- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
- Đề số 86
- Đề số 87
- Đề số 88
- Đề số 89
- Đề số 90
- Đề số 91
- Đề số 92
- Đề số 93
- Đề số 94
- Đề số 95
- Đề số 96
- Đề số 97
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 36)
-
10228 lượt thi
-
43 câu hỏi
-
50 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ℝ.
Điều kiện của bài toán trở thành:
\(m = f\left( \pi \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{1 + \cos x}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{4}.2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\frac{1}{4}.{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{2}{{\sin }^2}\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}} \right]^2}\) (*)
Đặt \(t = \frac{{x - \pi }}{2} \to 0\) khi x → π.
Khi đó (*) trở thành: \(m = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left( {\frac{{\sin t}}{t}} \right)^2} = \frac{1}{2}{.1^2} = \frac{1}{2}\).
Vậy \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án C.
Câu 2:
Lời giải
Số tự nhiên chia hết cho cả 2 và 3 có dạng: 6k, với k là một số tự nhiên.
Theo đề, ta có: 0 ≤ 6k ≤ 100.
\( \Leftrightarrow 0 \le k \le \frac{{50}}{3}\).
Mà k ∈ ℕ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; ...; 15; 16}.
Vậy có tất cả 17 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Lời giải
Vẽ đường tròn lượng giác (O; 1).
Với mọi α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \(\widehat {MOx} = \alpha \).
Khi đó ta có: sinα = y0 và cosα = x0.
Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên \(x_0^2 + y_0^2 = O{M^2}\).
⇔ sin2α + cos2α = 1.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 4:
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
Lời giải
a) Gọi A là tập hợp số học sinh giỏi Toán. Tức là, n(A) = 16.
B là tập hợp số học sinh giỏi Lí. Tức là, n(B) = 15.
C là tập hợp số học sinh giỏi Hóa. Tức là, n(C) = 11.
Có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí. Suy ra n(A ∩ B) = 9.
Có 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa. Suy ra n(B ∩ C) = 6.
Có 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán. Suy ra n(A ∩ C) = 8.
Ta có sơ đồ Ven:
Vì có 11 học sinh chỉ giỏi đúng 2 môn nên ta có:
n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(C ∩ A) – 3.n(A ∩ B ∩ C) = 11.
⇒ 9 + 6 + 8 – 3.n(A ∩ B ∩ C) = 11.
⇔ n(A ∩ B ∩ C) = 4.
Vậy có 4 học sinh trong lớp 10C giỏi cả ba môn.
b) Xét tổng n(A) + n(B) + n(C), có:
⦁ n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(A ∩ C) được tính 2 lần nên ta phải trừ đi 1 lần;
⦁ n(A ∩ B ∩ C) được tính 3 lần nên ta phải trừ đi 2 lần.
Trong n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(A ∩ C), có n(A ∩ B ∩ C) được tính 3 lần, trừ đi 1 lần n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(A ∩ C) là trừ đi 3 lần n(A ∩ B ∩ C).
Như vậy, số học sinh chỉ giỏi một môn là:
n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – [n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C)] + n(A ∩ B ∩ C).
= 16 + 15 + 11 – (9 + 8 + 6) + 4 = 23.
Câu 5:
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Chọn 9 số từ 10 chữ số trong tập {0; 1; 2; 3; ...; 8; 9} thì có \(C_{10}^9\) cách.
Sắp xếp 9 chữ số đó theo thứ tự giảm dần thì có 1 cách xếp.
Vậy ta có tất cả \(C_{10}^9.1 = 10\) số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án D.
Câu 6:
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có –1 ≤ sin2x ≤ 1.
Suy ra –1 ≤ y ≤ 1.
Do đó T = [–1; 1].
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 7:
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).
Lời giải
a) Ta có I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.
\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{2}{3}\).
\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{2}{5}\).
\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\).
Chứng minh tương tự, ta được: \(IC = \frac{3}{5}BC\).
Lại có J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{IC}} = \frac{2}{5}\).
\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).
\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\) và \(BC = \frac{3}{5}JC\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}.\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \frac{3}{5}\overrightarrow {JB} \).
\( = \overrightarrow {AI} - \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \).
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \) (1)
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}.\frac{3}{5}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \frac{9}{{25}}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AC} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} \).
Do đó \(\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} \).
Do đó \[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].
Vậy \(\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \); \(\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) và \[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].
b) Gọi H là trung điểm BC. Dựng hình bình hành ABKC.
Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\).
\( = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \).
Vậy \(\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \).Câu 8:
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, \[\widehat {BAC} = 60^\circ \]. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
c) Chứng minh AM ⊥ BD.
Lời giải
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 2.3.\cos 60^\circ = 3\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3\).
b) Do M là trung điểm của BD nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
Vậy \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
c) Ta có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\).
\( = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
\( = - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{7}{{24}}A{C^2}\).
\( = - \frac{5}{{24}}.3 - \frac{1}{2}{.2^2} + \frac{7}{{24}}{.3^2} = 0\).
Vậy AM ⊥ BD.
Câu 9:
Lời giải
Gọi x là số tấn nguyên liệu loại I, y là số tấn nguyên liệu loại II cần dùng.
Vì cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.\).
Theo đề, ta có từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B.
⇒ Từ x tấn nguyên liệu loại I, có thể chiết xuất được 20x kg chất A và 0,6x kg chất B.
Theo đề, ta có từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B.
⇒ Từ y tấn nguyên liệu loại II, có thể chiết xuất được 10y kg chất A và 1,5y kg chất B.
Như vậy ta chiết xuất được 20x + 10y (kg) chất A và 0,6x + 1,5y (kg) chất B.
Khi đó ta có hệ điều kiện là:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\2x + y \ge 14\\2x + 5y \ge 30\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm (x; y) thỏa (*) để F(x; y) = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất.
Vẽ và xác định miền nghiệm của (*):
Ta có:
⦁ Miền nghiệm của (*) là tứ giác ABCD (kể cả biên).
⦁ \(A\left( {\frac{5}{2};9} \right),\,B\left( {10;9} \right),\,C\left( {10;2} \right),\,D\left( {5;4} \right)\).
⦁ F(A) = 37, F(B) = 67, F(C) = 46, F(D) = 32.
Suy ra minF(x; y) = F(D) = 32 khi và chỉ khi x = 5, y = 4.
Vậy để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất thì cần mua 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II.
Do đó ta chọn phương án A.Câu 10:
Lời giải
Ta có sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0.
⇔ 2sinx.cosx – (1 – 2sin2x) + 3sinx – cosx – 1 = 0.
⇔ (2sin2x + 3sinx – 2) + cosx(2sinx – 1) = 0.
⇔ (2sinx – 1)(sinx + 2 + cosx) = 0.
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\sin x + \cos x + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \,\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 11:
Cho A = (2m – 1; m + 3) và B = (–4; 5). Tìm m sao cho:
a) A là tập hợp con của B.
b) B là tập con của A.
c) A ∩ B = ∅.
d) A ∪ B là một khoảng.
Lời giải
a) \(A \subset B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \ge - 4\\m + 3 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \frac{3}{2}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \le m \le 2\).
b) \(B \subset A \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \le - 4\\m + 3 \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - \frac{3}{2}\\m \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
c) \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 3 \le - 4\\2m - 1 \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 7\\m \ge 3\end{array} \right.\).
d) A ∪ B là một khoảng \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 3 > - 4\\2m - 1 < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 7\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).
Câu 12:
Lời giải
Ngoặc vuông và ngoặc tròn trong toán học được sử dụng trong các trường hợp sau:
– Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức: ( ) → [ ] → { }.
– Biểu diễn một đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng.
Câu 13:
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {NA} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).
a) Tính \(\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng.
Lời giải
a) Vì \(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\) nên P là trung điểm của AB.
Suy ra \(\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {PB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Lại có \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \).
Suy ra \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BM} \).
Ta có \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BM} \).
Suy ra \(\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} \).
Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} \).
Khi đó \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \).
Ta có \(\overrightarrow {NA} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\).
Suy ra \(\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {NC} \).
Do đó \[\overrightarrow {NC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} \].
Vì vậy \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} \).
Suy ra \(\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Ta có \(\overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
Vậy \(\overrightarrow {PM} = - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {PN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).
b) Ta có \(\overrightarrow {PN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {PM} \).
Vậy M, N, P thẳng hàng.
Câu 14:
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3\overrightarrow {AN} - 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MN} - 2\overrightarrow {AP} - 2\overrightarrow {PC} = \vec 0\) (quy tắc ba điểm).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MN} + 2\overrightarrow {PM} - 2\overrightarrow {PC} = \vec 0\).
Mà \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PC} \) nên ta có: \(\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MN} + 2\overrightarrow {PM} - 2\overrightarrow {PC} = \vec 0\).
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MN} + 2\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {BP} = \vec 0\).
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} + 3\overrightarrow {MN} + 2\overrightarrow {PM} = \vec 0\].
\[ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} \].
Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Do đó ta chọn phương án A.
Câu 15:
Lời giải
Gọi x là số ha đất trồng ngô, y là số ha đất trồng đậu xanh.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
⦁ Hiển nhiên x ≥ 0, y ≥ 0.
⦁ Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có x + y ≤ 8.
⦁ Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên 20x + 30y ≤ 180.
⇔ 2x + 3y ≤ 18.
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).
Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm (x; y) thỏa (*) để F(x; y) = 40x + 50y đạt giá trị lớn nhất.
Vẽ và xác định miền nghiệm của (*):
Ta có:
⦁ Miền nghiệm của (*) là tứ giác OABC (kể cả biên).
⦁ O(0; 0), A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0).
⦁ F(O) = 0, F(A) = 300, F(B) = 340, F(C) = 320.
Suy ra maxF(x; y) = F(B) = 340 khi và chỉ khi x = 6, y = 2.
Vậy để thu được nhiều tiền nhất thì bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.
Câu 16:
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt loại giỏi một môn, hai môn và ba môn.
Lập sơ đồ Ven liên hệ giữa các tập hợp, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 45 - 7\\x + 2y + 3z = 20 + 18 + 17\\z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 26\\y = 7\\z = 5\end{array} \right.\).
Vậy số học sinh chỉ đạt loại giỏi một trong ba môn học trên là 26 học sinh.
Do đó ta chọn phương án B.
Câu 17:
Lời giải
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh thích một môn, hai môn và ba môn.
Lập sơ đồ Ven liên hệ giữa các tập hợp, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 45 - 6\\x + 2y + 3z = 25 + 20 + 18\\z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 14\\z = 5\end{array} \right.\).
Vậy số học sinh chỉ thích một trong 3 môn trên là 20 học sinh.
Câu 18:
Lời giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta được:
AB2 = AC2 + BC2 – 2AC.BC.cosC
= 102 + 82 – 2.10.8.cos70° ≈ 109,3.
Suy ra AB ≈ 10,5.
Ta có (AC + CB) – AB = (10 + 8) – 10,5 = 7,5.
Vậy vì không thể nối trực tiếp từ A đến B nên chiều dài dây tăng thêm 7,5 km.
Câu 19:
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.
Lời giải
a) Trong (BCD): gọi M = JK ∩ CD.
Trong (ACD): gọi N = IM ∩ AD.
Ta có:
⦁ (IJK) ∩ (ABC) = IJ.
⦁ (IJK) ∩ (BCD) = JK.
⦁ (IJK) ∩ (ABD) = KN.
⦁ (IJK) ∩ (ACD) = NI.
Suy ra thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IJKN.
Ta có I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC.
Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó IJ // AB.
Mà IJK) ∩ (ABD) = KN.
Vì vậy KN // AB // IJ (1)
Áp dụng định lí Thales, ta có \(\frac{{AN}}{{DA}} = \frac{{BK}}{{DB}} = \frac{2}{3}\).
Mà BD = AD (do ABCD là tứ diện đều).
Suy ra AN = BK.
Ta có ∆AIN = ∆BJK (c.g.c).
Suy ra IN = JK (2)
Từ (1), (2), suy ra tứ giác IJKN là hình thang cân.
b) Kẻ NH ⊥ IJ tại H và KE ⊥ IJ tại E.
Ta có \(IJ = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\); \(NK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}\);\(BJ = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và \(BK = \frac{2}{3}BD = \frac{{2a}}{3}\).
Ta có IH = EJ và NK = HE.
Suy ra \(IH = \frac{{IJ - NK}}{2} = \frac{{\frac{a}{2} - \frac{a}{3}}}{2} = \frac{a}{{12}}\).
Ta có \[J{K^2} = B{J^2} + B{K^2} - 2BJ.BK.\cos \widehat {JBK}\]
\[ = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{4{a^2}}}{9} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{36}}\].
Suy ra \(NI = JK = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\).
Tam giác NIH vuông tại H:
\(NH = \sqrt {N{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {\frac{{13{a^2}}}{{36}} - \frac{{{a^2}}}{{144}}} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}\).
Diện tích hình thang IJKN là:
\(S = \frac{{NH.\left( {NK + IJ} \right)}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt {51} }}{{12}}.\left( {\frac{a}{3} + \frac{a}{2}} \right)}}{2} = \frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).
Vậy diện tích thiết diện bằng \(\frac{{5{a^2}\sqrt {51} }}{{144}}\).
Câu 20:
Lời giải
Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ được gọi là cùng hướng (cùng chiều) khi chúng là hai vectơ cùng phương và cùng xác định một hướng.
Câu 21:
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
⦁ A = {6; 12; 18; 24; 30}.
Suy ra n(A) = 5.
⦁ B = {2; 4; 8; 10; 14; 16; 20; 22; 26; 28}.
Suy ra n(B) = 10.
⦁ C = {3; 9; 15; 21; 27}.
Suy ra n(C) = 5.
⦁ D = {1; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 25; 29}.
Suy ra n(D) = 10.
Chọn 1 số thuộc A và hai số thuộc B ∪ C ∪ D thì có \(5.C_{25}^2\) cách chọn.
Chọn 2 số thuộc A và một số thuộc B ∪ C ∪ D thì có \(C_5^2.25\) cách chọn.
Chọn 3 số thuộc A thì có \(C_5^3\) cách chọn.
Chọn 1 số thuộc B, 1 số thuộc C, 1 số thuộc D thì có 10.5.10 cách chọn.
Chọn 2 số thuộc B, 1 số thuộc C thì có \(C_{10}^2.5\) cách chọn.
Chọn 1 số thuộc B, 2 số thuộc C thì có \(10.C_5^2\) cách chọn.
Vậy xác suất cần tìm là:
\(\frac{{5.C_{25}^2 + C_5^2.25 + C_5^3 + 10.5.10 + C_{10}^2.5 + 10.C_5^2}}{{C_{30}^3}} = \frac{{517}}{{812}}\).
Do đó ta chọn phương án C.
Câu 22:
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều.
Suy ra AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC.
Khi đó \(BH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).
Vì vậy \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2.AH = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Do đó ta chọn phương án A.
Câu 23:
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).
Suy ra \[\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a\].
Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra \(BM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\).
Ta có tam giác ABC đều.
Suy ra AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC.
Vì vậy \(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Dựng hình bình hành ABA’C.
Vì M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của AA’.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AM} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2.AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Vậy độ dài các vectơ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) lần lượt bằng a và \(a\sqrt 3 \).
Câu 24:
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi I là trung điểm của AB. Dựng OH ⊥ SI.
Ta có \(OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vì \(\widehat {SAB} = 60^\circ \) và SA = SB nên tam giác SAB đều.
Suy ra SA = SB = AB.
Tam giác SAO vuông tại O:
\(SO = SA.\sin \widehat {SAO} = \frac{1}{2}SA\) và \[OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}SA\].
Tam giác SOI vuông tại O có OH là đường cao:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{A^2} - A{I^2}}}\).
\( = \frac{4}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{\frac{3}{4}S{A^2} - \frac{1}{4}S{A^2}}} = = \frac{4}{{S{A^2}}} + \frac{2}{{S{A^2}}} = \frac{6}{{S{A^2}}}\).
Suy ra \(S{A^2} = 6O{H^2} = 6.\frac{{{a^2}}}{3} = 2{a^2}\).
Do đó \(SA = a\sqrt 2 \).
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 25:
Lời giải
Vận dụng quy tắc dấu ngoặc và tính chất giao hoán, kết hợp, ta có:
(2354 – 45) – 2354 = 2354 – 45 – 2354 = (2354 – 2354) – 45 = –45.
Câu 26:
Lời giải
\(\frac{1}{5}\) tấn = \(\frac{1}{5} \times 1000\) kg = 200 kg;
Vậy \(\frac{1}{5}\) tấn = 200 kg.
Câu 27:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F.
a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.
c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.
d) Tìm vị trí điểm E trên tia Ax sao cho \({S_{\Delta AMB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta EOF}}\).
Lời giải
a) Xét ∆AOE và ∆MOE, có:
AO = MO = R;
AE = ME (giả thiết);
OE chung.
Do đó ∆AOE = ∆MOE (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \).
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Ta có MF, BF là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra OF là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\).
Do đó \(\widehat {MOF} = \widehat {BOF} = \frac{1}{2}\widehat {MOB}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AOE} = \widehat {EOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\).
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).
\( \Rightarrow 2\widehat {EOM} + 2\widehat {MOF} = 180^\circ \).
\( \Rightarrow 2\left( {\widehat {EOM} + \widehat {MOF}} \right) = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {EOF} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).
Vậy tam giác EOF vuông tại O.
c) Ta có EA = EM (giả thiết) và OM = OA (= R).
Suy ra OE là đường trung trực của đoạn AM.
Do đó OE ⊥ AM.
Mà MA ⊥ MB (\(\widehat {AMB} = 90^\circ \) do \(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Vì vậy OE // MB.
Suy ra \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\) (so le trong).
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\) (do tam giác OMB cân tại O).
Do đó \(\widehat {MOE} = \widehat {ABM}\).
Mà \(\widehat {EMO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \).
Vì vậy (g.g).
Suy ra \(\frac{{EM}}{{AM}} = \frac{{OE}}{{AB}}\).
Do đó EM.AB = AM.OE (1)
Chứng minh tương tự, ta được FM.AB = BM.OF (2)
Từ (1), (2), suy ra AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Kẻ MH ⊥ AB tại H.
Ta có \(\widehat {MBA} = \widehat {OFB}\) (cùng phụ với \(\widehat {FOB}\)).
Mà \(\widehat {OFM} = \widehat {OFB}\) (do FO là tia phân giác của \(\widehat {MFB}\)).
Suy ra \(\widehat {MBA} = \widehat {OFE}\).
Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {OEF} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{EOF}}}} = {\left( {\frac{{MH}}{{OM}}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(\frac{{MH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vì vậy \(\sin \widehat {MOH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {MOH} = 60^\circ \).
Do đó \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE} = 30^\circ \).
Ta có \(AE = OA.\tan \widehat {AOE} = OA.\tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}OA\).
Vậy E nằm trên tia Ax sao cho \(AE = \frac{{\sqrt 3 }}{3}OA\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 28:
Lời giải
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).
Với điểm M bất kì, ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \)
\( = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} + \vec 0 = 3\overrightarrow {MG} \).
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Câu 29:
Lời giải
Ta có sơ đồ như hình vẽ.
Quan sát sơ đồ, ta thấy nếu Hồng có thêm 14 chiếc bưu ảnh và Lan bớt đi 16 chiếc thì có số bưu ảnh bằng số bưu ảnh của Hoa.
Vậy nếu tổng số bưu ảnh của ba bạn cộng thêm 14 và bớt 16 thì được 3 lần số bưu ảnh của Hoa.
Số bưu ảnh của Hoa là:
(134 + 14 – 16) : 3 = 44 (bưu ảnh).
Số bưu ảnh của Hồng là:
44 – 14 = 30 (bưu ảnh).
Số bưu ảnh của Lan là:
44 + 16 = 60 (bưu ảnh).
Đáp số: Hoa: 44 bưu ảnh;
Hồng: 30 bưu ảnh;
Lan: 60 bưu ảnh.
Câu 30:
Lời giải
Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c (b và c song song với nhau).
– Hai góc so le trong:
+ Hai góc không chung gốc.
+ Hai góc đó phải nằm ở phía trong hai đường thẳng b và c.
+ Hai góc đó phải nằm ở vị trí so le nhau, hay nói cách khác, hai góc đó phải nằm ở khác phía so với đường thẳng a.
– Hai góc đồng vị:
+ Hai góc không chung gốc.
+ Hai góc đó phải nằm cùng phía so với đường thẳng a và nằm ở vị trí giống nhau trên hai đường thẳng b và c.
Câu 31:
Lời giải
Ta có a, b, c, d ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và a ≠ 0.
Vì \(\overline {dad} \) là số có ba chữ số và khi nhân cho 5 thì được kết quả là \(\overline {abc} \) cũng là số có ba chữ số nên ta có d = 0 hoặc d = 1.
Với d = 0, ta thấy không có giá trị a nào thỏa mãn \(\overline {abc} = 5 \times \overline {dad} \) nên ta loại d = 0.
Với d = 1, ta thấy a = 9 thỏa mãn \(\overline {abc} = 5 \times \overline {dad} \).
Khi đó ta có 955 = 5 × 191.
Tức là, a = 9, b = c = 5, d = 1.
Vậy số cần tìm là 9551.
Câu 32:
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn.
Ta có n(Ω) = 9.9.8 = 648.
Trường hợp 1: Ba chữ số được chọn đều là số chẵn.
Số cách chọn và sắp xếp ba chữ số chẵn là \(A_5^3\).
Số cách chọn và sắp xếp ba chữ số chẵn sao cho số 0 đứng đầu là \(A_4^2\).
Suy ra số các số thỏa mãn trường hợp 1 là \(A_5^3 - A_4^2 = 48\) số.
Trường hợp 2: Ba chữ số được chọn có 2 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn.
Số cách chọn và sắp xếp 2 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn là \(C_5^2.C_5^1.3!\).
Số cách chọn và sắp xếp 2 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn là số 0 đứng đầu là \(C_5^2.2!\).
Suy ra số các số thỏa mãn trường hợp 2 là \(C_5^2.C_5^1.3! - C_5^2.2! = 280\) số.
Khi đó n(A) = 48 + 280 = 328.
Vì vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{328}}{{648}} = \frac{{41}}{{81}}\).
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 33:
Lời giải
(–525) – [(475 + 245) – 45]
= – (525 + 475) – (245 – 45)
= –1000 – 200
= –1200.
Câu 34:
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln xd\left( {\ln x} \right)} = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C\).
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 35:
Lời giải
Đáp án đúng là: B
• Trường hợp 1: Ông An đứng ở đầu hàng, bà An đứng ở cuối hàng và 6 người con đứng ở giữa.
Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.
• Trường hợp 2: Ông An đứng ở cuối, bà An đứng ở đầu hàng và 6 người con đứng ở giữa.
Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.
Số cách xếp hàng khác nhau nếu ông hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là:
2 . 6! = 2 . 720 = 1 440 (cách)
Vậy có 1 440 cách cần tìm.
Do đó ta chọn phương án B.
Câu 36:
Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Lấy A thuộc (O) sao cho AB < AC, vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh rằng: MA2 = MB.MC.
c) Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh AM // EF.
Lời giải
a) Ta có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: AH.BC = AB.AC (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Xét ∆MAB và ∆MCA, có:
\(\widehat {AMB}\) chung;
\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).
Vậy MA2 = MB.MC (điều phải chứng minh).
c) Tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao:
AH2 = AE.AB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Chứng minh tương tự, ta được AH2 = AF.AC.
Khi đó ta có AE.AB = AF.AC.
Xét ∆AEF và ∆ACB, có:
\(\widehat {FAE}\) chung;
\(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\) (AE.AB = AF.AC).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\) (cặp góc tương ứng) (1)
Ta có tam giác AOC cân tại O (do OA = OC = R).
Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (2)
Lại có \(\widehat {OCA} + \widehat {ABC} = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat {OAC} + \widehat {AFE} = 90^\circ \).
Khi đó AO ⊥ EF.
Mà AM ⊥ AO (do AM là tiếp tuyến của (O)).
Vậy AM // EF.
Câu 37:
Lời giải
Đổi: \(1\frac{1}{5}\) m = 1,2 m.
Số mét vải cắt ra lần đầu là:
1,2 × 16 = 19,2 (m)
Số mét vải cắt ra lần thứ hai là:
36 – 19,2 = 16,8 (m)
Mỗi mảnh vải cắt ra ở lần thứ hai dài số mét là:
16,8 : 6 = 2,8 (m)
Đáp số: 2,8 m.
Câu 38:
Lời giải
Vì (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A.
Suy ra A thuộc đường nối tâm OO’.
Qua A, vẽ tiếp tuyến Ax chung của hai đường tròn (O) và (O’).
Xét đường tròn (O’), có: \(\widehat {EAx} = \widehat {EDA} = \frac{1}{2}\)sđ (1)
Xét đường tròn (O), có: \(\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \frac{1}{2}\)sđ (2)
Ta có \(\widehat {EAx} = \widehat {CAx}\) (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra \(\widehat {CBA} = \widehat {EDA}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Vậy BC // DE (điều phải chứng minh).
Câu 39:
Lời giải
Ta có \(\sin x = \frac{1}{2}\).
\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6}\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 40:
Lời giải
Trước nửa đêm: 24 giờ.
Số phút trước nửa đêm cần tìm là: x.
Trước đó 30 phút, tức là x – 32.
Thời gian này gấp 3 lần số phút sau 22 giờ: x . 3 + 22 . 60.
Ta có phương trình: 24 . 60 – x – 32 = x . 3 + 22 . 60.
⇒ 1408 – x = x . 3 + 1320.
⇒ 4 . x = 88.
⇒ x = 88 : 4.
⇒ x = 22.
Vậy trước nửa đêm 22 phút thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 41:
Lời giải
Tổng số tiền mua cam là:
500 . 40 000 = 20 000 000 (đồng)
Tổng số tiền vốn ban đầu là:
20 000 000 + 4 000 000 = 24 000 000 (đồng)
Số lượng cam không bị hư là:
500 . (100% – 10%) = 450 (kg)
Số tiền thu được sau khi bán hết số cam nhập khẩu là:
(100% + 20%) . 24 000 000 = 28 800 000 (đồng)
Giá bán mỗi kg cam là:
28 800 000 : 450 = 64 000 (đồng)
Đáp số: 64 000 đồng.
Câu 42:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại I cắt AC tại E.
a) Chứng minh BI.BE = 2BH.BM.
b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm BC. Suy ra BC = 2BM.
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: AB2 = BH.BC = 2BH.BM (1)
Tam giác ABE vuông tại A có AI là đường cao: AB2 = BI.BE (2)
Từ (1), (2), ta được BI.BE = 2BH.BM.
b) Từ (1), ta có \(BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}}\).
Suy ra \(\frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{A{B^4}}}\).
Từ (2), ta có \(BE = \frac{{A{B^2}}}{{BI}}\).
Suy ra \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{A{B^4}}}\).
Xét ∆BMI và ∆AMH, có:
\(\widehat {AMB}\) chung;
\(\widehat {BIM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BI}}{{AH}} = \frac{{BM}}{{AM}}\).
Mà AM = BM (tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến).
Do đó BI = AH.
Ta có \(\frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{A{B^4}}} + \frac{{B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{B{I^2} + B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^4}}} = \frac{1}{{A{B^2}}}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 43:
Lời giải
Hàm số đã cho có a = 1 > 0 và \(\frac{{ - b}}{{2a}} = m + 1\) nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (m + 1; +∞).
Do đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (4; 2018) thì (4; 2018) ⊂ (m + 1; +∞).
⇔ m + 1 ≤ 4 ⇔ m ≤ 3.
Mà m là số nguyên dương.
Suy ra m ∈ {1; 2; 3}.
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.