; 0 ≤ c ≤ 3.

Do đó: số các số chia hết cho 6 là: 5.6.4 = 120 (số)

Vậy xác suất cần tìm là: P = $1 - \frac{120}{168} = \frac{2}{7}$ .

Câu 63:

Tìm x để |x| > 2.

Xem đáp án

|x| > 2 ⇔ $[\begin{array}{l} x > 2 \\ x < - 2 \end{array}$ .

Vậy tập nghiệm của x là (– ∞; – 2] ∪ [2; +∞).

Câu 64:

Rút gọn biểu thức: A = 1 + sin2a.

Xem đáp án

A = 1 + sin2a

A = sin²a + cos²a + sin2a

A = sin²a + cos²a + 2sina.cosa

A = (sina + cosa)².

Câu 65:

Đặt tính rồi tính: 30,4 : 5.

Xem đáp án

$\begin{matrix} 30,4 \\ 0 4 \\ 40 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6,08 \end{matrix}$

Câu 66:

Tìm x biết: 4(x + 2) = 3(x + 1) + 17.

Xem đáp án

4(x + 2) = 3(x + 1) + 17

4x + 8 = 3x + 3 + 17

4x – 3x = 20 – 8

x = 12

Vậy x = 12.

Câu 67:

Tính bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a.

Xem đáp án

Tính bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a. (ảnh 1)

Trên hình vẽ là khối cầu (I; R) nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

Tâm I là trung điểm của AC’

Theo hình vẽ, ta thấy bán kính của khối cầu là: $R = \frac{1}{2} a$

Vậy bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a là $\frac{a}{2}$ .

Câu 68:

Giải phương trình: $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = x - 1$ .

Xem đáp án

Điều kiện: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

Ta có:

$\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = x - 1$

⇔ $\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{2}} = x - 1$

⇔ (x² – 1)² = (x – 1)²

⇔ (x – 1)².(x + 1)² = (x – 1)²

⇔ (x – 1)²[(x + 1)² – 1] = 0

⇔ (x – 1)²(x² + 2x) = 0

⇔ x(x + 2)(x – 1)² = 0

⇔ $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$ .

Mà theo điều kiện xác định x ≥ 1 nên ta chọn x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

Câu 69:

Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai:

A. 12 ∈ B(3).

B. 25 ∉ B(3).

C. B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; ... }.

D. B(3) = {3; 6; 9; 12; ... }.

Xem đáp án

Không có khẳng định nào sai vì:

A. 12 chia hết cho 3 nên 12 ∈ B(3)

B. 25 ∉ B(3): Số 25 không phải là bội số của 3 vì 25 không chia hết cho 3 (25 ÷ 3 = 8 dư 1).

C. B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; ... }: Tập hợp B(3) bao gồm số 0 và tất cả các số nguyên chia hết cho 3, ví dụ như 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

D. Tương tự đáp án C.

Câu 70:

Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau?

Xem đáp án

a) Sắp xếp 5 học sinh nữ có 5! cách

Khi đó, giữa các bạn nữ có 6 khoảng trống

Sắp xếp các bạn nam vào những khoảng trống đó có $A_{6}^{5}$ cách.

⇒ Có $A_{6}^{5} .5! = 86400$ cách xếp nam nữ xen kẽ

b) Coi 5 học sinh nữ là một nhóm và 5 học sinh nam là một nhóm

⇒ Mỗi nhóm có 5! cách sắp xếp

Sắp xếp hai nhóm với nhau có 2 cách

⇒ Có 5!.5!.2 = 28800 cách sắp xếp những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau.

Câu 71:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Biết b = 7; c = 5, cosA = $\frac{4}{5}$ . Tính độ dài của a.

Xem đáp án

Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA = 7² + 5² – 2.7.5. $\frac{4}{5}$ = 18

Suy ra: $a = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ .

Câu 72:

Cho cấp số nhân (u_n) có u₅ = 2 và u₉ = 6. Tính u₂₁?

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{cases} u_{5} = 2 \\ u_{9} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} . q^{4} = 2 \\ u_{1} . q^{8} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = \frac{2}{3} \\ q^{4} = 3 \end{cases}$

Suy ra: u₂₁ = u₁.q²⁰ = $u_{1} . {(q^{4})}^{5} = \frac{2}{3} {.3}^{5} = 162.$

Câu 73:

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = $\frac{1}{2}$ và công bội q = 2. Giá trị của u₁₀ bằng?

Xem đáp án

Ta có: u₁₀ = u₁.q⁹ = $\frac{1}{2} {.2}^{9} = 2^{8} = 256$

Vậy u₁₀ = 256.

Câu 74:

Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{1}{n + 1}, \forall n \geq 1$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

A. $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}$

B. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{6}$

D. $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là: $u_{1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

$u_{2} = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$

$u_{3} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$ .

Câu 75:

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa:

A. a và hình chiếu vuông góc của a lên (P).

B. a và một đường thẳng bất kì cắt (P).

C. a và đường vuông góc với (P).

D. a và một đường thẳng bất kì nằm trong (P).

Xem đáp án

Chọn A

Lý thuyết: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu vuông góc của a lên (P).

Câu 76:

Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo $\frac{π}{5}$ . Hỏi trong các số đo $\frac{6 π}{5}; \frac{9 π}{5}; - \frac{11 π}{5}; \frac{31 π}{5}; \frac{14 π}{5}$ , những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đã cho?

Xem đáp án

Các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là $\frac{π}{5} + k 2 π = (10 k + 1) \frac{π}{5} (k \in ℤ)$

Vậy trong các số đo đã cho chỉ có $\frac{31 π}{5} (k = 3)$ thỏa mãn.

Câu 77:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song với nhau. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có đặc điểm gì?

A. d song song với (Q).

B. d cắt (Q).

C. d nằm trong (Q).

D. d có thể cắt (Q) hoặc nằm trong (Q).

Xem đáp án

Chọn A

Lý thuyết: theo tính chất hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song mặt phẳng kia.

Áp dụng vào bài ta có:

Vì $\{\begin{cases} (P) / / (Q) \\ d \subset (P) \end{cases}$ nên d và (Q) không có điểm chung hay d song song với (Q).

Câu 78:

Cho hàm số f(x) = 3 + cosx. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. $\int f (x) d x = 3 x + \sin x + C$

B. $\int f (x) d x = 3 x - \cos x + C$

C. $\int f (x) d x = 3 x - \sin x + C$

D. $\int f (x) d x = 3 x + \cos x + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int f (x) d x = \int (3 + \cos x) d x = \int 3 d x + \int \cos x d x = 3 x + \sin x + C$ .

Câu 79:

Cho hàm số f(x) = e^x + 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int f (x) d x = e^{x} + C$

B. $\int f (x) d x = e^{x} + 2 x + C$

C. $\int f (x) d x = e^{x} - 2 x + C$

D. $\int f (x) d x = e^{x - 2} + C$

Xem đáp án

Chọn B

$\int f (x) d x = \int (e^{x} + 2) d x = e^{x} + 2 x + C$ .

Câu 80:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; +∞).

Xem đáp án

Chọn B

TXĐ: D = ℝ\{−1}.

Ta có: $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ ⇒ $y' = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Câu 81:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB. (ảnh 1)

Từ giả thiết ta có AB // CD nên $\hat{(S C; A B)} = \hat{(S C; C D)} = \hat{S C D}$

Mà hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau nên SC = SD = DC hay tam giác SDC là tam giác đều

Suy ra: $\hat{S C D} = 60 °$

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°.

Câu 82:

Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 1, SB = 2, SC = 3. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 1, SB = 2, SC = 3. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). (ảnh 2)

Câu 83:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính số đo góc giữa cạnh bên với mặt đáy.

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính số đo góc giữa cạnh bên với mặt đáy. (ảnh 2)

Câu 84:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC). (ảnh 1)

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Khi đó OB là hình chiếu của SB trên (ABCD)

⇒ $(S B, (A B C D)) = (S B, O B) = \hat{S B O} = 60 °$

Gọi M là trung điểm BC, dựng OH ⊥ SM

Ta có: OM ⊥ BC (vì OM là đường trung bình trong tam giác ABC nên OM // AB, mà AB ⊥ BC)

Ta có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC

Suy ra: BC ⊥ (SOM) ⇒ BC ⊥ OH

Mà OH ⊥ SM

Nên OH ⊥ (SBC) hay d(O, (SBC)) = OH

AO ∩ (SBC) = {C} nên $\frac{d (A, (S B C))}{d (O, (S B C))} = \frac{A C}{O C} = 2$

Hay d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH (*)

ABCD là hình vuông cạnh a nên $B D = a \sqrt{2} \Rightarrow B O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$O M = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2}$

Lại có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OB nên tam giác SOB vuông tại O

Suy ra: SO = OB.tan60° = $\frac{a \sqrt{2}}{2} . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xét trong tam giác SOM vuông tại O, có OH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng và Pytago trong tam giác vuông có: SO.OM = OH.SM

⇒ $O H = \frac{S O . O M}{\sqrt{S O^{2} + O M^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a}{2}}{\sqrt{{(\frac{a \sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{42}}{14}$

Từ (*) suy ra: d(A, (SBC)) = 2OH = $\frac{a \sqrt{42}}{7}$ .

Câu 85:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng BC song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (DD'A').

B. (DCC').

C. (A'B'B).

D. (ABD).

Xem đáp án

Chọn A

Vì BC // A'D' nên BC // (DD'A').

Câu 86:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng đáy (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường thẳng A'B (ảnh 1)

Câu 87:

Cho hình nón có bán kính bằng 3 và góc ở đỉnh bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Xem đáp án

Cho hình nón có bán kính bằng 3 và góc ở đỉnh bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. (ảnh 1)

Ta có hình vẽ của hình nón đã cho như hình trên.

Gọi H là tâm của đường tròn đáy và là trung điểm AB

Góc ở đỉnh bằng 60° nên $\hat{B S A} = 60 °$

Suy ra tam giác SAB đều ⇒ l = SA = AB = 2R = 2.3 = 6

Diện tích xung quanh hình nón là:

S_xq = πRl = π.3.6 = 18π.

Câu 88:

Cho hình nón có đường kính đáy bằng r và độ dài đường sinh ℓ. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Xem đáp án

Hình nón có đường kính đáy r nên nó có bán kính đáy bằng $\frac{r}{2}$ .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

S_xq = $π . \frac{r}{2} . l = \frac{π}{2} r l$ .

Câu 89:

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 2a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.

Xem đáp án

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 2a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho. (ảnh 1)

Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD có cạnh 2a

Hình trụ có bán kính đáy R = a và chiều cao h = 2a.

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S_tp = 2πRh + 2πR² = 2πa.2a + 2πa² = 6πa².

Câu 90:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a \sqrt{2}$ , ΔSAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a căn 2 , ΔSAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. (ảnh 2)

Câu 91:

Cho khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông diện tích bằng 36. Tính thể tích khối trụ đó.

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra chiều cao khối trụ bằng 6

Bán kính bằng 3

Do đó thể tích khối trụ bằng: π.3².6 = 54π.

Câu 92:

Cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R). Gọi d là khoảng cách từ I đến (P). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. d < R.

B. d > R.

C. d = R.

D. d = 0.

Xem đáp án

Chọn C

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) khi và chỉ khi d = R.

Câu 93:

Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, và AD hợp với (BCD) một góc 60°. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, và AD hợp với (BCD) một góc 60°. Tính thể tích tứ diện ABCD. (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của BC

Vì tam giác BCD cân tại D nên DH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Suy ra: DH vuông góc BC.

Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)

Mà (ABC) ⊥ (BCD) nên AH ⊥ (BCD)

Ta có: AH ⊥ HD

Suy ra: AH = AD.tan60° = $a \sqrt{3}$

HD = AD.cot60° = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Ta lại có tam giác BCD vuông cân tại D nên BC = 2HD = $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Khi đó thể tích V_ABCD = $\frac{1}{3} . A H . S_{B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a \sqrt{3}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

Câu 94:

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn trong đó có mặt 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng $\bar{a b c d e}$

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 9 . 9 . 8 . 7 . 6 = 27216 (để lập ra số có 5 chữ số đôi một khác nhau thì a có 9 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có 8 cách chọn, d có 7 cách chọn, e có 6 cách chọn)

Trong {0; 1; 2; 3; …; 9} có 5 chữ số chẵn; 5 chữ số lẻ

Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.

TH1: Có chữ số 0

Xếp chữ số 0 có 4 cách (vì a khác 0)

Chọn 1 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn còn lại và sắp xếp có $C_{4}^{1} .4$

Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số lẻ và sắp xếp có $C_{5}^{3} .3!$

Khi đó lập được: $4! . C_{4}^{1} .4. C_{5}^{3} .3!$

TH2: Không có chữ số 0 có:

Chọn 2 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn còn lại và sắp xếp có $C_{4}^{2}$

Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số lẻ có $C_{5}^{3}$

Xếp 5 chữ số có 5!

Khi đó lập được: $C_{4}^{2} . C_{5}^{3} .5!$

Suy ra: n(E) = $4! . C_{4}^{1} .4. C_{5}^{3} .3! + C_{4}^{2} . C_{5}^{3} .5! = 11040$ .

Vậy xác suất cần tìm là: $P (E) = \frac{11040}{27216} = \frac{230}{567}$ .

Câu 95:

Chữ N có trục đối xứng không?

Xem đáp án

Chữ N không có trục đối xứng, chỉ có tâm đối xứng

Câu 96:

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong tọa độ Oxyz.

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng phương.

Câu 97:

Có 12 học sinh gồm 6 nam và 6 nữ ngồi vào hai hàng ghế đối diện nhau tùy ý. Tính xác suất để mỗi một em nam ngồi đối diện với một em nữ.

Xem đáp án

Xếp 12 học sinh vào 12 ghế có 12! cách.

n(Ω) = 12!

Gọi A là biến cố “Xếp mỗi một em nam ngồi đối diện một em nữ”

Có 12 học sinh gồm 6 nam và 6 nữ ngồi vào hai hàng ghế đối diện nhau tùy ý. Tính xác suất để mỗi một em nam ngồi đối diện với một em nữ. (ảnh 1)

Giả sử vị trí 1 là một em học sinh

Thì vị trí 1 có 12 cách chọn

Để ngồi đối diện là 1 em khác giới thì vị trí 2 có 6 cách chọn

Cứ như vậy:

Vị trí 3 có 10 cách chọn (do đã chọn 2 em cho vị trí 1,2)

Vị trí 4 có 5 cách chọn

…..

Nên n(A) = 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1

Suy ra: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{16}{231}$ .

Câu 98:

Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người? Biết rằng mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật.

Xem đáp án

Do mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật nên trong 3 người có: 2 người nhận 1 đồ, 1 người nhận 2 đồ.

Bước 1: Chọn 2 đồ vật trong 4 đồ vật.

Bước 2: Hoán vị : 2 đồ vật + 1 nhóm 2 đồ vật (chia cho 3 người).

Số cách chia là: $C_{4}^{2} .3! = 36$ .

Câu 99:

Có bao nhiêu số có 2 chữ số sao cho số đó lớn hơn 40 và có chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn 2?

Xem đáp án

Giả sử số có 2 chữ số cần tìm là $\bar{a b} (a \neq 0; a, b < 10)$

Theo bài ra ta có: b < 2 nên b = 0 hoặc b = 1

Vì $\bar{a b} > 40$ nên a ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Suy ra: $\bar{a b} \in \{41; 50; 51; 60; 61; 70; 71; 80; 81; 90; 91\}$ .

Vậy có 11 số thỏa mãn.

Câu 100:

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn $3^{x^{2} + y^{2}} = 4^{x + y}$ ?

Xem đáp án

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3^ (x^2 +y^2)= 4^(x+y) ? (ảnh 1)

Câu 101:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [− 10; 10] để hàm số y = x⁴ + (m – 2)x² đạt cực tiểu tại x = 0?

Xem đáp án

Ta có: y' = 4x³ + 2(m – 2)x

y'' = 12x² + 2(m – 2)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ $\{\begin{cases} f' (0) = 0 \\ f'' (0) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 = 0 \\ 2 (m - 2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2$ (*)

Xét m = 2 thì hàm số y = x⁴ có y' = 4x³; y' = 0 ⇔ x = 0

Ta có bảng biến thiên:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [− 10; 10] để hàm số y = x^4 + (m – 2)x^2 đạt cực tiểu tại x = 0? (ảnh 1)

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Mà m ∈ [– 10; 10] kết hợp (*) và m = 2 ta được: m ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Vậy có 9 giá trị của tham số m.

Câu 102:

Giải phương trình: cos(x – 15°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Xem đáp án

cos(x – 15°) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ cos(x – 15°) = cos45°

⇔ $[\begin{array}{l} x - 15 ° = 45 ° + k 360 ° \\ x - 15 ° = - 45 ° + k 360 ° \end{array} (k \in ℤ)$

⇔ $[\begin{array}{l} x = 60 ° + k 360 ° \\ x = - 30 ° + k 360 ° \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 103:

Đạo hàm của cos³x là gì?

Xem đáp án

(cos³x)' = 3cos²x . (cosx)' = – 3sinx.cos²x.

Câu 104:

Tìm đạo hàm của $\frac{1}{\ln x}$ .

Xem đáp án

${(\frac{1}{\ln x})}^{'} = \frac{- 1}{{(\ln x)}^{2}} . {(\ln x)}^{'} = \frac{- 1}{{(\ln x)}^{2}} . \frac{1}{x} = \frac{- 1}{x . {(\ln x)}^{2}}$

Câu 105:

Tìm đạo hàm của $y = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$ .

Xem đáp án

$y^{'} = {(\frac{2 x}{x^{2} - 9})}^{'} = \frac{2 (x^{2} - 9) - 2 x .2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = \frac{2 x^{2} - 18 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = \frac{- 2 x^{2} - 18}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = \frac{- 2 (x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Câu 106:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{2 x^{2}}$ .

Xem đáp án

$y^{'} = {(\frac{1}{2 x^{2}})}^{'} = \frac{- 1}{4 x^{4}} . {(2 x^{2})}^{'} = \frac{- 1}{4 x^{4}} .4 x = \frac{- 1}{x^{3}}$

Câu 107:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{2}{x^{2} + 1}$ .

Xem đáp án

Áp dụng công thức ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} . v - v^{'} . u}{v^{2}}$ .

$y^{'} = {(\frac{2}{x^{2} + 1})}^{'} = \frac{0 - 2.2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Câu 108:

Tìm đạo hàm của hàm số y = x.

Xem đáp án

Ta có: y' = (x)' = 1.

Câu 109:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = x^{\frac{1}{3}}$ .

Xem đáp án

$y^{'} = {(x^{\frac{1}{3}})}^{'} = \frac{1}{3} . x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} . x^{- \frac{2}{3}}$

Câu 110:

Diện tích của hình thang ABCD lớn hơn diện tích của hình tam giác BAC bao nhiêu đề-xi-mét vuông (xem hình vẽ bên)?

Xem đáp án

Diện tích hình thang ABCD là:

(3,2 + 6,8) . 2,5 : 2 = 12,5 (cm²)

Diện tích tam giác ADC là:

2,5 . 6,8 : 2 = 8,5 (cm²)

Diện tích tam giác BAC là:

12,5 – 8,5 = 4 (cm²)

Diện tích của hình thang ABCD lớn hơn diện tích của hình tam giác BAC là:

12,5 – 4 = 8,5 (cm²) = 0,085 (dm²).

Câu 111:

Đồ thị của hàm số y = 3^x đi qua điểm nào sau đây?

A. M(– 1; 3).

B. N(1; 3).

C. P(0; 2).

D. Q(– 1; 3).

Xem đáp án

Chọn B

Với N(1;3) thì y = 3^x = 3¹ = 3.

Vậy đồ thị của hàm số y = 3^x đi qua điểm N(1; 3).

Câu 112:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định là gì? Nêu ví dụ.

Xem đáp án

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định có ý nghĩa là hàm số tăng hoặc giảm trên mỗi khoảng con của miền xác định.

Ví dụ: Hàm số $y = x - \frac{1}{x - 1}$

Xét y' = $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq 1$

Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 113:

Đường thẳng phân biệt là gì? Cho ví dụ.

Xem đáp án

Hai đường thẳng không trùng nhau gọi là hai đường thẳng phân biệt.

Ví dụ: Hai đường thẳng phân biệt có thể là hai đường thẳng cắt nhau hoặc là hai đường thẳng song song với nhau.

Xem hình vẽ.

Đường thẳng phân biệt là gì? Cho ví dụ. (ảnh 1)

Câu 114:

Gieo một xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4.

Xem đáp án

Ta có số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 6.

Để thu được mặt có số lớn hơn 4 thì số chấm trên mặt xuất hiện chỉ có thể là 5 hoặc 6

Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 là: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Câu 115:

Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ ?

A. $- \frac{π}{4}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{3 π}{4}$

D. $\frac{13 π}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

$\frac{7 π}{4} = - \frac{π}{4} + 2 π$

Nên góc có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ là $- \frac{π}{4}$ .

Câu 116:

Gọi M₁, M₂ là hai điểm lần lượt biểu diễn cho các số phức z₁, z₂ là nghiệm của phương trình z² + 2z + 4 = 0. Tính số đo góc $\hat{M_{1} O M_{2}}$ .

A. $\hat{M_{1} O M_{2}} = 120 °$ .

B.

\hat{M_{1} O M_{2}} = 90 °

.

C.

\hat{M_{1} O M_{2}} = 60 °

.

D.

\hat{M_{1} O M_{2}} = 150 °

.

Xem đáp án

Gọi M1, M2 là hai điểm lần lượt biểu diễn cho các số phức z1, z2 là nghiệm của phương trình z^2 + 2z + 4 = 0. Tính số (ảnh 1)

Câu 117:

Trong không gian, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó:

A. Hoặc song song hoặc trùng nhau.

B. Chéo nhau.

C. Trùng nhau.

D. Song song.

Xem đáp án

Chọn A

Trong không gian, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó có thể song song hoặc trùng nhau.

Câu 118:

Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng cùng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có:

A. Hai góc so le trong bù nhau.

B. Hai góc đồng vị phụ nhau.

C. Hai góc trong cùng phía bù nhau.

D. Hai góc đồng vị bù nhau.

Xem đáp án

Chọn C

Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng cùng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góc tạo thành có:

+ Các góc so le trong bằng nhau

+ Các góc đồng vị bằng nhau

+ Các góc so le ngoài bằng nhau

+ Các góc trong cùng phía bù nhau

Câu 119:

Hai tập hợp nào dưới đây không bằng nhau?

A. $A = \{x | x = \frac{1}{2^{k}}, k \in ℤ, x \geq \frac{1}{8}\}$ và $B = \{\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}\}$ .

B. A = {3;9;27;81} và B = {3ⁿ|n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 4}.

C. A = {x ∈ ℤ|– 2 < x ≤ 3} và B = {– 1; 0; 1; 2; 3}.

D. A = {x ∈ ℕ| x < 5} và B = {0; 1; 2; 3; 4}.

Xem đáp án

Chọn A

$A = \{x | x = \frac{1}{2^{k}}, k \in ℤ, x \geq \frac{1}{8}\} \Rightarrow A = \{1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}\}$ .

Mà $B = \{\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}\}$

Nên B khác A.

Câu 120:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể vòi thứ nhất mỗi phút chảy được 25 lít nước vòi thứ hai mỗi phút chảy được 23 lít nước. Hỏi sau 1 giờ 12 phút cả hai vòi chảy vào bể được bao nhiêu lít nước?

Xem đáp án

Ta có: 1 giờ 12 phút = 72 phút.

Mỗi phút hai vòi nước cùng chảy vào bể được: 25 + 23 = 48 (lít)

Sau 1 giờ 12 phút cả hai vòi chảy được vào bể được:

48 . 72 = 3456 (lít)

Đáp số: 3456 lít nước.

Câu 121:

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin²x?

A. $F (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) + C$

B. $F (x) = \frac{1}{4} (2 x - \sin x \cos x) + C$

C. $F (x) = \frac{1}{2} (x - \sin x \cos x) + C$

D. $F (x) = \frac{1}{4} (2 x - \sin 2 x) + C$

Xem đáp án

Chọn D

$\int \sin^{2} x d x = \int \frac{1}{2} d x - \int \frac{1}{2} \cos 2 x d x = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2 x + C = \frac{1}{4} (2 x - \sin 2 x) + C$

Câu 122:

Hàm số y = –3x² + x – 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(\frac{1}{6}; + \infty)$

B. $(- \infty; - \frac{1}{6})$

C. $(\frac{- 1}{6}; + \infty)$

D. $(- \infty; \frac{1}{6})$

Xem đáp án

Hàm số y = –3x^2 + x – 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

Câu 123:

Hãy cho biết 5 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo ra bao nhiêu hình bình hành?

Xem đáp án

Mỗi hình bình hành được tạo bởi 2 cặp đường thẳng song song. Việc tạo hình bình hành từ 5 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác được chia làm hai giai đoạn:

- Giai đoạn 1: Chọn một cặp đường thẳng song song từ 5 đường thẳng song song là tổ hợp chập 5 của 2, do đó có $C_{5}^{2}$ cách.

- Giai đoạn 2: Ứng với cặp đường thẳng vừa chọn, chọn cặp đường thẳng song song từ 5 đường thẳng song song khác là tổ hợp chập 2 của 5, do đó có $C_{5}^{2}$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $C_{5}^{2} . C_{5}^{2} = 100$ cách.

Vậy có tất cả 100 hình bình hành được tạo thành.

Câu 124:

Hình chóp có các cạnh đôi một vuông góc là gì?

Xem đáp án

Hình chóp có các cạnh đôi một vuông góc là một loại hình chóp mà các cạnh bên của chóp đều vuông góc với nhau.

Hình chóp có các cạnh đôi một vuông góc là gì? (ảnh 1)

Câu 125:

Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu đỉnh?

A. 4

B. 6

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu đỉnh? A. 4. B. 6. C. 5. D. 7. (ảnh 1)

Chọn đáp án D.

Hình chóp lục giác đều có đáy là lục giác nên có 6 đỉnh ở đáy

Thêm 1 đỉnh S

Tổng cộng có 7 đỉnh.

Câu 126:

Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu đỉnh?

A. 4

B. 6

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Chọn đáp án D.

Hình chóp lục giác đều có đáy là lục giác nên có 6 đỉnh ở đáy

Thêm 1 đỉnh S

Tổng cộng có 7 đỉnh.

Câu 127:

Hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật là hình hộp chữ nhật nên có 6 mặt là hình chữ nhật.

Chọn đáp án C.

Câu 128:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \int \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x} d x = \int (1 + \tan^{2} x) d x = \tan x + C$

Câu 129:

Khai triển nhị thức Newton (x + 2)⁴.

Xem đáp án

${(x + 2)}^{4} = C_{4}^{0} . x^{4} + C_{4}^{1} . x^{3} .2 + C_{4}^{2} . x^{2} {.2}^{2} + C_{4}^{3} . x {.2}^{3} + C_{4}^{4} {.2}^{4}$

= x⁴ + 8x³ + 12x² + 32x + 16.

Câu 130:

Khi nào tập xác định D = ℝ?

Xem đáp án

D = ℝ khi D = (−∞; +∞).

Câu 131:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(− 2; 3; 4). Khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu của A lên Ox

⇒ H(−2; 0; 0)

⇒ $\vec{A H} = (0; - 3; - 4)$

Vậy khoảng cách từ A đến trục Ox là: $A H = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5$ .

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 132:

Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 1, AC = 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = 3. Thể tích của khối chóp đó là?

Xem đáp án

Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 1, AC = 2, cạnh bên SA vuông góc (ảnh 1)

Câu 133:

Khối đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là

A. 12

B. 30

C. 8

D. 20

Xem đáp án

Chọn D

Đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là đa diện 20 mặt và nó có 30 cạnh.

Câu 134:

Lập một đề toán theo hình vẽ sau rồi giải:

Xem đáp án

Đề toán: Một xe máy đi từ Hà Nội đến Ninh Bình. Trong 2 giờ đầu. xe máy đi với vận tốc 33,8km/giờ. Quãng đường còn lại xe máy đi với vận tốc 11,2km/giờ trong 4 giờ thì đi hết quãng đường. Hỏi quãng đường từ Hà Nội đến Ninh Bình dài bao nhiêu km?

Giải:

Quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ đầu là:

33,8 . 2 = 67,6 (km)

Quãng đường xe máy đi được trong những giờ tiếp theo là:

11,2 . 4 = 44,8 (km)

Vậy quãng đường dài là:

67,6 + 44,8 = 112,4 (km).

Câu 135:

Tính giới hạn $\lim \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^{2} + 2}$ .

Xem đáp án

Tính giới hạn lim 1+2+3 +...+n/ n^2 +2 . (ảnh 1)

Câu 136:

Giải bất phương trình: log(3x – 2) > 1.

Xem đáp án

log(3x – 2) > 1

⇔ log(3x – 2) > log(10)

⇔ 3x – 2 > 10

⇔ 3x > 12

⇔ x > 4.

Vậy x > 4.

Câu 137:

Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh bằng 2, có bán kính bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh bằng 2, có bán kính bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Câu 138:

Một cửa hàng có 5 kiện hàng. Mỗi kiện hàng có 10 gói hàng, mỗi gói hàng có 6 sản phẩm. Hỏi trong 5 kiện hàng đó có tất cả bao nhiêu sản phẩm? (giải bằng 2 cách).

Xem đáp án

Cách 1: 5 kiện hàng đó có số sản phẩm là:

5.10.6 = 300 (sản phẩm)

Cách 2:

5 kiện hàng có số gói hàng là:

5.10 = 50 (gói)

50 gói hàng có số sản phẩm là:

50.6 = 300 (sản phẩm)

Đáp số: 300 sản phẩm.

Câu 139:

Một cửa hàng có 6 hộp bút chì như nhau đựng tổng cộng 144 cây bút chì. Cửa hàng đã bán hết 96 cây bút chì. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu hộp bút chì?

Xem đáp án

Mỗi hộp đựng số bút chì là:

144 : 6 = 24 (cây)

Cửa hàng đã bán hết số hộp bút chì là:

96 : 24 = 4 (hộp)

Cửa hàng còn lại số hộp bút chì là:

6 – 4 = 2 (hộp)

Đáp số: 2 hộp bút chì.

Câu 140:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A.A′B′C′.

Xem đáp án

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp A.A′B′C′. (ảnh 1)

Câu 141:

Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) = $\frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \int \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x} d x = \int (\tan^{2} x + 1) d x = \tan x + C$

Câu 142:

Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x (x + 1)}$ .

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x = \int \frac{(x + 1) - x}{x (x + 1)} d x = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = \ln |x| - \ln |x + 1| + C$

Câu 143:

Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos8x.sinx.

Xem đáp án

Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos8x.sinx. (ảnh 1)

Câu 144:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{2 x - 1}$ .

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int \frac{2}{2 x - 1} d x = \int \frac{d (2 x - 1)}{2 x - 1} = \ln |2 x - 1| + C$

Câu 145:

Tìm nguyên hàm của tan2x.

Xem đáp án

$\int \tan 2 x d x = \int \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} d x = - \frac{1}{2} \int \frac{d (\cos 2 x)}{\cos 2 x} = - \frac{1}{2} \ln |\cos 2 x| + C$

Câu 146:

Tìm nguyên hàm của – cosx.

Xem đáp án

$\int - \cos x d x = - \int \cos x d x = - \sin x + C$

Câu 147:

Giải phương trình: sin(8cosx) = 1.

Xem đáp án

Giải phương trình: sin(8cosx) = 1. (ảnh 1)

Câu 148:

Giải phương trình: sin2x + cosx = 0.

Xem đáp án

sin2x + cosx = 0

⇔ 2sinxcosx + cosx = 0

⇔ cosx(2sinx + 1) = 0

⇔ $[\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{- 1}{2} \end{array}$

⇔ $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 149:

Giải phương trình: sin2x.cotx = 0.

Xem đáp án

sin2x.cotx = 0

⇔ $2 \sin x \cos x . \frac{\cos x}{\sin x} = 0$

⇔ 2cos²x = 0

⇔ cosx = 0

⇔ $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

Câu 150:

Tìm tập xác định của hàm số y = 3^{x + 2}.

Xem đáp án

Hàm số y = 3^{x + 2} có tập xác định là D = ℝ.

Câu 151:

Tìm tập xác định của hàm số y = log₂(3 – 2x).

Xem đáp án

Hàm số y = log₂(3 – 2x) xác định khi 3 – 2x > 0 ⇔ $x < \frac{3}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (- \infty; \frac{3}{2})$ .

Câu 152:

Tìm tập xác định của hàm số y = logx.

Xem đáp án

Hàm số y = logx xác định khi x > 0

Vậy tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).

Câu 153:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 2)$ .

Xem đáp án

Hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 2)$ xác định khi x + 2 > 0 ⇔ x > – 2.

Vậy tập xác định của hàm số là D = (– 2; +∞).

Câu 154:

Tổng độ dài l của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a.

A. l = 4a.

B. l = 6a.

C. l = 6.

D. l = 4.

Xem đáp án

Chọn B.

Tứ diện đều có 6 cạnh bằng nhau.

Suy ra tổng độ dài l của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a là l = 6a.

Câu 155:

Trên giá sách có 8 quyển sách tiếng Anh khác nhau, 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau và 6 quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ba quyển sách tiếng khác nhau?

Xem đáp án

Số cách chọn sách tiếng Anh là: 8 cách.

Số cách chọn sách tiếng Việt là: 10 cách.

Số cách chọn sách tiếng Pháp là: 6 cách.

Vậy số cách chọn 3 quyển sách tiếng khác nhau là: 8.10.6 = 480 (cách).

Câu 156:

Trên một hòn đảo đang có 420 con cừu. Sau mỗi năm số lượng cừu trên đảo sẽ tăng thêm 180 con. Hỏi sau 2 năm, trên đảo đó sẽ có tất cả bao nhiêu con cừu?

Xem đáp án

Sau hai năm số cừu trên đảo sẽ tăng thêm là:

180 × 2 = 360 (con cừu)

Sau 2 năm trên đảo sẽ có tất cả số con cừu là:

420 + 360 = 780 (con cừu)

Đáp số: 780 con cừu.

Câu 157:

Giải phương trình: x(x – 2) – x + 2 = 0.

Xem đáp án

x(x – 2) – x + 2 = 0

x(x – 2) – (x – 2) = 0

(x – 2)(x – 1) = 0

Suy ra x = 2 hoặc x = 1.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {1; 2}.

Câu 158:

Giải phương trình: x³ – 4x² + 12x – 27 = 0.

Xem đáp án

x³ – 4x² + 12x – 27 = 0.

x³ – 3x² – x² + 3x + 9x – 27 = 0

x²(x – 3) – x(x – 3) + 9(x – 3) = 0

(x – 3)(x² – x + 9) = 0

⇒ $[\begin{array}{l} x = 3 \\ x^{2} - x + 9 = 0 \end{array}$

Xét $x^{2} - x + 9 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{35}{4} > 0$ nên x² – x + 9 = 0 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.

Câu 159:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x³ + 2x² + x.

Xem đáp án

x³ + 2x² + x

= x³ + x² + x² + x

= x²(x + 1) + x(x + 1)

= (x + 1)(x² + x)

= x(x + 1)(x + 1)

= x(x + 1)²

Câu 160:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

Xem đáp án

x³ + 3x²y + 3xy² + y³

= (x + y)³.

Câu 161:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x³ – 27y³.

Xem đáp án

x³ – 27y³

= x³ – (3y)³

= (x – 3y)(x² + 3xy + 9y²).

Câu 162:

Phân tích đa thức x³ – 6x²y + 12xy²– 8y³ thành nhân tử.

Xem đáp án

x³ – 6x²y + 12xy²– 8y³

= x³ – 3.x².(2y) + 3.x.(2y)² – (2y)³

= (x – 2y)³.

Câu 163:

Giải phương trình: x² + 2x + 3 = 0.

Xem đáp án

x² + 2x + 3 = 0

x² + 2x + 1 + 2 = 0

(x + 1)² + 2 = 0 (*)

Ta thấy (x + 1)² ≥ 0 với ∀x nên (x + 1)² + 2 ≥ 2 > 0, ∀x

Nên (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 164:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8. Khi đó cotB bằng:

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{5}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8. Khi đó cotB bằng: (ảnh 1)

Câu 165:

Tìm tập giá trị của hàm số y = ln(3 – x).

A. (e; +∞).

B. (0; +∞).

C. ℝ.

D. [e; +∞).

Xem đáp án

Tập giá trị của hàm số y = ln(3 – x) là ℝ.

Câu 166:

Tập nghiệm của bất phương trình 2^2x < 8 là

A. $(- \infty; \frac{3}{2})$

B. $(\frac{3}{2}; + \infty)$

C. (– ∞; 2).

D. $(0; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Chọn A

2^2x < 8 ⇔ 2^2x < 2³ ⇔ 2x < 3 ⇔ $x < \frac{3}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; \frac{3}{2})$ .

Câu 167:

Tập nghiệm của phương trình 2^x+1 = 5 có bao nhiêu phần tử?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

2^x+1 = 5

⇔ x + 1 = log₂5

⇔ x = log₂5 – 1

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = log₂5 – 1.

Câu 168:

Tính bằng cách thuận tiện nhất: 36 × 2 × 7 × 5.

Xem đáp án

36 × 2 × 7 × 5

= (36 × 7) × (2 × 5)

= 252 × 10

= 2520.

Câu 169:

Tính bằng cách thuận tiện nhất: 4124 × 6 + 4124 × 4.

Xem đáp án

4124 × 6 + 4124 × 4

= 4124 × (6 + 4)

= 4124 × 10

= 41240.

Câu 170:

Tính bằng hai cách: (75 + 25) : 5.

Xem đáp án

Cách 1: (75 + 25) : 5

= 100 : 5 = 20

Cách 2: (75 + 25) : 5

= 75 : 5 + 25 : 5

= 15 + 5

= 20

Câu 171:

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.

B. Có đúng hai mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.

C. Có vô số mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.

D. Không tồn tại mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng a và b.

Xem đáp án

Chọn A

Qua hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng.

Câu 172:

Trong không gian cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng nào sau đây chéo nhau?

A. BC và AC.

B. AD và BC.

C. BD và CD.

D. BC và AB.

Xem đáp án

Chọn B

Hai đường thẳng AD và BC không cùng nằm trong một mặt phẳng nên đó là hai đường thẳng chéo nhau.

Câu 173:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 4. Tâm của (S) có tọa độ là:

A. (– 1; 2; 3).

B. (2; – 4; – 6).

C. (– 2; 4; 6)

D. (1; – 2; – 3).

Xem đáp án

Chọn D

Ta có (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 4 ⇔ (x – 1)² + [y – (– 2)]² + [z – (– 3)]² = 2².

Do đó, tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là: (1; – 2; – 3).

Câu 174:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 2z – 7 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng?

Xem đáp án

Ta có: x² + y² + z² + 2x – 2z – 7 = 0 ⇔ (x + 1)² + y² + (z – 1)² = 9.

Suy ra: (S) có bán kính $R = \sqrt{9} = 3$ .

Câu 175:

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (Oxy) là:

A. 30°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 45°.

Xem đáp án

Chọn C

Vì Oz ⊥ (Oxy) nên góc giữa trục Oz và mặt phẳng (Oxy) là 90°.

Câu 176:

Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Ox và mặt phẳng (Oyz) là:

A. 30°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 45°.

Xem đáp án

Đáp án C

Vì Ox ⊥ (Oyz) nên góc giữa trục Ox và mặt phẳng (Oyz) là 90°.

Câu 177:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (Oxy)?

A. (α): z + 1 = 0.

B. (β): x + z + 1 = 0.

C. (γ): y + 1 = 0.

D. (φ): x + 1 = 0.

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (Oxy)? (ảnh 1)

Câu 178:

Mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 cắt trục Oz tại điểm có tọa độ:

A. (0; 0; −2).

B. (3; 5; −1).

C. (3; 5; 0).

D. (0; 0; 2).

Xem đáp án

Chọn A

Giả sử mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 cắt trục Oz tại điểm M (0; 0; a).

Thay tọa độ điểm M(0; 0; a) vào mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 ta có:

3.0 + 5.0 – a – 2 = 0 ⇔ a = – 2.

Vậy M(0; 0; – 2).

Câu 179:

Trong không gian Oxyz, trục Oz có một vectơ chỉ phương là?

A. (0;0;1)

B. (1;0;1)

C. (1;0;0)

D. (0;1;0)

Xem đáp án

Đường thẳng Oz nhận (0;0;1) làm vectơ chỉ phương.

Câu 180:

Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề phủ định sai:

A. ∃x ∈ ℝ: x² + 4x + 5 = 0.

B. ∀x ∈ ℝ: x² ≥ x.

C. ∃x ∈ ℚ: x² = 3.

D. ∃x ∈ ℝ: x² – 3x + 2 = 0.

Xem đáp án

Chọn D

Xét đáp án D: Mệnh đề phủ định “ $\bar{D}$ : ∀x ∈ ℝ: x² – 3x + 2 ≠ 0”.

Mệnh đề phủ định này sai vì: với x = 1 hoặc x = 2 thì x² – 3x + 2 = 0.

Câu 181:

Một gói mì cân nặng 80g, mỗi quả trứng cân nặng 30g. Hỏi 3 gói mì và 1 quả trứng cân nặng bao nhiêu gam?

Xem đáp án

Ba gói mì cân nặng là:

80 x 3 = 240 (g)

Tổng số gam mì và trứng là:

240 + 30 = 270 (g)

Đáp số: 270g.

Câu 182:

Một bạn muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong 1 ngày nhất định. Biết rằng trong ngày hôm đó từ tỉnh A đến tỉnh B có 14 chuyến ô tô 5 chuyến tàu. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ A đến B?

Xem đáp án

Ta có 14 chuyến ô tô đi từ tỉnh A tới tỉnh B ⇒ có 14 cách.

Ta có 5 chuyến tàu đi từ tỉnh A tới tỉnh B ⇒ có 5 cách.

Vậy số sự lựa chọn để đi từ tỉnh A tới tỉnh B là:

14 + 5 = 19 (sự lựa chọn).

Câu 183:

Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là.

a) $\frac{3 π}{4}$

b) 51°

c) $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là. (ảnh 1)

Câu 184:

Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 98cm, chiều rộng 30cm được uốn lại thành mặt xung quanh của một thùng đựng nước (chiều cao thùng nước bằng với chiều rộng miếng tôn). Biết rằng chỗ mối ghép mất 2cm. Hỏi thùng đựng được tối đa bao nhiêu lít nước?

A. 22 lít.

B. 24 lít.

C. 26 lít.

D. 28 lít.

Xem đáp án

Chọn A.

Theo giả thiết ta có: h = 30 cm.

Chu vi đường tròn 2πr = 98 – 2 = 96 ⇒ $r = \frac{96}{2 π} = \frac{48}{π}$ .

Thể tích thùng là V = πr²h = $π {(\frac{48}{π})}^{2} .30 \approx 22000 (c m^{3}) \approx 22 (d m^{3})$ .

Mà 22dm³ = 22 lít nên thùng đựng được tối đa 22 lít nước.

Câu 185:

Phương trình đường tròn tâm I(0; 2), bán kính R = 5 là

A. x² + (y – 2)² = 25.

B. (x – 2)² + y² = 25.

C. x² + (y – 2)² = 5.

D. x² + (y + 2)² = 25.

Xem đáp án

Chọn đáp án A.

Phương trình đường tròn tâm I(0; 2), bán kính R = 5 là:

x² + (y – 2)² = 25.

Câu 186:

Viết phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Xem đáp án

Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất là (d) : x – y = 0.

Câu 187:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Biết A, B, C là số thực khác 0, mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là:

A. Ax + Bz + C = 0.

B. Ax + By = 0.

C. By + Az + C = 0.

D. Ax + By + C = 0.

Xem đáp án

Chọn B

Trục Oz là giao tuyến của 2 mặt phẳng (Ozx), (Oyz) nên mặt phẳng chứa Oz thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi 2 mặt (Ozx), (Oyz)

⇒ Mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình: Ax + By = 0.

Câu 188:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = |x² – 2x – 3|.

Xem đáp án

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = |x^2 – 2x – 3|. (ảnh 1)

Câu 189:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ + 3x² + 1 và đường thẳng y = 2x + 1.

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường trên là:

x³ + 3x² + 1 = 2x + 1

⇔ x³ + 3x² – 2x = 0

⇔ x(x² + 3x – 2) = 0

⇔ $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} + 3 x - 2 = 0 \end{array}$

⇔

Vậy phương trình có 3 nghiệm nên đường cong và đường thẳng đã cho có 3 giao điểm.

Câu 190:

Tính đạo hàm của hàm số y = 3x.

Xem đáp án

y' = (3x)' = 3.

Câu 191:

Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 60 °; \hat{C} = 45 °; Α Β = 5$ . Tính độ dài cạnh AC và độ lớn của góc $\hat{A}$ .

Xem đáp án

Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên cos a < 0

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

Câu 192:

Một nhóm công nhân gồm 8 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.

Xem đáp án

Một nhóm công nhân gồm 8 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. (ảnh 1)

Câu 193:

Tìm số nghịch đảo của số phức z = 3 – 5i?

Xem đáp án

Số phức nghịch đảo của số phức z = 3 – 5i là: $\frac{1}{3 - 5 i} = \frac{3 + 5 i}{3^{2} - {(5 i)}^{2}} = \frac{3 + 5 i}{9 + 25} = \frac{3 + 5 i}{34} = \frac{3}{34} + \frac{5}{34} i$ .

Câu 194:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f(x) – 2 = 0 là:

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án B

f(x) – 2 = 0 ⇔ f(x) = 2

Dựa vào bảng biến thiên để xét sự tương giao giữa đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng x = 2, ta thấy phương trình có 3 nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình f(x) – 2 = 0 là 3 nghiệm.

Câu 195:

Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp gồm 8 phần tử bằng:

A. $A_{8}^{3}$

B. 3⁸ – 1.

C. $C_{8}^{3}$

D. 3⁸.

Xem đáp án

Chọn C

Lấy đúng 3 phần tử của tập hợp gồm 8 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 8.

Do đó, số tập con cần tìm là $C_{8}^{3}$ .

Câu 196:

Viết tập hợp D các tháng dương lịch có 30 ngày?

Xem đáp án

Ta đã biết các tháng (dương lịch) có 30 ngày là tháng 4, tháng 6, tháng 9, tháng 11.

Vậy tập hợp các tháng dương lịch có 30 ngày là:

D = {tháng 4; tháng 6; tháng 9; tháng 11}.

Câu 197:

Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm.

Xem đáp án

Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S).

• Bước 2: Lập hệ phương trình dựa vào tính chất IA = IB = IC = ID.

• Bước 3: Giải hệ pt tìm được tâm I, bán kính R = IA.

• Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I bán kính R.

Câu 198:

Viết tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 10 bằng 2 cách.

Xem đáp án

Cách 1: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Cách 2: A = {x ∈ ℕ| x < 10}.

Câu 199:

Với ba điểm O, A, B tùy ý. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

A. $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$

B. $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{A B}$

C. $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{A B}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{B A}$

Xem đáp án

Chọn A

Thật vậy: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{B O} = \vec{B A}$ .

Câu 200:

Thực hiện phép tính: 53 : 5.

Xem đáp án

$\begin{matrix} 53 \\ 03 \\ 30 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 10,6 \end{matrix}$

Vậy 53 : 5 = 10,6.

Câu 201:

Tích của các số chẵn luôn là số gì?

Xem đáp án

Tích của các số chẵn luôn là một số chẵn.

Câu 202:

Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam trong đó có Lớp trưởng. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm.

Xem đáp án

Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam (ảnh 2)

Câu 203:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lý:

A. ∃x ∈ ℕ, x² chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3.

B. ∃x ∈ ℕ, x² chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3.

C. ∀x ∈ ℕ, x² chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9.

D. ∃x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12

Xem đáp án

Chọn D

D sai vì định lý đúng là ∀x ∈ ℕ, x chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12.

Câu 204:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 2?

Xem đáp án

Gọi số cần tìm có dạng $\bar{a b c}$ với (a, b, c) ∈ A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Vì $\bar{a b c}$ chia hết cho 2 nên c ⋮ 2 ⇒ c = {2; 4; 6} ⇒ c có 3 cách chọn.

Khi đó a có 5 cách chọn

b có 4 cách chọn

Vậy có tất cả: 3.5.4 = 60 (số).

Câu 205:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA.OB.OC = 12. Tính thể tích V_OABC?

Xem đáp án

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA.OB.OC = 12. Tính thể tích VOABC? (ảnh 1)

Câu 206:

Xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào một bàn dài có 8 ghế. Tính xác suất sao cho các học sinh nam luôn ngồi cạnh nhau.

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 8! = 40320

Gọi A là biến cố “các học sinh nam ngồi cạnh nhau”

Ta coi 5 học sinh nam là 1 vị trí X, ta hoán vị vị trí 5 học sinh cho nhau có 5! cách

Khi đó xếp vị trí X và 3 học sinh nữ, hoán vị cho nhau có 4! cách

Vậy n(A) = 5!.4! = 2880

Suy ra: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{2880}{40320} = \frac{1}{14}$ .

Câu 207:

Hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai mặt của một khối lập phương cạnh 4 thì có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Bán kính đáy là: $r = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$

Chiều cao hình trụ là: h = 4

Suy ra: S_xq = 2πrh = $2 π .2 \sqrt{2} .4 = 16 \sqrt{2} π$ .

Câu 208:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp S.ABC là?

Xem đáp án

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp S.ABC là? (ảnh 1)

Câu 209:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} + \frac{z}{2} = 1$ cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là?

A. (0; 5; 0).

B. (0; 3; 0).

C. (0; – 1; 0).

D. (0; 2; 0).

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và trục Oy là M.

Vì M thuộc Oy nên $\{\begin{cases} x_{M} = 0 \\ z_{M} = 0 \end{cases}$

Khi đó thay vào (P) ta có: $\frac{y_{M}}{5} = 1 \Rightarrow y_{M} = 5$

Vậy M(0; 5; 0).

Câu 210:

Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc trông giống hệt nhau trong đó chỉ có 1 chiếc mở được kho nhưng anh ta không biết là chiếc nào. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa khóa một, chiếc nào được thử thì không thử lại. Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thử thứ 3?

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{7}$

C. $\frac{14}{81}$

D. $\frac{7}{81}$

Xem đáp án

Số cách sử dụng chìa khóa đến lần thử thứ 3 là: n(Ω) = 9.8.7 = 504

Số cách mở cửa được ở lần thứ ba là: 7.6.2 = 84

Xác suất anh ta mở được cửa ở lần thử thứ 3 là: $\frac{84}{504} = \frac{1}{6}$ .

Câu 211:

Tìm họ nguyên hàm của $\frac{1}{\cos^{2} 2 x}$ .

Xem đáp án

$\int \frac{1}{\cos^{2} 2 x} d x = \int \frac{\sin^{2} 2 x + \cos^{2} 2 x}{\cos^{2} 2 x} d x = \int (1 + \tan^{2} 2 x) d x = \frac{1}{2} \tan 2 x + C$

Câu 212:

Trên khoảng (0; +∞), đạo hàm của hàm số y = lnx là:

A. $\frac{1}{x}$

B. x

C. xlnx – x.

D. $\frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án

Chọn A

y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$ .

Câu 213:

Cho số phức z = 3 – 4i. Số phức nghịch đảo của số phức z là?

Xem đáp án

Ta có: $z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{3 - 4 i} = \frac{3}{25} + \frac{4}{25} i$

Câu 214:

π có phải là số hữu tỉ không?

Xem đáp án

Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ và b ≠ 0 và được kí hiệu là ℚ

Do đó: π không phải là số hữu tỉ.

Câu 215:

Tìm hai số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng bằng 254

Xem đáp án

Gọi hai số chẵn liên tiếp đó là 2k và 2k + 2 (k ∈ ℕ).

Ta có

2k + 2k + 2 = 254

4k + 2 = 254

4k = 252

k = 63

Hai số chẵn cần tìm là

2 . 63 = 126

2 . 63 + 2 = 128

Vậy hai số chẵn cần tìm là 126 và 128.

Câu 216:

Tìm hai số mà tổng và hiệu của chúng đều bằng số lớn nhất có ba chữ số

Xem đáp án

Gọi hai số cần tìm là a và b (a, b ∈ ℤ)

Ta có:

$\{\begin{matrix} a + b = 999 \\ a - b = 999 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 a = 999 + 999 \\ a - b = 999 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 2 a = 2.999 \\ a - b = 999 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 999 \\ b = 0 \end{matrix}$

Vậy hai số cần tìm là 0 và 999.

Câu 217:

Trong không gian oxyz, mặt phẳng nào dưới đây không đi qua gốc tọa độ:

A) 3x + y – z = 0

B) 5x + 3y – 3z = 0

C) x + 7y + z = 0

D) –x – y + 20 = 0

Xem đáp án

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng ax + by + cz + d =0, với a, b, c không đồng thời bằng 0.

Khi d = 0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, d ≠ 0 thì mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 218:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi, sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau?

Xem đáp án

Đánh số các vị trí của ghế lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5.

Có 6 cặp vị trí ngồi của An và Dũng để 2 bạn không ngồi cạnh nhau là (1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 4); (2; 5); (3; 5).

Để sắp xếp 2 bạn An và Dũng vào 2 vị trí có 2! cách sắp xếp

Để sắp xếp 3 bạn còn lại vào 3 ghế còn lại có 3! cách sắp xếp.

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là

6.2!.3! = 72 (cách sắp xếp)

Câu 219:

Phát biểu định lý tính chất góc ngoài của tứ giác

Xem đáp án

Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc trong của tứ giác và có thể tính toán bằng cách lấy 360 độ trừ đi tổng các góc trong còn lại của tứ giác.

Câu 220:

Tính thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 2a.

Xem đáp án

Tính thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng 2a. (ảnh 1)

Câu 221:

Số tổ hợp chập 2 của 5 phần tử bằng:

A)5

B)10

C)15

D)20

Xem đáp án

Ta có

$C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! .3!} = 10$

Vậy đáp án đúng là B

Câu 222:

Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{4 - x}$ .

Xem đáp án

TXĐ: x ≠ 4, x ∈ ℝ

Ta có:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{4 - x} = \lim_{x \to \infty} (- 1 + \frac{2}{4 - x}) = - 1$

$\lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{4 - x} = \lim_{x \to - \infty} (- 1 + \frac{2}{4 - x}) = - 1$

Vậy đồ thị hàm số đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{4 - x}$ có 1 tiệm cận ngang là y = –1.

Câu 223:

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(m–1; 2) ; B(2; 2–2m) ; C(m+3; 3). Tìm giá trị m để A; B; C là ba điểm thẳng hàng?

Xem đáp án

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(m–1; 2) ; B(2; 2–2m) ; C(m+3; 3). Tìm giá trị m để A; B; C là ba điểm thẳng hàng? (ảnh 1)

Câu 224:

Tìm tung độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ với trục tung.

Xem đáp án

Với x = 0 ta có:

$y = \frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2.0 - 3}{0 + 1} = \frac{- 3}{1} = - 3$

Vậy tung độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ với trục tung là –3.

Câu 225:

Cho 2 số phức z₁ = a + bi và z₂ = a' + b'i $(a, b, a^{'}, b^{'} \in ℝ)$ . Tính z₁.z₂.

Xem đáp án

Ta có: z₁.z₂= (a + bi).(a' + b'i) = aa' – bb' + (ab' +a'b)i.

Câu 226:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?

Xem đáp án

Số lập được chia hết cho 2 nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (2, 4, 6).

Số lập được có 3 chữ số khác nhau nên có 5 cách chọn chữ số hàng trăm, 4 cách chọn chữ số hàng chục.

Vậy có thể lập được 5.4.3 = 60 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 227:

Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} + 2 x$ với trục hoành.

Xem đáp án

Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số y= x^2 + 2x với trục hoành. (ảnh 1)

Câu 228:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin^{2} x$

Xem đáp án

Ta có: $y' = {(\sin^{2} x)}^{'} = 2 \sin x . {(\sin x)}^{'} = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$ .

Câu 229:

Chọn đáp án không đúng:

Hàm số $y = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. $(- \frac{π}{8}; \frac{3 π}{8})$

B. $(- \frac{π}{4}; \frac{3 π}{4})$

C. $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$

D. $(- \frac{π}{4}; \frac{π}{4})$

Xem đáp án

Chọn đáp án không đúng: Hàm số y = sin( 2x- pi/4) đồng biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

Câu 230:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là 10 m, chiều dài gấp 10 lần chiều rộng. Tính diện tích mảnh đất đó.

Xem đáp án

Chiều dài mảnh đất là:

10 × 10 = 100 (m)

Diện tích mảnh đất là:

100 × 10 = 1000 (m²)

Đáp số: 1000 m²

Câu 231:

Khai triển biểu thức ${(x - y + 2)}^{2}$

Xem đáp án

Câu 232:

Số các chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử là

A. $C_{12}^{3}$

B. $\frac{12!}{3!}$

C. $\frac{12!}{9!}$

D. 12! – 3!

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Số chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử là

$A_{12}^{3} = \frac{12!}{(12 - 3)!} = \frac{12!}{9!}$

Câu 233:

Trên bản đồ tỉ lệ 1/50.000, 1 cm tương đương với độ dài bao nhiêu ngoài thực địa?

A. 500 cm trên thực địa

B. 50 cm trên thực địa

C. 5 km trên thực địa

D. 0,5 km trên thực địa

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có: 50.000 cm = 0,5 km

Vậy trên bản đồ tỉ lệ 1/50.000, 1 cm tương đương với 0,5 km ngoài thực địa?

Câu 234:

Tìm GTNN của biểu thức $A = x^{2} - 6 x + 11$

Xem đáp án

Tìm GTNN của biểu thức A= x^2 -6x +11 (ảnh 1)

Câu 235:

Tính nhanh giá trị $102^{2}$

Xem đáp án

Câu 236:

Với giá trị nào của x thì (x – 2)(x – 3) < 0?

Xem đáp án

Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 < 0

Ta có:

x – 2 > 0 khi x > 2

x – 3 < 0 khi x < 3

Suy ra: 2 < x < 3

Trường hợp 2: x – 2 < 0 và x – 3 > 0

Ta có:

x – 2 < 0 khi x < 2

x – 3 > 0 khi x > 3

Không có giá trị x thỏa mãn

Vậy (x – 2)(x – 3) < 0 khi 2 < x < 3

Câu 237:

Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{2^{x}}$

Xem đáp án

$y = \frac{1}{2^{x}} = 2^{- x}$

Đặt u = –x, du = –dx nên –du = dx.

Ta có:

Tìm nguyên hàm của hàm số y= 1/ 2^x (ảnh 1)

Câu 238:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho hai?

Xem đáp án

Số lập được chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị có 3 cách chọn là 2, 4, 6.

Chữ số hàng trăm có 5 cách chọn (khác chữ số đã chọn ở hàng đơn vị)

Chữ số hàng chục có 4 cách chọn (khác chữ số đã chọn ở hàng đơn vị và hàng trăm)

Vậy số các số có thể lập được là 3 . 5 . 4 = 60 (số).

Câu 239:

Chữ số hàng trăm là gì?

Xem đáp án

Chữ số hàng trăm là chữ số thứ 3 tính từ bên phải của 1 số tự nhiên có nhiều hơn 3 chữ số.

Ví dụ: chữ số hàng trăm của số 1234 là chữ số 2, chữ số hàng trăm của số 12345 là chữ số 3.

Câu 240:

Tính nguyên hàm của hàm số $y = \ln^{2} x$

Xem đáp án

Tính nguyên hàm của hàm số y = ln^2 x (ảnh 1)

Câu 241:

Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để tập hợp con chọn được có tổng các phần tử chia hết cho 3.

Xem đáp án

Không gian mẫu của phép thử: $n (Ω) = C_{17}^{2}$

Trường hợp 1: Có 5 số trong tập hợp chia hết cho 3.

Trường hợp 2: Có 6 số trong tập hợp chia cho 3 dư 1.

Trường hợp 3: Có 6 số trong tập hợp chia cho 3 dư 2.

Ta có thể chọn ra 2 số trong trường hợp 1 hoặc 1 số trong trường hợp 2 và 1 số trong trường hợp 3.

Số cách chọn là: $C_{5}^{2} + C_{6}^{1} . C_{6}^{1}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P (A) = \frac{C_{5}^{2} + C_{6}^{1} . C_{6}^{1}}{C_{17}^{2}} = \frac{23}{68}$

Câu 242:

Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một đa giác đều?

Xem đáp án

Chọn 3 đỉnh của đa giác đều ta được 1 tam giác.

Vậy số tam giác tạo được là $C_{n}^{3}$ tam giác (với n là số đỉnh của đa giác đều).

Câu 243:

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{4} - 8 x$

Xem đáp án

$x^{4} - 8 x = x (x^{3} - 8) = x (x^{3} - 2^{3}) = x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

Câu 244:

Hiện nay, mẹ hơn con 36 tuổi và tuổi con bằng $\frac{1}{4}$ tuổi mẹ. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi?

Xem đáp án

Tuổi mẹ hiện nay là:

36 : $\frac{3}{4}$ = 48 (tuổi)

Đáp số: 48 tuổi

Câu 245:

Tính đạo hàm của hàm số $y = x^{2} + \frac{3}{x} + 1$

Xem đáp án

$y^{'} = 2 x - \frac{3}{x^{2}}$

Câu 246:

Trung bình cộng của hai số là 220. Hai số đó hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm hai số đó.

Xem đáp án

Số lớn là:

(220 + 2) : 2 = 111

Số bé là:

220 – 111 = 109

Đáp số: Số lớn là 111

Số bé là 109.

Câu 247:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{4}{x^{2}}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{4. (- 2)}{x^{3}} = - \frac{8}{x^{3}}$

Câu 248:

Số phức đối là gì?

Xem đáp án

Cho số phức z = a + bi (a; b ∈ ℝ). Khi đó: –z = –a – bi là số phức đối của z = a + bi Hay z + (–z) = (–z) + z = 0

Câu 249:

Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1 + 2cos2x

Xem đáp án

Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1 + 2cos2x (ảnh 1)

Câu 250:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên $S A = a \sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $2 a^{3} \sqrt{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $a^{3} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA= a căn 2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng (ảnh 1)

Câu 251:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = {(x - 1)}^{e}$

Xem đáp án

$y^{'} = e {(x - 1)}^{e - 1} {(x - 1)}^{'} = e {(x - 1)}^{e - 1}$

Câu 252:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = 3 x + \frac{4}{x^{2}}$

Xem đáp án

$y^{'} = 3 + \frac{4. (- 2)}{x^{3}} = 3 - \frac{8}{x^{3}}$

Câu 253:

Tìm tập xác định của hàm số $f (x) = {(x - 1)}^{- 3}$

Xem đáp án

$f (x) = {(x - 1)}^{- 3} = \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

DKXD: x ∈ ℝ, x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1

Câu 254:

Số nghiệm thực của phương trình 3x² + 1 = 9 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

3x² + 1 = 9

3x² = 9 – 1

3x² = 8

$x^{2} = \frac{8}{3}$

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{3}} = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm thực.

Đáp án đúng là B

Câu 255:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin^{2} x$

Xem đáp án

$y^{'} = 2 \sin x {(\sin x)}^{'} = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$

Câu 256:

Góc giữa hai trục ox và oz bằng

A) 90⁰

B) 45⁰

C) 60⁰

D) 30⁰

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Trong hệ trục tọa độ, các trục tọa độ vuông góc với nhau.

Câu 257:

Cho cấp số nhân (un) có u3=2 và u6=16 . Số hàng thứ 10 của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Cho cấp số nhân (un) có u3=2 và u6=16 . Số hàng thứ 10 của cấp số nhân bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Câu 258:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng căn 3 độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng

A. $\sqrt{2} a$

B. 2a

C. $\sqrt{10} a$

D, 4a

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Độ dài đường sinh là:

$l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\sqrt{3} a)}^{2}} = 2 a$

Câu 259:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{9}{x}$

Xem đáp án

$y^{'} = 9 \ln x$

Câu 260:

Tìm GTLN của hàm số $y = 7 \cos^{2} x - 2 \sin^{2} x$

Xem đáp án

Tìm GTLN của hàm số y= 7cos^ 2 x- 2 sin^2 x (ảnh 1)

Câu 261:

Số chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử bằng

A. $C_{6}^{3}$

B. $\frac{6!}{3!}$

C. $\frac{6!}{2}$

D. 6! – 3!

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Số chỉnh hợp chập 3 của 6 là $A_{6}^{3} = \frac{6!}{(6 - 3)!} = \frac{6!}{3!}$

Câu 262:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x² + 2x với trục hoành.

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm:

x² + 2x = 0 hay x(x + 2) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x = –2

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y = x² + 2x với trục hoành là 2.

Câu 263:

Khai triển biểu thức (x₁– x₂)²

Xem đáp án

(x₁– x₂)²= x₁² – 2x₁x₂+ x₂²

Câu 264:

Tính kết quả phép tính 2912 : 28.

Xem đáp án

2912 : 28 = 104.

Câu 265:

Một xuồng máy đi trong nước yên lặng với vận tốc 30km/h. Khi xuôi dòng từ A đến B mất 2h và khi ngược dòng từ B đến A mất 3h. Hãy tính vận tốc dòng nước đối với bờ sông và quãng đường AB.

Xem đáp án

Theo bài ra ta có vận tốc của xuồng máy là 30 km/h

Gọi vận tốc của dòng nước là v (km/h) ( v > 0)

Ta có vận tốc của đi xuôi dòng là 30 + v

Vận tốc khi đi ngược dòng là 30 – v

Vì người này cùng đi trên một quãng đường AB nên ta có:

AB = 2(30 + v) (1)

AB = 3(30 – v) (2)

Từ (1) và (2) ta có pt như sau:

2(30 + v) = 3(30 – v)

60 + 2v = 90 – 3v

5v = 30

v = 6 (km/h)

Do đó AB = 2 . (30 + v) = 2 . (30 + 6) = 72 (km)

Vậy vận tốc của dòng nước so với bờ sông là 6km/h và quãng đường AB dài là 72km

Câu 266:

Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a biết tan a = 2

Xem đáp án

Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a biết tan a = 2 (ảnh 1)

Câu 267:

Giá trị của $\lim_{x \to + \infty} (x - 1)$ là

A) 0

B) 1

C) +∞

D) –∞

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Câu 268:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos²x

Xem đáp án

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos^2x (ảnh 1)

Câu 269:

Tính nguyên hàm của hàm số $y = \ln^{2} x$

Xem đáp án

Tính nguyên hàm của hàm số y = ln^x (ảnh 1)

Câu 270:

Tính chu vi hình chữ nhật có chiều dài 45cm và chiều rộng 20cm.

Xem đáp án

Chu vi hình chữ nhật đó là:

(45 + 20) × 2 = 130 (cm)

Đáp án: 130 cm

Câu 271:

Số dư trong phép chia 53 chia 5 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Câu 272:

Rút gọn biểu thức $A = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$

Xem đáp án

Rút gọn biểu thức A = 2/ căn 3 -1 -2/ căn 3 +1 (ảnh 1)

Câu 273:

Cho $\frac{7 π}{4} < α < 2 π$ . Nhận xét nào sau đây là đúng?

A) tan α > 0

B) cot α > 0

C) cos α > 0

D) sin α > 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Do $\frac{7 π}{4} < α < 2 π$ nên $\frac{3 π}{2} + \frac{π}{4} < α < 2 π$ nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là C.

Câu 274:

Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó lấy được từ các đỉnh của một lục giác đều?

Xem đáp án

Số tam giác mà ba đỉnh của nó lấy được từ các đỉnh của một lục giác đều là $C_{6}^{3} = 20$ (tam giác).

Câu 275:

Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1 + 2cos2x

Xem đáp án

Câu 276:

Cho tập hợp M gồm 4 phần tử, số tập hợp con gồm 3 phần tử của M là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Gọi 4 tập con của M là : a , b, c, d

M có các tập con có 3 phần tử là :

{ a , b ,c }

{ a , b , d }

{ a , c , d }

{ b ,c ,d }

Vậy M có 4 tập hợp con có 3 phần tử.

Câu 277:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = x^{- 3}$

Xem đáp án

$y^{'} = - 3 x^{- 4} = \frac{- 3}{x^{4}}$

Câu 278:

Năm 1225 thuộc thế kỷ thứ mấy?

Xem đáp án

Năm 1225 thuộc thế kỷ XIII.

Câu 279:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin^{2} x$

Xem đáp án

$y^{'} = 2 \sin x (\sin x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$

Câu 280:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 18 m, chiều dài hơn chiều rộng 5m. Tính chu vi và diện tích mảnh vườn đó.

Xem đáp án

Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật đó là:

18 – 5 = 13 (m)

Chu vi của mảnh vườn đó là:

(18 + 13) × 2 = 62 (m)

Diện tích của mảnh vườn đó là:

18 × 13 = 234 (m²)

Đáp số: Chu vi: 62 m

Diện tích: 234 m²

Câu 281:

Thực hiện phép chia 53 cho 5.

Xem đáp án

Phép chia 53 cho 5 có số bị chia 53, số chia 5, thương số 10 và số dư là 3.

Câu 282:

Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{\sin^{2} x}$

Xem đáp án

$\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$

Câu 283:

Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của 1 lục giác đều?

Xem đáp án

Số tam giác mà 3 đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của 1 lục giác đều là $C_{6}^{3} = 20$ tam giác.

Câu 284:

Tính kết quả của phép chia 2912 : 18

Xem đáp án

2912 : 18 = 104

Câu 285:

Chứng minh $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ biết $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Xem đáp án

Ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = b k, c = d k$

$\frac{a + b}{b} = \frac{b k + b}{b} = \frac{b (k + 1)}{b} = k + 1$

$\frac{c + d}{d} = \frac{d k + d}{d} = \frac{d (k + 1)}{d} = k + 1$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu 286:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?

Xem đáp án

Vì các vị trí cần xếp thuộc 1 bàn tròn nên ta cố định 1 người, xếp 3 người còn lại.

Có 3! = 6 (cách xếp)

Câu 287:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{\cos^{2} x}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{- 2 {(\cos x)}^{'}}{\cos^{3} x} = \frac{- 2 \sin x}{\cos^{3} x} = \frac{- 2 \tan x}{\cos^{2} x}$

Câu 288:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{4}{x^{2}}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{4. (- 2)}{x^{3}} = - \frac{8}{x^{3}}$

Câu 289:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{4}}{4}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{4 x^{3}}{4} = x^{3}$

Câu 290:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin^{2} x$

Xem đáp án

$y^{'} = 2 \sin x {(\sin x)}^{'} = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$

Câu 291:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin^{3} x$

Xem đáp án

$y^{'} = 3 \sin^{2} x {(\sin x)}^{'} = 3 \sin^{2} x \cos x$

Câu 292:

Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Xem đáp án

Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1/ căn x (ảnh 1)

Câu 293:

Ký hiệu tập nghiệm của phương trình vô nghiệm là gì?

Xem đáp án

S = ∅

Câu 294:

Tính $\lim_{n \to + \infty} (n + 2)$

Xem đáp án

$\lim_{n \to + \infty} (n + 2) = + \infty$

Câu 295:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos²x

Xem đáp án

Câu 296:

Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ?

Xem đáp án

Số cách chọn thỏa mạn yêu cầu đề bài là 6.4=24 (cách chọn)

Câu 297:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1, 0, 0), B(0; –2, 0), C(0, 0, 3). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C là

A. 6x – 3y + 2z = 0

B. 6x + 3y + 2z – 6 = 0

C. 6x + 3y + 2z + 6 = 0

D. 6x – 3y + 2z – 6 = 0

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0; –2, 0), C(0, 0, 3) là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0$