Thứ năm, 14/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án

Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 24)

  • 10161 lượt thi

  • 58 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án

Ta có a2 + b2 = c2 + d2.

Suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2(c2 + d2) 2   (1)

Xét A = (a2 + b2 + c2 + d2) – (a + b + c + d).

= (a2 – a) + (b2 – b) + (c2 – c) + (d2 – d).

= a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) + d(d – 1).

Vì a và a – 1 là hai số nguyên liên tiếp nên tích a(a – 1) chia hết cho 2.

Tương tự như vậy, ta có b(b – 1) 2, c(c – 1) 2 và d(d – 1) 2.

Khi đó A 2   (2)

Từ (1), (2), suy ra a + b + c + d chia hết cho 2.

Mà a, b, c, d là các số nguyên dương.

Suy ra a + b + c + d > 2.

Vậy a + b + c + d là hợp số.


Câu 2:

Cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức:

A = x3 + x2y – 3x2 + xy + y2 – 4y – x + 3.

Xem đáp án

Ta có A = x3 + x2y – 3x2 + xy + y2 – 4y – x + 3.

= (x3 + x2y – 3x2) + (xy + y2 – 3y) – (x + y – 3).

= x2(x + y – 3) + y(x + y – 3) – (x + y – 3).

= (x + y – 3)(x2 + y – 1).

= (3 – 3)(x2 + y – 1).

= 0.(x2 + y – 1).

= 0.

Vậy A = 0 khi x + y = 3.


Câu 3:

Cho hình vuông, nếu giảm cạnh hình vuông đó đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m2. Tính diện tích hình vuông ban đầu.

Xem đáp án

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a × a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) × (a – 7) = a × a – 84.

a × a – 7 × a – 7 × a + 7 × 7 = a × a – 84.

–14 × a + 49 = –84.

14 × a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: 9,5 × 9,5 = 90,25 (m2).

Đáp số: 90,25 m2.


Câu 4:

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20.

Xem đáp án

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)20

ak=C20k.120k.2k=C20k.2k, với k ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0, a1, a2, ..., a20.

Khi đó ta có akak+1akak1

C20k.2kC20k+1.2k+1C20k.2kC20k1.2k1.

20!20k!.k!20!.220k1!.k+1!20!20k!.k!20!20k+1!.k1!.2

120k2k+12k121k

3k39423k

k13k1413k14

Mà k ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có a13=C2013.213=635  043  840

Với k = 14, ta có a14=C2014.214=635  043  840  .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20 là 635 043 840.


Câu 5:

Tìm cạnh của hình vuông nếu cạnh của hình vuông giảm đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m2.

Xem đáp án

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a × a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) × (a – 7) = a × a – 84.

a × a – 7 × a – 7 × a + 7 × 7 = a × a – 84.

–14 × a + 49 = –84.

14 × a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Đáp số: 9,5 m.


Câu 6:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = –2x2 + 12x – 11.
Xem đáp án

Ta có A = –2x2 + 12x – 11.

= –2(x2 – 6x + 9) + 7.

= –2(x – 3)2 + 7.

Ta có (x – 3)2 ≥ 0, x ℝ.

–2(x – 3)2 ≤ 0, x ℝ.

–2(x – 3)2 + 7 ≤ 7, x ℝ.

Dấu “=” xảy ra x = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 7 khi và chỉ khi x = 3.


Câu 7:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 + 12x + 11.

Xem đáp án

a) A = 2x2 + 12x + 11.

= 2(x2 + 6x + 9) – 7.

= 2(x + 3)2 – 7.

Ta có (x + 3)2 ≥ 0, x ℝ.

2(x + 3)2 ≥ 0, x ℝ.

2(x + 3)2 – 7 ≥ –7, x ℝ.

Dấu “=” xảy ra x = –3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –7 khi và chỉ khi x = –3.


Câu 8:

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = –x2 + 18x + 19.

Xem đáp án

b) B = –x2 + 18x + 19.

= –(x2 – 18x + 81) + 100.

= –(x – 9)2 + 100.

Ta có (x – 9)2 ≥ 0, x ℝ.

–(x – 9)2 ≤ 0, x ℝ.

–(x – 9)2 + 100 ≤ 100, x ℝ.

Dấu “=” xảy ra x = 9.

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 100 khi và chỉ khi x = 9.


Câu 9:

a) Nêu cách xác định hình chiếu của một điểm A lên đường thẳng d.

Xem đáp án

a) Cách xác định hình chiếu của một điểm A lên đường thẳng d.

– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d.

– Tìm H là giao điểm của d và (P).

Suy ra H là hình chiếu của A trên d.


Câu 10:

b) Nêu cách xác định hình chiếu của một điểm A lên mặt phẳng (P).

Xem đáp án

b) Cách xác định hình chiếu của một điểm A lên mặt phẳng (P).

– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

– Tìm H là giao điểm của d và (P).

Suy ra H là hình chiếu của A trên (P).


Câu 11:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án
Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh. (ảnh 1)

Giả sử ta cần vẽ hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC, ta kẻ một đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H.

Vậy H là hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC.


Câu 12:

Tìm số nguyên dương n, biết: 121 ≥ 11n ≥ 1.

Xem đáp án

Ta có 121 ≥ 11n ≥ 1.

112 ≥ 11n ≥ 110.

2 ≥ n ≥ 0.

Vì n là số nguyên dương nên ta nhận n {1; 2}.

Vậy n {1; 2} thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 13:

Tìm x, biết: 2x(4x2 – 25) = 0.

Xem đáp án

Ta có 2x(4x2 – 25) = 0.

2x(2x – 5)(2x + 5) = 0.

x=02x5=02x+5=0.

x=0x=52x=52.

Vậy x=0x=52x=52 .


Câu 14:

Thực hiện phép tính: 56 : 54 + 23 . 22 – 12017.

Xem đáp án

Ta có 56 : 54 + 23 . 22 – 12017.

= 56 – 4 + 23 + 2 – 1.

= 52 + 25 – 1.

= 25 + 32 – 1.

= 57 – 1.

= 56.


Câu 15:

Liệt kê các phần tử của tập hợp sau:

a) A = {(x; x2) | x {–1; 0; 1}}.

Xem đáp án

a) Với x = –1, ta có x2 = 1.

Với x = 0, ta có x2 = 0.

Với x = 1, ta có x2 = 1.

Vậy A = {(–1; 1), (0; 0), (1; 1)}.


Câu 16:

Liệt kê các phần tử của tập hợp sau:

b) B = {(x; y) | x2 + y2 ≤ 2 và x, y ℤ}.

Xem đáp án

b) Vì x2 + y2 ≤ 2 và x, y ℤ nên x {–1; 0; 1}.

Với x = –1, ta có y2 ≤ 2 – x2 = 1.

–1 ≤ y ≤ 1.

Mà y ℤ nên y {–1; 0; 1}.

Vì vậy ta có các phần tử sau thuộc tập hợp B trong trường hợp x = –1 là: (–1; –1), (–1; 0), (–1; 1).

Ta thực hiện tương tự như vậy với các trường hợp x = 0, x = 1.

Vậy B = {(–1; –1), (–1; 0), (–1; 1), (0; –1), (0; 0), (0; 1), (1; –1), (1; 0), (1; 1)}.


Câu 17:

Tính tổng B = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5150.
Xem đáp án

Ta có B = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5150.

5B = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 5151.

Khi đó 5B – B = (5 + 52 + 53 + 54 + ... + 5151) – (1 + 5 + 52 + 53 + ... + 5150).

4B = (5 – 5) + (52 – 52) + (53 – 53) + ... + (5150 – 5150) + 5151 – 1.

4B = 5151 – 1.

Vậy B=515114 .


Câu 18:

Chứng tỏ rằng B = 1 + 5 + 52 + ... + 57 + 58 chia hết cho 31.

Xem đáp án

Ta có B = 1 + 5 + 52 + ... + 57 + 58.

= (1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) + (56 + 57 + 58).

= 31 + 53.(1 + 5 + 52) + 56.(1 + 5 + 52).

= 31 + 53.31 + 56.31.

= 31.(1 + 53 + 56).

Ta có 31 31 (hiển nhiên).

Suy ra 31.(1 + 53 + 56) 31.

Vậy B 31.


Câu 19:

Một đội công nhân gồm 40 người đã làm xong đoạn đường dài 1600 m hết 10 ngày. Nay công ty cử thêm 60 người nữa xuống làm tiếp đoạn đường dài 3200 m thì hoàn thành công việc trong bao lâu? (Biết năng suất lao động của mỗi người là như nhau).

Xem đáp án

Ta có 3200 m gấp 1600 m số lần là:

3200 : 1600 = 2 (lần)

Nếu 40 người làm xong đoạn đường 3200 m thì hết số ngày là:

10 × 2 = 20 (ngày)

1 người làm xong 3200 m đường hết số ngày là:

20 × 40 = 800 (ngày)

Nếu có thêm 60 người thì làm xong đoạn đường 3200 m hết số ngày là:

800 : (40 + 60) = 8 (ngày)

  1. Đáp số: 8 ngày.

Câu 20:

Xe thứ nhất chở được 9 tấn xi-măng, xe thứ hai chở ít hơn xe thứ nhất 700 kg xi-măng. Hỏi cả hai xe chở được bao nhiêu tạ xi-măng?

Xem đáp án

Đổi: 9 tấn = 9000 kg.

Xe thứ hai chở được số kg xi-măng là:

9000 – 700 = 8300 (kg)

Cả hai xe chở được số xi-măng là:

9000 + 8300 = 17300 (kg)

Đổi: 17300 kg = 173 tạ.

Đáp số: 173 tạ xi-măng.


Câu 21:

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

.1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b32

Xem đáp án

Đặt x=1a;  y=1b;  z=1c , với x, y, z > 0.

Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 .

Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z  .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y32 .

xy+z+1+yz+x+1+zx+y+192.

x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y92.

  x+y+z1y+z+1z+x+1x+y92 (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

x+y+z1y+z+1z+x+1x+y9>92.

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.


Câu 22:

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3a+b+c+d3

Xem đáp án

Vì a, b, c > 0 nên a3, b3, c3 > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a3, b3, c3, ta được: a3+b3+c33a3.b3.c33 .

1a3+b3+c313a3.b3.c33.

1a3+b3+c313a3.b3.c33.

Ta có     a4a3+2b3=a2ab3a3+b3+b3a2ab33a3.b3.b33=a23b(1)

Chứng minh tương tự, ta được:

  b4b3+2c3b23c (2)

 c4c3+2d3c23d  (3)

 d4d3+2a3d23a   (4)

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được:

a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3a3+b3+c3+d3=a+b+c+d3.

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Câu 23:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án

Dùng biểu đồ Ven, ta có:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C. B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B. C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C. D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C. (ảnh 1)

 Ta thấy A B C \ B C \ A.

Suy ra phương án B sai.

Vậy ta chọn phương án B.


Câu 24:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD cân.

Xem đáp án
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm OO’. Qua A, kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Chứng minh rằng tam giác MCD cân. (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của AC.

Suy ra AE = CE và OE AC    (1)

Gọi F là trung điểm của AD.

Suy ra AF = FD và O’F AD  (2)

Từ (1), (2), suy ra OE // O’F.

Mà MA CD (do giả thiết).

Do đó OE // MA // O’F.

Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang có MA là đường trung bình (vì M là trung điểm OO’).

Suy ra A là trung điểm của EF.

Do đó AE = AF.

Vì vậy 2AE = 2AF.

Suy ra AC = AD.

Khi đó A là trung điểm của CD.

Tam giác MCD có MA vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao.

Vậy tam giác MCD cân tại M.


Câu 25:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Xem đáp án
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. Gọi F là giao điểm của CN và AB. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. (ảnh 1)

a) Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Suy ra O là trung điểm của AC   (1)

Lại có M, N theo thứ tự là trung điểm của OD, OB.

Suy ra OM=12OD=12OB=ON.

Do đó O là trung điểm của MN   (2)

Từ (1), (2), ta thu được tứ giác AMCN là hình bình hành.


Câu 26:

b) Tứ giác AECF là hình gì?

Xem đáp án

b) Ta có tứ giác AMCN là hình bình hành (kết quả câu a).

Suy ra AM // CN hay AE // CF.

Mà AB // CD hay AF // CE.

Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.


Câu 27:

c) Chứng minh E, F đối xứng qua O.

Xem đáp án

c) Ta có tứ giác AECF là hình bình hành (kết quả câu b).

Suy ra hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC (chứng minh trên).

Do đó O cũng là trung điểm của EF.

Vậy E, F đối xứng qua O.


Câu 28:

d) Chứng minh EC = 2DE.

Xem đáp án

d) Gọi G là trung điểm của CE.

Mà O là trung điểm của AC (chứng minh trên).

Suy ra OG // AE hay OG // ME.

Mà M là trung điểm của OD (giả thiết).

Do đó ME là đường trung bình của tam giác ODG.

Vì vậy E là trung điểm của DG.

Suy ra DE = EG = GC.

Vậy CE = EG + GC = DE + DE = 2DE (điều phải chứng minh).


Câu 29:

Cho tam giác ABC (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm AE. Chứng minh rằng BE = 2BD.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm AE. Chứng minh rằng BE = 2BD. (ảnh 1)

Gọi I, M lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung;

AB = AC (giả thiết);

BM = CM (M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Ta có D, I lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra AC = 2CD và AB = 2BI.

Mà AB = AC (giả thiết).

Do đó 2CD = 2BI hay CD = BI.

Xét ∆BCI và ∆CBD, có:

BC là cạnh chung;

 CBI^=BCD^(∆ABM = ∆ACM);

BI = CD (chứng minh trên).

Do đó ∆BCI = ∆CBD (c.g.c).

Suy ra CI = BD (cặp cạnh tương ứng).

Tam giác ABE có C, I lần lượt là trung điểm của AE, AB.

Suy ra CI là đường trung bình của tam giác ABE.

Do đó CI // BE và 2CI = BE.

Mà CI = BD.

Vậy BE = 2BD.


Câu 30:

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AC và J là trung điểm của BH. Xác định đường tròn đi qua ba điểm I, D, J.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AC và J là trung điểm của BH. Xác định đường tròn đi qua ba điểm I, D, J. (ảnh 1)
Tam giác ACD vuông tại D có DI là đường trung tuyến.

Suy ra DI = AI = IC.

Do đó tam giác ADI cân tại I.

Vì vậy  ADI^=DAI^  (1)

Chứng minh tương tự, ta được JDH^=JHD^  .

JHD^=AHE^  (đối đỉnh).

Suy ra  JDH^=AHE^   (2)

Tam giác AHE vuông tại E:  AHE^+HAE^=90°  (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra JDH^+ADI^=90° .

Do đó  JDI^=90°.

Vậy ba điểm I, D, J cùng thuộc một đường tròn đường kính IJ.


Câu 31:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi D là 1 điểm trên cạnh AC sao cho AD=13AC , BD cắt AM tại I. Chứng minh AI = IM.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi D là 1 điểm trên cạnh AC sao cho AD=1/3AC , BD cắt AM tại I. Chứng minh AI = IM. (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của DC.

Mà M là trung điểm của BC.

Suy ra ME là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó ME // BD hay ME // ID.

Ta có AD=13AC  . Suy ra AD=12DC=DE  .

Suy ra D là trung điểm của AE.

Mà ME // ID (chứng minh trên).

Do đó ID là đường trung bình của tam giác AME.

Vì vậy I là trung điểm của AM.

Vậy AI = IM.


Câu 32:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Qua D, A kẻ các đường thẳng vuông góc với BE cắt BC theo thứ tự tự I và K. M là giao điểm của ID và CA. Chứng minh rằng:

a) AM = AC.

Xem đáp án
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Qua D, A kẻ các đường thẳng vuông góc với BE cắt BC theo thứ tự tự I và K. M là giao điểm của ID và CA. Chứng minh rằng: a) AM = AC. (ảnh 1)

a) Ta có  BDI^=AEB^(cùng phụ với ABE^ ).

BDI^=ADM^ (đối đỉnh).

Suy ra ADM^=AEB^ .

Xét ∆ADM và ∆AEB, có:

AD = AE (giả thiết);

ADM^=AEB^ (chứng minh trên);

MAD^=BAE^=90°.

Do đó ∆ADM = ∆AEB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = AB (cặp cạnh tương ứng).

Mà AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Vậy AM = AC.


Câu 33:

Chứng minh rằng:

b) IK = KC.

Xem đáp án

b) Ta có A là trung điểm MC (AM = AC) và MI // AK (cùng vuông góc với BE).

Suy ra AK là đường trung bình của tam giác IMC.

Do đó K là trung điểm của IC.

Vậy IK = IC.


Câu 34:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án
Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Ta có BAC^=90°   (do AB AC) và ba điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn (O).

Suy ra BC là đường kính của đường tròn (O) hay BC đi qua O.

Vậy ba điểm B, O, C thẳng hàng.


Câu 35:

Chứng minh rằng:

b) SABC ≤ R2.

Xem đáp án

b) Kẻ AH BC tại H.

Tam giác AOH vuông tại H có AO là cạnh huyền.

Suy ra AH < AO.

Ta có SABC=12AH.BC12.AO.BC=12R.2R=R2 .

Vậy SABC ≤ R2.


Câu 36:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Xem đáp án
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn. (ảnh 1)

Ta có MN, NP, PQ, QM lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC, BCD, ACD, ABD.

Suy ra MN // AC; NP // BD; PQ // AC; QM // BD.

Mà AC BD (giả thiết).

Do đó MN NP và PQ QM.

Vì vậy MNP^+PQM^=90°+90°=180°.

Suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MP.

Vậy M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.


Câu 37:

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 671. Chứng minh rằng

xx2yz+2013+yy2zx+2013+zz2xy+20131x+y+z.

Xem đáp án

Ta có xx2yz+2013+yy2zx+2013+zz2xy+2013 .

x2x3xyz+2013x+y2y3xyz+2013y+z2z3xyz+2013z.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:

x2x3xyz+2013x+y2y3xyz+2013y+z2z3xyz+2013zx+y+z2x3+y3+z33xyz+2013x+y+z

=x+y+z2x3+y3+z33xyz+3xy+yz+zxx+y+z

=x+y+z2x+y+z3=1x+y+z.

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Câu 39:

b) Chứng minh MB2 = MC.MD.

Xem đáp án

b) Xét ∆MBC và ∆MDB, có:

 BMD^ chung;

MBC^=MDB^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến MB và dây cung BC và góc nội tiếp chắn cung BC).

Do đó ΔMBCΔMDB  (g.g).

Suy ra MBMD=MCMB .

Vậy MB2 = MC.MD.


Câu 40:

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của CHD^ .

Xem đáp án

c) Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R.

Suy ra OM là đường trung trực của đoạn AB.

Do đó OM AB tại H.

Tam giác OMB vuông tại B có BH là đường cao: MB2 = MH.MO.

Mà MB2 = MC.MD (kết quả câu b).

Suy ra MC.MD = MH.MO.

Xét ∆MCH và ∆MOD, có:

 OMD^ chung;

MCMO=MHMD (do MC.MD = MH.MO).

Do đó  ΔMCHΔMOD(c.g.c).

Suy ra  MHC^=MDO^   (1)

Vì vậy tứ giác CDOH nội tiếp.

Do đó OHD^=OCD^  .

ODC^=OCD^  (do tam giác OCD cân tại O).

Suy ra   OHD^=ODC^  (2)

Từ (1), (2), suy ra MHC^=OHD^  .

MHC^+CHB^=90°  và  OHD^+BHD^=90°.

Khi đó  CHB^=BHD^.

Vậy AB là phân giác của CHD^ .


Câu 41:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4α – cos4α + 1 = 2sin2α.

Xem đáp án

Lời giải

a) VT = sin4α – cos4α + 1

= (sin2α – cos2α)(sin2α + cos2α) + 1

= sin2α – cos2α + 1

= sin2α + sin2α = 2sin2α = VP (điều phải chứng minh).


Câu 42:

b, (1 + cotα)sin3α + (1 + tanα)cos3α = sinα + cosα.

Xem đáp án

e) VT = (1 + cotα)sin3α + (1 + tanα)cos3α

=1+cosαsinαsin3α+1+sinαcosαcos3α

= sin3α + cosα.sin2α + cos3α + sinα.cos2α

= sin3α + cos3α + sinα.cosα.(sinα + cosα)

= (sinα + cosα)(sin2α – sinα.cosα + cos2α) + sinα.cosα.(sinα + cosα)

= (sinα + cosα)(1 – sinα.cosα + sinα.cosα)

= sinα + cosα = VP (điều phải chứng minh).


Câu 43:

Chứng minh rằng có vô số bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho a, b, c nguyên tố cùng nhau và số n = a2b2 + b2c2 + c2a2 là số chính phương.

Xem đáp án

Giả sử a, b, c là ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng a = 2k – 1, b = 2k + 1, c = 2k + 3, với k ℕ.

Khi đó bộ ba số tự nhiên (a, b, c) nguyên tố cùng nhau.

Ta có n = a2b2 + b2c2 + c2a2

= (2k – 1)2(2k + 1)2 + (2k + 1)2(2k + 3)2 + (2k + 3)2(2k – 1)2

= (4k2 – 1)2 + (2k + 3)2.[(2k + 1)2 + (2k – 1)2]

= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).[(2k + 1 + 2k – 1)2 – 2(2k + 1)(2k – 1)]

= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).[16k2 – 2(4k2 – 1)]

= 16k4 – 8k2 + 1 + (4k2 + 12k + 9).(8k2 + 2)

= 16k4 – 8k2 + 1 + 32k4 + 8k2 + 96k3 + 24k + 72k2 + 18

= 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 + 1.

Ta có 48; 96; 72; 24; 18 đều chia hết cho 3.

Suy ra 48k4; 96k3; 72k2; 24k; 18 đều chia hết cho 3, với k ℕ.

Khi đó tổng 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 chia hết cho 3, với k ℕ.

Vì vậy 48k4 + 96k3 + 72k2 + 24k + 18 + 1 chia cho 3 dư 1, với k ℕ.

Suy ra n là số chính phương.

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Câu 44:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD.

a) Chứng minh AM (SBC) và AN (SDC).

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. a) Chứng minh AM ⊥ (SBC) và AN ⊥ (SDC). (ảnh 1)

a) Ta có BC SA (do SA (ABCD)) và BC AB (do ABCD là hình vuông).

Suy ra BC (SAB).

Mà AM (SAB).

Do đó BC AM.

Mà AM SB (do M là hình chiếu của A trên SB).

Vậy AM (SBC).

Chứng minh tương tự, ta được AN (SDC).


Câu 45:

b) Chứng minh SC (AMN) và MN (SAC).

Xem đáp án

b) Ta có AM SC (do AM (SBC)) và AN SC (do AN (SDC)).

Vì vậy SC (AMN).

Suy ra SC MN    (1)

Tam giác SAB vuông tại A có AM là đường cao: SA2 = SM.SB    (*)

Tam giác SAD vuông tại A có AN là đường cao: SA2 = SN.SD    (**)

Từ (*), (**), suy ra SM.SB = SN.SD.

Do đó SMSB=SNSD .

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được MN // BD.

Ta có BD SA (SA (ABCD)) và BD AC (do ABCD là hình vuông).

Suy ra BD (SAC).

Mà MN // BD (chứng minh trên).

Vậy MN (SAC).


Câu 46:

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Xem đáp án

c) Ta có K là giao điểm của SC và (AMN).

Suy ra K SC (SAC).

Lại có MN (SAC). (kết quả câu b).

Do đó MN AK.

Vậy AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.


Câu 47:

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng  ab+c+bc+a+ca+b32.

Xem đáp án

Ta có VT=ab+c+bc+a+ca+b

=ab+c+1+bc+a+1+ca+b+13

=a+b+cb+c+b+c+ac+a+c+a+ba+b3

=a+b+c1b+c+1c+a+1a+b3

=12b+c+c+a+a+b1b+c+1c+a+1a+b3.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

b+c+c+a+a+b1b+c+1c+a+1a+b

3b+cc+aa+b3.31b+c.1c+a.1a+b3=9.

Khi đó VT=12b+c+c+a+a+b1b+c+1c+a+1a+b312.93=32  .

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Câu 48:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Xem đáp án

Hàm số đã cho có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

m<0m240m<02m22m<0.

Mà m ℤ nên m {–2; –1}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.


Câu 49:

Chọn khẳng định đúng:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương án A đúng.

Phương án B sai vì 3 điểm chung phân biệt xác định được duy nhất 1 đường tròn nên nếu hai đường tròn (O) và (O’) có 3 điểm chung phân biệt thì hai đường tròn (O) và (O’) trùng nhau.

Phương án C sai vì trường hợp tam giác tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên ngoài tam giác đó.

Phương án D sai. Sửa lại: Đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d nhỏ hơn R.

Vậy ta chọn phương án A.


Câu 50:

Hình chữ nhật (không phải hình vuông) có hai trục đối xứng là các đường nào?

Xem đáp án

Hình chữ nhật (không phải hình vuông) có 2 trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật.

Hình chữ nhật (không phải hình vuông) có hai trục đối xứng là các đường nào? (ảnh 1)

Câu 51:

So sánh: 7812 – 7811 và 7811 – 7810.

Xem đáp án

Ta có 7812 – 7811 = 7811.(78 – 1) = 7811.77.

Lại có 7811 – 7810 = 7810.(78 – 1) = 7810.77.

Vì 7811 > 7810 nên 7811.77 > 7810.77.

Vậy 7812 – 7811 > 7811 – 7810.


Câu 52:

So sánh bằng cách đưa về cùng cơ số: (0,343)8 và (–0,7)26.

Xem đáp án

Ta có (–0,7)26 = (0,7)26.

= (0,7)24.(0,7)2.

= [(0,7)3]8.(0,7)2.

= (0,343)8.(0,7)2.

Mà 0,7 < 1 nên (0,7)2 < 1.

Do đó (0,343)8.(0,7)2 < (0,343)8.

Suy ra (–0,7)26 < (0,343)8.

Vậy (–0,7)26 < (0,343)8.


Câu 53:

Tìm số bộ (x, y, z, t) nguyên không âm thỏa mãn x + y + z + t = 40 và x, y, z, t là các số lẻ.

Xem đáp án

Đặt x=2a1y=2b1z=2c1t=2d1  , với a, b, c, d là các số nguyên dương.

Suy ra 2(a + b + c + d) – 4 = x + y + z + t = 40.

Do đó a + b + c + d = 22.

Theo nguyên lí “chia kẹo Euler” thì số bộ nghiệm nguyên dương của phương trình trên là .

Vậy có 1330 số bộ (x, y, z, t) thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 54:

Giải phương trình x2 + 5x + 3 = 0.
Xem đáp án

Ta có x2 + 5x + 3 = 0   (*)

Ta có ∆ = b2 – 4ac = 52 – 4.1.3 = 13 > 0.

Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Hai nghiệm là: x1=b+Δ2a=5+132x2=bΔ2a=5132

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là  S=5±132.


Câu 55:

Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1 = 2x1 – x2; y2 = 2x2 – x1.

Xem đáp án

Ta có x2 – 5x + 3 = 0.

Theo Viet: S = x1 + x2 = 5.

                    P = x1x2 = 3.

Ta có:

y1 + y2 = 2x1 – x2 + 2x2 – x1 = x1 + x2 = 5.

y1y2=2x1x22x2x1=5x1x22x12+x22 .

= 9x1x2 – 2(x1 + x2)2 = 9.3 – 2.52 = –23.

Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình y2 – 5y – 23 = 0.


Câu 56:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án

Ta có đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2.

Suy ra ta có thể viết f(x) dưới dạng: f(x) = x4 + ax2 + b = (x2 – 3x + 2)Q(x) (trong đó Q(x) là đa thức thương).

Do đó x4 + ax2 + b = (x – 1)(x – 2)Q(x).

Với x = 1, ta có: 1 + a + b = 0. Suy ra a + b = –1   (1)

Với x = 2, ta có: 16 + 4a + b = 0. Suy ra 4a + b = –16   (2)

Từ (1), (2), suy ra a = –5, b = 4.

Do đó f(x) = x4 – 5x2 + 4.

Ta lại có:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương. (ảnh 1)

Vậy a = –5, b = 4 và đa thức thương Q(x) = x2 + 3x + 2.


Câu 57:

So sánh bằng cách đưa về cùng cơ số: (–0,125)4 và (0,5)12.

Xem đáp án

Ta có (–0,125)4 = (0,125)4.

Lại có (0,5)12 = [(0,5)3]4 = (0,125)4.

Vậy (–0,125)4 = (0,5)12.


Câu 58:

Giải phương trình 2x212x+34+4x224x+40=3+6xx2 .

Xem đáp án

Ta có   2x212x+34+4x224x+40=3+6xx2  (*)

Ta có 2x212x+34=2x26x+9+16=2x32+1616=4 .

Chứng minh tương tự, ta được 4x224x+402  .

Khi đó 2x212x+34+4x224x+404+2=6  .

Lại có –3 + 6x – x2 = –(x – 3)2 + 6 ≤ 6.

Vì vậy (*) đúng  2x212x+34=164x224x+40=43+6xx2=62x32=04x32=0x32=0x=3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.


Bắt đầu thi ngay