y′ = 2mx − (m+6)

Xét y′ = 0:

y′ = 0

⇔ 2mx − (m + 6) = 0

⇔ (2m − 1)x = 6 – m

Nếu 2m – 1 = 0

⇒ m = \(\frac{1}{2}\)

⇒ Phương trình trở thành 0x = 6 – \(\frac{1}{2}\), vô nghiệm trên khoảng (−1; +∞).

Nếu 2m – 1 ≠ 0

⇒ m ≠ \(\frac{1}{2}\)

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng (−1; +∞) là \(x = \frac{{6 - m}}{{2m - 1}}\).

Để hàm số y = mx² − (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (−1; +∞), tham số m phải thỏa mãn hai điều kiện sau: \(\left\{ \begin{array}{l}m > - 6\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy, tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx² − (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (−1; +∞) là m ∈ (−6,\(\frac{1}{2}\)) ∪ (\(\frac{1}{2}\), +∞).

\(\frac{1}{4}:0,25 - \frac{1}{8}:0,125 + \frac{1}{2}:0,5 - \frac{1}{{10}}\)

= 0,25 : 0,25 – 0,125 : 0,125 + 0,5 : 0,5 – 0,1

= 1 – 1 + 1 – 0,1

= 1 – 0,1

= 0,9.

Gọi số hàng xe thứ 3 chở được là a tấn.

a = (25 + 35 + a) : 3

⇔ 3a = 25 + 35 + a

⇔ 2a = 60

⇔ a = 30 (tấn)

Vậy xe thứ 3 chở được 30 tấn hàng.

n\(\left( \Omega \right)\) = 16³

Các số tự nhiên từ 1 đến 16 chia thành 3 nhóm:

- Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 55 số

- Nhóm II gồm các số tự nhiên cho 3 dư 1 gồm 66 số.

- Nhóm III gồm các số tự nhiên cho 3 dư 2 gồm 5 số.

Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hơp sau:

- Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có 5353 cách.

- Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có 6363 cách.

- Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm III có 5353 cách.

Mỗi bạn viết được một số thuộc một nhóm có 3! . (5.6.5).

Vậy có tất cả: 5³ + 6³ + 5³ + 3! . (5.6.5) = 1366

Xác suất cần tính bằng: \(\frac{{1366}}{{{{16}^3}}} = \frac{{683}}{{2048}}\).

Xét hai dãy số (a_n) với a_n = 2nπ và (b_n) = \(\frac{\pi }{2} + 2\pi n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có: lim a_n = lim 2nπ = +∞

lim b_n = \(\lim \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) = \lim n\left( {\frac{\pi }{{2n}} + 2\pi } \right) = + \infty \)

lim sina_n = lim sin2nπ = lim 0 = 0

lim sinb_n = \(\lim \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi n} \right) = \lim 1 = 1\)

Như vậy a_n ⇒ +∞, b_n ⇒ +∞ nhưng lim sina­_n ≠ lim sinb_n

Do đó theo định nghĩa, hàm số y = sin x không có giới hạn khi x ⇒ +∞

Đổi \(\frac{3}{5} = 0,6dm\)

Diện tích hình vuông B là:

0,6 . 0,6 = 0,36 (dm²)

Diện tích hình vuông A là:

0,36 : 9 = 0,04 (dm²)

Mà 0,04 = 0,2 . 0,2

Nên cạnh hình vuông A là 0,2 dm.

 Đổi 3,125 tấn = 3125 kg

Ngày thứ nhất bán được số gạo là:

3125 : 100 . 24 = 750 (kg)

Sau ngày thứ nhất cửa hàng còn lại số gạo là:

3125 – 750 = 2375 (kg)

Ngày thứ 2 cửa hàng bán được số kg gạo là:

2375 : 100 . 32 = 760 (kg)

Sau 2 ngày cửa hàng bán , còn lại số kg là:

2375 – 760 = 1615 (kg).

\(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {4; - 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {4; - 1} \right)\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = 4\\{y_N} - {y_M} = - 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_M} = 4\\ - 3 - {y_M} = - 1\end{array} \right.\)

Suy ra: M(–2; –2).

Ta có: x² – 5x + m – 1 = 0

∆ = (–5)² – 4(m – 1) = 25 – 4m + 4 = 29 – 4m

Để (*) có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ > 0 hay 29 – 4m > 0. Suy ra: m < \(\frac{{29}}{4}\)

Áp dụng hệ thức Vi–ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\) (1)

Theo bài ra: \(2{x_2} = \sqrt {{x_1}} \)(điều kiện x₁ ≥ 0)

⇔ 4x₂² = x_1­ (2)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4{x_2}^2 + {x_2} - 5 = 0\\4{x_2}^2 - m + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{ - 5}}{4}\left( L \right)\\{x_2} = 1\end{array} \right.\\4{x_2}^2 - m + 1 = 0\end{array} \right.\]

⇔\[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\m = 5\end{array} \right.\]

Vậy m = 5.

Tổng khối lượng ngô của 2 thùng A và B là:

225 . 2 = 450 (kg ngô)

Thùng A có số kg ngô là:

(450 − 120) : 2 = 165 (kg ngô)

Thùng B có số kg ngô là:

450 – 165 = 285 (kg ngô)

Tỉ số phần trăm số ngô giữa thùng A và thùng B là:

165 : 285 . 100% = \(\frac{{1100}}{{19}}\% \).

P = a⁵ – a⁴ – 18a³ + 9a² – 5a + 2017 + (a⁴ – 40a² + 4) : a²

P = (a⁵ – 5a⁴ + 2a³) + (4a⁴ – 20a³ + 8a²) + (a² – 5a + 2) + 2015 + \(\frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\)

P = a³(a² – 5a + 2) + 4a²(a² – 5a + 2) + (a² – 5a + 2) + 2015 + \(\frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\)

P = 2015 +\(\frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\)

Lại có: a² – 5a = –2 ⇒ (a² – 5a)² = 4

⇒ a⁴ – 10a³ + 25a² = 4

P = 2015 + \(\frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\)

\( = \frac{{{a^4} + 1975{a^2} + 4}}{{{a^2}}} = \frac{{4 + 10a\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 4\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 1996{a^2} - 4}}{{{a^2}}} = 1996\)

Vậy P = 1996.

Áp dụng công thức: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

Suy ra: \[\frac{{3a}}{{\sin A}} = 2a\sqrt 3 \]

⇒ \[\sin A = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

⇒ \(\widehat A = 60^\circ \).

Có 2x = 3y nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} \Rightarrow \frac{x}{9} = \frac{y}{6}\left( 1 \right)\)

Có 4y = 3z nên \(\frac{y}{3} = \frac{z}{4} \Rightarrow \frac{y}{6} = \frac{z}{8}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{x}{9} = \frac{y}{6} = \frac{z}{8} = \frac{{2z}}{{16}} = \frac{{x - y + 2z}}{{9 - 6 + 16}} = \frac{{57}}{{19}} = 3\)

Suy ra: x = 9.3 = 27

y = 3.6 = 18

z = 3.8 = 24

Vậy x = 27; y = 18; z = 24.

Ta có: (a + b)ⁿ = \[\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \]

Chiều rộng mảnh đất hcn là:

36 . \(\frac{3}{4}\) = 27 (m)

Diện tích mảnh đất hcn là:

36 . 27 = 972 (m²)

Diện tích để trồng rau là:

972 . 25 : 100 = 243 (m²)

Diện tích phần đất còn lại là:

972 – 243 = 729 (m²).

\(\frac{3}{7} - \frac{4}{7}:\left( {x - 1} \right) = \frac{5}{7}\)

⇔ \(\frac{4}{7}:\left( {x - 1} \right) = \frac{3}{7} - \frac{5}{7} = \frac{{ - 2}}{7}\)

⇔ \(x - 1 = \frac{4}{7}:\frac{{ - 2}}{7}\)

⇔ x – 1 = –2

⇔ x = – 2 + 1

⇔ x = –1

Vậy x = –1.

\(\left| {4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\)

⇔ \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + 3\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MI} } \right|\) (gọi I là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \))

⇔ \(\left| {3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MA} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MI} } \right|\) (G là trọng tâm)

⇔ \(6\left| {\overrightarrow {MJ} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IA} } \right|\)

⇔ MJ = \(\frac{1}{3}IA\) (J là trung điểm của AG)

⇔ JM = \(\frac{1}{2}AG\)(không đổi)

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J, bán kính R = \(\frac{1}{2}AG\).

A giao B có 1 phần tử khi 3a – 5 = 5.

Hay 3a = 10

⇔ \(a = \frac{{10}}{3}\)

Vậy \(a = \frac{{10}}{3}\).

Do \(\left| {2,34 - 3x} \right| \ge 0,\forall x\)

Nên \(B = - 13 + \left| {2,34 - 3x} \right| \ge - 13,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi 2,34 – 3x = 0 hay x = 0,78

Vậy GTNN của B là –13 khi x = 0,78.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC ta có:

\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {5^2}} = \sqrt {34} \).

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 2m\left( 1 \right)\\x + my = m + 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (2) suy ra: x = m + 1 – my (3)

Thế (3) vào (1) ta có:

m(m + 1 – my) + y = 2m

⇔ m² + m – m²y + y = 2m

⇔ y(1 – m²) = m – m²

⇔ y(1 – m)(1 + m) = m(1 – m) (4)

+) Với m = 1 thì (4) trở thành 0y = 0, phương trình có vô số nghiệm

Suy ra: hệ phương trình có vô số nghiệm

+) Với m = –1 thì (4) có dạng 0y = –2, phương trình vô nghiệm

Suy ra: hệ phương trình có vô nghiệm

+) Với m ≠ ±1, phương trình có nghiệm duy nhất:

\(y = \frac{{m\left( {1 - m} \right)}}{{\left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)}} = \frac{m}{{1 + m}}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{m}{{1 + m}}\\x = \frac{{2m + 1}}{{1 + m}}\end{array} \right.\)

Để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{2m + 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1 - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{2m + 2 - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{ - 1}}{{1 + m}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Suy ra: – 1 chia hết cho 1 + m

Suy ra: 1 + m = 1 hoặc 1 + m = –1

Hay m = 0 hoặc m = –2

Vậy m = 0 hoặc m = –2.

Chọn Shift ⇒ Menu ⇒ 3

Ví dụ: Làm tròn số 0,4545212 tới 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy.

+ Nhập Shift ⇒ Menu ⇒ 3 ⇒ 1 ⇒ 3

+ Nhập số 0,4545212 vào thu được kết quả 0,455

+ Trở về chế độ ban đầu: Bấm “Shift 9 3 = =”.

Số cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư khác nhau là: \(C_5^3\) cách.

Số cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư khác nhau là: \(C_6^3\) cách.

Số cách dán tem thư thứ nhất vào 3 bì thư là: \(C_3^1\) cách.

Số cách dán tem thư thứ hai vào 2 bì thư còn lại là: \(C_2^1\) cách.

Số cách dán tem thư thứ hai vào bì thư cuối cùng là: \(C_1^1\) cách.

Vậy có \(\left( {C_5^3.C_6^3} \right).\left( {C_3^1.C_2^1.C_1^1} \right) = 1200\) cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2m \ne 0\\7m + 1 - 2x \ne 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2m\\x \le \frac{{7m + 1}}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra tập xác định D = (–∞;\(\left. {\frac{{7m + 1}}{2}} \right]\)\ {2m}

Để tập xác định chứa đoạn [–1;1] nên [–1;1] ⸦ D

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ { - 1;1} \right] \subset ( - \infty ;\left. {\frac{{7m + 1}}{2}} \right]\\2m \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le \frac{{7m + 1}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}2m > 1\\2m < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{1}{7}\\\left[ \begin{array}{l}m > \frac{1}{2}\\m < \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ m > \(\frac{1}{2}\)

Vậy không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

y = sin 3x + cos 3x

y = \(\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x} \right)\)

y = \(\sqrt 2 \sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Mà \( - 1 \le \sqrt 2 \sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)

Nên \( - \sqrt 2 \le y \le \sqrt 2 \)

Min y = \( - \sqrt 2 \) khi \(3x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) hay x = \( - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Max y = \(\sqrt 2 \) khi \(3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + l2\pi \)hay x = \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{l2\pi }}{3}\left( {l \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chiều dài của căn phòng đó là:

6 . 1,5 = 9 (m²)

Diện tích của căn phòng đó là:

6 . 9 = 54 (m²)

Diện tích của 1 viên gạch là:

3 . 3 = 9 (m²)

Đổi: 54 m² = 5400 dm

Cần số gạch để lát hết phòng đó là:

5400 : 9 = 600 viên gạch

Đáp số: 600 viên gạch.

Số học sinh trung bình chiếm số phần trăm số học sinh cả lớp là:

100% – 25% – 55% = 20% (số học sinh cả lớp)

Số học sinh của lớp đó là:

5 : 20 . 100 = 25(học sinh)

Đáp số: 25 học sinh.

Giá tiền 1 gói bánh quy năm ngoái là:

100000 : 5 = 20000 (đồng)

Giá tiền 1 gói bánh quy năm nay là:

100000 : 4 = 25000 (đồng)

Giá tiền 1 gói nay năm tăng số % là:

25000 : 20000 . 100 = 125% (tức là tăng 25%).

Số tiền lãi:

1495000 . 15% = 224250 (đồng)

Tiền vốn mua chiếc xe của cửa hàng đó:

1495000 – 224250 = 1270750 (đồng).

Phép chiếu xuyên tâm có ba đặc điểm cơ bản sau:

– Qua phép chiếu xuyên tâm, hình chiếu của một điểm là một điểm. Điểm thuộc mặt phẳng hình chiếu là điểm trùng với chính nó.

– Qua phép chiếu xuyên tâm, hình chiếu của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng.

– Đường thẳng chiếu là đường thẳng đi qua tâm chiếu, có hình chiếu là một điểm. Mặt phẳng đi qua tâm chiếu gọi là mặt phẳng chiếu, có hình chiếu là một đường thẳng. Đặc biệt, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng được bảo toàn bởi phép chiếu này.

Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có OB = OC = R, suy ra H là trung điểm của BC nên

\(HC = \frac{{CD}}{2} = \frac{{R\sqrt[{}]{3}}}{2}\)

Suy ra: OH = \(\sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \frac{R}{2}\).

Phương trình sin2x – 2(sinx – cosx) – 2 = 0 có nghĩa với mọi x ∈ ℝ

Ta có: sin2x – 2(sinx – cosx) – 2 = 0

⇔ 2(sinx – cosx) – 2sinxcosx + 2 = 0

Đặt t = sinx – cosx \(\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\)

Ta có: sinxcosx = \(\frac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Ta có phương trình: 2t – (1 – t²) + 2 = 0

⇔ t² + 2t + 1 = 0

⇔ (t + 1)² = 0

⇔ t = –1

Với t = –1 thì sinx – cosx = –1

⇔ \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right)\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x = \(\frac{{3\pi }}{2}\).

Ta có: 3(x + 1) + 25

Thấy 25 chia hết cho 5 nên suy ra: 3(x + 1) chia hết cho 5

Mà 3 không chia hết cho 5 nên x + 1 chia hết cho 5

Hay x + 1 ∈ B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; …}

Mà 8 < x < 16 nên 9 < x + 1 < 17

Suy ra x + 1 ∈ {10; 15}

Vậy x ∈ {9; 14}.

5xy⁴ + 15x⁴y + 15x²y³ + 5x³y²

= 5xy(y³ + 3x³ + 3xy² + x²y )

= 5xy[(3x³ + 3xy²) + (y³ + x²y)]

= 5xy([3x(x² + y²) + y(y² + x²)]

= 5xy (3x + y)(x² + y²).

Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm cùng chiều kim đồng hồ.

Xét tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = 50^\circ \)

Suy ra: \(\widehat B = \widehat C = \left( {180^\circ - 50^\circ } \right):2 = 65^\circ \)

Số cách sắp xếp 5 bạn nam: 5! (cách)

Số cách sắp xếp 2 bạn nữ: 2! (cách)

Số cách sắp xếp cho 5 bạn nam và 2 bạn nữ: 2! (cách)

Số cách sắp xếp 5 bạn nam và 2 bạn nữ thành 1 hàng dọc theo thứ tự bất kì là:

5! . 2! . 2! = 480 (cách).

\(\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \)

\( = \sqrt {4 + 3 + 4\sqrt 3 } + \sqrt {4 + 3 - 4\sqrt 3 } \)

\( = \sqrt {{2^2} + 2.2\sqrt 3 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{2^2} - 2.2\sqrt 3 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

\( = 2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 = 4\).

a) Khi bán lẻ 1 thùng thì bán được số tiền là:

10000 . 24 = 240000 (đồng)

Số tiền lãi của 1 thùng khi bán lẻ là:

240000 – 192000 = 48000 (đồng)

Tiền lãi chiếm số %  giá gốc là:

48000 : 192000 . 100 = 25 (%)

b) Tổng số tiền bán được 1 thùng là;

9500 . 24 = 228000 (đồng)

Vì lãi suất như cũ là 25%

Vậy số tiền bán được chiếm số phần trăm so với giá gốc là

100% + 25% = 125%

Trong đợt này cửa hàng đã mua 1 barrel nước ngọt với giá là:

228000 : 125%=  182400 (đồng).

Mẹ Hà mua thực phẩm hết số tiền lương là:

5600000 : 7000000 = 0,8 = 80%.

sin5x + 2cos²x = 1

⇔ sin5x = 1 – 2cos²x

⇔ sin5x = –cos2x

⇔ sin5x = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)\)

⇔ sin5x = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}5x = 2x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x = - 2x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + 2k\frac{\pi }{3}\\x = - \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Cửa hàng bỏ ra số tiền vốn để nhập 100 cái áo là:

100 . 200000 + 1000000 = 21000000 (đồng).

Ta có : 3n + 16 ⋮ n + 4

Suy ra : 3n + 16 = 3n + 12 + 4 = 3(n + 4) + 4 ⋮ n + 4

Lại có n + 4 ⋮ n + 4

⇒ 3(n + 4) ⋮ 4

Từ đó ta cần 4 ⋮ n + 4 để 3n + 16 ⋮ n + 4

⇒ n + 4 ∈ Ư(4) ={1;2;4}(n ∈ ℕ)

⇒ n ∈{−3;−2;0}

Mà n ∈ ℕ ⇒ n = 0

Vậy n = 0 thì 3n + 16 chia hết cho n + 4.

Ta có: y = mx³ − 2mx² + (m − 2)x + 1

Xét m = 0 ta có: y = –2x + 1, hàm số này không có cực trị

Xét m ≠ 0 ta có:

y’ = 3mx² – 4mx + m – 2

Hàm số không có cực trị khi: ∆’_y ≤ 0 hay 4m² – 3m(m – 2) ≤ 0

⇔ m² + 6m ≤ 0

⇔ –6 ≤ m ≤ 0

Vậy m ∈ [–6; 0].

Bao gạo đó có tổng số gạo là:

15 : 75 . 100 = 20 (kg).

Đáp số: 20 (kg).

Đáy lớn của hình thang đó là:

20,4 : (5 – 3) . 5 = 51 (dm)

Đáy bé của hình thang đó là:

51 – 20,4 = 30,6 (dm)

Chiều cao của hình thang đó là:

30,6 + 2,1 = 32,7 (dm)

Diện tích của hình thang đó là:

(51 + 30,6) . 32,7 : 2 = 1334,16 (dm²).

Ta có: x + y + z = xyz (1)

Chia hai vế của (1) cho xyz ≠ 0 ta được:

\(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} = 1\)

Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1 ta có:

\(1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} \le \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{z^2}}}\)

Suy ra: z² ≤ 3

Suy ra: z = 1.

Thay z = 1 vào (1) ta được:

x + y + z = xy

⇔ xy – x – y = 1

⇔ x(y – 1) – (y – 1) = 2

⇔ (y – 1)(x – 1) = 2

Mà x – 1 ≥ y – 1 nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 1\\x - 1 = 2\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm nguyên dương là hoán vị của {1,2,3}.

Gọi C(x_C; y_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\]

Hay: \[\left\{ \begin{array}{l} - 2 = \frac{{\left( { - 1} \right) + 1 + {x_C}}}{3}\\\frac{2}{3} = \frac{{1 + 3 + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\]

Suy ra: C(–6;–2)

Do M thuộc Oy nên M(0;y)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {1;3 - y} \right)\)

\(\overrightarrow {MC} = \left( { - 6; - 2 - y} \right)\)

Để tam giác MBC vuông tại M thì \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 0\)

⇔ 1(–6) + (3 – y)(–2 – y) = 0

⇔ y² – y – 12 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = - 3\end{array} \right.\)

Vậy M(0; 4) hoặc M(0; –3).

\(A = \frac{{{2^{12}}{{.3}^5} - {4^6}{{.9}^2}}}{{{{\left( {{2^2}.3} \right)}^6} + {8^4}{{.3}^5}}} + \frac{{{5^{10}}{{.7}^3} + {{25}^5}{{.49}^2}}}{{{{\left( {125.7} \right)}^3} + {5^9}{{.14}^3}}}\)

\[A = \frac{{{2^{12}}{{.3}^5} - {{\left( {{2^2}} \right)}^6}.{{\left( {{3^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{2^2}.3} \right)}^6} + {{\left( {{2^3}} \right)}^4}{{.3}^5}}} + \frac{{{5^{10}}{{.7}^3} + {{\left( {{5^2}} \right)}^5}.{{\left( {{7^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{5^3}.7} \right)}^3} + {5^9}.{{\left( {2.7} \right)}^3}}}\]

\[A = \frac{{{2^{12}}{{.3}^5} - {2^{12}}{{.3}^4}}}{{{2^{12}}{{.3}^6} + {2^{12}}{{.3}^5}}} + \frac{{{5^{10}}{{.7}^3} + {5^{10}}{{.7}^4}}}{{{5^9}{{.7}^3} + {5^9}{{.2}^3}{{.7}^3}}}\]

\[A = \frac{{{2^{12}}{{.3}^4}\left( {3 - 1} \right)}}{{{2^{12}}{{.3}^5}\left( {3 + 1} \right)}} + \frac{{{5^{10}}{{.7}^3}\left( {1 + 7} \right)}}{{{5^9}{{.7}^3}\left( {1 + {2^3}} \right)}}\]

\[A = \frac{2}{{3.4}} + \frac{{5.8}}{9} = \frac{{83}}{{18}}\].

Do đáy bé bằng \(\frac{2}{3}\) đáy lớn, nên đáy lớn chia làm 3 phần bằng nhau thì đáy bé là 2 phần bằng nhau.

Đáy bé bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao nên, đáy bé chia làm 3 phần bằng nhau thì 2 phần là chiều cao.

Đáy bé của hình thang là:

54 : 3 . 2 = 36 (m)

Chiều cao hình thang là:

36 : 3 . 2 = 24 (m)

Diện tích hình thang là:

(54 + 36) . 24 : 2 = 1080 (m²).

Đáy bé hình thang là:

(24 – 1,2) : 2 = 11,4 (cm)

Đáy lớn hình thang là:

24 – 11,4 = 12,6 (cm)

Chiều cao hình thang là:

11,4 – 2,4 = 9 (cm)

Diện tích hình thang là:

(11,4 + 12,6) . 9: 2 = 108 (cm²).

AB = AE + EB = 2 + 3 = 5(cm)

Vì ∆AEF ∽ ∆ABC nên \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\)

Suy ra: AC = \(\frac{{AB.AF}}{{AE}} = \frac{{20}}{3}\left( {cm} \right)\)

FC = AC – AF = \(\frac{{20}}{3} - 4 = \frac{8}{3}\left( {cm} \right)\).

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách xếp 4 quyển Toán khác nhau và 4 quyển Hóa giống nhau vào 8 trong 10 ô trống.

Khi đó: n(Ω) = \(C_{10}^4.A_6^4\) hoặc n(Ω) = \(A_{10}^4.C_6^4\)

Gọi A là biến cố: “ Bốn quyển sách Toán xếp cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa xếp cạnh nhau ”.

Để xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau và 4 quyển sách Hóa gần nhau trên giá sách 10 ô trống ta xem như có 4 vị trí để xếp

Xếp 4 quyển toán cạnh nhau có 4! cách, xếp 4 quyển Hóa có 1 cách, sau đó xếp 2 bộ đó vào 2 trong 4 vị trí.

Do đó: n(A) = \(4!.A_4^2\)

Xác suất để 4 quyển sách Toán cạnh nhau và 4 quyển Hóa cạnh nhau là:

P(A) = \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{4!.A_4^2}}{{C_{10}^4.A_6^4}} = \frac{2}{{525}}.\)

Sau 1 tháng, số tiền lãi nhận được là:

6000000 . 0,58% = 34800 (đồng)

Sau 1 tháng, cả số tiền gửi và tiền lãi là:

6000000 + 34800 = 6034800 (đồng).

Chiều rộng đám đất là: 17,5 . \(\frac{3}{5}\) = 10,5 (m)

a) Diện tích đám đất là:

17,5 . 10,5 = 183,75 (m²)

b) Diện tích trồng hoa là:

183,75 . 40% = 73,5 (m²).

Chiều cao của hình thang là:

(40 : 100) . 30 = 12 (cm)

Đáy lớn của hình thang là:

(12 : 20) . 100 = 60 (cm)

Diện tích hình thang là:

(60 + 40) . 12 : 2= 600 (cm²)

Chiều cao là:

50 : 80 . 100 = 62,5 (dm)

Đáy bé là :

50 – 12 = 38 (dm)

Diện tích hình thang là:

(50 + 38) . 62,5 : 2 = 2750 (dm²).

Chiều cao hình thang là :

25 . 80 : 100 = 20 (m)

 Đáy bé hình thang là :

20 . 90 : 100 = 18 (m)

Diện tích hình thang là :

( 25 + 20 ) . 18 : 2 = 405 (m²)

Số vectơ có gốc, nhọn là 2 trong 10 điểm đã cho là:

\[A_{10}^2 = 90\](vectơ).

Đáp số: 90 vectơ.

Gọi công sai là q

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 14\\{u_1}.{u_1}q.{u_1}{q^2} = 64\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 14\\{\left( {{u_1}.q} \right)^3} = 64\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4 + 4q = 14\\{u_1}.q = 4\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4q = 10\\{u_1}.4q = 16\end{array} \right.\)

u₁ và q là nghiệm của phương trình x² – 10x + 16 = 0

⇔ (u₁;4q) = (8;2), (2;8)

⇔ (u₁;q) = \(\left( {8;\frac{1}{2}} \right),\left( {2;2} \right)\)

Ta có: (x + y)² ≥ 4xy

⇔ x² + 2xy + y² ≥ 4xy

⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0

⇔ (x – y)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x,y)

Vậy (x + y)² ≥ 4xy với x, y > 0.

Đặt f(x) = 2x² + ax + 5; g(x) = x + 3

Theo Bezout ta có:

f(–3) = 2(–3)² – 3a + 5 = 23 – 3a

Để f(x) chia g(x) dư 41 thì 23 – 3a = 41

Suy ra: a = –6.

Vậy a = –6.

VT = \(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

VT =\(\frac{{b - a + a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - b + b - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - c + c - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

VT =\(\frac{{ - 1}}{{a - c}} + \frac{1}{{a - b}} + \frac{{ - 1}}{{b - a}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{{ - 1}}{{c - b}} + \frac{1}{{c - a}}\)

VT =\(\frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\)

Xếp 7 nữ thành 1 hàng dọc có 7! cách xếp

Có tất cả 8 vị trí có thể xếp các bạn nam vào (gồm 6 vị trí xen kẽ giữa các bạn nam và 2 vị trí đầu và cuối).

Chọn 3 trong 8 vị trí đó và xếp 3 bạn nam vào 3 vị trí đã chọn: \[A_8^3\]cách

⇒ Số cách xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là: \[A_8^3\]. 7! = 1693449 cách.

Tổng độ dài hai đáy là:

540 . 2 : 24 = 45 cm)

Coi đáy bé là 4 phần thì đáy lớn là 5 phần như thế.Tổng số phần bằng nhau là :

4 + 5 = 9 (phần)

Đáy bé là :

45 : 9 . 4 = 20 (cm)

Đáy lớn là :

45 – 20 =25 (cm).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt x } \right)\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1 - x}}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt x }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + \sqrt 1 }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{ - 1}}{{\sqrt x }}}}{{\sqrt {1 - 0} + 1}}\]

= 0.

57 . 0,1 . 100 . (2,5 . 4 – 10)

= 57 . 0,1 . 100 . (10 – 10)

= 57 . 0,1 . 100 . 0

= 0.

(2x – 1)⁶ (x² – x + \(\frac{1}{4}\))

= \(\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{2^k}{{\left( { - 1} \right)}^{6 - k}}{x^k}\left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right)} \)

= x² \[\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{2^k}{{\left( { - 1} \right)}^{6 - k}}{x^k} - x} \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{2^k}{{\left( { - 1} \right)}^{6 - k}}{x^k}} + \frac{1}{4}\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{2^k}{{\left( { - 1} \right)}^{6 - k}}{x^k}} \]

Vậy số hạng chứ x⁶ trong khai triển trên là:

\(\left[ {C_6^4{{.2}^4}.{{\left( { - 1} \right)}^2} - C_6^5{{.2}^5}.{{\left( { - 1} \right)}^1} + \frac{1}{4}.C_6^6{{.2}^6}{{\left( { - 1} \right)}^0}} \right]{x^6} = 448{x^6}\).

140 : 2,8 – 2,3 = 50 – 2,3 = 47,7.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\)

⇔ \(\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{4} = \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{9} = \frac{{z - 3}}{4} = \frac{{2x + 3y - z - 5}}{{4 + 9 + 4}} = \frac{{45 - 5}}{9} = \frac{{40}}{9}\)

Do đó: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{40}}{9}\) ⇒ x = \(\frac{{80}}{9} + 1 = \frac{{89}}{9}\)

\(\frac{{y - 2}}{3} = \frac{{40}}{9}\)⇒ y = \(\frac{{40}}{9}.3 + 2 = \frac{{46}}{3}\)

\(\frac{{z - 3}}{4} = \frac{{40}}{9}\)⇒ z = \(\frac{{40}}{9}.4 + 3 = \frac{{187}}{9}\).

S_A'B'C' = \(\)\(\frac{1}{2}.A'B'.A'C'.\sin \widehat {B'A'C'} = \frac{1}{2}.2AB.2AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.8.10.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 20\sqrt 3 \).

\(D = \frac{5}{{6.37}} + \frac{1}{{6.43}} + \frac{6}{{7.43}} + \frac{{10}}{{7.59}}\)

\(\frac{1}{7}D = \frac{5}{{37.42}} + \frac{1}{{42.43}} + \frac{6}{{43.49}} + \frac{{10}}{{49.59}}\)

\(\frac{1}{7}D = \frac{1}{{37}} - \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{42}} - \frac{1}{{43}} + \frac{1}{{43}} - \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{59}}\)

\(\frac{1}{7}D = \frac{1}{{37}} - \frac{1}{{59}}\)

\(D = 7\left( {\frac{1}{{37}} - \frac{1}{{59}}} \right)\)

\(E = \frac{8}{{9.37}} + \frac{2}{{9.47}} + \frac{3}{{10.47}} + \frac{9}{{10.59}}\)

\(\frac{1}{5}E = \frac{8}{{37.45}} + \frac{2}{{45.47}} + \frac{3}{{47.50}} + \frac{9}{{50.59}}\)

\(\frac{1}{5}E = \frac{1}{{37}} - \frac{1}{{45}} + \frac{1}{{45}} - \frac{1}{{47}} + \frac{1}{{47}} - \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{59}}\)

\(\frac{1}{5}E = \frac{1}{{37}} - \frac{1}{{59}}\)

\(E = 5\left( {\frac{1}{{37}} - \frac{1}{{59}}} \right)\)

Suy ra: \(\frac{D}{E} = \frac{{7\left( {\frac{1}{{37}} - \frac{1}{{59}}} \right)}}{{5\left( {\frac{1}{{37}} - \frac{1}{{59}}} \right)}} = \frac{7}{5}\).

\(E = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{1000}} + \frac{1}{{10000}} + \frac{1}{{100000}} + \frac{1}{{1000000}}\)

\(E = \frac{1}{{{{10}^1}}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^5}}} + \frac{1}{{{{10}^6}}}\)

Suy ra: \(10E = 1 + \frac{1}{{{{10}^1}}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^5}}}\)

10E – E = \(1 + \frac{1}{{{{10}^1}}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^5}}} - \frac{1}{{{{10}^1}}} - \frac{1}{{{{10}^2}}} - \frac{1}{{{{10}^3}}} - \frac{1}{{{{10}^4}}} - \frac{1}{{{{10}^5}}} - \frac{1}{{{{10}^6}}}\)

9E = \(1 - \frac{1}{{{{10}^6}}} = \frac{{{{10}^6} - 1}}{{{{10}^6}}}\)

Suy ra: E = \(\frac{{{{10}^6} - 1}}{{{{9.10}^6}}}\).

4x⁴ + 12x³ + 5x² – 6x – 15 = 0

⇔ (4x⁴ + 6x³ + 6x²) + (6x³ + 9x² + 9x) – (10x² + 15x + 15) = 0

⇔ 2x²(2x² + 3x + 3) + 3x(2x² + 3x + 3) – 5(2x² + 3x + 3) = 0

⇔ (2x² + 3x – 5)(2x² + 3x + 3) = 0

⇔ (x – 1)(2x + 5)(2x² + 3x + 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x + 5 = 0\\2{x^2} + 3x + 3 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 5}}{2}\\x = \emptyset \end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left\{ {1;\frac{{ - 5}}{2}} \right\}\).

Gọi x, y, z lần lượt là số người của 3 tổ sản xuất (x, y, z >0)

Theo bài ra ta có: y – z = 8

Vì số người và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

⇒ 2x = 3y = 5z 

⇒ \(\frac{{2x}}{{30}} = \frac{{3y}}{{30}} = \frac{{5z}}{{30}}\) hay \(\frac{x}{{15}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{6} = \frac{{y - z}}{{10 - 6}} = \frac{8}{4} = 2\)

Suy ra: x = 2.15 = 30

y = 2.10 = 20

z = 2.6 = 12

Vậy số người của 3 tổ sản xuất lần lượt là: 30; 20; 12 (người).

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} \)

⇔ \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \)

⇔ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \)

Và \(\overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \)

⇔ \[\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AC} \]

⇔ \[\overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \]

Vì A, M, N thẳng hàng nên:

\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AN} \)

⇔ \(\frac{1}{x} = \frac{{ - 2}}{1}\)

⇔ \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) thì A, M, N thẳng hàng.

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = \(C_{30}^2 = 435\)

Gọi biến cố A : "Chọn được hai số có tổng là một số chẵn"

Tổng của hai số là một số chẵn có 2 trường hợp:

TH1: Tổng của hai số chẵn

Trong 30 số nguyên dương đầu tiên có 15 số chẵn

Chọn 2 số trong 15 số chẵn có \(C_{15}^2 = 105\) cách

TH2: Tổng của hai số lẻ

Trong 30 số nguyên dương đầu tiên có 15 số lẻ

Chọn 2 số trong 15 số lẻ có \(C_{15}^2 = 105\) cách

Suy ra n(A) = 105 + 105 = 210

Vậy xác suất cần tìm là P(A) = \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{210}}{{435}} = \frac{{14}}{{29}}.\)

(m + 1)(sin²x – sin 2x + cos 2x) = 0

⇔ (m + 1)\(\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) - \sin 2x + \cos 2x = 0\)

⇔ m + 1 – (m + 1)cos2x – 2sin2x + 2cos2x = 0

⇔ (m – 1)cos2x + 2sin2x = m + 1 (1)

Để (1) có nghiệm thì:

(m – 1)² + 2² ≥ (m + 1)²

⇔ m² – 2m + 1 + 4 ≥ m² + 2m + 1

⇔ 4m ≤ 4

⇔ m ≤ 1

Mà m ∈ [– 2018;2018] nên suy ra m ∈ [1;2018]

Vậy có: (2018 – 1) : 1 + 1 + 2 = 2020 (số)

Vậy có 2020 giá trị nguyên m thoả mãn đề bài.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \)(a khác 0; a, b, c < 10)

Để \(\overline {abc} \) < 345 thì a = 1, 2 hoặc 3

* Nếu a = 1

Chữ số b có 9 cách chọn

Chữ số c có 8 cách chọn

Suy ra có: 9 . 8 = 72 (số)

* Nếu a = 2, tương tự: có 72 số

* Nếu a = 3:

Để \(\overline {abc} \) < 345 thì b = {0;1;2;4} (vì b khác a)

– Với b ={0;1;2}. Suy ra: chữ số c có 8 cách chọn

– Với b = 4 ta lập được 4 số gồm 340; 341; 342.

Vậy có: 3 . 8 = 24 (số)

Vậy lập được số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

a) Số cây lấy gỗ chiếm số phần trăm số cây trong vườn là: 

672 : 840 . 100 = 80%

b) Vườn cây đó có số cây ăn quả là:

840 – 672 = 168 (cây)

Tỉ số phần trăm giữa số cây ăn quả số cây lấy gỗ là: 

168 : 672 . 100 = 25%.

Ta thấy mẫu số chung nhỏ nhất của 3 phân số trên là 45.

\(\frac{7}{9} = \frac{{7.5}}{{9.5}} = \frac{{35}}{{45}}\)

\(\frac{8}{{15}} = \frac{{8.3}}{{15.3}} = \frac{{24}}{{45}}\)

\(\frac{2}{{45}}\) ta giữ nguyên

Vậy 3 phân số sau khi quy đồng mẫu số là: \(\frac{{35}}{{45}};\frac{{24}}{{45}};\frac{2}{{45}}\).

Gọi số cần tìm có dạng : \(\overline {abcde} \)(a ≠ 0)

Công đoạn 1, chọn số e có 1 cách chọn (vì số \(\overline {abcde} \) chia hết cho 10 nên e chỉ có thể chọn là số 0)

Công đoạn 2, chọn số a có 9 cách chọn (vì a ≠ 0 nên a chỉ được chọn một trong 9 số 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Công đoạn 3, chọn số b có 10 cách chọn (vì b chọn tuỳ ý nên b có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Công đoạn 4, chọn số c có 10 cách chọn (vì c chọn tuỳ ý nên c có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Công đoạn 5, chọn số d có 10 cách chọn (vì d chọn tuỳ ý nên d có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Tổng kết, theo quy tắc nhân ta có Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 1.9.10.10.10 = 9000 (số).

Ta có: \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\cos x \ne - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3x = k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà x ∈ [2π,4π] nên: 2π ≤ \(k\frac{\pi }{3}\) ≤ 4π \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Hay: 6 ≤ k ≤ 12

Số nghiệm thỏa mãn điều kiện là: \(\left\{ {2\pi ;\frac{7}{3}\pi ;\frac{8}{3}\pi ;3\pi ;\frac{{10}}{3}\pi ;\frac{{11}}{3}\pi ;4\pi } \right\}\)

Loại nghiệm 3π so với điều kiện

Vậy có 6 nghiệm thỏa mãn.

* Hình chữ nhật:

– Hình chữ nhật có 1 tâm đối xứng, đó là giao điểm của hai đường chéo.

– Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng (đó là đường trung trực của chiều dài và chiều rộng).

* Hình vuông:

– Hình vuông có 1 tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

– Hình vuông có 4 trục đối xứng là hai đường chéo của hình vuông và hai đường thẳng đi qua trung điểm từng cặp cạnh đối diện của hình vuông.

– Hình vuông có 4 trục đối xứng.

* Hình bình hành:

– Hình bình hành có 1 tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

– Hình bình hành không có trục đối xứng.

* Hình thang cân:

– Hình thang cân có 1 trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân.

* Hình thoi:

– Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo.

0,2468 + 0,08 . 0,4 . 12,5 . 2,5 + 0,7532

= 0,2468 + (0,08 . 12,5) . (0,4 . 2,5) + 0,7532

= 0,2468 + 1 . 1 + 0,7532

= 0,2468 + 1 + 0,7532

= 1 + (0,2468 + 0,7532)

= 1 + 1

= 2.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{{x - y}}{{5 - 7}} = \frac{{ - 22}}{{ - 2}} = 11\)

Suy ra: x = 11.5 = 55

y = 11.7 = 77

Vậy x = 55; y = 77.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có:

\[x\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} \le \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1 + 3 - x} \right)} = \sqrt {4\left( {{x^2} + 1} \right)} = 2\sqrt {{x^2} + 1} \]

Nghĩa là vế trái luôn ≤ vế phải

Vậy dấu “=” xảy ra khi: \(\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\)(điều kiện: –1 < x < 3)

⇔ x²(3 – x) = x + 1

⇔ 3x² – x³ – x – 1 = 0

⇔ –x³ + 3x² – x – 1 = 0

⇔ (x – 1)(–x² + 2x + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - {x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \sqrt 2 + 1\\x = - \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\).

Xét u_n+1 – u_n = [3ⁿ⁺¹ – (n + 1)] – (3ⁿ – n)

= (3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ) – 1

= 3ⁿ(3 – 1) – 1

= 2.3ⁿ – 1

Vì n ≥ 1 nên 2.3ⁿ ≥ 6 suy ra: 2.3ⁿ – 1 ≥ 5 > 0

Suy ra: uⁿ⁺¹ – uⁿ > 0 hay uⁿ⁺¹ > uⁿ

Vậu uⁿ là dãy số tăng.

n(Ω) = 9! = 362880

Gọi A là biến cố “ Xếp 5 bạn nữ ngồi cạnh nhau”.

Ta có: n(A) = 5.5!.4! = 14400

Vậy xác suất cần tìm là P(A) = \[\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{14400}}{{362880}} = \frac{5}{{126}}\].

Gọi điểm I thỏa mãn:

\(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(2\overrightarrow {IE} + 4\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 \)(với E, K lần lượt là trung điểm của AC và BC)

⇔ \(6\overrightarrow {IK} = - 2\overrightarrow {KE} \)

⇔ \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {EK} \)

Gọi H là điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow {HA} + 2\overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {HB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Theo đề ra: \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\)

⇔ \(\left| {6\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} + 2\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right)} \right|\)

⇔ 6MI \( = \left| {\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} } \right|\)

⇔ 6MI = 3CH

⇔ MI = \(\frac{1}{2}CH\)

Vậy M thuộc đường tròn tâm I, bán kính bằng \(\frac{1}{2}CH\).

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn vào ΔABC vuông tại A, ta có:

\(\widehat B\) = 72°; AC = 2,3 km

tan \(\widehat B = \frac{{AC}}{{AB}}\)⇒ AB = ACtan\(\widehat B\)= 2,3 . tan72° ≈ 0,7 (km)

Vậy độ dài đoạn đường thẳng từ Văn Miếu đến Nhà Quốc hội khoảng 0,7 km.

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số cần tìm là \(\overline {abcde} \)(a ≠ 0)

Vì \(\overline {abcde} \) chia hết cho 5 nên e = 0 hoặc e = 5

Nếu e = 5 thì:

+ Còn 4 vị trí để xếp 2 chữ số 2,3

Coi chữ số 2,3 là 1 nhóm thì có 3 cách xếp

Hoán vị 2 chữ số trong nhóm có 2! cách

2 chữ số còn lại có \(A_5^2\) cách

Vậy có: 3.2!.\(A_5^3\) cách

Tương tự: nếu e = 0 thì có 3.2!.\(A_5^3\) cách

Vậy có: 3.2!.\(A_5^3\) + 3.2!.\(A_5^3\) = 720 (số).

–125 + 2(5 – x) = –5

⇔ 2(5 – x) = –5 – (–125) = –5 + 125 = 120

⇔ 5 – x = 120 : 2

⇔ 5 –x = 60

⇔ x = 5 – 60

⇔ x = –55

Vậy x = –55.

a. Hàm số là hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến. 

– Để hàm số trên là hàm số bậc nhất 

⇒ 2m – 3 ≠ 0

⇒ m ≠ \(\frac{3}{2}\)

– Để hàm số trên là hàm số đồng biến

⇒ 2m – 3 > 0

⇒ m > \(\frac{3}{2}\)

Để hàm số trên là hàm số nghịch biến

⇒ 2m – 3 < 0

⇒ m < \(\frac{3}{2}\) 

b. Đồ thị của (d) đi qua điểm (–2; 3)

Vì đồ thị của (d) đi qua điểm (–2; 3) ⇒ x = –2, y = 3

⇒ 3 = (2m – 3). (–2) –1

⇒ m = \(\frac{1}{2}\)

c. Đồ thị của (d) là một đường thẳng song song với đường thẳng 3x – y =1

Vì đồ thị của (d) là một đường thẳng song song với đường thẳng 3x – y =1

⇒ 2m – 3 = 3

⇒ m = 3

d. Đồ thị của (d) đồng quy với 2 đường thẳng : y = 2x – 4 và y = x + 1

Gọi I là giao điểm 2 đường thẳng : y = 2x – 4 và y = x + 1

Vì 2 đường thẳng : y = 2x – 4 và y = x + 1 cắt nhau nên ta có phương trình tọa độ giao điểm:

2x – 4 = x + 1

⇒ x = 5

⇒ y = 6

⇒ I (5 ; 6)

Vì đồ thị của (d) đồng quy với 2 đường thẳng : y = 2x – 4 và y = x + 1

Suy ra: I (5; 6) thuộc (d)

Thay vào x = 5, y = 6 vào (d), ta được:

6 = (2m – 3). 5 – 1 

⇒ m = \(\frac{{11}}{5}\) 

Vậy m = \(\frac{{11}}{5}\).

 Phân số chỉ tấm vải còn lại sau lần thứ nhất là:

\(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) (tấm vải)

Phân số chỉ số vải lần thứ hai bán là:

\(\frac{4}{5}.\frac{1}{3} = \frac{4}{{15}}\) (tấm vải)

Phân số chỉ số vải bán trong hai lần là:

\(\frac{1}{5} + \frac{4}{{15}} = \frac{7}{{15}}\) (tấm vải)

Phân số chỉ số vải còn lại sau hai lần bán là:

\(1 - \frac{7}{{15}} = \frac{8}{{15}}\)(tấm vải)

Tấm vải dài số mét là :

32 : 8 . 15 = 60 (m) 

30 phút = \(\frac{1}{2}\)giờ

v₂ = 10m/s = 36km/h

Sau \(\frac{1}{2}\)giờ xe thứ 1 đi đc là : 20 . \(\frac{1}{2}\) = 10 (km)

Sau \(\frac{1}{2}\)giờ xe thứ 2 đi đc là : 36 . \(\frac{1}{2}\) = 18 (km)

Sau \(\frac{1}{2}\)giờ khoảng cách giữa 2 xe là : 18 – 10 = 8 (km).

Gọi a,b,c (triệu đồng) lần lượt là số tiền lãi của 3 đơn vị (0 < a, b, c < 450).

Tổng số tiền lãi là 450 triệu đồng nên a + b + c = 450

Vì số tiền lãi tỉ lệ thuận với số vốn đã góp nên ta có:

\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{{a + b + c}}{{3 + 5 + 7}} = \frac{{450}}{{15}} = 30\)

Suy ra: a = 30.3 = 90

b = 30.5 = 150

c = 30.7 = 210

Vậy số tiền lãi được chia cho các đơn vị theo thứ tự là 90 triệu; 150 triệu và 210 triệu.

Ta có: \(\frac{{3x - 2y}}{4} = \frac{{2z - 4x}}{3} = \frac{{4y - 3z}}{2}\)

Suy ra: \(\frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{8y - 6z}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{12x - 8y}}{{16}} = \frac{{6z - 12x}}{9} = \frac{{8y - 6z}}{4} = \frac{{12x - 8y + 6z - 12x + 8y - 6z}}{{16 + 9 + 4}} = \frac{0}{{29}} = 0\)

Suy ra: 12x = 8y hay \[\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3}\left( 1 \right)\]

6z = 12x hay \[\frac{x}{6} = \frac{z}{{12}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{z}{4}\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\] hay x : 2 = y : 3 = z : 4

Vậy x : 2 = y : 3 = z : 4.

Trường hợp \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {AC} \) khi B và C cùng nằm phía với nhau so với A.

Trường hợp  \(\overrightarrow {AB} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {AC} \) khi B và C nằm về 2 phía của A.

Ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2\left( {m - 6} \right)}}{{2m}} = \frac{{6 - m}}{m}\)

Nếu m > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 6 – m)

Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2)

⇔ 2m ≤ 6 − m

⇔ 3m ≤ 6

⇔ m ≤ 2

Do đó 0 < m ≤ 2

Nếu m = 0 thì hàm số là y = −12x + 2 nghịch biến trên ℝ nên cũng nghịch biến trên (− ∞; 2).

Nếu m < 0 thì hàm số nghịch biến trên (6 – m ; + ∞) nên không thể nghịch biến trên (− ∞; 2).

Vậy 0 ≤ m ≤ 2 nên có 3 giá trị nguyên của m.

Ta có: x³ – 3x² – m = 0

⇔ m = x³ – 3x² = f(x)

f’(x) = 3x² – 6x = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

\(\left[ \begin{array}{l}m < - 4\\m > 0\end{array} \right.\) thì phương trình có nghiệm duy nhất

\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 0\end{array} \right.\) thì phương trình có 2 nghiệm

– 4 < m < 0 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Vì tanα = 4 nên cosα ≠ 0

Chia cả tử và mẫu của P cho cosα ta được:

P = \[\frac{{3\sin \alpha - 5\cos \alpha }}{{4\cos \alpha + \sin \alpha }} = \frac{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 5\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{4\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{3\tan \alpha - 5}}{{4 + \tan \alpha }}\]

Thay tanα = 4 vào ta được: P = \(\frac{{3.4 - 5}}{{4 + 4}} = \frac{7}{8}\).

cos \(\widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\)

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.\cos \widehat {ABC} = a.2a.\frac{1}{2} = {a^2}\).

Gọi số cần tìm là x

Ta có: 3,73 < x < 31,72

Suy ra: x ∈ {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}

Vậy có 7 số tự nhiên thỏa mãn.

Cho 3 bạn nữ là 1 nhóm nữ, xếp 3 bạn nữ có 3! cách

Sắp xếp nhóm nữ và 2 bạn nam vào 3 vị trí có 3! cách

Như vậy có tất cả 3!.3! = 36 cách.

Hiệu số học sinh nam giữa hai cách xếp là:

7 – 6 = 1 (học sinh nam)

Số tổ học sinh là:

20 : 1 = 20 (tổ)

Số học sinh nam là:

6 . 20 + 20 = 140 (học sinh nam)

Đáp số: 140 học sinh nam.

\(M = \frac{{2018}}{{2019}} + \frac{{2019}}{{2020}} + \frac{{2020}}{{2021}} + \frac{{2021}}{{2018}}\)

\(M = 1 - \frac{1}{{2019}} + 1 - \frac{1}{{2020}} + 1 - \frac{1}{{2021}} + 1 + \frac{3}{{2018}}\)

Do \(\frac{1}{{2019}} < \frac{1}{{2018}};\frac{1}{{2020}} < \frac{1}{{2018}};\frac{1}{{2021}} < \frac{1}{{2018}}\)

Suy ra: \(\frac{1}{{2019}} + \frac{1}{{2020}} + \frac{1}{{2021}} < \frac{3}{{2018}}\)

Suy ra: M > 3 (1)

Lại có: \(N = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{62}} + \frac{1}{{63}}\)

Xét \(\frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{15}} < \frac{1}{8}.8 = 1\)

\(\frac{1}{{16}} + \frac{1}{{17}} + \frac{1}{{18}} + ... + \frac{1}{{31}} < \frac{1}{{16}}.16 = 1\)

\(\frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + \frac{1}{{34}} + ... + \frac{1}{{63}} < \frac{1}{{32}}.32 = 1\)

Suy ra: N < 1 + 1 + 1 = 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M > N.

Cửa hàng mua 100 cái áo hết số tiền là:

200 000 . 100 = 20 000 000 (đồng)

60 cái áo đầu tiên mỗi cái được bán với giá:

200 000 . (100% + 25%) = 250 000 (đồng)

60 cái áo đầu tiên cửa hàng bán được số tiền là:

250 000 . 60 = 15 000 000 (đồng)

40 cái áo còn lại mỗi cái được bán với giá:

200 000.(100% − 5%) = 190 000 (đồng)

40 cái áo còn lại cửa hàng bán được số tiền là:

190 000 . 40 = 7 600 000 (đồng)

Sau khi bán hết 100 cái áo cửa hàng thu được số tiền là:

15 000 000 + 7600000 = 22 600 000 (đồng)

Cửa hàng đã lời số tiền là:

TH1: Trong hai bạn chỉ có đúng một bạn tên Linh

+ Chọn 1 trong 5 bạn Linh để kiểm tra bài cũ có 5 cách