Đặt A = 4n³ + 9n² – 19n – 30

+) Nếu n là số lẻ ⇒ 4n³ chia hết cho 2

(9n² – 19n) chia hết cho 2 

30 chia hết cho 2

⇒ A chia hết cho 2

+) Nếu n là số chẵn ⇒ 4n³ chia hết cho 2

(9n² – 19n) chia hết cho 2 

30 chia hết cho 2

⇒ A chia hết cho 2

Vậy A luôn luôn chia hết cho 2 với mọi n (1)

TH1: n chia hết cho 3

⇒ 4n³ chia hết cho 3

⇒ 9n² chia hết cho 3

⇒ 19n chia hết cho 3

Mà 30 chia hết cho 3

⇒ A chia hết cho 3

TH2: n chia 3 dư 1

⇒ 4n³ ≡ 4.1³ ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)

9n² chia hết cho 3

19n ≡ 19.1 ≡ 1 (mod 3)

30 chia hết cho 3

⇒ A ≡ 1 + 0 – 1 – 0 = 0 (mod 3)

⇒ A chia hết cho 3

TH3: n chia 3 dư 2

⇒ 4n³ ≡ 4.2³ ≡ 4 . 8 ≡ 32 ≡ 2 (mod 3)

9n² chia hết cho 3

19n ≡ 19.2 ≡ 38 ≡ 2 (mod 3)

30 chia hết cho 3

⇒ A ≡ 2 + 0 – 2 – 0 ≡ 0 (mod 3)

⇒ A chia hết cho 3

⇒ A luôn luôn chia hết cho 3 với mọi n (2)

Từ (1), (2) ⇒ A chia hết cho 3.2 = 6 với mọi n (đpcm)

Số đó chia hết cho 18 ⇒ Số đó chia hết cho 2 và 9

⇒ Số đó có tận cùng là chữ số chẵn và có tổng các chữ số chia hết cho 9

Chữ số tận cùng chẵn nên chỉ có thể lớn nhất bằng 8; mỗi chữ số còn lại lớn nhất = 9

⇒ Tổng các 3 chữ số lớn nhất = 9 + 9 + 8 = 26

Tổng các chữ số chia hết cho 9 ⇒ chỉ có thể bằng 9 hoặc 18

Gọi 3 chữ số đó là a, b, c

Ta có: \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = \frac{{a + b + c}}{{1 + 2 + 3}}\)

Nếu a + b + c = 9 thì ta có: \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = \frac{{a + b + c}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)(loại)

Nếu a + b + c = 18 thì ta có: \(\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = \frac{{a + b + c}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{18}}{6} = 3\)

⇒ a = 3.1 = 3; b = 3.2 = 6; c = 3.3 = 9

Vì chữ số tận cùng chẵn nên số cần tìm là 396 hoặc 936.

Ta có: u_n+1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5

Xét u_n+1 – u_n = 2n + 5 – (2n + 3) = 2

Vậy u_n là cấp số cộng với công sai d = 2.

Để A ∪ B = B thì

–3 < m – 4 ≤ 1 ≤ m

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m - 4 > - 3\\m \ge 1\\m - 4 \le 1\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \ge 1\\m \le 5\end{array} \right.\) ⇔ 1 < m ≤ 5

Vậy m ∈ {2; 3; 4; 5}.

Tổng các giá trị nguyên của m là: 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

 Quay hình chữ nhật ABCD quanh AB thì được 1 hình trụ có:

+ Chiều cao bằng AB = 6cm

+ Đáy là đường tròn có bán kính r = BC = 4cm

S₁ = 2π.AB.BC = 2.3,14.6.4 = 150, 72 (cm²)

S₂ = 2πr² +2πrh = 2.3,14.4² + 2.3,14.4.6 = 251,2 (cm²).

Diện tích tam giác ABC là: S_ABC = \(\frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)\).

Ta có: 1 ≤ a < b + 1 < c + 1 < d + 2 < e + 3 ≤ 12.

Với mỗi bộ số a, b + 1, c + 1, d + 2, e + 3 có 1 số thỏa mãn đề bài.

Vậy có \(C_{12}^5 = 792\) số thỏa mãn.

Đáp án đúng: B

Vì E, K là trung điểm của MQ và QP nên EK là đường trung bình của tam giác MQP

Suy ra: \(EK = \frac{{QP}}{2}\)

Tương tự: KF là đường trung bình của tam giác MNP

Suy ra: \(FK = \frac{{MN}}{2}\)

Khi E,K, F thẳng hàng thì EK + KF = EF

⇔ EF = \(\frac{{QP}}{2} + \frac{{MN}}{2} = \frac{{MN + PQ}}{2}\)(1)

Khi E, K, F không thẳng hàng. Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác EKF có:

EK + KF > EF

⇔ EF < \(\frac{{MN + PQ}}{2}\)(2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra: \(EF \le \frac{{MN + PQ}}{2}\).

Gọi x là thời gian đội 1 làm xong công việc 1 mình (x > 0)

Gọi y là thời gian đổi 2 làm xong công việc 1 mình (y > 0)

Vì nếu đội 1 làm nửa quãng đường đó rồi để đội 2 làm tiếp cho đến lúc xong thì thời gian tổng cộng là 8h nên: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 8\) ⇔ x + y = 16 (1)

Trong 1 giờ:

+ Đội 1 làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc)

+ Đội 2 làm được : \(\frac{1}{y}\) (công việc)

+ Cả 2 đội làm được: \(\frac{1}{3}\) (công việc)

Do đó: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\) ⇔ \(\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ \(\frac{{16}}{{xy}} = \frac{1}{3}\) ⇔ xy = 48 (3)

Từ (1) và (3) ⇒ x,y là nghiệm của phương trình: x² – 16x + 48 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 12\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 12\\y = 4\end{array} \right.\).

\(\left| {x - 2} \right| + \left| {y - 1} \right| + {\left( {x + y - z - 2} \right)^{2022}} = 0\)

Vì \(\left| {x - 2} \right|,\left| {y - 1} \right|,{\left( {x + y - z - 2} \right)^{2022}} \ge 0\) với mọi x, y, z

Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\\x + y - z - 2 = 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\)

A = 5x²y²⁰²⁰z²⁰²¹ = 5 . 2² . 1²⁰²⁰ . 1²⁰²¹ = 20.

Cả đàn có số con gà là:

16 + 34 = 50 (con)

Tỉ số phần trăm của số gà trống và số gà của đàn là:

16 : 50 = 0,32 = 32%.

Tổng diện tích khu đất đó là:

\(\frac{{\left( {30 + 40} \right).25}}{2} = 875\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích ngôi nhà là:

15 . 10 = 150 (m²)

Diện tích bãi cỏ là:

875 – 150 = 725 (m²)

 Số túi hạt giống cần là:

725 : 25 = 29

Vậy số túi cần là: 29.

P = \(\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + }} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\)

P = \(\frac{{x + 2 + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

P = \(\frac{{x + 2 + x - 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

P = \(\frac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

P = \(\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)

P = \(\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\).

\(\frac{{x - 10}}{{1994}} + \frac{{x - 8}}{{1996}} + \frac{{x - 6}}{{1998}} + \frac{{x - 4}}{{2000}} + \frac{{x - 2}}{{2002}} = \frac{{x - 2002}}{2} + \frac{{x - 2000}}{4} + \frac{{x - 1998}}{6} + \frac{{x - 1996}}{8} + \frac{{x - 1994}}{{10}}\)

⇔ \(\left( {\frac{{x - 10}}{{1994}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 8}}{{1996}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 6}}{{1998}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 4}}{{2000}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{2002}} - 1} \right)\)

\( = \left( {\frac{{x - 2002}}{2} - } \right)1 + \left( {\frac{{x - 2000}}{4} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 1998}}{6} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 1996}}{8} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 1994}}{{10}} - 1} \right)\)

⇔ \(\frac{{x - 2014}}{{1994}} + \frac{{x - 2014}}{{1996}} + \frac{{x - 2014}}{{1998}} + \frac{{x - 2014}}{{2000}} + \frac{{x - 2014}}{{2002}}\)

\( = \frac{{x - 2014}}{2} + \frac{{x - 2014}}{4} + \frac{{x - 2014}}{6} + \frac{{x - 2014}}{8} + \frac{{x - 2014}}{{10}}\)

⇔ (x – 2014)\[\left( {\frac{1}{{1994}} + \frac{1}{{1996}} + \frac{1}{{1998}} + \frac{1}{{2000}} + \frac{1}{{2002}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} - \frac{1}{{10}}} \right) = 0\]

⇔ x – 2014 = 0

⇔ x = 2014.

Vậy x = 2014.

6^x + (3 – m)2^x – m = 0

⇔ 6^x + 3.2^x = m(2^x + 1)

⇔ \[m = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\]

Đặt f(x) = \[\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\]

f(x) – 2 = \[\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} - 2 = \frac{{{6^x} + {2^x} - 2}}{{{2^x} + 1}}\]

Vì x > 0 nên 6^x + 2^x – 2 > 6⁰ + 2⁰ – 2 = 0

Suy ra: f(x) – 2 > 0

Hay f(x) > 2 (1)

Lại có: f(x) – 4 = \[\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} - 4 = \frac{{{6^x} - {2^x} - 4}}{{{2^x} + 1}}\]

Do 0 < x < 1 nên 6^x = (2.3)^x = 2^x . 3^x < 2^x . 3¹ = 3.2^x

Suy ra: 6^x – 2^x – 4 < 3.2^x – 2^x – 4 = 2.2^x – 4 < 2.2¹ – 4 = 0

Suy ra: f(x) – 4 < 0 hay f(x) < 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 2 < f(x) < 4

Để phương trình có nghiệm thì 2 < m < 4.

△ABC đều ⇒ \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)

⇒ \(\widehat {ABE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

⇒ \(AE = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\) (trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30 độ bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh huyền)

Áp dụng định lý Pytago vào △ABE ta có:

AB² = AE² + BE²

Suy ra: BE = \(\sqrt {A{B^2} - A{E^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

S_BDCE = BE.BC = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Trường hợp 1: Xếp 4 người vợ ngồi cạnh nhau có 4! cách

+) Xếp 4 người chồng ngồi cạnh nhau VVVVCCCC hoặc CCCCVVVV có 2 cách

Vợ chỉ được ngồi cạnh chồng của mình nên, xếp 3 người chồng (không được gạch chân) Có 3! cách xếp

⇒ có 4!.2.3! cách

+) Xếp 3 người chồng ngồi cạnh nhau CVVVVCCC hoặc CCCVVVVC có 2 cách xếp

Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp

⇒ có 4!.2.2 cách

+) Xếp 2 người chồng ngồi cạnh nhau CCVVVVCC có 1 cách

Xếp 2 người chồng (không được gạch chân) có 2 cách xếp

⇒ có 4!.2

Vậy trường hợp 1 có 4!.2.3! + 4!.2.2 + 4!.2 = 432cách.

Trường hợp 2: Xếp 3 người vợ ngồi cạnh nhau

Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4! cách

+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau: VCCCCVVV hoặc VVVCCCCV có 2 cách

Xếp 2 người chồng không được gạch chân có 2 cách xếp

⇒ có: 4!.2.2 cách

+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau: VCCCVVVC hoặc CVVVCCCV có 2 cách

⇒ có: 4!.2 cách
+ 2 người chồng ngồi cạnh nhau: VCCVVVCC hoặc CCVVVCCVcó 2 cách xếp

⇒ có: 4!.2 cách

Vậy trường hợp này có 4!.2.2 + 4!.2 + 4!.2 = 192

Trường hợp 3: 2 người vợ ngồi cạnh nhau

Xếp 4 người vợ vào 4 vị trí có 4! cách

+) 4 người chồng ngồi cạnh nhau VVCCCCVV có 1 cách

Có 2 cách xếp 2 người chồng không có gạch chân

⇒ có: 4!.2

+) 3 người chồng ngồi cạnh nhau VVCCCVVC hoặc CVVCCCVV có 2 cách

⇒ có: 4!.2

+) 2 người chồng ngồi cạnh nhau CVVCCVVC hoặc VVCCVVCC hoặc CCVVCCVV hoặc VCCVVCCV có 4 cách xếp

⇒ có: 4!.4

Vậy trường hợp 3 có 4!.2 + 4!.2 + 4!.4 = 192 cách

Vậy có tất cả số cách là:

432 + 192 + 192 = 816 cách.

Coi giá hoa tháng 4 là 100100 % thì giá hoa tháng 5 là:

100% + 10% = 110% = 1,1

Giá hoa tháng sáu so với giá hoa tháng 4 chiếm số phần trăm là:

1,1 + 1,1 : 100 . 10 = 1,21 = 121 %

Vậy giá hoa tháng sáu tăng số phần trăm so với giá hoa tháng bốn là:

121% − 100 % = 21 %

Vậy giá hoa tháng sáu tăng 21 % so với giá hoa tháng bốn.

Gọi số lớn là a, số bé là b

Ta có: a – b = 18 (1)

a = 7b (2)

Thế (2) vào (1), khi đó ta có:

7b – b = 18

⇔ 6b = 18

⇔ b = 3

⇒ a = 3.7 = 21

Vậy số lớn là 21, số bé là 3.

x – 7,02 = 19 : 3,8

⇔ x – 7,02 = 5

⇔ x = 5 + 7,02

⇔ x = 12,02

Vậy x = 12,02.

Điều kiện xác định: x + m – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 – m

Để hàm số xác định trên (0; +∞) thì 1 – m ∉ (0; +∞)

⇔ 1 – m ∈ (–∞ ; 0]

⇔ 1 – m ≤ 0

⇔ m ≥ 1.

Vậy m ∈ [1; +∞] thì hàm số xác định trên (0; +∞).

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)

\( = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \)

\( = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)

Vì G là trọng tâm nên \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra: \(3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).

Gọi chiều cao của 2 hình thang lần lượt là a và b

Ta có: 2 hình thang đồng dạng

Suy ra: \(\frac{7}{{13}} = \frac{a}{b}\)(tỉ lệ của 2 đáy và tỉ lệ chiều cao)

Hay a = \(\frac{{7b}}{{13}}\)

S₁ = \(\frac{{\left( {7 + 13} \right).a}}{2} = 10a = 10\frac{{7b}}{{13}} = \frac{{70b}}{{13}}\)

S₂ = \(\frac{{\left( {17 + 13} \right).b}}{2} = 15b\)

Ta thấy: 15b > \(\frac{{70b}}{{13}}\) nên S₂ > S₁.

n(Ω) = 2¹⁰

Xem như hai người cùng đứng liền kề là một vị trí

Suy ra: ta còn 9 vị trí

Số cách chọn ra bốn người đứng trong đó có 2 người đứng liền kề là: \(C_9^3\)

Xác suất cần tìm là: \(\frac{{C_9^3}}{{{2^{10}}}} = \frac{{21}}{{256}}\).

Số tiền được giảm giá của máy tính là:

5000000 . 8% = 400000 (đồng)

Giá của máy tính sau khi giảm giá là:

5000000 – 400000 = 4600000 (đồng)

a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên y = \(\frac{a}{x}\)

Hệ số tỉ lệ a = x.y = 2.4 = 8

b) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x = \(\frac{a}{y}\)

c) Ta có: \(x = \frac{a}{y}\)

Với y = –1 thì x = –a = –8

Với y = 2 thì x =\(\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4\).

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = 2mx – 2m + 3

⇔ x² – 2mx + 2m – 3 = 0

Thay m = \(\frac{1}{2}\) ta được:

x² – x – 2 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)⇔\(\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy giao điểm của (d) và (P) là (2;4) và (–1;1)

b) x² – 2mx + 2m – 3 = 0 (*)

∆' = m² –2m + 3 = (m – 1)² + 2 > 0 với mọi m

Suy ra: Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Lại có: y₁ + y₂ < 9

⇔ x₁² +x₂² < 9

⇔ (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ < 9

⇔ (2m)² – 2(2m– 3) < 9

⇔ 4m² – 4m + 6 < 9

⇔ 4m² – 4m + 1 < 4

⇔ (2m – 1)² < 4

⇔ –2 < 2m – 1 < 2

⇔ \(\frac{{ - 1}}{2} < m < \frac{3}{2}\)

Vậy \(\frac{{ - 1}}{2} < m < \frac{3}{2}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = x\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} + \left( {x - 1} \right)\overrightarrow {AC} \)

Để A, M, N thẳng hàng thì \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{x - 1}}{1}\)

⇔ 1 = –2x + 2

⇔ x = \(\frac{1}{2}\)

Vậy x = \(\frac{1}{2}\) thì A, M, N thẳng hàng.

Gọi 2 số đó là a, b

Ta có: a + b = 120 (1)

\(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\)⇔ 3a = b (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

a + 3a = 120

⇔ 4a = 120

⇔ a = 30.

cotx = \(\sqrt 3 \)

⇔ tan x = \[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\]

⇔ \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà x ∈ [–2018π; 2018π]

⇒ –2018π \( \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le \)2018π

⇔ \( - 2018 - \frac{1}{6} \le k \le 2018 - \frac{1}{6}\)

Suy ra: k ∈ {–2018; –2017; –2016; …, 2016, 2017}

Vậy phương trình đã cho có 4036 nghiệm thuộc [–2018π; 2018π].

Ta có: x chia hết cho 5 thì x có tận cùng là 0 hoặc 5

Suy ra: x = 65; 70; 75; 80; 85; 90

Trong 6 số nêu trên, có 75 và 90 chia hết cho 3

Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do thương của hai số là 2, nên ta coi số lớn là 2 phần, thì số nhỏ là 1 phần.

Tổng số phần bằng nhau là:

2 + 1 = 3 (phần)

Số nhỏ là:

126 : 3 = 42

Số lớn là:

42 . 2 = 84

Vậy số lớn là 84, số bé là 42.

Ta có: 274 – 17.5 = 274 – 85 = 189

Vậy hiệu của 274 với tích của 17 và 5 là 189.

Gọi tuổi Đức hiện nay là x

Tuổi của Đức 4 năm trước là x – 4

Tuổi của Đức 5 năm sau là x + 5

Ta có: x + 5 = 2(x – 4)

⇔ x + 5 = 2x – 8

⇔ 13 = x

Vậy tuổi của Đức hiện nay là 13 tuổi.

\(\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + \left( {2n - 1} \right)} }}{{2{n^2} + 1}}\)

Xét 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) có số số hạng là: (2n – 1 – 1) : 2 + 1 = n

\(\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + ... + \left( {2n - 1} \right)} }}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{{2n.n}}{2}} }}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \lim \frac{{n\sqrt {{n^2}} }}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

\[ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}\]

\( = \frac{1}{2}\).

Gọi số dụng cụ theo dự định mà mỗi người phải làm trong 1 giờ là x ( dụng cụ)

Thời gian dự định mỗi người làm hết số dụng cụ là: y (giờ)

Vậy số dụng cụ theo dự định là: x.y (dụng cụ)

Do người thứ nhất mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ thì hoàn thành công việc trước thời hạn 2 giờ nên: xy = (x + 2).(y – 2)

Người thứ 2 mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành công việc trước thời hạn 3 giờ mà còn làm thêm 6 chiếc nữa nên: xy + 6 = (x + 4)(y – 3)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = \left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right)\\xy + 6 = \left( {x + 4} \right)\left( {y - 3} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}xy = xy - 2x + 2y - 4\\xy + 6 = xy - 3x + 4y - 12\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = - 4\\3x - 4y = - 18\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 12\end{array} \right.\)

Vậy số dụng cụ được giao là xy = 120 dụng cụ.

Chiều rộng của nền nhà là: 20 : 4 = 5 (m)

Diện tích của nền nhà là : 20 . 5 =100 (m²)

Diện tích của một viên gạch là: 0,4 . 0,4 = 0,16(m²)

Số viên gạch cần lót là: 100 : 0,16 = 625 (viên)

Số tiền bác Ba phải trả để mua gạch là: 625 . 80000 = 50000000 (đồng).

a) A(x) = 2x³ – x² – x + 1 = (2x³ – 4x²) + (3x² – 6x) + (5x – 10) + 11

= (x – 2)(2x² + 3x + 5) + 11

Suy ra: A(x) chia B(x) được thương là 2x² + 3x + 5 và số dư là 11

b) Để A(x) chia hết cho B(x) thì 11 ⋮ B(x)

Tức 11 ⋮ (x – 2)

Hay x – 2 ∈ Ư(11) = {11; 1; –1; –11}

Suy ra: x ∈ {13; 3; 2; –9}.

\(\lim \frac{{{n^3} + 4n - 5}}{{3{n^3} + {n^2} + 7}}\)

\( = \lim \frac{{1 + \frac{4}{{{n^2}}} - \frac{5}{{{n^3}}}}}{{3 + \frac{1}{n} + \frac{7}{{{n^3}}}}}\)

\( = \frac{{1 + 0 - 0}}{{3 + 0 + 0}} = \frac{1}{3}\).

Điều kiện: x > 0

log₂x + log₃x > 1

⇔ log₂x + log₃2 . log₂x > 1

⇔ log₂x (1 + log₃2) > 1

⇔ log₂x > \(\frac{1}{{1 + {{\log }_3}2}}\)

⇔ log₂x > \(\frac{1}{{{{\log }_3}6}}\)

⇔ log₂x > log₆3

⇔ x > \({2^{{{\log }_6}3}}\)

⇔ x > \({3^{{{\log }_6}2}}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là: (\({3^{{{\log }_6}2}}\); +∞)

Gọi đầu là a, thân là b, đuôi là c

Ta có: b = a + c = a + 250 (1)

a = c + 0,5b = 250 + 0,5b (2)

Thế (2) vào (1) ta có:

b = 250 + 0,5b + 250

⇔ 0,5b = 500

⇔ b = 500 : 0,5

⇔ b = 1000 (gam)

Vậy thân cá nặng 1000 (gam)

Đầu cá nặng là:

205 + 1000 : 2 = 750 (gam)

Con cá nặng là:

250 + 1000 + 750 = 2000 (gam) = 2 (kg)

\(\int {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int {\frac{{4\cos 2x}}{{4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int {\frac{{2.2\cos 2x}}{{{{\left( {\sin 2x} \right)}^2}}}dx} \)

\( = \int {\frac{2}{{{{\left( {\sin 2x} \right)}^2}}}d\left( {\sin 2x} \right)} \)

\( = \frac{{ - 2}}{{\sin 2x}} + C\).

sinx + cosx = 1

⇔ \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

⇔ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình lượng giác có nghiệm x = k2π hoặc \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

sinx + 2sin2x = 3 + sin3x

⇔ 3 + sin3x – sinx – 2sin2x = 0

⇔ 3 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0

⇔ sin²2x + cos²2x + 2 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0

⇔ sin²2x + cos²2x + sin²x + cos²x + 1 + 2cos2xsinx – 2sin2x = 0

⇔ ( sin²2x – 2sin2x + 1) + (cos²2x + 2cos2xsinx + sin²x) + cos²x = 0

⇔ (sin2x – 1)² + (cos2x + sinx)² + (cos)² = 0

Ta thấy: (sin2x – 1)² + (cos2x + sinx)² + (cos)² ≥ 0 với mọi x

Để (*) xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\cos 2x + \sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right.\)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\\cos 2x + \sin x = 0\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

⇔ Không có nghiệm nào x ∈ [0; 2π] thỏa mãn đồng thời 3 đẳng thức trên.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Từ 1200 đến 1360 có số số hạng là:

(1360 − 1200) : 1 + 1 = 161 (số hạng)

Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1200 đến 1360 là:

(1360 + 1200) . 161 : 2 = 206080.

Số cách xếp 9 quyển sách lên thành 1 hàng là 9!

Suy ra: n(Ω) = 9!

Gọi A là biến cố “các sách cùng môn luôn đứng cạnh nhau”

Ta xếp các sách cùng 1 bộ môn thành 1 nhóm

Với 3 quyển sách Lý ta có: 3! cách xếp

Với 2 quyển sách Toán ta có: 2! cách xếp

Với 4 quyển sách Hóa ta có: 4! cách xếp

Ta hoán vị các nhóm sách cho nhau có 3! cách

Vậy n(A) = 3! . 2! . 3! . 4!

Gọi số máy tính kiểu một và kiểu hai mà công ty này sản xuất trong một ngày lần lượt là x, y (x, y ∈ ℕ^*, chiếc).

Số tiền lãi công ty thu được trong 11 ngày:

F(x; y) = 250x + 180y (nghìn đồng)

Công suất của dây chuyền 1 là 45 máy tính/ngày và dây chuyền 2 là 80 máy tính/ngày

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\end{array} \right.\)

Để sản xuất 1 chiếc máy tính kiểu một cần 12 linh kiện điện tử A và một chiếc máy tính kiểu hai cần 9 linh kiện này. Số linh kiện này được cung cấp mỗi ngày không quá 900

⇒ 12x + 9y ≤ 900

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\12x + 9y \le 900\end{array} \right.\)

Miền của hệ BPT là phần mặt phẳng đậm nhất trong hình, kể cả biên

F(x; y) đạt GTLN khi (x; y) là một trong số các điểm A(45; 0), B(45; 40), C(15; 80), D(0; 80).

Thay vào hàm F(x; y) ta có F(x; y) đạt GTLN bằng 18450 (nghìn đồng) khi (x; y) = (45; 40).

Vậy cần sản xuất loại 1 là 45 chiếc, loại 2 là 40 chiếc.

Gọi số có 4 chữ số khác nhau từng đôi một là \(\overline {abcd} \)

Do giả thiết là các số tự nhiên chẵn nên có 4 cách chọn d ∈{2;4;6;8}

Có 8 cách chọn a (a ≠ 0,a ≠ d)

Có 8 cách chọn b (b ≠ a,b ≠ d)

Có 7 cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b, c ≠ d)

Vậy có 4.8.8.7 = 1792 số.

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \)

Buộc 3 chữ số 1, 2, 3 thành 1 cụm, đặt là A

Hoán vị các chữ số 1, 2, 3 cho nhau ta được 3! = 6 khả năng xảy ra của A

Có 3 cách chọn vị trí cho A trong \(\overline {abcde} \)

Sau khi chọn xong vị trí cho A, 2 chữ số còn lại có \(A_7^2\) = 42 cách chọn

Như vậy, sẽ có 3.6.42 = 756 số được tạo thành tính cả trường hợp a = 0.

* Xét a = 0: 

Khi đó, ta có 2 vị trí cho A, và mỗi vị trí có 6 khả năng xảy ra của A (Hoán vị 1, 2, 3)

Chữ số còn lại có 6 cách chọn

Vậy nếu a = 0 thì sẽ có 72 số được tạo thành.

Vậy số số tự nhiên có 5 chữ số (a khác 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán: 756 – 72 = 684 số tự nhiên.

Ta có: \(\widehat {DAB}\) = 120° suy ra: \(\widehat {DAH}\) = 30°

Vì ABCD là hình thang cân nên DH = (CD – AB) : 2 = (2a – a) : 2 = \(\frac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông ADH ta có:

AD = \(\frac{{AH}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{a}{{2.\frac{1}{2}a}} = a\)

AH = \(\sqrt {A{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\overrightarrow {AH} \left( {\overrightarrow {CD} - 4\overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CD} - 4\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD} \)

\[ = AH.CD.\cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CD} } \right) - 4.AH.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AD} } \right)\]

\[ = AH.CD.\cos 90^\circ - 4.AH.AD.\cos 30^\circ \]

\[ = - 4.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = - 3{a^2}\]

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CH} } \right)\)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CH} } \right)\)

\( = AB.BC.\cos 60^\circ + AB.CH.\cos 90^\circ + {\rm B}{C^2} + BC.CH.\cos 120^\circ \)

\( = a.a.\frac{1}{2} + {a^2} + a.\frac{{3a}}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{{3{a^2}}}{4}\).

Vì 2019 = 1.2019 = 673.3 = (–673).(–3) = (–1).(–2019)

Ư(2019) = {±1; ±3; ±673; ±2019}.

Tuần thứ nhất bán được số lít xăng là:

28000 : 100 . 48 = 13440 (lít)

Tuần thứ hai bán được số lít xăng là:

13440 : 2 = 6720 (lít)

Cả 2 tuần bán được số lít xăng là:

13440 + 6720 = 20160 (lít)

Sau 2 tuần cửa hàng đó còn lại số lít xăng là:

28000 − 20160 = 7840 (lít)

x : 3,5 = 4,3 – 3,22

⇔ x : 3,5 = 1,08

⇔ x = 1,08 . 3,5

⇔ x = 3,78

Vậy x = 3,78.

Gọi số sản phẩm mà tổ phải làm trong một ngày theo quy định là x, x > 0

Thời gian dự kiến hoàn thành 2400 sản phẩm là: \(\frac{{2400}}{x}\)(ngày)

Theo bài ra ta có: (x + 6)\(\left( {\frac{{2400}}{x} - 3} \right) = 2400 + 120\)

⇔ \(\left( {x + 6} \right)\frac{{2400 - 3x}}{x} = 2520\)

⇔ (x + 6)(2400 – 3x) = 2520x

⇔ –3x² + 2382x + 14400 = 2520x

⇔ –3x² – 138x + 14400 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = - 96\end{array} \right.\)

⇔ x = 50 (vì x > 0)

Vậy số sản phẩm mà tổ phải làm trong một ngày theo quy định là 50 sản phẩm.

TH1: Tam giác được chọn có 1 đỉnh là O, 2 đỉnh còn lại mỗi đỉnh ở trên 1 đường thẳng

Chọn 2 đỉnh còn lại : 8.10 = 80 cách

TH2: Tam giác được chọn có 1 đỉnh ∈ (a); 2 đỉnh ∈ (b):

Có: \(8.C_{10}^2\) = 360 (cách)

TH3: Tam giác được chọn có 2 đỉnh ∈ (a); 1 đỉnh ∈ (b):

Có: \(C_8^2.10\) = 280 (cách)

Vậy có tất cả 80 + 360 + 280 = 720 tam giác thỏa mãn.

a) Với m = 2 thì ta có: d₁: y = 2x + 3; d₂: y = x + 1

Vẽ đường thằng đi qua 2 điểm A(0;3) và B\(\left( {\frac{{ - 3}}{2};0} \right)\) ta được d₁

Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm C(0;1) và D(–1; 0) ta được d₂

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

2x + 3 = x + 1

⇔ x = – 2

Suy ra: y = –1

Vậy 2 đường thẳng cắt nhau tại E(–2; –1).

b) d₁ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3 tức là cắt tại điểm P(–3 ;0)

Khi đó ta có: 0 = –3m + 2m – 1

⇔ m = – 1

c) Gọi điểm cố định mà d₁ luôn đi qua là M(x₀; y₀)

Ta có: y₀ = mx₀ + 2m – 1 = m(x₀ + 2) – 1

⇔ m(x₀ + 2) = 1 + y₀

Để phương trình đúng với mọi m thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 0\\{y_0} + 1 = 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{y_0} = - 1\end{array} \right.\)

Vậy d₁ luôn đi qua điểm cố định là M(–2;–1).

Số dân tăng thêm hằng năm của xã đó là: 

7500 : 100 . 1,6 = 120 (người)

Hết năm 2006 xã đó có số người là:

7500 + 120 = 7620 (người) 

Chọn điểm I thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Suy ra: I cố định

Ta có: \(3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)

\[ = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)\]

\[ = 3\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} \]

\[ = 2\overrightarrow {MI} \]

Mà \(\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \)

Suy ra: \[2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\]

⇒ \[\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}{2}\]

⇒ \[MI = \frac{{AB}}{2}\]

Vậy M thuộc đường tròn tâm \(\left( {I;\frac{{AB}}{2}} \right)\).

Phím mode trong casio fx–580VN X đã được thay thế bằng phím Menu Setup.

Phím Menu Setup nằm ở trên cùng, bên trái nút ON.

Cạnh mảnh đất hình vuông là:

72 : 4 = 18 (m)

Diện tích mảnh đất hình vuông là:

18 . 18 = 324 (m²)

Gọi chiều dài là x chiều rộng là y

Ta có: Hai cạnh khu vườn tỉ lệ với 4 và 3 nên 4y = 3x

Mà xy = 300

Thay vào ta có: 4y = 3 . \(\frac{{300}}{y}\)

⇔ 4y² = 900

⇔ y² = 900 : 4 = 225

⇔ y = 15

Vậy chiều rộng là 15m

Chiều dài là: 300 : 15 = 20 (m).

Xếp các học sinh cùng 1 khối ngồi gần nhau

– Khối 12 có 4 học sinh nên có 4! cách

– Khối 11 có 5 học sinh nên có 5! cách

– Khối 10 có 4 học sinh nên có 6! cách

Hoán vị vị trí học sinh của 3 khối có 3! cách

Áp dụng quy tắc nhân:

Số cách sắp xếp 15 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

4! . 5! . 6! . 3! = 12441600 (cách)

P = 1 + \(\frac{{\tan \left( {180^\circ - x} \right)}}{{\sin x.\sin \left( {90^\circ - x} \right)}}\)

P = 1 + \(\frac{{ - \tan x}}{{\sin x.\cos x}}\)

P = 1 + \(\frac{{ - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{\sin x.\cos x}}\)

P = 1 + \( - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{\sin x\cos x}}\)

P = \(1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

P = \(\frac{{{{\cos }^2}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)

P = \(\frac{{{{\cos }^2}x - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\)

P = \(\frac{{ - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)

P = \( - {\tan ^2}x\).

Số 1 khác với các số còn lại vì: 3, 5, 7 đều là số nguyên tố.

Điều kiện xác định: x ≥ 0

Vậy tập xác định là D = [0; +∞).

Gọi số bạn nhận được sách toán, lý là a

        số bạn nhận được sách lý, hóa là b

        số bạn nhân được sách hóa, toán là c

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 6\\b + c = 5\\c + a = 7\\a + b + c = 9\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\\c = 3\end{array} \right.\)

Số cách chia phần thưởng thỏa mãn đề là số cách chọn 4 bạn trong 9 bạn nhận được phần thưởng là sách toán, lý, 2 bạn trong 5 bạn còn lại nhận được lý, hóa và 3 bạn được toán, hóa

⇒ Số cách là: \(C_9^4.C_5^2.C_3^3 = 1260\).

Nếu gấp chiều rộng lên 2 lần thì diên tích gấp lên 2 lần

Nếu gấp chiều dài lên 3 lần thì diện tích gấp lên 3 lần

Như vậy diện tích gấp lên số lần là: 2.3 = 6 (lần)

Diện tích mảnh đất mới là: 2782 . 6 = 16692 (m²).

1 lít dầu cân nặng là:

36 : 48 = 0,75 (kg)

Số dầu chứa trong can là:

(30 − 1,5) : 0,75 = 38 (lít)

Ta có: 64 = 2⁶

72 = 2³.3²

448 = 2⁶.7

100 = 2².5²

ƯCLN (64; 72; 448; 100) = 2² = 4.

(x – 2)(x – 4)(x – 5)(x – 10) – 54x² = 0

⇔ [(x– 2)(x – 10)][(x – 4)(x – 5)] – 54x² = 0

⇔ (x² – 12x + 20)(x² – 9x + 20) – 54x² = 0

Đặt x² – 12x + 20 = t

Khi đó ta có:

t(t + 3x) – 54x² = 0

⇔ t² + 3xt – 54x² = 0

⇔ t(t – 6x) + 9x(t – 6x) = 0

⇔ (t + 9x)(t – 6x) = 0

⇔ (x² – 18x + 20)(x² – 3x + 20) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 18x + 20 = 0\\{x^2} - 3x + 20 = 0\end{array} \right.\)

Nếu x² – 18x + 20 = 0

⇔ (x – 9)² – 61 = 0

⇔ (x – 9)² = 61

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 9 + \sqrt {61} \\x = 9 - \sqrt {61} \end{array} \right.\)

Nếu x² – 3x + 20 = 0

⇔ \[{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{71}}{4} \ge \frac{{71}}{4} > 0\] nên phương trình vô nghiệm.

Vậy x = \(\left\{ {9 + \sqrt {61} ;9 - \sqrt {61} } \right\}\).

(4x – 3)² – 3x(3 – 4x) = 0

⇔ (3 – 4x)² – 3x(3 – 4x) = 0

⇔ (3 – 4x)(3 – 4x – 3x) = 0

⇔ (3 – 4x)(3 – 7x) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3 - 4x = 0\\3 - 7x = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\x = \frac{3}{7}\end{array} \right.\)

Vậy S = \(\left\{ {\frac{3}{4};\frac{3}{7}} \right\}.\)

Gọi số có 5 chữ số khác nhau là \(\overline {abcde} \)

Nếu e = 0, chọn 4 trong 5 số còn lại sắp vào các vị trí a, b, c, d có \(A_5^4 = 120\)cách

Nếu e khác 0, chọn e có 2 cách

Chọn a ≠ 0 và a ≠ e có 4 cách.

Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào vị trí b, c, d có \(A_4^3\)

Như vậy có: \(A_5^4 + 2.4.A_4^3 = 312\) (số).

Gọi số có 3 chữ số đôi một khác nhau là \(\overline {abc} \)

Ta có:

a có 9 cách chọn

b có 8 cách chọn

c có 7 cách chọn

Suy ra có: 9 . 8 . 7 = 504 (số)

Để tích 3 chữ số là số lẻ thì cả 3 số đều là số lẻ

a có 5 cách chọn (chọn từ 1, 3, 5, 7, 9)

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

Suy ra lập được số các số có tích là số lẻ là: 5 . 4 . 3 = 60 (số)

Vậy lập được số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà tích 3 chữ số là số chẵn là:

504 – 60 = 444 (số).

\(\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 8{n^2}}} - n} \right)\)

\( = \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 8{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 8{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 8{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 8{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 8{n^2}}} + {n^2}}}\)

\[ = \lim \frac{{8{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 8{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 8{n^2}}} + {n^2}}}\]

\[ = \lim \frac{8}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{8}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{8}{n}}} + 1}}\]

\[ = \frac{8}{3}\].

\(\lim \left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2} - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]\)

\( = \lim \left[ {n.\frac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2} - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2} + \sqrt {{n^2} - 1} } \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2} + \sqrt {{n^2} - 1} }}} \right]\)

\( = \lim \left[ {n.\frac{{\left( {{n^2} + 2} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2} + \sqrt {{n^2} - 1} }}} \right]\)

\( = \lim \frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 2} + \sqrt {{n^2} - 1} }}\)

\( = \lim \frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} }}\)

\( = \lim \frac{3}{{\sqrt {1 + 0} + \sqrt {1 - 0} }}\)

\( = \frac{3}{2}\).

Đặt x (hàng ghế) là số hàng ghế lúc đầu. (điều kiện: x ∈ ℕ ;x ≤ 20)

Số hàng ghế lúc sau là x + 3 (hàng ghế)

Số ghế trong một hàng lúc đầu \(\frac{{300}}{x}\) (ghế)

Số ghế trên một hàng lúc sau là \(\frac{{378}}{{x + 3}}\) (ghế)

Theo đề ra, ta có phương trình:

\(\frac{{300}}{x}\) + 1 = \(\frac{{378}}{{x + 3}}\)

⇔ \(\frac{{300\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{378x}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\)

⇔ 300 (x + 3) + x(x + 3) – 378x = 0

⇔ 300x + 900 + x² + 3x – 378x = 0

⇔ x² – 75x + 900 = 0

⇔ x² – 15x – 60x + 900 = 0

⇔ x(x – 15) – 60(x – 15) = 0

⇔ (x – 15)(x – 60) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 15\\x = 60\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy ban đầu phòng họp có 15 hàng ghế, mỗi hàng ghế có 20 ghế.

Hình bình hành có diện tích lớn nhất là khi hình bình hành có chiều cao bằng độ dài đáy.

Mà tổng độ dài đáy và chiều cao là 18 cm

Suy ra: chiều cao = độ dài đáy = 18 : 2 = 9 (cm)

Diện tích lớn nhất của hình đó là: S_max = 9 . 9 = 81 (cm²).

Ta thấy: 2022 là hợp số vì 2022 chia hết cho 2; 3; 6; ….

Số nguyên tố chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Vậy 2022 là hợp số.

n\(\left( \Omega \right)\) = 16³

Các số tự nhiên từ 1 đến 16 chia thành 3 nhóm:

- Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 55 số

- Nhóm II gồm các số tự nhiên cho 3 dư 1 gồm 66 số.

- Nhóm III gồm các số tự nhiên cho 3 dư 2 gồm 5 số.

Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hơp sau:

- Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có 5353 cách.

- Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có 6363 cách.

- Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm III có 5353 cách.

Mỗi bạn viết được một số thuộc một nhóm có 3! . (5.6.5).

Vậy có tất cả: 5³ + 6³ + 5³ + 3! . (5.6.5) = 1366

Xác suất cần tính bằng: \(\frac{{1366}}{{{{16}^3}}} = \frac{{683}}{{2048}}\)

Ta có: u_n+1 = 5u_n + 8

v_n = u_n + 2

Suy ra: v_n+1 = u_n+1 + 2 = 5u_n + 8 + 2 = 5u_n + 10 = 5(u_n + 2) = 5v_n (*)

Vậy v_n là cấp số nhân với công bội q = 5.

b) Từ (*) ta có:

v₁ = u₁ + 2 = 1 + 2 = 3

v₂ = 5v₁ = 5.3 = 15

…

v_n = 5v_n–1

Số hạng tổng quát của v_n là: v_n = u₁.q^n–1 = 3.5^n–1

⇒ u_n = v_n – 2 = 3.5^n–1 – 2.

Đặt d = ƯCLN (6n – 14; 2n – 5)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}6n - 14 \vdots d\\2n - 5 \vdots d\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}6n - 14 \vdots d\\3\left( {2n - 5} \right) \vdots d\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}6n - 14 \vdots d\\6n - 15 \vdots d\end{array} \right.\)

⇒ 6n – 15 – (6n – 14) ⋮ d

Hay 1 ⋮ d. Suy ra d = 1

Vậy \(\frac{{6n - 14}}{{2n - 5}}\)là phân số tối giản.

Chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số 2,4,6,8 do đó có 4 cách chọn.

Chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số 0,2,4,6,8 do đó có 5 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.5 = 20 số có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn.

Giá trị của chữ số 6 ở phần thập phân là: 6 phần nghìn tức là \(\frac{6}{{1000}} = 0,006\).

Số tiền lãi người đó có sau tháng thứ nhất là:

8000000 . 1,2 : 100 = 96000(đồng)

Tổng số tiền cả gốc lẫn lãi người đó có sau tháng thứ nhất là:

8000000 + 96000 = 8096000(đồng)

Số tiền lãi người đó có sau tháng thứ hai là:

8096000 . 1,2 : 100 = 97152(đồng)

Tổng số tiền cả gốc lẫn lãi người đó có sau tháng thứ hai là:

8096000 + 97152 = 8193152(đồng)

Số tiền lãi là:

4500000 . 12 : 100 = 540000 (đồng)

Đáp số: 540000 đồng.

Giả sử số đó là x, thương là n

Ta có: x : 9 = n (dư 6)

x = 9n + 6

Vì 9n chia hết cho 3 và 6 chia hết cho 3 nên 9n + 6 chia hết cho 3

Hay x chia hết cho 3

Vậy số đó chia hết cho 3.

10A = \[\frac{{10.\left( {{{10}^{2020}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2021}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2021}} + 10}}{{{{10}^{2021}} + 1}} = 1 + \frac{9}{{{{10}^{2021}} + 1}}\]

10B = \[\frac{{10.\left( {{{10}^{2021}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{{{10}^{2022}} + 10}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = 1 + \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\]

Vì \[\frac{9}{{{{10}^{2021}} + 1}} > \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\] nên \[1 + \frac{9}{{{{10}^{2021}} + 1}} > 1 + \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\]

Nên 10A > 10B hay A > B.

Hoành độ giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của phương trình:

2x + 1 = x – 1

⇒ x = –2

Với x = –2 ⇒ y = –2 – 1 = –3

Suy ra hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại điểm A(–2; –3)

Để ba đường thẳng đồng quy thì điểm A(–2; –3) thuộc đồ thị hàm số y = (m + 1)x – 2. Khi đó ta có:

–3 = (m + 1).(–2) – 2

⇒ \(m = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy với \(m = \frac{{ - 1}}{2}\) thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Hoành độ giao điểm của y = x – 2 và y = 3x – 2 là nghiệm của phương trình:

x – 2 = 3x – 2

⇒ x = 0

Với x = 0 ⇒ y = 0 – 2 = –2

Suy ra hai đường thẳng y = x – 2 và y = 3x – 2 cắt nhau tại điểm B(0; –2)

Để ba đường thẳng đồng quy thì điểm B(0; –2) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + m + 1. Khi đó ta có:

0 = 2.(–2) + m + 1

⇒ m – 3 = 0

⇒ m = 3

Khối đa diện đều loại {4;3} là hình lập phương.

Khối lập phương có 6 mặt là hình vuông cạnh a.

Diện tích một mặt là a²

Vậy tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó là: S = 6a².

 \(A = \frac{{{x^2} - 2x + 2016}}{{{x^2}}}\)

\( = \frac{{2016\left( {{x^2} - 2x + 2016} \right)}}{{2016{x^2}}}\)

\( = \frac{{2016{x^2} - 2.2016x + {{2016}^2}}}{{2016{x^2}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x - 2016} \right)}^2} + 2015{x^2}}}{{2016{x^2}}}\)

Vì \(\frac{{{{\left( {x - 2016} \right)}^2}}}{{2016{x^2}}} \ge 0\) với x > 0

Suy ra: \( = \frac{{{{\left( {x - 2016} \right)}^2}}}{{2016{x^2}}} + \frac{{2015}}{{2016}} \ge \frac{{2015}}{{2016}}\) với x > 0

Suy ra: \(A \ge \frac{{2015}}{{2016}}\) với x > 0

Dấu “=” xảy ra khi x – 2016 = 0 hay x = 2016

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \(\frac{{2015}}{{2016}}\) khi x = 2016.

3xy − 2x + 5y = 29

9xy − 6x + 15y = 87

(9xy − 6x) + (15y − 10) = 77

3x(3y − 2) + 5(3y−2) = 77

(3y − 2)(3x + 5) = 77

⇒ (3y − 2) và (3x + 5) là Ư(77) = {±1, ±7, ±11, ±77}

Ta có bảng giá trị sau:

Do x, y ∈ ℤ nên (x,y) ∈ {(−4; −3), (−2; −25), (2; 3), (24; 1)}

Vậy (x,y) ∈ {(−4; −3); (−2; −25); (2; 3); (24; 1)}.

Biểu thức đã cho có (399 – 1) : 2 + 1 = 200 số

1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 – 13 – 17 + ... + 393 + 395 – 397 – 399

= (1 + 3 – 5 – 7) + (9 + 11 – 13 – 15) + ..... + (393 + 395 – 397 – 399)

= (–8) + (–8) + ... + (–8)

Ta suy biểu thức ban đầu có 200 số, chia ra các cặp số, mỗi cặp gồm 4 số.

Vậy có số cặp là: 200 : 4 = 50 (cặp)

Vậy A = (–8) × 50 = – 400.

Trong một ngày đêm kim giờ quay hai vòng

Vậy trong một ngày đêm đồng hồ đó đánh

(1 + 2 + ... + 12) . 2 = 12 . (12 + 1) = 156 tiếng.

Ta có: 3x + 2 chia hết cho x – 1

3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3(x – 1) + 5

Vì 3(x – 1) chia hết cho x – 1 nên để 3x + 2 chia hết cho x – 1 thì 5 chia hết cho x–1

⇒ x – 1 thuộc Ư(5) = {1; –1; 5; –5}

⇒ x ∈ {2; 0; 6; –4}

Vậy x ∈{2; 0; 6; –4}.

\(\frac{{4,8.0,5 + 30,4.0,25}}{{200.0,05}}\)

\( = \frac{{4,8.0,5 + 15,2.2.0,25}}{{200.0,05}}\)

\( = \frac{{4,8.0,5 + 15,2.0,5}}{{200.0,05}}\)

\( = \frac{{\left( {4,8 + 15,2} \right)0,5}}{{200.0,05}}\)

\( = \frac{{20.0,5}}{{20.10.0,05}}\)

\( = \frac{{20.0,5}}{{20.0,5}}\)

= 1.

a) A = \(\frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\) (điều kiện: a > 0)

A = \[\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt {{a^3}} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }} + 1\]

A = \[\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - 2\sqrt a - 1 + 1\]

A = \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\sqrt a - 1 + 1\]

A = \[a + \sqrt a - 2\sqrt a - 1 + 1\]

A = \[a - \sqrt a \]

b) A = 2 thì \[a - \sqrt a \] = 2

⇔ \[a - \sqrt a \] – 2 = 0

⇔ \[a + \sqrt a - 2\sqrt a - 2 = 0\]

⇔ \[\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\]

⇔ \[\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) = 0\]

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt a = 2\\\sqrt a = - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

⇔ a = 4

Vậy a = 4 thì A = 2

c) A = \[a - \sqrt a = {\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Ta thấy \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a nên \[{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge \frac{{ - 1}}{4}\] với mọi a

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{{ - 1}}{4}\) khi \(\sqrt a = \frac{1}{2}\) hay \(a = \frac{1}{4}\).

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{5}{7}\)⇒ AB = \(\frac{5}{7}CD\) (1)

Vì AB ngắn hơn CD 10 cm nên AB = CD – 10 (2)

Từ (1) và (2) ta có: CD – 10 = \(\frac{5}{7}CD\)

⇔ \(\frac{2}{7}CD = 10\)

⇔ CD = 35 (cm)

AB = 35 – 10 = 25 (cm).

Vậy AB = 25 cm, CD = 35 cm.

a) Ta có: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{5}{6}\)

Suy ra: \(\frac{{BC}}{{CD}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{2}\).

b) Từ \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\) ⇒ \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{BC}}{5}\)

Từ \(\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{5}{6}\) ⇒ \(\frac{{BC}}{5} = \frac{{CD}}{6}\)

⇒ \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{CD}}{6} = \frac{{AB + BC + CD}}{{3 + 5 + 6}} = \frac{{28}}{{14}} = 2\)

⇒ AB = 2.3 = 6(cm)

BC = 2.5 = 10 (cm)

CD = 2.6 = 12 (cm).

a) 942 – 2567 + 2563 – 1942

= (942 – 1942) – (2567 – 2563)

= –1000 – 4

= –1004

b) 13 – 12 + 11 – 10 – 9 + 8 – 7 – 6 + 5 – 4 – 3 + 2 – 1

= ( 13 – 12 ) + ( 11 – 10 ) – ( 9 – 8 ) – 7 – ( 6 – 5 ) – 4 – ( 3 – 2 ) – 1

= 1 + 1 – 1 – 7 – 1 – 4 – 1 – 1

= –13.

Tuổi của 2 cha con hiện nay là:

64 – 4 . 2 = 56(tuổi)

Tuổi của con là:

(56 − 32) : 2 = 12 (tuổi)

Tuổi của cha là:

56 – 12 = 44 (tuổi)

Đáp số: Con: 12 tuổi, Cha: 44 tuổi.

Gọi số dụng cụ mỗi ngày người đó làm là x

        số ngày người đó làm việc là y

⇒ Tổng số dụng cụ được giao là x.y

Nếu mỗi ngày tăng 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày 

 ⇒(x + 3)(y – 2) = xy

⇔ xy + 3y – 2x – 6 = xy

⇔ –2x + 3y = 6 (1)

Nếu mỗi ngày làm giảm 3 dụng cụ thì tg kéo dài 3 ngày 

⇒ (x – 3)(y – 3) = xy

⇔ xy – 3y + 3x – 9 = xy

⇔ 3x – 3y = 9

⇔ x – y = 3

⇔ x = 3 + y    (2)

Từ (1) và (2) ta có: –2(3 + y) + 3x = 6

⇔ –6 – 2y + 3y = 6

⇔ y = 12 (ngày)

⇒ x = 3 + y = 12 + 3 = 15 (dụng cụ)

Tổng số dụng cụ là:  12.15 = 180 (dụng cụ).

Nếu tăng chiều rộng và giảm chiều dài 5m thì thửa rộng đó thành hình vuông, hay là nếu tăng chiều rộng và giảm chiều dài 5m thì ta được 2 đoạn bằng nhau

Ta có sơ đồ như hình vẽ:

Hiệu của chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng đó là:

5 + 5 = 10 (m)

Nửa chu vi thửa ruộng đó là:

120 : 2 = 60 (m)

Chiều dài của thửa ruộng đó là:

(60 + 10) : 2 = 35 (m)

Chiều rộng của thửa ruộng là:

(60 – 10) : 2 = 25 (m)

Diện tích của thửa ruộng đó là:

35 . 25 = 875 (m²)

a) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ne 0\\2 - 2{x^2} \ne 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \pm 1\end{array} \right.\)

 A = \(\frac{x}{{2x - 2}} + \frac{{{x^2} + 1}}{{2 - 2{x^2}}}\)

A = \(\frac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} + 1}}{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}\)

A = \(\frac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

A = \(\frac{{x\left( {x + 1} \right) - {x^2} - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

A = \(\frac{{{x^2} + x - {x^2} - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

A = \[\frac{{x - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {x + 1} \right)}}\] (x ≠ ±1)

b) Để A > –1 tức \[\frac{1}{{2\left( {x + 1} \right)}} > - 1\]

⇔ \[\frac{1}{{2\left( {x + 1} \right)}} + 1 > 0\]

⇔ \[\frac{{1 + 2x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} > 0\]

⇔ \[\frac{{1 + 2x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} > 0\]

⇔ \[\frac{{2x + 3}}{{2\left( {x + 1} \right)}} > 0\]

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\2x + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 < 0\\2x + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x > - 1\\x < \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy để A > –1 thì x ∈ (–∞; \(\frac{{ - 3}}{2}\)) ∪ (–1; +∞)\{1}

Số lượng số tự nhiên có 3 chữ số lập từ 8 chữ số trên là 7 . 8 . 8 = 448 số

⇒ Tập M có 448 số

Gọi số thỏa mãn đề là \(\overline {abc} \)

Ta có: b < a, b < c

+) b = 0 ⇒ Có 7 cách chọn chữ số a, c

⇒ Có tất cả: 7 . 7 = 49 số cần tìm 

+) b = 1 ⇒ Có 6 cách chọn chữ số a, c

+) b = 2 ⇒ Có 5 cách chọn chữ số a, c

+) b = 3 ⇒ Có 4 cách chọn chữ số a, c

+) b = 4 ⇒ Có 3 cách chọn chữ số a, c

+) b = 5 ⇒Có 2 cách chọn chữ số a, c

+) b = 6 ⇒ Có 1 cách chọn chữ số a, c

+) b = 7 ⇒ Có 0 cách chọn chữ số a, c

⇒ Số cách chọn a, b, c thỏa mãn đề là:

7 . 7 + 6 . 6 + 5 . 5 + 4 . 4 + 3 . 3 + 2 . 2 + 1 . 1 = 140

Gọi thời gian đự định sản xuất xong là x (ngày) , điều kiện x > 1

Thời gian thực tế đã sản xuất được là x – 1 (ngày)

Số chi tiết máy dự định sản xuất là 300x (chi tiết)

Số chi tiết thực tế sản xuất được là 400.(x–1) (chi tiết )

Theo đề ta có phương trình: 300x + 600 = 400(x–1)

300x + 600 = 400x – 400

⇔ 100x = 1000

⇔ x = 10

Vậy số chi tiết dự định sản xuất là 300.10 = 3000.

a) + Nếu 0 < x < 0,8:

y = 11000 (đồng)

+ Nếu 0,8 ≤ x ≤ 30

y = 11000 + 15800(x − 0,8) = 15800x – 1640 (đồng)

+ Nếu x ≥ 31:

y = 11000 + 15800.(30 − 0,8) + 12500(x − 30) = 12500x + 97360(đồng)

b) Khi x = 40:

y = 12500 . 40 + 97360 = 597360 (đồng) 

Vậy số tiền phải trả là 597360 đồng.

Ta thấy: 9 = 6 + 2 + 1 + 0.

Số có 4 chữ số khác nhau và tổng các chữ số bằng 9 là 6210; 6120; 1260; 1620 ; 2160; 2610; ….

Tích các chữ số là: 2 . 6 . 1 . 0 = 0

Vậy tích của các chữ số là 0.