Chiều dài của thửa ruộng là:

          (88 + 24) : 2 = 56 (m)

Chiều rộng của thửa ruộng là:

56 − 24 = 32 (m)

Diện tích của thửa ruộng là:

56 × 24 = 1344 (m²)

Cả thửa ruộng đó thu hoạch được số lạc là:

1344 : 2 × 3 = 2016 (kg)

Đáp số: 2016 kg lạc.

Gọi chiều dài là a (a > 0), chiều rộng là b (b > 0). Ta có :

(a + 4)(b + 4) – ab = 248

⇔ ab + 4a + 4b + 16 – ab = 248

⇔ 4(a + b) = 248 – 16 = 232

⇔ a + b = 232 : 4 = 58

⇒ b = (58 − 8) : 2 = 25

⇒ a = 58 – 25 = 33

⇒ a ∙ b = 33 ∙ 25 = 825 m²

Vậy diện tích thửa ruộng là 825 m².

Gọi số học sinh khối 6 của trường là: a (học sinh) (a ∈ ℕ^*).

Vì mỗi khi xếp hàng 18, hàng 21, hàng 24 đều vừa đủ hàng nên

⇒ a chia hết cho 18, 21, 24 ⇒ a thuộc BC (18, 21, 24).

18 = 2 ∙ 3²

21 = 3 ∙ 7

24 = 2³ ∙ 3

⇒ BCNN (18, 21, 24) = 2³ ∙ 3² ∙ 7 = 504.

⇒ BC (18, 21, 24) = B (504) = {0; 504; 1008; 1512; …}

⇒ a thuộc {0; 504; 1008; 1512; …}, mà a là số tự nhiên có ba chữ số

⇒ a = 504.

Vậy số học sinh khối 6 của trường là 504 học sinh.

Số chân chó là:

(100 + 12) : 2 = 56 (chân)

Số con chó là:

56 : 4 = 14 (con)

Số con gà là:

(100 − 56) : 2 = 22 (con)

Đáp số: 14 con chó, 22 con gà.

Nếu cả 2 số cùng lên 3,2 lần thì tổng là:

37,8 × 3,2 = 120,96

Số thứ nhất là:

(120,96 − 111,02) : (3,2 − 2,5) = 14,2

Số hai là:

37,8 − 14,2 = 23,6.

Vậy số thứ 2 là 23,6.

Lời giải:

x × 8 + x × 15 = 653,2

x × (8 + 15) = 653,2

x × 23 = 653,2

x         = 653,2 : 23

x         = 28,4.

Vậy x = 28,4.

25% = $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

25% của 22 là $\frac{1}{4}·22=\frac{11}{2}$ .

ab + 2a – b = 3

⇔ ab + 2a – (b + 2) = 1

⇔ a ∙ (b + 2) − (b + 2) = 1

⇔ (a − 1) (b + 2) = 1

Mà 1 = 1.1 = (–1) . (–1)

TH1: (a − 1) (b + 2) = 1∙1

⇒ a – 1 = 1 và b + 2 = 1

⇒ a = 2 và b = –1

TH2: (a – 1) (b + 2) = (–1)∙(–1)

⇒ a − 1 = –1 và b + 2 = –1

⇒ a = 0 và b = –3

Vậy (a; b) ∈ {(0; −3); (2; −1)}.

Gọi giao điểm của AF và CD là O.

∆ABF có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BF.

⇒ DE là đường trung bình

⇒ DE // AF hay DE // OF

∆CDE có DE // OF, F là trung điểm CE

⇒ O là trung điểm CD

∆CDG có CE = $\frac{2}{3}$ CB, CB là đường trung tuyến.

⇒ E là trọng tâm của ∆CDG

⇒ GE đi qua trung điểm CD

⇒ GE đi qua O

⇒ AF, CD, GE đồng quy.

Ta lập được dãy số: 101, 103, 105, .... , 997, 999.

Khoảng cách giữa mỗi số là : 2 đơn vị.

Vậy có tất cả số lẻ có 3 chữ số là:

(999 − 101) : 2 + 1 = 450 (số)

Đáp số: 450 số.

Ta có: 2019 ∙ 2021

= 2019 ∙ (2020 + 1)

= 2019 ∙ 2020 + 2019 ∙ 1

Ta lại có: 2020 ∙ 2020

= 2020 ∙ (2019 + 1)

= 2020 ∙ 2019 + 2020 ∙ 1

Vì 2019 < 2020 nên 2019 ∙ 2020 + 2 019 ∙ 1 < 2020 ∙ 2019 + 2020 ∙ 1.

Vậy 2019 ∙ 2021 < 2020 ∙ 2020.

A = 55 × 55

    = 55 × (54 + 1)

    = 54 × 55 + 55

B = 54 × 56

    = 54 × (55 + 1)

    = 54 × 55 + 54

Vì 54 × 55 = 54 × 55 ⇒ 54 × 55 + 55 > 54 × 55 + 54

Vậy A > B.

5x + x = 150 : 2 + 3

6x = 75 + 3

6x = 78

x = 78 : 6

x = 13

Vậy x = 13.

a)

+ Hình thang ABCD có EA = ED, FB = FC (gt)

⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

⇒ EF // AB // CD

+ ΔABC có BF = FC (gt) và FK // AB (cmt)

⇒ AK = KC

+ ΔABD có: AE = ED (gt) và EI // AB (cmt)

⇒ BI = ID

+ Vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

⇒ EF = $\frac{(AB+CD)}{2}$  = $\frac{(6+10)}{2}$ = 8cm.

+ ΔABD có AE = ED, DI = IB

⇒ EI là đường trung bình của ΔABD

⇒ EI =$\frac{AB}{2}$ =  $\frac{6}{2}$= 3(cm)

+ ΔABC có CF = BF, CK = AK

⇒ KF là đường trung bình của ΔABC

⇒ KF = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{6}{2}$  = 3cm

+ Lại có: EI + IK + KF = EF

⇒ IK = EF − EI − KF = 8 − 3 − 3 = 2cm.

Trường cần ít nhất số xe là:

394 : 50 = 7,88 (xe)

Vậy trường cần ít nhất là 8 xe.

A = 1² + 2² + 3² + … + n²

A = (1 . 2 – 1) + (2 . 3 – 2) + (3 . 4 – 3) + … + [n(n + 1) – n]

A = [1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1)] – (1 + 2 + 3 + … + n)

Đặt B = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1) và C = 1 + 2 + 3 + … + n.

+ Ta tính tổng B:

B = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1)

Nhân 2 vế của B với 3 ta có:

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + n(n + 1) . 3

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . (4 – 1) + 3 . 4 . (5 – 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) – (n – 1)]

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 – 1 . 2 . 3 + 3 . 4 . 5 – 2 . 3 . 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) – (n –1)n(n + 1)

3B = n (n + 1)(n + 2)

B =$\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

+ Ta tính tổng C:

C = 1 + 2 + 3 + … + n

Nhân 2 vế của C với 2 ta có:

2C = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 +…+ n . 2

2C = 1 . 2 + 2(3 – 1) + 3(4 – 2) +…+ {n.[(n + 1) – (n – 1)]}

2C = 1 . 2 – 1 . 2 + 2 . 3 – 2 . 3 + 3 . 4 – … –  n(n – 1) + n (n + 1)

2C = [1 . 2 – 1 . 2] + [2 . 3 – 2 . 3] + [3 . 4 – 3 . 4] + … – n(n – 1) + n(n + 1)

2C = 0 + 0 + 0 + …. + n.(n + 1)

2C = n.(n + 1)

C = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Do đó, A = B – C = $\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

$=\frac{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}-\frac{3n\left(n+1\right)}{6}$.

$=\frac{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-3n\left(n+1\right)}{6}$

$=\frac{n\left(n+1\right)\left[2\left(n+2\right)-3\right]}{6}$

$=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Vậy A $=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  .

 x + xy + y = 9

⇒ xy + x + y + 1 = 10

⇒ x ∙ (y + 1) + (y + 1) = 10

⇒ (x + 1) ∙ (y + 1) = 10

Mà 10 = 10 ∙ 1 = 2 ∙ 5 = 5 ∙ 2 = (–10) ∙ (–1) = (–1) ∙ (–10) = (–2) ∙ (–5) = (–5)∙(–2)

Ta có bảng các trường hợp sau:

Vậy (x, y) ∈ {(0, 9); (9, 0); (1, 4); (4, 1); (– 11, –2) ; (–2, –11); (–3, – 6); (–6, – 3)}.

Để n² + 2002 là số chính phương thì n² + 2002 = a² (a là số tự nhiên khác 0)

⇒ a² − n² = 2002

⇒ (a − n) (a + n) = 2002

Do 22002 ⋮ 2.

⇒ (a − n) (a + n) ⋮ 2 hay a – n ⋮ 2 hoặc a + n ⋮ 2 hoặc a − n và a + n đều chia hết cho 2

mà a – n − (a + n) = –2n ⋮ 2

⇒ a − n và a + n cùng chẵn hoặc lẻ ⇒ a − n; a + n đều chia hết cho 2

⇒ (a − n) (a + n) ⋮ 4

Mà 2002 không chia hết cho 4, mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại n để n² + 2002 là số chính phương.

Muốn cộng hai luỹ thừa cùng cơ số, ta cộng số mũ với nhau và giữ nguyên cơ số.

a^m + aⁿ = a^{m + n}.

Chu vi hình chữ nhật là:

(50 + 30) × 2 = 160 (cm)

Đáp số: 160 cm.

Gọi ba số đó là a, b, c:

a + b + c = 2014

Mà b + c = a

a + a = 2014

a = 2014 ⋮ 2 = 1007

Tổng số trừ và hiệu là: 2014 − 1007 = 1007

Hiệu là: (1007 − 125) : 2 = 441

Số trừ là: 441 + 125 = 566.

* Xét tứ giác ABCD, ta có:

MA = MC (gt)

MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

⇒ AD // BC và AD = BC (1)

* Xét tứ giác ACBE, ta có:

AN = NB (gt)

NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE

Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

a)

BM là trung tuyến AC

⇒ AM = CM

Xét ΔAMI và ΔCMB:

AM = CM (cmt)

$\widehat{AMI}=\widehat{CMB}$(đối đỉnh)

MB = MI (gt)

Do đó, ΔAMI = ΔCMB (c−g−c)

ΔAMI = ΔCMB

⇒ $\widehat{AIM}=\widehat{CBM}$ (2 góc tương ứng), mà 2 góc ở vị trí so le trong

⇒ AI // BC

CN là trung tuyến AB

⇒ AN = BN

Xét ΔANK và ΔBNC:

AN = BN (cmt)

$\widehat{ANK}=\widehat{BNC}$ (đối đỉnh)

NC = NK (gt)

Do đó, ΔANK = ΔBNC (c−g−c)

⇒  $\widehat{NAK}=\widehat{NBC}$(2 góc tương ứng), mà 2 góc ở vị trí so le trong

⇒ AK // CB

ΔAMI = ΔCMB

⇒ AI = BC (2 cạnh tương ứng)

ΔANK = ΔBNC

⇒ AK = BC

Từ hai điều trên ⇒ AI = AK

mà A nằm giữa I, K

⇒ A là trung điểm KI.

Ta có : 

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹

⇒ A = 2⁰ + 2¹ + + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹

A có tất cả (2011 − 0) : 1 + 1 = 2012 số hạng. Mà 2012 ⋮ 2

⇒ Ta sẽ gộp 2 số hạng của A là 1 tổng, ta có:

A = (2⁰ + 2¹) + (2² + 2³) + ... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹)

⇒ A = 1 ∙ (2⁰ + 2¹) + 2² ∙ (2⁰ + 2¹) + ... + 2²⁰¹⁰ ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ (2⁰ + 2¹)

⇒ A = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3

⇒ A + 8 = (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8

Do 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ⋮ 3

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 ≡ 0 (mod 3)

Mà 8 ≡ 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 ≡ 0 + 2 = 2 (mod 3)

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 chia 3 dư 2

⇒ (1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁰) ∙ 3 + 8 = 3k + 2

⇒ A = 3k + 2

Mà số chính phương chỉ có thể có dạng 3k hoặc 3k + 1

⇒ A không phải là số chính phương

Vậy A không phải là số chính phương.

Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên.

Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.

Theo quy tắc nhân , ta có tất cả:

26 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 2340000 (biển số).

Số cách chọn ra ba chữ cái khác nhau trong 26 chữ cái rồi đem ra sắp xếp để có được ba kí tự đầu của biển số xe là: $A_{26}^3$ cách.

Số cách chọn ra ba chữ số khác nhau trong 10 chữ số rồi đem ra sắp xếp để có được ba kí tự sau của biển số xe là: $A_{10}^3$  cách.

Theo quy tắc nhân ta có số biển đăng kí xe là  $A_{26}^3 ·A_{10}^3=11232000.$

Hồng có nhiều hơn Hà 10 viên bi, nếu Hồng cho Hà 4 viên bi thì lúc đó, Hồng mất đi 4 viên bi và Hà có thêm 4 viên bi, khi đó Hồng nhiều hơn Hà số viên bi là:

10 – 4 – 4 = 2 (viên)

Đáp số: 2 viên bi.

$\begin{array}{l}3x(x-1)+2(x-1)=0\\ \Rightarrow (3x+2)(x-1)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}3x+2=0\\ x-1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=-\frac{2}{3}\\ x=1\end{array}\right.\end{array}$

Vậy x = 1 hoặc x = – $\frac{2}{3}$ .

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 99) = 0

(x + x + x + ... + x) + (1 + 2 + 3 + ... + 99) = 0

99x + 4950 = 0

99x = – 4950

x = – 4950 : 99

x = – 50.

Vậy x = – 50.

A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3³⁰

= (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + ... + (3²⁴ + 3²⁵ + 3²⁶ + 3²⁷) + (3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰)  

= 1 (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁴ (1 + 3 + 3² + 3³) + ... + 3²⁴ (1 + 3 + 3² + 3³) + (3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰)  

= 40 + 3⁴ ∙ 40 + ... + 3²⁴ ∙ 40 + (3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰)

= 40 ∙ (1 + 3⁴ + 3²⁴) + (3²⁸ + 3²⁹ + 3³⁰)

Nhận xét: 40 ∙ (1+ 3⁴ + 3²⁴) có tận cùng là 0

3²⁸ = (3⁴)⁷ = 81⁷ = (...1)

3²⁹ = 3²⁸ ∙ 3 = (...1) ∙ 3 = (...3)

3³⁰ = 3²⁸ ∙ 3² = (...1) ∙ 9 = (...9)

⇒ A = (...0) + (...1) + (...3) + (...9) = (...3)

A có tận cùng là chữ số 3 nên A không thể là số chính phương.

Hai lần số sản phẩm do phân xưởng thứ nhất làm được là:

1200 − 120 = 1080 (sản phẩm)

Phân xưởng thứ nhất làm được số sản phẩm là:

1080 : 2 = 540 (sản phẩm)

Phân xưởng thứ hai làm được số sản phẩm là:

540 + 120 = 660 (sản phẩm)

Đáp số: phân xưởng thứ nhất: 540 sản phẩm. Phân xưởng thứ hai: 660 sản phẩm.

 35 ∙ 48 + 65 ∙ 68 + 20 ∙ 35

= 35 ∙ (48 + 20) + 65 ∙ 68

= 35 ∙ 68 + 65 ∙ 68

= (35 + 65) ∙ 68

= 100 ∙ 68

= 6800.

a.

Ta có: ABCD là hình vuông

⇒ AB // CD, AD // BC

Vì AB // CD

⇒$\frac{BM}{MC}=\frac{BF}{CD}=\frac{BF}{AB}$ vì AB = CD

Vậy $\frac{BM}{MC}=\frac{BF}{AB}$ .

b.

Ta có: AD // BC, AB // CD

⇒ $\frac{NB}{NE}=\frac{BC}{DE}=\frac{AD}{DE}=\frac{CF}{CE}=\frac{BF}{BA}=\frac{BM}{MC}$

⇒ MN // CE

⇒ MN // EF

a.

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m + 2 < 0 hay m < –1

b. 

Δ = (m + 3)² − 4(2m + 2)

    = m² + 6m + 9 − 8m − 8

    = m² − 2m + 1= (m − 1)² ≥ 0

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m 

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì  $\left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ 2m+2>0\\ m+3>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m>-1\\ m\ne 1\end{array}\right.$ .

Ta có: BC = $\sqrt{3}$ , góc A bằng 60°.

Theo định lý sin:

$\begin{array}{l}\frac{BC}{\sin A}=2R\\ \Rightarrow R=\frac{\sqrt{3}}{2\sin 60°}=1\end{array}$

Lớp 5a2 có số quyển vở là:

          300 – 300 ∙ 10% = 300 – $300·\frac{1}{10}$  = 300 – 30 = 270 (quyển vở)

Cả hai lớp có số quyển vở là:

          300 + 270 = 570 (quyển vở)

Vậy cả hai lớp có 570 quyển vở.

Đổi 12phút = $\frac{1}{5}$ giờ. ​

Gọi x (giờ) là thời gian đi từ nhà tới trường. Đk: x > 0

Quãng đường đi từ nhà tới trường theo dự định là 15x (km).

Thời gian đi từ nhà tới chỗ nghỉ là $\frac{x}{2}$  giờ.

Quãng đường đi từ nhà tới chỗ nghỉ là $\frac{15x}{2}$   km

Thời gian đi từ chỗ nghỉ tới trường là $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}$  giờ.

Quãng đường từ chỗ nghỉ tới trường là  $30\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{5}\right)$ km

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}15x=\frac{15x}{2}+30\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{5}\right)\\ \Rightarrow 15x=\frac{15x}{2}+30\left(\frac{5x-2}{10}\right)\\ \Rightarrow 15x=\frac{15x}{2}+3\left(5x-2\right)\\ \Rightarrow 30x=15x+6\left(5x-2\right)\\ \Rightarrow 30x=15x+30x-12\\ \Rightarrow x=\frac{4}{5}(\text{tm)}\end{array}$

Vậy thời gian đi từ nhà tới trường là $\frac{4}{5}$  giờ = 0,48 giờ

Bạn An đến trường lúc 6giờ + 0,48 giờ = 6giờ 48phút.

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km; x > 0)

Thời gian dự định đi hết quãng đường: $\frac{x}{40}$  (h)

Quãng đường đi được trong 2 giờ đầu: 2 ∙ 40 = 80 (km)

Quãng đường còn lại phải đi: x – 80 (km)

Thời gian đi hết quãng đường còn lại: $\frac{x-80}{50}$ (h)

Thời gian thực tế đi (không kể thời gian nghỉ): 2 +$\frac{x-80}{50}$  (h)

Thời gian thực tế đi (không kể thời gian nghỉ) ít hơn thời gian dự định đi 12 phút = $\frac{1}{5}$h

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{x}{40}-2-\frac{x-80}{50}=\frac{1}{5}\\ \iff \frac{x}{40}-\frac{x-80}{50}-\frac{11}{5}=0\\ \iff 200·\frac{x}{40}-200·\frac{x-80}{50}-200·\frac{11}{5}=0\\ \iff 5x-4\left(x-80\right)-440=0\\ \iff x-120=0\\ \iff x=120\end{array}$

Vậy độ dài quãng đường AB là 120 km.

Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n^{4(n – 2) + 3}, n thuộc {2; 3; …; 2004}).

Theo tính chất 3 thì 2³ có chữ số tận cùng là 8; 3⁷ có chữ số tận cùng là 7; 4¹¹ có chữ số tận cùng là 4; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199 ∙ (1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200 ∙ (1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4

= 9019.

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.

Vì 6 ⋮ (x − 1) nên (x − 1) ∈ Ư(6)

   Ta có Ư(6) ={1; 2; 3; 6}

   Suy ra: x − 1 = 1 ⇒ x = 2

   x – 1 = 2 ⇒ x = 3

   x – 1 = 3 ⇒ x = 4

   x – 1 = 6 ⇒ x = 7

Vậy x ∈ {2; 3; 4; 7}.

(1 + 29) + (21 + 9) + (23 + 7) + (25 + 5) + (27 + 3)

= 30 + 30 + 30 + 30 + 30

= 150.

Vậy 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 150.

Ta có:

x² – 3y² + 2xy – 2x + 6y – 8 = 0

⇒ (x – y + 1) (x + 3y – 3) = 5

Do x, y là các số nguyên nên phương trình trên tương đương với

Giải các hệ phương trình nên ta suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=1\\ x+3y-3=5\end{array}\right.\text{ hay }\left\{\begin{array}{l}x-y+1=5\\ x+3y-3=1\end{array}\right.$

x = y = 2 hay x = 4, y = 0.

x² + 2y² + 2xy + 3y − 4 = 0

⇔ 4x² + 8y² + 8xy + 12y − 16 = 0

⇔ (4x² + 8xy + 4y²) + (4y² + 12y + 9) = 25

⇔ (2x + 2y)² + (2y + 3)² = 25 = 0 + 5² = 3² + 4²

Do x; y là số nguyên và 2y + 3 là số lẻ ⇒ (2y + 3)² thuộc {5²; 3²}.

Xét các TH xảy ra:

TH1) $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ 2y+3=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$

TH2) $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ 2y+3=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-4\end{array}\right.$

TH3) $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=4\\ 2y+3=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$

TH4) $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=-4\\ 2y+3=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=-2\\ y=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}\right.$

TH5) $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=4\\ 2y+3=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ y=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-3\end{array}\right.$

TH6) $\left\{\begin{array}{l}2x+2y=-4\\ 2y+3=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=-2\\ y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}\right.$

Vậy các cặp số nguyên (x, y) ∈ {(–1, 1); (4, –4); (2, 0); (1, –3); (5, –3); (–2, 0)} thỏa mãn đề bài.

xy + y + x = 30

⇒ (xy + x) + (y + 1) = 31

⇒ (y + 1) (x + 1) = 31

Do vai trò của x, y như nhau nên các giá trị của chúng thay đổi được cho nhau.

⇒ $\left[\begin{array}{l}y+1=31\\ x+1=1\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=30\\ x=0\end{array}\right.$

⇒ (x; y) ∈ {(0; 30); (30; 0)}

Vậy (x; y) ∈ {(0; 30); (30; 0)}.

S = 1 + a + a² + ... + aⁿ

⇒ a ∙ S = 1 ∙ a + a ∙ a + a ∙ a² + ... + a ∙ aⁿ = a + a² + a³ + ... + aⁿ⁺¹

⇒ a ∙ S – S = (a + a² + a³ + ... + aⁿ⁺¹) – (1 + a + a² + ... + aⁿ)

⇒ a ∙ S – 1 ∙ S = a + a² + a³ + ... + aⁿ⁺¹ – 1 − a − a² − ... − aⁿ

⇒ S ∙ (a – 1) = (a – a) + (a² – a²) + ... + (aⁿ – aⁿ) + aⁿ⁺¹ – 1

⇒ S ∙ (a – 1) = aⁿ⁺¹ – 1

⇒ S = $\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$ .

5 km² = 5 000 000 m²

15 ha = 150 000 m²

34 dam² = 3 400 m²

98 − 96 + 94 − 92 + 90 − 88 + ... + 10 − 8 + 6 − 4

= (98 − 96) + (94 − 92) + (90 − 88) + ... + (10 − 8) + (6 − 4)

= 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 (Có 24 số 2 do có (98 – 4) : 2 + 1 = 48 số hạng trong tổng)

= 2 × 24

= 48.

Ta có: 

A = 1 + 3 + 3² + .... + 3¹¹

A = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + (3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹)

A = 1 ∙ (1 + 3 + 9) + 3³ ∙ (1 + 3 + 9) + 3⁶ ∙ (1 + 3 + 9) + 3⁹ ∙ (1 + 3 + 9)

A = 1 ∙ 13 + 3³ ∙ 13 + 3⁶ ∙ 13 + 3⁹ ∙ 13

A = 13 ∙ (1 + 3³ + 3⁶ + 3⁹) chia hết cho 13 (ĐPCM).

Ta có: 

A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹¹

A = (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + (3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹)

A = 1 ∙ (1 + 3 + 9 + 27) + 3⁴ ∙ (1 + 3 + 9 + 27) + 3⁸ ∙ (1 + 3 + 9 + 27)

A = 1 ∙ 40 + 3⁴ ∙ 40 + 3⁸ ∙ 40

A = 40 ∙ (1 + 3⁴ + 3⁸) chia hết cho 40 (ĐPCM).

a,

Xét tứ giác ABCD có  $\widehat{A}+\widehat{C}$= 180°

Nên ABCD là tứ giác nội tiếp

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b, Do $\widehat{BAD}=90°$  nên đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D là đường tròn đường kính BD. Mà AC là dây cung.

Do đó: AC ≤ BD (đpcm)

Ta có:

Tuổi Tùng: 1 phần

Tuổi mẹ : 8 phần

Tuổi bố   : 10 phần

Hiệu số phần bằng nhau của bố mẹ là:

10 − 8 = 2 (phần)

Tuổi Tùng là:

           8 : 2 = 4 (tuổi)

Đáp số: 4 tuổi.

Cách 1: Bài toán tổng hiệu

Số học sinh nam của trường là: (780 – 20) : 2 = 380 (học sinh).

Số học sinh nữ của trường là: 380 + 20 = 400 (học sinh).

Cách 2:

Gọi số học sinh nam là x (x > 0), số học sinh nữ là x + 20 (học sinh).

Ta có:

          x + x + 20 = 780

⇒ 2x + 20 = 780

⇒ 2x = 780 – 20 = 760

⇒ x = 380 (thỏa mãn đk)

Số học sinh nữ của trường tiểu học đó là: 380 + 20 = 400 (học sinh)

Vậy trường tiểu học đó có 380 học sinh nam, 400 học sinh nữ.