Giá của quyển sách tăng 25% tức là tăng thêm $\frac{1}{4}$  của nó.

Ta có sơ đồ:

Vậy giá mới phải giảm đi $\frac{1}{5}=20\%$  để được trở lại giá ban đầu.

Tổng số phần bằng nhau là: 4 + 1 = 5 (phần).

Tuổi của mẹ là: 50 : 5 ⨯ 4 = 40 (tuổi).

Tuổi của con là: 50 : 5 ⨯ 1 = 10 (tuổi).

Đáp số: Tuổi mẹ: 40 tuổi;

Gọi số học sinh của trường đó là x (900 < x < 1000 và x ∈ ℕ).

Mỗi lần xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều không có ai lẻ hàng.

Suy ra x chia hết cho 3, 4, 5 hay x là BC(3, 4, 5).

Mà BCNN(3, 4, 5) = 60.

Do đó x ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; ...}.

Mà 900 < x < 1000 và x ∈ ℕ nên x = 960.

Vậy số học sinh của trường đó là 960.

Công thức tổng quát cho dãy số Fibonacci:

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]$.

Do đó số thứ 100 trong dãy số Fibonacci là:

$F_{100}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{100}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{100}\right]=3,{542248482.10}^{20}$.

Vì x ⋮ 12, x ⋮ 21 và x ⋮ 28 nên x ∈ BC(12, 21, 28).

Ta có:

⦁ 12 = 2².3;

⦁ 21 = 3.7;

⦁ 28 = 2².7.

Suy ra BCNN(12, 21, 28) = 2².3.7 = 84.

Do đó x ∈ BC(12, 21, 28) = B(84) = {0; 84; 168; 252; 336; 420; 504; ...}.

Mà 150 < x < 300 nên x = 168 hoặc x = 252.

Vậy x = 168 hoặc x = 252 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt B = 23.33.43. ... .253.263.

Số thừa số của tích B là: (263 – 23) : 10 + 1 = 25 (thừa số).

Ta thấy tích của 4 thừa số có tận cùng là 3 thì có tận cùng là 1.

Vì có 25 thừa số nên ta kết hợp được 6 nhóm, mỗi nhóm có 4 thừa số và còn thừa 1 thừa số là 263. Tích của mỗi nhóm trên có chữ số tận cùng là 1. Do đó tích của 6 nhóm trên có tận cùng là 1.

Khi đó tích của nhóm trên với thừa số 263 sẽ có tận cùng là 3.

Vậy hiệu A = B – 9756 có tận cùng là 7.

Vì x chia hết cho 9 nên x ∈ B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; ...}.

Mà x < 40 nên x ∈ {0; 9; 18; 27; 36}.

Vậy ∈ {0; 9; 18; 27; 36}.

Vì x ⋮ 4; x ⋮ 7; x ⋮ 8 và x nhỏ nhất nên x ∈ BCNN(4, 7, 8).

Mà 4 = 2²; 7 = 7; 8 = 2³.

Suy ra BCNN(4, 7, 8) = 2³.7 = 56.

Vậy x = 56.

Ta có x ∈ B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; ...}.

Mà 12 < x < 90 nên x ∈ {24; 36; 48; 60; 72; 84}.

Vậy x ∈ {24; 36; 48; 60; 72; 84}.

Ta có: 12 = 2².3; 15 = 3.5 và 20 = 2².5.

Suy ra BCNN(12, 15, 20) = 2².3.5 = 60.

Suy ra x ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; 480; 540; 600; ...}.

Mà x ≤ 500 nên x ∈ {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; 480}.

Vậy x ∈ {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; 480}.

a) 320 = 2⁶.5.

Suy ra 320 có (6 + 1).(1 + 1) = 14 ước.

b) 625 = 5⁴.

Suy ra 625 có 4 + 1 = 5 ước.

c) 504 = 2³.3².7.

Suy ra 504 có (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước.

d) 900 = 2².3².5².

Suy ra 900 có (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) =27 ước.

e) 3675 = 3.5².7².

Suy ra 3675 có (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 ước.

Số trứng còn lại sau khi bán lần đầu là: $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$  (số trứng ban đầu).

Số trứng lần thứ hai bán được là: $\frac{3}{5}.\frac{2}{3}=\frac{2}{5}$  (số trứng ban đầu).

Sau hai lần bán, số trứng còn lại là: $1-\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$  (số trứng ban đầu).

Số trứng ban đầu là: $10:\frac{1}{5}=50$  (quả trứng).

Đáp số: 50 quả trứng.

Ta có sơ đồ:

Tổng số cây 3 lớp trồng được là: 603 cây.

Quan sát sơ đồ, ta có tổng số phần bằng nhau là: 2 + 6 + 1 = 9 (phần).

Số cây lớp 5A trồng được là: 603 : 9 ⨯ 2 = 134 (cây).

Số cây lớp 5B trồng được là: 603 : 9 ⨯ 6 = 402 (cây).

Số cây lớp 5C trồng được là: 603 : 9 ⨯ 1 = 67 (cây).

Đáp số: Lớp 5A: 134 cây;

          Lớp 5B: 402 cây;

          Lớp 5C: 67 cây.

Đặt A = 1.3² + 3.5² + 5.7² + ... + 97.99².

= 1.3.3 + 3.5.5 + 5.7.7 + ... + 97.99.99.

= 1.3.(5 – 2) + 3.5.(7 – 2) + 5.7.(9 – 2) + ... + 97.99.(101 – 2).

= (1.3.5 – 1.3.2) + (3.5.7 – 3.5.2) + (5.7.9 – 5.7.2) + ... + (97.99.101 – 97.99.2).

= (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + ... + 97.99.101) – 2.(1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 97.99).

Đặt M = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + ... + 97.99.101 và N = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 97.99.

Ta có 8M = 1.3.5.8 + 3.5.7.(9 – 1) + 5.7.9.(11 – 3) + ... + 97.99.101.(103 – 95).

= 1.3.5.8 + (3.5.7.9 – 1.3.5.7) + (5.7.9.11 – 3.5.7.9) + ... + (97.99.101.103 – 95.97.99.101.

= 1.3.5.8 – 1.3.5.7 + 97.99.101.103

= 1.3.5.(8 – 7) + 97.99.101.103

= 15 + 97.99.101.103.

Suy ra $M=\frac{15+\mathrm{97.99.101.103}}{8}$ .

Lại có 6N = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + ... + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 – 1) + 5.7.(9 – 3) + ... + 97.99.(101 – 95)

= 1.3.5 + 1.3.1 + 3.5.7 – 3.5.1 + 5.7.9 – 5.7.3 + ... + 97.99.101 – 97.99.95

= 1.3.1 + 97.99.101

= 3 + 97.99.101.

Suy ra $N=\frac{3+\mathrm{97.99.101}}{6}$  .

Vì vậy $A=M-2N=\frac{15+\mathrm{97.99.101.103}}{8}-2.\frac{3+\mathrm{97.99.101}}{6}$

$=\frac{15+\mathrm{97.99.101.103}}{8}-\left(1+\mathrm{97.33.101}\right)$

$=\frac{15+\mathrm{97.99.101.103}-8-\mathrm{8.97.33.101}}{8}$

$=\frac{7+\mathrm{97.33.101.}\left(3.103-8\right)}{8}$

$=\frac{7+\mathrm{97.33.101.301}}{8}$

= 12 164 201.

Vậy A = 12 164 201.

Ta có 165 – (35 : x + 3) . 19 = 13.

⇔ (35 : x + 3) . 19 = 165 – 13.

⇔ (35 : x + 3) . 19 = 152.

⇔ 35 : x + 3 = 152 : 19.

⇔ 35 : x + 3 = 8.

⇔ 35 : x = 8 – 3.

⇔ 35 : x = 5.

⇔ x = 35 : 5.

⇔ x = 7.

Vậy x = 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án A.

Ta có $21\frac{1}{2}=21\frac{5}{10}=21,5$  .

Vậy khi chuyển đổi hỗn số 21 và $\frac{1}{2}$   thành số thập phân, ta được 21,5.

Lần cân thứ nhất:

– Lấy hai đồng xu ra, sau đó chia 6 đồng còn lại thành 2 nhóm, mỗi nhóm có 3 đồng xu.

– Cân 2 nhóm (mỗi nhóm có 3 đồng xu) vừa chia và xem kết quả.

Lần cân thứ hai:

⦁ Trường hợp 1: Nếu cân thăng bằng thì cân 2 đồng xu được lấy ra ở bước 1, phía cân nào nhẹ hơn thì bên đó là đồng xu giả.

⦁ Trường hợp 2: Nếu cân không thăng bằng thì lấy 3 đồng xu bên cân nhẹ hơn, bỏ 1 đồng ra và cân 2 đồng còn lại. Nếu cân thăng bằng thì đồng xu vừa bỏ ra là đồng xu giả. Nếu cân không thăng bằng thì đồng xu bên cân nhẹ hơn là đồng xu giả.

a) Ta có 5 ⋮ 5; 5² ⋮ 5; 5³ ⋮ 5; ...; 5⁹⁹ ⋮ 5 và 5¹⁰⁰ ⋮ 5.

Suy ra A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰ chia hết cho 5 (1)

Vậy A là hợp số.

b) Ta có 5 không chia hết cho 5²; 5² ⋮ 5²; 5³ ⋮ 5²; ...; 5⁹⁹ ⋮ 5² và 5¹⁰⁰ ⋮ 5².

Suy ra A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰ không chia hết cho 5²   (2)

Từ (1), (2), suy ra A không phải là số chính phương.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Vì các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn (O₁) có cạnh HA là đường kính nên tam giác ACH vuông tại C và tam giác AKH vuông tại K.

Suy ra  $\left\{\begin{array}{l}DC\perp AE\\ HK\perp AK\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}$

Vì các tam giác HDK, HDB nội tiếp đường tròn (O₂) có cạnh HD là đường kính nên tam giác HDK vuông tại K và tam giác HBD vuông tại B.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}AB\perp DE\\ HK\perp KD\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(3\right)\\ \left(4\right)\end{array}$

Từ (2), (4), suy ra ba điểm A, K, D thẳng hàng.

Do đó HK ⊥ AD.

Từ (1), (3), suy ra H là trực tâm của tam giác AED.

Do đó HE ⊥ AD.

Vì vậy H ∈ EK.

Vậy ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại 1 điểm.

Với p = 3, ta có:

⦁ 8p – 1 = 23 là số nguyên tố;

⦁ 8p + 1 = 25 không phải là số nguyên tố.

Với p ≠ 3, ta có: p không chia hết cho 3 nên 8p không chia hết cho 3.

Ta có 8p(8p – 1)(8p + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Suy ra 8p(8p – 1)(8p + 1) chia hết cho 3.

Lại có 8p – 1 > 3 (p ∈ ℕ).

Suy ra 8p – 1 không chia hết cho 3.

Do đó 8p + 1 chia hết cho 3.

Mà 8p + 1 > 3, p ∈ ℕ.

Suy ra 8p + 1 là hợp số.

Vậy 8p + 1 là hợp số; 8p – 1 là số nguyên tố.

a)

Ta có D là điểm đối xứng với M qua AB (giả thiết).

Suy ra AB là đường trung trực của đoạn DM.

Do đó AD = AM.

Vì vậy tam giác ADM cân tại A.

Suy ra AB vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác của tam giác ADM.

Do đó $\widehat{DAB}=\widehat{BAM}$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{MAC}=\widehat{CAE}$  .

Ta có $\widehat{DAE}=2\widehat{BAM}+2\widehat{MAC}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}\right)=2\widehat{BAC}=2.70°=140°$ .

Ta có:

⦁ AB là đường trung trực của đoạn DM. Suy ra AD = AM.

⦁ AC là đường trung trực của đoạn EM. Suy ra AM = AE.

Do đó AD = AE.

Vì vậy tam giác ADE cân tại A.

Suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180°-\widehat{DAE}}{2}=20°$ .

Vậy $\widehat{DAE}=140°$  và $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=20°$  .

b) Ta có AB là đường trung trực của đoạn DM.

Mà I ∈ AB.

Do đó ID = IM.

Vì vậy tam giác IDM cân tại I.

Suy ra $\widehat{IDM}=\widehat{IMD}$  .

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{ADM}=\widehat{AMD}$ .

Suy ra $\widehat{ADM}-\widehat{IDM}=\widehat{AMD}-\widehat{IMD}$ .

Do đó $\widehat{D_1}=\widehat{M_1}$  .

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{E_1}=\widehat{M_2}$ .

Mà $\widehat{D_1}=\widehat{E_1}$  (câu a).

Suy ra $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ .

Vậy MA là tia phân giác của $\widehat{IMK}$ .

c) Từ kết quả câu a, ta thấy tam giác ADE cân tại A có góc ở các đỉnh không đổi nên cạnh đáy DE nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên AD nhỏ nhất.

⇔ AM nhỏ nhất.

⇔ M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Lại có  $\widehat{B}$và  $\widehat{C}$ là các góc nhọn.

Vậy M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC và M nằm trên cạnh BC.

a) Dãy số là: 7; 9; 11; ...; 19; 21.

Số số hạng của dãy số trên là: (21 – 7) : 2 + 1 = 8 (số hạng).

Tổng của dãy số trên là: (7 + 21) ⨯ 8 : 2 = 112.

Trung bình cộng của dãy số trên là: 112 : 8 = 14.

Đáp số: 14.

b) Các số tròn chục có hai chữ số là: 10; 20; 30; ...; 80; 90.

Số số hạng của dãy số trên là: (90 – 10) : 2 + 1 = 41 (số hạng).

Tổng của dãy số trên là: (10 + 90) ⨯ 41 : 2 = 2050.

Trung bình cộng của dãy số trên là: 2050 : 41 = 50.

Đáp số: 50.

Số gạo cửa hàng bán được ở ngày thứ nhất là: $32,8\times \frac{3}{4}=24,6$  (tạ gạo).

Số gạo cửa hàng còn lại sau ngày thứ nhất là: 32,8 – 24,6 = 8,2 (tạ gạo).

Số gạo cửa hàng bán được ở ngày thứ hai là: $8,2\times \frac{3}{4}=6,15$  (tạ gạo).

Số gạo cửa hàng chưa bán là: 8,2 – 6,15 = 2,05 (tạ gạo).

Đổi: 2,05 tạ = 205 kg.

Đáp số: 205 kg gạo.

99 trang đầu cần dùng: 9 × 1 + 90 × 2 = 189 (chữ số).

999 trang đầu cần dùng: 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 = 2889 (chữ số).

Vì 189 < 900 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số.

Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số là: 900 – 189 = 711 (chữ số).

Số trang có 3 chữ số là: 711 : 3 = 237 (trang).

Quyển sách đó có tất cả số trang là: 99 + 237 = 336 (trang).

Đáp số: 336 trang.

Giá của quyển sách giảm đi 20% tức là giảm đi $\frac{1}{5}$  của nó.

Ta có sơ đồ:

Vậy giá mới phải tăng thêm $\frac{1}{4}=25\%$  để được trở về như giá ban đầu.

Ba năm sau (tức là sau 5 năm), mẹ thêm 5 tuổi và tổng số tuổi của hai con thêm 10 tuổi.

Vậy ba năm sau, tuổi mẹ hơn tổng số tuổi của hai con là: 25 – (10 – 5) = 20 (tuổi).

Đáp số: 20 tuổi.

Tuổi của con hiện nay là:

              45 – 29 = 16 (tuổi)

 Tổng số tuổi của hai mẹ con là:

             45 + 16 = 61 (tuổi)

                        Đáp số: 61 tuổi.

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 1 = 4 (phần).

Giá trị của một phần là: 28 : 4 = 7 (tuổi).

Tuổi mẹ hiện nay là: 7 × 5 = 35 (tuổi).

Tuổi con hiện nay là: 7 × 1 = 7 (tuổi).

Đáp số: Mẹ: 35 tuổi;

             Con: 7 tuổi.

a) Đổi: 5 km 60 dam = 5600 m.

Nửa chu vi khu rừng đó là: 5600 : 2 = 2800 (m).

Chiều rộng khu rừng đó là: (2800 – 800) : 2 = 1000 (m).

Chiều dài khu rừng đó là: 1000 + 800 = 1800 (m).

Diện tích khu rừng đó là: 1800 × 1000 = 1 800 000 (m²).

Đổi: 1 800 000 m² = 180 ha.

b) Diện tích phần còn lại của khu rừng chiếm: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$  (diện tích khu rừng).

Tỉ số diện tích trồng cây mới và phần diện tích còn lại của khu rừng là: $\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$ .

Đáp số: 180 ha; 1 800 000 m² và $\frac{1}{2}$  .

Đổi: 1 m 4 cm = 104 cm.

Cạnh hình vuông là: 104 : 4 = 26 (cm).

Tổng hai cạnh của hình chữ nhật là: 26 × 2 = 52 (cm).

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 1 = 4 (phần).

Chiều dài hình chữ nhật là: 52 : 4 × 3 = 39 (cm).

Chiều rộng hình chữ nhật là: 52 : 4 × 1 = 13 (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: 39 × 13 = 507 (cm²).

Diện tích hình vuông là: 26 × 26 = 676 (cm²).

Ta có 676 cm² > 507 cm² 676 – 507 = 169 (cm²).

Vậy diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật và lớn hơn 169 cm².

Giá của mặt hàng giảm 20% tức là giảm $\frac{1}{5}$   của nó.

Ta có sơ đồ:

Vậy cửa hàng đó cần tăng thêm $\frac{1}{4}=25\%$  giá sau khi giảm để đưa giá mặt hàng về ban đầu.

Gọi số học sinh các khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là x, y, z, t (học sinh).

Điều kiện: x, y, z, t ∈ ℕ*.

Ta có số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh, nghĩa là y – t = 70.

Lại có học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6, nghĩa là $\frac{x}{9}=\frac{y}{8}=\frac{z}{7}=\frac{t}{6}$  .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: $\frac{x}{9}=\frac{y}{8}=\frac{z}{7}=\frac{t}{6}=\frac{y-t}{8-6}=\frac{70}{2}=35$ .

Với $\frac{x}{9}=35$ , ta có: x = 9.35 = 315 (học sinh).

Với $\frac{y}{8}=35$  , ta có: y = 8.35 = 280 (học sinh).

Với $\frac{z}{7}=35$, ta có: z = 7.35 = 245 (học sinh).

Với $\frac{t}{6}=35$ , ta có: t = 6.35 = 210 (học sinh).

Vậy số học sinh của các khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315 học sinh; 280 học sinh; 245 học sinh; 210 học sinh.

Theo định lí côsin, ta có: $\cos \widehat{B}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{6^2+7^2-8^2}{\mathrm{2.6.7}}=\frac{1}{4}$ .

Tam giác ABH vuông tại H:

⦁ $\cos \widehat{B}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow BH=AB.\cos \widehat{B}=6.\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$ .

⦁ $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=6^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{135}{4}$ .

Suy ra $AH=\frac{3\sqrt{15}}{2}$  .

Vậy $AH=\frac{3\sqrt{15}}{2}$ .

Vì 126 ⋮ x và 210 ⋮ x nên x ∈ ƯC(126, 210).

Ta có 126 = 2.3².7 và 210 = 2.3.5.7.

Suy ra ƯCLN(126, 210) = 2.3.7 = 42.

Do đó ƯC(126, 210) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}.

Vì 15 < x < 30 và x là số tự nhiên nên x = 21.

Vậy x = 21 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số cần tìm là  $\overline{abc}$(a ≠ 0; a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9).

Gọi k là thương hay số dư khi  chia cho 75 (k ∈ ℕ*).

Tức là, $\overline{abc}:75=k$  dư k.

Hay $\overline{abc}=75k+k=76k$  .

Vì  $\overline{abc}$lớn nhất nên 76k là số lớn nhất có 3 chữ số.

Lại có 1000 : 75 = 13,3333...

Suy ra k = 13.

Khi đó $\overline{abc}=76k=76.13=988$  .

Vậy số cần tìm là 988.

a) Với p = 2, ta có: p + 4 = 6 và p + 8 = 10 không phải là số nguyên tố.

Với p = 3, ta có: p + 4 = 7 và p + 8 = 11 là số nguyên tố.

Nếu p > 3 và p là số nguyên tố thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ ℕ*).

Ta thấy:

⦁ Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) là một số chia hết cho 3 (loại).

⦁ Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) là một số chia hết cho 3 (loại).

Vậy ta đã chứng minh được p = 3 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Với p = 2, ta có: p + 4 = 6 và p + 8 = 10 không phải là số nguyên tố.

Với p = 3, ta có: p + 4 = 7 và p + 14 = 17 là số nguyên tố.

Nếu p > 3 và p là số nguyên tố thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ ℕ*).

Ta thấy:

⦁ Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) là một số chia hết cho 3 (loại).

⦁ Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) là một số chia hết cho 3 (loại).

Vậy ta đã chứng minh được p = 3 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với p = 2, ta có: p + 6 = 8 không phải là số nguyên tố.

Với = 3, ta có: p + 6 = 9 không phải là số nguyên tố.

Với p = 5, ta có: p + 6 = 11; p + 12 = 17; p + 18 = 23; p + 24 = 29 đều là các số nguyên tố.

Nếu p > 5 và p là số nguyên tố thì p = 5k + 1 hoặc p = 5k + 2 hoặc p = 5k + 3 hoặc p = 5k + 4 (k ∈ ℕ*).

⦁ Nếu p = 5k + 1 thì p + 24 = 5k + 1 + 24 = 5k + 25 = 5(k + 5) là một số chia hết cho 5 (loại).

⦁ Nếu p = 5k + 2 thì p + 18 = 5k + 2 + 18 = 5k + 20 = 5(k + 4) là một số chia hết cho 5 (loại).

⦁ Nếu p = 5k + 3 thì p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + 15 = 5(k + 3) là một số chia hết cho 5 (loại).

⦁ Nếu p = 5k + 4 thì p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 10 = 5(k + 2) là một số chia hết cho 5 (loại).

Vậy ta đã chứng minh được p = 5 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99.

Suy ra 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3.

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 98.99.(100 – 97).

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ... + 98.99.100 – 97.98.99.

= 98.99.100

Suy ra A = 98.99.100 : 3 = 98.33.100 = 323 400.

Vậy A = 323 400.

Đặt A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 100.103.

= 1.(2 + 2) + 2.(3 + 2) + 3.(4 + 2) + ... + 100.(101 + 2).

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 + (1.2 + 2.2 + 3.2 + ... + 100.2).

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 + 2(1 + 2 + 3 + ... + 100).

Đặt M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101.

Suy ra 3M = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 100.101.3.

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 100.101.(102 – 99).

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ... + 100.101.102 – 99.100.101.

= 100.101.102.

Suy ra M = 100.101.102 : 3 = 100.101.34 = 343 400.

Đặt N = 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100) × 100 : 2 = 5050.

Vậy A = M + 2N = 343 400 + 2.5050 = 353 500.

Vậy A = 353 500.

Ta có $\frac{120\times 999+120}{2\times 4\times 0,8\times 5\times 2,5\times 125}=\frac{120\times \left(999+1\right)}{\left(0,8\times 125\right)\times \left(4\times 2,5\right)\times \left(2\times 5\right)}$

$=\frac{120\times 1000}{100\times 10\times 10}=\frac{12\times 10\times 1000}{1000\times 10}=12$.

Vậy $\frac{120\times 999+120}{2\times 4\times 0,8\times 5\times 2,5\times 125}=12$ .

Số lẻ đầu tiên là 1.

Số lẻ cuối cùng là: 1 + (20 – 1) × 2 = 39.

Tổng của 20 số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên là: (1 + 39) × 20 : 2 = 400.

Đáp số: 400.

Ta có 7 = 7; 14 = 2.7 và 21 = 3.7.

Suy ra BCNN(7, 14, 21) = 2.3.7 = 42.

Do đó x ∈ BC(7, 14, 21) = {0; 42; 84; 126; 168; 210; 252;...}.

Mà x < 210 nên x ∈ {0; 42; 84; 126; 168}.

Vậy x ∈ {0; 42; 84; 126; 168}.

Ta có x⁴ = 12x + 5.

⇔ x⁴ – 12x – 5 = 0.

⇔ x⁴ – 2x³ – x² + 2x³ – 4x² – 2x + 5x² – 10x – 5 = 0.

⇔ x²(x² – 2x – 1) + 2x(x² – 2x – 1) + 5(x² – 2x – 1) = 0.

⇔ (x² – 2x – 1)(x² + 2x + 5) = 0 (*)

Ta có (x + 1)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ x² + 2x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ x² + 2x + 5 ≥ 4 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Khi đó phương trình (*) tương đương với x² – 2x – 1 = 0.

$\iff x=1\pm \sqrt{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S=\left\{1\pm \sqrt{2}\right\}$  .

Ta có (x² + 2)² – 6(x² + 2) + 9 = 0 (1)

Đặt t = x² + 2, t > 0.

Phương trình (1) tương đương với: t² – 6t + 9 = 0.

⇔ t = 3 (nhận).

Với t = 3, ta có: x² + 2 = 3.

⇔ x² – 1 = 0.

⇔ (x – 1)(x + 1) = 0.

⇔ x – 1 = 0 hoặc x + 1 = 0.

⇔ x = 1 hoặc x = –1.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {1; –1}.

Đặt A = 1 + 2² + 3² + ... + 99² + 100².

= 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 99.99 + 100.100.

= 1.(2 – 1) + 2.(3 – 1) + 3.(4 – 1) + ... + 99.(100 – 1) + 100.(101 – 1).

= 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + ... + 99.100 – 1.99 + 100.101 – 100.

= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100 + 100.101) – (1 + 2 + 3 + ... + 100).

Đặt B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100 + 100.101.

Suy ra 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 99.100.3 + 100.101.3.

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 99.100.(101 – 98) + 100.101.(102 – 99).

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ... + 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101.

= 100.101.102.

Suy ra B = 100.101.102 : 3 = 100.101.34 = 343 400.

Đặt C = 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100) × 100 : 2 = 5050.

Vậy A = B – C = 343 400 – 5050 = 338 350.

a) a² – 9 = a² – 3² = (a – 3)(a + 3).

b) 9a² – 1 = (3a)² – 1² = (3a – 1)(3a + 1).

c) 36x² – 49y² = (6x)² – (7y)² = (6x – 7y)(6x + 7y).