Lời giải

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\2x + 5y \le 12x + 8\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\ - 2x + y \le \frac{8}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\ - 10x + 5y \le 8\end{array} \right.\].

Ta vẽ các đường thẳng:

(d₁): 2x − y = 3 hay y = 2x − 3

(d₂): −10x + 5y = 8 hay 5y = 10x + 8

Lấy điểm O(0; 0), ta thấy O không thuộc cả hai đường thẳng trên và 2 . 0 − 0 £ 3 và (−10) . 0 + 5 . 0 £ 8 nên phần được giới hạn bởi hai đường thẳng trên chứa điểm O (phần không tô đậm) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\]

ĐK: \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \)

Ta có: 5sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0

Û 5(sin 2x + 1) + sin x + cos x + 1 = 0

Û 5(sin x + cos x)² + sin x + cos x + 1 = 0

Þ 5t² + t + 1 = 0

Suy ra không tồn tại giá trị nào của t thỏa mãn hay phương trình đã cho vô nghiệm

Ta nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1 + tan² x = 0.

Chọn đáp án D.

Lời giải

Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\]

ĐK: \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \)

Ta có: 5sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0

Û 5(sin 2x + 1) + sin x + cos x + 1 = 0

Û 5(sin x + cos x)² + sin x + cos x + 1 = 0

Þ 5t² + t + 1 = 0

Suy ra không tồn tại giá trị nào của t thỏa mãn hay phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình 5sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0 vô nghiệm.

Lời giải

Ta có: \(b + c + 2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \)

\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + a + c} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b + a + c}} \le \frac{{a + b + a + c}}{{4\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\)

\[ \Rightarrow \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\]

Tương tự ta có:

\[\frac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\]

\[\frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\]

Suy ra \(VT = \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}}\)

\( \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) + \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) + \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{a + b}}\left( {bc + ac} \right) + \frac{1}{{a + c}}\left( {bc + ab} \right) + \frac{1}{{b + c}}\left( {ac + ab} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{a + b}}\,.\,c\left( {b + a} \right) + \frac{1}{{a + c}}\,.\,b\left( {c + a} \right) + \frac{1}{{b + c}}\,.\,a\left( {c + b} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{4}\left( {c + b + a} \right) = \frac{{a + b + c}}{4} = VP\).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Với góc a Î (90°; 180°) thì sin a > 0; cos a < 0; tan a < 0 và cot a < 0

Khi đó:

• sin a và cot a trái dấu

Vậy khẳng định A là sai

• Tích sin a.cot a mang dấu âm

Vậy khẳng định B là đúng

• Tích sin a.cos a mang dấu âm

Vậy khẳng định C là sai

• sin a và tan a trái dấu

Vậy khẳng định D là sai

Chọn đáp án B.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Với góc a Î (90°; 180°) thì sin a > 0; cos a < 0; tan a < 0 và cot a < 0

Khi đó, mệnh đề đúng là tan a < 0.

Chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

M = cos x + cos 2x + cos 3x

= cos x + cos 3x + cos 2x

= 2cos 2x.cos x + cos 2x

= cos 2x(2cos x + 1)

\( = 2\cos 2x\left( {\cos x + \frac{1}{2}} \right)\)

\( = 2\cos 2x\left( {\cos x + \cos \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( = 2\cos 2x\,.\,2\cos \frac{{x + \frac{\pi }{3}}}{2}\,.\,\cos \frac{{x - \frac{\pi }{3}}}{2}\)

\( = 4\cos 2x\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{6}} \right)\)

Chọn đáp án D.

Lời giải

Ta có:

4^x + 7 = 2^{x + 3} + m² + 6m

Û 4^x − 8.2^x = m² + 6m − 7 (1)

Đặt 2^x = t, với x Π(1; 3) thì t Π(2; 8)

Phương trình đã cho trở thành

t² − 8t = m² + 6m − 7 (2)

Xét hàm số f (t) = t² − 8t, t Î (2; 8)

Lại có f (2) = 12; f (4) = −16; f (8) = 0

Mà hàm f (t) xác định và liên tục trên t Π(2; 8)

Û −16 £ m² + 6m − 7 < 0

Û −7 < m < 1

Suy ra m Π{−6; −5; −4; −3; −2; −1; 0}

Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm x Π(1; 3) là:

S = (−6) + (−5) + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 0 = −21

Chọn đáp án D.

Lời giải

a) x³ + 3x² + 5x + a = x²(x + 3) + 5(x + 3) + a − 15

= (x + 3)(x² + 5) + a − 15

Vì (x + 3)(x² + 5) ⋮ x + 3 nên để x³ + 3x² + 5x + a ⋮ x + 3 thì

a − 15 = 0 Û a = 15

Vậy a = 15.

b) Đa thức x³ − 3x + a chia hết cho đa thức x² − 2x + 1

x³ − 3x + a = x(x² − 2x + 1) + 2(x² − 2x + 1) + a − 2

= (x² − 2x + 1)(x + 2) + a − 2

Vì (x² − 2x + 1)(x + 2) ⋮ x² − 2x + 1 nên để x³ − 3x + a ⋮ x² − 2x + 1 thì

a − 2 = 0 Û a = 2

Vậy a = 2.

Lời giải

a) Ta có: \[\overrightarrow a = 1\,\,.\,\,\overrightarrow i - 1\,\,.\,\,\overrightarrow j = \overrightarrow i - \overrightarrow j \]

b) Ta có: \[\overrightarrow a = 3\,.\,\overrightarrow i + 5\,.\,\overrightarrow j \]

c) Ta có: \[\overrightarrow a = 6\,.\,\overrightarrow i - 0\,.\,\overrightarrow j = 6\overrightarrow i \]

d) Ta có: \[\overrightarrow a = 0\,.\,\overrightarrow i - 2\,.\,\overrightarrow j = - 2\overrightarrow j \]

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {3;\; - 4} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( { - 2;\;\frac{2}{3}} \right)\)

c) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {0;\; - 4} \right)\)

d) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( { - 7;\;0} \right)\)

Lời giải

2 . 3^x = 10 . 3¹² + 8 . 27⁴

2 . 3^x = 10 . 3¹² + 8 . 3¹²

2 . 3^x = 18 . 3¹²

2 . 3^x = 2 . 3² . 3¹²

2 . 3^x = 2 . 3¹⁴

3^x = 3¹⁴

x = 14

Vậy x = 14.

Lời giải

a) 4x² + y² − 4xy

= (2x)² − 2.2x.y + y²

= (2x − y)²

b) 27 + 9x² + 27x + x³

= 3³ + 3.3.x² + 3.3².x + x³

= (3 + x)³

c) 8z³ + 1 = (2z)³ + 1

= (2z + 1)(4z² − 2z + 1)

d) (2z − 3)² − 16

= (2z − 3)² − 4²

= (2z − 3 − 4)(2z − 3 + 4)

= (2z − 7)(2z + 1)

e) (2x − 7)² − (x + 2)²

= (2x − 7 − x − 2)(2x − 7 + x + 2)

Lời giải

a) 4x² − 4xy + y²

= (2x)² − 2.2x.y + y²

= (2x − y)²

b) 9x³ − 9x²y − 4x + 4y

= 9x²(x − y) − 4(x − y)

= (x − y)(9x² − 4)

= (x − y)(3x − 2)(3x + 2)

c) x³ + 2 + 3(x³ − 2)

= x³ + 2 + 3x³ − 6

= 4x³ − 4

= 4(x³ − 1)

Lời giải

Theo đề bài ta có:

f (x) < e^x + m Û f (x) − e^x < m

Đặt g (x) = f (x) − e^x. 

Khi đó: f (x) < e^x + m với mọi x Î (−1; 1)

Þ g (x) = f (x) − e^x < m với mọi x Î (−1; 1)

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max \;}\limits_{\left[ { - 1;\;1} \right]} g\left( x \right)\)

g¢ (x) = f¢ (x) − e^x

Trên (−1; 1) ta có:

f ¢ (x) < 0; e^x > 0 "x Î ℝ

Þ g¢ (x) < 0 "x Î (−1; 1)

Þ g (x) nghịch biến trên (−1; 1)

\( \Rightarrow \mathop {\max \;}\limits_{\left[ { - 1;\;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\)

\( \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\)

Vậy bất phương trình f (x) < e^x + m đúng với mọi x Î (−1; 1) khi và chỉ khi:

\(m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

\(\sin \widehat {HAB} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {HAB} = 30^\circ \)

Tập hợp l là mặt nón có trục AB, đường sinh l, góc ở đỉnh là 60°

Gọi I là hình chiếu của H lên AB

Ta có: \(BI = BH\,.\,\cos 60^\circ = \frac{{AB}}{4}\) Þ I cố định.

Lại có \(IH = BH\,.\,\sin 60^\circ = \frac{{AB}}{2}\,.\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\).

Do đó H luôn cách I một khoảng bằng \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\) không đổi.

Vậy tập hợp điểm H là một đường tròn tâm I bán kính \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\).

Chọn đáp án D.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Nếu f ¢(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên (a; b)

Vậy mệnh đề D là đúng

Nếu f ¢(x) < 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên (a; b)

Vậy mệnh đề A là đúng

Nếu hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) thì f (x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b)

Vậy mệnh đề B là sai và mệnh đề C là đúng

Chọn đáp án B.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f ¢(x) ≥ 0, "x Î (a; b)

Vậy mệnh đề A là sai

Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f ¢(x) £ 0, "x Î (a; b) và f ¢(x) = 0 tại hữu hạn giá trị x Î (a; b)

Vậy mệnh đề B là đúng

Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi "x₁, x₂ Î (a; b): x₁ > x₂ Û f (x₁) < f (x₂)

Vậy mệnh đề C là đúng

Nếu f ¢(x) < 0, "x Î (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

Vậy mệnh đề D là đúng

Chọn đáp án A.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(y' = \frac{1}{2} - \sin x;\;y'' = - \cos x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\)

\(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k2\pi } \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{6} + k2\pi } \right) = - \cos \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\;k \in \mathbb{Z}\)

\(y''\left( {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right) = - \cos \left( {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right) = - \cos \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\;k \in \mathbb{Z}\)

Chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y' = - \sin x\,.\,{e^{\cos x}}\\y'' = {\sin ^2}x\,.\,{e^{\cos x}} - \cos x\,.\,{e^{\cos x}}\end{array} \right.\)

Thay lần lượt vào các đáp án thì ta được đáp án B đúng.

Thật vậy:

Ta có: y¢ . sin x + y . cos x + y²

= −sin x . e^{cos x}.sin x + e^{cos x} . cos x + sin² x . e^{cos x} − cos x . e^{cos x}  

= −sin² x . e^{cos x} + e^{cos x} . cos x + sin² x . e^{cos x} − cos x . e^{cos x} = 0

Chọn đáp án B.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng K thì f ¢(x) ≥ 0, "x Î K và nếu f ¢(x) > 0, "x Î K và f ¢(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

Vậy khẳng định C là sai

Chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Nếu f ¢(x) > 0, "x Î K và f ¢(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.

Nếu f ¢(x) < 0, "x Î K và f ¢(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.

Vậy khẳng định C là sai.

Lời giải

a) 3x.(5x² − 2x − 1)

= 3x.5x² − 3x.2x − 3x.1

= 15x³ − 6x² − 3x 

b) (x² + 2xy − 3).(– xy)

= x².(− xy) + 2xy.(− xy) − 3.(− xy)

= − x³y − 2x²y² + 3xy

c) \(\frac{1}{2}{x^2}y\,.\,\left( {2{x^3} - \frac{2}{5}x{y^2} - 1} \right)\)

\( = \frac{1}{2}{x^2}y\,.\,2{x^3} - \frac{1}{2}{x^2}y\,.\,\frac{2}{5}x{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}y\,.\,1\)

\( = {x^5}y - \frac{1}{5}{x^3}{y^3} - \frac{1}{2}{x^2}y\)

Lời giải

a) (x + y)² − (x − y)²

= (x² + 2xy + y²) − (x² − 2xy + y²)

= x² + 2xy + y² − x² + 2xy − y²

= 4xy

b) x² − 2x − 4y² − 4y

= (x² − 2x + 1) − (4y² + 4y + 1)

= (x − 1)² − (2y + 1)²

= (x − 1 − 2y − 1)(x − 1 + 2y + 1)

= (x − 2y − 2)(x + 2y)

c) x²(x − 1) + 16(1 − x)

= x²(x − 1) − 16(x − 1)

= (x − 1)(x² − 16)

= (x − 1)(x − 4)(x + 4)

Lời giải

a) (x + y)² + (x − y)²

= (x² + 2xy + y²) + (x² − 2xy + y²)

= x² + 2xy + y² + x² − 2xy + y²

= 2x² + 2y².

b) (x + y)² − (x − y)²

= (x² + 2xy + y²) − (x² − 2xy + y²)

= x² + 2xy + y² − x² + 2xy − y²

= 4xy.

c) (x + 2)² − 2(x + 2)(x − 3) + (x − 3)²

= (x + 2 − x + 3)²

= 5² = 25.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì ab + bc + ca = 1 nên

(a² + 1)(b² + 1)(c² + 1)

= (a² + ab + bc + ca)(b² + ab + bc + ca)(c² + ab + bc + ca)

= [a(a + b) + c(a + b)][b(a + b) + c(a + b)][b(a + c) + c(a + c)]

= (a + b)(a + c)(a + b)(b + c)(a + c)(b + c)

=  (a + c)²(a + b)²(b + c)²

Vậy (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1) bằng (a + c)²(a + b)²(b + c)²

Chọn đáp án D.

Lời giải

\(P = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - b} \right)\left( {c - a} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} - \frac{{{b^2}\left( {a - c} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) - {b^2}\left( {a - c} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2}b - {a^2}c - a{b^2} + {b^2}c + a{c^2} - b{c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {{b^2} - {c^2}} \right) + bc\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right) + bc\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\[ = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + bc} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{{a^2} - ab - ac + bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{a\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} = 1\]

Lời giải

Kích thước của mẫu là: 20.

Lời giải

Các giá trị khác nhau: 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23.

Suy ra có 12 giá trị khác nhau.

Lời giải

a) Do tam giác ABC vuông cân nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACB}\)

Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACD có:

AB = AC (gt)

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\)

Þ DABE = DACD (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

Þ BE = CD; AE = AD

b) I là giao điểm của hai tia phân giác góc B và góc C của tam giác ABC nên AI cũng là phân giác góc A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.

Vậy thì \(\widehat {AMC} = 90^\circ ;\;BM = MC = AM\)

Từ đó suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

c) Gọi giao điểm của DH, AK với BE lần lượt là J và G. 

Do DH và AK cùng vuông góc với BE nên ta có 

DBDJ = DBHJ; DBAG = DBKG Þ BD = BH; BA = BK

Þ HK = AD

Mà AD = AE nên HK = AE (1)

Do tam giác BAK cân tại B, có \(\widehat B = 45^\circ \Rightarrow \widehat {BAK} = \frac{{180^\circ - 45^\circ }}{2} = 67,5^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {GAE} = 90^\circ - 67,5^\circ = 22,5^\circ = \frac{{\widehat {IAE}}}{2}\)

Suy ra AG là phân giác góc IAE.

Từ đó ta có \(\widehat {KAC} = \widehat {ICA} = 22,5^\circ \)

Þ DAKC = DCIA (g - c - g) Þ KC = IA

Lại có tam giác AIE có AG là phân giác đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân, hay AI = AE. Suy ra KC = AE (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK = KC.

Lời giải

a) ĐKXĐ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 10 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2;\;x \ne 5\\x \ne 2;\;x \ne - 2\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 5\end{array} \right.\)

Khi đó \(N = \frac{{2x - 10}}{{{x^2} - 7x + 10}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{2 - x}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\)

\( = \frac{2}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\)

\( = \frac{2}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + 2}}\)

b) Để N nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{ - 1}}{{x + 2}}\) nguyên

Þ −1 ⋮ (x + 2)

Þ x + 2 Î Ư(1) = {−1; 1}

Þ x Î {−3; −1} (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x Î {−3; −1} thì N nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a) 4x² + 5x − 9

= 4x² − 4x + 9x − 9

= 4x(x − 1) + 9(x − 1)

= (x − 1)(4x + 9)

b) 4x³ + 4x² − 5x − 3

= 4x³ − 4x² + 8x² − 8x + 3x − 3

= 4x²(x − 1) + 8x(x − 1) + 3(x − 1)

= (x − 1)(4x² + 4x + 3)

Lời giải

\({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019\)

\( = {\log _{2018}}2019 + {2^2}\,.\,2{\log _{2018}}2019 + {3^2}\,.\,3{\log _{2018}}2019 + ... + {n^2}\,.\,n{\log _{2018}}2019\)

= log ₂₀₁₈ 2019 + 2³ . log ₂₀₁₈ 2019 + 3³ . log ₂₀₁₈ 2019 + … + n³ . log ₂₀₁₈ 2019

= (1³ + 2³ + 3³ + … + n³) log ₂₀₁₈ 2019

Nên để \({\log _{2018}}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt {2018} }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{{2018}}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{{2018}}}}2019\)

= 1010² . 2021² log ₂₀₁₈ 2019 thì:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = 1010² . 2021²

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{n^2} + n}}{2}} \right)^2} = {1010^2}\,.\,{2021^2}\)

\( \Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 1010\,.\,2021\)

Û n(n + 1) = 2 . 1010 . 2021 = 2020 . 2021

Þ n = 2020

Lời giải

\[{\log _a}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt a }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{a}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{a}}}2019\]

\( = {\log _a}2019 + {2^2}\,.\,2{\log _a}2019 + {3^2}\,.\,3{\log _a}2019 + ... + {n^2}\,.\,n{\log _a}2019\)

= log _a 2019 + 2³ . log _a 2019 + 3³ . log _a 2019 + … + n³ . log _a 2019

= (1³ + 2³ + 3³ + … + n³) log _a 2019

Suy ra \[{\log _a}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt a }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{a}}}2019 + ... + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{a}}}2019\]

\[ = {1008^2}\,.\,{2017^2}{\log _a}2019\]

Khi: 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = 1008² . 2017²

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{n^2} + n}}{2}} \right)^2} = {1008^2}\,.\,{2017^2}\)

\( \Rightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 1008\,.\,2017\)

Û n(n + 1) = 2 . 1008 . 2017 = 2016 . 2017

Þ n = 2016

Lời giải

a) \[\left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \frac{{\sqrt {216} }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \left( {\frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{2\sqrt 2 - 2}} - \frac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right]\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\[ = \sqrt 6 \left( {\frac{1}{2} - 2} \right)\,\,.\,\frac{1}{{\sqrt 6 }}\]

\( = - \frac{3}{2} = - 1,5\)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) \(\left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)

\[ = \left( {\frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\sqrt 3 - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt 5 - \sqrt 7 }}\]

\[ = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\,.\,\left( {\sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\]

= 5 − 7 = −2.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) \[\frac{{a\sqrt b + b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a - \sqrt b }}\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}} \right)\,.\,\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\]

\[ = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\,\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\]

= a – b.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) \[\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\]

\( = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right)\)

= 1 – a.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Lời giải

\(A = \frac{{2005a}}{{ab + 2005a + 2005}} + \frac{{2005b}}{{bc + 2005b + 2005}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\)

\( = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\)

\( = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {1 + ac + c} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {c + 1 + ac} \right)}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\)

\( = \frac{{ac}}{{ac + c + 1}} + \frac{1}{{ac + c + 1}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\)

\( = \frac{{ac + c + 1}}{{ac + c + 1}} = 1\).

Lời giải

Ta có: \[\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\]

\( \Rightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \cot g\frac{C}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\)

\[ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{A}{2}} \right)\tan \left( {\frac{B}{2}} \right) + \tan \left( {\frac{B}{2}} \right)\tan \left( {\frac{C}{2}} \right) + \tan \left( {\frac{C}{2}} \right)\tan \left( {\frac{A}{2}} \right) = 1\] (đpcm).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} \) nên đẳng thức A là sai

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) nên đẳng thức B là sai

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \) nên đẳng thức C là sai

\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} \) nên đẳng thức D là đúng

Chọn đáp án D.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

• \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} \) nên đẳng thức A là sai.

• \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CO} \) nên đẳng thức B là đúng.

• \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \) nên đẳng thức C là sai.

• \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \) nên đẳng thức D là sai.

Chọn đáp án B.