Bộ ba số có tổng bằng 6 là: (1; 0; 5); (1; 1; 4); (1; 2; 3); (2; 0; 4); (2; 2; 2); (3; 0; 3); (6; 0; 0).

Số có 3 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 6, đó là các số: 105; 150; 501; 510; 114; 141; 411; 123; 132; 213; 231; 312; 321; 204; 240; 402; 420; 222; 303; 330; 600; ...

Vậy có 21 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vì số dư luôn bé hơn số bị chia và số chia nên số dư lớn nhất có thể thỏa mãn đề là 1008.

Vậy số bị chia bằng:

      (1009 × 673) + 1008 = 680 065.

Số tuổi của con trai hơn số tuổi của con gái là:

                31 ‒ 26 = 5 (tuổi)

Số tuổi của con trai là:

                 (61 + 5) : 2 = 33 (tuổi)

Số tuổi của con gái là:

                  61 ‒ 33 = 28 (tuổi)

Đáp số: Con trai : 33 tuổi

             Con gái: 28 tuổi.

Chiều rộng hình chữ nhật là 6 × $\frac{2}{3}$  = 4 (m)

a) Diện tích căn phòng là 6 × 4 = 24 (m²)

b) Diện tích một viên gạch men là 40 × 40 = 1600 (cm²) = 0,16 (m²)

Số viên gạch cần để lát kín phòng là 24 : 0,16 = 150 viên gạch

                                                      Đáp số: a) 24 m²

                                                                   b) 150 viên gạch

Lời giải

Diện tích xung quanh của căn phòng đó là:

       (6 + 3,6) × 2 × 3,8 = 72,96(m²)

Diện tích trần nhà của căn phòng đó là:

       6 × 3,6 = 21,6 (m²)

Diện tích cần quét vôi là:

       72,96 + 21,6 ‒ 8 = 86,56 (m²)

                                Đáp số: 86,56 m².

1 kho hàng chứa số tấn hàng là:

480 : 15 = 32 (tấn hàng)

9 kho hàng có chứa số tấn hàng là:

32 × 9 = 288 (tấn hàng)

Nhà máy còn lại số tấn hàng là:

480 – 288 = 192 (tấn hàng)

Đáp số: 192 tấn hàng.

Số chia hết cho 45 là số chia hết cho cả 5 và 9.

Mà số chia hết cho 5 có tận cùng là 0 hoặc 5.

Do đó số nào nhân với số có tận cùng là 0 hoặc 5 cũng có tận cùng là 0 hoặc 5.

Vậy số chia hết cho 45 là số có tận cùng là 0 hoặc 5.

Nếu a ∈ {1; 2; …; 9} thì số  $\overline{a32b}$  là số có 4 chữ số, nếu a = 0 thì số $\overline{a32b}$  là số có 3 chữ số.

Do đó để $\overline{a32b}$  là số bé nhất chia hết cho 3 thì phải là số có 3 chữ số chia hết cho 3.

Khi a = 0 thì $\overline{32b}$  là số nhỏ nhất chia hết cho 3 khi (3 + 2 + b) nhỏ nhất chia hết cho 3. Suy ra b = 1

Vậy số thích hợp cần tìm bé nhất chia hết cho 3 là 321 khi a = 0 và b = 1.

Thùng thứ ba có số lít dầu là:

(28,6 + 25,4) : 2 = 27 (lít)

Cả 3 thùng có số lít dầu là:

28,6 + 25,4 + 27 = 81 (lít)

    Đáp số: 81 lít dầu

$\overline{abc}-\overline{cba}=396$

100.a + 10.b + c ‒100.c – 10.b ‒ a = 396

99.a ‒ 99.c = 396

99.(a ‒ c) = 396

a ‒ c = 4

Mặt khác abc chia hết 45 nên chia hết 9 và 5

$\overline{abc}$ chia hết 5 nên có tận cùng bằng 0 hoặc 5

Mà c khác 0 nên c = 5

Với c = 5 thì a = c + 4 = 5 + 4 = 9

$\overline{abc}$ chia hết 9 nên a + b + c chia hết 9

Do đó 9 + b + 5 = 14 + b chia hết 9

Do b ∈ {0; 1; 2; …; 9} nên b = 4.

Vậy số cần tìm là 945.

Tổng số cây 3 lớp trồng được là: (480 + 352 + 436) : 2 = 634 (cây)

Số cây lớp 4C trồng là: 634 − 480 = 154 (cây)

Số cây lớp 4B trồng là: 634 − 436 = 198 (cây)

Số cây lớp 4A trồng là: 634 − 352 = 282 (cây).

Gọi chiều cao là a (m), cạnh đáy là h (m)

Ta có: $\frac{ah}{2}=54$   và $\frac{a}{4}=\frac{h}{12}$  nên $a=\frac{4h}{12}$

Thế a vào ta có:

$\frac{\frac{4h}{12}.h}{2}=54$, suy ra 8h² = 54.12 = 648

⇒ h² = 81 ⇒ h = 9

Thế h vào ta có: $\frac{a}{4}=\frac{9}{12}$  ⇒ a = 3

Vậy chiều cao là 3m, cạnh đáy là 9m.

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ .

Ta có: $\overline{a3b}=\overline{ab}\times 11$

a × 100 + 3 × 10 + b = (a × 10 + b) × 11

a.100 + 30 + b = a × 110 + b × 11

a × (110 – 100) + b × (11 – 1) = 30

a × 10 + b × 10 = 30

10 × (a + b) = 30

a + b = 3.

Nếu a = 1 thì b = 2;

Nếu a = 2 thì b = 1.

Vậy số đó là: 12 hoặc 21.

Vì số cần tìm nhỏ nhất nên ta lần lượt thử chọn với các giá trị số nhỏ nhất.

• Giả sử số tự nhiên có dạng $\overline{11111a}$

Suy ra 111110 + a chia hết cho 1987. Vì 111110 chia 1987 dư 1825

Do đó a chia 1987 dư 162 (vô lí vì 162 > a).

• Giả sử số tự nhiên có dạng $\overline{11111ab}$

Suy ra  chia hết cho 1987.

Vì 1111100 chia 1987 dư 367 nên ab chia 1987 dư 1620 ( vô lí vì 1620 > ab)

• Giả sử số tự nhiên có dạng $\overline{11111abc}$

Suy ra $11111000+\overline{abc}$  chia hết cho 1987. Vì 11111000 chia 1987 dư 1683

Suy ra abc chia 1987 dư 304. Mà abc nhỏ nhất nên abc = 304

Vậy số tự nhiên cần tìm là 11111304.

7,2 × 2,8 + 7,3 × 7,2 = 7,3 × (2,8 + 7,2)

                                 = 7,3 × 10 = 73

54,57 × 83 ‒ 54,57 × 23 = 54,57 × (83 ‒ 23)

                                       = 54,57 × 60 = 3274,2

$\frac{1}{2}$× 45 + 0,5 × 37 +$\frac{5}{10}$ × 18

= 0,5 × 45 + 0,5 × 37 + 0,5 ×18

= 0,5 × (45 + 37 + 18 )

= 0,5 × 100 = 50

0,125 × 4 × 784 × 8

= (0,125 × 8) × ( 4 × 784)

= 1 × 3136 = 3136.

Ta có:

1,2 – 2,3 + 3,4 – 4,5 + 5,6 – 6,7 + 7,8 – 8,9 + 9

= (1,2 – 2,3) + (3,4 – 4,5) + (5,6 – 6,7) + (7,8 – 8,9) + 9

= –1,1 + (–1,1) + (–1,1) + (–1,1) + 9

= –4,4 + 9

= 4,6.

Trung bình cộng của 3 số đó là: 24 : 3 = 8

Suy ra số ở giữa là 8.

Số liền trước số 8 là:

  8 ‒ 1 = 7

Số liền sau số 8 là :

8 + 1 = 9 

Vậy số đó là 7 8 9

Đáp số : 789

Số đó có dạng $\overline{ab}$  theo đề bài thì  $\overline{ab}$ = 21(a ‒ b) = 21a ‒ 21b

⇒ 10a + b = 21a ‒ 21b

⇒11a = 22b

⇒ a = 2b

Vì a và b là các số tự nhiên từ 1 đến 9 nên các cặp số (a, b) thỏa mãn là (a, b) = (2, 1); (4, 2); (6, 3), (8, 4).

Vậy các số cần tìm là 21; 42; 63; 84.

$\begin{array}{l}\left(\frac{15}{8}-\frac{3}{4}\right).4\\ =\frac{15-6}{8}.4\\ =\frac{9}{2}\end{array}$

25 ‒ (–17) + 24 ‒12

= 25 + 17 + 24 ‒12

= 54.

36 + 2xy ‒ x² ‒ y²

= 36 ‒ (2xy + x² + y²)

= 6² ‒ (x + y)²

= (6 ‒ x ‒ y).(6 + x + y)

Phân số chỉ số phần còn lại của cá tấm vải là:

Tấm 1: $1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$   (phần)

Tấm 2:  $1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}=\frac{8}{14}$( phần)

Tấm 3: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$  (phần)

Nếu tấm vải thứ 1 có 9 phần thì tấm vải thứ 2 có 14 phần, tấm vải thứ 3 có 12 phần

Tổng số phần bằng nhau là: 9 + 14 + 12 = 35 (phần)

Chiều dài tấm vải thứ 1 là: $\frac{135}{35}.9=27$ (mét)

Chiêu dài tấm vải thứ 2 là: $\frac{135}{35}.14=42$  (mét)

Chiều dài tấm vải thứ 3 là: 105 ‒ (27 + 42) = 36 (mét)

Đáp số: Tấm 1: 27 mét;

             Tấm 2: 42 mét;

             Tấm 3: 36 mét.

Chiều dài đám đất hình chữ nhật là: 16,5 × 3 = 49,5 (m)

Diện tích đám đất hình chữ nhật là: 49,5 × 16,5 = 816,75 (m²)

Người ta thu hoạch được số tạ cà chua là:

816,75 × 6,8 = 5553,9 kg = 55,539 tạ

Đáp số: 55,539 tạ.

$\begin{array}{l}A=\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\\ =\frac{{\left(x-y\right)}^2+2xy}{x-y}=\frac{{\left(x-y\right)}^2+2}{x-y}\\ =x-y+\frac{2}{x-y}\end{array}$(do xy = 1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 2 số x ‒ y và $\frac{2}{x-y}$  ta có

$A=x-y+\frac{2}{x-y}\ge 2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}$

Vậy A_min =$2\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x-y=\sqrt{2}\\ xy=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$ .

a)

Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra EF ⊥ OM

Tứ giác ABHM có $\widehat{A}=\widehat{H}=90°$  nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.

b) $\Delta OHB \backsim \Delta OAM \left(g.g\right)$

⇒  $\frac{OH}{OA}=\frac{OB}{AM}$

⇒ OA.OB = OH.OM (1)

⇒ $\frac{OH}{OE}=\frac{OE}{OM}$ ⇒ OH.OM = OE² = R² (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = R².

c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

Do  $\stackrel{⏜}{FI}=\stackrel{⏜}{EI}$ suy ra $\widehat{MFI}=\widehat{EFI}$  .

Suy ra FI là phân giác của góc MFE

Lại có MI là phân giác của góc EMF

Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF

Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.

d) Diện tích tam giác HBO:  $S=\frac{HO.HB}{2}$

Xét $\Delta OHB\backsim \Delta OAM \left(g.g\right)$  $\Rightarrow \frac{HB}{AM}=\frac{OB}{OM}$

⇒ HB.OM = AM.OB (3)

Có: OH.OM = R² (4)

Nhân (3) và (4) vế với vế ta được: 

OH.HB.OM² = R².AM.OB = $R^2.AM.\frac{R^2}{OA}$

⇒  $OH.OB=\frac{AM}{OA.O{M}^2}=R^4.\frac{AM}{OA.(O{A}^2+A{M}^2)}$

Áp dụng BĐT Cô si với OA và AM ta có: OA² + AM² ≥ 2. $\sqrt{O{A}^2.A{M}^2}$  = 2.OA.AM

Dấu "=" xảy ra khi: OA = AM

⇒ $OH.OB\le R^4.\frac{AM}{OA\mathrm{.2.}OA.AM}=\frac{R^4}{2.O{A}^2}$

Suy ra diện tích tam giác HBO lớn nhất là $\frac{R^4}{2.O{A}^2}$  khi OA = OM.

Ta có: x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒2x = x³(x + 2) ‒ x(x + 2)

= (x³ ‒ x)(x + 2)

= x(x² ‒ 1)(x + 2)

= x(x ‒ 1)(x + 1)(x + 2)

Ta thấy (x ‒ 1)x(x + 1)(x + 2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp sẽ có ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 4.

Do đó (x ‒ 1)x(x + 1)(x + 2) ⋮ (2.3.4) = 24

Vậy x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒ 2x chia hết cho 24.

Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là:

$40.\frac{1}{2}=20$ (m)

Diện tích mảnh đất đó là :

20.40 = 800 (m² )

Diện tích để xây nhà là:

800 . 15% = 120 (m²)

Đáp số : 120 m²

Đổi 20% = $\frac{1}{5}$ ; 25% = $\frac{1}{4}$

Số mét vải còn lại sau ngày thứ 3 là

$13:\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{39}{2}$ (m)

Số mét vải còn lại sau ngày thứ hai là:

$\left(\frac{39}{2}+9\right):\left(1-\frac{1}{4}\right)=38$ (m)

Số mét vải còn lại sau ngày thứ nhất là:

 $\left(38+10\right):\left(1-\frac{1}{5}\right)=60$(m)

Chiều dài tấm vải là:

 $\left(60+5\right):\left(1-\frac{1}{6}\right)=78$(m).

Đổi 0,55 km = 550 m

Tổng số phần bằng nhau là:

5 + 6 = 11 (phần)

Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là:

$\frac{550.5}{11}=250$ (m)

Chiều dài khu vườn hình chữ nhật là:

550 – 250 = 300 (m)

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là:

250.300 = 75000 (m²) = 7,5 (ha).

Đáp số: 75000m²; 7,5ha.

a = 202.204 = 202(203 + 1) = 202.203 + 202

b = 203.203 = (202 + 1).203 = 202.203 + 203

Vì 203 > 202 ⇒ 202.203 + 202 < 202.203 + 203

⇒ a < b

Do $\overline{abc}$  chia hết cho 45 nên $\overline{abc}$  phải chia hết cho cả 5 và 9

Suy ra, c = 0 hoặc c = 5 và (a + b + c) ⋮ 9

+) Với c = 0 ta có a + b + c = a + b = b + 1 + b = 2b + 1.

Để 2b + 1 ⋮ 9 thì b = 4

⇒ a = 4 + 1 = 5

⇒ Số đó là 540.

+) Với c = 5 ta có a + b + c = a + b = b + 1 + b + 5 = 2b + 6.

Để 2b + 6 ⋮ 9 thì b = 6

⇒ a = 6 + 1 = 7

⇒ Số đó là 765.

Giả sử 4 số nguyên liên tiếp là: x ‒1, x, x + 1, x + 2

a) Trong 4 số nguyên liên tiếp x ‒1, x, x + 1, x + 2 sẽ có ít nhất một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 4

Suy ra (x ‒1)x(x +1)(x + 2) ⋮ (2.3.4) = 24

⇒ (x ‒1)x(x +1)(x + 2) ⋮ 24

b) Ta có: x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒2x = x³(x + 2) ‒ x(x + 2)

= (x³ ‒ x)(x + 2)

= x(x² ‒ 1)(x + 2)

= x(x ‒ 1)(x + 1)(x + 2)

Ta thấy (x ‒ 1)x(x + 1)(x + 2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp, theo câu a tích này sẽ chia hết cho 24.

Vậy x⁴ + 2x³ ‒ x² ‒ 2x chia hết cho 24.

1 ngày = 24 giờ

Vậy 1 ngày và 6 giờ = 24 + 6 = 30 (giờ).

Chiều dài thửa ruộng là : $60\times \frac{5}{3}=100$  (m)

Diện tích thửa ruộng là: 100 × 60 = 6000 ( m² )

b) Số kilogam thóc người ta thu hoạch được là:

(6000 : 100) x 30 = 1800 (kg thóc)

Đổi 1800 kg = 18 tạ

Đáp số: a) 6000           b) 18 tạ thóc

1,5 tạ = 150 kg.

x2 − 4x + m + 1=0

Δ' = (−2).2 − (m + 1 ) = 3 ‒ m

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 3 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3

Áp dụng Viet, ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=m+1\end{array}\right.$

Ta có: x₁x₂ − (x₁ + x₂) = 2 hay m + 1 − 4 = 2⇔ m = 5 (ktm)

Vậy không có m để x₁x₂ − (x₁ + x₂) = 2.

Gọi số có 3 chữ số cần tìm có dạng  $\overline{abc}$(a ≠ 0)

Để thoả mãn yêu cầu bài toán có 3 phương án có thể xảy ra:

+ Phương án 1: a = 5

Chọn b có 9 cách chọn;

Chọn c có 9 cách chọn;

Do đó có 9.9 = 81 số

+ Phương án 2: b = 5

Chọn a có 8 cách chọn (vì a ≠ 0; a ≠ 5);

Chọn c có 9 cách chọn;

Do đó có: 9.8 =72 số.

+ Phương án 3: c = 5

Chọn a có 8 cách chọn (vì a ≠ 0; a ≠ 5);

Chọn b có 9 cách chọn;

Do đó có: 9.8 = 72 số.

Vậy có 81 + 72 + 72 = 225 số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Số tiền lãi người đó có được sau 1 năm là:

16 080 000 − 15 000 000 = 1 080 000 (đồng)

Lãi suất tiết kiệm trong 1 năm là:

1 080 000 : 15 000 000 × 100% = 7,2% 

Đáp số: 7,2 %.

Số thứ hai là: 

72,4 × 3 = 217,2

Số thứ ba là: 

72,4 − 12,4 = 60

Tổng của ba số đó là: 

72,4 + 217,2 + 60 = 349,6.

Tổng số gạo của 2 bao là: 45,6 × 2 = 91,2 (kg)

Nếu chuyển từ bao thứ 1 sang bao thứ 2: 2,7 kg gạo thì số gạo ở 2 bao bằng nhau

⇒ Hiệu số gạo của 2 bao là: 2,7 × 2 = 5,4 (kg gạo)

Lúc đầu bao thứ 1 có: (91,2 + 5,4) ÷ 2 = 48,3 (kg gạo)

Lúc đầu bao thứ 2 có: 91,2 − 48,3 = 42,9 (kg gạo).

Số 205 mà bỏ chữ số 0 thì thành số 25. Như vậy Tâm đã viết nhầm làm giảm 1 thừa số đi số đơn vị là:

205 – 25 = 180 (đơn vị)

Do đó tích giảm đi 180 lần thừa số kia, mà tích giảm đi 42120 đơn vị nên thừa số kia là :

42120 : 180 = 234

Tích đúng là:

234 × 205 = 47970

 Đáp số: 47970.

Đổi 105 tấn 6 tạ = 1056 tạ

Xe tải đó đã chở được số tạ gạo là:

          11 × 75 = 825 (tạ)

Xe tải đó còn p ải chở số tạ gạo nữa là:

          1056 − 825 = 231 (tạ)

                       Đáp số : 231 tạ.

Từ $\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}$

Từ (1) và (2) ta được: $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ .

a) (1,1 × 1,2 × 1,3 × 1,4 × 1,5) × (1,25 – 0,25 × 5)

= (1,1 × 1,2 × 1,3 × 1,4 × 1,5) × (1,25 – 1,25)

= (1,1 × 1,2 × 1,3 × 1,4 × 1,5) × 0

= 0.

b) ( 6,25 – 1,25 × 5) : ( 2,9 × 2,7 : 3,6 × 4,18)

= ( 6,25 – 6,25) : ( 2,9 × 2,7 : 3,6 × 4,18)

= 0 : ( 2,9 × 2,7 : 3,6 × 4,18) = 0.

0,16 : (x : 3,5) = 2,8

            x : 3,5   = 0,16 : 2,8

           $x:3,5 =\frac{2}{35}$

           $x=\frac{2}{35}.3,5$

           $x=\frac{1}{5}$

vậy $x=\frac{1}{5}$ .

1 ngày = 24 giờ

Vậy 1 ngày 6 giờ = 24 + 6 = 30 (giờ).

A = 3 + 3² + 3³ +............+ 3⁶⁰

= (3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶) + ...+ (3⁵⁸ + 3⁵⁹ + 3⁶⁰)

= (3 + 9 + 27) + (3³.3 + 3³.9 + 3³.27) + ... + (3⁵⁷.3 + 3⁵⁷.9 + 3⁵⁷.27)

= 39 + 3³.(3 + 9 + 27) + .... + 3⁵⁷.(3 + 9 + 27)

= 39 + 3³.39 + .... + 3⁵⁷.39

= 39. (1 + 3³ + 3⁴ + ... + 3⁵⁷)

Vì 39 ⋮ 13 nên A chia hết cho 13.

a) B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰

= (3 + 3²) + (3³ +3⁴) +... + (3¹¹⁹ + 3¹²⁰)

= 3.(1 + 3) + 3³.(1 + 3) + ... + 3¹¹⁹.(1 + 3)

= 3.4 + 3³.4 + ... + 3¹¹⁹.4

= 4. (3 + 3³ + 3¹¹⁹)

Vì 4 ⋮ 4 nên B chia hết cho 4

b) B = 3 + 3² + 3³ +............+ 3¹²⁰

= (3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶) + ...+ (3¹¹⁸ + 3¹¹⁹ + 3¹²⁰)

= (3 + 9 + 27) + (3³.3 + 3³.9 + 3³.27) + ... + (3¹¹⁷.3 + 3¹¹⁷.9 + 3¹¹⁷.27)

= 39 + 3³.(3 + 9 + 27) + .... + 3¹¹⁷.(3 + 9 + 27)

= 39 + 3³.39 + .... + 3⁵⁷.39

= 39. (1 + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹¹⁷)

Vì 39 ⋮ 13 nên A chia hết cho 13.