- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
- Đề số 86
- Đề số 87
- Đề số 88
- Đề số 89
- Đề số 90
- Đề số 91
- Đề số 92
- Đề số 93
- Đề số 94
- Đề số 95
- Đề số 96
- Đề số 97
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 47)
-
10458 lượt thi
-
175 câu hỏi
-
120 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và = 60°. Độ dài của vectơ ?
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm của chúng
Hình thoi ABCD có = 60° nên:
AB = AD = BD = a ⇔ BO = BD = a
Trong tam giác ABC cân tại B có:
⇔ .
Câu 2:
Cho tam giác ABC có AB = AC và M là trung điểm của BC. Gọi N là trung điểm của AB, trên tia đối của NC lấy điểm K sao cho NK = NC.
a) Chứng minh ∆ABM = ∆CMA.
b) Chứng minh AK = 2MC.
c) Tính .
a) Xét hai tam giác ABM và ACM có:
AM chung
AB = AC (theo giả thiết)
BM = MC (do M là trung điểm BC)
Suy ra ΔABM = ΔACM (c.c.c).
b) Xét ΔBNC và ΔANK có:
NB = AN (do N là trung điểm AB)
(2 góc đối đỉnh)
NC = KN(theo giả thiết)
Suy ra ΔBNC = ΔANK (c.g.c)
Do đó BC = AK (2 cạnh tương ứng)
Mà BC = 2MC ⇒ AK = 2MC.
c) Theo chứng minh phần b thì ΔBNC = ΔANK (c.g.c) nên (2 góc tương ứng)
Suy ra: AK // BC (do 2 góc trên ở vị trí so le trong)
Mặt khác theo phần a, ΔABM = ΔACM nên = 90° ⇒ AM ⊥ BC
Do đó AK ⊥ AM ⇒ = 90°.
Câu 3:
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b thỏa mãn: b2 + c2 – a2 = . Tính số đo .
cos
⇒ = 30°
Vậy = 30°.
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 3,6 cm HC = 6,4 cm.
a) Tính AB, AC, AH.
b) Kẻ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Chứng minh AB.AE = AC.AF.
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác:
AC2 = HC.BC ⇒ AC = = 8 (cm )
AB^2 = HB.BC ⇒ AB = = 6 ( cm )
AH.BC = AB.AC ⇒ AH = AB.AC : BC = 4,8(cm)
b, Trong tam giác vuông HAB, đường cao HE ta có : HA2 = AB.AE (1)
Trong tam giác vuông HAC, đường cao HF ta có : HA2 = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có : AB.AE = AC.AF (đpcm).
Câu 5:
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và độ dài cạnh a. Tính tích vô hướng .
AD vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của ∆ABC
Áp dụng định lý Pitago trong ∆ABD ta có:
AD =
AG = AD =
= AB . AG . cos = a. . cos 30° = .
Câu 6:
Chị Chi mua 50 cái bình hoa với giá mỗi cái là 200000 đồng. Cô bán 20 cái bình lại 20% so với giá vốn, 30 cái còn lại cô bán lỗ vốn 5%. Hỏi việc mua và bán 50 cái bình này chị Chi lãi bao nhiêu tiền?
Chị Chi mua 50 cái bình hoa với số tiền là:
200.000 . 50 = 10.000.000 (đồng)
Chị mua 20 cái bình hoa với số tiền là:
200.000 . 20 = 4.000.000 (đồng)
Chị bán 20 cái bình hoa được số tiền là:
4.000.000 . (100% + 20%) = 4.800.000 (đồng)
Chị bán 30 cái bình hoa được số tiền là:
2.000.000 . 30 . (100% – 5%) = 5.700.000 (đồng)
Chị bán 50 cái áo được số tiền là:
4.800.000 + 5.700.000 = 10.500.000 (đồng)
Việc mua và bán 50 cái bình hoa, chị Chi lãi số tiền là:
10.500.000 – 10.000.000 = 500.000 (đồng)
Câu 7:
Giải phương trình: cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0.
cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0
⇔ cos2x(cosx + 1) + 2(sinx – 1) = 0
⇔ (1 – sinx)(1 + sinx)(cosx + 1) + 2(sinx – 1) = 0
⇔ (1 – sinx)[(1 + sinx)(cosx + 1) – 2] = 0
⇔ (1 – sinx)(1 + sinx + cosx + sinx cosx - 2) = 0
⇔ (1 – sinx)(sinx + cosx + sinx cosx - 1) = 0 (*)
Đặt t = cosx + sinx ( )
2 sinx cosx = t2 – 1 ⇔ sinx cosx =
Phương trình (*) trở thành:
(1 – sinx) = 0
⇔ (1 – sinx) = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ .
Câu 8:
Đặt tính rồi tính 157,25 : 3,7.
Ta có: 157,25 : 3,7 = 1572,5 : 37
Lấy 1572 : 37 = 42 (dư 18)
Hạ số 5 xuống được 185 : 37 = 5 (dư 0).
Câu 9:
Từ A đến B có 3 cách, B đến C có 5 cách, C đến D có 2 cách. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A mà không có con đường nào đi từ A đến D?
Để đi từ A đến D ta phải đi từ A ⇒ B ⇒ C ⇒ D
Số cách đi từ A đến D là:
3 . 5 . 2 = 30
Số cách đi từ A đến D và quay lại A là:
302 = 900.
Vậy có 900 cách.
Câu 10:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau sao cho có mặt đồng thời bốn chữ số 4; 5; 6; 7 và bốn chữ số đó đôi một không kề nhau?
Chọn 5 chữ số còn lại từ 6 chữ số 0,1,2,3,8,9 có cách
Xếp thứ tự 5 chữ số ở trên: 5! cách
5 chữ số trên tạo thành 6 khe trống, xếp 4 chữ số 4, 5, 6, 7 vào 6 khe trống đó: cách
⇒ .5!. số (bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu)
Chọn 5 chữ số sao cho có mặt chữ số 0: cách
Xếp 5 chữ số đó sao cho số 0 đứng đầu: 4! cách (hoán vị 4 chữ số còn lại)
4 chữ số tạo thành 5 khe trống, xếp 4,5,6,7 vào 5 khe trống: cách
Vậy số số thỏa mãn là: .5!. - .4!. = 244800 (số).
Câu 11:
Có hai địa điểm A, B cùng nằm trên một tuyến đường quốc lộ thẳng. Khoảng cách A và B là 30,5km. Một xe máy xuất phát từ A lúc 7 giờ theo chiều từ A đến B. Lúc 9 giờ, một ô tô xuất phát từ B chuyển động thẳng đều với vận tốc 80 km/h theo cùng chiều với xe máy. Chọn A làm mốc, cho thời điểm 7 giờ làm mốc thời gian và chọn chiều từ A đến B làm chiều dương, Phương trình chuyển động của xe máy là y = 2t2 + 36t, trong đó y tính bằng km, t tính bằng giờ. Biết rằng đến lúc ô tô đuổi kịp xe máy thì hai xe dừng lại và vị trí đó cách điểm B là x km. Tính x km?
Chọn A làm mốc, cho thời điểm 7 giờ làm mốc thời gian và chọn chiều từ A đến B làm chiều dương.
Ô tô chuyển động thẳng đều, ô tô xuất phát từ B cách A 30,5 km lúc 9 giờ (chuyển động sau xe máy 2 giờ) nên phương trình chuyển động của ô tô là:
y = 30,5 + 80(t – 2) = 80t – 129,5
Phương trình chuyển động của xe máy là y = 2t2 + 36
Ô tô đuổi kịp xe máy tại thời điểm hai đồ thị hàm số giao nhau.
Xét phương trình hoành độ:
2t2 + 36 = 80t – 129,5
⇔ 2t2 – 44t + 129,4 = 0
⇔
Khi t = 3,5 thì y = 150,5
Vậy ô tô đuổi kịp xe máy tại vị trí cách B là: 150,5 − 30,5 = 120 km.
Câu 12:
Hai đội công nhân cùng đào 1 con mương nếu họ cùng làm thì chỉ mất 2 ngày còn nếu làm riêng thì đội 2 nhanh hơn đội 1 là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm bao nhiêu ngày để xong công việc?
Gọi thời gian đội 2 làm riêng xong công việc là x (x > 3)
Thời gian đội 1 làm riêng xong công việc là y (2 < y < x)
1 ngày đội 1 làm được: (công việc)
1 ngày đội 2 làm được: (công việc)
1 ngày cả 2 đội làm được: (công việc)
Ta có phương trình:
Vì đội 2 làm riêng nhanh hơn đội 1 là 3 ngày nên ta có: y – x = 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
⇔ ⇔
⇔
⇔
⇔
Vậy đội 2 làm trong 3 ngày thì xong, đội 2 làm trong 3 ngày thì xong.
Câu 13:
Hiện nay anh hơn em 13 tuổi biết sau bảy năm nữa tuổi anh gấp 2 lần tuổi em. Hỏi năm ngoái tuổi anh gấp bao nhiêu lần tuổi em?
Hiện nay anh hơn em 13 tuổi thì 7 năm nữa hiệu số tuổi không đổi và anh vẫn hơn em 13 tuổi.
Coi tuổi anh khi đó là 2 phần thì tuổi em là 1 phần như thế
Tuổi anh khi đó là :
13 : (2 – 1) . 2 = 26 (tuổi)
Tuổi em khi đó là:
26 – 13 = 13 (tuổi)
Tuổi anh hiện tại là:
26 – 7 = 19 (tuổi)
Tuổi em hiện tại là:
19 – 13 = 6 (tuổi)
Vậy năm ngoái tuổi em là 5 tuổi, tuổi anh là 18 tuổi.
Năm ngoái tuổi anh gấp số lần tuổi em là:
18 : 5 = 3,6 (lần).
Câu 14:
Công vào cửa hàng mua 10 quyển vở và 3 bút chì hết 51000 đồng. Dũng mua 5 quyển vở và 6 bút chì cùng loại hết 57000 đồng. Hỏi giá tiền một quyển vở, một cái bút chì là bao nhiêu?
Gọi giá tiền 1 quyển vở là a, giá tiền 1 cái bút là b (đồng)
Theo bài ra ta có:
⇔
⇔
⇔
Vậy giá của 1 quyển vở là 3000 đồng và của 1 cái bút chì là 7000 đồng.
Câu 15:
Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 648m. Chiều rộng kém chiều dài 72m.
a) Tính diện tích thửa đất đó.
b) Một thửa đất hình vuông có chu vi bằng chu vi thửa đất trên. Tính diện tích thửa đất hình vuông.
a) Nửa chu vi hình chữ nhật đó là:
648 : 2 = 324(m)
Chiều rộng thửa đất đó là:
(324 – 72) : 2 = 126(m)
Chiều dài thửa đất đó là:
126 + 72 = 198(m)
Diện tích thửa đất đó là:
126 . 198 = 24948 (m2)
b) Cạnh thửa đất hình vuông là:
648 : 4 = 162 (m)
Diện tích thửa đất đó là:
162 . 162 = 26244 (m2).
Câu 16:
Cho đa giác đều có 14 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 14 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 40 đỉnh của đa giác
⇒ n(Ω) = = 364
Gọi A là biến cố: "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của tam giác vuông"
Chọn một đường chéo đi qua tâm, có 7 cách chọn.
Tương ứng với mỗi đường kính ấy, mỗi đỉnh còn lại sẽ tạo với đường kính một tam giác vuông. Khi đó, số tam giác vuông được tạo ra là
7 . = 84
Vậy xác suất cần tính là P(A) = .
Câu 17:
Một vật chuyển động theo quy luật s = t3 + 6t2 là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong 9s, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là?
s = t3 + 6t2
⇒ v = s′ = −t2 + 12t
⇒ v′ = −2t + 12 = 0
⇒ t = 6
Vậy trong 9s từ khi bắt đầu chuyển động thì vận tốc lớn nhất đạt được là 36 km/h.
Câu 18:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(2; 3); B(4; –1). Giao điểm của đường thẳng AB với trục tung tại M, đặt , giá trị của k là?
Gọi M(xM; yM)
Vì M ∈ Oy nên M(0; yM)
Ta có:
suy ra:
Khi đó:
⇔
⇔
⇔
⇔
Vậy giá trị của k là .
Câu 19:
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(– 1; 2); B(5; 8) điểm M thuộc Ox sao cho tam giác MAB vuông tại A. Tính diện tích tam giác MAB?
Vì M thuộc Ox nên giả sử M(a; 0)
Tam giác MAB vuông tại A nên
⇔ (a + 1) . 6 + (-2) . 6 = 0
⇔ 6a + 6 – 12 = 0
⇔ a = 1
⇒ AM =
⇒ AB =
SABM = (đvdt)
Câu 20:
Trong một trận lụt ở Hội An, một khách sạn bị nước lụt tràn vào, cần di chuyển cùng một lúc 40 hành khách và 24 vali hành lý. Lúc này chỉ huy động được 8 chiếc ghe lớn và 8 chiếc ghe nhỏ. Một chiếc ghe lớn chỉ có thể chở 10 hành khách và 4 vali hành lý. Một chiếc ghe nhỏ chỉ có thể chở 5 hành khách và 4 vali hành lý. Giá một chuyến ghe lớn là 250 ngàn đồng và giá một chuyến ghe nhỏ là 130 ngàn đồng. Hỏi chủ khách sạn cần thuê bao nhiêu chiếc ghe mỗi loại để chi phí thấp nhất?
Giải thích các bước giải:
Gọi x, y lần lượt là số ghe lớn, ghe nhỏ cần thuê. (x, y ≥ 0)
Số hành khách để x ghe lớn và y ghe nhỏ chở là: 10x + 5y
Số vali để x ghe lớn và y ghe nhỏ chở là: 4x + 4y
Chi phí thuê ghe là T = 250x + 130y (nghìn đồng)
Từ các dữ kiện ta có hệ phương trình:
(1)
Khi đó bài toán mới hình thành:
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm (x = x0; y = y0) nào cho T = 250x + 130y nhỏ nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE tính cả biên (như hình vẽ).
T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE
Ta có:
A(0;8) ⇒ T = 1040
B(8;8) ⇒ T = 3040
C(8;0) ⇒ T = 2000
D(6;0) ⇒T = 1500
E(2;4) ⇒ T = 1020
Do đó T = 250x + 130y nhỏ nhất là 1020 (nghìn đồng) khi x = 2; y = 4
Vậy chủ khách sạn cần thuê 2 ghe lớn và 4 ghe nhỏ để chi phí thấp và phải trả là 1020 nghìn đồng.
Câu 21:
Tìm chữ số x, y để chia hết cho 3 và 5.
Để chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc y = 5
* Nếu y = 0 ta có số
Để chia hết cho 3 thì 1 + 4 + x + 8 + 0 chia hết cho 3 tức 13 + x chia hết cho 3
Mà 13 + x < 23 ⇒ x = 2 hoặc x = 5 hoặc x = 8
* Nếu y = 5 ta có số
Để chia hết cho 3 thì 1 + 4 + x + 8 + 5 chia hết cho 3 tức 18 + x chia hết cho 3
⇒ x = 3 hoặc x = 6 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là: (2; 0), (5; 0), (8; 0), (3; 5), (6; 5), (9; 5).
Câu 22:
Vào ngày lễ Black Friday, cửa hàng hoa của chị H quyết định giảm 20% cho 1 bó hoa hướng dương và nếu khách hàng mua 10 bó trở lên thì từ bó thứ 10 trở đi khách hàng sẽ chỉ phải trả nửa giá đang bán hiện tại.
a) Một công ty muốn đặt hoa khai trương nên đã đặt 30 bó hoa. Tính số tiền công ty đó mua biết giá ban đầu của 1 bó là 60000 đồng.
b) 1 khách hàng đã mua hoa hướng dương ở tiệm chị H và tổng số tiền người đó phải trả là 648000 đồng. Hỏi người đó mua bao nhiêu bó?
a) 10 bó hoa đầu tiên công ty được tính với giá 1 bó hoa bằng 80% giá ban đầu là 48000 đồng, từ bó thứ 11 trở đi, công ty được tính giá 1 bó hoa là 24000 đồng
Tổng số tiền công ty đó mua là:
10 . 48000 + 20 . 24000 = 960000 (đồng)
b) Sau khi trả tiền cho 10 bó hoa đầu thì số tiền khách hàng trả cho những bó hoa còn lại là:
648000 – 10 . 48000 = 168000 (đồng)
Sau khi mua 10 bó hoa đầu thì số bó hoa khách hàng mua thêm là:
168000 : 24000 = 7 (bó).
Câu 23:
Khối tròn xoay:
+ Hình trụ đáy tròn: Cây nến, bóng đèn ống (không kể chân bóng), viên pin, hộp sữa, ...
+ Hình nón: Đầu tên lửa, đầu đạn, ...
+ Hình cầu: Viên bi, qua bóng, ...
Câu 24:
Tìm ước chung lớn nhất của 11, 13, 17, 19.
Do 11; 13; 17; 19 là các số nguyên tố nên ƯCLN (11; 13; 17; 19) = 1.
Vậy ƯCLN (11; 13; 17; 19) = 1.
Câu 25:
Một bể nước cao 2m chứa đầy nước, đáy là hình chữ nhật có chu vi 7,6m, chiều dài hơn chiều rộng 0,8m. Bể đó chứa được lít nước là?
Nửa chu vi của đáy bể hình chữ nhật là:
7,6 : 2 = 3,8 (m)
Chiều dài đáy bể là:
(3,8 + 0,8) : 2 = 2,3 (m)
Chiều rộng đáy bể là:
2,3 − 0,8 = 1,5 (m)
Thể tích của bể nước là:
2,3 . 1,5 . 2 = 6,9 (m3)
Đổi 6,9m3 = 6900dm3 = 6900 lít
Đáp số: 6900 lít.
Câu 26:
Khi ghép hai hình M và hai hình N lại thì ta được một hình vuông (như hình vẽ) có chu vi là 3232cm. Biết chiều dài hình M lớn hơn chiều rộng hình N là 570 cm. Tìm chu vi hình M?
Cạnh hình vuông ghép là:
3232 : 4 = 808 (cm)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy cạnh hình vuông ghép bằng tổng chiều dài hình M và chiều rộng hình N
Mà ta có chiều dài hình M lớn chiều rộng hình N là 570 cm nên chiều dài hình M là:
(808 + 570) : 2 = 689 (cm)
Tiếp tục dựa vào hình vẽ, ta thấy cạnh hình vuông ghép bằng hai lần chiều rộng hình M, nên chiều rộng hình M là:
808 : 2 = 404 (cm)
Chu vi hình M là:
(689 + 404) . 2 = 2186 (cm) = 21,86 (m)
Đáp số: 21,86 (m).
Câu 27:
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Phân tích theo 2 cạnh của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: A
M là trung điểm của BC nên ta có: 2
Vậy .
Câu 28:
Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d . Kẻ BH và CK vuông góc với d.
Chứng minh:
a) AH = CK.
b) HK = BH + CK.
a) Ta có: = 180° (Vì là góc bẹt)
=> = 90° (Vì = 90°) (1)
Xét ΔAKC có: = 90° (Vì = 90°) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: .
Xét ΔAHB và ΔCKA có:
(cmt)
AB = AC (gt)
= 90°
Do đó: ΔAHB = ΔCKA (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ AH = CK (Cặp cạnh tương ứng)
b) Vì ΔAHB = ΔCKA nên BH = AK và AH = CK (Cặp cạnh tương ứng)
Ta có: HK = AK + AH = BH + CK (đpcm)
Vậy HK = BH + CK.
Câu 29:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MC = MN.
a, Chứng minh NB // AC.
b, Trên tia đối tia BN lấy điểm E sao cho BN = BE. Chứng minh: AB = EC.
c, Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh A, E, F thẳng hàng.
a, Xét ΔMBN và ΔMAC có:
MA = MB vì M là trung điểm BA
(đối đỉnh)
MN = MC
⇒ ΔMNB = ΔMCA(c.g.c)
⇒
⇒ BN//AC
b, Từ câu a ⇒ AC = BN
Ta có BN // AC ⇒ AC // BE ⇒
Xét ΔABE và ΔECA có:
Chung AE
BE = AC
⇒ ΔABE = ΔECA(c.g.c)
⇒ AB = EC
c, Ta có AC // BE ⇒ ⇒
Xét ΔACF và ΔBEF có:
FB = FC vì F là trung điểm BC
AC = BE
⇒ ΔACF = ΔEBF (c.g.c)
⇒
⇒ A, F, E thẳng hàng.
Câu 30:
Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5}. Có bao nhiêu cặp thứ tự (x; y) biết rằng:
a) x và y đều thuộc A.
b) (x; y) là tập con của A.
c) x và y đều thuộc A sao cho x + y = 6.
a) Tập A có 5 phần tử
Số cách chọn x là 5 cách
Số cách chọn y là 5 cách (do không yêu cầu x, y khác nhau)
Số cặp thỏa mãn là: 5 . 5 = 25 (cặp)
b) (x; y) là tập con của A
Do có sắp thứ tự nên có cặp.
c) Để x + y = 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3
Vậy có 5 cặp số (x; y) thỏa mãn là (1; 5), (5; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 3).
Câu 32:
Giao điểm của ba đường phân giác gọi là gì?
Giao điểm của ba đường phân giác gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Ví dụ:
Câu 33:
Tìm các chữ số x,y biết chia hết cho 5, chia hết cho 2 dư 1 và chia hết cho 9.
Để chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc y = 5
Mà không chia hết cho 2 do đó y = 5
Khi đó ta có số
Để chia hết cho 9 thì x + 1 + 8 + 4 + 5 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9
Suy ra: x = 9 (do x khác 0)
Vậy x = 9, y = 5 thì ta có số 91845 chia hết cho 5, chia hết cho 2 dư 1 và chia hết cho 9.
Câu 34:
Tìm GTNN, GTLN của A = .
Nhận xét: x2 – x + 1 = do vậy A luôn xác định
Ta có: A =
⇔ A(x2 – x + 1) = x2 + 1
⇔ x2(A – 1) – x.A + (A – 1) = 0
Tìm GTLN, GTNN tức là tồn tại giá trị x thỏa mãn min A và max A
Vậy thì điều kiện cần là phương trình trên có nghiệm, tức là:
∆ = A2 – 4(A – 1)(A – 1) = A2 – 4(A2 – 2A + 1) = –3A2 + 8A – 4 ≥ 0
⇔ – (3A2 – 2A) + (6A – 4) ≥ 0
⇔ – A(3A – 2) + 2(3A – 2) ≥ 0
⇔ (3A – 2)(2 – A) ≥ 0
⇔
⇔
Vậy hay GTNN của A là khi x = – 1.
GTLN của A là 2 khi x = 1.
Câu 35:
Tìm số bị chia và số chia bé nhất để phép chia đó có thương là 123 và số dư là 44.
Số chia nhỏ nhất trong phép chia đã cho là:
44 + 1 = 45
Số bị chia nhỏ nhất trong phép chia đã cho là:
45 . 123 + 44 = 5579
Đáp số: 5579.
Câu 36:
Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ| x – a| ≤ 2} và B = (– 2; 5]. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị a để A giao B khác rỗng là nửa khoảng (m, n]. Tính S = n + 2m.
Ta có:
|x − a| ≤ 2
⇔ −2 ≤ x − a ≤ 2
⇔ −a – 2 ≤ x ≤ a + 2
Ta được:
A = [a − 2; a + 2]
Xét A ∩ B = ∅
⇔
⇔
Do đó:
A ∩ B ≠ ∅ ⇔ −4 < a ≤ 7
Hay a ∈ (−4; 7]
⇒ m = – 4; n = 7
⇒ S = n + 2m = −1.
Câu 37:
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3.
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số (a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e; a ≠ 0)
+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0
Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có (cách)
Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có (cách)
Suy ra có số
+) Trường hợp a = 0
Chọn a có 1 cách
Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có (cách)
Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có (cách)
Suy ra có (cách)
Vậy có: số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 38:
Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết OC = 2cm. Tính AC ?
Vì AC, BD là đường chéo của hình chữ nhật nên cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra: AC = 2OC = 2.2 = 4 cm.
Vậy AC = 4cm.
Câu 39:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (đáy lớn AB). Gọi M, N là trung điểm BC; SB. P thuộc AD sao cho 2PD = PA. Chứng minh MN // (SCD), tìm giao điểm của SA và (MNP).
Ta có: M, N là trung điểm BC; SB nên MN là đường trung bình của tam giác SCB
Suy ra: MN // SC
Mà SC ∈ (SCD) nên MN // (SCD)
+) Gọi giao điểm của PM và AB là E
Ta có: E ∈ AB ⸦ (SAB), E ∈ PM ⸦ (MNP)
Giao điểm của EN và SA là F
Mà EN ⸦ (MNP)
Suy ra: SA ∩ (MNP) = {F}.
Câu 40:
Một cửa hàng bán trái cây nhập khẩu 500kg Cảm với giá 40000 đồng/1kg. Phí vận chuyển hàng là 4000000 đồng. Giả sử rằng 10% số kg cảm trên bị trong quá trình vận chuyển và số kg cam còn lại được bán hết. Hỏi giá bán của mỗi kg cam là bao nhiêu để công ty có lợi nhuận 20% số với tiền vốn ban đầu?
Tổng tiền mua cam:
500 . 40000 = 20000000 (đồng)
Tổng tiền vốn là:
20000000 + 4000000 = 24000000 (đồng)
Số lượng cam không bị hư là:
500.(100% − 10%) = 500 . 90% = 450 (kg)
Tổng số tiền thu được khi bán hết là:
(100% + 20%) . 24000000 = 28800000 (đồng)
Giá bán của mỗi kg cam là:
28800000 : 450 = 64000 (đồng)
Vậy giá bán của mỗi kg cam là: 64000 đồng.
Câu 41:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 80m và chiều rộng bằng chiều dài
a) Tính diện tích thửa ruộng đó.
b) Ở giữa mảnh vườn người ta đào một cái ao thả cá. Tính diện tích của ao,biết diện tích của ao chiếm diện tích mảnh vườn.
a) Nửa chu vi mảnh vườn là:
80 : 2 = 40 (m)
Chiều rộng mảnh vườn là:
40 : (3 + 5) . 3 = 15 (m)
Chiều dài mảnh vườn là:
40 – 15 = 25 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
25 . 15 = 375 (m2)
b) Diện tích ao thả cá là:
375 . = 150 (m2).
Câu 42:
cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC , trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB.
1) Chứng minh AD = BC.
2) Chứng minh CD vuông góc với AC.
3) Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia DC tại N. Chứng minh ∆ABM = ∆CNM.
1) Xét ΔCBM và ΔADM có:
AM = MC (giả thtết)
( đối đỉnh)
BM = MD (giả thiết)
⇒ ΔCBM = ΔADM (c.g.c)
Suy ra: BC = DA (hai cạnh tương ứng)
2) Xét ΔABM và ΔCDM có:
AM = CM (giả thiết)
(đối đỉnh)
BM = DM (giả thiết)
⇒ ΔABM = ΔCDM (c.g.c)
= 90°(hai góc tương ứng) (đpcm)
⇒ DC⊥AC (đpcm)
3) Ta có BN // AC mà AC ⊥ DC ⇒ BN ⊥ DC ⇒ = 90°
AB // CD (do cùng ⊥AC)
Xét ΔABC và ΔNBC có:
(hai góc ở vị trí so le trong)
BC chung
(do BN//AC nên đó là hai góc ở vị trí so le trong)
⇒ ΔABC = ΔNBC (g.c.g)
⇒ AB = NC (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔABM và ΔCNM có:
AB = CN (cmt)
= 90°
AM = CM (giả thiết)
⇒ ΔABM = ΔCNM (đpcm).
Câu 43:
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh DEBF là hình bình hành.
b) Chứng minh ADFE là hình thoi.
c) Gọi M là giao điểm của DE và AF, N là giao điểm của CE và BF. Chứng minh EMFN là hình chữ nhật.
a) Ta có: AB = DC (tính chất hình bình hành) mà E, F lần lượt là trung điểm AB, CD
⇒ EB = DF và EB // DF
⇒ BEDF là hình bình hành
b) AE = DF(= AB = DC) và AE // DF
⇒ AEFD là hình bình hành
Mà AE = AD (= AB)
⇒ AEFD là hình thoi
c) EBFD là hình bình hành ⇒ ED // BF ⇒ EM // FN(1)
Chứng minh tương tự câu b ⇒ EBCF là hình thoi
Và AEFD, EBCF là hình thoi
⇒ EM = FN và FN = NB mà ED = BF ⇒ ME = FN(2)
Từ (1) và (2) suy ra EMFN là hình bình hành mà = 90°(AEFD là hình thoi)
⇒ EMFN là hình chữ nhật.
Câu 44:
Có bao nhiêu số nguyên sau khi làm tròn trăm cho kết quả là 6700?
Có khoảng 100 số từ 6650 đến 6749.
Để làm tròn đến số 6700 thì số đó nhỏ nhất phải là:6650 vì 6649 làm tròn hàng trăm sẽ thành 6600.
Và số lớn nhất sẽ bằng 6749 vì nếu là 6750 thì làm tròn đến hàng phần trăm sẽ bằng 6800.
Vậy có khoảng 100 số nguyên sau khi làm tròn bằng 6700.
Câu 45:
Hai đoạn ống nước có chiều dài lần lượt là 0,8 m và 1,35 m. Người ta nối hai đầu ống để tạo thành một ống nước mới. Chiều dài của phần nối chung là m. Hỏi đoạn ống nước mới dài bao nhiêu mét?
Đoạn ống nước mới dài số mét là:
0,8 + 1,35 – = 2,15 − 0,08 = 2,07 (m).
Câu 46:
Công thức tính diện tích của hình bình hành sẽ bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.
Câu 47:
P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2024
P = x2 + y2 + y2 + 2xy – 6x – 6y – 2y + 2024
P = (x2 + 2xy + y2) – (6x + 6y) + 9 + y2 – 2y + 1 + 2014
P = (x + y)2 – 2(x + y)3 + 32 + (y – 1)2 + 2014
P = (x + y – 3)2 + (y – 1)2 + 2014
Ta thấy (x + y – 3)2 + (y – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y
Nên P ≥ 2014
Vậy GTNN của P là 2014 khi ⇔ .
Câu 48:
Cho biểu thức Q = với x ≥ 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn Q.
b) Tìm x để Q = – 1.
a) Q =
Q =
Q =
Q =
Q =
Q =
b) Để Q = – 1 thì
⇔
⇔
⇔ x = 4.
Câu 49:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ .
Gọi O là tâm hình vuông.
Theo quy tắc 3 điểm ta có:
=
=
Mà
Suy ra:
Lấy điểm A' trên tia OA sao cho OA' = 3OA, khi đó:
Suy ra:
Mặt khác: BA' =
.
Câu 50:
Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AB = 2a, các cạnh đáy AD = a và BC = 3a. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho . Tìm k để BM ⊥ CD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B, điểm A thuộc Oy và điểm C thuộc Ox.
Theo bài ra ta có:
B(0;0), C(3;0), A(0;2), D(1;2)
Khi đó:
Phương trình tham số của AC là:
Gọi M thuộc AC suy ra: M(3t ; 2 – 2t)
Ta có:
Để BM ⊥ CD thì
⇔ 6t – 4 + 4t = 0
⇔ t =
⇒
Khi đó: ⇒
⇒
Vì và cùng chiều nên k = .
Câu 51:
Cho tổng An = 1 + 4 + 7+ .... + (3n – 2).
a, Tính A1, A2, A3.
b, Dự đoán công thức An và chứng minh bằng quy nạp.
a) A1 = 1
A2 = 1 + 4 = 5
A3 = 1 + 4 + 7 = 12
b) Dự đoán công thức An = (1)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có: A1 = (đúng)
Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là
1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) =
Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k, tức là cần chứng minh
1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) + (3k + 1) = (2)
Theo giả thiết quy nạp ta có:
Ak+1 = Ak + (3k + 1) = + (3k + 1)
= .
Vậy (1) đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Câu 52:
Biết điểm A (– 1; 2) thuộc đường thẳng y = ax + 3(a khác 0). Hệ số góc của đường thẳng trên bằng?
y = ax + 3 đi qua A(– 1; 2) nên ta có:
2 = – a + 3
⇔ a = 3 – 2
⇔ a = 1
Vậy hệ số góc của đường thẳng trên là 1.
Câu 53:
Cho biểu thức .
a) Rút gọn C.
b) Tìm x để C = 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để C nhận giá trị dương.
a)
C = x – 1
b) Để C = 0 thì x – 1 = 0 hay x = 1.
c) Để C luôn dương thì x – 1 ≥ 0 hay x ≥ 1.
Câu 54:
CHo hình vuông ABCD cạnh 6cm. Trên tia đối của AD lấy điểm I sao cho AI = 2cm. IC cắt AB tại K. Tính độ dài IK và IC.
Ta có: ID = IA + AD = 2 + 6 = 8 cm
Áp dụng định lí Pitago trong ΔIDC vuông tại Dcó:
IC2 = ID2 + DC2
IC2 = 82 + 62 = 100
⇒ IC = 10cm
Ta có: AK // DC vì ABCD là hình vuông
Áp dụng định lý Talet ta có:
hay
⇒ IK = 10 . 2 : 8 = 2,5 (cm)
Vậy IC = 10cm và IK = 2,5cm.
Câu 55:
Cho tam giác ABC có = 60°, a = 10, r = . Tính R, b, c.
Theo định lý sin:
⇒ R =
Ta có: S = ⇒
⇒ 60bc = 200 (10 + b + c)
⇔ 3bc = 10(10 + b + c) = 100 + 10(b + c)(1)
Áp dụng định lý cos: a2 = b2 + c2 – 2bc. cos
100 = b2 + c2 – bc (2)
Từ (1) và (2) ta có:
100 + 10(b + c) = (b + c)2 – 100
⇔ (b + c)2 – 10(b + c) – 200 = 0
⇔
Với b + c = 20 thì bc = 100
Khi đó: b(20 – b) – 100 = 0
⇔ 20b – b2 – 100 = 0
⇔ (10 – b)2 = 0
⇔ b = 10
Suy ra: c = 10.
Câu 56:
Cho tam giác ABC đều có cạnh 3 cm.
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Lấy M nằm trong tam giác ABC. Vẽ MI, MJ, MK lần lượt vuông góc với AB, AC, BC. Hãy tính MI + MJ + MK.
Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC)
Vì ABC là tam giác đều nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra H là trung điểm BC
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AHC có:
AH2 = AC2 – HC2 = 32 –
Suy ra: AH =
SABC = (cm2)
b) SAMB =
SAMC =
SCMB =
SABC = SAMB + SAMC + SBMC = 1,5 (MI + MJ + MK) =
MI + MJ + MK = (cm).
Câu 57:
Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ?
Để bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ thì ta chọn 1 hoa đỏ trong 4 bông hoa đỏ, 6 bông còn lại chọn bất kỳ trong 8 bông vàng và trắng
Số cách chọn là: (cách).
Câu 58:
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' = .
A'C' = A'B'2 + B'C'2 = 2A'B'2
AC'2 = AA'2 + A'C'2 = AA'2 + 2A'B'2 = 3AA'2
AC' = AA' =
Suy ra: AA' = a
Khối lập phương có cạnh là a nên VABCD.A'B'C'D' = a3.
Câu 59:
Cho 2 tam giác ABC và A'B'C' lần lượt có các trọng tâm là G và G'. Chứng minh
Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ (đpcm)
Vậy điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm là .
Câu 60:
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn (giả sử OA = 2R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Chứng minh ΔABC đều.
Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB vuông góc với OB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBA có:
sin . Suy ra:
Xét ∆ABO và ∆ACO có:
Chung OA
OB = OC (đều là bán kính (O))
AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: ∆ABO = ∆ACO (c.c.c)
⇒
⇒
Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
Mà
Nên ∆ABC là tam giác đều.
Câu 61:
Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc?
Gọi thời gian tổ I hoàn thành công việc riêng là x (x > 0, giờ),
thời gian tổ II hoàn thành công việc riêng là y (y > 0, giờ)
Trong 1 giờ, tổ I làm được (công việc)
Trong 1 giờ, tổ II làm được (công việc)
Trong 1 giờ, cả 2 tổ làm được (công việc)
Nên ta có phương trình: (1)
Trong 10 giờ, tổ I làm được (công việc)
Vì sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình:
⇔ 2. + = 1
⇔ x = 15
Thay vào (1) tìm được y = 10
Vậy thời gian tổ I hoàn thành công việc riêng là 15 giờ.
thời gian tổ II hoàn thành công việc một mình là 10 giờ.
Câu 62:
Giải phương trình: .
<=>
⇔ 7x2 – 13x + 2 = 2x2 – 8x + 8 + 5x2 – 15x – 5x + 15
⇔ 7x2 – 13x + 2 = 7x2 – 28x + 23
⇔ 7x2 – 13x + 2 – 7x2 + 28x – 23 = 0
⇔ 15x – 21 = 0
⇔ x =
Vậy x =
Câu 63:
Tìm tập xác định của hàm số y = .
Điều kiện xác định: tanx ≠ 0
⇔ ≠ 0 (để xác định thì cos x≠ 0)
⇔
⇔
Câu 64:
Tính giá trị biểu thức: (– 15).67 – 85.(– 33).
(– 15).67 – 85.(– 33)
= – 1005 – (– 2805)
= – 1005 + 2805
= 1800.
Câu 65:
Tìm x, y thỏa mãn chia hết cho 2; 5; 3.
Để chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc y = 5
Mà chia hết cho 2 nên y = 0
Khi đó ta có số
Để chia hết cho 3 thì 1 + 7 + x + 2 + 0 chia hết cho 3
Tức là: 10 + x chia hết cho 3
Suy ra: x = 2; 5; 8
Vậy (x; y) ∈ {(2; 0), (5; 0), (8; 0)} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 66:
Gọi số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch là x và y (x, y > 0)
Hai xí nghiệp phải làm tổng cộng 360 dụng cụ nên ta có:
x + y = 360
Mà dụng cụ thực tế làm ra vượt mức 10% và 15% nên số dụng cụ làm ra được thực tế là:
Xí nghiệm 1: x + 10%x = 110%x = 1,1x`
Xí nghiệm 2: 1,15y
Ta có hệ phương trình:
⇔
⇔
Vậy mỗi xí nghiệp phải làm 200 dụng cụ và 160 dụng cụ.
Câu 67:
Tìm giá trị của m để 2x2 + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ
Xét f(x) = 2x2 + 3x + m + 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 3, c = m + 1.
Ta có: ∆ = 32 – 4.2.(m + 1) = 9 – 8m – 8 = 1 – 8m.
Vì a = 2 > 0 nên để 2x2 + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0
⇔ 1 – 8m < 0
⇔ m > 1818.
Vậy với m > 1818 thì 2x2 + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Câu 68:
Các số chia hết cho 2 có tận cùng là chữ số nào?
Các số tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
Ví dụ: 12, 10, 24, 36, 48 là các số chia hết cho 2 vì có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
Câu 69:
Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm và diện tích bằng 30cm2. Lấy M, N lần lượt trên BC và AD sao cho BM = DN = 2cm. Tính diện tích hình thang ABMN.
Ta có: AD =
Suy ra: AN = AD – ND = 6 – 2 = 4 (cm)
Diện tích hình thang ABMN là:
SABMN = (cm2).
1725. cho hình thoi abcd có cạnh bằng a và gócCâu 70:
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tính độ dài của .
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
Ta có: AB = AD nên tam giác ABD cân tại A
Mà nên tam giác ABD là tam giác đều
⇒ BD = AB = AD = a
Vậy
Câu 71:
Cho phân thức .
a) Với giá trị nào của x thì giá trị phân thức được xác định.
b) Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 2.
a) Để phân thức xác định thì mẫu thức phải khác 0
Suy ra: x2 – 4 ≠ 0
⇔ x2 ≠ 4
⇔ x ≠ 2 và x ≠ – 2
b) Rút gọn:
Suy ra:
⇔ x – 2 = 2(x + 2)
⇔ x – 2 = 2x + 4
⇔ x = – 6.
Vậy x = – 6 thì phân thức có giá trị bằng 2.
Câu 72:
Cho tam giác ABC (AB = AC). Kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D.
a) Chứng minh AD là đường kính.
b) Tính .
c) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Tính bán kính của đường tròn tâm (O)
a) ΔABC có AB = AC
⇒ ΔABC cân tại A
⇒ AH là đường cao, trung tuyến, phân giác và cũng là đường trung trực của BC
Mà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao 3 đường trung trực
⇒ O ∈ AH
⇒ AD là đường kính (đpcm)
b) ΔACD nội tiếp đường tròn đường kính AD
⇒ ΔACD vuông tại C
⇒ = 90°
c) BC = 24cm ⇒ BH = CH = 12cm
ΔABH vuông tại H
⇒ AH =
ΔABD vuông tại B có BH là đường cao
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2 = AH.AD ⇒ 202 = 16.2.R
⇒ R = 12,5cm.
Câu 73:
Cho tam giác ABC vuông tại A có = 60°, kẻ tia Ax song song với BC. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD = DC.
a) Tính các góc BAD và DAC.
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi.
d) Cho AC = 8cm, AB = 5cm. Tính diện tích hình thoi ABED.
a) Ta có AD//BC
⇒
b) Ta có DA = DC⇒ΔDAC cân tại D
⇒
Mà
⇒
Do AD // BC ⇒ ADCB là hình thang cân
c) Ta có ΔABC vuông tại A, E là trung điểm BC
⇒ EA = EB = EC
Do EA = EC, DA = DC
⇒ DE là trung trực của AC
Gọi DE ∩ AC =F ⇒ F là trung điểm AC
Lại có AD//BC ⇒
⇒ FD = FE ⇒ F là trung điểm EF
⇒ DE ⊥ AC = F là trung điểm mỗi đường
⇒ ADCE là hình thoi
⇒ AD = DC = CE = EA
Ta có AD // BC, AD = BE⇒ ADEB là hình bình hành
Do EA = EB, = 60°
⇒ ΔABE đều
⇒ BA = BE
Mà BA = BE ⇒ ABED là hình thoi
d) Vì ABED là hình thoi
⇒ SABED = 2SABE = SABC = AB⋅AD = 20.
Câu 74:
Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm O sao cho .
(I là trung điểm BD)
Suy ra: O là đỉnh thứ tư của hình bình hành BIEO với E xác định bởi .
Câu 75:
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm C(C≠ A). Đoạn thẳng BC cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm của MB, K là trung điểm của AC.
a) Chứng minh AM là đường cao của tam giác ABC và AC2 = CM.CB.
b) Chứng minh A, C, I, O cùng nằm trên 1 đường tròn.
c) Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Vì AB là đường kính của (O) ⇒ AM ⊥ BM
⇒ AM ⊥ BC
⇒ AM là đường cao ΔABC
Ta có AC là tiếp tuyến của (O)
⇒ AC ⊥ AB
⇒ ΔABC vuông tại Ado AM ⊥ BC
⇒ AC2 = CM.CB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
b) Ta có I là trung điểm MB ⇒ OI ⊥ MB
⇒ = 90°
⇒ A, O, I, C ∈ đường tròn đường kính CO
c) Ta có O,K là trung điểm AB,AC
⇒ OK là đường trung bình ΔABC
⇒ OK//BC
⇒ OK⊥AM vì AM⊥BC
⇒ OK là trung trực của AM
⇒ M, A đối xứng qua OK
⇒ = 90°
⇒ KM là tiếp tuyến của (O).
Câu 76:
Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây BC khác đường kính. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O, R) tại B và tại C cắt nhau tại A. Kẻ đường kính CD, kẻ BH vuông góc với CD tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh AO vuông góc với BC. Cho biết R = 15 cm, BC = 24cm. Tính AB, OA.
c) Chứng minh BC là tia phân giác của góc ABH
d) Gọi I là giao điểm của AD và BH, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh IH = IB.
a) Ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) ⇒ = 90°
⇒ = 90° + 90° = 180°
⇒ A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính (AO).
b) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)
⇒ AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
và có OB = OC nên AO là đường trung trực của BC
⇒AO ⊥ BC
Gọi AO ∩ BC = E
⇒ E là trung điểm BC
⇒ BE =
Do AB ⊥ OB, BE ⊥ AO
Áp dụng hệ thức lượng vào Δ vuông ABO đường cao BE có:
⇒ AB = 20
⇒ OA2 = AB2 + OB2 = 625⇒AO = 25
c) Ta có:
BH ⊥ OC ⇒ BH//AC ⇒
⇒ BC là phân giác
d) Gọi BD ∩ AC = F
Ta có: FB ⊥ BC, AB = AC
⇒ A là trung điểm CF
⇒ AF = AC
Mà BH ⊥ CD
⇒ BH // CF
⇒
⇒ IB = IH.
Câu 77:
Cách đổi cm3 sang m3.
1 cm3 = 10-3 dm3 = 10-6 m3 = 0,000001 m3
Như vậy để đổi cm3 sang m3 trên máy tính ta lấy đơn vị cm3 nhân với 10-6 hoặc chia cho 1000000.
Câu 78:
Cách làm tròn độ, phút, giây.
1 độ = 60 phút; 1 phút = 60 giây
Nên chỉ cần ≥ 30 phút thì cộng 1 độ
Nếu ≥ 30 giây thì cộng 1 phút
Ví dụ: 30°32'43''
Làm tròn đến độ: 31°
Làm tròn đến phút: 30°33'
Câu 79:
Có 9 quả bi sắt giống nhau trong đó có 1 quả nhẹ hơn 8 quả còn lại. Làm thế nào trong 2 lần cân ta phát hiện được quả bi nhẹ hơn ? Giải thích.
Chia 9 viên bi thành 3 nhóm, mỗi nhóm 3 quả.
Gọi tên 3 nhóm là N1, N2, N3
- Lần cân 1, đặt N1 và N2 lên 2 đĩa cân.
Có 2 khả năng xảy ra:
Khả năng 1: Cân thăng bằng ⇒ Quả nhẹ hơn sẽ ở N3
Khă năng 2: Cân không thăng bằng ⇒ Đĩa cân trong 1 trong 2 nhóm N1 và N2 đĩa nào bổng hơn thì viên bi ở đó
- Lần cân 2:
Khả năng 1: Ta đặt 2 trong 3 viên bi trong N3 lên ⇒ Có 2 trường hợp:
TH1: Cân thăng bằng ⇒ Viên bi nhẹ hơn sẽ là viên còn lại
TH2:Cân không thăng bằng ⇒Viên bi nhẹ hơn sẽ bổng lên
Khả năng 2: Giả sử đĩa bổng hơn thuộc N1
Ta đặt 2 trong 3 viên bi thuộc N1 lên 2 đĩa cân ⇒ Có 2 trường hợp:
TH1: Cân thăng bằng ⇒ Viên bi nhẹ hơn sẽ là viên còn lại
TH2:Cân không thăng bằng ⇒ Viên bi nhẹ hơn sẽ bổng lên
Vậy sau ít nhất 2 lần cân, ta tìm ra được viên bi nhẹ hơn.
Câu 80:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà 2 số đều chẵn?
Ta gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm:
Tập hợp chữ số tự nhiên chẵn: A = {0; 2; 4; 6; 8} có 5 phần tử.
Chữ số a có 4 cách chọn. (a ≠ 0; a ∈ A)
Chữ số b có 5 cách chọn. (b ∈ A)
Vậy số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn có: 4 . 5 = 20 số.
Câu 81:
Giả sử một người có ngân sách tiêu dùng là 1200$ cho hai loại hàng hóa X và Y với giá tương ứng PX = 100$ và PY =300$.
Cho biết hàm tổng lợi ích:
TUX = + 10X
TUy = + 20Y
a) Viết phương trình đường ngân sách.
b) Tính lợi ích cận biên của mỗi loại hàng hoá.
c) Tìm kết hợp trong tiêu dùng của người này về hai hàng hóa X và Y sao cho tối đa hóa tổng lợi ích.
a) Phương trình đường ngân sách:
X.PX + Y.PY = I
Ta được:
100X + 300Y = 1200
b) Lợi ích cận biên mỗi loại hàng hóa
MUX = (TUX)' =
MUY = (TUY)' = -Y + 10
c) Phối hợp tối ưu:
Ta được:
⇔
Vậy người này nên mua 6 hàng hóa X và 2 hàng hóa Y để đạt lợi ích tối đa.
Câu 83:
+ Gọi x (x ≥ 0) là số kg loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0) là số kg loại II cần sản xuất.
Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x + 4y, thời gian là 30x + 15y có mức lời là 40 000x + 30 000y
Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc suy ra
2x + 4y ≤ 200 hay x + 2y – 100 ≤ 0 ; 30x + 15y ≤ 1200 hay 2x+ y – 80 ≤ 0
+ Tìm x; y thoả mãn hệ (*)
sao cho L(x; y) = 40 000x + 30 000y đạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng (d): x + 2y – 100= 0 và (d’) : 2x + y – 80 = 0
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất của L( x; y) đạt tại một trong các điểm (0; 0) ; (40; 0) ; (0; 50) ; (20; 40)
+ Ta có L(0; 0) = 0; L( 40; 0) = 1 600 000;
L(0; 50) = 1 500 000; L(20; 40) = 2 000 000
Suy ra giá trị lớn nhất của L(x; y) là 2 000 000 khi (x; y) = (20; 40).
Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.
Câu 84:
Một đội xe chuyên chở vật liệu xây dựng.Nếu mỗi chuyến xe chở 2,8 tấn thì phải đi 20 chuyến. Nếu mỗi chuyến chở 4 tấn thì phải đi bao nhiêu chuyến?
Tổng số tấn đội xe chở vật liệu là:
2,8 . 20 = 56 (tấn).
Số chuyến nếu mỗi chuyến xe chở 4 tấn là:
56 : 4 = 14 (chuyến).
Câu 85:
So sánh 20213 và 2020.2021.2022.
Xét A = 20213 = 2021.2021.2021
Suy ra:
Xét B = 2020.2021.2022
Suy ra:
Hay
Vậy A > B hay 20213 > 2020.2021.2022
Câu 86:
Cho tam giác ABC có = 60°; = 45°; BC = a .Tính độ dài cạnh AB và AC?
= 180° – 60° – 45° = 75°
Theo định lí sin ta có:
Suy ra: AC =
AB = .
Câu 87:
Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho A là trung điểm BD, ta có:
.
Câu 88:
Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố “lớp có 6 bóng đèn sáng”, “lớp có 5 bóng đèn sáng” , “lớp có 4 bóng đèn sáng”
Mỗi bóng có xác suất sáng là:
Gọi X là biến cố “lớp học đủ ánh sáng”.
Xác suất để lớp học đủ ánh sáng là: P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305.
Câu 89:
Tìm GTLN của biểu thức M = .
M =
với mọi x
Suy ra: M ≤
Vậy GTLN của M là khi x + 5 = 0 hay x = – 5.
Câu 90:
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng Sn = n2 + 4n với n ∈ ℕ*. Tìm số hạng tổng quát Un của cấp số cộng đã cho.
Ta có: Sn = n2 + 4n
S1 = u1 = 1 + 4 . 1 = 5
S2 = u1 + u2 = 22 + 4 . 2 = 12
u2 = 12 – 5 = 7
Công sai d = u2 – u1 = 7 – 5 = 2
Vậy un = u1 + (n – 1).d = 5 +(n – 1).2 = 2n + 3.
Câu 91:
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số?
Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là một cách sắp xếp 6 chữ số hay một hoán vị của 6 phần tử:
Vậy có P6 = 6! = 720 (số).
Câu 92:
Chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
Gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB
* Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC thì
Ta có: (Vì D là trung điểm BC)
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD
Suy ra: ⇒
⇒
* Chứng minh thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có:
⇒
⇒
⇒
⇒ A, G, D thẳng hàng; G nằm giữa A và D; GA = 2GD
Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC
Suy ra: G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu 93:
Tìm x biết (– 27 + x)(14 – 2x) = 0.
(– 27 + x)(14 – 2x) = 0
⇔
⇔
Vậy x = 27 hoặc x = 7.
Câu 94:
Bác Đức dự định mua loại gỗ giá 200 đồng/ cm2 để làm một chiếc bàn. Mặt bàn là một hình thang cân có các đáy lần lượt là 180cm, 240cm và chiều cao 160cm. Hãy tính giúp bác Đức số tiền mua gỗ để đóng mặt bàn đó.
Diện tích mặt bàn là:
(180 + 240) . 160 : 2 = 33600 (cm2).
Số tiền mua gỗ để đóng mặt bàn đó:
33600. 200 = 6720000 (đồng).
Vậy bác Đức cần 6720000 đồng mua gỗ để đóng mặt bàn đó.Câu 95:
Cho số thực m < 0 và A = (- ∞;9m ), . Tìm điểu kiện m để A ∩ B ≠ ∅.
Điều kiện xác định: m ≠ 0
Để A ∩ B ≠ ∅ thì 9m > ⇔
⇔
⇔
⇔ .
Câu 96:
P = .
Ta thấy: (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ. Suy ra: (x – 1)2 + 4 ≥ 4 với mọi x ∈ ℝ
P ≥
Vậy GTNN của P là – 2 khi x = 1.
Câu 97:
Qua điểm M ở ngoài đường thẳng a, có có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng a ?
Qua điểm M ở ngoài đường thẳng a, có có thể vẽ được 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng a.
Câu 98:
Cho tam giác ABC có AB = 12 cm , AC = 15cm ; BC = 20cm. Trên AC lấy M sao cho AM = 5cm , kẻ MN // BC (N thuộc AB) , kẻ NQ // AC (Q thuộc BC). Tính NA, QB?
Vì MN // BC nên ⇔ ⇔
Vì NQ // AC nên ⇔
BQ = BC – QC = .
Câu 100:
Một thửa ruộng hình tam giác có cạnh đáy 55,8m và chiều cao bằng 70% độ dài cạnh đáy. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Chiều cao của thửa ruộng hình tam giác đó là:
55,8 . 70 : 100 = 39,06 (m)
Diện tích thửa ruộng hình tam giác đó là:
55,8 . 39,06 : 2 = 1089,774 (m2)
Đáp số : 1089,774 m2.
Câu 101:
Sân nhà bạn An là hình chữ nhật có chu vi là 30m và chiều rộng 5m.
a. Tính diện tích sân nhà bạn An.
b. Bố An muốn dùng những viên gạch hình vuông cạnh là 50cm để lát sân. Vậy bố An cần dùng bao nhiêu viên gạch để lát sân đó?
a) Nửa chu vi của sân nhà bạn An là :
30 : 2 = 15 (m)
Chiều dài của sân nhà bạn An là :
15 – 5 = 10 (m)
Diện tích của sân nhà bạn An là :
10 . 5 = 50 (m²)
b) Đổi 50m² = 500000cm²
Diện tích của viên gạch hình vuông là :
50 . 50 = 2500 (cm²)
Bố An cần dùng số viên gạch để lát sân đó là :
500000 : 2500 = 200 (viên gạch)
Đáp số : a) 50 m²
b) 200 viên gạch
Câu 103:
Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: AM/AB = AN/AC. Gọi I là trung điểm của BC, K là giao điểm của AI với MN. Chứng minh K là trung điểm của MN.
Ta có: MN // BC nên MK // BI, KN // CI
Suy ra:
⇒
Mà I là trung điểm của BC nên BI = CI
Từ đó suy ra: MK = KN hay K là trung điểm MN.
Câu 104:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = .
P + 1 =
Ta thấy: ≥ 0 với mọi x nên P + 1 ≥ 0 với mọi x
Hay P ≥ -1 với mọi x
Vậy GTNN của P là – 1 khi x – 2 = 0 hay x = 2
Lại có:
P – 9 =
≥ 0 với mọi x nên ≤ 0 với mọi x
Suy ra: P – 9 ≤ 0 với mọi x hay P ≤ 9, với mọi x
Vậy GTLN của P là 9 khi 2x + 1 = 0 hay x = .
Câu 105:
Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 2 - m với m là tham số, có đồ thị là đng thẳng d.
a) Vẽ đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ Oxy với m = 3.
b) Tìm m để hàm số trên đồng biến, nghịch biến.
a) Tại m = 3 (thỏa mãn) thay vào (d) ta có:
y = (3 − 2)x + 2 − 3
⇒ y = x − 1
+) Vẽ đồ thị hàm số y = x − 1
Cho x = 0 ⇒ y = 0 – 1 = −1
Cho y = 0 ⇒ 0 = x − 1⇒ x = 1
⇒ Đồ thị hàm số y = x – 1 là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (0;−1 và (1;0)
b) +) Hàm số y = (m − 2)x + 2 − m đồng biến trên ℝ khi: m – 2 > 0
⇔ m > 2
+) Hàm số y = (m − 2)x + 2 − m nghịch biến trên ℝ khi: m − 2 < 0
⇔ m < 2
Vậy hàm số đã cho đồng biến khi m > 2, nghịch biến khi m < 2.
Câu 106:
Cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).
Chọn một cạnh của đa giác (H) làm cạnh của tam giác nên có 20 cách
Chọn một đỉnh (để ghép với cạnh đã chọn ở bước trên tạo thành tam giác thỏa mãn bài toán) nên có 16 cách chọn (bỏ 2 đỉnh thuộc cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề hai bên cạnh đã chọn).
Vậy số tam giác cần tìm là 20 . 16 = 320.
Câu 107:
Tam giác đều ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác
⇒ G là trọng tâm của ABC
Gọi I là trung điểm của BC; AB = AC = BC = a
BI =
AI =
AG =
Do: R = AG = 2 nên 2 =
Suy ra: a = (cm).
Vậy tam giác đều có cạnh là (cm).
Câu 108:
Với A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác, chứng minh sin A + sin B + sin C = .
sin A + sin B + sin C
=
=
=
=
=
=
=
Câu 110:
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u2 – u3 + u5 = 10 và u1 + u6 = 17. Tìm u1 và công sai của cấp số cộng sao cho.
Ta có:
u2 – u3 + u5 = 10
⇔ u1 + d − (u1 + 2d) + u1 + 4d = 10
⇔ u1 + 3d = 10 (1)
Ta có:
u1 + u6 = 17
⇔ u1 + u1 + 5d = 17
⇔ 2u1 + 5d = 17 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
⇔
Câu 112:
Cho tam giác abc có AB = 2cm, AC = 3cm, . Tính độ dài phân giác góc A
Gọi AH là đường phân giác của
Áp dụng định lý hàm số côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos
Suy ra: BC =
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
Suy ra:
BH = AB : =
cos
Lại có: AH2 = AB2 + BH2 – 2.AB.BH.cos
Suy ra: AH =
Câu 113:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm , BC = 15cm.
a) Tính độ dài BD.
b) Vẽ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Tính AH.
a) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABD
BD2 = AD2 + AB2 = 82 + 152 = 289
BD = 17 (cm)
b) Ta có: AH.BD = AB.AD = 2SABD
Suy ra: AH = AB.AD : BD = 15 . 8 : 17 = cm.
Câu 114:
Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm I trên cạnh AB, điểm K trên cạnh CD sao cho AI = CK.
1. Chứng minh tứ giác AICK là hình bình hành.
2. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại P và cắt AH tại Q. Chứng tỏ C là trung điểm của đoạn PQ.
3. Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy.
1. Ta có AB // CD ⇒ AI // CK
Mà AI = KC
⇒ AICK là hình bình hành
2. Ta có ABCD là hình bình hành ⇒AD // BC, AB // CD
⇒ DP // CB, DC // BQ
Mà CP // BD, CQ // BD
⇒ CBDP, CDBQ là hình bình hành
⇒ CP = DB,CQ = BD
⇒ CP = CQ
⇒ C là trung điểm PQ
3. Ta có CBDP, CDBQ là hình bình hành
⇒ BQ = CD = AB, DP = BC = AD
⇒ B, D là trung điểm AQ, AP
Mà C là trung điểm PQ
⇒ AC, BP, QD đồng quy
Câu 115:
Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được đánh đúng bằng số mà kim giờ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đêm đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?
Trong một ngày đêm kim giờ quay hai vòng
Vậy trong một ngày đêm đồng hồ đó đánh
(1 + 2 + ... + 12) . 2 = 12 . (12 + 1) = 156 tiếng.
Câu 116:
Hình chiếu vuông góc là hình biểu diễn thu được từ phép chiếu nào?
Hình chiếu vuông góc là hình biểu diễn thu được từ phép chiếu song song.
Câu 117:
Hai góc cùng phụ một góc là như thế nào?
Hai góc cùng phụ một góc có nghĩa là hai góc đấy lần lượt cộng với một góc ra 90°.
Và hai góc cùng phụ một góc là hai góc bằng nhau, vì cùng cộng với một góc ra 90°.
Câu 118:
Cho (O; R) dây MN vuông góc với OA tại trung điểm H của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M và N cắt nhau ở B.
a) Chứng minh rằng 3 điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Tam giác BMN là tam giác gì? Vì sao?
c) Tính BM theo R.
a) ΔOMA có MH⊥OA (MH là đường cao)
H là trung điểm của OA ⇒ MH là đường trung tuyến
⇒ ΔOMA cân đỉnh M.
⇒ MO = MA mà OM = OA ⇒ OM = OA = AM
⇒ ΔOMA đều
Ta có: OM = ON = R
⇒ ΔAMN cân đỉnh O có MN⊥OA = H
⇒ OH ⊥ MN
⇒ OH là đường cao
⇒ OH cũng là phân giác của (1)
Xét ΔΔ vuông MOB và ΔΔ vuông NOB ta có:
OB chung
OM = ON = R
⇒ ΔMOB = ΔNOB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒
⇒ OB là phân giác (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OA, OB cùng là phân giác
⇒ O, A, B thẳng hàng.
b) OA ⊥ MN và OH ∩ MN = H là trung điểm MN
⇒ ΔBMN có BH ⊥ MN; BH là đường cao và BH là đường trung tuyến
⇒ ΔBMN cân đỉnh B.
⇒
Suy ra:
⇒ΔMBN là tam giác đều.
c) MB = MN = 2MH
Áp dụng định lý Pitago vào Δ vuông MOH ta có:
MH2 = AM2 – OH2 = R2 −
⇒ MH =
⇒ MB = MN = 2MH =
Câu 119:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh BC, F là trung điểm cạnh AE. Tìm độ dài đoạn thẳng DF.
Ta có E là trung điểm BC.
Suy ra CE =
Ta có AB = CD (do ABCD là hình vuông) và BE = CE (E là trung điểm BC).
Suy ra
Do đó: AE = DE
Tam giác CDE vuông tại C:
AE = DE =
Ta có: DF2 =
Vậy DF = .
Câu 120:
Tìm GTNN của A = x2 – 3x + 3.
A = x2 – 3x + 3 =
Vì với mọi x ∈ ℝ nên với mọi x ∈ ℝ
Vậy GTNN của A là khi hay x = .
Câu 121:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15, AC = 20.
a) Tính tỉ số lượng giác của B.
b) Vẽ đường cao AH. Tính độ dài các đoạn AH, HB, HC.
c) Gọi D và E lần lượt là trung điểm của BH và AH .Tia CE cắt AD tại M. Chứng minh CM =AM. cos.
a) Ta có ΔABC vuông tại A
⇒ BC2 = AB2 + AC2 = 625
⇒ BC = 25
⇒ sinB
b) Ta có AH ⊥ BC
⇒ AH.BC = AB.AC(= 2SABC)
⇒ AH =
⇒ HB = HC = BC – HB = 25 – 9 = 16
c) Ta có D, E là trung điểm HB, HA
⇒ DE là đường trung bình ΔHAB
⇒ DE // AB
⇒ DE ⊥ AC vì AB⊥AC
Mà AH ⊥ BC ⇒AH ⊥ CD, AH ∩ DE = E
⇒ E là trực tâm ΔADC ⇒ CE ⊥ AD
⇒ CM ⊥ AD
⇒
⇒ cos =
⇒ CM = AC.cos
Câu 122:
Cho hình 3, biết xx' // yy' ; Am là tia phân giác của góc , Bn là tia phân giác của góc . Chứng minh Am // Bn.
Ta có xx' // yy'
⇒ (so le trong )
Ta có:
Mà ⇒
Mà là hai góc đồng vị nên Am // Bn.
Câu 123:
Tìm ƯCLN (16; 40; 176).
Ta có:
16 = 24
40 = 23 . 5
176 = 24 . 11
ƯCLN (16; 40; 176) = 23 = 8.
Câu 124:
Cho tứ giác ABCD. Tìm vị trí của điểm M sao cho
⇔
⇔
⇔
Khi đó ta có: tức C là trung điểm BM.
Vậy M thuộc đường BC kéo dài sao cho BC = CM.
Câu 125:
Chứng minh nếu n2 là số chẵn thì n cũng là số chẵn.
Giả sử n2 là số chẵn nhưng n là số lẻ
⇒ n có dạng 2k + 1
⇒ n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 là số lẻ (mâu thuẫn đề bài)
⇒ Giả sử trên sai.
Vậy nếu n2 là số chẵn thì n cũng là số chẵn.
Câu 126:
Theo kế hoạch hai tổ được giao sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian đã định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch 18% và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong cùng thời gian quy định hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II được giao theo ké hoạch lần lượt là:
x, y (x, y ∈ ℕ*; x, y < 600)
Vì theo kế hoạch hai tổ được giao sản xuất 600 sản phẩm nên ta có:
x + y = 600 (1)
Vì tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch 18% nên số sản phẩm vượt mức của tổ I là: 0,18x
Vì tổ II đã sản xuất vượt mức kế hoạch 21% nên số sản phẩm vượt mức của tổ II là: 0,21y
Vì 2 tổ vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình:
0,18x + 0,21y = 120 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: ⇔
Vậy số sản phẩm được giao của tổ I, II theo kế hoạch lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.
Câu 127:
Tính giá trị biểu thức: 36.55 – 185.11 + 121.5.
36 . 55 – 185 . 11 + 121 . 5
= 1980 – 2035 + 605
= (– 55) + 605
= 550
Câu 128:
Tìm tập xác định của hàm số y = .
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
⇔
⇔
⇔ cosx ≠ 2k + 1 (k ∈ ℤ)
Mà – 1 ≤ cosx ≤ 1
⇔ – 1 ≤ 2k + 1 ≤ 1
⇔ – 2 ≤ 2k ≤ 0
⇔ – 1 ≤ k ≤ 0
k ∈ ℤ ⇒ k ∈ {-1; 0}
⇒ ⇔
⇔ x ≠ lπ (l ∈ ℤ)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = .
Câu 129:
Giải phương trình sau: sin4x + .
sin4x +
⇔ sin4x +
⇔ sin4x +
⇔ sin4x +
⇔ sin4x +
⇔ sin4x +
⇔ sin4x + sin2xcos2x – sinxcosx = 0
⇔ sinx (sin3x + sinxcos2x – cosx) = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ .
Câu 130:
Quãng đường giữa hai thành phố A và B là 120 km. Lúc 6 giờ sáng, một ô tô xuất phát từ A đi về B. Người ta thấy mối liên hệ giữa khoảng cách của ô tô so với A và thời điểm đi của ô tô là một hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị như hình sau:
a) Xác định a, b.
b) Lúc 8h sáng ô tô cách B bao nhiêu km?
a) Dựa vào đồ thị ta thấy x < 6 thì y = 0
y = ax + b đi qua 2 điểm (6; 0) và (9; 120) (x ≥ 6) từ đó ta có hệ phương trình:
⇒ ⇒
Vậy a = 30, b = −240, hàm số bậc nhất là y = 40x − 240
b) Quãng đường xe đi được lúc 8 giờ sáng là:
Thay x = 8 vào hàm số bậc nhất ta có:
y = 8.40 – 240 = 80
Vậy ô tô cách A là 80km, cách B là 120 – 80 = 40km.
Câu 131:
Tính giá trị của biểu thức A = x2 – 6xy + 9y2 – 15 tại x = 37, y = – 1.
A = x2 – 6xy + 9y2 – 15
A = 372 – 6.37.(-1) + 9.(-1)2 – 15
A = 1369 + 222 + 9 – 15
A = 1585
Vậy với x = 37, y = – 1 thì A = 1585.
Câu 132:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 – 4ab + 5b2 + 10a – 22b + 28.
A = a2 – 4ab + 5b2 + 10a – 22b + 28
A = (a2 – 4ab + 4b2) + b2 – 2b + 1 + 10a – 22b + 27
A = (a – 2b)2 + (b – 1)2 + 10(a – 2b) + 27
A = (a – 2b + 5)2 + (b – 1)2 + 2
Vì (a – 2b + 5)2 + (b – 1)2 ≥ 0 nên A ≥ 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi:
hay .
Câu 133:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đó bằng bao nhiêu?
Từ tam giác đều ABC cạnh a vẽ hình thoi BACD thì
nên
Câu 135:
Cách đổi từ vecto chỉ phương sang vecto pháp tuyến
Giả sử: Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
⇒ đường thẳng (d) có vectơ pháp tuyến hoặc
Câu 136:
Nhân ngày 20/10 cửa hàng bán túi sách và ví da giảm 30% cho tất cả sản phẩm ai có thẻ VIP giảm 10% trên giá đã giảm.
a) Mẹ bạn An có thẻ VIP thì khi mua 1 cái tui trị giá 500000 đồng phải trả bao nhiêu ?
b) Mẹ bạn An mua thêm 1 cái ví nên phải trả là 693000 đồng. Vậy giá bán đầu của cái bóp là bao nhiêu?
a) Số tiền phải trả khi giảm 30% cho túi xách là:
500000 – 500000.30% = 350000 (đồng)
Số tiền phải trả khi giảm tiếp 10% là:
350000 – 350000.10% = 315000 (đồng)
Vậy khi mua 1 túi xách giá 500000đ thì mẹ An phải trả 315000 đồng
b) Gọi x (đồng) là giá ban đầu của cái bóp (x > 0)
Số tiền phải trả cho cái bóp là:
693000 – 315000 = 378000 (đồng)
Số tiền phải trả cho cái bóp sau lần giảm 30% là:
x – 30%.x = 0,7x (đồng)
Số tiền phải trả cho cái bóp khi giảm tiếp 10% là:
0,7x – 10%.0,7x = 0.63x (đồng)
Theo đề bài ta có pt:
0,63x = 378000
⇔ x = 600000 (nhận)
Vậy giá ban đầu của cái bóp là 600000 đồng.
Câu 137:
Một công ty cần thuê xe để chở 120 người và 6,5 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 9 chiếc và loại xe B có 8 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi chiếc xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,5 tấn hàng; mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là thấp nhất?
Gọi số xe loại A cần thuê là: x (chiếc) (x ∈ ℕ);
Số xe loại B cần thuê là: y (chiếc) (y ∈ ℕ)
Xe loại A có 9 chiếc, xe loại B có 8 chiếc
⇒ 0 ≤ x ≤ 9; 0 ≤ y ≤ 8 (1)
Chi phí cần để thuê xe là: T = 4x + 3y (triệu đồng)
Xe loại A có thể chở tối đa 20 người, xe loại B có thể chở tối đa 10 người, mà số người công ty cần chở là 120 người
⇒ Tổng số người cả hai loại xe có thể chở tối thiểu là 120 người
⇒ 20x + 10y ≥ 120 ⇒ 2x + y ≥ 12 (2)
Xe loại A có thể chở tối đa 0,5 tấn hàng, xe loại B có thể chở tối đa 2 tấn hàng, mà số tấn hàng công ty cần chở là 6,5 tấn
⇒ Tổng số tấn hàng cả hai loại xe có thể chở tối thiểu là 6,5 tấn hàng
⇒ 0,5x + 2y ≥ 6,5 ⇒ x + 4y ≥ 13 (3)
Từ (1); (2)và (3) ta có hệ bất phương trình:
Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với:
A(5; 2) là giao của 2 đường thẳng 2x + y = 12 và x + 4y = 13
B(2; 8) là giao của 2 đường thẳng 2x + y = 12 và y = 8
C(9; 8) là giao của 2 đường thẳng x = 9 và y = 8
D(9; 1) là giao của 2 đường thẳng x = 9 và x + 4y = 13
Tại A(5; 2) thì T = 4.5 + 3.2 = 26 (triệu đồng)
Tại B(2; 8) thì T = 4.2 + 3.8 = 32 (triệu đồng)
Tại C(9; 8) thì T = 4.9 + 3.8 = 60 (triệu đồng)
Tại D(9; 1) thì T = 4.9 + 3.1 = 39 (triệu đồng)
⇒ Chi phí nhỏ nhất là Tmin = 26 (triệu đồng)
⇒ Phải thuê 5 chiếc xe loại A và 2 chiếc xe loại B để chi phí bỏ ra là thấp nhất.
Câu 138:
Cho tam giác abc nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O
Ta có: OA = OB = OC (đều là bán kính của (O))
BC là đường kính nên OB = BC
Mà OA = OB nên OA = BC
Xét tam giác ABC có OA là đường trung tuyến (O là trung điểm BC)
Và OA = BC (BC là cạnh huyền)
Suy ra: ∆ABC vuông tại A.
Câu 139:
Tính giá trị mỗi chữ số a,b,c biết rằng trong cùng một hàng thì giá trị của chữ số a lớn hơn giá trị của chữ số b là 2 đơn vị của hàng đó và : = 8,94.
a lớn hơn b là 2 đơn vị nên a = b + 2
Theo bài ra:
= 8,94
⇔ 100 ( ) = 8,94 . 100
⇔ = 894
⇔ 100a + 10b + c + 100b + 10a + c = 894
⇔ 110a + 110b + 2c = 894
⇔ 110(b + 2) + 110b = 894 – 2c
⇔ 220b = 674 – 2c
⇔ b = (674 – 2c) : 220
Vì = 8,94 nên ở hàng phần trăm ta thấy có hai trường hợp có thể xảy ra là c = 2 hoặc c = 7
Nếu c = 2 ta có: b = (674 – 2c) : 220 không là số tự nhiên nên không thỏa mãn
Nếu c = 7 ta có: b = (674 – 2c) : 220 = 3 (thỏa mãn)
Suy ra: a = b + 2 = 3 + 2 = 5
Vậy a = 5; b = 3; c = 7.
Câu 140:
Tìm tập xác định của y = .
Điều kiện xác định: x2 – 3x + 2 ≥ 0
⇔ x2 – 2x – x + 2 ≥ 0
⇔ x(x – 2) – (x – 2) ≥ 0
⇔ (x – 2)(x – 1) ≥ 0
⇔
⇔
Vậy tập xác định của hàm số là D = (– ∞; 1] ∪ [2; +∞).
Câu 141:
Tìm tập xác định của hàm số y = .
Điều kiện xác định: ≠ 0
⇔ ≠ 0
⇔ ≠ 0
⇔
⇔
Vậy tập xác định của hàm số là D = .
Câu 142:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số:
y = xác định trên ℝ?
Hàm số xác định trên ℝ
⇔ 5 – msinx – (m + 1)cos x ≥ 0 ∀x ∈ ℝ
⇔ msinx + (m + 1)cos x ≤ 5 ∀x ∈ ℝ
⇔ ∀x ∈ ℝ
Đặt
Ta có: sinxcosα + sin cos x ∀x ∈ ℝ
⇔ sin(x + α ) ∀x ∈ ℝ
⇔
⇔
⇔ 2m2 + 2m + 1 ≤ 25
⇔ m2 + m – 12 ≤ 0
⇔ -4 ≤ m ≤ 3
Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 143:
Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần?
Chọn 9 số từ 10 chữ số {0;1;2;3;...9} có cách
Sắp xếp 9 chữ số đó theo thứ tự giảm dần có 1 cách
Vậy số số tự nhiên có 9 chữ số mà các chữ số của nó được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: .1 = 10 số.
Câu 144:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – 5y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng sao cho d là ảnh của đường thẳng ∆ qua phép quay tâm I(– 1; 2), góc quay – 180°.
Q(I;−180º): Δ ⇒ d
Phép quay −180° là phép đối xứng tâm nên Δ và d song song hoặc trùng với nhau
Đặt Δ: 2x − 5y + c = 0
Chọn điểm N(1;1) ∈ d, tạo ảnh của N là điểm M ∈ Δ
I là trung điểm MN nên:
M(2.(−1)−1;2.2−1) = (−3; 3)
M ∈ Δ nên ta có:
−2.3 − 5.3 + c = 0
⇒ c = 21
Vậy Δ: 2x − 5y + 21 = 0.
Câu 145:
Giải phương trình: 2x2 – 8x – = 12.
Điều kiện xác định: x2 – 4x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5 hoặc x ≤ – 1
Ta có:
2x2 – 8x – = 12
⇔ 2(x2 – 4x – 5) – = 2
Đặt
⇒ t2 = x2 – 4x – 5 (t ≥ 0)
Phương trình trở thành: 2t2 – 3t = 2
⇔ 2t2 – 3t – 2 = 0
⇔ (t – 2)(2t + 1) = 0
⇔
Với t = 2 ta có:
⇒ x2 – 4x – 5 = 4
⇔ x2 – 4x – 9 = 0
⇔
Với t = ta có: (loại)
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = .
Câu 146:
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( O; R ) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn O (A, B là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của AB và OM.
a) Chứng minh 4 điểm : O, A, B, M cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Tính tỉ số .
c) Gọi E là giao điểm của CM và đường tròn (O). Chứng minh HE vuông góc với BE.
a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)
⇒ MA ⊥ OA ⇒ = 90°
⇒ MB ⊥ OB ⇒ = 90°
= 90° + 90° = 180°
⇒ OAMB là tứ giác nội tiếp
⇒ O, A, B, M cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
b) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) kẻ từ M
⇒ M cách đều A, B mà O cách đều A, B
⇒ MO là trung trực của AB
⇒ MO ⊥ AB tại H , H là trung điểm AB
Tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH
Suy ra: OA2 = OH.OM
⇒ OH =
⇒
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MAO vuông có: MA2 = MH.MO (1)
MA là tiếp tuyến nên: (cùng chắn cung AE)
Xét ∆MAE và ∆MCA có:
chung
Suy ra: ∆MAE ~ ∆MCA (g.g)
⇒ hay MA2 = MC.ME (2)
Từ (1) và (2): MC.ME = MH.MO
⇒
Xét ∆MHE và ∆MCO có:
chung
⇒ ∆MHE ~ ∆MCO (c.g.c)
⇒
⇒ 180° – = 180° – hay
Lại có: BEAC là tứ giác nội tiếp (O) do 4 điểm đều nằm trên đường tròn nên (cùng nhìn cạnh BC)
Lại có theo phần a: OBMA là tứ giác nội tiếp nên ;
Suy ra:
Lại có: (Cùng phụ với )
Mà
Suy ra:
= 90°
Vậy HE vuông góc với BE.
Câu 147:
Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho = α
Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:
cosα = , sinα =
Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:
OH2 + OK2 = HK2 (Py – ta – go)
Mà HK = OM
⇒ OH2 + OK2 = OM2
Vậy sin2x + cos2x = 1
Câu 148:
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A sau đó 5h20p một chiếc canô từ A đuổi theo và gặp chiếc thuyền cách bến A 20km/h. Hỏi vận tốc chiếc thuyền khi biết ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.
Gọi x (km/h) là vận tốc của thuyền (x > 0)
Vận tốc của ca nô là: x + 12 (km/h)
Đi hết quãng đường 20km thì thuyền cần số thời gian là:
Thời gian ca nô đi hết quãng đường:
Theo đề bài ca nô xuất phát sau thuyền là 5h20' = nên ta có:
⇔ x2 + 12x − 45=0
⇔ (x − 3)(x + 15) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = −15 (loại)
Vậy vận tốc của thuyền là 3(km/h).
Câu 149:
Cô chia kẹo, bánh cho các cháu. Số lượng bánh bằng số lượng kẹo. Nếu chia mỗi cháu 3 bánh thì thừa 2 bánh. Nếu chia mỗi cháu 5 kẹo thì thiếu 28 cái. Tính số kẹo, số bánh và số cháu được chia?
Vì số lượng kẹo bằng số lượng bánh nên chia kẹo cũng như chia bánh.
1 cháu 3 bánh thì thừa 2 bánh
1 cháu 5 bánh thì thiếu 28 bánh
Ta có sơ đồ:
Số bánh dủ chia cho 1 cháu 5 cái nhiều hơn số bánh dủ chia cho 1 cháu 3 cái là:
2 + 28 = 30 (cái)
1 cháu dược chia 5 cái nhiều hơn 1 cháu dược chia 3 cái là ;
5 – 3 = 2(cái )
Số cháu được chia bánh là:
30 : 2 = 15 (cháu)
Số bánh (hay số kẹo) là;
3 . 15 + 2 = 47 (cái).
Câu 150:
Tìm tập giá trị của hàm số y = tanx?
Hàm số y = tanx xác định khi cosx ≠ 0
⇔ x ≠
Tập giá trị của y = tan x là ℝ.
Câu 151:
Tìm x biết x + 17 chia hết cho x + 11.
Ta có: x + 17 = x + 11 + 6
Vì (x + 11) chia hết cho x + 11 nên để x + 17 chia hết cho x + 11 thì 6 chia hết cho (x + 11)
Hay x + 11 ∈ Ư(6)
Suy ra: x + 11 ∈ {– 6; 6; – 2; 2; 3; – 3; 1; – 1}
Hay x ∈ {– 17; – 5; – 13; – 9; – 8; – 14; – 10; – 12}.
Câu 152:
Cách bấm dấu >, <, lớn hơn hoặc bằng bé hơn hoặc bằng trên máy tính casio 580VNX.
Bấm MODE, sau đó chọn phần kiểm tra đúng/ sai sau đó ấn nút OPTN.
Câu 153:
Cách bấm dấu >, <, lớn hơn hoặc bằng bé hơn hoặc bằng trên máy tính casio 580VNX
Tùy thuộc vào giá trị lượng giác cụ thể là sin hoặc cos hoặc tan hoặc cot mà chúng ta sẽ thực hiện cho phù hợp
Ví dụ cần tìm một góc α thỏa mãn sinα = thì thực hiện tuần tự theo các bước sau:
Bước 1: nhấn phím SHIFT ⇒ nhấn phím sin để nhập hàm arcsin
Bước 2: nhập ⇒ nhấn phím =
Tương tự cho giá trị lượng giác còn lại.
Câu 154:
Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn . Vẽ hình mô tả đúng giả thiết này?
Ta có: ⇔ tức IB =
cùng hướng
Ta có hình vẽ:
Câu 155:
Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB.
Vì sđ nhỏ = sđ lớn nên sđ nhỏ = 360 : 3 = 120°
Do sđ nhỏ = = 120°
Xét ∆AOB có OA = OB = R
Suy ra: ∆AOB cân tại O
⇒
Kẻ OH vuông góc AB
OH = OA. sin = OA. sin30° = R
Diện tích tam giác AOB là: SOAB = .AB.OH = .R. . . R = .
Câu 156:
Cho ba điểm A(– 1; 1), B(1; 3), C(– 2; 0).
a) Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà A chia đoạn BC, B chia đoạn AC và C chia đoạn AB.
a) ⇒
Vậy 2 vectơ cùng phương, do đó A, B, C thẳng hàng.
b) Vì nên A chia đoạn BC theo tỉ số – 2.
⇒
Vậy B chia đoạn AC theo tỉ số .
⇒
Vậy C chia đoạn AB theo tỉ số .
Câu 157:
Một người mua 72,8 kg gạo nếp và gạo tẻ.Biết rằng số gạo nếp bằng số gạo tẻ. Hỏi người đó mua bao nhiêu ki - lô - gam gạo mỗi loại?
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 5 = 8 (phần)
Người đó mua số kg gạo nếp là:
72,8 : 8 . 3 = 27,3(kg)
Người đó mua số kg gạo tẻ là:
72,8 − 27,3 = 45,5(kg).
Câu 158:
Hai xạ thủ Thế và Vinh cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của xạ thủ Thế là 0,7. Biết rằng xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94. Xác suất bắn trung của xạ thủ Vinh là:
Suy ra
Biến có có ít nhất một người bắn trúng là ∪ ∪ A.B
Ta có: P( ∪ ∪ A.B) = P( ) + P( ) + P(A.B)
= P(A) . + . P(B) + P(A).P(B)
= P(A).(1 − P(B)) + (1 − P(A)). P(B) + P(A) . P(B)
⇒ 0,94 = 0,7.(1 − P(B)) + (1 − 0,7) P(B) + 0,7. P(B)
⇔ P(B) = 0,8
Vậy xác suất bắn trung của xạ thủ Vinh là: 0,8.
Câu 159:
Cho biểu thức A = với x ≥ 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn A.
b) Tìm GTNN của A.
A =
A =
A =
A =
A =
A =
b) A =
Do: với mọi x; x ≠ 1
Suy ra:
⇒
⇒
⇒
Vậy A ≥ – 1
Giá trị nhỏ nhất của A là – 1 khi x = 0.
Câu 160:
Hai tấm vải dài 124m. Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét? Biết rằng tấm vải thứ nhất dài hơn tấm vải thứ hai 18m.
Tấm vải thứ nhất dài số mét là :
(124 + 18) : 2 = 71 (m)
Tấm vải thứ hai dài số mét là :
124 – 71 = 53 (m)
Đáp số: Tấm vải thứ nhất: 71m
Tấm vải thứ hai: 53m.
Câu 161:
Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm A sao cho OA = . Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn 1 góc = 45° cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.
Chứng minh:
a) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) .
Vì OA = = OB = OC nên tứ giác ABOC là hình vuông
Suy ra = 45°, suy ra tứ giác DBOK nội tiếp
Do đó = 180° – = 90° hay DK ⊥ OE
Tương tự EH ⊥ OD.
Suy ra do DHKE nội tiếp
Suy ra DO là phân giác . Mà AO là phân giác nên O là tâm bàng tiếp góc A của ΔADE
Do vậy DE + AD + AE = 2AB = 2R
Ta có 2R = DE + AD + AE > DE + DE = 2DE ⇒ DE < R
Lại có
Vậy
Câu 163:
Trong 1 cái lọ chứa n cái kẹo (n ∈ ℕ*). 2 bạn Lan và Khoa chơi một trò chơi như sau: 2 người luân phiên lấy kẹo từ trong lọ ra, mỗi lần đc lấy 1, 2, 3, 4, 5 cái. Người lấy được cái kẹo cuối cùng trong lọ là người chiến thắng. Nếu Lan đi trước:
a) Với n = 10, hãy chỉ ra cách chơi của Lan để Lan là người thắng.
b) Với n = 74, hãy chỉ ra cách chơi của Lan để Lan là người thắng.
a) Để Lan bốc được cái kẹo cuối cùng thì số kẹo còn lại trong lượt cuối Nam bốc phải bằng 6 để số kẹo còn lại sau khi Nam bốc luôn nằm trong khả năng bốc của Lan.
Nam lấy 1 - Lan lấy 5
Nam lấy 2 - Lan lấy 4
Nam lấy 3 - Lan lấy 3
Nam lấy 4 - Lan lấy 2
Nam lấy 5 - Lan lấy 1
Số kẹo Lan bốc trong lượt đầu là: 10 – 6 = 4 (cái)
Vậy Lan phải bốc 4 cái kẹo lượt đầu.
b) Để Lan thắng thì số kẹo còn lại trước lượt Nam bốc luôn phải là bội của 6 để số kẹo còn lại trong lượt cuối Nam bốc có thể chắc chắn bằng 6
Bội của 6 gần 74 là 72
Vậy Lan cần bốc 74 – 72 = 2 viên trong lượt đầu và các lần bốc tiếp theo số kẹo bốc sao cho số kẹo còn lại trước lượt Nam bốc luôn phải là bội của 6.
Câu 164:
Nêu cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:
⇒ R =
Cách 2: Sử dụng diện tích tam giác
SABC = ⇒ R =
Cách 3: Sử dụng trong hệ tọa độ
- Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- Tìm tọa độ
- Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC.một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)
Cách 4: Sử dụng trong tam giác vuông (kiến thức lớp 9)
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.
Câu 165:
Cho điểm M bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của (O) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt MD tại C và cắt BD tại N.
a) Chứng minh DC = DN.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
⇒ MD = DB (tính chất tiếp tuyến)
Xét tam giác MOD và tam giác BOD có:
MD = BD (cmt)
MO = OB (cùng là bán kính đường tròn)
OD chung
⇒ ΔMOD = ΔBOD
⇒ OD là phân giác
Xét tam giác CDN có:
OD là đường cao (do OD ⊥ CN)
OD là phân giác
Suy ra tam giác CDN cân tại D, suy ra CD = ND (đpcm)
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
Xét tam giác CND cân tại D có OD là đường cao ứng với đỉnh D, suy ra OD đồng thời là trung trực ứng với cạnh CN, suy ra CO = ON
Xét tam giác COA và tam giác BON có:
CO = ON (cmt)
OA = OB (do cùng là bán kính)
(hai góc đối đỉnh)
⇒ΔCOA = ΔBON ⇒ = 90°
Xét đường tròn tâm O có AC vuông góc với AO, AO là bán kính đường tròn, suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn (đpcm)
Câu 166:
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài vectơ .
Sử dụng quy tắc trừ hai vec tơ và quy tắc hình bình hành ta có:
Suy ra:
(ABA'C là hình bình hành, M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của AA')
AM =
Câu 168:
Một quả bóng cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là parabol. Biết rằng ban đầu quả bóng được sút lên từ độ cao so với mặt đất sau đó giây nó đạt độ cao và sau giây nó ở độ cao. Hỏi độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?
Thay toạ độ các điểm phương trình và tìm phương tình của parabol.
Xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Theo giả thiết quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol nên có phương trình dạng Theo bài ra gắn vào hệ tọa độ ta có các điểm tương ứng là vị trí quả bóng tại thời gian 0 giây, 1 giây, 3,5 giây.
Vì Parabol đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình:
⇔
Suy ra phương trình parabol là
y= -3x2 + 12x +1
Parabol có đỉnh I(2;13). Khi đó quả bóng đạt vị tri cao nhất tại đỉnh h = 13m.
Câu 169:
Có ba chiếc hộp mỗi hộp đựng 2 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy được có ít nhất 1 viên bi xanh?
Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử.
Số cách lấy mỗi hộp một viên bi: 10.10.10 = 1000(cách).
Suy ra, số phần tử của Ω là: n(Ω) = 1000 (cách)
Gọi A là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy được có ít nhất 1 viên bi xanh”
Suy ra là biến cố: “Trong 3 viên bi lấy được không có viên bi xanh”
Số cách lấy mỗi hộp một viên bi sao cho không có bi xanh: 8.8.8 = 512 (cách).
Suy ra: = 512 (cách)
Xác suất cần tìm là: P(A) = 1 –
Câu 170:
Bác Tư du định mua một bồn nước inox hình trụ có dung tích V = 2500 lít và chiều cao h = 1,8m để đựng nước. Để đưa bồn đó lên vị trí cần đặt phải qua một cửa hình chữ nhật có kích thước 1,4m × 2m. Em tính xem có thể đưa bồn đó qua cửa hình chữ nhật đó được không? Biết bán kính R của 1,8m hình tròn đáy của hình trụ được tính theo công thức R = (xem hình vē).
V = 2500 lít = 2,5 m3
Ta có: V = Sđáy . h = πR2h
⇒ R = (m)
Đường kính d của hình tròn đáy là: d = 2R ≈ 1,33 (m)
Vì 1,33m < 1,4m và 1,8m < 2m
Nên có thể đưa bồn inox đó qua cửa hình chữ nhật.
Câu 171:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D tại AB, AC.
a) Chứng minh rằng: AD = MN; = 90°.
b) Gọi AH vuông góc BC tại H. Chứng minh rằng: = 90°.
c) Khi D chuyển động trên BC thì trung điểm I của MN chuyển động trên đường nào?
a) Ta có: = 90°
Nên AMDN là hình chữ nhật
Suy ra: AD = MN; = 90°
b) Gọi I là trung điểm của MN và AD
HI là đường trung tuyến của ∆HAD vuông tại H suy ra: HI =
Mà AD = MN nên HI =
Mà HI là đường trung tuyến của ∆HMN (I là trung điểm MN)
Nên ∆HMN vuông tại H
Suy ra: = 90°
c) Kẻ IK vuông góc HD
Ta có: AH ⊥ HD nên IK // AH
Mà I là trung điểm AD nên IK là đường trung bình của tam giác DAH
Suy ra: IK =
Điểm I cách đoạn thẳng BC 1 khoảng cố định bằng một nửa AH không đổi.
Vậy I di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC 1 khoảng bằng nửa AH.
Câu 172:
Lãi suất tiết kiệm 1 tháng là 0,65%. Để sau 1 tháng nhận được tiền lãi là 780000 đồng thì khách hàng phải gửi bao nhiêu tiền?
Khách hàng phải gửi số tiền là:
780000 : 0,65 . 100 = 12000000 (đồng)
Đáp số: 12000000 (đồng).
Câu 173:
Giải hệ phương trình: .
Ta có: (x – 1)(y – 1) = 18
⇔ xy – (x + y) + 1 = 18
⇔ xy – (x + y) = 17
⇔ xy = x + y + 17
Lại có: x2 + y2 = 65
⇔ (x + y)2 – 2xy = 65
⇔ (x + y)2 – 2(x + y + 17) – 65 = 0
⇔ (x + y)2 – 2(x + y) – 99 = 0
⇔
Nếu x + y = 11 thì xy = 28. Suy ra:
x(11 – x) – 28 = 0
⇔ – x2 + 11x – 28 = 0
⇔ ⇒
Nếu x + y = -9 thì xy = 8. Suy ra:
x(-9 – x) = 8
⇔ x2 + 9x + 8 = 0
⇔ ⇒ .
Câu 174:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng với mọi điểm I ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC nên
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Câu 175:
Gọi x là số tấn nguyên liệu loại I, y là số tấn nguyên liệu loại II cần dùng.
Số tiền để mua nguyên liệu là 4x + 3y (triệu đồng)
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình: (1)
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm (x; y) thỏa mãn (1) để F(x; y) = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất
Vẽ và xác định miền nghiệm của (1)
Miền nghiệm của (1) là tứ giác ABCD (kể cả biên)
F(x; y) = 4x + 3y
F(A) = 37; F(B) = 67; F(C) = 32; F(D) = 32
Suy ra: min F(x; y) = F(D) = 32 khi x = 5; y = 4
Vậy để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất thì cần mua 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II.