- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
- Đề số 86
- Đề số 87
- Đề số 88
- Đề số 89
- Đề số 90
- Đề số 91
- Đề số 92
- Đề số 93
- Đề số 94
- Đề số 95
- Đề số 96
- Đề số 97
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 30)
-
10176 lượt thi
-
91 câu hỏi
-
50 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
A =
Để A có giá trị là số nguyên thì 1 chia hết cho x + 2.
Suy ra x + 2 = 1 hoặc x + 2 = –1.
Hay x = –1 hoặc x = –3.
Vậy x ∈ {–1; –3}.
Câu 2:
Tìm x, y > 0 biết x – y = 7 và xy = 60.
Ta có:
x – y = 7 ⇔ x = y + 7
Lại có: xy = 60
⇔ (y + 7)y – 60 = 0
⇔ y2 + 7y – 60 = 0
⇔
Vì y > 0 nên y = 5.
Với y = 5 thì x = 5 + 7 = 12.
Vậy (x; y) = (12; 5).
Câu 3:
Tìm số tự nhiên n biết 3n + 4n = 5n.
3n + 4n = 5n
Xét n = 2, ta có: 32 + 42 = 52 (đúng).
Xét n = 3, ta có: 33 + 43 ≠ 53
Xét n > 3, n có dạng n = 3k; 3k + 1; 3k + 2.
+ Nếu n = 3k ta có: 3n + 4n = 5n
⇔ 33k + 43k = 53k
⇔ 64k = 125k – 27k
Ta thấy 125k ⋮ 3 và 27k ⋮ 3 nên 125k – 27k ⋮ 3
Mà 64k không chia hết cho 3. Suy ra vô lí.
Vậy trường hợp này vô nghiệm.
+ Nếu n = 3k + 1 ta có:
33k+1 + 43k+1 = 53k+1
3 . 27k + 4 . 64k = 5 . 125k
Ta thấy 5. 125k ⋮ 3 và 3 . 27k ⋮ 3
Mà 64k không chia hết cho 3. Suy ra 4 . 64k không chia hết cho 3.
Vậy trường hợp này vô nghiệm.
+ Nếu n = 3k + 2 ta có:
33k+2 + 43k+2 = 53k+2
9 . 27k + 16 . 64k = 25 . 125k
Chứng minh tương tự như trên, trường hợp này cũng vô nghiệm.
Vậy n = 2.
Câu 4:
Tìm x sao cho x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 là số chính phương.
x4 + 2x3 + x2 < x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 < x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4
(x2 + x)2 < x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 < (x2 + x + 2)2
Suy ra: x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 = (x2 + x + 1)2
⇔ x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
⇔ x2 + x – 2 = 0
⇔
Vậy x = 1 hoặc x = –2.
Câu 5:
Sử dụng định lí: r5 – (r – 1)5 = 5r4 – 10r3 + 10r2 – 5r + 1.
Với r = 1 đến r = n, ta có:
15 – 05 = 5 . 14 – 10 . 13 + 10 . 12 – 5 . 1 + 1
25 – 15 = 5 . 24 – 10 . 23 + 10 . 22 – 5 . 2 + 1
35 – 25 = 5 . 34 – 10 . 33 + 10 . 32 – 5 . 3 + 1
...
n5 – (n – 1)5 = 5n4 – 10n3 + 10n2 – 5n + 1
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
n5 = 5(14 + 24 + ... + n4) – 10(13 + 23 + ... + n3) + 10(12 + 22 + ... + n2) – 5(1 + 2 + ... + n) + n
⇔ n5 = 5S – 10 . + 10 . + n
⇒ 5S = n5 + 10 . – 10 . +
=
=
=
=
.Câu 6:
Biểu đồ ven là gì?
Biểu diễn tập hợp bằng một vòng tròn kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu bằng bởi một chấm trong vòng tròn kín, còn phần tử không thuộc tập hợp biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng tròn kín (biểu diễn như hình dưới đây). Cách biễu diễn tập hợp như trên gọi là biểu đồ ven.
Câu 8:
Phân tích thành nhân tử (bằng kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức): x2 + x – 20.
x2 + x – 20
= x2 – 4x + 5x – 20
= x(x – 4) + 5(x – 4)
= (x – 4)(x + 5).
Câu 9:
Biểu diễn mỗi tập hợp số chẵn lẻ sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó:
a) A = {13; 15; 17; …; 29};
b) B = {22; 24; 26; …; 42};
a) Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp A là các số tự nhiên lẻ lớn hơn 12 và nhỏ hơn 30.
Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:
A = {x | x là số tự nhiên lẻ, 12 < x < 30}.
b) Ta nhận thấy các phần tử của tập hợp B là các số tự nhiên chẵn lớn hơn hoặc bằng 22 và nhỏ hơn hoặc bằng 42.
Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:
B = {x|x là số tự nhiên chẵn, 22 ≤ x ≤ 42}.
Câu 10:
Biểu diễn mỗi tập hợp số chẵn lẻ sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó:
c) C = {7; 11; 15; 19; 23; 27};
d) D = {4; 9; 16; 25; 36; 49}.
c) Cách 1:
Ta có:
7 = 4.1 + 3; 11 = 4.2 + 3; 15 = 4.3 + 3; 19 = 4.4 + 3; 23 = 4.5 + 3; 27 = 4.6 + 3.
Ta nhận thấy các số trên đều có dạng 4.x + 3 với x ∈ {1,2,3,4,5,6} .
Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:
C = {4x + 3| x là số tự nhiên, 0 < x < 7}.
Cách 2:
Ta nhận thấy các phần tử trong tập hợp C là các số tự nhiên lẻ và cách nhau 4 đơn vị.
C = {xk| xk là số tự nhiên lẻ, xk+1 – xk = 4,k ∈ N }.
d) Ta thấy các phần tử của tập hợp D là các số chính phương lớn hơn 3 và nhỏ hơn 50.
Theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng, ta viết:
D = {x| x là số chính phương, 3 < x < 50}.
Câu 12:
Tính giá trị của các phép tính sau:
a) 19345 : 53
b) 2632 : 28
c) 3358 : 46
a) 19345 : 53 = 365
b) 2632 : 28 = 94
c) 3358 : 46 = 73
Câu 13:
a) Không tính tổng A, biết A = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 260. Chứng tỏ A chia hết cho 7.
a) A = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 260
A = (1 + 21 + 22) + (23 + 24 + 25) + … + (258 + 259 + 260)
A = 7 + 23 (1 + 21 + 22) + … + 258 (1 + 21 + 22)
A = 7 (1 + 23 + … + 258)
Vì 7 ⋮ 7 nên 7 (1 + 23 + … + 258) ⋮ 7
Vậy A ⋮ 7
Câu 14:
b) Tìm x biết 2x = a + 1 với a là số liền sau của số nhỏ nhất có 2 chữ số.
b) Số nhỏ nhất có 2 chữ số là 10. Nên số liền sau nó là 11.
Khi đó: 2x = 11 + 1 = 12
⇔ x = 12 : 2
⇔ x = 6.
Vậy x = 6.
Câu 15:
a + b + c = 0
⇔ (a + b + c)2 = 0
⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
⇔ ab + bc + ca = –7.
Bình phương 2 vế ta có:
(ab + bc + ca)2 = 49
⇔ a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc (a + b + c) = 49
⇔ a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49.
Lại có:
a2 + b2 + c2 = 14
⇔ (a2 + b2 + c2)2 = 142 = 196
⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + a2c2) = 196
⇔ a4 + b4 + c4 + 2 . 49 = 196
⇔ a4 + b4 + c4 = 196 – 98
⇔ a4 + b4 + c4 = 98.
Vậy a4 + b4 + c4 = 98.
Câu 16:
A = 2 + 22 + … + 2100
A = (2 + 22) + (23 + 24) + … + (299 + 2100)
A = (2 + 22) + 22 (2 + 22) + … + 298 (2 + 22)
A = (2 + 22)(1 + 22 + … + 298)
A = 6 (1 + 22 + … + 298)
Vì 6 ⋮ 6 nên 6 (1 + 22 + … + 298) ⋮ 6
Vậy A ⋮ 6.
Câu 17:
Mỗi khu đất hình chữ nhật có diện tích là 324 m2 và chiều rộng là 12 m. Tính chu vi khu đất đó.
Chiều dài khu đất là:
324 : 12 = 27 (m)
Chu vi khu đất là:
(27 + 12) . 2 = 78 (m).
Đáp số: 78 m.
Câu 18:
Nhà bác Hà có 85 con gà và vịt. Sau khi bác bán đi 15 con gà và mua thêm 7 con vịt thì số vịt nhiều hơn số gà là 9 con. Hỏi lúc đầu mỗi loại có bao nhiêu con ?
Tổng số gà và vịt sau khi bán và mua thêm là:
85 – 15 + 7 = 77 (con)
Lúc đầu, số con vịt là:
(77 + 9) : 2 – 7 = 36 (con)
Lúc đầu số con gà là:
85 – 36 = 49 (con).
Câu 19:
Sau khi bớt ở số bị trừ đi 478 và thêm vào số trừ 235 thì hiệu hai số mới là 2084. Hỏi hiệu của hai số ban đầu là bao nhiêu?
Sau khi bớt đi ở số bị trừ đi 478 và thêm vào số trừ 235 thì hiệu hai số mới là 2084.
Vậy hiệu của hai số ban đầu là:
2084 + 478 + 235 = 2797
Đáp số: 2797.
Câu 20:
Trung bình cộng tuổi của bố mẹ và hoa là 30. Nếu không tính tuổi của bố thì trung bình cộng tuổi của mẹ và Hoa là 24. Hỏi tuổi của bố là bao nhiêu?
Tổng số tuổi của bố, mẹ và Hoa cộng lại là:
30 . 3 = 90 (tuổi)
Tổng số tuổi của mẹ và Hoa cộng lại là:
24 . 2 = 48 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là:
90 – 48 = 42 (tuổi)
Đáp số: 42 tuổi
Câu 21:
Tìm x biết x – 36 : 18 = 12.
x – 36 : 18 = 12
x – 2 = 12
x = 12 + 2
x = 14.
Vậy x = 14.
Câu 22:
Tìm số nguyên tố p để: 2p2 + 1 cũng là số nguyên tố.
Với p = 2, ta có: 2p2 + 1 = 9 (loại vì không là số nguyên tố)
Với p = 3, ta có: 2p2 + 1 = 19 (thỏa mãn)
Với p > 3, vì p là số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.
+ Nếu p = 3k + 1 thì 2p2 + 1 = 2(3k + 1)2 + 1 = 18k2 + 12k + 3 ⋮ 3
Suy ra: loại vì không là số nguyên tố
+ Nếu p = 3k + 2 thì 2p2 + 1 = 2(3k + 2)2 + 1 = 18k2 + 24k + 9 ⋮ 3
Suy ra: loại vì không là số nguyên tố
Vậy p = 3.
Câu 23:
40a3b3c3 + 12a3b4c2 – 20a4b5c
= 4a3b3c (10c2 + 3bc – 5ab2).
Câu 24:
Tìm x biết: [(6x – 72) : 2 – 84] . 4 = 245 : 244.
[(6x – 72) : 2 – 84] . 4 = 245 : 244
[(6x – 72) : 2 – 84] . 4 = 24
(6x – 72) : 2 – 84 = 24 : 4
(6x – 72) : 2 – 84 = 6
(6x – 72) : 2 = 90
6x – 72 = 180
6x = 252
x = 252 : 6
x = 42
Vậy x = 42.
Câu 25:
Hai phân số sau đây có bằng nhau không .
Ta quy đồng mẫu số hai phân số, được:
Ta thấy a2 – 5a – 24 ≠ a2 + 2a – 24 nên hai phân số đã cho không bằng nhau.
Câu 26:
Chia 10 cái bánh vào trong một số hộp sao cho mỗi hộp có số bánh bằng nhau và phải nhiều hơn 1, ít hơn 10. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp?
Số hộp chia hết cho 10 là:
10 = 1 × 10 = 2 × 5
Vì mỗi hộp cần số bánh nhiều hơn 1 và ít hơn 10 nên số hộp cần là 2 hộp để mỗi hộp bánh có 5 cái bánh.
Vậy cần 2 hộp bánh.
Câu 27:
Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
Ta có: n2 + n + 1 = (n – 1)(n + 2) + 3.
Giả sử n2 + n + 1 chia hết cho 9
Khi đó (n – 1)(n + 2) + 3 chia hết cho 9 (1)
⇒ (n – 1)(n + 2) + 3 chia hết cho 3
Mà n + 2 – (n – 1) = 3 chia hết cho 3
n + 2 và n – 1 đều chia hết cho 3. Do đó: (n – 1)(n + 2) chia hết cho 9. (2)
Từ (1) và (2), suy ra 3 chia hết cho 9 (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
Câu 28:
Có 5 người ăn trong 8 ngày hết 20kg rau. Hỏi 7 người ăn trong 5 ngày hết bao nhiêu kg rau?
5 người trong 1 ngày ăn hết:
20 : 8 = 2,5 (kg rau)
1 người trong 1 ngày ăn hết:
2,5 : 5 = 0,5 (kg rau)
7 người trong 1 ngày ăn hết:
0,5 × 7 = 3,5 (kg rau)
7 người trong 5 ngày ăn hết:
3,5 × 5 = 17,5 (kg rau).
Câu 29:
Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái của từ ACTIVE sao cho 2 chữ V, E luôn luôn đứng cạnh nhau?
Ta thấy: VE là cụm từ 2 chữ cái. Mà từ ACTIVE có 6 chữ cái nên VE có đến 5 chỗ đứng.
(Ví dụ ACTIVE, VE có chỗ đứng ở cuối từ)
Trong mỗi lần VE chọn một chỗ đứng, 4 chữ cái còn lại sẽ thay phiên nhau mà chọn chỗ đứng.
Vì vậy, mỗi lần VE chọn một chỗ đứng, số cách để sắp xếp 4 chữ còn lại là:
4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách)
Do VE có thể đứng ở 5 chỗ nên số cách xếp các chữ cái của ACTIVE là:
24 . 5 = 120 (cách)
Đáp số: 120 cách.
Câu 30:
Năm nay, tổng số tuổi của hai mẹ con là 44 tuổi, mẹ hơn con 28 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người?
Số tuổi hiện nay của mẹ là:
(44 + 28) : 2 = 36 ( tuổi )
Số tuổi hiện nay của con là
44 – 36 = 8 ( tuổi )
Đáp số: Mẹ: 36 tuổi; Con: 8 tuổi.
Câu 31:
Có bao nhiêu số có 2 chữ số đều chia hết cho cả 2 và 3?
Vì các số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3
⇒ Khoảng cách giữa các số đó chính là BCNN(2; 3) = 6
Số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là 96
Số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là 12
Khoảng cách giữa 2 số vừa chia hết cho 2 và 3 là: 6
Vậy số lượng số có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là:
( 96 – 12 ) : 6 + 1 = 15 (số)
Đáp số: 15 số.
Câu 32:
Có bao nhiêu số có 2 chữ số đều chia hết cho 3?
Số có 2 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 3 là: 12
Số có 2 chữ số lớn nhất chia hết cho 3 là: 99
Có số số có 2 chữ số chia hết cho 3 là:
(99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số)
Đáp số: 30 số.
Câu 33:
Trong một trang trại có một số gà và thỏ. Số gà nhiều hơn số thỏ là 12 con. Chúng có tổng cộng 228 cái chân. Hỏi trang trại đó có bao nhiêu con gà?
Gọi số gà là x (con) và số thỏ là y (con)
Số gà gấp đôi số thỏ nên x = 2y (1)
Tổng số chân gà và chân thỏ là 96 chân, trong đó gà 2 chân thỏ 4 chân nên ta có
2x + 4y = 96(2)
Ta thay (1) vào (2) được: 2 . 2y + 4y = 96 ⇒ y = 12
Vậy số thỏ là 12 con.
Vậy số gà là:
12 . 2 = 24 (con).
Câu 34:
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a sao cho khi chia a cho 4, 5, 6 có số dư lần lượt là 3, 4, 5 và a chia hết cho 13.
Vì a chia 4 dư 3 nên a – 3 ⋮ 4 ⇒ a – 3 + 4 ⋮ 4 ⇒ a + 1 ⋮ 4 (1)
Vì a chia 5 dư 4 nên a – 4 ⋮ 5 ⇒ a – 4 + 5 ⋮ 5 ⇒ a + 1 ⋮ 5 (2)
Vì a chia 6 dư 5 nên a – 5 ⋮ 6 ⇒ a – 5 + 6 ⋮ 6 ⇒ a + 1 ⋮ 6 (3)
Từ (1);(2);(3)⇒ a + 1 ⋮ BCNN(4; 5; 6) ⇒ a + 1 ∈ BC(4; 5; 6)
Ta có:
4 = 2²
5 = 5
6 = 2 . 3
BCNN(4; 5; 6) = 2² . 3 . 5 = 60
⇒ a + 1 ∈ BC(4; 5; 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;...}
Vì a ∈ ℕ* nên a + 1 ∈ ℕ* ⇒ a + 1 > 0
⇒ a ∈ {59; 119; 179; 239; 299; 359; ...}
Vì a ⋮ 13 mà a nhỏ nhất nên a = 299
Vậy a = 299.
Câu 35:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất biết khi chia cho 11; 17; 29 thì số dư lần lượt là 6; 12; 24.
n chia 11 dư 6, chia 17 dư 12, chia 29 dư 24
⇒ n chia 11; 17; 29 đều thiếu 5.
⇒ n + 5 chia hết cho 11; 17; 29
Vì n nhỏ nhất ⇒ n + 5 là BCNN(11; 17; 29)
Vì 11; 17; 29 nguyên tố cùng nhau
⇒ n + 5 = BCNN(11; 17; 29) = 11 . 17 . 29 = 5423
Vậy n = 5423 – 5 = 5418.
Câu 36:
Tìm số tự nhiên x, y để 4x – 3xy – 9y = 0
4x – 3xy – 9y = 0
⇔ 3xy = 4x – 9y
Vì 3xy ⋮ 3 và 9y ⋮ 3 nên 4x ⋮ 3
Mà 4 không chia hết cho 3 nên x ⋮ 3.
Suy ra: x = 3k (k là số tự nhiên)
Khi đó ta có:
9ky = 12k – 9y
⇔ 9y (k + 1) = 12k
⇔ y =
Vậy (x; y) = (với k là số tự nhiên).
Câu 37:
Cho x, y biết x – y = 1 và xy = 6. Tính x2 + y2.
Ta có: x – y = 1 ⇔ x = y + 1
Lại có: xy = 6
⇔ (y + 1)y – 6 = 0
⇔ y2 + y – 6 = 0
⇔ (y + 3)(y – 2) = 0
⇔
⇒
Với x = –2; y = –3 thì x2 + y2 = 13
Với x = 3; y = 2 thì x2 + y2 = 13
Vậy x2 + y2 = 13.
Câu 38:
Tính tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 +... + 99 – 100.
S = 1 – 2 + 3 – 4 +... + 99 – 100
S = (–1) + (–1) + … +(–1)
Vì S có 100 số hạng nên sẽ chia thành 50 cặp
Vậy S = 50 . (–1) = –50.
Câu 39:
Cho hình chữ nhật ABCD vẽ tam giá AEC vuông tại E. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, cùng thuộc một đường tròn.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác ADEC có: = 90°
Do đó tứ giác ADEC nội tiếp
Vậy 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn .Câu 40:
Một quầy lương thực, ngày thứ nhất bán được 345kg gạo, ngày thứ hai bán được 360 kg gạo. Ngày thứ ba bán được số gạo nhiều hơn trung bình cộng số gạo bán được trong cả ba ngày là 75kg. Hỏi ngày thứ ba quầy lương thực đó bán được bao nhiêu kg gạo?
Gọi số gạo ngày thứ ba bán được là a
Ta có:
a + 75 =
⇔ 3a + 225 = a + 705
⇔ a = 240.
Vậy ngày thứ ba bán được 240 kg gạo.
Câu 41:
Tổng hai số là 79. Nếu gấp thừa số 1 lên 4 lần , gấp thừa số 2 lên 7 lần thì được tổng mới là 475. Tìm hai số đó.
Gọi 2 số cần tìm là a và b
Ta có:
a + b = 79 ⇒ a = 79 – b (1)
4a + 7b = 475(2)
Thế (1) vào (2), ta được:
4 . (79 – b) + 7b = 475
⇔ 316 – 4b + 7b = 475
⇔ 3b = 159
⇔ b = 53
⇒ a = 79 – 53 = 26
Vậy hai số cần tìm là 26 và 53.
Câu 42:
Cho đường tròn tâm O và hai dây cung song song AB, CD. Trên cung AB lấy điểm M. Chứng minh rằng .
Ta có: là góc nội tiếp chắn
là góc nội tiếp chắn
Lại có: AB // CD nên =
Suy ra: .
Câu 43:
Bốn bạn cùng chạy trên một quãng đường và cùng xuất phát một lúc. Khi đến đích tính ra bạn Sơn chạy hết 81 giây; bạn Tùng chạy hết 1,4 phút, bạn Thông chạy hết phút, bạn Bách chạy hết 1 phút 20 giây. Bạn chạy với vận tốc bé nhất (hay bạn chạy chậm nhất) là bạn nào?
Sơn: 81 giây
Tùng: 1,4 phút = 1,4 . 60 = 84 (giây)
Thông: phút = . 60 = (giây)
Bách: 1 phút 20 giây = 80 giây
So sánh thời gian của các bạn ta thấy bạn Thông chạy mất nhiều thời gian nhất. Vậy Thông chạy với vận tốc bé nhất.
Câu 44:
Cho a, b, c ≥ 0 và thỏa mãn a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chứng minh abc + 2 ≥ ab + bc + ca ≥ abc.
Điều phải chứng minh tương đương với:
0 ≤ ab + bc + ca – abc ≤ 2
Ta có: ab + bc + ca – abc = a(b + c) + bc(1 – a)
a2 + b2 + c2 + abc = 4
⇒
Do vậy tồn tại tam giác ABC không tù sao cho a = 2 cos A, b = 2 cos B, c = 2 cos C
Chứng minh trở thành: 2 cos A cos B + 2 cos B cos C + 2 cos C cos A – 4 cos A cos B cos C ≤ 1 (1).
Ta có nhận xét sau: có hai trong ba góc A, B, C không lớn hơn 60° hoặc không nhỏ hơn 60°.
Không mất tính tổng quát, giả sử hai góc đó là A và B, khi đó:
(1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0.
Mặt khác, ta có (1) tương đương với:
cos (A + B) + cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B) cos C ≤ 1
⇔ cos (A – B) + (2 cos A + 2 cos B – 4 cos A cos B – 1) cos C ≤ 1
⇒ cos (A – B) – (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) cos C ≤ 1
Do (1 – 2 cos A)(1 – 2 cos B) ≥ 0 và cos (A – B) ≤ 1 nên bất đẳng thức luôn đúng. Bài toán được chứng minh.
Câu 45:
Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 3cm, biết sin B= .
a) Hai dây AB và AC, dây nào gần tâm O hơn?
a) Vì ΔABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O; R) nên O là trung điểm của BC.
⇒ BC = 2OB = 2R = 2 . 3 = 6 (cm)
Có ΔABC vuông tại A ⇒ AC = BC. sin = 6. = 4 (cm)
Áp dụng định lí Pythagore vào ΔABC vuông tại A:
BC2 = AB2 + AC2
AB2 = BC2 – AC2 = 62 – 42 = 20
AB = (cm)
Ta thấy: > 4 nên AB > AC suy ra dây AB gần tâm hơn dây AC.
Câu 46:
b) Một đường thẳng qua O, song song với AC cắt AB tại I, tính IB và IO.
b) Dễ thấy O là trung điểm của BC và IO // BC ( cùng vuông góc với AB)
⇒ OI là đường trung bình của ΔABC ⇒ I là trung điểm AB.
⇒ OI = AC : 2 = 2 (cm)
IB = = (cm).
Câu 47:
Một tàu hỏa cần chở 620 hành khách. Biết rằng mỗi toa có 12 khoang, mỗi khoang có 8 chỗ ngồi. Số toa ít nhất để chở hết số hành khách trên là bao nhiêu?
Mỗi toa có số chỗ ngồi là:
12 × 8 = 96 (chỗ)
Số toa ít nhất để chở hết số hành khách trên là:
620 : 96 ≈ 6,45 (toa)
Vậy cần ít nhất là 7 toa để chở hết 620 hành khách.
Câu 48:
Một người rào xung quanh một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 28 m, chiều rộng 15m hết 43 cái cọc. Hỏi người đó rào xung quanh khu đất hình vuông có cạnh 25 m hết bao nhiêu cái cọc?
Chu vi mảnh đất là:
(28 + 15) × 2 = 86 (m)
Khoảng cách giữa những cái cọc là:
86 : 43 = 2 (m )
Chu vi mảnh đất hình vuông là:
25 × 4 = 100 (m)
Cần số cái cọc để đóng xung quanh khu đất là:
100 : 2 = 50 (cái)
Đáp số: 50 cái cọc.
Câu 49:
Người ta xây dựng rào xung quanh một cái hồ hình chữ nhật có chiều dài 45m, chiều rộng kém chiều dài 23,5m, bức tường cao 1,6m. Cứ mỗi mét vuông tiêu tốn hết 40000 đồng. Hỏi xây bức tường rào đó hết tất cả bao nhiêu tiền?
Chiều rộng cái hồ đó là:
45 − 23,5 = 21,5 (m).
Diện tích bức tường rào đó được xây lên là:
(45 + 21,5) × 2 × 1,6 = 212,8 (m2)
Số tiền dùng để xây bức tường rào đó là:
40000 × 212,8 = 8512000 (đồng)
Đáp số: 8512000 đồng.
Câu 50:
Số học sinh của một trường là một số lớn hơn 900 gồm ba chữ số. Mỗi lần xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều đủ, không thừa ai. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ?
Gọi số học sinh của trường đó là a (a ∈ ℕ*, 900 < a < 1000).
Vì xếp hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều đủ, ta có:
a chia hết cho 3
a chia hết cho 4
a chia hết cho 5
⇒ a = BC(3; 4; 5)
Vì ƯCLN(3; 4; 5) = 1
⇒ BCLN(3; 4; 5) = 3 . 4 . 5 = 60
⇒ BC(3; 4; 5)= B(60)
⇒ a ∈{60; 120; 180; 240; 300; 360; ...; 780; 840; 900; 960; 1020; ...}
Vì a > 900 và a có 3 chữ số ⇒ a = 960
Vậy trường đó có 960 học sinh.
Câu 51:
Trung bình cộng của 5 số là 162. Số thứ năm gấp đôi số thứ tư, số thứ tư bằng trung bình cộng của 3 số đầu tiên. Tìm số thứ năm và số thứ tư.
Tổng 5 số là:
162 × 5 = 810
Số thứ 5 là:
810 : (1 + 2 + 3) × 2 = 270
Số thứ 4 là:
810 : (1 + 2 + 3) × 1 = 135
Đáp số: Số thứ 5: 270; Số thứ tư: 135.
Câu 52:
Tổng A = 1012 + 1 có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?
A = 1012 + 1 = 1000000000000 + 1 = 1000000000001.
Ta có tổng các chữ số là: 1 + 0 + 0 + 0 + … + 1 = 2.
Vì 2 không chia hết cho 3 nên 1012 + 1 không chia hết cho 3.
Câu 53:
Chứng minh n3 + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.
Giả sử n = 2k (k là số tự nhiên)
n3 + 20n = (2k)3 + 20 . 2k = 8k3 + 40k = 8k(k2 + 5)
Ta thấy 8 ⋮ 8 nên 8k(k2 + 5) ⋮ 8 (1)
+ Nếu k chẵn thì k ⋮ 2 ⇒ k(k2 + 5) ⋮ 2
+ Nếu k lẻ thì k2 lẻ ⇒ k2 + 5 chẵn ⇒ k(k2 + 5) ⋮ 2
Vậy k(k2 + 5) ⋮ 2 (2)
+ Nếu k ⋮ 3 thì k(k2 + 5) ⋮ 3
+ Nếu k chia 3 dư 1 thì k2 + 5 = (3l + 1)2 + 5 = 9l2 + 6l + 6 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên)
+ Nếu k chia 3 dư 2 thì k2 + 5 = (3l + 2)2 + 5 = 9l2 + 12l + 9 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên).
Vậy k(k2 + 5) ⋮ 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 8k(k2 + 5) ⋮ 40.
Vậy n3 + 20n chia hết cho 48.
Câu 54:
Tìm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + ... + x = 780.
Số các số hạng của dãy là: .
Ta có: 1 + 5 + 9 + 13 + ... + x = 780
⇔
⇔
⇔ x2 + 4x + 3 = 6240
⇔ x2 + 4x – 6237 = 0
⇔
Vậy x = 77.
Câu 55:
Tuổi con kém tuổi cha 30 tuổi, biết tuổi cha hiện nay là 33 tuổi. Hỏi sau bao lâu thì tuổi của cha là gấp đôi tuổi con?
Hiệu số tuổi của cha và con là: 30 tuổi
Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi cha gấp đôi tuổi con thì hiệu số tuổi giữa cha và con vẫn là 30 tuổi.
Tuổi cha lúc tuổi cha gấp đôi tuổi con là:
30 : (2 – 1) × 2 = 60 (tuổi)
Vậy sau số năm đến khi tuổi cha gấp đôi tuổi con là:
60 – 33 = 27 (năm).
Đáp số: 27 năm.
Câu 56:
Bội chung nhỏ nhất của hai số là 45. Một trong hai số đó là 5. Hãy tìm số còn lại.
Gọi số cần tìm là x
Ta có: BCNN(x, 5) = 45
Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 32
5 = 51 và 5 là số nguyên tố
Nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó.
Do đó x = 32 = 9.
Vậy số cần tìm là 9.
Câu 57:
Có 10 người thợ dự định làm xong công việc trong 12 ngày. Nếu người ta muốn làm xong công việc đó trong 8 ngày thì phải cần bao nhiêu người?
Nếu muốn làm công việc đó trong 1 ngày thì cần số người thợ là:
10 × 12 = 120 (người thợ).
Nếu muốn làm công việc đó trong 8 ngày thì cần số người thợ là:
120 : 8 = 15 (người thợ).
Đáp số: 15 người.
Câu 59:
75% của 15 bằng bao nhiêu?
75% của 15 bằng:
75% . 15 = 11,25.
Vậy 75% của 15 bằng 11,25.
Câu 60:
Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kì là 1 số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số nguyên đó là 1 số dương.
Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó còn 30 số chia làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.
Câu 61:
Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA; D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật.
a) Vì M, D là trung điểm của AB, AH nên MD là đường trung bình của tam giác ABH
⇒ MD // BH và MD = BH (1)
Lại có: NF là đường trung bình của tam giác BHC nên NF // BH và NF = BH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD // NF và MD = NF
Suy ra: MNFD là hình bình hành. (*)
Lại có: = 90° (**)
Từ (*) và (**) suy ra: MNFD là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự:
EF // BC và MP // BC (là đường trung bình của tam giác BHC và tam giác ABC)
EF = MP = BC
⇒ MEFP là hình bình hành
ME // AH và EF // BC mà AH ⊥ BC nên ME ⊥ EF.
Suy ra: MEFP là hình chữ nhật.
Câu 62:
b) Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
b) ME là đường trung bình của tam giác ABD nên ME = AH
Tương tự: MD là đường trung bình của tam giác ABH nên MD = BH
DP là đường trung bình của tam giác AHC nên DP = HC
Để MD = ME = DP thì AH = BH = CH
Tức tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 63:
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
a) Ta có: (m – 2)x + (m – 1)y = 1
⇔ m(x + y) – 2x – y = 1
Đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m khi và chỉ khi:
⇔
Vậy đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định có tọa độ là (–1; 1).
Câu 64:
b) Xác định m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng là lớn nhất.
b) Gọi phương trình đường thẳng đã cho là d.
d (O; d) =
Dấu “=” xảy ra khi m = .
Câu 65:
ƯCLN(7n + 10; 5n + 7) = d
Ta có: 7n + 10 ⋮ d và 5n + 7 ⋮ d
Suy ra: 5 (7n + 10) – 7(5n + 7) ⋮ d
⇔ 1 ⋮ d hay d = 1
Vậy 7n +10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau (n ∈ ℕ).
Câu 66:
Chứng minh rằng 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
2n3 + 3n2 + n
= n (2n2 + 3n + 1)
= n (2n2 +2n + n + 1)
= n [2n (n + 1) + (n + 1)]
= n (n + 1) (2n + 1)
= n (n + 1) (2n – 2 + 3)
= n (n + 1) (2n – 2) + 3n (n + 1)
= 2n (n + 1) (n – 1) + 3n (n + 1)
Ta thấy: n – 1; n và n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 3.
Vì 2 ⋮ 2 nên 2n (n + 1) (n – 1) ⋮ 2
Vậy 2n (n + 1) (n – 1) ⋮ 6. (1)
Lại có: 3 ⋮ 3 nên 3n (n + 1) ⋮ 3
Mà n, n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n (n + 1) ⋮ 2
Vậy 3n (n + 1) ⋮ 6. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2n (n + 1) (n – 1) + 3n (n + 1) ⋮ 6
Vậy 2n3 + 3n2 + n ⋮ 6.
Câu 67:
Một trường tổ chức cho khoảng từ 700 đến 800 học sinh đi tham quan bằng ô tô. Tính số học sinh đi tham quan, biết rằng nếu xếp 40 người hay 45 người lên một xe đều vừa vặn. Nếu xếp 40 người thì cần bao nhiêu xe?
Gọi số học sinh của trường là x (học sinh) (x ∈ ℕ, 700 < x < 800).
Số học sinh có thể xếp 40 người hoặc 45 người lên 1 xe nên x là BC(40; 45).
Ta có: 40 = 23 . 5
45 = 32 . 5
⇒ BCNN (40; 45) = 23 . 32 . 5 = 360 ⇒ BC(40; 45) = {360; 720; 1080;.....}
Mà 700 < x < 800 ⇒ x = 720
Vậy để xếp 40 người 1 xe thì cần số xe là: 720 : 40 = 18 (xe).
Câu 68:
Khu đất hình chữ nhật có chu vi 900m biết chiều dài bằng trung bình cộng của nửa chu vi và chiều rộng. Tìm diện tích khu đất?
Nửa chu vi khu đất là:
900 : 2 = 450 (m).
Chiều rộng khu đất là:
450 : (2 + 1) = 150 (m)
Chiều dài khu đất là:
450 – 150 = 300 (m)
Diện tích khu đất là:
300 × 150 = 45000 (m2).
Đáp số: 45 000 m2.
Câu 69:
1 công trường dự trữ lương thực đủ cho 1200 người ăn trong 35 ngày. Có một số người đến thêm nên số lương thực đó chỉ đủ ăn trong 25 ngày. Tính số người đến thêm?
Tổng số lương thực đủ cho 1200 người ăn trong 35 ngày là:
1200 × 35 = 42000 (lương thực)
Số người ăn trong 25 ngày là:
42000 : 25 = 1680 (người)
Số người đến thêm là:
1680 – 1200 = 480 (người).
Đáp số: 480 người.
Câu 70:
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Nếu chiều rộng tăng thêm chiều rộng nữa và chiều dài tăng thêm chiều dài thì thửa ruộng trở thành hình vuông.
a) Tính diện tích thửa ruộng đó.
a) Gọi chiều dài là a, chiều rộng là b
Ta có: a = b + 10 (1)
a + a = b + b ⇔ 28a = 30b ⇔ 14a = 15b (2)
Thế (1) vào (2) ta được:
14 (b + 10) = 15b
Suy ra b = 140
a = 140 + 10 = 150 (m)
Suy ra: chiều dài thửa ruộng là 150m, chiều rộng thửa ruộng là 140m.
Diện tích thửa ruộng là:
150 . 140 = 21000 (m2)
Câu 71:
b) Người ta chia thửa ruộng đó thành những luống đều nhau, mỗi luống rộng 2m chạy song song với chiều rộng thửa ruộng. Hỏi có bao nhiêu luống ?
b) Có số luống rau là:
150 : 2 = 75 (luống).
Câu 72:
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m biết chiều rộng bằng chiều dài. Tính số thóc của thửa ruộng thu được biết rằng cứ 5m2 thửa ruộng thu được 3kg thóc.
Chiều dài của thửa ruộng đó là:
10 : (5 – 3) × 5 = 25 (m)
Chiều rộng của thửa ruộng đó là:
25 – 10 = 15 (m)
Diện tích của thửa ruộng đó là:
25 × 15 = 375 (m2)
Số thóc của thửa ruộng đó là:
375 : 5 × 3 = 225 (kg)
Đáp số: 225 kg thóc.
Câu 73:
Năm nay cha 43 tuổi và con 12 tuổi. Sau bao nhiêu năm nữa cha gấp đôi tuổi con?
Hiệu số tuổi của cha và con là :
43 – 12 = 31 (tuổi)
Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi cha gấp đôi tuổi con thì hiệu số tuổi giữa cha và con vẫn là 31 tuổi.
Tuổi cha lúc tuổi cha gấp đôi tuổi con là :
31 : (2 – 1) × 2 = 62 (tuổi)
Vậy sau số năm đến khi tuổi cha gấp đôi tuổi con là :
62 – 43 = 19 (năm).
Đáp số: 19 năm.
Câu 74:
Tìm 2 số lẻ có trung bình cộng bằng 63, biết rằng giữa chúng có 7 số lẻ nữa.
Tổng 2 số là:
63 × 2 = 126
Hiệu 2 số là :
7 × 2 + 2 = 16
Số bé là :
(126 – 16) : 2 = 55
Số lớn là :
55 + 16 = 71
Đáp số: 55 và 71.
Câu 75:
Tìm hiệu hai số lẻ biết giữa chúng có 5 số lẻ khác nhau.
Mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị.
Mà giữa hai số lẻ này có 5 số lẻ khác nhau, do đó khoảng cách giữa 2 số lẻ này là 6 khoảng.
Vậy hiệu giữa 2 số lẻ đó là:
6 . 2 = 12.
Đáp số: 12.
Câu 76:
Bốn bạn thi chạy trên cùng một đoạn đường. Trung chạy hết phút. Cường chạy hết phút. Hùng chạy hết phút. Thịnh chạy hết phút. Vậy bạn nào chạy nhanh nhất.
Ta thấy:
Nên Trung chạy nhanh nhất bởi vì thời gian nào càng ngắn thì chạy nhanh ngược lại thời gian càng dài thì chạy chậm.
Vậy bạn chạy nhanh nhất là Trung.
Câu 77:
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Ta lập dãy số như sau:
Đặt B1 = a1
B2 = a1 + a2
B3 = a1 + a2 + a3
….
B10 = a1 + a2 + a3 + … + a10
Nếu tồn tại Bi (i = 1, 2, 3, …, 10) nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh
Nếu không tồn tại Bi thì:
Ta đem Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư từ 1 đến 9), Theo nguyên tắc Dirichlet, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau.
Các số Bm – Bn chia hết cho 10 (m > n)
Vậy thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 78:
Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho mỗi số trong đó xuất hiện đúng 1 lần.
Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Để chẵn thì e ∈ {0; 2; 4}
+ Với e = 0 thì a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn, d có 1 cách chọn
⇒ Lập được: 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (số)
+ Với e = 2 thì:
e có 1 cách chọn
a có 3 cách chọn (vì a khác 0)
b có 3 cách chọn
c có 2 cách chọn
d có 1 cách chọn
⇒ Lập được: 3 . 3 . 2 . 1 = 18 (số).
+ Với e = 4, tương tự. lập được 18 số.
Vậy lập được là: 24 + 18 + 18 = 60 (số).Câu 79:
Cho dãy số 1, 2, 3, 4, ... x. Hãy tìm x để số chữ số của dãy gấp 2 lần số các số của dãy.
Nếu dãy số chỉ gồm các chữ số có hai chữ số thì sẽ có số chữ số nhiều gấp đôi số các số. Song vì dãy số có 9 số chỉ có 1 chữ số (là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nên nó cũng phải có 9 chữ số có 3 chữ số để bù vào đó cho đủ mức trung bình mỗi số có hai chữ số.
9 số có 3 chữ số là : 100, 101, 102, 103, …., 108.
Vậy x = 108 (dãy số là 1, 2, 3, 4,…, 108)
Đáp số: x = 108.
Câu 80:
Cho đa thức f(x) = x3 + mx + n với m, n ∈ ℤ. Xác định m và n biết f(x) chia cho x – 1 dư 4 và chia cho x + 1 dư 6.
Vì f(x) chia x – 1 dư 4 nên x3 + mx + n = (x – 1) . a(x) + 4
Thay x = 1 vào ta có: m + n = 4 (1)
f(x) chia x + 1 dư 6 nên x3 + mx + n = (x + 1) . b(x) + 6
Thay x = – 1 vào ta có: n – m = 7 (2)
Từ (1) và (2) giải ra ta được: m = ; n = .
Vậy m = ; n = .
Câu 81:
Cho ∆ABC (AB < AC) và đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Lấy điểm I sao cho B đối xứng với C qua I. Chứng minh: tứ giác MNIH là hình thang cân.
Ta có: MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN // BC
Suy ra: MN // IH hay MNIH là hình thang (1)
Xét ∆ABH vuông tại H có MH là đường trung tuyến
⇒ MH = (*)
Lại có: B đối xứng với C qua I nên I là trung điểm BC.
Suy ra: NI là đường trung bình của ∆ABC
⇒ NI = (**)
Từ (*) và (**): MH = NI (2)
Từ (1) và (2): MNIH là hình thang cân.
Câu 82:
Có 3 đội trồng rừng, 1 đội trồng được 1356 cây, đội 2 trồng được ít hơn đội 1 là 246 cây, đội 3 trồng được bằng tổng số cây của đội 1 và đội 2. Hỏi trung bình mỗi đội trồng được bao nhiêu cây?
Số cây đội 2 trồng được là:
1356 – 246 = 1110 (cây)
Số cây đội 3 trồng được là:
(1356 + 1110) = 882 (cây)
Trung bình số cây mỗi đội trồng được:
= 1096 (cây).
Đáp số: 1096 cây.
Câu 83:
Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi ba màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có 2 đầu mút có cùng màu và khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Dựng , P là một điểm thuộc
. Dựng hình thoi OPAB có đường chéo OP, cạnh là 1.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:
OI =
⇒ AI2 = AO2 – OI2 = 1 – = .
⇒ AI = ⇒ AB = 1.
Vậy tam giác AOB đều có cạnh bằng 1.
Giả sử ngược lại, mọi cặp hai điểm có khoảng cách giữa chúng bằng 1 mà đều được tô bằng hai màu khác nhau.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử điểm O được tô bằng màu xanh, điểm A được tô màu đỏ và điểm B tô màu vàng.
Bởi vì PA = PB = 1 nên P phải được tô màu xanh.
Với cách lập luận như vậy ta suy ra, tất cả các điểm trên đường tròn đều được tô cùng một màu xanh. Mặt khác dễ dàng tìm được trên hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bằng 1, nên theo giả sử chúng được tô bằng hai màu khác nhau. Vô lý.
Điều vô lý đó chứng tỏ có hai điểm được tô cùng một màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Câu 84:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 24m, chiều rộng bằng chiều dài. Người ta đã sử dụng diện tích mảnh đất để làm nhà.
a) Tính diện tích mảnh đất đó?
b) Tính diện tích phần đất làm nhà?
a) Chiều rộng mảnh đất là:
24 . = 16 (m).
Diện tích mảnh đất là:
24 . 16 = 384 (m2).
b) Diện tích phần đất làm nhà là:
384 . = 48 (m2).
Câu 85:
Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc và một đoạn nằm ngang hết tổng cộng 2 giờ. Lúc về người đó đi từ B đến A hết 1 giờ 10 phút. Biết vận tốc trên đoạn lên dốc là 8 km/giờ, vận tốc trên đoạn xuống dốc là 18 km/giờ, vận tốc trên đoạn nằm ngang là 12 km/giờ. Tính quãng đường AB.
Gọi quãng đường lên dốc lúc đi là AC, khi đó CA là quãng đường xuống dốc lúc về.
Hiệu giữa thời gian lên dốc và xuống dốc là:
2 giờ – 1 giờ 10 phút = 50 (phút).
Tỉ số giữa vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc là:
8 : 18 =
Trên cùng một quãng đường, thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên tỉ lệ thời gian lên dốc và thời gian xuống dốc là .
Thời gian lên dốc là:
50 : (9 – 4) × 9 = 90 (phút) = 1,5 (giờ)
Quãng đường AC (lên dốc) là:
8 × 1,5 = 12 (km)
Thời gian đi trên đoạn nằm ngang CB là:
2 giờ – 1,5 giờ = 0,5 giờ.
Đoạn đường nằm ngang là:
12 × 0,5 = 6 (km)
Quãng đường AB dài:
12 + 6 = 18 (km)
Đáp số: 18 km.
Câu 86:
Một ô tô đã đi 120 km trong ba giờ. Giờ thứ nhất xe đi được quãng đường. Giờ thứ hai xe đi được 40% quãng đường còn lại. Hỏi trong giờ thứ ba xe đi được bao nhiêu km?
Trong giờ thứ nhất, ô tô đi được:
120 × = 40 (km).
Quãng đường còn lại:
120 – 40 = 80 (km).
Trong giờ thứ hai, ô tô đi được:
80 × 40% = 32 (km).
Trong giờ thứ ba, ô tô đi được:
80 − 32 = 48 (km).
Đáp số: 48 km.
Câu 88:
Giữa hai số chẵn có tất cả 8 số lẻ. Vậy hiệu của chúng bằng bao nhiêu?
8 số lẻ cách nhau là:
7 . 2 = 14 (đơn vị)
Hiệu của hai số chẵn là:
14 + 1+ 1 = 16 (đơn vị).
Câu 89:
Tìm số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B với A = 4xn+1y2 và B = 3x2yn–1.
Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B thì:
⇔ ⇔ 2 ≤ n ≤ 3.
Mà n ∈ ℕ nên n = 2 hoặc n = 3
Vậy với n = 2 hoặc n = 3 thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B.
Câu 90:
Tính diện tích hình chữ nhật biết chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 5m thì diện tích sẽ tăng thêm 130m.
Gọi chiều rộng là a thì chiều dài là 2a (m)
Ta có:
(2a + 5) . a = 2a . a + 130
⇔ 2a2 + 5a = 2a2 + 130
⇔ 5a = 130
⇔ a = 130 : 5
⇔ a = 26.
Suy ra chiều rộng hình chữ nhật là 26 m.
Chiều dài hình chữ nhật là:
26 . 2 = 52 (m).
Diện tích hình chữ nhật là:
52 . 26 = 1352 (m2).
Câu 91:
Đổi các đơn vị sau: 60g = ... kg; 2,5 tạ = ... g
1kg = 1000 g hay 1g = 0,001 kg
Do đó, 60g = 0,06 kg.
1 tạ = 1000000 g.
Do đó, 2,5 tạ = 2500000 g.