Khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp trong dãy là: 6

Trung bình cộng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) : 2

                                                            = (3 + 51) : 2 = 54 : 2 = 27

 Vậy trung bình cộng của dãy số trên là 27.

Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là b, theo đề bài ta có:

a × 5 = b × 3$\Rightarrow a=\frac{3}{5}\times b$

Mà b – a = 308

Do đó $b-\frac{3}{5}\times b=308$

               $\frac{2}{5}\times b=308$

$b=\frac{308\times 5}{2}$

              b = 770.

Khi đó $a=\frac{3}{5}\times b=\frac{3\times 770}{5}=462$

Vậy hai số cần tìm là 462 và 770.

Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là b, theo đề bài ta có: $a\times 4=b\times 3\Rightarrow a=\frac{3}{4}\times b$

Mà b – a = 308

$b-\frac{3}{4}\times b=308\iff \frac{1}{4}\times b=308$

$b=308\times 4\iff b=1232$

$a=\frac{3}{4}\times b=\frac{3\times 1232}{4}=924$

Vậy hai số cần tìm là 924 và 1232.

T = (100² + 98² + … + 2²) – (99² + 97² +…+1²)

T = (100² – 99²) + (98² – 97²) +…+ (2² – 1²)

T = (100 – 99) (100 + 99) + (98 – 97) (98+97) + … + (2 – 1) (2 + 1)

T = 1. (100 + 99) + 1. (98 + 97) + … + 1. (2 + 1)

T = 100 + 99 + 98 + … + 2 + 1

 $T=\frac{100.\left(100+1\right)}{2}=5050$

Đổi 2 dm 4 cm = 24 cm ;  $\frac{1}{4}$m = 25 cm

Diện tích hình bình hành ABCD là:

25 × 24 = 600 (cm²)

Đổi 600 cm² = 6 dm²

Đáp số : 6 dm².

Đổi: 3 km 7 hm = 3700 m

Nửa chu vi khu nghỉ mát là: 3700 : 2 = 1850 (m)

Tổng số phần bằng nhau là: 4 + 1 = 5 (phần)

Chiều rộng khu nghỉ mát là: 1850 : 5 × 1 = 370 (m)

Chiều dài khu nghỉ mát là: 370 × 4 = 1480 (m)

Diện tích khu nghỉ mát là: 1480 × 370 = 547 600 (m²)

Đổi: 547 600 m² = 54,76 ha

Đáp số: 547 600 m²; 54,76 ha.

a) 2axy – 4a² xy² + 6a³x² = 2ax(y − 2ay² + 3a²x);

b) 5a²xy – 10a³x – 15ay = 5a(axy − 2a²x − 3y);

c) mxy – m²x + my = m(xy – mx + y);

d) 2mx – 4m²xy + 6mx = 2mx(1 – 2my + 3);

e) a²b – 2ab² + ab = ab(a – 2b + 1);

g) 5a²b – 2ab² + ab = ab(5a – 2b + 1);

h) –3x²y³ – 6x³y² – x²y² = –x²y²(3y + 6x + 1);

i) 5x²y⁴ – 10x⁴y² + 5x²y² = 5x²y² (y² – 2x² + 1).

1 người ăn số gạo đó trong số ngày là: 45 × 6 = 270 (ngày)

54 người ăn thì số gạo đó ăn trong số ngày là: 270 : 54 = 5 (ngày)

Số ngày giảm đi khi có 54 người ăn là: 6 – 5 = 1 (ngày)

Đáp số: 1 ngày.

Gọi số tiền mỗi người ít phải trả là a (đồng; a ∈ )

Theo bài ra:

a chia hết cho 1200

a chia hết cho 1500

a chia hết cho 2000

Þ a ∈ BC (1200, 1500, 2000)

Ta có:

1200 = 2⁴.5².3;

1500 = 2².3.5³;

2000 = 2⁴.5³.

Þ BCNN (1200, 1500, 2000) = 2⁴.5³.3 = 6000

Þ a = 6000 đồng

Số bút mua được với giá 1200 đồng là: 6000 : 1200 = 5 (bút);

Số bút mua được với giá 1500 đồng là: 6000 : 1500 = 4 (bút);

Số bút mua được với giá 2000 đồng là: 6000 : 2000 = 3 (bút).

Ta có:     $\frac{a}{a^3+b^2+c}=\frac{a\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}{\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}\le \frac{1+a+ac}{{\left(a+b+c\right)}^2}=\frac{1+a+ac}{9}$

$\frac{b}{b^3+c^2+a}=\frac{b\left(\frac{1}{b}+1+a\right)}{\left(b^3+c^2+a\right)\left(\frac{1}{b}+1+a\right)}\le \frac{1+b+ba}{{\left(a+b+c\right)}^2}=\frac{1+b+ba}{9}$

$\frac{c}{a^3+b^2+c}=\frac{c\left(\frac{1}{c}+1+b\right)}{\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{c}+1+b\right)}\le \frac{1+c+cb}{{\left(a+b+c\right)}^2}=\frac{1+c+cb}{9}$       

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:

$\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le \frac{3+a+b+c+ac+ba+cb}{9}$

$\iff \frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le \frac{3+\left(a+b+c\right)+\left(ac+ba+cb\right)}{9}$

Mà   $3\left(ab+bc+ca\right)\le {\left(a+b+c\right)}^2=9\Rightarrow ab+bc+ca\le 3$

Khi đó $\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le \frac{3+3+3}{9}=1$

Cách 1:

Nửa chu vi hình bình hành là: 900 : 2 = 450 (cm).

Tổng số phần bằng nhau của nửa chu vi là: 1 + 2 = 3 (phần)

Độ dài cạnh đáy hình bình hành là: 450 : 3 × 2 = 300 (cm).

Chiều cao hình bình hành là: 300 : 4 = 75 (cm).

Diện tích hình bình hành là: 300 × 75 = 22 500 (cm²).

Cách 2:

Gọi độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b, chiều cao là h.

Do độ dài cạnh đáy gấp 2 lần cạnh bên nên a = 2b.

Ta có: a + b = 900 cm : 2 = 450 cm

⇔ 2b + b = 450 cm

⇔ 3b = 450 cm

⇔ b = 150 cm

⟹ a = 2b = 2 × 150 cm = 300 cm.

Mà theo giả thiết: a = 4h Þ h = a : 4 = 300cm : 4 = 75 cm

Diện tích hình bình hành: S = a × h = 300 cm × 75 cm = 22 500 cm².

Vậy diện tích hình bình hành đó là 22 500 cm².

Cách 1:

Thửa ruộng thứ nhất bác Tư thu hoạch được là: (75 – 7) : 2 = 34 (tạ thóc).

Thửa ruộng thứ hai bác Tư thu hoạch được là: 34 + 7 = 41 (tạ thóc).

Cách 2:

Gọi a và b lần lượt là số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng thứ nhất và thứ hai (tạ), (a, b > 0).

Theo đề bài ta có: a + b = 75

⟺ a + (a + 7) = 75

⟺ 2a = 75 – 7

⟺ a = 68 : 2

⟺ a = 34

⇒ b = a + 7 = 34 + 7 = 41

Lời giải

Minh Quang Đã trồng 9 cây (theo hình ngôi sao).

Đổi: 5 km 60 dam = 5 600m

a) Nửa chu vi khu rừng đó là: 5 600 : 2 = 2 800 (m)

Chiều rộng khu rừng đó là: (2 800 – 800) : 2 = 1 000 (m)

Chiều dài khu rừng đó là: 1 000 + 800 = 1 800 (m)

Diện tích khu rừng đó là : 1 800 × 1 000 = 1 800 000 (m²) = 180 ha.

b) Diện tích phần còn lại của khu rừng chiếm:

     $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$   (diện tích khu rừng)

Tỉ số diện tích trồng cây mới và diện tích còn lại của khu rừng là : $\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

Đáp số: a) 1 800 000 m²; 180 ha.

             b)  $\frac{1}{2}$.

Tổng độ dài hai đáy của hình thang là:

455 × 2 : 13 = 70 (m)

Độ dài đáy lớn của hình thang là:

(70 + 5) : 2 = 37,5 (m)

Độ dài đáy bé của hình thang là:

37,5 – 5 = 32,5 (m)

Đáp số: 37,5 m ; 32,5 m.

Gọi số bị chia là a; số chia là b

Ta có:

(a × 4) : (b × 4) = 25 (dư 24)

⇔ (a : b) × (4 : 4) = 25 (dư 24)

⇔ a : b = 25 (dư 24)

⇔ a = 25 × b + 24

Mà số dư là số lớn nhất có thể suy ra b sẽ là số bé nhất có thể và lớn hơn 24 nên b chỉ có thể bằng 25

⇒ a = 25 × 25 + 24 = 649

Vậy số bị chia là 649; số chia là 25.

1 người làm công việc đó trong số ngày là:

45 × 14 = 630 (ngày)

Vậy có 70 người thì làm xong trong số ngày là:

630 : 70 = 9 (ngày)

Đáp số: 9 ngày.

Gọi thương của phép chia là B

A : 21 = B (dư 7)

A = B × 21 + 7

Nếu bớt A đi 7 đơn vị thì phép chia trở thành phép chia hết và thương không đổi.

Nếu thương giảm đi 3 đơn vị, số bị chia cần giảm tiếp là 3 × 21 = 63 đơn vị

Vậy số bị chia cần giảm đi là: 7 + 63 = 70 đơn vị.

Gọi 7 số nguyên dương phải tìm là x₁, x₂, ...., x₇. Ta có:

Giả sử x₁ ≥ x₂ ≥ ....... ≥ x₇ ≥ 1 có:

 $x_1^2.x_2^2\mathrm{...}{x}_7^2\le 2.7x_1^2=14x_1^2$

$\Rightarrow x{}_2{}^2.\mathrm{...}{x}_7^2\le 14$

$\Rightarrow x_2\mathrm{....}{x}_7\le \sqrt{14}<4=2^2$

⇒ x₂ = … = x₇ = 1

$\Rightarrow x_1^2.x_2^2=2\left(x_1^2+x_2^2+5\right)$

Đặt   với a, b là các số nguyên dương chính phương:

ab = 2a + 2b + 10 ⇔ (a – 2)(b – 2) = 14.1 = 7.2

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}a-2=14\\ b-2=2\end{array}\right.\Rightarrow b=3$  không là số chính phương

Trường hợp 2:  $\left\{\begin{array}{l}a-2=7\\ b-2=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=4\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=2\end{array}\right.$

Vậy 7 số cần tìm lần lượt là: 3; 2; 1; 1; 1; 1; 1.

Gọi d = (2n – 1; 9n + 4) ⇒ 2n – 1; 9n + 4 chia hết cho d

Þ 2(9n + 4) – 9(2n – 1) = 18n + 8 – 18n + 9 = 17 chia hết cho d

Þ d = 1 hoặc d = 17

Nếu 1 trong 2 số 2n – 1; 9n + 4 chia hết cho 17 thì ƯCLN(2n – 1; 9n + 4) = 17.

Nếu 1 trong 2 số 2n – 1; 9n + 4 không chia hết cho 17 thì ƯCLN(2n – 1; 9n + 4) = 1.

Từ M kẻ MK // BD (K thuộc DC)

Xét ∆DBC có: MK // BD, MB = MC (theo giả thiết)

⇒ MK là đường trung bình của ∆DBC

⇒ CK = DK (1)

Xét ∆AMK có: MK // ID, IA = IM (theo giả thiết)

⇒ ID là đường trung bình của ∆AMK

⇒ DA = DK (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CK = DA

Mà CK = $\frac{DC}{2}$

Vậy $AD=\frac{1}{2}DC$

Ta có: ${27}^4:9^3={\left(3^3\right)}^4:{\left(3^2\right)}^3=3^{12}:3^6=3^{12-6}=3^6$  .

b) .$x^2+y^2+z^2\ge 2xy-2xz+2yz$

$\iff x^2+y^2+z^2+2\left(-xy+xz-yz\right)\ge 0$

$\iff {\left(x-y+z\right)}^2\ge 0$

Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.

a) $x^2+y^2+z^2\ge 2xy-2xz+2yz$

$\iff x^2+y^2+z^2+2\left(-xy+xz-yz\right)\ge 0$

$\iff {\left(x-y+z\right)}^2\ge 0$

Điều trên luôn đúng x, y, z nên ta có điều phải chứng minh.

b) Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x² và 1 ta được:

 .$x^2+1\ge 2\sqrt{x^2}=2\left|x\right|=2x$(1)

Tương tự ta có:

y² + 1 ≥ 2y (2)

z² + 1 ≥ 2z (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được 

x² + y² + z² + 3 ≥ 2(x + y + z) (điều phải chứng minh).

Nửa chu vi của thửa ruộng đó là: 400 : 2 = 200 (m).

Coi chiều dài là 3 phần và chiều rộng là 2 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 2 = 5 (phần)

Chiều dài thửa ruộng là: 200 : 5 × 3 = 120 (m)

Chiều rộng thửa ruộng là: 200 – 120 = 80(m)

Diện tích thửa ruộng là: 120 × 80 = 9600 (m²)

Trên thửa ruộng đó thu hoạch được:

         9600 : 100 × 50 = 4800(kg) = 48 (tạ)

              Đáp số: 48 tạ thóc.

Diện tích căn phòng đó là: 12 . 8 = 96 (m²)

Diện tích một viên gạch là: 40 . 40 =1600 (cm²)

Đổi: 1600 cm² = 0,16m²

Số gạch dùng để lát nền là: 96 : 0,16 = 600 (viên).

Đáp số: 600 viên gạch.

Ta có: (27² . 9² – 171⁵ : 19⁵) : 2019²⁰¹⁸

= [(27.9)² – (171 : 19)⁵] : 2019²⁰¹⁸

= (243² – 9⁵) : 2019²⁰¹⁸

= (59 049 – 59 049) : 2019²⁰¹⁸

= 0.

Tứ giác ABCD có  $\widehat{B}=\widehat{D}=90°$, mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Xét đường tròn đường kính AC ta có BD là dây cung không đi qua tâm, nên: BD < AC

Ta có: AC = BD khi và chỉ khi BD là đường kính. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2018x-y^2=2018y-z^2\\ 2018y-z^2=2018z-x^2\\ 2018z-x^2=2018x-y^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2018\left(x-y\right)=\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(1\right)\\ 2018\left(y-z\right)=\left(z-x\right)\left(z+x\right)\left(2\right)\\ 2018\left(z-x\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(3\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2018x-y^2=2018y-z^2\\ 2018y-z^2=2018z-x^2\\ 2018z-x^2=2018x-y^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2018\left(x-y\right)=\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(1\right)\\ 2018\left(y-z\right)=\left(z-x\right)\left(z+x\right)\left(2\right)\\ 2018\left(z-x\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(3\right)\end{array}\right.$

Lấy (1) . (2) . (3) ta được:

2018³ . (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(z – x)(x + y)(y + z)(z + x)

⇔ 2018³ = (x + y)(y + z)(z + x)

⇔ x + y = y + z = z + x = 2018

⇔ x = y = z

Theo đề bài, ta có:

2018x – y² = 2018y – z² = 2018z – x² = 2017

⇔ 2018x – x² = 2018y – y² = 2018z – z² = 2017

Có: 2018x – x² = 2017

⇔ x² – 2018x + 2017 = 0

⇔ x² – x – 2017x + 2017 = 0

⇔ x(x – 1) – 2017(x – 1) = 0

⇔ (x – 2017)(x – 1) = 0

⇔ x = 2017 hoặc x = 1

Vậy x = y = z = 2017 hoặc x = y = z = 1.

Khách hàng mua chiếc áo đó phải trả số tiền là:

350 000 – (350 000 × 10%) = 315 000 (đồng)

Khách hàng mua chiếc quần đó phải trả số tiền là:

350 000 – (350 000 × 30%) = 245 000 (đồng)

 Đáp số: 245 000 đồng.

Đổi:  $\frac{1}{4}m$= 25 dm ; 2 dm 4 cm = 2,4 dm

Diện tích hình bình hành là: 25 × 2,4 = 33,6 (dm²)

Đáp số: 33,6 dm².

Lời giải

17 × 26 + 26 × 44 + 39 × 26

= 26 × (17 + 44 + 39)

= 26 × 100

= 2 600.

1hm 25m = 125 m

Chiều cao của khu đất hình bình hành là:

$125\times \frac{4}{5}=100$(m)

Diện tích khu đất hình bình hành là:

100 × 125 = 12 500 (m²) = 1,25 (ha)

Đáp số: 1,25 ha.

Ta có: 2(a + 7b) = 2a + 14b = 2a + 3b + 11b.

Vì (2a + 3b) ⋮ 11 và 11b ⋮ 11 nên theo tính chất chia hết của một tổng ta có:

2a + 3b + 11b chia hết cho 11

Hay 2(a + 7b) ⋮ 11

Mà $2\cancel{⋮}11$  nên a + 7b chia hết cho 11.

a) Ta có: a⁴ = b⁴ + c⁴ < (b² + c²)² ⇒ a² < b² + c²

Lại có: b⁴ < b⁴ + c⁴ = a⁴ ⇒ b² < a²

Theo định lý cosin thì tam giác ABC là tam giác nhọn.

b) Ta có: $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{b}{2R.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}=\frac{abc}{R\left(a^2+c^2-b^2\right)}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \tan B.\tan C=\frac{a^2{b}^2{c}^2}{R^2\left[a^4-{\left(b^2-c^2\right)}^2\right]}=\frac{a^2{b}^2{c}^2}{R^2\left[b^4+c^4-{\left(b^2-c^2\right)}^2\right]}\\ =\frac{a^2{b}^2{c}^2}{R^2.2b^2{c}^2}=\frac{a^2}{2R^2}=2{\left(\frac{a}{2R}\right)}^2=2{\sin }^{2}A\end{array}$

2 ha = 20 000 m²

39 678 m² = 3 ha 9678 m²

978 m² = 0,0978 ha

690 000 m² = 69 ha

A = 6 + 16 + 30 + 48 + ... + 19 600 + 19 998

A : 2 = 3 + 8 + 15 + 24 + . . . + 9 800 + 9 999

A : 2 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + . . . + 98.100 + 99.101

A : 2 = 1.[1 + 2] + 2.[1 + 3] + 3.[1 + 4] + 4.[1 + 5] + . . . + 98.[1 + 99] + 99.[1 + 100]

A : 2 = 1 + 1 . 2 + 2 + 2 . 3 + 3 + 3 . 4 + 4 + 4 . 5 + . . . + 98 + 98 . 99 + 99 + 99 . 100

A : 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 199 + 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + . . . + 98 . 99 + 99 . 100

A : 2 = 4 950 + 333 300

A = 676 500

Lúc cha sinh ra con là 27 tuổi . Vậy cha hơn con 27 tuổi

Tuổi cha là : (53 + 27) : 2 = 40(tuổi)

Tuổi con là : 53 - 40 = 13 (tuổi)

Đáp số: cha: 40 tuổi

               con: 13 tuổi

Ta có: 3c² = c(a + b) + ab ⇒ 4c² = c² + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)

Vì a – b là số nguyên tố ⇒ a > b và a + c > b + c ⇒ (b + c)² < (a + c)(b + c) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ b + c < 2c ⇒ b < c (3)

Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố

⇒ Hoặc a – b ∈ ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1

* Nếu a – b = p ∈ ƯC(a + c, b + c) ⇒ a + c = p.k và b + c = p.h (k, h ∈ ℕ)

⇒ pk – ph = a – b = p ⇒ k – h = 1 (vì p ≠ 0) ⇒ k = h + 1

Khi đó (1) trở thành (2c)² = p²kh = p²k(k + 1) ⇒ k(k + 1) là số chính phương.

Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

⇒ k = 0 ⇒ b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))

* Nếu (a + c, b + c) = 1

Từ (1) ⇒ (2c)² = (a + c)(b + c)

Đặt a + c = m² và b + c = n² (m, n ∈ ℕ)

⇒ m² – n² = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.

Mà m – n < m + n ⇒ m – n = 1 và m + n = a – b

Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)² là số chính phương.

Vậy 8c + 1 là số chính phương.

Xét tứ giác ADME có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90°$

Nên ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật, do đó DE = AM.

Khi đó DE_min ⇔ AM_min

Kẻ AH ⊥ BC với H ∈ BC, ta được AM ≥ AH

Suy ra: AM_min ⇔ AM = AH ⇔ M ≡ H ⇔ AM ⊥ BC

Vậy DE_min ⇔ AM ⊥ BC

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác vuông ABC ta được:

AH² = BH . CH = 2 . 8 = 16 cm

⟹ AH = 4 cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H ta được:

AB² = AH² + HB² = 4² + 2² = 20

$\Rightarrow AB=2\sqrt{5}$cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACH vuông tại H ta được:

AC² = AH² + HC² = 4² + 8² = 80

$\Rightarrow AC=4\sqrt{5}$cm

Vậy: AH = 4 cm, $AB=2\sqrt{5}$  cm, $AC=4\sqrt{5}$ cm.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC, ta được:

HE . AC = AH . HC

 $\iff HE. 4\sqrt{5}=4.8=32\Rightarrow HE=\frac{{\displaystyle 8\sqrt{5}}}{{\displaystyle 5}}$  cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH, ta được:

AH . BH = HD . AB

 $\iff HD.2\sqrt{5}=2.4=8$

$\iff HD=\frac{4\sqrt{5}}{5}$cm

Ta có $HE:HD=\frac{8\sqrt{5}}{5}:\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.\frac{5}{4\sqrt{5}}=2$

Vậy HE = 2HD (điều phải chứng minh).

Xét khai triển: ${(1+x)}^n=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}x+C_n^2{1}^{n-2}{x}^2+C_n^3{1}^{n-3}{x}^3+\mathrm{...}+C_n^n{x}^n$

$=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+C_n^3{x}^3+\mathrm{...}+C_n^n{x}^n$

Thay x = –1 ta được:

           ${\left(1-1\right)}^n=C_n^0+C_n^1\left(-1\right)+C_n^2{\left(-1\right)}^2+C_n^3{\left(-1\right)}^3+\mathrm{...}+C_n^n{\left(-1\right)}^n$

$=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n$

$\Rightarrow C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n=0$

Vì hiệu hai số bằng  $\frac{1}{4}$  số bé nên số lớn có số phần là: 1 + 4 = 5 (phần)

Ta coi số bé là 4 phần bằng nhau thì số lớn là 5 phần như thế

Giá trị 1 phần là: 279 : (4 + 5) = 31

Số bé là: 31 × 4 = 124

Số lớn là: 31 × 5 = 155

Đáp số: 124 và 155.

Trong phép chia có dư, ta có: Số bị chia = Thương × số chia + số dư

Theo bài ra ta có:

Số bị chia = thương × 5 + số dư

= thương × 5 + thương × 3

= thương × (5 + 3)

= thương × 8

Vì số dư luôn nhỏ hơn số chia, nên: số dư < 5 hay thương × 3 < 5

Mà theo bài ra, số bị chia lớn hơn 0 nên thương phải khác 0

Vậy số bị chia là 1 × 8 = 8

 Đáp số: 8.

Tổng số vở của lớp 4A và 4B là: 66 + 56 = 122 (quyển vở)

Số vở lớp 4C quyên góp được là: 122 – 52 = 70 (quyển vở)

Trung bình mỗi lớp quyên góp được số quyển vở là:

(66 + 56 + 70) : 3 = 64 (quyển vở)

Đáp số: 64 quyển vở.