IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 14)

  • 10510 lượt thi

  • 53 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Để lát một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 8m, người ta dùn gạch men hình vuông có cạnh 4 dm. Hỏi cần bao nhiêu viên gạch để lát kín căn phòng đó?

Xem đáp án

Diện tích căn phòng đó là:

12 . 8 = 96 (m²)

Diện tích một viên gạch là:

40 . 40 =1600 (cm²)

Đổi: 1600 cm² = 0,16m²

Số gạch dùng để lát nền là:

96 : 0,16 = 600 (viên).

Đáp số: 600 viên gạch.


Câu 2:

Tìm x biết x chia hết cho 15 và 12; biết 0 < x < 150.

Xem đáp án

Vì x chia hết cho 15, 12 nên x thuộc BCNN (15,12)

Ta có 15 = 3.5

12 = 22 . 3

Vậy BCNN (15, 12) = 22 . 3 . 5 = 60

Vì 0 < x < 150 nên x = 60 hoặc x = 120.

Vậy x = 60 hoặc x = 120.


Câu 3:

Tìm số tự nhiên x biết: 70 x, 84 x và x > 8.

Xem đáp án

70 x, 84 x và x > 8

Vì 70 x, 84 x nên x ƯC(70; 84)

Ta có: 70 = 2. 5. 7     

84 = 22. 3. 7

ƯCLN(70; 84) = 2 . 7 = 14

ƯC (70; 84) = {1; 2; 7; 14}

Vì x > 8 nên x = 14.

Vậy x = 14.


Câu 5:

b) Gọi O là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: E,F,O thẳng hàng.

Xem đáp án

b) Ta có: AEHF là hình chữ nhật

O là trung điểm của AH nên O là trung điểm EF

Vậy E, O, F thẳng hàng.


Câu 6:

c) Chứng minh rằng: AEF^=ACB^ .

Xem đáp án

c) Ta có: AE = OE (vì AH = EF)

Suy ra tam giác AOE cân tại O

Suy ra: OAE^=OEA^

OAE^+HAC^=BAC^ = 90°

ACB^+HAC^= 90°

Suy ra: HCA^=OEA^

Vậy AEF^=ACB^  .


Câu 7:

d) Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh AI vuông góc với EF.

Xem đáp án

d) Xét tam giác ABC vuông tại A có AI là trung tuyến

AI = IC = BC2 ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng  12 cạnh huyền)

Suy ra: tam giác AIC cân tại I

⇒ IAC^=ICA^

Mà AEF^=ICA^  (chứng minh trên)

⇒ IAC^=AEF^

Lại có: IAC^+BAI^=BAC^ = 90°

BAI^+AEF^ = 90°

Gọi giao điểm của AI và EF là K

Xét tam giác AKE có:

AEK^+EAK^= 90°

AKE^ = 180° – 90° = 90°

Vậy AK vuông góc KE hay AI EF tại K.


Câu 8:

Để lát nền căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 13 bằng chiều dài. Để lát nền căn phòng đó, người ta dùng loại gạch men hình vuông cạnh 8dm. Hỏi căn phòng được lát bằng bao nhiêu viên gạch men đó? (phần gạch vữa không đáng kể).

Xem đáp án

Đổi 8 dm = 0,8 m

Chiều rộng căn phòng là:

12 : 3 = 4 (m)

Diện tích căn phòng là:

12 . 4 = 48 (m2).

Diện tích 1 viên gạch men là:

0,8 . 0,8 = 0,64 (m2).

Số viên gạch men được lát là:

48 : 0,64 = 75 (viên).

Đáp số: 75 viên.


Câu 9:

Tìm x biết x chia hết cho 18, 20, 30 và 200 < x < 400.

Xem đáp án

Vì x chia hết cho 18, 20, 30 nên x thuộc BCNN (18,20, 30 )

Ta có 18 = 2.32

20 = 22 .5

30 = 2.3.5

Vậy BCNN (18, 20, 30) = 22 . 32 . 5 = 180

Vì 200 < x < 400 nên x = 360

Vậy x = 360.


Câu 10:

Một mảnh vườn hình chữ nhật được vẽ trên bản đồ tỉ lệ 1 : 500 có chiều dài là 8 cm, chiều rộng 6 cm . Diện tích của mảnh vườn là bao nhiêu theo đơn vị ha ?

Xem đáp án

Chiều dài thực tế của mảnh vường là:

8 . 500 = 4000(cm).

Chiều rộng thực tế của mảnh vường là:

6 . 500 = 3000 (cm)

Diện tích của mảnh vườn là:

4000 . 3000 = 12000000 (cm2)

Đổi 12000000 cm2 = 1200ha.

Đáp số: 1200 ha.


Câu 11:

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các số của nó.

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là  ab¯(a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

ab¯= (a+b) . 5

10a + b = 5a + 5b

5a = 4b

Vì 5a chia hết cho 5 nên 4b chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5. Suy ra: b chia hết cho 5.

Mà a khác 0 nên b = 5.

Suy ra: a = 4

Vậy số cần tìm là 45.


Câu 12:

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các số của nó.

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là  ab¯(a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

ab¯= (a+b) . 5

10a + b = 5a + 5b

5a = 4b

Vì 5a chia hết cho 5 nên 4b chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5. Suy ra: b chia hết cho 5.

Mà a khác 0 nên b = 5.

Suy ra: a = 4

Vậy số cần tìm là 45.


Câu 13:

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.

Xem đáp án

– Nếu n 2 thì n = 2k (k ℕ)

Suy ra : n + 6 = 2k + 6 = 2(k + 3)

Vì 2(k + 3) 2 nên (n + 3).(n + 6) 2

– Nếu n không chia hết cho 2 thì n = 2k + 1 (k ℕ)

Suy ra: n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2)

Vì 2(k + 2) 2 nên (n + 3).(n + 6) 2

Vậy (n + 3).(n + 6) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.


Câu 14:

Phân tích đa thức thành nhân tử: : A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24.
Xem đáp án

A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24

A = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 24

A = (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) – 24

Đặt t = x2 + 7x + 11

Khi đó:

A = (t – 1)(t+1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5)

A = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16).


Câu 15:

Một đội công nhân có 63 người nhận sửa xong một quãng đường trong 11 ngày. Hỏi muốn làm xong quãng đường đó trong 7 ngày thì cần thêm bao nhiêu người nữa?

Xem đáp án

Một người sửa hết quãng đường đó trong số ngày là:

63 . 11 = 693 (ngày).

Muốn sửa quãng đường đó trong 77 ngày thì cần số người là:

693 : 7 = 99 (người).

Muốn sửa quãng đường đó trong 77 ngày thì cần thêm số người là:

99 – 63 = 36 (người).

Đáp số: 36 người.


Câu 16:

Ngày 28 tháng 3 là thứ năm. Hỏi ngày 23 tháng 8 cùng năm là thứ mấy?

Xem đáp án

Từ ngày 28 tháng 3 đến ngày 23 tháng 8 có số ngày là:

31 + 30 + 31 + 30 + 31 – 5 = 148 (ngày).

Ta thấy: 148 : 7 = 21 (dư 1).

Vậy ngày 23 tháng 8 cùng năm là thứ sáu.


Câu 17:

Mệnh đề sau đúng hay sai: 40009 m2 = 4910000ha.

Xem đáp án

Vì 1 ha = 10000 m2

Nên mệnh đề trên là đúng.


Câu 18:

Cho tập A = {0; 1; ....; 9}. Có bao nhiêu cách chọn tập con của A có 6 chữ số trong đó có ít nhất 3 chữ số nhỏ hơn 6.

Xem đáp án

C63  cách chọn 3 phần tử nhỏ hơn 6.

C73  cách chọn 3 phần tử còn lại.

Vậy có: C63 .C73  = 700 cách chọn tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 19:

Tìm số có 3 chữ số . Biết chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị giống nhau.nếu nhân số đó với 6 thì được tích số cũng là số có 3 chữ số và trong tích đó có một chữ là 2.

Xem đáp án

Gọi số cần tìm là aba¯  ( vì số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị giống nhau ) nên:

Ta có :  aba¯. 6 = 6 . ( 100a + 10b + a ) = 6 . ( 101a + 10b ) = 606a + 60b

Mà ta có tích là số có 3 chữ số nên a = 1

Suy ra 606 + 60b có 1 chữ số 2 trong đó nên b = 2.

Vậy số cần tìm là 121.


Câu 20:

Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận x = 2+33  làm nghiệm.

Xem đáp án

Theo bài ra ta có:

x = 2+33

⇔ x2=33

⇔ x23=333

x3 32x2+6x22=3

x3 + 6x – 3 = 23x2+2

Bình phương 2 vế, sau đó rút gọn ta được: x6 – 6x4 – 6x3 + 12x2 – 36x + 1 = 0.


Câu 21:

Điền chữ số vào vị trí của a, b để a46b¯  chia hết cho 2, 3, 5, 9.
Xem đáp án

Để a46b¯  chia hết cho 5 thì b = 0 hoặc b = 5

Mà a46b¯   chia hết cho 2 nên b chẵn. Vậy b = 0.

a46b¯  chia hết cho 9 nên (a + 4 + 6 + b) chia hết cho 9 hay (a + 10) chia hết cho 9.

Suy ra: a = 8

Vậy a = 8 và b = 0.


Câu 22:

Hai tấm vải dài bằng nhau người ta đã bán đi 35  tấm vải thứ nhất và 710  tấm vải thứ hai biết số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất nhiều hơn số mét vải còn lại ở tấm thứ hai là 6m. Hỏi mỗi tấm vải lúc đầu dài bao nhiêu mét?

Xem đáp án

Sau khi bán thì tấm vải thứ nhất còn:

1 − 35  = 25  (chiều dài ban đầu).

Sau khi bán thì tấm vải thứ hai còn: 

1 − 710  =  310(chiều dài ban đầu).

Số mét vải còn lại của tấm thứ nhất nhiều hơn số mét vải còn lại của tấm hai là:

25310 = 110  (chiều dài ban đầu).

Vậy 110  chiều dài tấm vải ban đầu tương ứng với 6 m.

Vậy chiều dài ban đầu của hai tấm vải là : 

6 : 110  = 60 (m).

Đáp số: 60 m.


Câu 23:

Số thập phân gồm mười đơn vị, bốn phần mười, sáu phần nghìn viết là?

Xem đáp án

Số thập phân gồm mười đơn vị, bốn phần mười, sáu phần nghìn viết là: 10,406.


Câu 24:

Cho x, y dương thỏa mãn x + y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 5x2+y2+3xy .

Xem đáp án

Ta có: P = 5x2+y2+3xy=5x2+y2+52xy+12xy 

P = 51x2+y2+12xy+12xy

P5.4x2+y2+2xy+2x+y2=22x+y2=229

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 229  khi x = y = 32 .


Câu 25:

Cho A = 232+252+...+220252 . Chứng minh A < 5062013  .
Xem đáp án

A = 232+252+...+220252 .

A = 23.3+25.5+...+22025.2025

A < 22.4+24.6+...+22024.2026

A < 1214+1416+....+1202412026=1212026=5062013

Vậy A < 5062013 .


Câu 26:

23mbằng bao nhiêu cm?
Xem đáp án

Vì 1m = 100 cm nên  23m=100.2366,67​  cm .


Câu 29:

Tính nhanh: 4982 + 996.502 + 5022.

Xem đáp án

4982 + 996.502 + 5022

= 4982 + 2.498.502 + 5022

= (498 + 502)2

= 10002

= 1 000 000.


Câu 30:

5 xe ô tô thì chở được 25 tấn hàng. Hỏi:

a) 15 xe ô tô nhu thế chở được bao nhiêu tấn hàng?

b) Muốn chở 40 tấn hàng thì cần bao nhiêu xe ô tô như thế?

Xem đáp án

a) 15 ô tô như thế chở được số tấn hàng là:

25 : 5 . 15 = 75 (tấn).

b) Muốn chở 40 tấn hàng thì cần số xe ô tô như thế là:

40 : (25 : 5) = 8 (xe).

Đáp số: a) 75 tấn, b) 8 xe.


Câu 31:

Cho a + 1 và 2a + 1 là các số chính phương. Chứng minh a chia hết cho 24.

Xem đáp án

Đặt a + 1 = x2; 2a + 1 = y2;

a phải chẵn vì 2a = y2 – 1 = (y – 1)(y + 1) suy ra 2a chia hết cho 8 vì y – 1 và y + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp

Vậy a chia hết cho 2. (1)

a = (x – 1)(x + 1) vì a là số chẵn nên suy ra a chia hết cho 8 do x – 1 và x + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (2)

Ta cần chứng minh x không chia hết cho 3.

Giả sử x chia hết cho 3 x = 3k

2(a + 1) –1 = 2(x – 1)(x + 1) –1 = 2(9k2 – 1) – 1 = 18k2 – 3

2a + 1 chia hết cho 3 vô lý vì ta có 2(a + 1) chia hết cho 3 nhưng – 1 không chia hết cho 3 x không chia hết cho 3 hay hoặc x – 1, hoặc x + 1 chia hết cho 3.

Vậy x chia 3 dư 1 hoặc x chia 3 dư 2 mà x là số chính phương nên x chia 3 dư 1.

Khi đó: a = x2 – 1 chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: a chia hết cho 24.


Câu 32:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm AB, AC. Chứng minh:

a) Xác định dạng tứ giác BDEC.

Xem đáp án

a)

Cho tam giác ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm AB, AC. Chứng minh:  a) Xác định dạng tứ giác BDEC.  (ảnh 1)

Ta có: AB = AC

D là trung điểm AB và E là trung điểm AC nên DB = EC = 12AB=12AC (1)

Lại có: DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DECB là hình thang cân.


Câu 33:

b) Kẻ DK vuông góc BC, EH vuông góc BC và BC = 8 cm. Tính HC và HB.

Xem đáp án

b) Gọi I là trung điểm BC

Xét tam giác AIC và tam giác EHC có:

Chung C^

AIC^=EHC^= 90°

∆ AIC ∆EHC (g.g)

⇒ CHCI=CECA=EHAI=12

CH = 4 : 2 = 2 (cm)

BH = BC – CH = 8 – 2 = 6 (cm).


Câu 34:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, qua H kẻ HM vuông góc với AB, HD vuông góc với AC. Gọi E là trung điểm BC. Chứng minh AE vuông góc với DM.
Xem đáp án
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, qua H kẻ HM vuông góc với AB, HD vuông góc với AC. Gọi E là trung điểm BC. Chứng minh AE vuông góc với DM.  (ảnh 1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AE là trung tuyến

AE = EC = BE = BC2  ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 12  cạnh huyền)

Suy ra: tam giác AEC cân tại E và ECA^=EAC^

ECA^=AHD^ (cùng phụ với DHC^  )

Nên: EAC^  = AHD^ (1)

Xét tứ giác AMHD có:

MAD^= 90°

AMH^=ADH^= 90°

Suy ra: AMHD là hình chữ nhật.

Suy ra: AMD^=AHD^  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EAC^ AMD^

Lại có: EAC^+BAE^ =  90°

Nên:AMD^  +BAE^ =  90°

Suy ra:  AGM^= 90° hay MD vuông góc với AE.

Vậy MD vuông góc với AE.


Câu 35:

Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BIM^ .

Xem đáp án
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác ABC, M là trung điểm BC. a) Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính  . (ảnh 1)

a) Ta có:

BC = AB2+AC2=10

PAPC=BABCPACA=BABC+BAPA=BA.CABC+BA=6.86+10=3

BP =  AB2+AP2=35

BIPI=ABAPBIBP=ABAB+APBI=BA.BPAB+AP=6.356+3=25

Ta thấy: BIBM=255=BABP

Xét tam giác BAP và tam giác BIM có:

ABP^=IBM^

BIBM=BABP

∆BAP ∆BIM (c.g.c)

Suy ra: BIM^ =BAP^ = 90°


Câu 36:

b) Biết BIM^  = 90°. Ba cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với ba số nào?

Xem đáp án

b) vẽ đường tròn tâm M đường kính BC, BI cắt (M) tại N.

Ta thấy: BIM^=BNC^ = 90° suy ra MI // CN

Vì M là trung điểm BC nên I là trung điểm BN (1)

Dễ thấy: NIC^=12ABC^+ACB^=NCI^

Suy ra: tam giác NIC cân tại N hay NI = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tanABC^2=tanNBC^=NCNB=NINB=12

Suy ra: tanABC^=2tanABC^21tan2ABC^2=43=ACAB

AC2AB2+AC2=169+16=1625ACBC=45

Vậy AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.


Câu 37:

Giải bài toán dân gian sau:

Em đi chợ phiên

Anh gửi một tiền

Cam, thanh yên, quýt

Không nhiều thì ít

Mua đủ một trăm

Cam ba đồng một

 

Quýt một đồng năm

Thanh yên tươi tốt

Năm đồng một trái.

Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiền bằng 60 đồng?

Xem đáp án

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) (x, y, z *).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

3x+y5+5z=60x+y+z=100

⇔ 15x+y+25z=300x+y+z=100

⇔ 15x+y+25z=30014y+10z=1200

15x+y+25z=3007y+5z=600

15x+5z+6007+25z=300y=5z+6007

x=10012z7y=5z+6007 (*)

Vì x > 0 nên 100 – 12z > 0 suy ra: z <10012<9 hay z {1; 2;…; 8}

Thay lần lượt các giá trị của z vào (*) ta thấy chỉ có z = 6 thỏa mãn

Vậy z = 6; y = 90 và x = 4.

Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.


Câu 38:

Một nửa chai chứa nước cân nặng 712  kg. Chai không chứa nước cân nặng 16  kg. hỏi chai đó chứa đầy nước thì cân nặng bao nhiêu ki–lô–gam?

Xem đáp án

1 nửa số nước trong chai cân nặng là:

712 16  =512 (kg)

Khi chai đầy nước thì số nước này nặng là:

512.2=56​ (kg)

Chai đó đầy nước thì cân nặng là:

56+16=1(kg).

Đáp số: 1 kg.


Câu 39:

Trong một lớp học có ít nhất bao nhiêu sinh viên để có ít nhất 19 sinh viên có cùng tháng sinh?

Xem đáp án

Trong trường hợp tồi nhất thì ứng với mỗi tháng sinh có 18 sinh viên.

Để có ít nhất 19 sinh viên cùng tháng sinh thì cần:

18 . 12 + 1 = 217 (sinh viên).

Vậy cần ít nhất 217 sinh viên.


Câu 40:

Tính B = 1.22 + 2.32 + … + 99.1002.

Xem đáp án

B = 1.22 + 2.32 + … + 99.1002

B = 1.2.2 + 2.3.3 + … + 99.100.100

B = 1.2.(3–1) + 2.3.(4–1) + …. + 99.100.(101 – 1)

B = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + … + 99.100.101 – 99.100

B = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) – (1.2 + 2.3 + … + 99.100)

B = A – C

+ Xét A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5–1) + ... + 99.100.101.(102–98)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + ... + 99.100.101.102 – 98.99.100.101

4A = 99.100.101.102

A = 25497450

+ Xét C = 1.2 + 2.3 + … + 99.100

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + ….+ 99.100.3

3C = 1.2.3 + 2.3.(4–1) + … +99.100.(101–98)

3C = 99.100.101

C = 333300

Suy ra: B = A – C = 25497450 – 333300 = 25164150.


Câu 41:

Tính chu vi của hai đường tròn biết tổng chu vi hai đường tròn bằng 75,36 m và bán kính đường tròn thứ nhất gấp ba lần bán kính đường tròn thứ hai.

Xem đáp án

Tổng bán kính hai đường tròn là:

75,36 : 3,14 : 2 = 12 (m).

Bán kình đường tròn thứ hai là:

12 : 4 = 3 (m)

Chu vi đường tròn thứ hai là:

2 . 3 . 3,14 = 18,84 (m)

Chu vi đường tròn thứ nhất là:

75,36 – 18,84 = 56,52 (m)


Câu 42:

Với giá trị nào của x thì căn thức sau có nghĩa: .x2
Xem đáp án

Để căn thức x2  có nghĩa thì x – 2 ≥ 0 hay x ≥ 2.


Câu 43:

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho: 4n + 9 chia hết cho 2n + 1.

Xem đáp án

Theo bài ra ta có:

4n + 9 2n + 1

4n + 2 + 7 2n + 1

2(2n + 1) +7 2n + 1

7 2n + 1

Suy ra: 2n + 1 Ư(7) = {1; 7}

Vậy n {0; 3}.


Câu 44:

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, cắt BC tại Q và R, cắt CD tại P và S.

a) Tam giác AQR và APS là tam giác cân.

Xem đáp án
Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, cắt BC tại Q và R, cắt CD tại P và S. a) Tam giác AQR và APS là tam giác cân. (ảnh 1)

a) Xét tam giác vuông ABR và ADQ có:

AB = AD (giả thiết)

BAR^+BAP^= 90°

DAQ^+BAP^ Góc = 90°

  BAR^=DAQ^

∆ABR = ∆ADQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

Tam giác AQR cân tại A.

Chứng minh tương tự: ta có ∆ADS = ∆ABP

AS = AP ∆APS cân tại A.


Câu 45:

b) QR cắt PS tại H. M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh: AMHN là hình chữ nhật.

Xem đáp án

b) ∆AQR cân tại A Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

AM vuông góc với QR  AMH^= 90°

Tương tự: ∆APS cân tại A Trung tuyến AN đồng thời là đường cao.

AN vuông góc với SP ANP^= 90° hay  ANH^= 90°.

∆AQR vuông cân tại A AQR^=ARQ^  = 45° PQH^  = 45°.

∆APS vuông cân tại A ASP^=APS^  = 45° QPH^ = 45° (đối đỉnh).

Xét ∆PHQ có: PQH^  +QPH^  = 45° + 45° = 90°

∆PHQ vuông cân tại H PH vuông góc với PQ

NHM^ = 90°

Xét tứ giác AMHN có:AMH^ ANH^  = NHM^ = 90°

AMHN là hình chữ nhật.


Câu 46:

c) P là trực tâm của tam giác SQR.

Xem đáp án

c) Xét ∆SQR có:

BC vuông góc CD RC vuông góc SQ RC là đường cao.

AP vuông góc AR QA vuông góc RS QA là đường cao.

Mà RC cắt QA tại P

Vậy P là trực tâm tam giác SQR.


Câu 47:

d) MN là trung trực của AC.

Xem đáp án

d) ∆ANP vuông tại A có trung tuyến AN AN = SP2

    ∆CSP vuông tại C có trung tuyến CN CN =SP2

AN = CN N thuộc trung trực của AC.

Tương tự ta có: MA = MC M thuộc trung trực của AC.

Vậy MN là trung trực của AC.


Câu 48:

e) M, B, N, D thẳng hàng.

Xem đáp án

e) Ta có BA = BC (giả thiết) B thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (chứng minh trên) B thuộc MN

Tương tự DA = DC (giả thiết) D thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (chứng minh trên) D thuộc MN

Vậy M, B, N, D thẳng hàng.


Câu 49:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà có mặt chữ số 0 và chữ số 1.
Xem đáp án

Gọi số cần tìm có dạng:abcdef¯

+ Trường hợp 1

Cách chọn vị trí cho số 0 và 1:  A62

Cách chọn vị trí cho 4 số còn lại: A84

Suy ra số cách chọn là: A62  A84

+ Trường hợp 2:

Số chữ số có số 0 đứng đầu là: A84 

- Cách chọn vị trí cho số 1: 5 cách

- Cách chọn vị trí cho 4 số còn lại: A84

Vậy có: 5 .

 Vậy số chữ số có 6 chữ số khác nhau mà có mặt chữ số 0 và chữ số 1 là:

A62. A84– 5 .A84 = 42000 (số).


Câu 50:

Tìm một số có hai chữ số , biết rằng nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai số đó thì được một số mới gấp 9 lần số đã cho.

Xem đáp án

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là  ab¯(a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

a0b¯= 9 ab¯.

100a + b = 90a + 9b

10a = 8b

5a = 4b

Vì 5a chia hết cho 5 nên 4b chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5. Suy ra: b chia hết cho 5.

Mà a khác 0 nên b = 5.

Suy ra: a = 4

Vậy số cần tìm là 45.


Câu 51:

Chứng minh rằng x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.
Xem đáp án

Ta có:

x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14

= [x2  + 2x(1 – 2y) + (4y2 – 4y + 1)] + (y2 – 6y + 9) + 4

= (x + 1 – 2y)2 + (y – 3)2 + 4

Ta thấy: (x + 1 – 2y)2 + (y – 3)2 ≥ 0 với mọi x, y

Nên (x + 1 – 2y)2 + (y – 3)2 + 4 ≥ 4 > 0 với mọi x, y.

Vậy x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.


Câu 52:

Nêu định nghĩa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

Xem đáp án

Vectơ  u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu u0  và giá của  u song song hoặc trùng với ∆.

Vectơ n  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n0 vuông góc với n vectơ chỉ phương của ∆.


Câu 53:

Chứng minh rằng x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y.

Xem đáp án

Ta có:

x2 + xy + y2 + 1

x2+2xy2+y22+3y24+1

x+y22+3y24+1

Ta thấy:x+y22+3y24 ≥ 0 với mọi x, y

Nên x+y22+3y24+1≥ 1 > 0 với mọi x, y

Vậy x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y.


Bắt đầu thi ngay