Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 2)

  • 10438 lượt thi

  • 60 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho A=12+13+14+...+12017  và B=12016+22015+32014+...+20152+20161

. Tính BA.

Xem đáp án

Ta có: B=12016+22015+32014+...+20152+20161

=12016+1+22015+1+32014+1+...+20152+1+1

=20172016+20172015+...+20173+20172+20172017

=201712016+12015+...+13+12+12017

Khi đó BA=201712016+12015+...+13+12+1201712+13+14+...+12017=2017


Câu 2:

Biết 36 l dầu cân nặng 27kg. Một can chứa dầu cân nặng tất cả 10,5 kg. Hỏi trong can đó chứa bao nhiêu lít dầu, biết rằng cái can rỗng cân nặng 1,5 kg?

Xem đáp án

1 lít dầu cân nặng số kg là:

      27 : 36 = 0,75 (kg)

Số lít dầu trong can nặng số kg là:

      10,5 – 1,5 = 9 (kg)

Can đó chứa số lít dầu là:

      9 : 0,75 = 12 (l)

Vậy trong can chứa 12 lít dầu.


Câu 3:

Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng. Hỏi người ta phải gửi bao nhiêu tiền để sau một tháng được tiền lãi là 104 000 đồng?

Xem đáp án

Sau một tháng được tiền lãi là 104 000 đồng thì cần gửi số tiền là:

104 000 : 0,65 × 100 = 16 000 000 (đồng) 

Vậy cần gửi 16 000 000 đồng để sau một tháng được 104 000 đồng tiền lãi.


Câu 4:

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC
với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO BC tại H.

Xem đáp án

a) • Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên ABO^=ACO^=90°

Xét tứ giác ABOC có ABO^+ACO^=90°+90°=180° , mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp

Vậy A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Xét (O) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC

Mà OB = OC nên O cũng nằm trên đường trung trực của BC

Do đó AO là trung trực của BC nên AO BC tại H.


Câu 5:

b) Vẽ đường kính BD. Đường thng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC
tại E. Chứng minh: DC // OA và CD . CO = BA . CE.

Xem đáp án

b) Vì C thuộc đường tròn đường kính BD nên BCD^=90°

Suy ra tam giác BCD vuông tại C, do đó CD BC

Mà AO BC, suy ra CD // AO

Gọi giao điểm của AD và OE là I.

Xét tứ giác OICA có OIA^=OCA^=90° , mà hai góc này cùng nhìn cạnh OA của tứ giác

Suy ra tứ giác OICA nội tiếp

Do đó IOC^=IAC^  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

Ta có OCE^=OCD^+DCE^=OCD^+90°

             DCA^=OCD^+OCA^=OCD^+90°

Suy ra OCE^=DCA^

Xét tam giác OCE và tam giác ACD có

 OCE^=DCA^(chứng minh trên);

 IOC^=IAC^(chứng minh trên);

Suy ra ΔOCEΔACD  (g.g)

Do đó OCAC=CECD  (tỉ số đồng dạng)

Suy ra OC . CD = AC . CE = AB . CE

Vậy CD . CO = BA . CE.


Câu 6:

Tìm x, y biết 3y – 80 = 2x.
Xem đáp án

Ta có: 3y – 80 = 2x

3y = 2x + 80 (1)

• Với x = 0 thì (1) Û 3y = 20 + 80

3y = 1 + 80

3y = 81

3y = 34

y = 4

• Với x ≠ 0 thì 2x là số chẵn

Suy ra 2x + 80 là số chẵn

Mà 3y là số lẻ

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Vậy x = 0, y = 4.


Câu 7:

Một vòi chảy vào bể trung bình mỗi phút chảy được 27,5 lít nước. Hỏi trong 35  giờ vòi đó chảy được bao nhiêu lít nước?

Xem đáp án

Đổi  35 giờ = 36 phút

Trong 36 phút vòi đó chảy được là:

27,5 × 36 = 990 (lít)

Vậy trong 35  giờ vòi đó chảy được 990 lít nước.


Câu 8:

Số 0 có chia hết cho 2; 5; 7; 2017; 2018 không? Em có nhận xét gì về ước của 0?

Xem đáp án

Số 0 có chia hết cho các số 2; 5; 7; 2017; 2018 vì 0 chia cho số nào (khác 0) cũng bằng 0.

Ước của 0 là tất cả các số nguyên khác 0.


Câu 9:

Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng.

Xem đáp án
Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng. (ảnh 1)

• Gọi M’ là giao điểm của IN và AB. Ta cần chứng minh M’ M.

Trong DIDN có AM’ // DN nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: AM'DN=IM'IN

Trong DICN có BM’ // CN nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: BM'CN=IM'IN

Suy ra AM'DN=BM'CN=IM'IN

Mà DN = CN nên AM’ = BM’ hay M’ là trung điểm của AB.

Do đó M’ M nên I, M, N thẳng hàng (*)

• Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt ID và IC lần lượt tại H và K.

Trong DADC có HO // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:  HODC=AOAC(1)

Trong DBDC có KO // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: KODC=BOBD   (2)

Trong DODC có AB // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: AOOC=BOOD

Suy ra AOAO+OC=BOBO+OD  hay  AOAC=BOBD(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra HODC=KODC , do đó HO = KO.

Chứng minh tương tự như trên ta có I, O, N thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) ta có I, M, O, N thẳng hàng.


Câu 11:

Một can chứa 15 lít dầu. Biết một lít dầu cân nặng 0,8kg. Hỏi can dầu đó cân nặng bao nhiêu kg, biết rằng can rỗng cân nặng 1,5kg?

Xem đáp án

15 lít dầu nặng là: 

0,8 × 15 = 12 (kg)

Can dầu nặng là: 

12 + 1,5 = 13,5 (kg)

Vậy can dầu đó nặng 13,5 kg.


Câu 12:

Một số nếu tăng lên 3 lần rồi bớt đi 14,6 thì được kết quả là 30,4. Số đó là

Xem đáp án

Gọi số phải tìm là x

Theo đề bài ta có

x × 3 – 14,6 = 30,4

x × 3 = 30,4 + 14,6

x × 3 = 45

x = 45 : 3

x = 15

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 13:

Tổng của số tự nhiên và số thập phân là 18,62. Khi cộng 2 số đó một bạn quên đánh dấu phẩy ở phần thập phân và cộng như cộng số tự nhiên nên được kết quả là 575. Tìm số tự nhiên và số thập phân ban đầu.

Xem đáp án

Khi bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và cộng như số tự nhiên như đề bài thì số thập phân đó gấp lên 100 lần. Vậy tổng sai hơn tổng đúng 99 lần số phải tìm

Số thập phân đó là:

(575 – 18,62 ) : 99 = 5,62

Số tự nhiên đó là:

18,62 – 5,62 = 13

Vậy hai số cần tìm là 5,62 và 13.


Câu 14:

Viết tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số, trong đó: chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị.

Xem đáp án

Các số tự nhiên có 2 chữ số mà chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị là: 84, 63, 42, 21

Vậy tập hợp cần tìm là B = {84; 63; 42; 21}. 


Câu 15:

Tính bằng cách thuận tiện

72,9 × 99 + 72 + 0,9
Xem đáp án

72,9 × 99 + 72 + 0,9

= 72,9 × 99 + (72 + 0,9)

= 72,9 × 99 + 72,9

= 72,9 × 99 + 72,9 × 1

= 72,9 × (99 + 1)

= 72,9 × 100

= 7290.


Câu 16:

Cho (P): y = 2x2. Tìm các điểm nằm trên đồ thị (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử điểm A(x0; y0) là điểm thuộc (P) và có tung độ gấp đôi hoành độ.

Suy ra y0 = 2x0.

Do điểm thuộc đồ thị (P) nên ta có y0=2x02

Khi đó 2x02=2x0

2x022x0=0

2x0x01=0

2x0=0x01=0

x0=0x0=1

Với x0 = 0 thì y0 = 0.

Với x0 = 1 thì y0 = 2.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là (0; 0) và (1; 2).


Câu 17:

Cho abc 1 hoặc abc –1 và ab+1b=bc+1c=ca+1a  .

Chứng minh rằng a = b = c.

Xem đáp án

Ta có: ab+1b=bc+1c=ca+1a

a+1b=b+1c=c+1a

ab=1c1bbc=1a1cca=1b1a

ab=bcbcbc=caacca=abab

abbcca=bcbc.caac.abab

abbccaabbccaa2b2c2=0

abbcca11a2b2c2=0

abbcca=0 (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

ab=0bc=0ca=0

a=bb=cc=a

Nếu a = b thì 1a1c=0 . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

Nếu b = c thì 1c1b=0 . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

Nếu c = a thì 1b1a=0  . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.


Câu 18:

Cho abc 1 hoặc abc –1 và ab+1b=bc+1c=ca+1a  .

Chứng minh rằng a = b = c.

Xem đáp án

Ta có: ab+1b=bc+1c=ca+1a

a+1b=b+1c=c+1a

ab=1c1bbc=1a1cca=1b1a

ab=bcbcbc=caacca=abab

abbcca=bcbc.caac.abab

abbccaabbccaa2b2c2=0

abbcca11a2b2c2=0

abbcca=0 (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

ab=0bc=0ca=0

a=bb=cc=a

Nếu a = b thì 1a1c=0 . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

Nếu b = c thì 1c1b=0 . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

Nếu c = a thì 1b1a=0  . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.


Câu 19:

Tìm x, y, z biết 6x3z5=4y6x7=3z4y9  và 2x + 3y – 5z = –21.

Xem đáp án

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

6x3z5=4y6x7=3z4y9=6x3z+4y6x+3z4y5+7+9=0

6x3z5=04y6x7=03z4y9=06x3z=04y6x=03z4y=06x=3z4y=6x3z=4y6x=4y=3z

x2=y3=z42x4=3y9=5z20

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

2x4=3y9=5z20=2x+3y5z4+920=217=3

2x4=33y9=35z20=32x=123y=275z=60x=6y=9z=12

Vậy x = 6, y = 9, z = 12.


Câu 20:

Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2.

Xem đáp án

Ta có: x + y = 1 Þ y = 1 – x

Þ x2 + y2 = x2 + (1 – x)2 = x2 + 1 – 2x + x2 = 2x2 – 2x + 1

               =2x2x+14+12=2x122+12 

Với x 0 ta có x1220  nên 2x122+1212

Do đó x2+y212

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x122=0x12=0x=12

Với x=12y=112=12 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + y212  khi x=y=12 .


Câu 21:

Xét x, y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2y2 – 4xy.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt t = xy

Từ giả thiết ta có

t=xy0t=xyx+y240t1

Xét hàm số S = f(t) = t2 – 4t, 0 ≤ t ≤ 1

f’(t) = 2t – 4

f’(t) = 0 t = 2 [0; 1]

Ta có f(0) = 0, f(1) = – 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là –3 khi xy = 1.


Câu 22:

Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Với P(0) và P(1) là số lẻ. Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

Xem đáp án

Ta có P(0) = a . 03 + b . 02 + c . 0 + d = d

Vì P(0) lẻ nên d lẻ

Ta có P(1) = a . 13 + b . 12 + c . 1 + d = a + b + c + d

Vì P(0) lẻ và d lẻ nên a + b + c chẵn

Suy ra a, b, c có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m. Khi đó

P(m) = am3 + bm2 + cm + d

• Nếu m chẵn thì am3 + bm2 + cm + d lẻ

Vì d lẻ nên P(m) ≠ 0

• Nếu m lẻ thì am3 + bm2 + cm chẵn (vì a, b, c có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn)

Vì d lẻ nên P(m) = am3 + bm2 + cm + d lẻ

Suy ra P(m) ≠ 0

Do đó x = m không phải là nghiệm của P(x)

Vậy P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.


Câu 23:

Một ô tô đi trong 12  giờ được 21 km. Hỏi ô tô đó đi trong 1 và 12  giờ được bao nhiêu km?

Xem đáp án

 12giờ = 0,5 giờ

1 và 12  giờ = 1,5 giờ

Ô tô đó đi trong 1 giờ được:

21 : 0,5 = 42 (km)

Ô tô đó đi 1,5 giờ được:

1,5 × 42 = 63 (km)

Vậy ô tô đó đi trong 1 và 12  giờ được 63 km.


Câu 24:

Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) biết rằng đồ thị của hàm số này song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –2.

Xem đáp án

Vì đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên a=2b3

Khi đó ta có hàm số y = 2x + b (b ≠ 3). 

Vì đồ thị của hàm số y = 2x + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –2 nên điểm A(–2; 0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + b

Suy ra 0 = 2 . (–2) + b

Hay b = 4

Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 4.


Câu 25:

Một đội công nhân sửa đường trong 6 ngày đầu, mỗi ngày sửa được 2,72 km đường tàu; 5 ngày sau mỗi ngày sửa được 2,17 km đường tàu. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân sửa được bao nhiêu km đường tàu?

Xem đáp án

Số km đường tàu 6 ngày đầu sửa được là:

2,72 × 6 = 16,32 (km)

Số km đường tàu 5 ngày sau sửa được là:

2,17 × 5 = 10,85 (km)

Số ngày đội công nhân đó sửa đường tàu là:

6 + 5 = 11 (ngày)

Trung bình mỗi ngày sửa được là:

(10,85 + 16,32) : 11= 2,47 (km).


Câu 26:

Có 10 người, để làm xong một công việc thì phải mất 8 ngày. Nếu muốn làm xong cong việc đó trong 5 ngày thì cần phải có bao nhiêu người, biết năng suất lao động của mỗi người là như nhau?

Xem đáp án

Cần số người để làm xong việc đó trong 1 ngày là

10 × 8 = 80 (người)

Cần số người để làm xong việc đó trong 5 ngày là

80 : 5 = 16 (người)

Vậy vần 16 người để làm xong công việc trong 5 ngày.


Câu 27:

3,25 giờ = ... giờ...phút. Số thích hợp điền vào chỗ chấm là ?
Xem đáp án

Ta có 1 giờ = 60 phút

Nên 0,25 giờ = 0,25 × 60 = 15 phút

Vậy 3,25 giờ = (3 + 0,25) giờ = 3 giờ 15 phút.


Câu 29:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Trước hết ta tìm số số tự nhiên có 4 chữ số có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần.

– Chữ số 0 lặp lại 3 lần ta có 9 số thỏa mãn là 1000; 2000; 3000; …; 9000.

– Chữ số 1 lặp lại 3 lần:

+ Chữ số còn lại là 0 ta có 3 số thỏa mãn 1011; 1101; 1110.

+ Chữ số còn lại khác 0 và 1 ta có 8 . 4 = 32 số

 Tương tự với trường hợp chữ số 2; 3; 4; …; 9 lặp lại 3 lần. Tóm lại, số số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 9 + 9 . (3 + 32) = 324.

Vậy số số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676.

Vậy ta chọn đáp án C.


Câu 30:

Cách đổi phân số thành hỗn số và ngược lại.
Xem đáp án

– Để chuyển hỗn số thành phân số, ta thực hiện như sau:

+ Tử số bằng phần nguyên nhân với mẫu số rồi cộng với tử số ở phần phân số.

+ Mẫu số bằng mẫu số ở phần phân số.

– Để chuyển phân số thành hỗn số, ta thực hiện như sau:

+ Tính phép chia tử số cho mẫu số.

+ Giữ nguyên mẫu số của phần phân số.

+ Tử số bằng số dư trong phép chia tử số cho mẫu số.

+ Phần nguyên bằng thương của phép chia tử số cho mẫu số.

+ Chú ý: để chuyển được phân số thành hỗn số, phân số ban đầu phải lớn hơn 1, tức là tử số lớn hơn mẫu số.


Câu 31:

Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A=3n+2n1  có giá trị là số nguyên.

Xem đáp án

A=3n+2n1=3n3+5n1=3n1n1+5n1=3+5n1

A đạt giá trị nguyên khi 5n1  đạt giá trị nguyên

5 (n – 1)

(n – 1) Ư(5) = {1; 5; –1; –5}

n {2; 6; 0; –4}

Vậy n {2; 6; 0; –4} thì A là số nguyên.


Câu 32:

Dưới đây là phép nhân sai. Hãy tìm phép nhân đúng.

Dưới đây là phép nhân sai. Hãy tìm phép nhân đúng.   (ảnh 1)
Xem đáp án

Ta thấy rằng khi nhân với 11 thì ta được hai tổng riêng bằng nhau và bằng thừa số đầu tiên

Mà tổng của 2 tổng riêng là 680

Suy ra mỗi tổng riêng là 680 : 2 = 340

Do đó thừa số đầu tiên là 340

Vậy phép tính đúng là 340 x 11 = 3 740.


Câu 34:

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua A. Chứng minh tứ giác ACDN là hình chữ nhật.
Xem đáp án

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên BA // CD và BA = CD

Mà AB = AN, suy ra AN = CD

Xét tứ giác ACDN có AN = CD, AN // CD (chứng minh trên)

Suy ra ANDC là hình bình hành

Lại có  NAC^=90°(do N đối xứng B qua A) nên ANDC là hình chữ nhật.


Câu 35:

c) Kéo dài MN cắt BC tại I. Vẽ đường thẳng qua A song song với MN cắt BC ở K. Chứng minh KC = 2BK.

Xem đáp án

c) Xét tam giác BNI có AK // NI và A là trung điểm của BN

Suy ra K là trung điểm của BI hay BK = KI

Xét tam giác AKC có MI // AK và M là trung điểm của MI

Suy ra I là trung điểm của KC hay KI = IC

Ta có KC = KI + IC = 2KI = 2KB

Vậy CK = 2BK.


Câu 36:

d) Qua B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC kéo dài tại E. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác EBMN là hình vuông.

Xem đáp án

d) Vì EB // MN nên  (hai góc so le trong)

Xét tam giác EBA và MNA có:

EAB^=MAN^=90°;

AB = NA (giả thiết);

 (chứng minh trên)

Do đó ∆EBA = ∆MNA (g.c.g)

Suy ra EB = MN (hai cạnh tương ứng)

Mà EB // MN

Suy ra EBMN là hình bình hành

Lại có hai đường chéo BN EM vuông góc với nhau nên EBMN là hình thoi.

Để hình thoi EBMN là hình vuông tBN = EM

Mà BN = 2AB, EM = 2AM

Suy ra AB = AM

Lại có AC = 2AM

Do đó AC = 2AB

Vậy tam giác ABC có AC = 2AB thì EBMN là hình vuông.


Câu 37:

Hai người làm chung một công việc sau 12 giờ thì hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm một mình 23  công việc thì mất 10 giờ. Vậy người thứ hai làm 13  công việc thì mất bao nhiêu giờ?

Xem đáp án

Coi cả công việc là 1 đơn vị nguyên

1 giờ cả hai người làm được:

  1:12=112    (công việc)

Thời gian người thứ nhất làm xong công việc là

     10:23=15  (giờ)

1 giờ người thứ nhất làm được

 1:15=115      (công việc)

1 giờ người thứ hai làm được 

   112115=160    (công việc)

Người thứ hai làm 13  công việc trong

     13:160=20  (giờ)

Vậy người thứ hai làm 13  công việc trong 20 giờ.


Câu 38:

Cho a thỏa mãn a2 – 5a + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức:

P = a5 – a4 – 18a3 + 9a2 – 5a + 2017 + (a4 – 40a2 + 4) : a2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

P = a5 – a4 – 18a3 + 9a2 – 5a + 2017 + (a4 – 40a2 + 4) : a2

P = (a5 – 5a4 + 2a3) + (4a4 – 20a3 + 8a2) + (a2 – 5a + 2) + 2015 + (a4 – 40a2 + 4) : a2

P = a3(a2 – 5a + 2) + 4a2(a2 – 5a + 2) + (a2 – 5a + 2) + 2015 + (a4 – 40a2 + 4) : a2

P = a3 . 0 + 4a2 . 0 + 0 + 2015 + (a4 – 40a2 + 4) : a2

P=2015+a440a2+4a2

P=a440a2+4+2015a2a2=a4+1975a2+4a2

Vì a2 – 5a + 2 = 0

a2 – 5a = –2

(a2 – 5a)2 = 4

a4 – 10a3 + 25a2 = 4

Nên ta có:

Cho a thỏa mãn a2 – 5a + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức: P = a5 – a4 – 18a3 + 9a2 – 5a + 2017 + (a4 – 40a2 + 4) : a2. A. P = 1994; B. P = 1995; C. P = 1996; D. P = 1997. (ảnh 1)

 

Vậy ta chọn đap án C.


Câu 39:

Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

Xem đáp án

Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (học sinh)

Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (học sinh)

Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (học sinh)

Suy ra số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 = 53 (học sinh)

Vậy lớp đó có 53 học sinh.


Câu 40:

Lớp 5A, 5B, 5C trồng cây. Biết trung bình cộng số cây của ba lớp là 220 cây và nếu lớp 5A trồng bớt đi 30 cây, lớp 5B trồng thêm 80 cây, lớp 5C trồng thêm 40 cây thì số cây 3 lớp trồng bằng nhau. Tính số cây mỗi lớp đã trồng.

Xem đáp án

Tổng 3 lớp có số cây là: 220 × 3 = 660 (cây)

Nếu lớp 5A trồng bớt đi 30 cây, lớp 5B trồng thêm 80 cây, lớp 5C trồng thêm 40 thì tổng số cây 3 lớp là: 660 – 30 + 80 + 40 = 750

Lúc đó mỗi lớp có số cây là:

750 : 3 = 250 (cây)

Lớp 5A có số cây là: 250 + 30 = 280 (cây)

Lớp 5B có số cây là: 250 – 80 = 170 (cây)

Lớp 5C có số cây là250 – 40 = 210 (cây).


Câu 41:

Mua 5 kg đường phải trả 38 500 đồng. Hỏi mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả ít hơn bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Mỗi kg đường có giá là:

38 500 : 5 = 7 700 (đồng)

Mua 3,5 kg đường cùng loại có giá là:

7 700 × 3,5 = 26 950 (đồng)

Mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả ít hơn số tiền là:

38 500 – 26 950 = 11 550 (đồng)

Vậy mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả ít hơn 11 550 đồng.


Câu 43:

Số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 18 hàng đều dư ra 9 học sinh. Hỏi số học sinh khối 6 trường đó là bao nhiêu? Biết rằng số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.

Xem đáp án

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là a (học sinh) (a ℕ*, 300 < a < 400)

Theo đề bài ta có a : 12; a : 15; a :18 đều dư 9

Suy ra a – 9 chia hết cho 12; 15; 18 và 291 < a – 9 < 391

Suy ra a – 9 thuộc BC(12, 15, 18)

Ta có:

12 = 22 . 3

15 = 3 . 5

18 = 2 . 32

BCNN(12, 15, 18) = 22 . 32 . 5 = 180.

BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540; ...}

Vì 291 < a – 9 < 391

Suy ra a – 9 = 360

Do đó a = 360 + 9 = 369

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 369 học sinh.


Câu 44:

Tính bằng cách thuận tiện nhất:

0,8 × 96 + 1,6 × 2.

Xem đáp án

0,8 × 96 + 1,6 × 2

= 0,8 × 96 + 0,8 × 2 × 2

= 0,8 × 96 + 0,8 × 4

= 0,8 × (96 + 4 )

= 0,8 × 100

= 80.


Câu 45:

Cho ba số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi đã cho ba số nào?

Xem đáp án

Gọi ba số cần tìm là: a – 1, a, a + 1 

Ta có: 

(a – 1)a + 50 = a(a + 1)

a2 – a + 50 = a2 + a

2a = 50

a = 25

Suy ra

a – 1 = 25 – 1 = 24 

a + 1 = 25 + 1 = 26 

Vậy ba số cần tìm là 24, 25, 26.


Câu 46:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x3+y3x2+y2x1y1  với x, y là các số thực lớn hơn 1.

Xem đáp án

Ta có

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=( x^3+y^3)-( x^2+y^2)/( x-1)(y-1)  với x, y là các số thực lớn hơn 1. (ảnh 1)

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có

x2y1+4y12x2y1.4y1=4x

y2x1+4x12y2x1.4x1=4y

Suy ra x2y1+y2x1+4y1+4x14x + 4y

x2y1+y2x18

Hay A ≥ 8

Dấu “ = ” xảy ra khi x=2y1y=2x1x2y=2y2x=1x=2y=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x = y = 2.


Câu 47:

Cho tam giác ABC nhọn có góc A^=45° , đường cao AH. Điểm D đối xứng với H qua AB. Điểm E đối xứng với H qua AC. Điểm K là giao điểm của DB và EC. 

a) ADKE là hình gì ?

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC nhọn có góc A=45 độ , đường cao AH. Điểm D đối xứng với H qua AB. Điểm E đối xứng với H qua AC. Điểm K là giao điểm của DB và EC.   a) ADKE là hình gì ? (ảnh 1)

Ta có H và D đối xứng nhau qua AB nên AD = AH; BH = BD và AB là tia phân giác của DAH^

Suy ra A1^=A2^=12DAH^

Ta có H  và E đối xứng nhau qua AC nên AH = AE; CH = CE và AC là tia phân giác của EAH^

Suy ra A3^=A4^=12EAH^

Vì AD = AH, AH = AE nên AD = AE

Ta có DAE^=DAH^+HAE^=2A2^+2A3^=2A2^+A3^=2.45°=90°

Xét ΔADB và ΔAHB có 

AD = AH (chứng minh trên);

DB = HB (chứng minh trên);

AB chung

Do đó ΔADB = ΔAHB (c.c.c)

Suy ra  ADB^=AHB^(hai góc tương ứng)

AHB^=90°  nên ADB^=90°

Tương tự ta cũng có AEC^=90°

Xét tứ giác ADKE có  ADB^=DAE^=AEC^=90°

Do đó ADKE là hình chữ nhật

Mà AD = AE (chứng minh trên)

Suy ra ADKE là hình vuông.


Câu 48:

b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì A, H, K thằng hàng.
Xem đáp án

b) Do ADKE là hình vuông nên AK là phân giác của DAE^

Để A, H, K thẳng hàng thì H nằm trên tia phân giác AK của DAE^

Suy ra DAH^=EAH^=45°  nên A^1=A^2=A^3=A^4

Khi đó AH là phân giác của

Để tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại A.

Vậy để A, H, K thẳng hàng thì tam giác ABC cần thêm điều kiện cân tại A.


Câu 49:

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I. a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED.
Xem đáp án

a)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I. a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED.  (ảnh 1)

Vì E, D thuộc đường tròn (O) đường kính BC nên tam giác BCE, BDC nội tiếp đường tròn

Suy ra tam giác BCE vuông tại E, tam giác BCD vuông tại D

Hay BE EC; BD DC

Xét tam giác BCA có BE, CE là hai đường cao cắt nhau tại H

Suy ra H là trực tâm

Do đó AH BC hay AI BC

Xét tứ giác BEHI có BEH^+BIH^=90°+90°=180° , mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác

Suy ra tứ giác BEHI nội tiếp

Do đó HEI^=HBI^   (hai góc nội tiếp chắn cung HI)

Ta có:  DEC^=DBC^(hai góc nội tiếp chắn cung DC trong (O)).

HEI^=DBC^  (chứng minh trên)

Suy ra DEC^=HEI^

Do đó EC là phân giác của IED^  .


Câu 50:

b) Chứng minh BE . BA = BI . BC
Xem đáp án

b) Xét tứ giác AEIC có AEC^=AIC^=90° , mà hai góc này cùng nhìn cạnh AC

Suy ra tứ giác AEIC nội tiếp

Do đó CAE^+AEI^=180°

Mà BEI^+AEI^=180°   (hai góc kề bù)

Suy ra CAE^=BEI^

Xét tam giác BEI và tam giác BCA có

 ABC^ là góc chung;

CAB^=BEI^ (chứng minh trên)

Suy ra ΔBEIΔBCA  (g.g)

Do đó BEBC=BIBA  (tỉ số đồng dạng)

Suy ra BE . BA = BC . BI.


Câu 51:

c) Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp.

Xem đáp án

c) Vì tứ giác BEHI nội tiếp nên EBH^=EIH^  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Xét tứ giác CDHI có CDH^+CIH^=90°+90°=180°

Suy ra tứ giác CDHI nội tiếp

Do đó DIH^=HCD^  (hai góc nội tiếp chắn cung HD)

Ta có EID^=EIH^+DIH^=EBH^+DCH^=2EBD^=EOD^

Xét tứ giác OIED có EID^=EOD^  và hai góc này cùng nhìn cạnh ED

Suy ra tứ giác OIED nội tiếp.


Câu 52:

d) Cho biết BC = 16cm. Tính BE . BA + CD . CA.
Xem đáp án

d) Xét tam giác CDB và tam giác CIA có

CDB^=CIA^=90°;

Chung góc BCA^

Suy ra ΔCDBΔCIA (g.g)

Do đó CDCI=BCCA  (tỉ số đồng dạng)

Suy ra CD . CA = CI . CB

Mà BE . BA = BC . BI (chứng minh câu b)

Suy ra CD . CA + BE . BA = CI . CB + BC . BI

                                            = BC(BI + CI) = BC2 = 162 = 256

Vậy BE . BA + CD . CA = 256 cm.


Câu 53:

Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn 2x + 3y = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = x . y.

Xem đáp án

Ta có 2x + 3y = 4

(2x + 3y)2 = 16

Áp dụng bất đẳng thức Co – si ta có

(2x)2 + (3y)2 ≥ 2 . 2x . 3y

(2x + 3y)2 ≥ 2 . 2x . 3y + 2 . 2x . 3y

(2x + 3y)2 ≥ 24xy

16 ≥ 24xy

⇔ xy1624

⇔ P23

Dấu “ = ” xảy ra khi

Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn 2x + 3y = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = x . y. (ảnh 1)

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 23  khi x=1,y=23 .


Câu 54:

Tổng của tất cả các số lẻ có 2 chữ số giống nhau được gấp lên 9 lần thì được kết quả bao nhiêu?

Xem đáp án

Các số lẻ có 2 chữ số giống nhau là : 11, 33, 55, 77, 99

Ta thấy mỗi số hơn kém nhau 22 đơn vị

Số lượng số hạng là:

(99 – 11) : 22 + 1 = 5 (số)

Tống của tất cả các số lẻ có 2 chữ số giống nhau là:

(99 + 11) × 5 : 2  = 275 

Tổng của tất cả các số lẻ có 2 chữ số giống nhau được gấp lên 9 lần là:

275 × 9 = 2 475.


Câu 55:

Có bao nhiêu số tự nhiên là số lẻ mà nó có 2 chữ số giống nhau?
Xem đáp án

Có 5 số tự nhiên lẻ mà nó có 2 chữ số giống nhau là: 11, 33, 55, 77, 99.


Câu 57:

Một bếp ăn chuẩn bị số gạo cho 36 người ăn trong 50 ngày. Nhưng thực tế có 60 người ăn, hỏi số gạo đã chuẩn bị đủ dùng trong bao nhiêu ngày? (Mức ăn của mỗi người như nhau).

Xem đáp án

Một người ăn hết trong số ngày là:

36 × 50 = 1800 (ngày)

60 người ăn hết cần số ngày là:

1800 : 60 = 30 (ngày)

Vậy 60 người ăn đủ trong 30 ngày.


Câu 58:

Tính A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100.

Xem đáp án

Biểu thức A có (100 – 1): 1 + 1 = 100 số hạng

Nhóm hai số hạng thành 1 nhóm ra được 100 : 2 = 50 nhóm

A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100

A = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (99 – 100)

A = (–1) + (–1) + (–1) + ... + (–1)

A = (–1) . 50 = –50

Vậy A = –50.


Câu 59:

Tính S = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – … + 2 018 – 2 019 – 2 020 + 2 021.

Xem đáp án

S = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – … + 2 018 – 2 019 – 2 020 + 2 021

S = 1 + (2 – 3 – 4 + 5) + (6 – 7 – 8 + 9) + … + (2 018 – 2 019 – 2 020 + 2 021)

S = 1 + [(5 + 2) – (3 + 4)] + [(6 + 9) – (7 + 8)] + … + [(2 018 + 2 021) – (2 019 + 2 020)]

S = 1 + (7 – 7) + (15 – 15) + … + (4 039 – 4 039)

S = 1 + 0 + 0 + … + 0

S = 1.

Vậy S = 1.


Câu 60:

Với a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a + b + c = 2 112. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.

Xem đáp án

Xét hiệu: (a3 + b3 + c3) – (a + b + c)

= (a3 – a) + (b3 – b) + (c3 – c)

= a(a2 – 1) + b(b2 – 1) + c(c2 – 1)

= a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1)(b + 1) + c(c – 1)(c + 1)

Dễ thấy mỗi tích trên chia hết cho 6 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp

Suy ra (a3 + b3 + c3) – (a + b + c) chia hết cho 6

Mà a + b + c = 2 112 6

Suy ra  a3 + b3 + c3 6

Vậy a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.


Bắt đầu thi ngay