Ta có C_AB = A \ B = ∅.

Vậy số tập X thỏa mãn X là con của C_AB là 2⁰ = 1.

Đổi: 1 tá bút chì = 12 cây bút chì.

Giá của 1 cây bút chì là: 36 000 : 12 = 3 000 (đồng).

Giá của 39 cây bút chì là: 3 000 × 39 = 117 000 (đồng).

Đáp số: 117 000 đồng.

Giả sử n² là số chẵn nhưng n là số lẻ.

Suy ra n = 2k + 1, với k ∈ ℕ.

Do đó n² = 4k² + 4k + 1, với k ∈ ℕ.

Mà 4k² + 4k + 1 là số lẻ.

Suy ra n² là số lẻ (mâu thuẫn với đề bài).

Vậy n² là số chẵn thì n cũng là số chẵn.

Khối lượng thuần hạt trong hạt tươi chiếm: 100% – 20% = 80% (so với hạt tươi).

Khối lượng thuần hạt là: 450 × 80% = 360 (kg).

Khối lượng thuần hạt trong hạt khô chiếm: 100% – 10% = 90% (so với hạt khô).

Khối lượng hạt khô là: 360 : 90% = 400 (kg).

Đáp số: 400 kg.

Ta có: $\widehat{A_4}+\widehat{B_3}=80°+100°=180°$ .

Mà cặp góc này ở vị trí trong cùng phía.

Vậy a // b.

Theo đề, ta có: 2n ⋮ (3n – 1).

⇒ 3.2n ⋮ (3n – 1).

⇒ 6n ⋮ (3n – 1).

⇒ (3n – 1 + 3n – 1 + 2) ⋮ (3n – 1).

Vì (3n – 1) ⋮ (3n – 1) nên 2 ⋮ (3n – 1).

Ư(2) = {1; 2}.

• Với 3n – 1 = 1, ta có: 3n = 2. Suy ra $n=\frac{2}{3}\notin \mathbb{N}$.

• Với 3n – 1 = 2, ta có: 3n = 3. Suy ra n = 1 ∈ ℕ.

Thử lại: n = 1 ta có 2n = 2 và 3n – 1 = 2 nên 2n chia hết cho 3n – 1.

Vậy n = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra $\frac{AI}{GI}=3$ .

Kẻ AH ⊥ BC và GK ⊥ BC (H, K ∈ BC).

Suy ra AH // GK.

Áp dụng định lí Thales, ta được: $\frac{AH}{GK}=\frac{AI}{GI}=3$ .

Khi đó $\frac{S_{ABC}}{S_{GBC}}=\frac{\frac{1}{2}.AH.BC}{\frac{1}{2}.GK.BC}=\frac{AH}{GK}=3$ .

Suy ra S_ABC = 3S_GBC.

Lấy D là điểm đối xứng với G qua I.

Suy ra I là trung điểm của GD.

Khi đó tứ giác BGCD là hình bình hành.

Suy ra $S_{GBC}=S_{BGD}=\frac{1}{2}{S}_{BGCD}$  .

Do đó S_ABC = 3S_BGD.

Giả sử m_a = 15, m_b = 18, m_c = 27.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}BG=\frac{2}{3}.m_b=\frac{2}{3}.18=12\\ BD=CG=\frac{2}{3}.m_c=\frac{2}{3}.27=18\end{array}\right.$

Ta có I là trung điểm của GD.

Suy ra . $GD=2GI=2.\frac{1}{3}AI=\frac{2}{3}.m_a=\frac{2}{3}.15=10$

Nửa chu vi của tam giác BGD là: $p=\frac{GD+BD+BG}{2}=\frac{10+18+12}{2}=20$ .

Diện tích của tam giác BGD là: $S_{BGD}=\sqrt{p\left(p-BG\right)\left(p-GD\right)\left(p-BD\right)}=40\sqrt{2}$ .

Suy ra $S_{ABC}=3S_{BGD}=3.40\sqrt{2}=120\sqrt{2}$ .

Vậy diện tích tam giác ABC bằng $120\sqrt{2}$ .

b) Ta có m_a = 15, m_b = 18, m_c = 27.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{b}^2+c^2=2m_a^2+\frac{a^2}{2}\\ a^2+c^2=2m_b^2+\frac{b^2}{2}\\ a^2+b^2=2m_c^2+\frac{c^2}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+c^2=\frac{4}{3}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=1704\\ b^2-a^2=\frac{4}{3}\left(m_a^2-m_b^2\right)=-132\\ b^2-c^2=\frac{4}{3}\left(m_c^2-m_b^2\right)=540\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=836\\ b^2=704\\ c^2=164\end{array}\right.$.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{209}\\ b=8\sqrt{11}\\ c=2\sqrt{41}\end{array}\right.$

Vậy $a=BC=2\sqrt{209};b=AC=8\sqrt{11};c=AB=2\sqrt{41}$

Ta có $\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \mathrm{...}\times \left(1-\frac{1}{n+1}\right)$ , với n ∈ ℕ.

$=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \mathrm{...}\times \frac{n}{n+1}$, với n ∈ ℕ.

$=\frac{1}{n+1}$, với n ∈ ℕ.

Vậy $\left(1-\frac{1}{2}\right)\times \left(1-\frac{1}{3}\right)\times \left(1-\frac{1}{4}\right)\times \left(1-\frac{1}{5}\right)\times \mathrm{...}\times \left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}$ , với n ∈ ℕ.

Số vở mua lần 2 nhiều hơn lần 1 là: 4 – 2 = 2 (quyển vở).

Số tiền mua 2 quyển vở là: 30 000 – 20 000 = 10 000 (đồng).

Số tiền mua 5 cái bút chì là: 20 000 – 10 000 = 10 000 (đồng).

Giá tiền 1 cái bút chì là: 10 000 : 5 = 2 000 (đồng).

Đáp số: 2 000 đồng.

Hiệu của số lớn và số bé là: 64 : 2 = 32.

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 – 5 = 2 (phần).

Số lớn là: 32 : 2 × 7 = 112.

Số bé là: 32 : 2 × 5 = 80.

Đáp số: Số lớn: 112;

          Số bé: 80.

a) Tứ giác AECF, có: AE = CF (giả thiết) và AE // CF (do ABCD là hình bình hành).

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Ta có AB = CD (do ABCD là hình bình hành) và AE = CF (giả thiết).

Suy ra AB – AE = CD – CF.

Do đó BE = DF.

Mà BE // FD (do ABCD là hình bình hành).

Vì vậy tứ giác BEDF là hình bình hành.

Vậy BF // ED.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Ta có tứ giác AECF là hình bình hành (kết quả câu a).

Mà O là trung điểm của AC.

Do đó O cũng là trung điểm của EF.

Vậy ba đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại O.

a) Ta có E là điểm đối xứng của D qua AB.

Suy ra AB là đường trung trực của đoạn DE.

Do đó AE = AD   (1)

Chứng minh tương tự, ta được: AD = AF   (2)

Từ (1), (2), suy ra AE = AF.

b) Để điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A thì cần thỏa 2 điều kiện:

⦁ AE = AF (đã chứng minh ở câu a).

⦁ Ba điểm E, A, F thẳng hàng, tức là .

Tam giác AED cân tại A có AB là đường trung trực.

Suy ra AB cũng là đường phân giác của tam giác AED.

Do đó $\widehat{EAB}=\widehat{DAB}$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{DAC}=\widehat{CAF}$ .

Khi đó ta có $\widehat{EAB}+\widehat{FAC}=\widehat{DAB}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$ .

Mà $\widehat{EAB}+\widehat{BAC}+\widehat{FAC}=\widehat{EAF}=180°$ .

Suy ra $\widehat{EAB}+\widehat{FAC}=\widehat{BAC}=\frac{180°}{2}=90°$ .

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

Vậy tam giác ABC vuông tại A thì điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

Cho $A=\left(1-\frac{1}{2}\right).\left(1-\frac{1}{3}\right).\left(1-\frac{1}{4}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{19}\right).\left(1-\frac{1}{20}\right)$ .

$=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}\mathrm{...}\frac{18}{19}.\frac{19}{20}=\frac{1}{20}$.

Vì 20 < 21 nên $\frac{1}{20}>\frac{1}{21}$ .

Vậy $A>\frac{1}{21}$ .

Số vải còn lại sau khi bán buổi sáng là:  $1-\frac{3}{11}=\frac{8}{11}$(tấm vải).

Số vải buổi chiều bán được là: $\frac{3}{8}\times \frac{8}{11}=\frac{3}{11}$   (tấm vải).

Số vải còn lại sau khi bán xong 2 buổi là: $1-\frac{3}{11}-\frac{3}{11}=\frac{5}{11}$  (tấm vải).

Tấm vải dài số mét là:  $20:\frac{5}{11}=44$(m).

Đáp số: 44 m.

Nửa chu vi khu đất là: 150 : 2 = 75 (m).

Chiều dài khu đất là: (75 + 5) : 2 = 40 (m).

Chiều rộng khu đất là: (75 – 5) : 2 = 35 (m).

Diện tích khu đất là: 40 × 35 = 1400 (m²).

Đổi: 1400 m² = 14 dam².

Đáp số: 14 dam².

Ta có 63 = 3².7; 35 = 5.7 và 105 = 3.5.7.

Suy ra BCNN(63, 35, 105) = 3².5.7 = 315.

Suy ra BC(63, 35, 105) = B(315) = {0; 315; 630; 945; 1260; ...}.

Vậy các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105 là: 315; 630 và 945.

Đặt $A=\frac{{\left(a+b+c\right)}^5}{a^5+b^5+c^5}$ .

Ta có: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + a²c).

⇔ (a + b + c)³ = (3abc + 3a²b + 3ab²) + (3abc + 3b²c + 3bc²) + (3abc + 3c²a + 3a²c).

⇔ (a + b + c)³ = 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c).

⇔ (a + b + c)³ = 3(ab + bc + ca)(a + b + c).

⇔ (a + b + c).[(a + b + c)² – 3(ab + bc + ca)] = 0.

$\iff \left[\begin{array}{l}a+b+c=0\\ {\left(a+b+c\right)}^2=3\left(ab+bc+ca\right)\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}$

Từ (1), ta có: $A=\frac{{\left(a+b+c\right)}^5}{a^5+b^5+c^5}=\frac{0^5}{a^5+b^5+c^5}=0$ .

Từ (2), ta có: (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca).

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca.

⇔ a² + b² + c² = ab + bc + ca.

⇔ (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (c² – 2ca + a²) = 0.

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² = 0.

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}\right.\iff a=b=c$.

Với a = b = c, ta có: $A=\frac{{\left(a+b+c\right)}^5}{a^5+b^5+c^5}=\frac{{\left(3a\right)}^5}{3a^5}=\frac{3^4.3a^5}{3a^5}=3^4=81$ .

Vậy $A=\left\{\begin{array}{l}0,khia+b+c=0\\ 81,khia=b=c\end{array}\right.$  .

Vì số thứ năm bằng trung bình cộng của bốn số còn lại nên 4 lần số thứ năm bằng tổng của bốn số còn lại.

Số thứ 5 là: 600 : (4 + 1) × 1 = 120.

Đáp số: 120.

Đặt $A=\frac{x+7}{x+1}=\frac{x+1+6}{x+1}=1+\frac{6}{x+1}$ .

Ta có x là số nguyên dương. Suy ra x ≥ 1.

⇒ x + 1 ≥ 2.

$\Rightarrow \frac{1}{x+1}\le \frac{1}{2}$.

$\Rightarrow \frac{6}{x+1}\le \frac{6}{2}=3$.

$\Rightarrow 1+\frac{6}{x+1}\le 4$.

⇒ A ≤ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 1.

Vậy khi x = 1 thì biểu thức  lớn nhất.

Nếu x = y = 1 thì 1²⁰⁰⁶ + 1²⁰⁰⁶ = 1²⁰⁰⁷ + 1²⁰⁰⁷ = 1²⁰⁰⁸ + 1²⁰⁰⁸ = 2 (thỏa mãn).

Nếu x = y = –1 thì (–1)²⁰⁰⁶ + (–1)²⁰⁰⁶ = 2 và (–1)²⁰⁰⁷ + (–1)²⁰⁰⁷ = –2.

Suy ra (–1)²⁰⁰⁶ + (–1)²⁰⁰⁶ ≠ (–1)²⁰⁰⁷ + (–1)²⁰⁰⁷.

Nếu x = –1, y = 1 thì (–1)²⁰⁰⁶ + 1²⁰⁰⁶ ≠ (–1)²⁰⁰⁷ + 1²⁰⁰⁷.

Nếu x = 1, y = –1 thì 1²⁰⁰⁶ + (–1)²⁰⁰⁶ ≠ 1²⁰⁰⁷ + (–1)²⁰⁰⁷.

Nếu x > 1, –1 < y < 1 hoặc x < –1, –1 < y < 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2008}>x^{2006}\\ x^{2008}-x^{2006}>1\\ y^{2008}<y^{2006}\\ y^{2006}-y^{2008}<1\end{array}\right.$

Suy ra x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ < x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸.

Nếu x > 1, y < –1 hoặc x > 1, y > 1 hoặc x < –1, y < –1 hoặc x < –1, y > 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2008}>x^{2006}\\ y^{2008}>y^{2006}\end{array}\right.$  .

Suy ra x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸ > x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶.

Nếu –1 < x < 1, y > 1 hoặc –1 < x < 1, y < –1 thì $\left\{\begin{array}{l}{y}^{2008}>y^{2006}\\ y^{2008}-y^{2006}>1\\ x^{2008}<x^{2006}\\ x^{2006}-x^{2008}<1\end{array}\right.$

Suy ra x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ < x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸.

Nếu –1 < x, y < 1 thì $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2008}<x^{2006}\\ y^{2008}<y^{2006}\end{array}\right.$ .

Suy ra x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸ < x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶.

Vì vậy x = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn x²⁰⁰⁶ + y²⁰⁰⁶ = x²⁰⁰⁷ + y²⁰⁰⁷ = x²⁰⁰⁸ + y²⁰⁰⁸.

Vậy S = x²⁰⁰⁹ + y²⁰⁰⁹ = 1²⁰⁰⁹ + 1²⁰⁰⁹ = 1 + 1 = 2.

Ta có x⁴ + 2009x² + 2008x + 2009

= (x⁴ – x) + (2009x² + 2009x + 2009)

= x(x³ – 1) + 2009(x² + x + 1)

= x(x – 1)(x² + x + 1) + 2009(x² + x + 1)

= (x² – x)(x² + x + 1) + 2009(x² + x + 1)

= (x² + x + 1)(x² – x + 2009).

a) Giả sử M là trung điểm của CD.

Suy ra OM ⊥ CD.

Mà OM ⊥ AB (vì M là trung điểm AB).

Do đó CD trùng với AB (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy M không là trung điểm của CD.

b) Kẻ OH ⊥ CD.

Tam giác OHM vuông tại H có OM là cạnh huyền, OH là cạnh góc vuông.

Suy ra OH < OM.

Vậy CD > AB (dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn).

Ta có (4n – 17) ⋮ (2n + 5).

⇒ (4n + 10) – 27 ⋮ (2n + 5).

⇒ 2(2n + 5) – 27 ⋮ (2n + 5).

Mà 2(2n + 5) ⋮ (2n + 5).

Do đó 27 ⋮ (2n + 5).

Ta có Ư(27) ∈ {1; 3; 9; 27}.

Ta có bảng sau:

Mà n ∈ ℕ.

Suy ra n ∈ {2; 11}.

Vậy n ∈ {2; 11} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có 5³ . 7⁵ : 35

= 5³ . 7⁵ : (5 . 7)

= 5^{3 – 1} . 7^{5 – 1}

= 5² . 7⁴

= 25 . 2401

= 60 025.

Đáp án đúng là: C

Trung bình mỗi xe chở số ki-lô-gam gạo là: (4200 × 2 + 3600 × 3) : 5 = 3840 (kg).

Đáp số: 3840 kg.

Vậy ta chọn phương án C.

Xét phương trình xy = k(x + y), với x, y, k là các số nguyên.

⇔ (x – k)(y – k) = k²   (*)

Suy ra x – k chia hết cho k².

Đặt x – k = d (d chia hết cho k²).

Khi đó x = d + k.

Thế x = d + k vào (*), ta được: d(y – k) = k².

$\iff y=\frac{k^2}{d}+k$.

Vậy tất cả các cặp số (x; y) cần tìm có dạng $\left(d+k;\frac{k^2}{d}+k\right)$ , với d, k là các số nguyên và d chia hết cho k².

Khi khai triển nhị thức (a + b)ⁿ, ta được công thức:

${\left(a+b\right)}^n=C_n^0.a^n+C_n^1.a^{n-1}.b+\mathrm{...}+C_n^{n-1}.a.b^{n-1}+C_n^n.b^n$.

$=C_n^0.b^n+C_n^1.b^{n-1}.a+\mathrm{...}+C_n^{n-1}.b.a^{n-1}+C_n^n.a^n$.

Trên cạnh CD, lấy điểm E sao cho DE = DA.

Xét ∆ABD và ∆EBD, có:

BD là cạnh chung;

DA = DE (giả thiết);

 $\widehat{ADB}=\widehat{EDB}$(do BD là phân giác của $\widehat{D}$  ).

Do đó ∆ABD = ∆EBD (c.g.c).

Suy ra AB = EB và $\widehat{BAD}=\widehat{BED}$  (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Mà AB = BC (giả thiết)

Do đó EB = BC.

Vì vậy tam giác BCE cân tại B.

Suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{BCE}$ .

Ta có  $\widehat{BAD}+\widehat{BCE}=\widehat{BED}+\widehat{BEC}=180°$(cặp góc kề bù).

Vậy $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$ .

Gọi số dân của tỉnh A và tỉnh B năm ngoái lần lượt là x, y (người; x , y < 4 000 000; x, y ∈ ℕ*).

Theo đề, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=4000000\\ x.101,2\%+y.101,1\%=4045000\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1000000\\ y=3000000\end{array}\right.$  .

Số dân tỉnh A năm nay là: 1 000 000.101,2% = 1 012 000 (người).

Số dân tỉnh B năm nay là: 3 000 000.101,1% = 3 033 000 (người).

Vậy số dân tỉnh A và tỉnh B năm nay lần lượt là 1 012 000 người và 3 033 000 người.

Gọi x là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < x < 4; x ∈ ℕ*; triệu người).

Suy ra số dân năm ngoái của tình B là: 4 – x (triệu người).

Năm nay dân số của tỉnh A tăng 1,1% nên số dân của tỉnh A năm nay là: x + 1,1%.x = 1,011.x.

Năm nay dân số của tỉnh B tăng 1,2% nên số dân của tỉnh B năm nay là: (4 – x) + 1,2%.(4 – x) = 1,012.(4 – x).

Vì số dân tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 807 200 người = 0,8072 triệu người nên ta có phương trình: 1,011.x – 1,012.(4 – x) = 0,8072.

⇔ 1,011.x – 4,048 + 1,012.x = 0,8072.

⇔ 2,023.x = 4,8552.

⇔ x = 2,4 (nhận).

Vậy dân số của tỉnh A năm ngoái là 2,4 triệu người; dân số tỉnh B năm ngoái là 4 – 2,4 = 1,6 triệu người.

Vẽ tia Oc // a. Suy ra Oc // b.

Ta có a // Oc. Suy ra  $\widehat{AOc}=\widehat{OA{a}^{\text{'}}}=30°$(cặp góc so le trong).

Lại có b // Oc. Suy ra$\widehat{BOc}+\widehat{OBb}=180°$  (cặp góc trong cùng phía).

Do đó $\widehat{BOc}=180°-\widehat{OBb}=180°-120°=60°$ .

Vậy $\widehat{AOB}=\widehat{AOc}+\widehat{BOc}=30°+60°=90°$  .

Vẽ tia Om // a. Suy ra Om // b.

Ta có Om // a. Suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{aAO}=38°$  (cặp góc so le trong).

Lại có Om // b. Suy ra $\widehat{O_2}+\widehat{B}=180°$   (cặp góc trong cùng phía).

Do đó $\widehat{O_2}=180°-\widehat{B}=180°-132°=48°$  .

Vậy $\widehat{AOB}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=38°+48°=86°$  .

Vì 6 × 35 = 210 nên 210 : 35 = 6.

Ta có A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰.

Suy ra 3A = 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + ... + 3¹⁰¹.

Do đó 3A – A = (3² – 3²) + (3³ – 3³) + (3⁴ – 3⁴) + ... + (3¹⁰⁰ – 3¹⁰⁰) + 3¹⁰¹ – 3.

Vì vậy 2A = 3¹⁰¹ – 3.

Ta thấy 3¹⁰¹ – 3 < 3¹⁰¹ – 1.

Suy ra 2A < B.

Vậy A < B.

Tổng số phần bằng nhau của thùng thứ ba và tổng số dầu thùng thứ nhất, thứ hai là:

3 + 4 = 7 (phần).

Số dầu ở thùng thứ ba là: 84 : 7 × 3 = 36 (lít).

Tổng số dầu của thùng thứ nhất và thùng thứ hai là: 84 : 7 × 4 = 48 (lít).

Tổng số phần bằng nhau của thùng thứ nhất và thùng thứ hai là:

3 + 5 = 8 (phần).

Số dầu ở thùng thứ nhất là: 48 : 8 × 3 = 18 (lít).

Số dầu ở thùng thứ hai là: 48 : 8 × 5 = 30 (lít).

Đáp số: 18 lít; 30 lít; 36 lít.

Ta có y ∈ ℕ và 0 ≤ y ≤ 9.

Ta có $42\times 43\times 44\times 45\times A=\overline{607y9960}$  .

$\Rightarrow 3\times 14\times 43\times 44\times 3\times 15\times A=\overline{607y9960}$.

$\Rightarrow 9\times 14\times 43\times 44\times 15\times A=\overline{607y9960}$

Vì 9 × 14 × 43 × 44 × 15 × A chia hết cho 9 nên $\overline{607y9960}$  cũng chia hết cho 9.

⇒ 6 + 0 + 7 + y + 9 + 9 + 6 + 0 = 37 + y chia hết cho 9.

⇒ 4 × 9 + 1 + y chia hết cho 9.

Mà 4 × 9 chia hết cho 9.

⇒ 1 + y chia hết cho 9.

Vậy y = 8 thỏa yêu cầu bài toán.

Ta có 5⁵ . 7⁵ : 35

= (5 . 7)⁵ : 35

= 35⁵ : 35

= 35^{5 – 1}

= 35⁴

= 1 500 625.

Nếu chuyển dấu phẩy của số thứ nhất về bên trái một chữ số ta được số thứ hai.

Suy ra số thứ nhất gấp 10 lần số thứ hai.

Nếu chuyển dấu phẩy của số thứ nhất về bên phải một chữ số ta được số thứ ba.

Suy ra số thứ ba gấp 10 lần số thứ nhất.

Do đó số thứ ba gấp 100 lần số thứ hai.

Số thứ hai là: 2118,99 : (1 + 100 + 10) = 19,09.

Số thứ nhất là: 19,09 × 10 = 190,9.

Số thứ ba là: 19,09 × 100 = 1909.

Đáp số: Số thứ nhất: 190,9;

             Số thứ hai: 19,09;

             Số thứ ba: 1909.

Nếu chuyển dấu phẩy của số thứ nhất về bên trái một chữ số ta được số thứ hai.

Suy ra số thứ nhất gấp 10 lần số thứ hai.

Nếu chuyển dấu phẩy của số thứ nhất về bên phải một chữ số ta được số thứ ba.

Suy ra số thứ ba gấp 10 lần số thứ nhất.

Do đó số thứ ba gấp 100 lần số thứ hai.

Số thứ hai là: 150,627 : (1 + 100 + 10) = 1,357.

Số thứ nhất là: 1,357 × 10 = 13,57.

Số thứ ba là: 1,357 × 100 = 135,7.

Đáp số: Số thứ nhất: 13,57;

          Số thứ hai: 1,357;

          Số thứ ba: 135,7.

Ta có $A=\frac{5}{4}+\frac{10}{9}+\frac{17}{16}+\mathrm{...}+\frac{2501}{2500}$

$=\frac{4+1}{4}+\frac{9+1}{9}+\frac{16+1}{16}+\mathrm{...}+\frac{2500+1}{2500}$.

$=\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{1}{16}\right)+\mathrm{...}+\left(1+\frac{1}{2500}\right)$

$=\left(1+\frac{1}{2^2}\right)+\left(1+\frac{1}{3^2}\right)+\left(1+\frac{1}{4^2}\right)+\mathrm{...}+\left(1+\frac{1}{{50}^2}\right)$

$=49+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{50}^2}\right)$

Đặt $B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{50}^2}$

$=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{50.50}$.

Mà $\frac{1}{1.2}<\frac{1}{2.2};\frac{1}{2.3}<\frac{1}{3.3};\frac{1}{3.4}<\frac{1}{4.4};\mathrm{...};\frac{1}{49.50}<\frac{1}{50.50}$  .

Suy ra $B<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{49.50}$ .

$=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{50-49}{49.50}$.

$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}$.

$=1-\frac{1}{50}<1$.

Mà B > 0 nên 0 < B < 1.

Do đó B không phải là số nguyên.

Vậy A = 49 + B không phải là số nguyên (điều phải chứng minh).

a) Xét ∆AKC và ∆AHB, có:

$\widehat{KAH}$ chung;

$\widehat{AKC}=\widehat{AHB}=90°$.

Do đó $\Delta AKC\backsim \Delta AHB$ (g.g).

Suy ra$\frac{AK}{AH}=\frac{AC}{AB}$  .

Do đó  $\frac{AK}{AC}=\frac{AH}{AB}$ .

Xét ∆AKH và ∆ACB, có:

$\widehat{KAH}$ chung;

$\frac{AK}{AC}=\frac{AH}{AB}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta AKH\backsim \Delta ACB$   (c.g.c).

Suy ra $\frac{KH}{CB}=\frac{AK}{AC}=\cos \widehat{KAC}$  .

Vậy KH = BC.cosA.

b) Tam giác BCK vuông tại K có M là trung điểm BC.

Suy ra   $KM=MB=MC=\frac{1}{2}BC$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được  $HM=MB=MC=\frac{1}{2}BC$   (2)

Từ (1), (2), suy ra   $KM=HM=\frac{1}{2}BC$ (*)

Mà KH = BC.cosA (kết quả câu a).

Do đó   $KH=BC.\cos 60°=\frac{1}{2}BC$ (**)

Từ (*), (**), suy ra KM = HM = KH.

Vậy tam giác MKH là tam giác đều.

Ta có a³ = b³ + c³. Suy ra a là cạnh lớn nhất.

Do đó  là góc lớn nhất.

Ta chứng minh  nhọn là đủ. Thật vậy, ta có:

a³ = b³ + c³ = b.b² + c.c² < a.b² + a.c² = a(b² + c²).

Suy ra a² < b² + c².

Do đó b² + c² – a² > 0.

Vì vậy $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}>0$ .

Suy ra cosA > 0.

Do đó .

Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.

Ta có (x – 15)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ (x – 15)² + 2021 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ B ≥ 2021, ∀x ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 15.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B bằng 2021 khi và chỉ khi x = 15.

Mỗi phút 2 vòi chảy được số lít nước là: 120 : 15 = 8 (lít).

Mỗi phút mỗi vòi chảy được số lít nước là: 8 : 2 = 4 (lít).

Mỗi phút 3 vòi chảy được số lít nước là: 4 × 3 = 12 (lít).

16 phút 3 vòi chảy được số lít nước là: 12 × 16 = 192 (lít).

Đáp số: 192 lít.

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 160 : 2 = 80 (cm).

Ta có 2 lần chiều dài bằng 3 lần chiều rộng.

Suy ra chiều dài bằng $\frac{3}{2}$  chiều rộng.

Chiều dài hình chữ nhật là: 80 : (3 + 2) × 3 = 48 (cm).

Đáp số: 48 cm.

a) Từ biểu đồ trên, ta thấy: tổng số học sinh giỏi 2 trong 3 môn (Toán và Văn; Văn và Anh; Toán và Anh) – 3 lần số học sinh giỏi cả 3 môn (Toán, Văn, Anh) = Số học sinh chỉ giỏi 2 trong 3 môn.

Vậy số học sinh giỏi cả 3 môn là: (8 + 5 + 7 – 11) : 3 = 3 (học sinh).

b) Số học sinh chỉ giỏi Toán là: 15 – (8 + 7 – 3) = 3 (học sinh).

Số học sinh chỉ giỏi Văn là: 14 – (8 + 5 – 3) = 4 (học sinh).

Số học sinh chỉ giỏi Anh là: 12 – (7 + 5 – 3) = 3 (học sinh).

Vậy số học sinh chỉ giỏi một trong ba môn Toán, Văn, Anh lần lượt là 3 học sinh; 4 học sinh; 3 học sinh.

Sau khi đã bán đi 10 lít ở thùng thứ hai và 5 lít ở thùng thứ nhất thì số lít dầu thùng thứ nhất có nhiều hơn thùng thứ hai là: 5 + (10 – 5) = 10 (lít dầu).

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 = 2 (phần).

Lúc đầu, thùng thứ nhất có số lít dầu là: 10 : 2 × 5 + 5 = 30 (lít dầu).

Lúc đầu, thùng thứ hai có số lít dầu là: 30 – 5 = 25 (lít dầu).

Đáp số: Thùng thứ nhất: 30 lít dầu;

             Thùng thứ hai: 25 lít dầu.

Số vải còn lại sau khi bán buổi sáng là:  $1-\frac{3}{11}=\frac{8}{11}$(tấm vải).

Số vải buổi chiều bán được là:  $\frac{3}{8}\times \frac{8}{11}=\frac{3}{11}$(tấm vải).

Số vải còn lại sau khi bán cả hai buổi là: $1-\frac{3}{11}-\frac{3}{11}=\frac{5}{11}$  (tấm vải).

Tấm vải dài là:  $20:\frac{5}{11}=44$(m).

Đáp số: 44 m.

Chiều rộng của hình chữ nhật là: $360\times \frac{2}{3}=240$  (m).

Diện tích hình chữ nhật là: 360 × 240 = 86 400 (m²).

Đổi: 86 400 m² = 864 ha.

Đáp số: 864 ha.

Gọi độ dài chiều rộng ban đầu là a (m).

Suy ra độ dài chiều dài ban đầu là 2 × a (m).

Nếu thêm vào chiều dài 15 m và chiều rộng 20 m thì chiều dài gấp rưỡi chiều rộng.

Suy ra 2 × a + 15 = 1,5 × (a + 20).

2 × a + 15 = 1,5 × a + 30.

2 × a – 1,5 × a = 30 – 15.

0,5 × a = 15.

a = 15 : 0,5 = 30 (m).

Chiều dài ban đầu là: 2 × 30 = 60 (m).

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 60 × 30 = 1800 (m²).

Đáp số: 1800 m².

Vì số dê bằng $\frac{1}{8}$  tổng số trâu và bò nên số dê bằng $\frac{1}{9}$  tổng số trâu, bò, dê.

Số bò chiếm: $1-\frac{3}{5}-\frac{1}{9}=\frac{13}{45}$  (số gia súc).

Đàn gia súc có số con là: $52:\frac{13}{45}=180$  (con).

Đáp số: 180 con.

Thời gian để một người hoàn thành cỗ máy là: 15 × 20 × 8 = 2400 (giờ).

Nếu có thêm 5 người, thời gian để tổ công nhân lắp xong cỗ máy là:

2400 : (15 + 5) = 120 (giờ).

Nếu mỗi ngày làm việc 10 giờ thì thời gian lắp xong cỗ máy đó là:

120 : 10 = 12 (ngày).

Đáp số: 12 ngày.

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là:

$t_1=\frac{s_1}{v_1}=\frac{S}{2}:20=\frac{S}{40}$ (giờ)

Thời gian đi nửa quãng sau là:

$t_2=\frac{s_2}{v_2}=\frac{S}{2}:30=\frac{S}{60}$ (giờ)

Vận tốc trung bình của xe là:

$v_{tb}=\frac{S}{t}=\frac{S}{\frac{S}{40}+\frac{S}{60}}=\frac{1}{\frac{2+3}{120}}=\frac{120}{5}=24$ (km/h).

Vậy vận tốc trung bình của xe là: 24km/h.