Coi số gạo mỗi người ăn một ngày là một suất gạo.

Đơn vị bộ đội đó chuẩn bị số suất gạo là: 150 × 20 = 3000 (suất).

Thực tế đơn vị đã ăn trong tổng số ngày là: 20 – 8 = 12 (ngày).

Tổng số bộ đội là: 3000 : 12 = 250 (người).

Số người đã chuyển đến là: 250 – 150 = 100 (người).

Đáp số: 100 người.

Vì 2015 không chia hết cho 4 nên năm 2015 là năm có 365 ngày.

1 tuần có 7 ngày.

365 : 7 = 52 dư 1.

Suy ra 1 năm có 52 tuần và dư 1 ngày.

Do đó nếu mùng 1 tháng 1 năm 2015 là thứ năm thì ngày 31 tháng 12 năm 2015 cũng là thứ 5.

Vậy mùng 1 tháng 1 năm 2016 là thứ 6.

Nếu giảm số chia đi một nửa thì thương tăng lên 2 lần, do đó thương lúc đầu là:

32 : 2 = 16.

Coi số bị chia là 16 phần thì số chia là 1 phần như thế.

Hiệu số phần bằng nhau là: 16 – 1 = 15 (phần).

Số bị chia là: 60 : 15 × 16 = 64.

Số chia là: 60 : 15 × 1 = 4.

Đáp số: Số bị chia: 64;

              Số chia: 4.

Hiệu số tuổi của An 3 năm trước và 3 năm sau là: 3 + 3 = 6 (tuổi).

Tuổi của An 3 năm sau là: 6 : (3 – 1) × 3 = 9 (tuổi).

Tuổi của An hiện nay là: 9 – 3 = 6 (tuổi).

Đáp số: 6 tuổi.

Tuổi em bằng: $\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$ (tuổi bố).

Tuổi em là: 36 : (1 + 8) × 1 = 4 (tuổi).

Tuổi bố là: 36 : (1 + 8) × 8 = 32 (tuổi).

Tuổi anh là: $\frac{1}{4}\times 32=8$ (tuổi).

Đáp số: Tuổi em: 4 tuổi;

           Tuổi anh: 8 tuổi;

           Tuổi bố: 32 tuổi.

Vì vế trái của mỗi phương trình đều không âm và điều kiện ở vế phải của mỗi phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ y\ne 0\end{array}\right.$ nên ta có $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.$

Hệ phương trình đã cho tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}3x^{2}y=2y^2+1\\ 3y^{2}x=2x^2+1\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}$

Trừ (1) cho (2) vế theo vế, ta được: 3xy(x – y) = –2(x² – y²).

⇔ 3xy(x – y) + 2(x + y)(x – y) = 0.

⇔ (x – y)(3xy + 2x + 2y) = 0 (*)

Vì x > 0, y > 0 nên 3xy + 2x + 2y > 0.

Khi đó (*) tương đương với: x = y.

Thế x = y vào (1), ta được: 3y³ = 2y² + 1.

⇔ 3y³ – 2y² – 1 = 0.

⇔ y = 1 (nhận).

Với x = y, ta có: x = y = 1 (nhận).

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S = {(1; 1)}.

Ta có 413 – (113 + 523) + 823

= (413 – 113) – 523 + 823

= 300 + 300

= 600.

Giả sử đội văn nghệ chia được nhiều nhất là k tổ (k ∈ ℕ*).

Vì số nam được chia đều vào các tổ nên 48 ⋮ k hay k ∈ Ư(48)   (1)

Vì số nữ được chia đều vào các tổ nên 72 ⋮ k hay k ∈ Ư(72)    (2)

Từ (1), (2), suy ra k ∈ ƯC(48, 72).

Mà k là số lớn nhất nên k = ƯCLN(48, 72).

Ta có 48 = 2⁴.3 và 2³.3².

Suy ra ƯCLN(48, 72) = 2³.3 = 24.

Do đó k = 24.

Vậy có thể chia được nhiều nhất thành 24 tổ.

Khi đó mỗi tổ có 48 : 24 = 2 (nam) và 72 : 24 = 3 (nữ).

Ta có 16 = 2⁴ và 30 = 2.3.5.

Lập tích các thừa số chung, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất, ta được: 2.

Suy ra ƯCLN(16, 30) = 2.

Vậy ƯC(16, 30) = {1; 2}.

Tổng số tuổi của ba người sau 10 năm nữa là: 66 + 10 . 3 = 96 (tuổi).

Tuổi của bố sau 10 năm nữa là: (96 – 8) : 2 = 44 (tuổi).

Tuổi của bố hiện nay là: 44 – 10 = 34 (tuổi).

Tổng số tuổi của hai mẹ con sau 10 năm nữa là: 96 – 44 = 52 (tuổi).

Tuổi của con sau 10 năm nữa là: 52 : (3 + 1) . 1 = 13 (tuổi).

Tuổi của con hiện nay là: 13 – 10 = 3 (tuổi).

Tuổi của mẹ hiện nay là: 66 – 34 – 3 = 29 (tuổi).

Vậy hiện nay bố 34 tuổi; mẹ 29 tuổi và con 3 tuổi.

Ta có 15 = 3.5 và 25 = 5².

Suy ra BCNN(15, 25) = 3.5² = 75.

Do đó BC(15, 25) = B(75) = {0; 75; 150; 225; 300; 375; 450; 525; ...}.

Vậy các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là: {0; 75; 150; 225; 300; 375}.

Ta có (4x – 1)¹⁰ = (4x – 1)⁸.

⇔ (4x – 1)¹⁰ – (4x – 1)⁸ = 0.

⇔ (4x – 1)⁸.[(4x – 1)² – 1] = 0.

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}{\left(4x-1\right)}^8=0\\ {\left(4x-1\right)}^2-1=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}4x-1=0\\ \left(4x-1-1\right)\left(4x-1+1\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\\ 4x\left(4x-2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\\ x=0\\ 4x-2=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\\ x=0\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x\in \left\{\frac{1}{4};0;\frac{1}{2}\right\}$

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (a, b ∈ ℕ và 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9).

Khi ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải số cần tìm thì số mới gấp 10 lần số cũ và 5 đơn vị.

Khi ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải số cần tìm thì ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Suy ra hiệu của số mới và số cũ là 230.

Vậy số cần tìm là 25.

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (a, b ∈ ℕ và 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9).

Khi ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải số cần tìm thì số mới gấp 10 lần số cũ và 5 đơn vị.

Khi ta viết thêm chữ số 5 vào bên phải số cần tìm thì ta được số lớn hơn số phải tìm 176 đơn vị.

Suy ra hiệu của số mới và số cũ là 176.

Vậy số cần tìm là 19.

Ta có B = (x + 2)² = x² + 4x + 4.

Lại có A = x³ – 5bx + 2a = x(x² + 4x + 4) – 4x² – 4x – 5bx + 2a

= x(x² + 4x + 4) – 4(x² + 4x + 4) + 12x + 16 – 5bx + 2a

= (x – 4)(x² + 4x + 4) + x(12 – 5b) + 16 + 2a

= (x – 4)B + x(12 – 5b) + 16 + 2a.

Từ đây suy ra A chia cho B dư (12 – 5b)x + 16 + 2a.

Để A chia hết cho B thì đa thức dư phải bằng 0, với mọi x.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}12-5b=0\\ 16+2a=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b=\frac{12}{5}\\ a=-8\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy a = –8 và  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Theo đề, ta có f(x) = 2x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x² – 1 dư x.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\left(x+2\right)q_1\left(x\right)\\ f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)q_2\left(x\right)+x\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=0\\ f\left(1\right)=1\\ f\left(-1\right)=-1\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4a-2b+c+32=0\\ a+b+c+2=1\\ a-b+c+2=-1\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{28}{3}\\ b=1\\ c=\frac{22}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=-\frac{28}{3};b=1;c=\frac{22}{3}$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số $\frac{1}{34}$ và $\frac{1}{8}$ với 3, ta được:

Vì $\frac{3}{102}<\frac{3}{101}<\frac{3}{100}<\frac{3}{99}<\mathrm{...}<\frac{3}{25}<\frac{3}{24}$ nên $\frac{1}{34}<\frac{3}{101}<\frac{3}{100}<\frac{3}{99}<\mathrm{...}<\frac{3}{25}<\frac{1}{8}$

Mà phân số thập phân là số có mẫu là 10; 100; 1000; ...

Vậy có 1 phân số thập phân thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\frac{3}{100}$

Xác định các đơn vị nằm giữa tấn và kg là: tấn, tạ, yến, kg.

Ta có bảng sau:

Đề bài yêu cầu đổi sang đơn vị là tấn nên ta đặt dấu phẩy sau số 1.

Vậy 1300 kg = 1,3 tấn.

a) Nửa chu vi của thửa ruộng là:

      0,18 : 2 = 0,09 (km).

Chiều rộng của thửa ruộng là:

      0,09 : (4 + 5) × 4 = 0,04 (km).

Chiều dài của thửa ruộng là:

      0,09 : (4 + 5) × 5 = 0,05 (km).

Diện tích của thửa ruộng là:

      0,05 × 0,04 = 0,002 (km²).

Đổi: 0,002 km² = 0,2 ha = 2000 m².

b) Số kg thóc người ta thu hoạch được trên cả thửa ruộng là:

      2000 × 65 : 100 = 1300 (kg thóc).

Đổi: 1300 kg = 1,3 tấn.

Đáp số: a) 0,2 ha; 2000 m²;

              b) 1,3 tấn thóc.

Nửa chu vi của hình chữ nhật ban đầu là: 850 : 2 = 425 (cm).

Gọi chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là a (cm).

Suy ra chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là 425 – a (cm).

Nếu tăng chiều rộng của một hình chữ nhật thêm 27090 cm và giữ nguyên chiều dài thì diện tích của nó tăng lên 130 lần.

Suy ra a × (425 – a + 27 090) = 130 × a × (425 – a).

⇒ 27 515 – a = 130 × (425 – a).

⇒ 27 515 – a = 55 250 – 130 × a.

⇒ 130 × a – a = 55 250 – 27515.

⇒ 129 × a = 27 735.

⇒ a = 27 735 : 129 = 215 (cm).

Đổi: 215 cm = 2,15 m.

Đáp số: 2,15 m.

Ta có (xy – 1)² + (x + y)²

= x²y² – 2xy + 1 + x² + 2xy + y²

= (x²y² + y²) + (x² + 1)

= y²(x² + 1) + (x² + 1)

= (x² + 1)(y² + 1).

Ta có 9,03 = 903%.

Xét người A bất kì trong 9 người.

Khi đó A quen hoặc không quen với mỗi người trong 8 người còn lại.

Do đó theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất $1+\left[\frac{8-1}{2}\right]=4$ người quen hoặc không quen A.

Vậy trong 9 người bất kì luôn tìm được 3 người đôi một quen nhau hoặc 4 người đôi một không quen nhau.

Gọi số cần tìm có dạng , (a, b, c, d ∈ ℕ, a ≠ 0, 0 ≤ a, b, c, d ≤ 9).

Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 5 nên d = 0 hoặc d = 5.

Mà $\overline{abcd}$ chia hết cho 2 nên ta chọn d = 0.

Suy ra d có 1 cách chọn.

Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 3 nên a + b + c + d = a + b + c là một số chia hết cho 3.

Chọn a có 9 cách chọn, chọn b có 9 cách chọn.

Nếu (a + b) ⋮ 3 thì c ∈ {3; 6; 9}.

Suy ra c có 3 cách chọn.

Nếu (a + b) chia 3 dư 1 thì c ∈ {2; 5; 8}.

Suy ra c có 3 cách chọn.

Nếu (a + b) chia 3 dư 2 thì c ∈ {1; 4; 7}.

Suy ra c có 3 cách chọn.

Vì vậy ta có 3 cách chọn c.

Vậy ta có tất cả 9.9.3.1 = 243 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰.

= 2.(1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁹).

Vì 2 ⋮ 2 nên 2.(1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁹) ⋮ 2.

Vậy A ⋮ 2.

Ta ghép các số hạng của A thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng, ta được:

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰.

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 2.(1 + 2 + 2² + 2³) + ... + 2¹⁷.(1 + 2 + 2² + 2³)

= (1 + 2 + 2² + 2³)(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

= (1 + 2 + 4 + 8)(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

= 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷)

Vì 15 ⋮ 3 nên 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷) ⋮ 3.

Vậy A ⋮ 3.

Vì 15 ⋮ 5 nên 15.(2 + 2⁵ + 2⁹ + 2¹³ + 2¹⁷) ⋮ 5.

Nếu lớp 5A chuyển cho lớp 5B 7 quyển và lớp 5B trả lại cho lớp 5A 1 quyển thì số quyển sách lớp 5A chuyển cho lớp 5B là: 7 – 1 = 6 (quyển).

Khi đó lớp 5A có số quyển sách là: 86 : 2 = 43 (quyển).

Số quyển sách lúc đầu lớp 5A mua là: 43 + 6 = 49 (quyển).

Số quyển sách lúc đầu lớp 5B mua là: 86 – 49 = 37 (quyển).

Đáp số: Lớp 5A: 49 quyển;

              Lớp 5B: 37 quyển.

Đặt $A=\frac{4}{2.4}+\frac{4}{4.6}+\frac{4}{6.8}+\mathrm{...}+\frac{4}{2008.2010}$

$$\begin{gathered} =2.\left(\frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\frac{2}{6.8}+\mathrm{...}+\frac{2}{2008.2010}\right) \\ =2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2010}\right) \\ =2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2010}\right) \\ =1-\frac{1}{1005} \\ =\frac{1004}{1005} \end{gathered}$$

Vậy $A=\frac{1004}{1005}$

Đặt $A=\frac{4}{2.4}+\frac{4}{4.6}+\frac{4}{6.8}+\frac{4}{8.10}\mathrm{...}+\frac{4}{18.20}$

$$\begin{gathered} =2.\left(\frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\frac{2}{6.8}+\frac{2}{8.10}\mathrm{...}+\frac{2}{18.20}\right) \\ =2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{10}\mathrm{...}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}\right) \\ =2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{20}\right) \\ =1-\frac{1}{10} \\ =\frac{9}{10} \end{gathered}$$

Vậy $A=\frac{9}{10}$

Ta có x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

⇔ x³ + x² + x = 4y² + 4y.

⇔ (x³ + x²) + x + 1 = 4y² + 4y + 1.

⇔ x²(x + 1) + x + 1 = (2y + 1)².

⇔ (x² + 1)(x + 1) = (2y + 1)²   (*)

Đặt (x² + 1; x + 1) = d.

⇒ (x + 1)(x – 1) – (x² + 1) ⋮ d.

⇒ x² – 1 – x² – 1 ⋮ d.

⇒ –2 ⋮ d.

Mà vế phải của phương trình (*) là số lẻ nên chỉ xảy ra trường hợp d = ±1.

Do đó (x² + 1; x + 1) = 1.

Vì vậy x² + 1 và x + 1 là số chính phương.

Đặt x² + 1 = a² (a ∈ ℤ).

⇔ (a – x)(a + x) = 1.

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a-x=1\\ a+x=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a-x=-1\\ a+x=-1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=1\\ x=0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ x=0\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇔ x = 0.

Thế x = 0 vào (*), ta được: (2y + 1)² = 1.

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2y+1=1\\ 2y+1=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}y=0\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thử lại, ta thấy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)} thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vậy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)}.

Gọi a, b, c lần lượt là chiều rộng của mảnh thứ nhất, mảnh thứ hai, mảnh thứ ba (a, b, c > 0).

Gọi d là chiều dài của mỗi mảnh đất (d > 0).

Diện tích mảnh thứ nhất là: S₁ = d.a.

Diện tích mảnh thứ hai là: S₂ = d.b.

Diện tích mảnh thứ ba là: S₃ = d.c.

Theo đề, ta có tổng diện tích của ba mảnh đất là 92 ha.

Suy ra S₁ + S₂ + S₃ = 92 hay da + db + dc = 92.

Theo đề, ta có: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$ và $\frac{b}{5}=\frac{c}{7}$

Suy ra $\frac{a}{10}=\frac{b}{15}$ và $\frac{b}{15}=\frac{c}{21}$

Do đó $\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{21}$

Vì vậy $\frac{da}{10}=\frac{db}{15}=\frac{dc}{21}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{da}{10}=\frac{db}{15}=\frac{dc}{21}=\frac{da+db+dc}{10+15+21}=\frac{92}{46}=2$

Với $\frac{da}{10}=2$ , ta có: S₁ = da = 10.2 = 20.

Với $\frac{db}{15}=2$, ta có: S₂ = db = 15.2 = 30.

Với $\frac{dc}{21}=2$, ta có: S₃ = dc = 21.2 = 42.

Vậy diện tích mảnh thứ nhất, mảnh thứ hai, mảnh thứ ba lần lượt bằng 20 ha, 30 ha, 42 ha.

Gấp rưỡi là gấp 1,5 lần hoặc $\frac{3}{2}$ lần.

Ta có B = 12x – 8y – 4x² – y² + 1

= –(4x² – 12x + 9) – (y² + 8y + 16) + 26

= –(2x – 3)² – (y + 4)² + 26.

Ta có (2x – 3)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và (y + 4)² ≥ 0, ∀y ∈ ℝ.

⇒ –(2x – 3)² ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và –(y + 4)² ≤ 0, ∀y ∈ ℝ.

⇒ –(2x – 3)² – (y + 4)² ≤ 0, ∀x, y ∈ ℝ.

⇒ –(2x – 3)² – (y + 4)² + 26 ≤ 26, ∀x, y ∈ ℝ.

⇒ B ≤ 26, ∀x, y ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3=0\\ y+4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=-4\end{array}\right.$

b) Ta có $A=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}=\frac{a\left(a+1\right)-1}{a\left(a+1\right)+1}$

Với a nguyên thì a(a + 1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên a(a + 1) là số chẵn.

Do đó a(a + 1) – 1 và a(a + 1) + 1 là hai số lẻ liên tiếp.

Vậy A là phân số tối giản (điều phải chứng minh).

Ta có x² + y² – 4x + 3 = 0.

⇔ x² – 4x + 4 + y² – 1 = 0.

⇔ (x – 2)² + y² = 1   (*)

Đặt $\left\{\begin{array}{l}x-2=a\\ y=b\end{array}\right.$

Khi đó (*) tương đương với: a² + b² = 1.

⇔ a² = 1 – b² ≤ 1.

⇔ –1 ≤ a ≤ 1.

Ta có M = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4.

= 1 + 4a + 4 = 5 + 4a.

Ta có –1 ≤ a ≤ 1.

⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4.

⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9.

⇔ 1 ≤ M ≤ 9.

Dấu “=” xảy ra $\iff \left[\begin{array}{l}a=1\\ a=-1\end{array}\right.$

Với a = 1, ta có: b² = 1 – a² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0.

Với a = –1, ta có: b² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0.

Vậy M_max = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và M_min = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

b) Ta có $\widehat{OMB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (K)).

Ta có OB = OD = R.

Suy ra tam giác OBD cân tại O.

Mà OM là đường cao của tam giác OBD.

Do đó OM cũng là đường trung tuyến của tam giác OBD.

Vì vậy M là trung điểm của BD.

Mà K là trung điểm của OB (đường tròn tâm K có OB là đường kính).

Suy ra MK là đường trung bình của tam giác OBD.

Vậy MK // OD.

Lớp học đó có tất cả 45 + 35 = 80 học sinh.

Đánh số thứ tự các học sinh từ 1 đến 80.

Xét các học sinh có thứ tự là i và i + 9, với 1 ≤ i ≤ 71.

Ta thấy giữa hai học sinh này luôn có đúng 8 học sinh khác.

– Xét 18 học sinh đầu có số thứ tự từ 1 đến 9 và 10 đến 18; 18 học sinh này chia làm 9 cặp.

– Xét 54 học sinh tiếp theo chia làm 3 nhóm, mỗi nhóm 18 học sinh, mỗi nhóm 18 học sinh này chia làm 9 cặp.

– Khi đó 72 học sinh đầu tiên chia làm 9 + 3.9 = 36 cặp, vậy 8 học sinh cuối ghép thành 8 cặp.

Lúc này ta có các cặp học sinh được đánh số thứ tự như sau:

⦁ (1; 10), (2; 11), ..., (9; 18).

⦁ (19; 28), (20; 29), ..., (27; 36).

⦁ (37; 46), (38; 47), ..., (45; 54).

⦁ (55; 64), (56; 65), ..., (63; 72).

⦁ (64; 73), (65; 74), ..., (71; 80).

Ta thấy có 44 cặp, mỗi cặp 2 học sinh.

Mà lớp học có 45 học sinh nam nên tồn tại ít nhất hai học sinh nam mà ở giữa họ có 8 người đứng xen vào.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Số tự nhiên bé nhất có bốn chữ số lớn hơn 3254 là 3255.

Các số tự nhiên có bốn chữ số lớn hơn 3254 là các số thuộc dãy số: 3255; 3256; 3257; ...; 9999.

Dãy số trên có số số hạng là: (9999 – 3255) : 1 + 1 = 6745 (số hạng).

Đáp số: 6745 số.

Chữ số 2 được viết thêm vào có giá trị bằng 0,0002.

Số phải tìm là: 0,0002 : (1,0125 – 1) = 0,016.

Đáp số: 0,016.

Tỉ số phần trăm số học sinh trai và tổng số học sinh của khối lớp 5 là:

100% – 52% = 48%.

Số học sinh trai của khối lớp 5 là:

150 × 48 : 100 = 72 (học sinh).

Đáp số: 72 học sinh.

Chiều dài hình chữ nhật đó là: 16,34 + 8,32 = 24,66 (m).

Chu vi hình chữ nhật đó là: (24,66 + 16,34) × 2 = 82 (m).

Đáp số: 82 m.

Từ ngày 9 tháng 5 năm 2010 đến ngày 9 tháng 6 năm 2010 có 32 ngày.

Từ ngày 10 tháng 6 năm 2010 đến ngày 18 tháng 6 năm 2010 có 9 ngày.

Suy ra từ ngày 9 tháng 5 năm 2010 đến ngày 18 tháng 6 năm 2010 có 41 ngày.

Mà 41 : 7 = 5 dư 6.

Ta có bảng sau:

Vậy ngày 18 tháng 6 năm 2010 là thứ 6.

Số bé nhất có sáu chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 8 và chữ số hàng đơn vị là 3 thì:

+ Chữ số hàng cao nhất là chữ số bé nhất khác 0 nên chữ số hàng trăm nghìn là 1.

+ Chữ số hàng chục nghìn là chữ số bé nhất nên chữ số hàng chục nghìn là 0.

+ Chữ số hàng nghìn là chữ số bé nhất nên chữ số hàng nghìn là 0.

+ Chữ số hàng trăm là 8.

+ Chữ số hàng chục là chữ số bé nhất nên chữ số hàng chục là 0.

+ Chữ số hàng đơn vị là 3.

Vậy số bé nhất có sáu chữ số mà chữ số hàng trăm là 8 và chữ số hàng đơn vị là 3 là 100 803.

Nếu bớt 354 đơn vị ở số bị trừ và thêm 75 đơn vị vào số trừ thì hiệu giảm số đơn vị là: 354 + 75 = 429 (đơn vị).

Hiệu của hai số là: 2006 + 429 = 2435.

Đáp số: 2435.

Ta có a + 4b chia hết cho 13.

Suy ra 10(a + 4b) chia hết cho 13.

Do đó 10a + 40b chia hết cho 13.

Vì vậy 10a + b + 39b chia hết cho 13.

Vì 39 chia hết cho 13 nên 39b chia hết cho 13.

Vậy 10a + b chia hết cho 13.

Số cần tìm là: 15 : 75 × 100 = 20.

Đáp số: 20.

Số cần tìm là: 15 : 75 × 100 = 20.

Đáp số: 20.