Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: 1 – x > 0 ⇔ x < 1

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (−∞; 1).

Đáp án đúng là: A.

Điều kiện xác định: x – 3 > 0 ⇔ x > 3

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (3; +∞).

Ta có: cos2x + 2(m + 1)sinx – 2m – 1 = 0

⇔ sin² x – (m + 1) sinx + m = 0   (1)

Đặt t = sinx, ta có phương trình:

t² – (m + 1)t + m = 0 (*)

Để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm x ∈ (0; π) khi phương trình (*) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 1 và 1 nghiệm t ∈ (0; 1)

t₁ = 1 ⇒ sinx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) ⇒ m ∈ ℝ

t ∈ (0; 1). Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

t₁ + t₂ = m + 1 với t₁ = 1 nên t₂ = m.

Vậy 0 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Ta có: (m² + 2)cos²x – 2msin2x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right).\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2m\sin 2x + 1 = 0\)

⇔ (m² + 2)cos2x – 4msin2x = −(m² + 2) – 2

⇔ (m² + 2)cos2x – 4msin2x = −m² – 4

Để phương trình có nghiệm thì:

(m² + 2)² + 16m² ≥ (m² + 4)²

⇔ m⁴ + 4m² + 4 + 16m² ≥ m⁴ + 8m² + 16

⇔ 12m² ≥ 12

⇔ |m| ≥ 1

Vậy |m| ≥ 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình 2f(x) + 3 = 0 \( \Leftrightarrow f(x) = - \frac{3}{2}\) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

• EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên ta suy ra được EF // AC (1)

• HG là đường trung bình của tam giác ADC, nên ta suy ra được HG // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF // HC

Tương tự ta có:

• FG là đường trung bình của tam giác BDC, nên FG // BD (3)

• EH là đường trung bình của tam giác BDA, nên EH // BD (4)

Từ (3) và (4) ta có FG // EH

Xét tứ giác EFGH ta có: EF // HG và FG // EH.

Do đó suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Đáp án đúng là: B

Ta có: y’ = 3x² – 6(m + 2)x + 3(m² + 4m)

Khi đó y’ = 0 ⇔ 3x² – 6(m + 2)x + 3(m² + 4m) = 0

⇔ x² – 2(m + 2)x + m² + 4m = 0 (1)

Ta có: ∆’ = (m + 2)² – (m² + 4m) = 4 > 0

Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 4\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1)

⇔ (0; 1) ⸦ (m; m + 4) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m + 4 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge - 3\end{array} \right.\)⇔ −3 ≤ m ≤ 0

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {−3; −2; −1; 0}.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số \(g(x) = \frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30\) có TXĐ: D = ℝ

Ta có: g’(x) = x³ – 28x + 48 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6 \notin \left[ {0;2} \right]\\x = 4 \notin \left[ {0;2} \right]\\x = 2 \in \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\)

TH1: max y = y(0) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y(0) \le 30\\y(0) \ge y(2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 30} \right| \le 30\\\left| {m - 30} \right| \le \left| {m + 14} \right|\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 30} \right| \le 30\\{(m - 30)^2} - {\left( {m + 14} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 30 \le m - 30 \le 30\\ - 44(2m - 16) \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 60\\m \le 8\end{array} \right.\)

⇔ 0 ≤ m ≤ 8

TH2: max y = y(2) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y(2) \le 30\\y(2) \ge y(0)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 14} \right| \le 30\\\left| {m + 14} \right| \ge \left| {m - 30} \right|\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m + 14} \right| \le 30\\{\left( {m + 14} \right)^2} - {\left( {m - 30} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 30 \le m + 14 \le 30\\44(2m - 16) \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 34 \le m \le 16\\m \ge 8\end{array} \right.\)

⇔ 8 ≤ m ≤ 16

⇒ S = {0; 1; 2; …; 16}.

Vậy tổng giá trị các phần tử của tập hợp S: \(\frac{{16.17}}{2} = 136\).

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\)

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.\)

Mặt khác \(f(1) = \frac{{2m + 1}}{2}\); \(f(2) = \frac{{3m + 4}}{3}\)

Do đó \(\max y = \max \left\{ {\left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right|;\,\,\left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right|} \right\}\)

TH1: \(\max y = \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

• Với \(m = \frac{3}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2\) (loại)

• Với \(m = - \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{7}{6} < 2\) (thỏa mãn)

TH2: \(\max y = \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = - \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)

• Với \(m = \frac{2}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{7}{6} < 2\) (thỏa mãn)

• Với \(m = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2\) (loại)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D.

Đồ thị hàm số y = c^x có dạng đi xuống nên 0 < c < 1.

Đồ thị hàm số y = b^x; y = a^x có dạng đi lên và đồ thị y = b^x nằm phía trên đồ thị hàm số y = a^x nên b > a > 1.

Do đó ta có b > a > c.

Đáp án đúng là: C.

Gọi \(A = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \) với 9 ≥ a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ a₄ ≥ 0 là số cần lập.

X = {0; 1; 2;…; 8; 9}

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không có hoán vị hay là một tổ hợp chập 4 của 10

Vậy có tất cả \(C_{10}^4 = 210\)số.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(mx + 1 = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\f(x) = m{x^2} - mx - 2 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Theo hệ thức Vi-ét có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2}}{m}\end{array} \right.\)

Đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x­₂ khác 1 thỏa mãn (x₁ – 1)(x₂ – 1) < 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta = {m^2} + 8m > 0\\f(1) \ne 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\m{.1^2} - m.1 - 2 \ne 0\\ - \frac{2}{m} - 1 + 1 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\\frac{2}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Với \(x \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};0} \right)\), ta có −1 < sinx < 0

Đặt t = sin x, phương trình đã cho trở thành:

2t² – (2m + 1)t + m = 0

∆ = (2m + 1)² – 4 . 2 . m = 4m² + 4m + 1 – 8m

= 4m² – 4m + 1 = (2m – 1)²

\( \Rightarrow {t_1} = \frac{1}{2}\); t₂ = m

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x = m\end{array} \right.\)

\(\sin x = \frac{1}{2}\) không có nghiệm x thỏa mãn đầu bài.

Để sin x = m có nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì −1 < m < 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x & (1)\)

⇔ \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = \frac{{{a^2}}}{2} + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2} - 1\)

\( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{{a^2}}}{2} - 1\)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

\( - 1 \le \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{{a^2}}}{2} \le 2\)

⇔ 0 ≤ a² ≤ 4

⇔ −2 ≤ a ≤ 2

Do a ∈ ℤ nên a = 0; a = ± 1; a = ± 2.

Vậy n = 5.

Đáp án đúng là: B.

Hàm số đã cho xác định khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^2} > 2\\\frac{1}{{3 - {x^2}}} > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\3 - {x^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ - \sqrt 3 < x < \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 3 \).

Do đó tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\).

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của hàm số:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 16 > 0\\{3^{x - 1}} - 9 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 4\end{array} \right.\\{3^{x - 1}} > {3^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 4\end{array} \right.\\x - 1 > 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 4\end{array} \right.\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 4\)

Do đó tập xác định của hàm số là: D = (4; +∞).

Đáp án đúng là: C

Do \[\left\{ \begin{array}{l}x,\,\,y,\,\,z \in \mathbb{Z}\\x,\,\,y,\,\,z \ge 0\\x + y + z = 10\end{array} \right. \Rightarrow x,\,\,y,\,\,z \le 10\].

Các cặp 3 số nguyên không âm có tổng bằng 10 là

(0; 0; 10); (0; 1; 9); (0; 2; 8); (0; 3; 7); (0; 4; 6); (0; 5; 5); (1; 1; 8); (1; 2; 7); (1; 3; 6); (1; 4; 5); (2; 2; 6); (2; 3; 5); (2; 4; 4); (3; 3; 4).

Với mỗi bộ 3 số khác nhau có 3! cách hoán vị, có 8 bộ số như vậy/

Với mỗi bộ có 2 số giống nhau có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách hoán vị, có 6 bộ số như vậy.

Vậy có tất cả 3!.8 + 3.6 = 66 (số).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định x ≠ 2

Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = x + m\) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta cần

2x + 1 = (x – 2)(x + m)

⇔ 2x + 1 = x² + mx – 2x – 2m

⇔ x² + (m – 4)x – (2m + 1) = 0          (1)

Có hai nghiệm phân biệt khác 2.

Do 2² + (m – 4).2 – (2m + 1) = −5 ≠ 0 nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì các nghiệm này sẽ khác 2.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

∆ = (m – 4)² + 4.(2m + 1) = m² + 20 > 0

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa ta tìm được hai nghiệm này là:

\({x_1} = \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}\); \({x_2} = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}\)

Ta lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_1} = 2 - \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\\{x_2} - 2 = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} - 2 = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\end{array} \right.\)

⇒ x₁ < 2 < x₂

Do đó x₁; x­₂ nằm về hai nhánh của đồ thị (C) với mọi m ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị (C) ta có:

f '(x – 2) + 2 < 2, với mọi x ∈ (1; 3)

⇔ f '(x – 2) < 0, với mọi x ∈ (1; 3).

Đặt t = x – 2 thì

f '(t) < 0, với mọi t ∈ (−1; 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của hàm số \[y = \sqrt {2x - 1} \] là 2x – 1 ≥ 0 \( \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\).

Ta có: 2x² + 1 > 0 \(\forall \)x ∈ ℝ nên hàm số y = \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) xác định với mọi giá trị thực của x.

Điều kiện xác định của hàm số y = (1 – 2x)^-3 là 1 – 2x ≠ 0 \( \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}\)

Điều kiện xác định của hàm số y = \({\left( {1 + 2\sqrt x } \right)^3}\) là x ≥ 0.

Do vạy chỉ có hàm số y = \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: S₁ = a²; \({S_2} = \frac{1}{2}{a^2};{S_3} = \frac{1}{4}{a^2}\); …

Do đó S₁; S₂; S₃; …; S₁₀₀ là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = S₁ = a² và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Suy ra S = S₁ + S₂ + S₃ + … + S₁₀₀ = \({S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 9.10² = 900.

Gọi biến cố A” Chọn được một số thỏa mãn a ≤ b ≤ c”.

Vì  mà  nên trong các chữ số sẽ không có số 0.

• TH1: Số được chọn có  chữ số giống nhau có 9 số.

• TH2: Số được chọn tạo bới hai chữ số khác nhau.

Số cách chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: \(C_9^2\).

Mỗi bộ 2 chữ số được chọn tạo ra 2 số thỏa mãn yêu cầu.

Do đó có \(2.C_9^2\) số thỏa mãn.

• TH3: Số được chọn tạo bởi ba chữ số khác nhau.

Số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: \(C_9^3\) .

Mỗi bộ 3 chữ số được chọn chỉ tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu.

Do đó có \(C_9^3\) số thỏa mãn.

Khi đó \(n(A) = 9 + 2.C_9^2 + C_9^3 = 165\).

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{165}}{{900}} = \frac{{11}}{{60}}\).

Đáp án đúng là: C

Từ 8 số đã cho có thể lập được: 7 . 8 . 8 = 448 số có 3 chữ số

Số cần chọn có dạng \(\overline {abc} \) trong đó a ≤ b ≤ c

• TH1: a < b < c

Chọn ra 3 số thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} ta được 1 số thỏa mãn

Do đó có  \(C_7^3 = 35\) (số)

• TH2: a = b < c có  \(C_7^2\) số thỏa mãn

• TH3: a < b = c có \(C_7^2\) số thỏa mãn

• TH4: a = b = c có  \(C_7^1\) số thỏa mãn

Do đó có  \(C_7^3 + C_7^2.2 + C_7^1\) = 84 số thỏa mãn chữ số đứng sau luôn lớn hơn bằng chữ số đứng trước.

Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{84}}{{448}} = \frac{3}{{16}}\).

Đáp án đúng là: A.

Ta có: \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (P).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:

(P): 1(x – 1) + 2(y – 2) + 3(z – 3) = 0

⇔ x + 2y + 3z – 14 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {OH} = \left( {4;5;6} \right)\) là VTPT của mặt phẳng (P).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:

(P): 4(x – 4) + 5(y – 5) + 6(z – 6) = 0

⇔ 4x + 5y + 6z – 77 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có (1 + 2x)¹⁰ = \(C_{10}^0 + C_{10}^1.\left( {2x} \right) + C_{10}^2.{\left( {2x} \right)^2} + ... + C_{10}^{10}{\left( {2x} \right)^{10}}\).

Vậy ba số hạng cần tìm là: 1; 20x; 180x².

Đáp án đúng là: A

Vì điểm M(a; b) thuộc đồ thị (Cm) nên ta có:

(a – m)³ – 3a + m² = b, \(\forall \)m ∈ ℝ (1)

Xét y’ = 3(x – m)² – 3; y’ = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m - 1\\x = m + 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

• Nếu m₁ là giá trị của tham số để đồ thị hàm số nhận điểm M(a; b) là điểm cực đại thì a = m₁ – 1.

• Nếu m₂ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a; b) là điểm cực tiểu thì a = m₂ + 1

Do đó m₁ = a + 1; m₂ = a – 1.

Mà m₁, m₂ phải thỏa mãn (1) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 3a + {\left( {a + 1} \right)^2} = b\\1 - 3a + {\left( {a - 1} \right)^2} = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\).

Vậy S = 2018a + 2020b = 504.

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 6!\)

 Gọi biến cố A: “Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ”.

• Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

• Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

• Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).

Xếp chỗ cho 2 học sinh nữ có 3! cách.

⇒ n(A) = 6.4.2.3! = 288 (cách).

\( \Rightarrow P(A) = \frac{{288}}{{6!}} = \frac{2}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 10!

Gọi A là biến cố “Xếp 5 nam và 5 nữ ngồi đối diện nhau”

Đánh số cặp ghế đối diện nhau là: C₁; C₂; C₃; C₄; C₅

• Xếp 5 bạn nam và 5 cặp ghế có 5! cách.

• Xếp 5 bạn nữ vào 5 cặp ghế có 5! cách.

Ở mỗi cặp ghê, ta có 2 cách xếp một cặp nam, nữ ngồi đối diện.

Suy n(A) = 5!.5!.2⁵ = 460 800

\( \Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{460\,\,800}}{{10!}} = \frac{8}{{63}}\).

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đáp án đúng là: A

Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b² – 4ac

f(x) ≤ 0 với \(\forall \)x ∈ ℝ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D.

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét tam giác ABD ta có: AO và DM là hai đường trung tuyến của tam giác.

Mà AO ∩ DM = {N} nên N là trọng tâm tam giác ADB.

⇒ \(AN = \frac{2}{3}DM\) (tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra \(NM = \frac{{DM}}{3}\)

+) Hai tam giác AMN và ADM có cùng đường cao hạ từ A nên:

\(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ADM}}}} = \frac{{MN}}{{DM}} = \frac{1}{3}\)

\({S_{ADM}} = \frac{1}{2}AM.AH = \frac{1}{2}.\frac{4}{2}.3 = 3\) (cm²)

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{1}{3}.{S_{ADM}} = \frac{1}{3}.3 = 1\) (cm²)

Đáp án đúng là: B

• Vectơ đối của \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {BA} \) mà \(\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \)

• Vectơ đối của \(\overrightarrow {AC} \) là \(\overrightarrow {CA} \), không có vecto nào có điểm đầu và điểm cuối là hai trong năm điểm A; B; C; D; O bằng \(\overrightarrow {CA} \).

• Vectơ đối của \(\overrightarrow {AD} \) mà \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \).

• Vectơ đối của \(\overrightarrow {AO} \) là \(\overrightarrow {OA} \) mà \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CO} \).

Đáp án đúng là: D         

Ta có: \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \ne \overrightarrow 0 \).

Do đó D sai.

Đáp án đúng là: A

Tâm của mặt cầu là trung điểm O của đoạn thẳng SC.

Ta có: R = OA = OB = OC = OD = SO

= \(\frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} \)

\( = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \)

⇒ S = 4 πR² = 8 πa².

Đáp án đúng là: A

Do ∆ABC vuông cân tại B có:

AC = 2a

\( \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}\,.\,SA\,.\,\frac{1}{2}.\,BA\,.\,BC = \frac{1}{6}\,.\,2a\,.\,a\sqrt 2 \,.\,a\sqrt 2 = \frac{{2{a^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Gọi O là trung điểm của SC.

Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có: AC² = 3² + 3² = 18; SC² = SA² + AC² = 4² + 18 = 34

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: \(R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Xét tứ giác BMDC có: MD // BC và MD = BC = a

Do đó tứ giác BMDC là hình bình hành

Suy ra BM // CD nên BM // (SCD)

Khi đó d(BM, SC) = d(BM, (SCD)) = d(M, (SCD))

Mà d(M, (SCD) = \(\frac{1}{2}d\left( {A,(SCD)} \right)\)

Nên \(d(BM,SC) = \frac{1}{2}d(A,(SCD))\)

• Tứ giác AMCB là hình vuông nên cạnh AB = a nên \(AC = a\sqrt 2 \), CM = a

Do đó tam giác ACD có \(CM = \frac{1}{2}AD\) nên tam giác ACD vuông tại C hay AC ⊥ CD.

• Kẻ AH ⊥ SC tại H        (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAC) \Rightarrow (SCD) \bot (SAC)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ (SCD) nên AH = d(A, (SCD))

Do \(SA = AC = a\sqrt 2 \) và SA⊥AC nên tam giác SAC vuông cân tại A.

⇒ H là trung điểm của SC

\( \Rightarrow AH = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\,.\,\sqrt 2 \,.\,SA = a\)

Vậy \(d(BM,SC) = \frac{a}{2}\).

Đáp án đúng là: A.             

Vì SA vuông góc với (ABC)

⇒ A là hình chiếu của S trên (ABC)

⇒ AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

⇒ (SB, (ABC)) = (SB, AB) \( = \widehat {SBA} = 60^\circ \)

Tam giác vuông cân ABC tại B

⇒ \(AB = BC = AC.\sin 45^\circ = AC.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SAB vuông tại A

\( \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Thể tích khối chóp S.ABC là:

\(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).

Đáp án đúng là: C

ĐK: x > −1; mx > 0

log(mx) = 2log(x + 1)

⇔ mx = (x + 1)²

⇔ x² + (2 – m)x + 1 = 0

∆ = m² – 4m + 4 – 4 = m² – 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp:

• TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất:

m² = 4m \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\).

Tuy nhiên giá trị m = 0 loại do khi đó nghiệm là x = −1.

• TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn: x₁ ≤ −1 < x₂

Nếu có x₁ = −1 ⇒ 1 – (2 – m) + 1 = 0 ⇔ m = 0 (vô lý)

x₁ < −1 < x₂ ⇒ (x₁ + 1)(x₂ + 1) < 0

⇔ x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 < 0

⇒ 1 + m – 2 + 1 < 0

⇔ m < 0

Như vậy sẽ có giá trị −2017; −2016; …; −1 và 4.

Vậy có 2018 giá trị.

Ta có: \(S = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018}\)

\( \Rightarrow S + C_{2019}^0 + C_{2019}^{2019} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{2019}\)

⇔ S + 1 + 1 = (1 + 1)²⁰¹⁹

⇔ S = 2²⁰¹⁹ – 2.

Đáp án đúng là: A

Gọi số đó là \(\overline {abc} \).

Do các chữ số của \(\overline {abc} \) đều là số chẵn nên a; b; c ∈ {0; 2; 4; 6; 8}, a ≠ 0. Khi đó:

• a có 4 cách chọn

• b có 4 cách chọn

• c có 3 cách chọn

Vậy có tất cả 4.4.3 = 48 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: f '(x) = 3x² – 6x – 9 = 3(x² – 2x – 3)

f '(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = 10\\x = 3 \Rightarrow y = - 22\end{array} \right.\).

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \,\infty } f(x) = \pm \,\infty \)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số có cực tiểu là −22 và cực đại là 10.

Từ 8 số đã cho có thể lập được: 7.8.8 = 448 số có 3 chữ số

Số cần chọn có dạng \(\overline {abc} \) trong đó a ≤ b ≤ c

TH1: a < b < c

Chọn ra 3 số thuộc tập {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Ta được 1 số thỏa mãn

Do đó có \(C_7^3 = 35\) số

TH2:a = b < c có \(C_7^2\) số thỏa mãn

TH3: a < b = c có \(C_7^2\)số thỏa mãn

TH4: a = b = c có \(C_7^1\) số thỏa mãn

Vậy có \(C_7^3 + 2.C_7^2 + C_7^1 = 84\) số thỏa mãn chữ số đứng sau luôn lớn hơn bằng chữ số đứng trước

Vậy xác suất cần tìm là: \(P = \frac{{84}}{{448}} = \frac{3}{{16}}\).

Đáp án đúng là: D.

Do d vuông góc với (P) nên vectơ pháp tuyến của (P) là một vec tơ chỉ phương của d

\(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2;2;1} \right)\)

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2;1} \right)\) nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Đáp án đúng là: A

Đặt t = x² (t ≥ 0)

Ta có phương trình đã cho trở thành t² – 2(m – 1)t + 4m – 8 = 0

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} - (4m - 8) > 0\\4m - 8 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 - 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 > 0\\m > 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 3)^2} > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m > 2\end{array} \right.\)

Vậy với m > 2 và m ≠ 3 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TXD: D = ℝ

Ta có: y’ = 3x² – 6x = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow = 1\\x = 2 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\)

⇒ A(0; 1) và B(2; −3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: \(\frac{{x - 0}}{{2 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}\)

⇔ −2x = y – 1 ⇔ y = −2x + 1 (d’)

Vì d⊥d’ ⇒ (2m – 1)(−2) = −1 \( \Leftrightarrow 2m - 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\).

Vậy với \(m = \frac{3}{4}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.