Lời giải

Đặt HC = x (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AC² = CH . BC

\( \Rightarrow {20^2} = \left( {9 + x} \right)x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 400 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 25} \right)\left( {x - 16} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 25\left( {ktm} \right)\\x = 16\end{array} \right.\]

Suy ra BC = BH + CH = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AH² = CH . BH = 9 . 16 = 144

Suy ra AH = 12 (cm)

Vậy BC = 25 cm, AH = 12 cm.

Lời giải

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

x² – 3x + 2 = x + m

⇔ x² – 4x + 2 – m = 0

Ta có: ∆’ = (–2)² – (2 – m) = m + 2

Để d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì ∆’ > 0

\( \Leftrightarrow m + 2 > 0\)

\( \Leftrightarrow m > - 2\)

Vậy m > –2 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Lời giải

Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 5 thì

\(\left\{ \begin{array}{l}2m--1 = 2\\3 - m \ne 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\).

Lời giải

Ta có: 6x³ + x² = 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{\rm{x}} - 1 = 0\\3{\rm{x}} + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{2}\\{\rm{x}} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \[{\rm{x}} \in \left\{ {0;\frac{1}{2}; - \frac{2}{3}} \right\}\].

Lời giải

Theo định lý sin, trong tam giác ABD ta có:

\(\frac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \frac{{AD}}{{\sin \left( {B - \varphi } \right)}}\)

Trong tam giác BCD có:

\(\frac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \frac{{BD}}{{\sin \left( {C - \varphi } \right)}}\)

Trong tam giác ACD có:

\(\frac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \frac{{CD}}{{\sin \left( {A - \varphi } \right)}}\)

Suy ra:

\(\frac{{B{\rm{D}}}}{{\sin \varphi }}.\frac{{C{\rm{D}}}}{{\sin \varphi }}.\frac{{A{\rm{D}}}}{{\sin \varphi }} = \frac{{AD}}{{\sin \left( {B - \varphi } \right)}}.\frac{{BD}}{{\sin \left( {C - \varphi } \right)}}.\frac{{CD}}{{\sin \left( {A - \varphi } \right)}}\)

Do đó: sin³φ = sin(A – φ). sin(B – φ). sin(C – φ)

Vậy sin³φ = sin(A – φ). sin(B – φ). sin(C – φ).

Lời giải

– Định nghĩa:

+ Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) hay xy = a (với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

+ Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với đại lượng y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

– Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).

+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

+ Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ a thì:

x₁y₁ = x₂y₂ = x₃y₃ = ... = a;

\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\).

Giải:

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 5 nên \(y = \frac{5}{x}\)

Hay xy = 5

Suy ra \[{\rm{x}} = \frac{5}{y}\] (y ≠ 0)

Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 5.

Lời giải

Ta có:

\(A = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}} = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {a + 1 - a - 1} \right)}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \)

\( = \sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{a} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{{a + 1}} - 2 \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{{a + 1}}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a - 1}}} \right)}^2}} = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a - 1}}\)

Vậy \[{\rm{A}} = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a - 1}}\].

Lời giải

Khẳng định trên là sai vì:

Đường tròn có 1 tâm đối xứng và vô số trục đối xứng (mỗi đường kính là một trục đối xứng).

Lời giải

Xét hiệu:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)

\( = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\), vì \({\rm{a}}{\rm{, b}} > 0\)

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b

Vậy \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\) với a > 0 và b > 0.

Lời giải

Ta có:

\({x^2} + x - xy - 2{y^2} - 2xy = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + xy - 2{y^2} + x - 2y = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 2y) + y(x - 2y) + (x - 2y) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x + y + 1)(x - 2y) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + 1 = 0}\\{x - 2y = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = - 1}\\{x = 2y}\end{array}} \right.\)

Thay x = 2y vào phương trình x² + y² = 1 ta có:

\(4{y^2} + {y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{5}\)

\( \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow x = 2 \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có \(x + y = - 1\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 1\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2xy = 1\)

\( \Leftrightarrow xy = 0\)

Lại có x + y = –1

Do đó x = –1 – y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Lời giải

Ta có:

\({x^2} - x - xy - 2{y^2} + 2y\)

\( = {x^2} - x + xy - 2{y^2} + 2y - 2xy\)

\( = x(x - 1 + y) - 2y(y - 1 + x)\)

\( = (x - 2y)(x + y - 1)\)

Lời giải

Ta có:

\(\frac{{355}}{{113}} \approx 3,14159292... < 3,14159293\)

Do vậy

\(0 < \frac{{355}}{{113}} - \pi < 3,1415929 - 3,14159265 \approx 0,00000028\)

Vậy sai số tuyệt đối nhỏ hơn 2,8 . 10^-7.

Lời giải

Ta có:

[(–59) + 71] – [(–83) – (–95)]

= (–59) + 71 + 83 + (–95)

= 12 + (–12)

= 0.

Lời giải

Ta có:

\(2x - ( - 17) = 15\)

\( \Rightarrow 2x + 17 = 15\)

\( \Rightarrow 2x = 15 - 17\)

\( \Rightarrow 2x = - 2\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{2}\)

\( \Rightarrow x = - 1\)

Vậy x = –1.

Lời giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại C

Nên AC = BC, \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA} = 45^\circ \)

Ta có PM // BC và AC ⊥ CB

Suy ra PM ⊥ AC

Do đó tam giác APM vuông tại P

Lại có \(\widehat {PAM} = 45^\circ \)

Suy ra \(\widehat {PAM} = \widehat {PMA} = 45^\circ \)

Do đó tam giác APM vuông cân tại P

Suy ra PA = PM

Mà PA = CQ (giả thiết)

Suy ra PM = CQ

Xét tứ giác PCQM có

PM = CQ

Mà PM // CQ

Suy ra PCQM là hình bình hành

Lại có: \(\widehat C = 90^\circ \)

Suy ra PCQM là hình chữ nhật

Vậy PCQM là hình chữ nhật.

Lời giải

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \)

Do hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) ngược hướng

Nên \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ \)

Do đó \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = |\overrightarrow {OA} | \cdot |\overrightarrow {OB} | \cdot \cos (\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} )\)

\( = OA \cdot OB \cdot \cos 180^\circ = - OA \cdot OA = - O{A^2}\)

Với điểm M tùy ý ta có

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = {\overrightarrow {MO} ^2} + \overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\ = {\left| {\overrightarrow {MO} } \right|^2} + (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ) \cdot \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} \\ = M{O^2} + \vec 0 \cdot \overrightarrow {MO} + \left( { - O{A^2}} \right)\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - O{A^2}\).

Lời giải

Hàm số \[{\rm{g}}\left( x \right){\rm{ = cosx + }}\frac{{{x^2}}}{2} - 1\] liên tục trên [0; +∞) có đạo hàm g’(x) = x – sinx

Ta có g’(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g(x) đồng biến trên [0; +∞)

Khi đó ta có

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0

Hay \[{\rm{cosx + }}\frac{{{x^2}}}{2} - 1 > 0\] với mọi x > 0

⇔ \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x > 0                                         (1)

Với mọi x < 0 thì – x > 0 nên theo (1) ta có

\(\cos ( - x) > 1 - \frac{{{{( - x)}^2}}}{2} \Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x < 0

Vậy \[{\rm{cosx > 1}} - \frac{{{x^2}}}{2}\] với mọi x ≠ 0.

Lời giải

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC = AD

Xét ∆ABC và ∆ABD có

AC = AD

\(\widehat {BAC} = \widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ \)

AB là cạnh chung

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (c.g.c)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}}\) (hai góc tương ứng), BC = BD (hai cạnh tương ứng)

Ta có \(AC = \frac{1}{2}BC\) (giả thiết)

AC = AD

Suy ra \(A{\rm{D}} = \frac{1}{2}BC\)

Do đó AC + AD = BC

Hay CD = BC

Mà BC = BD

Suy ra BC = BD = CD

Do đó tam giác BCD đều

Suy ra \(\widehat {DBC} = 60^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {CB{\rm{D}}}\), \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Vậy nếu trong tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30°.

Lời giải

Ta có:

\[{\rm{cos2x}} - \cos x = \sqrt 3 \left( {\sin 2{\rm{x}} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} = - x + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{x = k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k2\pi ,x = \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\].

Lời giải

Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 

Hai vectơ cùng hướng (hoặc chiều) khi chúng là vectơ cùng phương và cùng xác định 1 hướng.

Lời giải

Ta có:

\( = \frac{{{{(x + y)}^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} - 3xyz + {z^3}}}{{{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {x^2} - 2xz + {z^2}}}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(x + y)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy(x + y + z)}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2xz}}\)

\( = \frac{{(x + y + z)\left[ {{{(x + y)}^2} - z(x + y) + {z^2}} \right] - 3xy(x + y + z)}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}\)

\( = \frac{{(x + y + z)\left( {{x^2} + 2xy + {z^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right)}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}\)

\( = \frac{{(x + y + z)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz} \right)}}\)

\( = \frac{{x + y + z}}{2} = \frac{1}{2}(x + y + z)\).

Lời giải

Ta có:

A = x² – 3x + 5

\[{\rm{A}} = {x^2} - 2.\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{{11}}{4}\]

\(A = {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4}\)

Vì \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

Nên \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} \ge \frac{{11}}{4},\forall x\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \[{\rm{x}} - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \(\frac{{11}}{4}\) khi \[x = \frac{3}{2}\].

Lời giải

Ta có:

Để đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2 thì số dư a – 30 = 0

Hay a = 30.

Vậy a = 30 thì đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2.

Lời giải

Điều kiện xác định \[{\rm{x}} \ge \frac{{ - 10}}{3}\]

Ta có:

Vậy x = – 3.

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 7x - 8 \le 0}\\{{a^2}x + 1 > 3 + (3a - 2)x}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 7x - 8 \le 0}\\{\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)x > 2}\end{array}} \right.\)

Ta đặt  \({x^2} + 7x - 8 \le 0\,\,\,\left( a \right)\); \(\left( {{a^2} - 3a + 2} \right)x > 2\,\,\,\left( b \right)\)

Hệ (1) vô nghiệm khi và chỉ khi T(a) ∩ T(b) = ∅

Ta có x² + 7x – 8 ≤ 0

⇔ (x + 8)(x – 1) ≤ 0

⇔ –8 ≤ x ≤ 1

Suy ra T(a) = [–8; 1]

Đặt a² – 3a + 2 = m

+) Nếu m = 0 thì a² – 3a + 2 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\)

Khi đó 0 . x > 2

Suy ra T(b) = ∅

Do đó hệ (1) vô nghiệm

+) Nếu m > 0 thì a² – 3a + 2 > 0

Suy ra a ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞)

Khi đó mx > 2

\( \Leftrightarrow x > \frac{2}{m}\)

Ta có:

T(a) ∩ T(b) = ∅

\( \Leftrightarrow \frac{2}{m} \ge 1\)

⇔ 2 ≥ m = a² – 3a + 2

⇔ a² – 3a ≤ 0

⇔ 0 ≤ a ≤ 3

Kết hợp điều kiện a ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) ta được \(\left[ \begin{array}{l}0 \le a < 1\\2 < a \le 3\end{array} \right.\)

+) Nếu m < 0 thì a² – 3a + 2 < 0

Suy ra a ∈ (1; 2)

Khi đó mx < 2

\( \Leftrightarrow x < \frac{2}{m}\)

Ta có:

T(a) ∩ T(b) = ∅

\( \Leftrightarrow \frac{2}{m} \le - 8\)

⇔ 2 ≥ –8m = –8(a² – 3a + 2)

⇔ 4a² – 12a + 9 ≥ 0

⇔ (2a – 3)² ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra a ∈ (1; 2) thì hệ (1) vô nghiệm

Vậy 0 ≤ a ≤ 3.

Lời giải

Gọi (a, b) = d

Suy ra a = dm, b = dn, trong đó m, n, d ∈ N*

(m, n) = 1

Giả sử a > b nên m > n

Ta có:

a . b = (a, b) . [a, b]

⇔ dm . dn = d . 6 . d

⇔ mn = 6

Theo đề bài ta có a + b = 30

Suy ra dm + dn = 30

Hay m + n = 30

Vì m, n, d ∈ ℕ*, m > n nên ta có bảng sau:

Vậy (a, b) = (18, 12).