Gọi G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có: x_G = \(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3} = 1\)

y_G = \(\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{2 + 2 + 5}}{3} = 3\)

Vậy trọng tâm của ABC là G(1; 3).

Vì M thuộc Ox nên giả sử M(a; 0)

\(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1; - 2} \right);\overrightarrow {AB} = \left( {6;6} \right)\)

Tam giác MAB vuông tại A nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \)

⇔ (a + 1) . 6 + (–2) . 6 = 0

⇔ 6a + 6 – 12 = 0

⇔ a = 1

\(\overrightarrow {AM} = \left( {2; - 2} \right)\) ⇒ AM = \(\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;6} \right)\)⇒ AB = \(\sqrt {{6^2} + {6^2}} = 6\sqrt 2 \)

S_ABM = \(\frac{1}{2}.AM.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .6\sqrt 2 = 12\)(đvdt).

M = \(\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \left( {\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)(do x² + y² + z² = 1)

≥ \({\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1} \right)^2} = \frac{{49}}{{16}}\) (bất đẳng thức Bunhia)

Dấu “=” khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{7}\\{y^2} = \frac{2}{7}\\{z^2} = \frac{4}{7}\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\\y = \sqrt {\frac{2}{7}} \\z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\frac{{49}}{{16}}\)khi \(x = \frac{1}{{\sqrt 7 }};y = \sqrt {\frac{2}{7}} ;z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\)

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \]

Vì số đã cho có chữ số hàng trăm là 5 nên b = 5

Số đã cho chia hết cho cả 2 và 5 nên phải có chữ số tận cùng là 0, hay d = 0

Khi đó ta có số \[\overline {a5c0} \]

Vì số cần tìm là số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau nên suy ra a = 9 và c = 8.

Vậy số cần tìm là 9580.

2x² + y² + 9 = 6x + 2xy

⇔ 2x² + y² + 9 – 6x – 2xy = 0

⇔ (x – 3)² + (x – y)² = 0

Ta thấy: (x – 3)² + (x – y)² ≥ 0 với mọi x, y

Nên để đẳng thức xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - y = 0\end{array} \right.\) ⇔ x = y = 3

Vậy x = y = 3.

Tổ 1 chăm sóc nhiều hơn tổ 2 số mét vuông rừng là:

2500 + 400 = 2900 (m²)

Lúc đầu tổ 2 chăm sóc số mét vuông rừng là:

(28500 – 2900) : 2 = 12800 (m²)

Lúc đầu tổ 1 chăm sóc số mét vuông rừng là:

28500 – 12800 = 15700 (m²).

Giả sử a + b + c + d = 0 ⇒ b + c = −(a + d)

Cộng từng vế các điều kiện trên ta được

abc + bcd + cda + dab − (a + b + c + d) = 0

⇒ abc + bcd + cda + dab = 0

⇔ bc(a + d) + ad(b +c) = 0

⇔ bc(a + d) − ad(a + d) = 0

⇔ (a + d)(bc − ad) = 0

TH1: a + d = 0

Từ : abc – d = 1,bcd – a = 2, ta cộng lại ta được

abc + bcd−(a + d) = 3

⇔ bc(a + d)−(a + d) = 3

⇔ (a + d)(bc − 1) = 3

⇔ 0 = 3 (Vô lí)

Th2 : bc – ad = 0

Nếu b = 0 ⇒ a + c + d = 0(1)

Từ abc –d = 1 ⇒ 0 −d = 1 ⇒ d = −1

Từ bcd – a =2 ⇒ a = −2

Từ dab – c =−6 ⇒ c = 6

Lúc này ⇒ a + c + d = − 2 + 6 + (−1) = 3 ≠ 0 (Trái với (1)

Do đó b ≠ 0, tương tự d ≠ 0

Từ bc – ad = 0 ⇒ ab = cd (b, d ≠ 0)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

⇒ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{ - \left( {b + d} \right)}}{{b + d}} = - 1\)

⇒ a = −b ⇒ a + b = 0

Tương tụ như với a + d = 0 ⇒ Vô lí

Vậy a + b + c + d ≠ 0 (đpcm).

Vì C thuộc Ox nên C(x_C; 0)

Để tam giác ABC cân tại A thì AB = AC

Hay \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\]

⇔ \[\sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_C} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \]

⇔ \[5 = \sqrt {{{\left( {{x_C} - 2} \right)}^2} + 16} \]

⇔ \[25 = {\left( {{x_C} - 2} \right)^2} + 16\]

⇔ x_C² – 4x_C + 4 + 16 – 25 = 0

⇔ x_C² – 4x_C – 5 = 0

⇔ (x_C – 5)(x_C + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{x_C} = 5\\{X_C} = - 1\end{array} \right.\)

Vậy C(5; 0) hoặc C(–1; 0).

– Hai biểu thức \(\sqrt a + \sqrt b \) và \(\sqrt a - \sqrt b \)gọi là hai biểu thức liên hợp.

– Hai biểu thức \(\sqrt[n]{{a + b\sqrt c }}\) và \(\sqrt[n]{{a - b\sqrt c }}\) trong đó a, b, c là các biểu thức, gọi là hai biểu thức liên hợp bậc n.

Khi gặp các bài tập tính toán, rút gọn,... có dạng tổng hay hiệu của hai biểu thức liên hợp thì có thể dùng phép lũy thừa để khử bớt dấu căn.

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_{n + 1}} = 3{u_n} + 4;\forall n = 1,2,3,...\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_{n + 1}} + 2 = 3{u_n} + 6\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_{n + 1}} + 2 = 3\left( {{u_n} + 2} \right)\end{array} \right.\)

Đặt v_n = u_n + 2 nên suy ra: v₁ = u_1­ + 2 = 4 + 2 = 6

Từ đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 6\\{v_{n + 1}} = 3{v_n}\end{array} \right.\)

Suy ra: v_n = 6.3^n–1

⇒ u_n = 6.3^n–1 – 2

Ta có: \(\lim \frac{{{u_n} + {2^n}}}{{{2^{n + 1}} - 3}} = \lim \frac{{{{6.3}^{n - 1}} - 2 + {2^n}}}{{{2^{n + 1}} - 3}} = \lim \frac{{{{2.3}^n} - 2 + {2^n}}}{{{{2.2}^n} - 3}}\)

\( = \lim \frac{{2 - \frac{2}{{{3^n}}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - \frac{3}{{{3^n}}}}} = \frac{2}{0} = + \infty \).

Ta có: u₂ = 3u₁ – 2 = 3.4 – 2 = 10

u₃ = 3u₂ – 2 = 3.10 – 2 = 28

u₄ = 3u₃ – 2 = 3.28 – 2 = 82

u₅ = 3u₄ – 2 = 3.82 – 2 = 244.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.\cos \widehat {BAD} = 2.1.\cos 60^\circ = 1\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 1\).

Vì \(\frac{{3x}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{3x}} = 1\) nên \(\frac{{x - 1}}{{3x}}\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{3x}}{{x - 1}}\).

Gọi số hạng đầu là u₁, công bội là q

Ta có: q = 3

u_n = u₁ . q^n–1 = u₁ . 3^n–1 = 486

Suy ra: u¹ . 3ⁿ = 486 . 3 = 1458

728 = \(\frac{{{u_1}.\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{{u_1}.\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{ - 2}} = \frac{{{u_1}.\left( {{3^n} - 1} \right)}}{2}\)

⇔ u₁(3ⁿ – 1) = 728 . 2 = 1456

⇔ u₁ . 3ⁿ – u₁ = 1456

⇔ 1458 – u₁ = 1456

⇔ u₁ = 1458 – 1456 = 2

Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là 2.

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB,

y (giờ) là thời gian dự định đi đến B lúc đầu. (x > 0, y > 1)

Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 35km là:

\(\frac{x}{{35}}\) = y + 2 ⇒ x = 35.(y + 2) (1)

Thời gian đi từ A và B với vận tốc 50km là: \(\frac{x}{{50}}\) = y − 1 ⇒ x = 50.(y − 1) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

35.(y + 2) = 50.(y − 1)

⇒ 35y + 70 = 50y – 50

⇒ y = 8

⇒ x = 35.(y + 2) = 35.10 = 350 (km)

Vậy quãng đường AB là 350km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.

Số gạo tẻ là:

120 . 65% : 100% = 78 (kg)

Số gạo nếp là:

 120 – 78 = 42 (kg)

Số viên gạch bông đủ để lát 1m² nền nhà là: 125 : 5 = 25 (viên)

Nền nhà của bác Vinh lát hết số viên gạch bông là: 1425 – 125 = 1300 (viên)

Diện tích nền nhà của bác Vinh là: 1300 : 25 = 52 (m²).

Giải bất phương trình thì không nhân chéo được trừ khi biết rõ dấu của biếu thức.

\(\frac{{a + 1 + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}\)> 1

⇔ \(\frac{{a + 1 + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} - 1 > 0\)(điều kiện: a ≥ 0 ; a ≠ 1)

⇔ \(\frac{{a + 1 + \sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} > 0\)

⇔ \(\frac{{a + 2}}{{\sqrt a - 1}} > 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + 2 > 0\\\sqrt a - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a + 2 < 0\\\sqrt a - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < - 2\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện xác định: a > 1

Vậy a > 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

⇔ 2(a²b + b²c + c²a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 3 số dương ta có:

a²b + a²b + \[\frac{1}{{a{b^2}}} \ge 3\sqrt {{a^2}b.{a^2}b.\frac{1}{{a{b^2}}}} = 3a\]

Tương tự: b²c + b²c + \[\frac{1}{{b{c^2}}} \ge 3\sqrt {{b^2}c.{b^2}c.\frac{1}{{b{c^2}}}} = 3b\]

c²a + c²a + \[\frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\sqrt {{c^2}a.{c^2}a.\frac{1}{{c{a^2}}}} = 3c\]

Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế, ta được:

2(a²b + b²c + c²a) + \(\frac{1}{{a{b^2}}} + \frac{1}{{b{c^2}}} + \frac{1}{{c{a^2}}} \ge 3\left( {a + b + c} \right) = 3.3 = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy a²b + b²c + c²a ≥ \(\frac{{9{a^2}{b^2}{c^2}}}{{1 + 2{a^2}{b^2}{c^2}}}\).

+ Gọi số có 3 chữ số khác nhau có dạng: \[\overline {abc} \]

+ Để số có 3 chữ số chia hết cho 9 ⇒ Tổng a + b + c phải chia hết cho 9

+ Tập hợp các số mà tổng của chúng chia hết cho 9 là:

A = {0, 5, 4}

⇒ Các số đó là: 540, 450, 504, 405 ⇒ Vậy có 4 số

B = {2, 3, 4}⇒ Đảo vị trí 3 số ta có: 3!

C = {1, 3, 5}⇒ Đảo vị trí 3 số ta có: 3!

Vậy có: 4 + 3! + 3! = 16 số.

2MA = 5MB

⇒ MB = \(\frac{2}{5}MA\)

⇒ AB = MA + MB = MA + \(\frac{2}{5}MA = \frac{7}{5}MA\)

Mà \(\overrightarrow {MA} \)và \(\overrightarrow {AB} \) ngược chiều nên: \(\overrightarrow {MA} = \frac{{ - 5}}{7}\overrightarrow {AB} \).

(2x + 3)⁸ = \(\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{3^{8 - k}}{{\left( {2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{3^{8 - k}}{2^k}{x^k}} \)

Hệ số x⁵ ứng với k = 5 trong khai triển

Nên hệ số của x⁵ là: \(C_8^5{.3^{8 - 5}}{.2^5} = 48384\).

Bán kính biển báo là : 50 : 2 = 25 (cm)

Diện tích biển báo là : 25 x 25 x 3,14 = 1962,5 (cm²)

Diện tích hình chữ nhật là : 1962,5 x 20 : 100 = 392,5 (cm²)

Diện tích phần tô đậm là : 1962,5 – 392,5 = 1570 (cm²).

Ta có: u₉ = u₁ + 8d = 47

Suy ra: u₁ = 47 – 8.5 = 7

Gọi số 10092 là số hạng thứ n trong cấp số cộng

Ta có: 10092 = u₁ + (n – 1)d

⇔ 10092 = 7 + (n – 1).5

⇔ 5n – 5 + 7 = 10092

⇔ 5n = 10090

⇔ n = 2018

Vậy 10092 là số hạng thứ 2018 của cấp số cộng.

Để đựng hết 40 lít mật ong thì người đó cần số chai là:

40 : 0,72 = 55 (chai) và dư 0,4 lít

Do thừa 0,4 lít mật ong nên cần thêm 1 chai nữa.

Vậy tổng số chai người đó cần là:

55 + 1 = 56 (chai).

Gọi D là chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác ABC

Ta có: \(\overrightarrow {DA} = \frac{{ - BA}}{{BC}}\overrightarrow {DC} \)

AB = \(\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \)

BC = \(\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {2^2}} = \sqrt {104} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {DA} = \frac{{ - \sqrt {26} }}{{\sqrt {104} }}\overrightarrow {DC} \) ⇒ \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \)

Gọi D (x;y;z)

Từ \(\overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DA} \) suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ chân đường phân giác góc \(\widehat B\) là \(D\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)\).

Để số học sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì số học sinh nam bằng số học sinh nữ và phải là ước chung của 36 và 40

Ta có:

36 = 2² . 3² và 40 = 2³ . 5

⇒ ƯC (36; 40) = 2² = 4

a) Có thể chia nhóm như sau:

+) Chia được 2 nhóm. Nhóm có 18 nam và 20 nữ.

+) Chia được 4 nhóm. Nhóm có 9 nam và 10 nữ.

b) Có thể chia nhiều nhất 4 nhóm với mỗi nhóm có 9 nam và 10 nữ.

Ta có: 0,6159 : 0,52 = 1,18 (dư 0,0023)

Vậy số dư của phép chia khi lấy 2 chữ số ở phần thập phân là 0,0023.

\(\frac{2}{3}\) đáy bé bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao hay đáy bé bằng \(\frac{9}{8}\) chiều cao

Hiệu số phần bằng nhau là:

9 – 8 = 1 (phần)

Đáy bé của hình thang là:

4,5 : 1 . 9 = 40,5 (m)

Chiều cao của hình thang là:

40,5 − 4,5 = 36 (m)

Đáy lớn của hình thang là:

40,5 + 1,2 = 41,7 (m)

Diện tích hình thang là:

(41,7 + 40,5) . 36 : 2 = 1479,6 (m²).

x(x + 2)(x² + 2x + 2) + 1 = 0

⇔ (x² + 2x)(x² + 2x + 2) + 1 = 0

Đặt x² + 2x = t

Ta có: t(t + 2) + 1 = 0

⇔ t² + 2t + 1 = 0

⇔ (t + 1)² = 0

⇔ t = – 1

Khi đó: x² + 2x = – 1

⇔ x²  + 2x + 1 = 0

⇔ (x + 1)² = 0

⇔ x = – 1

Vậy x = –1.

y = x³ + x² + mx – 1

⇒ y' = 3x² + 2x + m

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

∆' = 1 – 3m > 0 ⇔ m < \(\frac{1}{3}\)(1)

Khi đó, giả sử x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình y' = 0

⇒ \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên

Do x₁ + x₂ = \(\frac{{ - 2}}{3} < 0\) nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x³ + x² + mx – 1 nằm bên phải trục tung

⇔ x₁x₂ < 0 hay \(\frac{m}{3} < 0\) tức m < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m < 0.

1 km² = 100 ha

Nên 5,34 km² = 534 ha.

Đáp án đúng: D

D đối xứng với A qua BC

⇒ BC là đường trung trực của AD

⇒ BA = BD; CA = CD

mà BA = CA(ΔABC đều) ⇒ BA = BD = CA = CD

⇒ ABDC là hình thoi

⇒ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

Xét \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

\( = M{A^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AD} + a.a.\cos 60^\circ \)

\( = A{M^2} - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD} + \frac{{{a^2}}}{2}\)

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là: a (a > 0)

Diện tích hình vuông ban đầu là: a.a  (đon vị đo)

Diện tích hình vuông lúc sau là: a . a . 4 (đơn vị đo) = a . a . 2 . 2 = (a . 2) . (a . 2)

Cạnh của hình vuông lúc sau là: a . 2 (đơn vị đo)

Cạnh hình vuông đó tăng số lần là: 

a . 2 : a = 2 (lần)

Vậy cạnh hình vuông ban đầu phải tăng 2 lần thì diện tích hình vuông mới gấp 4 được.

Năm nay con có số tuổi là:

32 : 4 = 8 (tuổi)

4 năm nữa bố có số tuổi là:

32 + 4 = 36 (tuổi)

4 năm nữa con có số tuổi là:

8 + 4 = 12 (tuổi)

4 năm nữa tuổi bố gấp tuổi con số lần là:

36 : 12 = 3 (lần)

Ta có: sin²α + cos²α = 1

⇔ (0,5cosα)² + cos²α = 1

⇔ 1,25 cos²α = 1

⇔ cos²α = \(\frac{4}{5}\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\\\cos \alpha = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\\sin \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\].

Coi 5 nữ sinh là X .

Số cách sắp xếp X và nam sinh là 7!

Số cách sắp xếp 5 nữ sinh trong X là 5!

Số cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau: 7!.5! = 604800.

Do 3 số đã cho lập thành một cấp số cộng nên số ở giữa phải bằng trung bình cộng của 2 số còn lại. Do đó ba số: 1 − x, x², 1 + x  lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 

x² − (1 − x) = 1 + x – x²

⇔ 2x² = 2

⇔ x = ±1.

Do 3 số đã cho lập thành một cấp số cộng nên số ở giữa phải bằng trung bình cộng của 2 số còn lại. Do đó:

2x² + 3 = [(10 – 3x) + (7 – 4x)] : 2

⇔ 2x² + 3 = (17 – 7x) : 2

⇔ 4x² + 6 = 17 – 7x

⇔ 4x² + 7x – 11 = 0

⇔ (4x + 11)(x – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 11}}{4}\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = \(\frac{{ - 11}}{4}\).

Hàm số y = \(\frac{1}{x} + 4\) không là hàm số bậc nhất vì hàm số không có dạng y = ax + b (a ≠ 0).

CMTT là chứng minh tương tự trong toán học.

Vì 3 lần đáy bé bằng 4 lần chiều cao nên tỉ số giữa chiều cao và đáy bé là \(\frac{3}{4}\)

Tổng số phần bằng nhau là:

3 + 4 = 7 (phần)

Đáy bé của hình thang đó là:

28,7 : 7 × 4 = 16,4 (dm)

Chiều cao của hình thang đó là:

28,7 – 16,4 = 12,3 (dm)

Đáy lớn của hinhg thang đó là:

16,4 + 1,2 = 17,6 (dm)

Diện tích hình thang là:

(17,6 + 16,4) . 12,3 : 2 = 209,1 (dm²).

Độ dài đường kính nửa đường tròn là:

16 : 2 = 8 (cm)

Bán kính nửa đường tròn là:

8 : 2 = 4 (cm)

Diện tích 4 nửa đường tròn là:

3,14 . 4² . 2 = 100,48 (cm²)

Ta thấy chiều rộng hình chữ nhật bằng 1 nửa AB nên chiều rộng hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

16 . 8 = 128 (cm²)

Diện tích phần tô đậm là:

128 – 100,48 = 27,52 (cm²)

Xác suất lấy hộp thứ nhất ra 1 chính phẩm và 1 phế phẩm là:

P₁ = \(\frac{{5.3}}{{2.C_8^2}} = \frac{{15}}{{56}}\)

Xác suất lấy hộp thứ 2 ra 1 chính phẩm và 1 phế phẩm là:

P₂ = \(\frac{{3.2}}{{2.C_5^2}} = \frac{3}{{10}}\)

Vậy xác suất cần tìm là: P = P₁ + P₂ = \(\frac{{15}}{{56}} + \frac{3}{{10}} = \frac{{159}}{{280}} \approx 0,5679\).

x² + mx + m – 2 = 0

∆ = m² – 4(m – 2) = (m – 2)² + 4 > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Áp dụng định lý Vi–ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\)

⇔ \(\sqrt[{}]{{{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}} = 2\)

⇔ \(\sqrt[{}]{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}} = 2\)

⇔ \(\sqrt[{}]{{{{\left( { - m} \right)}^2} - 4\left( {m - 2} \right)}} = 2\)

⇔ \(\sqrt[{}]{{{m^2} - 4m + 8}} = 2\)

⇔ m² – 4m + 8 = 4

⇔ (m – 2)² = 0

⇔ m = 2

Vậy m = 2.

\(B = \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + ... + \frac{2}{{97.99}}\)

\(B = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{97}} - \frac{1}{{99}}\)

\(B = \frac{1}{3} - \frac{1}{{99}}\)

\(B = \frac{{32}}{{99}}\).

1152 − (374 + 1152) + (−65 + 374)

= 1152 – 374 – 1152 – 65 + 374

= (1152 − 1152) + (−374 + 374) + (−65)

= 0 + 0 + (−65)

= −65.

\({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{3x - 1}} = \frac{{27}}{{64}}\)

⇔ \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{3x - 1}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^3}\)

⇔ 3x – 1 = 3

⇔ 3x = 4

⇔ x = \(\frac{4}{3}\)

Vậy x = \(\frac{4}{3}\).

\(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2}}{{x - m}}\) ⇒ \(y' = \frac{{ - {m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định tức là y' > 0 (∀x ≠ m)

⇔ \(\frac{{ - {m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0\left( {\forall x \ne m} \right)\)

⇔ \( - {m^2} - m + 2 > 0\left( {\forall x \ne m} \right)\)

⇔ – 2 < m < 1.

Vậy m ∈ (–2; 1).

Số cái bát đem bán là:

600 – 69 = 531 (cái)

Sô tiền bán 531 cái bát với giá 6000 đồng là:

531 . 6000 = 3186000 (đồng)

Coi giá vốn mua bát là 100%

Số tiền bán bát chiếm số phần trăm số tiền vốn là:

100% + 18% = 118% (tiền vốn)

Số tiền vốn là:

3186000 : 118 . 100 = 2700000 (đồng)

Số tiền mua 1 cái bát là:

2700000 : 600 = 4500 (đồng)

Ta có 1 tá = 12 cái

Số tiền mua mỗi tá bát là:

4500 . 12 = 54000 (đồng)

Đáp số: 54000 đồng.

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 26 : 2 = 13 (m)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là a (m) thì chiều rộng hình chữ nhật là 13 – a (m)

Theo bài ra ta có:

a : (13 – a) = 1,6

⇔ a = 1,6 (13 – a)

⇔ a = 20,8 – 1,6a

⇔ 2,6a = 20,8

⇔ a = 8

Suy ra: chiều dài hình chữ nhật là 8m

Chiều rộng hình chữ nhật là:

13 – 8 = 5 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

8 . 5 = 40 (m²).

S = 9x² – 5x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 10

⇔ S = (3x – 1)² + x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 9

Vì (3x – 1)² ≥ 0 với mọi x, dấu “=” xảy ra khi x = \(\frac{1}{3}\)

Mà x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số không âm x; \(\frac{1}{{9x}}\) ta được:

x + \(\frac{1}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{9x}}} = 2.\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi x = \( = \frac{1}{{9x}}\,hay\,x = \frac{1}{3}\)

Khi đó: S = (3x – 1)² + x + \(\frac{1}{{9x}}\) + 9 ≥ 0 + \(\frac{2}{3} + 9 = \frac{{29}}{3}\)

Vậy min S = \(\frac{{29}}{3}\) khi x = \(\frac{1}{3}\).

a) Giá một bộ quần áo thể thao sau khi được giảm là:

7800000 . (100% – 20%) = 6240000 (đồng)

b) Giá một bộ quần áo thể thao sau khi giảm thêm 10% là:

6240000 . (100% – 10%) = 5616000 (đồng)

Một bộ quần áo thể thao lời được số tiền là:

27500000 : 25 = 1100000 (đồng)

Giá vốn của một bộ quần áo là:

5616000 – 1100000 = 4516000 (đồng)

Tam giác thường không có cạnh huyền.

Tam giác có cạnh huyền là tam giác vuông.

Gọi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch lần lượt là a và b (sản phẩm, 0 ≤ a, b ≤ 600)

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có a + b = 600 (1)

Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I vượt mữa 18% và tổ hai vược mức 21%, vì vậy họ đã hoàn thành vượt 120 sản phẩm nên ta có:

0,18a + 0,21b = 120(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình, nhân cả hai vế của phương trình (1) với 0,21 rồi trừ đi (2) ta được:

0,03a = 6 ⇔ a = 200

⇒ b = 400

Vậy theo kế hoặc tổ I được giao 200 sản phầm, tổ II được giao 400 sản phẩm.

Số hạng tổng quát của khai triển có dạng: \(C_{13}^k.{x^{13 - k}}.{\left( {2y} \right)^k}\)

Để có số hạng thứ 6 thì k = 5, khi đó:

\(C_{13}^5.{x^{13 - 5}}.{\left( {2y} \right)^5} = 41184{x^8}{y^5}\)..

Ta có: n(Ω) = 9.9.8 = 648

Gọi N = \(\overline {abc} \) với a, b, c ∈ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}, a, b, c đôi một khác nhau, a ≠ 0 và a + b + c chia hết cho 3.

Gọi A = {0;3;6;9}, B = {1;4;7}; C = {2;5;8}

Để a + b + c chia hết cho 3 thì ta có các trường hợp sauL

TH1: a, b, c thuộc A hoặc thuộc B hoặc C ta có: \(3.A_3^2 + 3! = 30\)(số)

TH2: 3 số a, b, c thuộc 3 tập khác nhau A, B, C có:

\(2.C_3^1.C_3^1.2! + C_3^1.C_3^1.C_3^1.3! = 198\)(số)

Vậy có tất cả: 30 + 198 = 228 (số)

Xác suất cần tìm là: P = \(\frac{{228}}{{648}} = \frac{{19}}{{54}}\).

\(\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

= \(\sqrt {4 + \sqrt {15} } .\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {4 + \sqrt {15} } } \right)} \)

= \(\sqrt {8 + 2\sqrt {15} } .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right).\sqrt {16 - 15} \)

= \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2.\sqrt 3 .\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right).1\)

= \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)

= \(\left| {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right|\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)

= \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)

= 5 – 3

= 2.

Vậy A = 2.

(1 + sin2x)(cosx – sinx) = cos2x

⇔ (sin²x + cos²x + 2sinxcosx)(cosx – sinx) = cos2x

⇔ (sinx + cosx)²(cosx – sinx) = cos²x – sin²x

⇔ (sinx + cosx)²(cosx – sinx) = (cosx – sinx)(cosx + sinx)

⇔ (sinx + cosx)²(cosx – sinx) – (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 0

⇔ (cosx – sinx)(sinx + cosx) (sinx + cosx – 1) = 0

⇔ cos2x(sinx + cosx – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

⇔\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

(x – 1)²⁰²² + \({\left( {\sqrt {y - 2} } \right)^{2023}} = 0\)

Do: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^{2022}} = {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^{1011}}} \right]^2} \ge 0\\\sqrt {y - 2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {y - 2} } \right)^{2023}} = 0\end{array} \right.\)

⇔ (x – 1)²⁰²² + \({\left( {\sqrt {y - 2} } \right)^{2023}} \ge 0\)

Khi (x – 1)²⁰²² + \({\left( {\sqrt {y - 2} } \right)^{2023}} = 0\)

Thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\sqrt {y - 2} = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy x = 1; y = 2.

Gọi phần quà chia được nhiều nhất là x

Theo bài ra, ta có:

300 chia hết cho x

240 chia hết cho x

420 chia hết cho x

⇒ x ∈ ƯCLN(300; 240; 420) 

Ta lại có:

300 = 2².3.5²

240 = 2⁴.3.5

420 = 2².3.5.7

⇒ x ∈ ƯCLN (300; 240; 420) = 2².3.5 = 60

Vậy có thể chia được nhiều nhất 60 phần quà.

Từ a + b + c = 0 suy ra: a = –(b+c)

a³ = –(b + c)³ = –[b³ + c³ + 3bc(b + c)] = –b³ – c³ + 3abc

⇒ a³ + b³ + c³ = abc.

 P = \(bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \)

⇔ \(\frac{P}{{abc}} = \frac{P}{{1152}} = \frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có:

 \(2\sqrt {a - 1} \le a - 1 + 1 = a\)⇔ \(\frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} \le \frac{1}{2}\)

\(2\sqrt {9\left( {b - 9} \right)} \le 9 + b - 9 = b\)⇔ \(\frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} \le \frac{1}{6}\)

\(2\sqrt {16\left( {c - 16} \right)} \le 16 + c - 16 = c\)⇔ \(\frac{{\sqrt {c - 16} }}{c} \le \frac{1}{8}\)

Suy ra: \(\frac{{\sqrt {a - 1} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 9} }}{b} + \frac{{\sqrt {c - 16} }}{c} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{{19}}{{24}}\) hay \(\frac{P}{{1152}} \le \frac{{19}}{{24}}\)

Suy ra: P ≤ 912

Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - 9 = 9\\c - 16 = 16\end{array} \right.\) ⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 18\\c = 32\end{array} \right.\).

a) Hàm số bậc nhất khi m – 2 ≠ 0

⇔ m ≠ 2

b) Hàm số đồng biến khi m – 2 > 0

⇔ m > 2

c) (d)//(d1):y=3x+2 khi m – 2 = 3; m + 1 ≠ 2

⇔ m = 5; m ≠ 1

⇒ m = 5

d) Khi m = 5 ta có: y = (5 – 2)x + 5 + 1 = 3x + 6

Đường thẳng y = 3x + 6 đi qua A(0;6), B(–2;0)

Số tập hợp con của A khác rỗng có số phần tử là số chẵn là: 

\(M = C_{20}^2 + C_{20}^4 + C_{20}^6 + ... + C_{20}^{20}\)

Để tính M ta xét: (x + 1)²⁰ = \(C_{20}^0 + x.C_{20}^1 + {x^2}C_{20}^2 + ... + {x^{20}}C_{20}^{20}\)

Thay x = 1 ta có: (1 + 1)²⁰ = 2²⁰ = \(C_{20}^0 + C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... + C_{20}^{20}\) (1)

Thay x = – 1 ta có: (1 + – 1)²⁰ = 0 = \(C_{20}^0 - C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... - C_{20}^{19} + C_{20}^{20}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(2\left( {C_{20}^0 + C_{20}^1 + C_{20}^2 + ... + C_{20}^{20}} \right) = {2^{20}}\)

⇔ 2(1 + M) = 2¹⁰

⇔ M = 2¹⁹ – 1.

Đặt \[\sqrt {2{x^2} + 11x + 19} = a;\sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = b\]

a² – b² = (2x² + 11x + 19) – (2x² + 5x + 7) = 6x +12 = 6(x + 2)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\left( {x + 2} \right)\left( 1 \right)\\{a^2} - {b^2} = 6\left( {x + 2} \right)\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\left( {x + 2} \right)\\\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 6\left( {x + 2} \right)\end{array} \right.\)

⇔ a – b = 2

⇔ a = b + 2

Thay vào (1) khi đó ta có:

(b + 2) + b = 3(x + 2)

⇔ 2b = 3x + 4

⇔\[2\sqrt {2{x^2} + 5x + 7} = 3x + 4\]

⇔ 4(2x² + 5x + 7) = (3x + 4)² (điều kiện: x > \(\frac{{ - 4}}{3}\))

⇔ x² + 4x – 12 = 0

⇔ (x – 2)(x + 6) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 6\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 1 \ne 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của biểu thức là D = [0; +∞] \ {1}.

Áp dụng tính chất \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

Ta có: \(\left| {x - 2022} \right| + \left| {2023 - x} \right| \ge \left| {x - 2022 + 2023 - x} \right| = \left| 1 \right| = 1\)

Dấu “=” xảy ra khi (x – 2022)(2023 – x) ≥ 0

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2022 \ge 0\\2023 - x \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2022 \le 0\\2023 - x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

⇔\[\left[ \begin{array}{l}2022 \le x \le 2023\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2022\\x \ge 2023\end{array} \right.\left( L \right)\end{array} \right.\]

⇔ 2022 ≤ x ≤ 2023

Vậy GTNN của biểu thức là 1 khi 2022 ≤ x ≤ 2023.

Số phần tử của tập hợp A là: 9.\(A_9^7\)

Gọi \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \) là số thỏa mãn chia hết cho 25

Khi đó: \(\overline {{a_7}{a_8}} \vdots 25\) ⇔\(\overline {{a_7}{a_8}} = \left\{ {25;50;75} \right\}\)

(số chia hết cho 25 là số có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25)

TH1: \(\overline {{a_7}{a_8}} = \left\{ {50} \right\}\)suy ra có: \(1.A_8^6\) số

TH2: \(\overline {{a_7}{a_8}} = \left\{ {25;75} \right\}\)suy ra có: \(2.7.A_7^5\) số

Vậy xác suất cần tìm là: P = \(\frac{{1.A_8^6 + 14.A_7^5}}{{9.A_9^7}} = \frac{{11}}{{324}}\).

Gọi cạnh của cái lều là a (m)

Diện tích cái lều là a²

Cạnh của mảnh vườn hình vuông là: 8 + 8 + a = a + 16

Ta có: (a + 16)² – a² = 448

⇔ a² + 32a + 256 – a² – 448 = 0

⇔ 32a – 192 = 0

⇔ a = 6

Vậy cạnh của cái lều là 6 m.

Diện tích cái lều là:

6 . 6 = 36 (m²).

Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đó là:

26 : 4 = 6,5 (m) 

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật đó là:

6,5 . 26 = 169 (m²)

Coi mảnh đất hình chữ nhật đó là 100% thì diện tích đất làm nhà là

169 : 100 . 62,5 = 105,625 (m²)

Đáp số: 105,625 m².

a) Gọi số tổ chia được là x (tổ), x > 1, x thuộc ℕ

Ta có: 16 ⋮ x; 24 ⋮ x

⇒ x ∈ ƯC (16, 24)

Ta có: 16 = 2⁴; 24 = 2³.3

ƯCLN (16, 24) = 2³ = 8

ƯC (16, 24) = {1; 2; 4; 8} có 4 số

x ∈ ƯC (16, 24) = Ư(8) > 1 = {2; 4; 8}

Vậy có 3 cách chia.

b) Ta có: ƯCLN (16, 24) = 2³ = 8

Nên số tổ chia được nhiều nhất chính là ƯCLN(16, 24) = 8

Lúc đó số nam mối tổ là:

16 : 8 = 2 (bạn)

Số nữ mỗi tổ là:

24 : 8 = 3 (bạn).

\(P = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

⇒ \(\frac{1}{3}P = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{2}{{{3^3}}} + \frac{3}{{{3^4}}} + ... + \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)

\(P - \frac{1}{3}P = \frac{1}{{{3^1}}} + \left( {\frac{2}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{3}{{{3^3}}} - \frac{2}{{{3^3}}}} \right) + + ... + \left( {\frac{{100}}{{{3^{100}}}} - \frac{{99}}{{{3^{100}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)

\(\frac{2}{3}P = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}} - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\) (*)

Đặt \(S = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

(*) trở thành: \(\frac{2}{3}P = S - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)(1)

Xét \(S = \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{100}}}}\)

⇒\(\frac{1}{3}S = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

⇒ \(S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

⇔ \(S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

⇔ \(\frac{2}{3}S = \frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}\)

\(S = \frac{3}{2}.\left( {\frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}} \right)\)(2)

Thay (2) vào (1) ta có:

\(\frac{2}{3}P = \frac{3}{2}.\left( {\frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{101}}}}\)

\(P = \frac{9}{4}.\left( {\frac{1}{{{3^1}}} - \frac{1}{{{3^{101}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{101}}}} = \frac{3}{4} - \frac{9}{{{{4.3}^{101}}}} - \frac{{100}}{{{3^{101}}}} < \frac{3}{4}\)

Vậy P < \(\frac{3}{4}\).

a) Số tiền 1 bàn ủi (sau khi khuyến mãi) là:

350000 – 350000 . 20% = 280000 (đồng)

Số tiền 1 bộ lau nhà (sau khi khuyến mãi) là:

280000 – 280000 . 25% = 210000 (đồng)

Tổng số tiền là:

280000 + 210000 = 490000 (đồng) < 1200000 đồng

Vậy số tiền bạn Tín mang theo đủ để mua bàn ủi và bộ lau nhà.

b) Số tiền 1 balô (sau khi khuyến mãi) là:

630000 – 630000 . 10% = 567000 (đồng)

Tổng số tiền mua đồ (khi chưa giảm giá) là:

350000 + 280000 + 630000 = 1260000 (đồng)

Tổng số tiền mua đồ (sau khi giảm) là:

490000 + 567000 = 1057000 (đồng)

Bạn Tín được giảm số % khi đi mua đồ là:

(1260000 – 1057000) : 1260000 . 100% = 16.1%.

Diện tích sân bóng đó là:

105 . 68 = 7140 (m²)

Số tiền ban quản lý phải trả để mua cỏ là:

120000 . 7140 = 856800000 (đồng)

Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3 \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x \ge 1\end{array} \right.\)

⇔ \(1 \le x \le \frac{3}{2}\).

1. Các học liệu số phục vụ cho hoạt động học trong kế hoạch bài dạy môn Toán bài: Hình thoi Toán lớp 4.

– Hoạt động: Củng cố kiến thức , ôn luyện.

– Mục đích:

+ Giúp học sinh nhận dạng được thế nào là hình thoi.

+ Cách tính diện tích, chu vi của hình thoi.

+ Các tính chất của hình thoi.

– Các học liệu:

+ Powpoint.

+ Video.

+ Các nguồn web / link phục vụ trò chơi học tập: Quizz.

2. Mô tả sử dụng học liệu số:

– Đối với powpoint : Trình chiếu , mô tả những hình ảnh sinh động nhiều màu sắc giúp học sinh tiếp thu nhanh, nhớ lâu.

– Video: Xem những video liên quan đến hình thoi có ứng dụng liên quan đến thực tế cuộc sống xung quanh.

– Quizz: Kết hợp với việc học , tạo game trên hình thức học qiuzz giúp học sinh hứng thú, là công cụ tốt để triển khai kiểm tra năng lực nhận thức và vận dụng của học sinh cuối buổi học.

Vai trò của học liệu trong giáo dục:

– Tạo động lực cho giáo viên.

– Hỗ trợ và góp phần cải thiện các phương pháp giáo dục.

– Giúp người học có động lực và trách nhiệm hơn trong việc tự học.

Đáp án đúng: A

Xét đáp án A: tan2x = 1 ⇔ tan2x = tan \(\frac{\pi }{4}\)

⇔ \(2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

⇔ x = \(\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

(Với k = 0 nên nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{8}\))

+) Xét đáp án B: tan\(\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \)

⇔ \(x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi \)⇔ \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\)

+) Xét đáp án C: cotx = 0 ⇔ \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{2}\)

+) Xét đáp án D: cotx = \( - \sqrt 3 \)⇔\(\cot x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{6}} \right)\)⇔ \(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Theo định lý sin, ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)

⇔ \(\frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 60^\circ }}\)

⇔ BC = \(\frac{{4.\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }}\)

⇔ BC ≈ 4,9 (cm).

Diện tích bề mặt Trái đất khoảng 510 100 000 km².

TH1: 1 – 3m = 0 ⇔ m = \(\frac{1}{3}\)

d: y = \(\frac{1}{3}\) ⇒ d(O, d) = \(\frac{1}{3}\)

TH2: 1 – 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ \(\frac{1}{3}\)

d cắt Ox tại \(A\left( {\frac{m}{{3m - 1}};0} \right)\) ⇒ \(\left| {OA} \right| = \frac{m}{{3m - 1}}\)

d cắt Oy tại B(0;m) ⇒ \(\left| {OB} \right| = m\)

Xét tam giác ABO vuông tại O, OH là đường cao hạ từ O đến AB:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{{3m - 1}}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{m^2}}} = \frac{{{{\left( {3m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{m^2}}}\)

\[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{9{m^2} - 6m + 2}}{{{m^2}}} = 9 - \frac{6}{m} + \frac{2}{{{m^2}}} = - 2{\left( {\frac{1}{m} - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = - 2{\left( {\frac{1}{m} - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{9}{2} - \le - \frac{9}{2}\]

Suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}}\) max = \(\frac{9}{2}\)⇒ OH_max = \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{9}{2} = \frac{{9{m^2} - 6m + 2}}{{{m^2}}}\)⇒ m = \(\frac{2}{3}\)

Qua 2 trường hợp suy ra: với m = \(\frac{2}{3}\)thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất.

Đặt \(\frac{{x + 3y}}{{19}} = \frac{{3y + 9z}}{{114}} = \frac{{5z + 15x}}{{115}} = t\)

⇒ x + 3y = 19t (1); 3y + 9z = 114t (2); 5z + 15x = 115t hay z + 3x = 23t (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

x = 4t, y = 5t, z = 11t

x + y + 2z = – 31

⇔ 4t + 5t + 11t = –31

⇔ 31t = – 31

⇔ t = –1

Suy ra: x = –4; y = –5; z = –11.

Đường thẳng y = 2x – 1 cắt trục Ox tại điểm A(12;0); B(0;−1)

Vì hệ số của đường thẳng là 2 > 0 nên góc tạo bởi đường thẳng với Ox là góc nhọn.

tan α = \(\frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2\) ⇒ α ≈ 63,43°.

Ta thấy: 2 – 1 = 1, 3 – 2 = 1. Vậy khoảng cách giữa hai số hạng bằng 1

Số hạng đầu dãy là 1

Số hạng cuối dãy là n

Số các số hạng là: (n – 1) : 1 + 1 = n

Tổng S = \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

Đặt BD = x km, khi đó ta có AD = BD + BA = x + 1.

Trong tam giác ACD vuông tại D ta có: tan\(\widehat {CAD} = \tan 32^\circ = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{x + 1}}\)

⇒ CD = tan32°.(x + 1) (1)

Trong tam giác CBD vuông tại D ta có:

tan\(\widehat {CBD} = \tan 40^\circ = \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{CD}}{x}\)

⇒ CD = tan40°.x (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 

tan32°.(x + 1) = tan40°.x

⇒ x = \(\frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 40^\circ - \tan 32^\circ }} \approx 2,92\)(km)

Suy ra CD = x.tan40° ≈ 2,92.tan40° ≈ 2,45 km.

Vậy chiều cao CD của một ngọn núi khoảng 2,45 km.

Gọi số học sinh của bốn khối 6, 7, 8, 9 là a, b, c, d (a, b, c, d ∈ ℕ^*)

Theo bài ra ta có: a + b + c + d = 600

Vì a, b, c, d tỉ lệ nghịch với 9, 8, 7, 6 nên ta có:

\(\frac{a}{9} = \frac{b}{8} = \frac{c}{7} = \frac{d}{6} = \frac{{a + b + c + d}}{{9 + 8 + 7 + 6}} = \frac{{600}}{{30}} = 20\)

Suy ra: a = 20.9 = 180

b = 20.8 = 160

c = 20.7 = 140

d = 20.6 = 120

Vậy số học sinh của bốn khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 180, 160, 140, 120 học sinh.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcde} \) (a ≠ 0; a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e)

Từ các số đã cho, để lập được số chẵn thì e ∈ {0; 2; 8}

TH1: Nếu e = 0

Có 5 cách chọn a

Có 4 cách chọn b

Có 3 cách chọn c

Có 2 cách chọn d

Suy ra có: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 (cách)

TH2: Nếu e = 2 hoặc e = 8

Có 4 cách chọn a (vì a khác 0)

Có 4 cách chọn b

Có 3 cách chọn c

Có 2 cách chọn d

Suy ra có: 4 . 4 . 3 . 2 . 2 = 192 (cách)

Vậy có: 120 + 192 = 312 (cách) lập được số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giá của chiếc tủ lạnh vào tháng 6 là:

10000000 – 10000000 . 5% = 9500000 (đồng)

Giá của chiếc tủ lạnh vào tháng 7 là:

9500000 – 9500000 . 10% = 8550000 (đồng)

Giá tiền chênh lệch vào tháng 7 so với giá niêm yết là:

10000000 – 8550000 = 1450000 (đồng).

\(\frac{{x + 2011}}{{2013}} + \frac{{x + 2012}}{{2012}} = \frac{{x + 2010}}{{2014}} + \frac{{x + 2013}}{{2011}}\)

⇔ \(\frac{{x + 2011}}{{2013}} + 1 + \frac{{x + 2012}}{{2012}} + 1 = \frac{{x + 2010}}{{2014}} + 1 + \frac{{x + 2013}}{{2011}} + 1\)

⇔ \(\frac{{x + 4024}}{{2013}} + \frac{{x + 4024}}{{2012}} = \frac{{x + 4024}}{{2014}} + \frac{{x + 4024}}{{2011}}\)

⇔ \(\left( {x + 4024} \right)\left( {\frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2014}} - \frac{1}{{2011}}} \right) = 0\)

Vì \(\frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2014}} - \frac{1}{{2011}} \ne 0\) nên x + 4024 = 0

Hay x = –4024.

Vậy x = –4024.

Gọi số xe lúc đầu của đội là x. Điều kiện: x > 4, x ∈ ℕ.

Mỗi xe dự định chở được \(\frac{{80}}{x}\) (tấn).

Số xe chở hàng thực tế của đội là x − 4 (xe).

Mỗi xe thực tế chở được \(\frac{{80}}{{x - 4}}\)(tấn).

Vì mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn nên:

\(\frac{{80}}{{x - 4}} - \frac{{80}}{x} = 1\)

⇔ 80x – 80(x – 4) = x(x – 4)

⇔ 80x – 80x + 320 = x² –4x

⇔ x² – 4x – 320 = 0

⇔ x = 20

Vậy số xe lúc đầu của đội là 20 xe.

Diện tích một viên gạch là:

30 . 30 = 900 (cm²)

Diện tích của căn phòng là:

900 . 200 = 180000 (cm²)

Đổi: 180000 cm² = 18 m².

Gọi A là biến cố: “bạn A thi đỗ”, B là biến cố: “bạn B thi đỗ”, C là biến cố: “chỉ có một bạn thi đỗ”.

* Trường hợp 1: A thi đỗ, B thi không đỗ.

\(P\left( {A.\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)\)= 0,6 . 0,4 = 0,24.

 * Trường hợp 2: A thi không đỗ, B thi đỗ.

\(P\left( {\overline A .B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)\) = 0,4 . 0,6 = 0,24.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có

P(C) = \(P\left( {A.\overline B } \right) + P\left( {\overline A .B} \right)\)= 0,24 + 0,24 = 0,48.

(x – 2022)³ + (x – 2023)³ = (2x – 4045)³

⇔ (x – 2022)³ + (x – 2023)³ = [(x – 2022) + (x – 2023)]³

⇔ (x – 2022)³ + (x – 2023)³ = (x – 2022)³ + 3(x – 2022)²(x – 2023) + 3(x – 2022)(x – 2023)² + (x – 2023)³

⇔ 3(x – 2022)²(x – 2023) + 3(x – 2022)(x – 2023)² = 0

⇔ 3(x – 2022)(x – 2023)(x – 2022 + x – 2023) = 0

⇔ (x – 2022)(x – 2023)(2x – 4045) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2022 = 0\\x - 2023 = 0\\2x - 4045 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2022\\x = 2023\\x = \frac{{4045}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy x ∈ \(\left\{ {2022;2023;\frac{{4045}}{2}} \right\}\).

Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = n(X) = \(C_{18}^3\)

Gọi A là biến cố “chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.

Có 18 đỉnh như vậy nên lập được 8 . 18 = 144 (tam giác cân + đều)

Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.

Suy ra: n(A) = 144 – 6 = 138.

Vậy xác suất của biến cố A là: P = P(A) = \(\frac{{136}}{{C_{18}^3}} = \frac{{23}}{{136}}\).

(x – 1)²⁰²² . (x – 2)²⁰³³ = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

A = \(\frac{{457}}{1} + \frac{{456}}{2} + \frac{{455}}{3} + ... + \frac{1}{{457}}\)

\(A = \left( {\frac{{456}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{455}}{3} + 1} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{457}} + 1} \right) + 1\)

\(A = 458 + \frac{{458}}{2} + ... + \frac{{458}}{{456}} + \frac{{458}}{{457}} + \frac{{458}}{{458}}\)

A = \(458\left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{457}} + \frac{1}{{458}}} \right)\)

Xét \(1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{457}} + \frac{1}{{458}}\), ta có:

\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + .. + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + .. + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\)

….

\(\frac{1}{{257}} + \frac{1}{{258}} + .. + \frac{1}{{458}} > \frac{1}{{458}} + \frac{1}{{458}} + .. + \frac{1}{{458}} = \frac{{202}}{{458}}\)

Vậy:

\(1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{457}} + \frac{1}{{458}} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{202}}{{458}} = 4 + \frac{{202}}{{458}} = \frac{{2034}}{{458}}\)

Vậy A > \(458.\frac{{2034}}{{458}} = 2034 > 2016\) hay A > 2016.

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z (0 < x, y, z < 270)

Tam giác có chu vi bằng 27cm ⇒ x + y + z = 27

Do ba cạnh của tam giác tỉ lệ thuận với 4;3;2

⇒ \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{27}}{9} = 3\)

⇒ x = 4.3 = 12

y = 3.3 = 9

z = 2.3 = 6

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 12 cm, 9 cm và 6 cm.

a) Vì a ⊥ c và b ⊥ c nên a // b

b) Ta có: a // b nên:

\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = 75^\circ \](hai góc đồng vị)

\[\widehat {{A_4}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \](hai góc trong cùng phía)

Suy ra: \[\widehat {{A_4}} = 180^\circ - 75^\circ = 115^\circ \].

a) Ta có:

(P) đi qua các điểm có tọa độ như bảng sau:

Đỉnh của (P) là O(0;0)

(d) đi qua các điểm có tọa độ (0;2), (2;0)

Ta có đồ thị như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = –x + 2

⇔ x² + x – 2 = 0

⇔ x² + 2x – x – 2 = 0

⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(−2; 4) và B(1; 1).

Xét x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

= x² + xy + y²

= (x– y)² + 2xy

= 1 + 2xy

Vậy x³ – y³ = 1 + 2xy.

Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau:

Công đoạn 1, Chọn quả cầu xanh: 7 cách chọn (Vì cầu xanh được chọn tuỳ ý từ 1 đến 7)

Công đoạn 2, Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn (Vì số đánh trên cầu vàng không được chọn lại số đã đánh trên quả cầu xanh đã chọn)

Công đoạn 3, Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn (Vì số trên quả cầu đỏ chọn không được chọn lại các số mà quả cầu xanh và quả cầu vàng đã chọn)

Tổng kết, số cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số là 7.7.8 = 392 cách chọn.

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a(cm)

Ta có: (a + 25%) . 4 = 15

⇔ (a + 0,25) . 4 = 15

⇔ 4a + 1 = 15

⇔ 4a = 14

⇔ a = 3,5 (cm)

Chu vi hình vuông ban đầu là:

3,5 . 4 = 14 (cm)

Một parabol luôn có một điểm gọi là đỉnh của parabol (đối với a > 0 là điểm thấp nhất, a < 0 là điểm cao nhất).

Phương trình Parabol có dạng: y = ax² + bx + c

Giả sử gọi I là đỉnh của Parabol ta có hoành độ đỉnh là: x_I = \(\frac{{ - b}}{{2a}}\).

6 giờ = 360 phút

Số lần nhân đôi là: 360 : 20 = 18 (lần)

Số vi khuẩn sinh ra là: 2¹⁸ = 262144.

Kích thước vẽ trên bản vẽ là:

20 . 2 = 40 (mm).

Đặt A_i = “lần i bốc được bi đỏ” i = 1;2;…;10

B_j = "dừng lại ở lần bốc thứ j" j = 2;3;…;10

Khi đó: biến cố dừng lại ở lần thứ ba là: B₃ = \({A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + \overline {{A_1}} {A_2}{A_3}\)

P(B₃) = \(P\left( {{A_1}} \right).P\left( {\overline {{A_2}} \left| {{A_1}} \right.} \right).P\left( {{A_3}\left| {{A_1}\overline {{A_2}} } \right.} \right) + P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}\left| {\overline {{A_1}} } \right.} \right).P\left( {{A_3}\left| {\overline {{A_1}} } \right.{A_2}} \right)\) = \(\frac{2}{{45}}\).

Gọi x (dãy) là số dãy ghế ban đầu của phòng họp.

Điều kiện: x ∈ ℕ^*

Khi đó số ghế ngồi trong một dãy là: \(\frac{{360}}{x}\)(ghế)

Số dãy ghế sau khi tăng là x + 1 (dãy)

Số ghế ngồi trong một dãy sau khi tăng là: \(\frac{{400}}{{x + 1}}\) (ghế)

Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{{400}}{{x + 1}} - \frac{{360}}{x} = 1\)

⇔ \(\frac{{400x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{360\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

⇔ 400x −360(x + 1) = x(x + 1)

⇔ 400x – 360x – 360 = x² + x

⇔ x² – 39x + 360 = 0

⇔ (x – 24)(x – 15) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 24\\x = 15\end{array} \right.\)

Vậy bình thường phòng có 15 hoặc 24 dãy ghế.

a) Chiều rộng của sân bóng là:

7140 : 105 = 68 (m)

b) Chu vi sân bóng đá là:

(105 + 68) . 2 = 346 (m)

Đáp số : a) Chiều rộng: 68 m

b) Chu vi: 346 m.

Gọi số bút chì màu trong mỗi hộp là x

Vì mỗi hộp có số bút chì màu bằng nhau nên theo bài ra có: 28 chia hết cho x, 36 chia hết cho x.

Hay x ∈ ƯC(28;36)

Ta có: Ư(28) ={1; 2; 4; 7; 14; 28}

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 9; 12; 18; 36}

⇒ ƯC(28,36) = {1; 2; 4}

Mà mỗi hộp đều có số bút chì màu nhiều hơn hai cái

Do đó, mỗi hộp có 4 cái bút chì màu.

Đặt f(x) = \(\frac{{6x + 1}}{{12{x^2} + 1}}\)

⇔ \[f'\left( x \right) = \frac{{6\left( {12{x^2} + 1} \right) - \left( {6x + 1} \right).24x}}{{{{\left( {12{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 72{x^2} - 24x + 6}}{{{{\left( {12{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

Xét f'(x) = 0 suy ra: –72x² – 24x + 6 = 0

⇔ –24x² – 4x + 1 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{6}\\x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

 Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của A là \(\frac{{ - 1}}{2}\) khi x = \(\frac{{ - 1}}{2}\).

Ta có: A, B là giao điểm của d với Ox, Oy nên gọi A (a; 0), B(0; b) (a > 2; b > 1).

Phương trình d theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Do M thuộc d nên ta có: \(\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\left( 1 \right)\)

Mặt khác S_OAB = \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab\)

Để diện tích OAB nhỏ nhất thì ab nhỏ nhất

Ta có: \(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{a}.\frac{1}{b}} \) ⇔\[\frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4}\]⇔ ab ≥8 (2)

Vậy diện tích OAB nhỏ nhất khi ab = 8

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1\) hay x + 2y – 4 = 0.

(P): y = ax² + bx + c

Parabol đi qua A(0 ; –1) ⇒ –1 = a.02 + b.0 + c ⇒ c = –1.

Parabol đi qua B(1 ; –1) ⇒ –1 = a.12 + b.1 + c ⇒ a + b + c = –1.

Mà c = –1 ⇒ a + b = 0 (1)

Parabol đi qua C(–1; 1) ⇒ a.(–1)2 + b.(–1) + c = 1 ⇒ a – b + c = 1.

Mà c = –1 ⇒ a – b = 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ a = 1; b = –1.

Vậy a = 1 ; b = –1 ; c = –1.