- Đề số 1
- Đề số 2
- Đề số 3
- Đề số 4
- Đề số 5
- Đề số 6
- Đề số 7
- Đề số 8
- Đề số 9
- Đề số 10
- Đề số 11
- Đề số 12
- Đề số 13
- Đề số 14
- Đề số 15
- Đề số 16
- Đề số 17
- Đề số 18
- Đề số 19
- Đề số 20
- Đề số 21
- Đề số 22
- Đề số 23
- Đề số 24
- Đề số 25
- Đề số 26
- Đề số 27
- Đề số 28
- Đề số 29
- Đề số 30
- Đề số 31
- Đề số 32
- Đề số 33
- Đề số 34
- Đề số 35
- Đề số 36
- Đề số 37
- Đề số 38
- Đề số 39
- Đề số 40
- Đề số 41
- Đề số 42
- Đề số 43
- Đề số 44
- Đề số 45
- Đề số 46
- Đề số 47
- Đề số 48
- Đề số 49
- Đề số 50
- Đề số 51
- Đề số 52
- Đề số 53
- Đề số 54
- Đề số 55
- Đề số 56
- Đề số 57
- Đề số 58
- Đề số 59
- Đề số 60
- Đề số 61
- Đề số 62
- Đề số 63
- Đề số 64
- Đề số 65
- Đề số 66
- Đề số 67
- Đề số 68
- Đề số 69
- Đề số 70
- Đề số 71
- Đề số 72
- Đề số 73
- Đề số 74
- Đề số 75
- Đề số 76
- Đề số 77
- Đề số 78
- Đề số 79
- Đề số 80
- Đề số 81
- Đề số 82
- Đề số 83
- Đề số 84
- Đề số 85
- Đề số 86
- Đề số 87
- Đề số 88
- Đề số 89
- Đề số 90
- Đề số 91
- Đề số 92
- Đề số 93
- Đề số 94
- Đề số 95
- Đề số 96
- Đề số 97
Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 64)
-
10434 lượt thi
-
133 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Tính tích phân\(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} \).
\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} dx} \]
\[ = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} dx} \]
\[ = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right|dx} \]
Đặt \[u = \frac{\pi }{4} - \frac{x}{2} \Rightarrow du = \frac{{ - 1}}{2}dx\]
Ta được:
I = \(\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right|dx} = - = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos u} \right|du} \)
\( = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos u} \right|du} \)
\( = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos udu} \)
\( = 2\sqrt 2 \sin u\left| {_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\scriptstyle\frac{\pi }{2}\atop\scriptstyle}} \right.\)
\( = 4\sqrt 2 \).
Câu 2:
Tìm số thực a để \(\sqrt {9 - 3a} \)có nghĩa.
Để\(\sqrt {9 - 3a} \)có nghĩa thì 9 – 3a ≥ 0 hay a ≤ 3.
Câu 3:
Cho tam giác đều cạnh a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Dựng ABA'C là hình bình hành, M là trung điểm của BC, nên M cũng là trung điểm của AA')
Có AM là đường cao trong tam giác đều ABC
\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\frac{1}{2}BC} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a\)
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Câu 4:
Hai đường thẳng không có điểm chung nào được gọi là hai đường thẳng song song.
Câu 5:
Tìm tất cả giá trị của b để hàm số y = x2 + 2(b + 6)x + 4 đồng biến trong khoảng (6; +∞).
Hàm số có hệ số a = 1 > 0, trục đối xứng x = \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2\left( {b + 6} \right)}}{2} = - b - 6\)
Hàm số đồng biến trên (6; +∞) thì (6; +∞) ⸦ (–b – 6; +∞).
Hay –b – 6 ≤ 6
Suy ra: b ≥ –12.
Câu 6:
Tính nguyên hàm \(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} \).
A = \(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \int {\frac{{\cos xdx}}{{{{\cos }^2}x}} = \int {\frac{{\cos xdx}}{{1 - {{\sin }^2}x}}} } \)
Đặt sinx = t (–1 ≤ t ≤ 1)
Suy ra: cosxdx = dt
A = \(\int {\frac{{dt}}{{1 - {t^2}}} = } \int {\frac{{dt}}{{\left( {1 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - t}} + \frac{1}{{1 + t}}} \right)dt = \frac{1}{2}\left( { - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right|} \right)} } \)
Vậy \(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \frac{1}{2}\left[ { - \ln \left( {1 - \sin x} \right) + \ln \left( {1 + \sin x} \right)} \right]\).
Câu 7:
Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 8) = 70x2.
(x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 8) = 70x2
⇔ [(x – 1)(x – 8)][(x – 2)(x – 4)] = 70x2
⇔ (x2 – 9x + 8)(x2 – 6x + 8) = 70x2
⇔ \(\frac{{{x^2} - 9x + 8}}{x}.\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{x} = 70\)
⇔ \(\left( {x - 9 + \frac{8}{x}} \right)\left( {x - 6 + \frac{8}{x}} \right) = 70\)
Đặt \(x + \frac{8}{x} = t\)
Ta có: (t – 9)(t – 6) – 70 = 0
⇔ t2 – 15t – 16 = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 16\\t = - 1\end{array} \right.\)
Với t = 16 ta có: \(x + \frac{8}{x} = 16\)
⇔ x2 – 16x + 8 = 0
⇔ (x – 8)2 = 56
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 8 + \sqrt {56} \\x = 8 - \sqrt {56} \end{array} \right.\)
Với t = –1 ta có: \(x + \frac{8}{x} = - 1\)
⇔ x2 + x + 8 = 0
⇔ \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} = 0\)
Ta thấy: \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0,\forall x\) nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x = 8 + \sqrt {56} \) hoặc \(x = 8 - \sqrt {56} \).
Câu 8:
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} \)
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CD} \)
\( = \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
\( = \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} \)
\( = \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow 0 \)
\( = \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {CB} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} \)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CE} \)
\( = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CD} \)
\( = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
\( = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {DB} \)
\( = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} \).
Câu 9:
Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′ có chung đỉnh A. Khẳng định nào đúng?
Đáp án đúng là: B
Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có:
\[\overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {D'D} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD'} } \right)\]
\[ = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow 0 \].
Câu 10:
Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số đồng biến và nghịch biến trên khoảng nào?
Quan sát đồ thị:
+ Trong khoảng (−∞; 2) x tăng thì y giảm (Đồ thị đi xuống theo chiều từ trái sang)
⇒ Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2)
+ Trong khoảng (2; +∞), x tăng thì y tăng (Đồ thị đi lên theo chiều từ trái sang)
⇒ Hàm số đồng biến trên (2; +∞).
Câu 11:
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là 3 điểm lấy trên AD, CD, SO. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
Trong (ABCD) gọi
J = BD ∩ MN, K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC
Trong (SBC) gọi: P = QH ∩ SC
Trong (SBD) gọi: Q = IJ ∩ SB
Trong (SBC) gọi: R = KQ ∩ SA
Suy ra, thiết diện là ngũ giác MNPQR.
Câu 12:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AB = 6a; BC = 10a; với a là số thực dương.
1) Tính BH theo a.
2) Tính cos \(\widehat {ABC}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
1) AB2 = BH.BC
⇒ (6a)2 = BH.10a
BH = 36a2 : 10a = 3,6a
2)\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{3,6a}}{{6a}} = \frac{3}{5}\).
Câu 13:
Cho hai số dương x;y thỏa mãn điều kiện x+y ≤ 1. Chứng minh: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\).
Ta có: \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow 4x \le \frac{1}{y} \Leftrightarrow 4{x^2} \le \frac{x}{y} \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{y} \le - 4{x^2}\).
Suy ra: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le {x^2} - \frac{3}{{4x}} - 4{x^2} = - 3\left( {{x^2} + \frac{1}{{4x}}} \right) \le \frac{{ - 9}}{4}\).
Vì \({x^2} + \frac{1}{{4x}} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) - \frac{1}{4} \ge 0 + 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).
Câu 14:
Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = {1; 2; ...; 11}. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
Chọn 3 số bất kì có \(C_{11}^3 = 165\)cách.
Các tổng 3 số bằng 12: (1; 2; 9), (1; 3; 8), (1; 4; 7), (1; 5; 6), (2; 3; 7), (2; 4; 6), (3; 4; 5).
⇒ Số cách lấy ra bộ 3 tổng là 12 là 7 cách.
Xác suất cần tìm là: P = \(\frac{7}{{165}}\).
Câu 15:
Tính giá trị biểu thức sau : B = cos0° + cos20° + cos 40° + ... + cos160° + cos180°.
Ta có: B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°) +...+ cos80° + cos100°)
= (cos0° – cos0°) + (cos20° – cos 20°) + ... + (cos80° – cos80°)
= 0.
Câu 16:
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Có 8! cách xếp 8 người.
Có 2! cách xếp hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Khi đó có 2!.7! cách xếp 8 người sao cho hai giáo viên đứng cạnh nhau.
Mà hai giáo viên không đứng cạnh nhau nên số cách xếp là cách xếp 8! – 2!.7! = 30240.
Câu 17:
Mỗi số chẵn hơn kém nhau 2 đơn vị.
Số chẵn cuối cùng có 5 chữ số là: 99998.
Vậy số giá trị của số chẵn có 5 chữ số là:
(99998 – 10000) : 2 + 1= 45000
Vậy có 45000 số chẵn có 5 chữ số.Câu 18:
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số là lẻ?
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt thỏa mãn yêu cầu là \(\overline {abc} \)
Lập được số các số có 3 chữ số phân biệt là: 9.9.8 = 648 (số)
Tổng các chữ số là số lẻ có các trường hợp sau:
TH1: Số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt đều là số lẻ
Chọn a, b, c lần lượt có số cách là 5,4,3 cách
⇒ có 5.4.3 = 60 cách
TH2: Số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt trong đó có 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
Nếu a lẻ thì a có 5 cách chọn
b lần lượt có 5,4 cách chọn
Nếu chữ số lẻ ở hàng chục và hàng đơn vị thì
a có 4 cách chọn
Chữ số chẵn còn lại có 4 cách chọn
Chữ số lẻ có 5 cách chọn
⇒ có 5.5.4 + 2.4.4.5 = 260 cách
Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt tổng các chữ số là số lẻ là:
60 + 260 = 320 số.
Số các số có 3 chữ số phân biệt tổng các chữ số là số chẵn là:
648 – 320 = 328 (số).
Câu 19:
Đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 của trường THPT X có 7 học sinh trong đó có bạn Minh Anh. Lực học của các học sinh là như nhau. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi thi. Tìm xác suất để Minh Anh được chọn đi thi.
Không gian mẫu n(Ω) = \(C_7^4\) = 35.
Gọi biến cố A: “Minh Anh được chọn trong 4 học sinh được chọn đi thi.”
+ Chọn Minh Anh đi thi có 1 cách.
+ Chọn 3 bạn trong 6 bạn còn lại có \(C_6^3\) cách.
Suy ra n(A) = 1 . \(C_6^3\) = 20
Vậy xác suất để Minh Anh được chọn đi thi là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\).
Câu 20:
Một tam giác có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính diện tích của tam giác ban đầu?
Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a∈ ℕ* , a > 3, dm)
Diện tích tam giác ban đầu là \(\frac{1}{2}ah\) (dm2)
Vì chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\)cạnh đáy nên ta có phương trình: \(h = \frac{3}{4}a\)
Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 (dm2)
Nên ta có phương trình \(\frac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \frac{1}{2}ah = 12\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}h = \frac{3}{4}a\\\frac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \frac{1}{2}ah = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.\)
Vậy chiều cao của tam giác bằng 33 dm, cạnh đáy tam giác bằng 44 dm
Suy ra diện tích tam giác ban đầu là: \(\frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}.44.33 = 726\left( {d{m^2}} \right)\).
Câu 21:
Cho phương trình (2cosx – 1)(2cos2x + 2cosx – m) = 3 – 4sin2x. Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm lớn hơn –10 để phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).
Ta có: 3 – 4sin2x
= 3 – 4(1 – cos2x) = 4cos2x – 1
= (2cosx + 1)(2cosx – 1)
Suy ra: (2cosx – 1)(2cos2x + 2cosx – m) = (2cosx + 1)(2cosx – 1)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2\cos x - 1 = 0\\2\cos 2x + 2\cos x - m = 2\cos x + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\2\cos 2x + 2\cos x - m = 2\cos x + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\left( 1 \right)\\\cos 2x = \frac{{m + 1}}{2}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Xét (1): cosx = \(\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)
Để (1) có 2 nghiệm thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3}\)
TH1: (2) vô nghiệm:
Do \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
⇔ \[\left| {\frac{{m + 1}}{2}} \right| > 1 \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 > 2\\m + 1 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right.\]
TH2: (2) có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3}\)
Thay \(x = \pm \frac{\pi }{3}\) ta có: \(\cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m = - 2\)
Từ hai trường hợp ta có: \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)
Và m là số nguyên, m > –10
⇒ m ∈ {−9;−8;−7;−6;−5;−4;−2}
Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn.
Câu 22:
Tìm số thứ tư trong dãy số có 5 số chẵn liên tiếp biết tổng của năm số là 2020.
Trung bình cộng của 5 số đó là:
2020 : 5 = 404
Vì 5 là số lẻ nên số ở giữa chính là trung bình cộng của 5 số đó nên là 404.
Vậy 5 số chẵn liên tiếp thỏa mãn đề bài là: 400; 402; 404; 406; 408.
Suy ra số hạng thứ tư là 406.Câu 23:
Tìm x biết: \(1 - x + \sqrt x = 2\sqrt x + 1\).
Điều kiện: x ≥ 0
\(1 - x + \sqrt x = 2\sqrt x + 1\)
⇔ \( - x = \sqrt x \)
Ta thấy: Vì x ≥ 0 nên \(\sqrt x \ge 0\)
Để dấu ‘=” xảy ra thì x = 0
Vậy x = 0.
Câu 24:
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A (–2; –3), B (1; 1), C (3: –3). Tìm điểm M trên trục Oy sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất.
Dễ thấy A và B nằm khác phía với trục Oy.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Oy. Khi đó A′(2;−3)
ở đó M′là giao điểm của A’B với Oy.
Gọi A’B: y = ax + b
A′(2;−3) ∈ A′B ⇔ −3 = 2a + b (1)
B(1;1) ∈ A′B ⇔ 1 = a + b (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = –4; b = 5 hay A′B: y = –4x + 5
Cho x = 0 thì y = 5
Suy ra M′ (0;5)
Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\)max = A′B khi M trùng M′(0;5)
Câu 25:
Tổng hai số bằng 37,72. Nếu số thứ nhất gấp lên 6 lần và giữ nguyên số thứ hai thì tổng hai số là 80,9. Tìm hai số ban đầu.
Tổng của hai số đã cho là 37,72.
Số thứ nhất gấp lên 6 lần và giữ nguyên số thứ hai thì tổng hai số là 80,9 nên 5 lần số thứ nhất là: 80,9 − 37,72 = 43,18
Số thứ nhất là: 43,18 : 5 = 8,636
Số thứ hai là: 37,72 − 8,636 = 29,084.
Câu 26:
Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.
Xếp 10 học sinh vào bàn tròn có 9! Cách xếp
Sắp xếp 6 nam vào bàn tròn có 5! Cách xếp
Giữa các nam này có 6 chỗ trống, xếp 4 nữ vào có \(A_6^4\) cách
Theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5! . \(A_6^4 = 43200\)(cách)
Khi đó: \(P = \frac{{43200}}{{9!}} = \frac{5}{{42}}\).
Câu 27:
Viết biểu thức (x − 2y)(x2 + 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu hai lập phương.
(x − 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
= x3 – (2y)3
= x3 – 8y3.
Câu 28:
Hỏi 962 chia 58 dư bao nhiêu, thương lấy đến 2 chữ số thập phân?
Vậy 962 : 58 = 16,58 (dư 0,36).
Câu 29:
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 12a, AD = 5a. Tính \(\left| {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} } \right|\).
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} \)
Suy ra: \(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OD} \)
Mà \(\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
Ta có ABCD là hình chữ nhật có:
BD2 = AB2 + AD2 = (12a)2 + (5a)2 = 169a2
Suy ra: BD = 13a
OD = \(\frac{{13}}{2}a\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AO} } \right| = \frac{{13}}{2}a\).
Câu 30:
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, trọng tâm G. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CG} \)
Gọi M là trung điểm BC
\(\tan \widehat {GCM} = \frac{{GM}}{{MC}} = \frac{{\frac{1}{3}AM}}{{\frac{1}{2}BC}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra: \(\widehat {GCM} = 30^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {GCB'} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)
Lại có: GC = \(\sqrt {G{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + \frac{1}{4}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CG} = BC.CG.\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CG} }} \right) = BC.CG.\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {CG} }} \right) = BC.CG.\cos \widehat {GCB'}\)
\( = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos 150^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Câu 31:
Gọi JK ∩ CD = E do IK ⊂ (IJK), CD ⊂ (ACD)
⇒ E ∈ (IJK) ∩ (ACD)
và có I ∈ (IJK) ∩ (ACD)
⇒ IE = (IJK) ∩ (ACD)
+) Gọi IE ∩ AD = F do IE⊂(IJK),AD⊂(ABD)
⇒ F ∈ (IJK) ∩ (ABD)
Và ta có K ∈ (IJK) ∩ (ABD)
⇒ FK = (IJK) ∩ (ABD).
Câu 32:
Tìm 2 phân số có tử bằng 9 biết rằng giá trị của mỗi phân số đó lớn hơn \(\frac{{ - 11}}{{13}}\) và nhỏ hơn \(\frac{{ - 11}}{{15}}\).
Gọi phân số cần tìm là \(\frac{9}{a}\left( {a \ne 0} \right)\)
Ta có: \(\frac{{ - 11}}{{13}} < \frac{9}{a} < \frac{{ - 11}}{{15}}\)
⇒ \(\frac{{99}}{{ - 117}} < \frac{{99}}{{11a}} < \frac{{99}}{{ - 135}}\)
⇒ –117 > 11a > –135
Suy ra: a = –11 hoặc a = –12
Vậy hai phân số cần tìm là: \(\frac{9}{{ - 11}};\frac{9}{{ - 12}}\).
Câu 33:
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3.
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;a \ne 0} \right)\)
+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0
Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)
Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)
Suy ra có \(A_5^3.A_7^2\) số
+) Trường hợp a = 0
Chọn a có 1 cách
Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)
Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)
Suy ra có \(A_7^2.C_6^1\)(cách)
Vậy có: \(A_5^3.A_7^2 - A_7^2.C_6^1 = 2376\)số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 34:
Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu các học sinh ở cùng một khối thì xếp gần nhau.
Số cách sắp xếp học sinh ba khối 10, 11 và 12 là: 3!;
Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 12 là: 4!;
Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 11 là: 5!;
Số cách sắp xếp các học sinh giỏi khối 10 là: 6!;
Vậy số cách sắp xếp 15 học sinh thành hàng ngang để đón đại biểu là: 3!.4!.5!.6!
Câu 35:
Tam giác ABC có cạnh đáy bằng gấp 3 lần chiều cao. Biết cạnh đáy hơn chiều cao 20cm. Tính diện tích của tam giác (đơn vị cm vuông).
Chiều cao tam giác là:
20 : (3 – 1) = 10 (cm)
Cạnh đáy tam giác là:
20 + 10 = 30 (cm)
Diện tích tam giác là:
30 . 10 : 2 = 150 (cm2).
Câu 36:
Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên \(\frac{3}{{2x - 1}}\).
Để phân thức sau có giá trị nguyên thì 3 chia hết cho 2x – 1
Suy ra: 2x – 1 thuộc Ư(3)
⇒ 2x – 1 = {±1; ±3}
⇒ x ∈ {–1; 0; 1; 2}.
Câu 37:
Khi \(\sin A = \frac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}}\) thì tam giác ABC là tam giác gì?
\(\sin A = \frac{{\cos B + \cos C}}{{\sin B + \sin C}} = \frac{{2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}}}{{2\sin \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}}} = \frac{{\cos \frac{{B + C}}{2}}}{{\sin \frac{{B + C}}{2}}} = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}} \right)}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\)
Suy ra: \(\sin A = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\)
⇒ \(2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}}\)
⇒ \(2{\cos ^2}\frac{A}{2} = 1 \Rightarrow \cos A = 0 \Rightarrow A = 90^\circ \)
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Câu 38:
Chứng minh nếu m, n là số lẻ thì m2 + n2 chẵn.
Giả sử m, n có dạng 2k + 1, 2v + 1
Ta có: m2 + n2 = (2k + 1)2 + (2v + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4v2 + 4v + 1
= 4k2 + 4k + 4v2 + 4v + 2
Thấy 4k2 + 4k + 4v2 + 4v + 2 chia hết cho 2
Suy ra: 4k2 + 4k + 4v2 + 4v + 2 là số chẵn
Vậy m2 + n2 chẵn khi m, n là số lẻ.
Câu 39:
Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ (M thuộc OP), IN // OP (N thuộc OQ). Chứng minh rằng: Tam giác IMN cân tại I.
a) Xét ΔOPQ có: I là trung điểm của PQ và IN // OP
Do đó N là trung điểm của OQ
Xét ΔOPQ có: I là trung điểm của PQ và IM // OQ
Do đó M là trung điểm của OP
Vì tam giác OPQ cân tại O nên \(\widehat P = \widehat Q\) và OP = OQ
Suy ra MP = NQ = OM = ON
Xét ΔMPI và ΔNQI có
MP = NQ (chứng minh trên);
\(\widehat P = \widehat Q\) (chứng minh trên);
PI = QI (giả thiết)
Do đó: ΔMPI = ΔNQI (c.g.c)
Suy ra: IM = IN (hai cạnh tương ứng)
Hay ΔIMN cân tại I.
Câu 40:
Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD), biết rằng \[\widehat A = 3\widehat D,\widehat B - \widehat C = 30^\circ \].
Ta có: hình thang ABCD có AB // CD ⇒ \[\widehat A + \widehat D = 180^\circ \](hai góc trong cùng phía)
Ta có: \[\widehat A = 3\widehat D\]
Suy ra: \[3\widehat D + \widehat D = 180^\circ \Rightarrow \widehat D = 180^\circ :4 = 45^\circ \]
Suy ra:\[\widehat A = 3\widehat D = 3.45^\circ = 135^\circ \]
Tương tự: \[\widehat B + \widehat C = 180^\circ \](hai góc trong cùng phía)
Mà \[\widehat B - \widehat C = 30^\circ \]
⇒ \[2\widehat B = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \Rightarrow \widehat B = 105^\circ \]
\[\widehat C = \widehat B - 30^\circ = 105^\circ - 30^\circ = 75^\circ \].
Câu 41:
Một trang trại nuôi ong mật mua 75 chiếc can loại 10 lít để đựng mật ong chuẩn bị cho vụ thu hoạch vào vụ thu hoạc số mật ong tăng gấp đôi so với dự kiến vậy để đựng hết số mật ong thu hoạch được trại nuôi ong cần mấy can 10 lít.
Số lít để đựng số mật ong cho vụ thu hoạch là:
75 . 10 = 750 (lít)
Vào vụ thu hoạch số mật ong là:
750 . 2 = 1500 (lít)
Cần số can 10l đựng số mật ong là:
1500 : 10 = 150 (can)
Đáp số: 150 can.
Câu 42:
Cho hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}\). M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của y. Tính M.m?
Đặt t = sinx (–1 ≤ t ≤ 1)
Ta có bài toán trở thành: tìm GTLN, GTNN của hàm số g(t) = \(\frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}\) trên đoạn [–1;1]
Ta có đạo hàm: g’(t) = \(\frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}}\)
g’(t) = \(\frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\t = - 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\)
Ta có: g(–1) = 0; g(0) = 1; g(1) = \(\frac{2}{3}\)
\(\mathop {\max g\left( t \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = g\left( 0 \right) = 1;\mathop {\min g\left( t \right)}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} = g\left( { - 1} \right) = 0\)
Hay M = 1; m = 0
Vậy M.m = 1.0 = 0.
Câu 43:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\)trên khoảng (0; +∞).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
\(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3x}}{2} + \frac{{3x}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3x}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\)(do x > 0)
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{3x}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)
Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} = 3\sqrt[3]{9}\] khi \(x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\).
Câu 44:
Giải phương trình: (x + 2)(x + 3) – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 6\).
(x + 2)(x + 3) – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 6\)
⇔ x2 + 5x + 6 – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 6\)
⇔ x2 + 5x – \(2\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = 0\) (*)
Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 3} = t\)(t ≥ 0)
Suy ra: t2 = x2 + 5x + 3
x2 + 5x = t2 – 3
Khi đó (*) trở thành: t2 – 2t – 3 = 0
⇔ t2 – 3t + t – 3 = 0
⇔ t(t – 3) + (t – 3) = 0
⇔ (t – 3)(t + 1) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 1\left( L \right)\end{array} \right.\)
Với t = 3 thì x2 + 5x + 3 = 9
⇔ x2 + 5x – 6 = 0
⇔ (x + 6)(x – 1) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy x = –6 hoặc x = 1.
Câu 45:
So sánh 2200.2100 và 3100.3100.
Ta có: 2200.2100 = 2200 + 100 = 2300 = (23)100 = 8100
3100.3100 = 3100 + 100 = 3200 = (32)100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 nên 2200.2100 < 3100.3100.
Câu 46:
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Tính diện tích tứ giác EFGH, biết AC = 8cm và BD = 6cm.
Ta có EF, HG lần lượt là các đường trung bình của ΔABC và ΔADC nên EF // HG // AC
EF // HG và EF = HG. Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành.
Tương tự EH // BD mà BD ⊥ AC (gt)
⇒ EF ⊥ EH
Do đó EFGH là hình chữ nhật và EF = \(\frac{1}{2}AC = 4cm,EH = \frac{1}{2}BD = 3cm\).
Vậy SEFGH = EF.EH = 12 (cm2).
Câu 47:
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF.
a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau.
b) Chứng minh MN vuông góc AF.
a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD
Xét DADF và DBAE có
AB = AD (chứng minh trên)
\(\widehat {BAE} = \widehat {ADF} = 90^\circ \)
AE = DF (giả thiết)
Suy ra ∆ADF = ∆BAE (c.g.c).
b) Vì ∆ADF = ∆BAE nên \[\widehat {FAD} = \widehat {EBA};\widehat {AFD} = \widehat {BEA}\] (các cặp góc tương ứng)
Gọi G là giao điểm của AF và BE
Xét tam giác AGE có
\(\widehat {AGE} + \left( {\widehat {AEG} + \widehat {GAE}} \right) = 180^\circ \)(tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra \(\widehat {AGE} + \left( {\widehat {AFD} + \widehat {FAD}} \right) = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {AGE} + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AGE} = 90^\circ \)
Do đó BE ⊥ AF
Xét tam giác EBF có M là trung điểm của EF, N là trung điểm của BF
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác
Do đó MN // BE
Mà BE ⊥ AF (chứng minh trên)
Suy ra MN ⊥ AF
Vậy MN ⊥ AF.
Câu 48:
Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 3, đáy nhỏ AB = 1 và AD = BC = \(\sqrt 5 \), gọi I là giao điểm của hai đường chéo hình thang, gọi H là trực tâm của tam giác BDC. Phân tích vectơ \(\overrightarrow {IH} \) theo vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \).
Gọi BH ∩ CD = F
Suy ra: CF = \(\frac{{CD - AB}}{2} = 1 \Rightarrow DF = 2 \Rightarrow \widehat {BDC} = 45^\circ \)
⇒ ΔIDC vuông cân tại I ⇒ CI ⊥ BD ⇒ H ∈ CI
⇒ ΔIBH vuông cân tại I
⇒ \(\overrightarrow {IH} = \overrightarrow {AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AB} } \right)\).
Câu 49:
Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai?
Đáp án đúng: D
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
Suy ra: \[\frac{{\widehat A + \widehat B + 2\widehat C}}{2} = 90^\circ + \frac{{\widehat C}}{2}\]
\(\cos \frac{{A + B + 2C}}{2} = \cos \left( {90^\circ + \frac{C}{2}} \right) = - \sin \frac{C}{2}\).
Câu 50:
Cho hai biểu thức A = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\). Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.
Thay x = 16 thì A = \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{4}{7}\).
Câu 51:
Cho 3sin4x – cos4x = \(\frac{1}{2}.\) Tính A = 2sin4x – cos4x.
Ta có: sin2x + cos2x = 1
⇔ cos2x = 1 – sin2x
Mà 3sin4x – cos4x = \(\frac{1}{2}.\)
⇔ 3sin4x – (1 – sin2x)2 = \(\frac{1}{2}.\)
⇔ 3sin4x – 1 + 2sin2x – sin4x – \(\frac{1}{2}\)= 0
⇔ 2sin4x + 2sin2x – \(\frac{3}{2}\) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \frac{1}{2}\\{\sin ^2}x = \frac{{ - 3}}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)
⇔ sin2x = \(\frac{1}{2}\)
⇔ cos2x = \(\frac{1}{2}\)
A = 2sin4x – cos4x = \(2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\).
Câu 52:
Cho tam giác ABC (AB = AC), trung tuyến BD. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm AE. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng:
a) AD = AI.
b) BE = 2CI.
c) ∆ABD = ∆ACI.
d) BE = 2BD.
a) Tam giác ABC có BD là đường trung tuyến.
Suy ra D là trung điểm AC. Do đó AC = 2AD (1)
Lại có I là trung điểm AB (giả thiết). Suy ra AB = 2AI (2)
Ta có AB = AC (giả thiết) (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra 2AD = 2AI.
Vậy AD = AI.
b) Tam giác ABE có C, I lần lượt là trung điểm của AE, AB.
Suy ra CI là đường trung bình của tam giác ABE.
Vậy BE = 2CI.
c) Xét ∆ABD và ∆ACI có:
AB = AC (giả thiết)
\(\widehat {BAC}\)là góc chung
AD = AI (kết quả câu a)
Suy ra: ∆ABD = ∆ACI (c.g.c)
d) Ta có: BD = CI do ∆ABD = ∆ACI
Mà BE = 2CI (theo b)
Nên BE = 2BD.
Câu 53:
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B đến tia phân giác của Â, M là trung điểm của BC. Tính HM?
Gọi K là giao điểm của BH vs AC. Tam giác ABK có AH vừa là đường cao vừa là phân giác nên cân tại A
⇒ AK = AB = 12 cm
⇒ KC = AC – AK = 18 – 12 = 6 cm
Mặt khác AH cũng là trung tuyến nên H là trung điểm BK, mà M là trung điểm BC
⇒ HM là đường trung bình của tam giác BCK.
⇒ HM = \(\frac{{KC}}{2} = \frac{6}{2} = 3\left( {cm} \right)\).
Câu 54:
Giả sử M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x\).
\(y = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x\)
\(y = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x\left( * \right)\)
Điều kiện để (*) có nghiệm là:
\({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {y^2}\)
⇔ \({y^2} \le 4 + 4\sqrt 3 + 3 + 1 = 8 + 4\sqrt 3 \)
⇔ \[ - \sqrt {8 + 4\sqrt 3 } \le y \le \sqrt {8 + 4\sqrt 3 } \]
⇔ \[ - 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \le y \le 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \]
Giá trị lớn nhất của y là M = \[2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \]
Giá trị nhỏ nhất của y là M = \[ - 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \].
Câu 55:
Có 4 người làm xong một công việc trong 5 ngày. Hỏi muốn làm xong công việc đó trong 4 ngày thì cần bao nhiêu người biết rằng mức làm của mỗi người là như nhau.
Có 1 người làm xong công việc đó trong số ngày là:
5 . 4 = 20 (ngày)
Muốn làm xong công việc đó trong 4 ngày thì cần số người là:
20 : 4 = 5 (người)
Đáp số: 5 người.
Câu 56:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(0;2), N(−2;1) và vectơ \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\). Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng. Tính độ dài M’N’.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'\\{T_{\overrightarrow v }}\left( N \right) = N'\end{array} \right. \Rightarrow MN = M'N' = \sqrt {{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
Câu 58:
x4 + 3x2 – 4 = 0
⇔ x4 + 4x2 – (x2 + 4) = 0
⇔ x2(x2 + 4) – (x2 + 4) = 0
⇔ (x2 + 4)(x2 – 1) = 0
⇔ x2 – 1 = 0 (vì x2 + 4 > 0)
⇔ x2 = 1
⇔ x = ±1.
Vậy x = ±1.Câu 59:
Cho (O, 15 cm) có nghĩa là gì?
Cho (O, 15 cm) có nghĩa là cho đường tròn tâm O, bán kính R = 15cm.
Câu 60:
Cho \(\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}\). Với a, b, c là độ dài cạnh của tam giác. Hỏi tam giác thỏa mãn đẳng thức là tam giác gì?
\(\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}} = \frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}\)
⇔ \[{\left( {\frac{{1 + \cos B}}{{\sin B}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{2a + c}}{{\sqrt {4{a^2} - {c^2}} }}} \right)^2}\]
⇔ \[\frac{{1 + 2\cos B + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]
⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} - 1 = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]
⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}} + 1\]
⇔ \[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{4{a^2} + 4ac + {c^2} + 4{a^2} - {c^2}}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]
⇔\[\frac{{2 + 2\cos B}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{8{a^2} + 4ac}}{{4{a^2} - {c^2}}}\]
⇔\[\frac{{2\left( {1 + \cos B} \right)}}{{\left( {1 + \cos B} \right)\left( {1 - \cos B} \right)}} = \frac{{4a\left( {2a + c} \right)}}{{\left( {2a + c} \right)\left( {2a - c} \right)}}\]
⇔ \[\frac{2}{{1 - \cos B}} = \frac{{4a}}{{2a - c}}\]
⇔ \[\frac{1}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a}}{{2a - c}}\]
⇔ 1 – cosB = 1 – \(\frac{c}{{2a}}\)
⇔ cosB = \(\frac{c}{{2a}}\)
⇔ \[\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{c}{{2a}}\]
⇔ a2 + c2 – b2 = c2
⇔ a2 = b2
⇔ a = b
Vậy tam giác cân.
Câu 61:
Tính tổng: 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2.
Đặt S(2n – 1) = 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2
S(2n) = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 = \(\frac{{4n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
Suy ra: S(2n – 1) + S(2n) = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + (2n)2 + (2n – 1)2
Ta có: 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … n2 = \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
S(2n – 1) + S(2n) = \(\frac{{2n\left( {2n + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)}}{6}\)
S(2n – 1) = \(\frac{{2n\left( {2n + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)}}{6} - \frac{{4n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} = \frac{{n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\)
Vậy 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 = \(\frac{{n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{3}\).
Câu 62:
Tìm x biết: 3x + 17 = 29.
3x + 17 = 29
⇔ 3x = 29 – 17 = 12
⇔ x = 12 : 3
⇔ x = 4.
Vậy x = 4.
Câu 63:
Tìm n biết: 95n – 8 = 81.
95n – 8 = 81
⇔ 95n – 8 = 92
⇔ 5n – 8 = 2
⇔ 5n = 10
⇔ n = 10 : 5
⇔ n = 2.
Vậy n = 2.
Câu 64:
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \).
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} \)
\( = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {DF} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FE} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \)
Lại có: \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DF} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {ED} \)
\( = \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \).
Câu 65:
Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng
\[\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge 9\].
Ta chứng minh đẳng thức: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\](với a, b, c > 0)
Ta có: \[\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = 3 + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right)\]
≥ \[3 + 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} + 2\sqrt {\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} + 2\sqrt {\frac{a}{c}.\frac{c}{a}} \](Bất đẳng thức Cô–si)
= 3 + 2 + 2 + 2 = 9
Áp dụng ta có:
\[\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca}} = \frac{9}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = 9\]
Dấu “=” khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).
Câu 66:
Cho A = {0;1;2;3;4;5}.Từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 2?
Gọi số cần tìm là \(\overline {abcde} \left( {a \ne 0} \right)\)
Để số đó chia hết cho 2 thì e chia hết cho 2
Suy ra: e = 0;2;4
+) Nếu e = 0
a có 5 cách chọn vì a khác 0
Do các chữ số không khác nhau nên b,c,d có 6 cách chọn
Vậy có: 5.6.6.6.1 = 1080 (số)
+) Nếu e = 2 hoặc e = 4
Tương tự: a có 5 cách chọn
Do các chữ số không khác nhau nên b,c,d có 6 cách chọn
Vậy có: 5.6.6.6.1 = 1080 (số)
Vậy có: 1080 + 1080 = 2160 (số).
Câu 67:
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến BD, CK. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE. Chứng minh BE = 2BD.
Xét tam giác ABE có K, C lần lượt là trung điểm AB, AC
Suy ra: KC là đường trung bình tam giác ABE
Nên: KC // BE và \(KC = \frac{1}{2}BE\) (1)
Xét tam giác ABD và tam giác ACK có:
AB = AC
Chung \(\widehat A\)
AD = AK (Vì AB = AC nên \(\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB\))
⇒ ∆ABD = ∆ACK (c.g.c)
⇒ BD = CK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = \(\frac{1}{2}BE\) hay BE = 2BD.
Câu 68:
Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 ≥ \(4\sqrt 3 S\).
Áp dụng công thức Hê– rông ta có:
\(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \frac{1}{2}\sqrt {\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)
Suy ra: S2 = p(p – a)(p – b)(p – c)
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta có:
\(\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) \le {\left[ {\frac{{\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{{{p^3}}}{{27}}\)
Suy ra: \[{S^2} \le \frac{{{p^4}}}{{27}} \Rightarrow S \le \frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }}\]
Mà (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
≤ a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2)
= 3(a2 + b2 + c2)
Do đó: \[S \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{12\sqrt 3 }} \le \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4\sqrt 3 }}\]
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ \(4\sqrt 3 S\)
Dấu “=” khi a = b = c.
Câu 69:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là phân giác. Chứng minh: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{AD}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}}\).
Ta có: SABC = SDAB + SDAC
\(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.AB.AD.\sin 45^\circ + \frac{1}{2}.AC.AD.\sin 45^\circ = \frac{1}{2}AD.\sin 45^\circ .\left( {AB + AC} \right)\)
⇔ \(\frac{{AB + AC}}{{AB.AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\)
⇔ \(\frac{{\sqrt 2 }}{{AD}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}}\).
Câu 70:
Cho tổng A = 15 + 25 + x với x ∈ ℕ. Tìm x để A chia hết cho 5.
Ta thấy: A = 15 + 25 + x = 40 + x
Mà 40 chia hết cho 5 nên để A chia hết cho 5 thì x chia hết cho 5.
Suy ra: x = 5k (k ∈ ℕ)
Vậy x có dạng 5k (k ∈ ℕ).
Câu 71:
1 trường học bán trú chuẩn bị gạo đủ cho 120 học sinh trong 40 ngày sau khi ăn được một nửa thì lại có thêm số bạn học sinh nữa (số phần ăn của các học sinh không thay đổi). Hỏi nhà trường cho thêm bao nhiêu học sinh?
Sau khi ăn hết một nửa số gạo, số gạo còn lại đủ ăn trong:
40 : 2 = 20 (ngày)
1 người ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là:
120 . 20 = 2400 (ngày)
Tổng số người ăn số gạo còn lại trong 12 ngày là:
2400 : 12 = 200 (người)
Trường đó có thêm số học sinh là:
200 – 120 = 80 (người)
Đáp số : 80 người.
Câu 72:
Ta thực hiện bài toán ngược tìm m để phương trình có nghiệm như sau:
mcosx – 2 = cosx +3m
⇔ cosx = \(\frac{{3m + 2}}{{m - 1}}\)
Mà – 1 ≤ cosx ≤ 1
Nên để phương trình có nghiệm thì: \[{\left( {\frac{{3m + 2}}{{m - 1}}} \right)^2} \le 1\]
⇔ \(\frac{{9{m^2} + 12m + 4 - \left( {{m^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \le 0\)
⇔ 8m2 + 14m + 3 ≤ 0
⇔ \(\frac{{ - 3}}{2} \le m \le \frac{{ - 1}}{4}\)
Vậy để phương trình vô nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l}m \le \frac{{ - 3}}{2}\\m \ge \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\).
Câu 73:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = b, AB = c. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho \(\widehat {BAM} = 30^\circ \).Tính tỉ số \(\frac{{MB}}{{MC}}\).
Kẻ BD// AC, AM cắt BD tại E.
Xét ΔEAB có:
EB = AB . tan30° = \(\frac{{c\sqrt 3 }}{3}\)
Do BD // AC hay BE // AC nên \(\frac{{EB}}{{CA}} = \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{c\sqrt 3 }}{3}:b = \frac{{c\sqrt 3 }}{{3b}}\)
Câu 74:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho ΔABC biết A(2; 4), B(5; 1), C(−1; −2). Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BC} \) biến ΔABC thành ΔA'B'C' tương ứng các điểm. Tìm tọa độ trọng tâm G’ của ΔA'B'C'.
Ta có tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G(2; 1); \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 6; - 3} \right)\)
\({T_{\overrightarrow {BC} }}\left( G \right) = G'\left( {{x_G};{y_G}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {BC} \)
⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = {x_{G'}} + {x_{\overrightarrow {BC} }} = 2 - 6 = - 4\\{y_G} = {y_{G'}} + {y_{\overrightarrow {BC} }} = 1 - 3 = - 2\end{array} \right.\]
Suy ra: G(–4; –2).
Câu 75:
Tìm cạnh của hình vuông nếu cạnh của hình vuông giảm đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m2.
Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).
Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).
Diện tích hình vuông ban đầu là: a . a.
Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:
(a – 7) . (a – 7) = a . a – 84.
a . a – 7 . a – 7 . a + 7 . 7 = a . a – 84.
–14 . a + 49 = –84.
14 . a = 133.
a = 133 : 14.
a = 9,5 (m).
Đáp số: 9,5 m.
Câu 76:
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang cân biết hình thang cân ABCD (AB song song CD) có AB = 6cm; CD = 8cm và đường cao AH = 7cm.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh đáy AB,CD của hình thang cân ABCD.
MN là trục đối xứng của hình tháng cân nên MN là đường trung trực của AB và CD.
Gọi O là giao điểm của MN với đường trung trực của BC.
O thuộc đường trung trực của AB nên OA = OB.
O thuộc đường trung trực của BC nên OB = OC.
O thuộc đường trung trực của CD nên OC = OD.
Vậy OA = OB = OC = OD, do đó đường tròn (O; OA) đi qua các điểm A, B, C, D.
Ta có AH = MN = 7cm (vì cùng là chiều cao của hình thang cân)
Theo định lý Pytago ta có:
OA2 = OM2 + MA2
OD2 = ON2 + DN2
Mà OA = OD
Nên: OM2 + MA2 = ON2 + DN2
⇔ (MN – ON)2 + 32 = ON2 + 42
⇔ (7 – ON)2 = ON2 + 7
⇔ 49 – 14ON + ON2 = ON2 + 7
⇔ ON = 3 (cm)
OD2 = 32 + 42 = 25
Suy ra: OD = 5 (cm) vì OD > 0.
Câu 77:
Nêu cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang cân.
Xét hình thang cân ABCD, AB // CD. AC giao BD tại O.
Do đó AD = BC và AC = BD.
Xét tam giác ACD và BDC có
AC = BD
AD = BC
CD chung
Vậy tam giác ACD = tam giác BDC (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {CAD} = \widehat {DBC}\)
Mà 2 góc này đều chắn cung CD, suy ra A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD suy ra
+) EA = EB suy ra E thuộc đường trung trực của AB
+) EA = ED suy ra E thuộc đường trung trực của AD
Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp hình thang cân ABCD là giao của đường trung trực cạnh đáy và đường trung trực cạnh bên.
Câu 78:
Tìm số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
Giả sử n2 – 14n – 256 là một số chính phương
Suy ra: n2 – 14n – 256 = a2 (a ∈ ℕ*)
⇔ n2 – 14n – 256 – a2 = 0
⇔ n2 – 7n – 7n + 49 – 305 – a2 = 0
⇔ n(n – 7) – 7(n – 7) – 305 = a2
⇔ (n – 7)2 – a2 – 305 = 0
⇔ (n – 7 + a)(n – 7 – a) = 305
TH1:
n – 7 – a = 1; n – 7 + a = 305
⇒ n – a = 8; n + a = 312
⇒ 2n = 320
⇒ n = 160
TH2:
n−7−a = 5; n – 7 + a = 61
⇒ n – a = 12; n + 1 = 68
⇒ 2n = 80
⇒ n = 40.
Câu 79:
Hàm số xác định với mọi x khi và chỉ khi 5sin4x – 6cos4x + 2m– 1 ≥ 0∀x
⇔ 5sin4x – 6cos4x ≥ 1 – 2m ∀x (*)
Ta có: Min(5sin4x – 6cos4x) = \( - \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = - \sqrt {61} \)
Do đó để (*) đúng với mọi x thì \( - \sqrt {61} \ge 1 - 2m\)
⇔ \[m \ge \frac{{\sqrt {61} + 1}}{2}\].
Câu 80:
Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến ME và MF sao cho góc EMO bằng 30 độ. Biết chu vi tam giác MEF là 30 cm. Tính:
a) Độ dài EF.
b) Diện tích tam giác MEF.
a) Ta có: ME = MF (vì ME, MF là tiếp tuyến của (O))
MO là phân giác của \(\widehat {EMF}\)
Suy ra: \(\widehat {EMF} = 2\widehat {EMO} = 2.30^\circ = 60^\circ \)
Vậy tam giác EMF đều
Suy ra: EF = EM = MF
Mà EF + EM + MF = 30
Nên: EF = EM = MF = 10(cm)
b) Gọi OM giao EF tại H
Vì EMF là tam giác đều nên MH là trung trực EF
EH = \(\frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}.10 = 5\left( {cm} \right)\)
\(MH = \sqrt {M{E^2} - E{H^2}} = 5\sqrt 3 \)
SMEF = \(\frac{1}{2}.MH.EF = \frac{1}{2}.5\sqrt 3 .10 = 25\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 81:
Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2. Mặt phẳng (P) qua trung điểm I của OO′và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30°. Diện tích của thiết diện do (P) cắt khối trụ là bao nhiêu?
Do khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2 nên, chiều cao của khối trụ OO' = 2 và đường kính 2 mặt đáy của khối trụ bằng 2.
Giao tuyến của mặt phẳng (P) với đáy (O') là đường thẳng d.
Qua O' dựng O'G vuông góc với d
⇒ \(\widehat {\left( {\left( P \right);\left( {O'} \right)} \right)} = \left( {IG,O'G} \right) = \widehat {IGO'} = 30^\circ \)
\(\tan \widehat {IGO'} = \frac{{OI}}{{O'G}} \Rightarrow O'G = \frac{1}{{\tan 30^\circ }} = \sqrt 3 > R = 1\)
⇒ G nằm ngoài (O') suy ra thiết diện của (P) với lăng trụ là hình elip trục dài là 2a = AB, trục ngắn là 2b = CD như hình vẽ.
\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{HB}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{2}{{\cos 30^\circ }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)
⇒ \(a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
2b = CD = d = 2 ⇒ b = 1
Sthiết diện = πab = \(\frac{{2\pi }}{{\sqrt 3 }}\).
Câu 82:
Chứng minh đẳng thức: \(C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\).
\(C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\)
\( = \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left[ {n - \left( {k - 1} \right)} \right]!}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n!}}{{k!.\frac{1}{k}.\left( {n - k} \right)!.\left( {n - k + 1} \right)}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n!.\frac{k}{{n - k + 1}}}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}.\left( {\frac{k}{{n - k + 1}} + 1} \right)\)
\( = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}.\left( {\frac{{k + n - k + 1}}{{n - k + 1}}} \right)\)
\( = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}.\left( {\frac{{n + 1}}{{n - k + 1}}} \right)\)
\( = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!.\left( {n - k + 1} \right)!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - k} \right]!}}\)
\( = C_{n + 1}^k\)
Vậy \(C_n^{k - 1} + C_n^k = C_{n + 1}^k\).
Câu 83:
Cho hình thang cân ABCD có AC vuông góc AD. Tính chu vi và diện tích biết AB = 5cm, CD = 11cm.
Kẻ AH, BK vuông góc DC
AB // DC nên AH, BK vuông góc AB.
Có: ABHK là hình chữ nhật vì \(\widehat {AHK} = \widehat {BKH} = \widehat {HAB} = 90^\circ \)
Suy ra: AH = BK và AB = HK = 5cm
Xét tam giác ADH và tam giác BKC có:
AD = BC
\(\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = 90^\circ \)
AH = BK
⇒ ∆AHD = ∆BKC (c.g.c)
⇒ DH = KC
Mà DH + KC + HK = DC
Suy ra: DH = HK = (DC – HK) : 2 = (DC – AB) : 2 = (11 – 5) : 2 = 3(cm)
HC = DC – DH = 11 – 3 = 8(cm)
Áp dụng hệ thúc lượng trong tam giác ADC vuông ta có:
AH2 = DH.HC = 8.3 = 24
AH = \(\sqrt {24} \left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ADH vuông tại H:
AD2 = AH2 + DH2
AD = \(\sqrt {24 + {3^2}} = \sqrt {33} \)
Chu vi hình thang là: AB + BC + CD + AD = 5 + \(2\sqrt {33} \) + 11 = 16 + \(2\sqrt {33} \)
SABCD = \(\frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} = \frac{{16\sqrt {24} }}{2} = 8\sqrt {24} = 16\sqrt 6 \left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 84:
Khai triển (x + 1)2020 có bao nhiêu số hạng?
Khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng
Khai triển (x + 1)2020 có: 2020 + 1 = 2021 số hạng.
Câu 85:
Giải phương trình: \(8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\).
\(8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\)
⇔ \(8\sin x = \frac{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}{{\cos x.\sin x}}\)
Điều kiện: cosxsinx ≠ 0 hay sin2x ≠ 0
Suy ra: 4sinxsin2x = \(\sqrt 3 \sin x + \cos x\)
⇔ 2(cosx – cos3x) = \(\sqrt 3 \sin x + \cos x\)
⇔ \(\frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos 3x\)
⇔ \(\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\cos x - \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\sin x = \cos 3x\)
⇔ \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) = \cos 3x\)
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{3} + 3x + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\3x = - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Câu 86:
Tính giá trị biểu thức: A = (1 – 3m)(9m2 + 3m + l) – (6 – 26m3) tại m = 5.
A = (1 – 3m)(9m2 + 3m + l) – (6 – 26m3)
A = 9m2 + 3m – 1 – 27m3 – 9m2 – 3m – 6 + 26m3
A = –m3 – 5
Thay m = 5 ta có A = –53 – 5 = –130.
Câu 87:
Giải phương trình: (cosx – sinx)sinxcosx = cosx.cos2x.
(cosx – sinx)sinxcosx = cosx.cos2x
⇔ (cosx – sinx)sinxcosx – cosx.cos2x = 0
⇔ (cosx – sinx)sinxcosx – cosx.(cos
2x – sin2x) = 0
⇔ sinxcos2x – sin2xcosx – cos3x + sin2xcosx = 0
⇔ sinxcos2x – cos3x = 0
⇔ cos2x (sinx – cosx) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 88:
Có 4 người khách bước ngẫu nhiên vào 1 cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để 3 người cùng đến quầy thứ nhất.
Một người có 3 cách chọn,
Nên không gian mẫu là: 34 = 81
Cho 3 người đến quầy thứ nhất, số cách chọn ra 3 người này là \(C_4^3 = 4\)
Người còn lại đến quầy nào cũng được
Số cách chọn quầy của người này là \(C_2^1 = 2\)
Vậy xác suất để có 3 người cùng đến quầy 1 là:
\(\frac{{2.4}}{{81}} = \frac{8}{{81}}\).
Câu 89:
Tìm x biết: x2 – 2x + 1 = 9.
x2 – 2x + 1 = 9
⇔ (x – 1)2 = 32
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\x - 1 = - 3\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\).
Câu 90:
Giải phương trình: cos2x + cosx = \(4{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1\).
cos2x + cosx = \(4{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1\)
⇔ 2cos2x – 1 + cosx = \(2\left[ {2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1} \right] + 1\)
⇔ 2cos2x – 1 + cosx = –2cosx + 1
⇔ 2cos2x + 3cosx – 2 = 0
⇔ (2cosx – 1)(cosx + 2) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\cos x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 91:
Phân tích đa thức f(x) = x4 – 2mx2 – x + m2 – m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x.
Ta có: x4 – 2mx2 – x + m2 – m = 0
⇔ m2 – (2x2 + 1)m + x4 – x = 0
Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m có:
∆m = (2x2 + 1)2 – 4(x4 – x) = 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 > 0
Suy ra: f(x) = 0
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2{x^2} + 1 + 2x + 1}}{2} = {x^2} + x + 1\\m = \frac{{2{x^2} + 1 - 2x - 1}}{2} = {x^2} - x\end{array} \right.\]
Do đó: f(x) = (m – x2 – x – 1)(m – x2 + x).
Câu 92:
Rút gọn biểu thức: \(\frac{{\sqrt x }}{x}:\frac{{ - 4}}{{\sqrt x }}\).
Điều kiện: x > 0
\(\frac{{\sqrt x }}{x}:\frac{{ - 4}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{x}.\frac{{\sqrt x }}{{ - 4}} = \frac{x}{{ - 4x}} = \frac{{ - 1}}{4}\).
Câu 93:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (2sinx – cosx)(1 + cosx) = sin2x.
(2sinx – cosx)(1 + cosx) = sin2x
⇔ (2sinx – cosx)(1 + cosx) = 1 – cos2x
⇔ (2sinx – cosx)(1 + cosx) = (1– cosx)(1 + cosx)
⇔ (1 + cosx)(2sinx – 1) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,m,l \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nghiệm dương nhỏ nhất là khi k, m, l = 0
Khi đó ta có nghiệm nhỏ nhất là xmin = \(\frac{\pi }{6}\).
Câu 94:
\(\frac{{\cos A + \cos B}}{{a + b}} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{2abc}}\)
⇔ cosA + cosB = \(\frac{{\left( {a + b} \right)\left[ {\left( {c + \left( {b - a} \right)} \right)\left( {c - \left( {b - a} \right)} \right)} \right]}}{{2abc}}\)
⇔ \(\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left[ {{c^2} - {{\left( {b - a} \right)}^2}} \right]}}{{2abc}}\)
⇔ ab2 + ac2 – a3 + c2b + a2b – b3 = (a + b)(c2 + 2ab – b2 – a2)
⇔ ab2 + ac2 – a3 + c2b + a2b – b3 = ac2 + 2a2b – b2a – a3 + 2ab2 – b3 – ba2
⇔ 0 = a2b – b2a + ab2 – ba2
⇔ 0 = 0 (đúng)
Vậy \(\frac{{\cos A + \cos B}}{{a + b}} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{2abc}}\).
Câu 96:
Tìm x biết: \(\frac{{2x - 3}}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{5 - 3x}}{6} - \frac{1}{3}\).
\(\frac{{2x - 3}}{3} - \frac{3}{2} = \frac{{5 - 3x}}{6} - \frac{1}{3}\)
⇔ \(\frac{{4x - 6 - 9}}{6} = \frac{{15 - 9x - 6}}{{18}}\)
⇔ 12x – 45 = 9 – 9x
⇔ 21x = 54
⇔ x = \(\frac{{54}}{{21}} = \frac{{17}}{7}\).
Câu 97:
Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + x\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\) với x ≥ 0; x ≠ 1.
\(A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + x\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\)
\[A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\]
\[A = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)\]
\[A = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}.{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = \sqrt x - 1\].
Câu 98:
Tìm x biết: (8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) = 0.
(8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ –5x2 – 2x + 16 + 4(x2 – x – 2) + 2(x2 – 4) = 0
⇔ –5x2 – 2x + 16 + 4x2 – 4x – 8 + 2x2 – 8 = 0
⇔ x2 – 6x = 0
⇔ x(x – 6) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.\)
Vậy x = 0 hoặc x = 6.
Câu 99:
B = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
B = a(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) – b(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
B = a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 – a4b – a3b2 – a2b2 – a2b3 – ab4 – b5
B = a5 – b5
Vậy B = a5 – b5.
Câu 100:
Số 0.5 và –0.5 có phải số nguyên không?
Số 0.5 và –0.5 không phải là số nguyên vì tập hợp số nguyên ℤ chỉ có số nguyên âm và dương: –1; –2; –3;..; 0; 1; 2; 3…
Câu 101:
Tính giá trị biểu thức: \({4.2^3}:\left[ {{2^7}.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]\).
\({4.2^3}:\left[ {{2^7}.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right] = {4.2^3}:\frac{{{2^7}}}{{{3^2}}} = \frac{{{2^2}{{.2}^3}{{.3}^2}}}{{{2^7}}} = \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} = \frac{9}{4}\).
Câu 102:
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Biết AB = 15cm, AC = 20cm.
a) Tính BC.
b) Tính AH, BH và HC.
a) Áp dụng định lý Pytago ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = 25\left( {cm} \right)\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB2 = BH.BC nên BH = \(\frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{15}^2}}}{{25}} = 9\left( {cm} \right)\)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
Mà 2SABC = AH.BC = AB.AC
Nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\left( {cm} \right)\)
Câu 103:
Giải phương trình: \(\sqrt 3 \cos x - \sin x = \sqrt 3 \).
\(\sqrt 3 \cos x - \sin x = \sqrt 3 \)
⇔ \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
⇔ \[\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\cos x - \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
⇔ \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\]
⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]
⇔\[\left[ \begin{array}{l}x = 2\frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\]
Câu 104:
Với A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác, chứng minh
sin A + sin B + sin C = \(4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).
sin A + sin B + sin C
= \[2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\]
= \[2\sin \frac{{\pi - C}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{\pi - C}}{2}\cos \frac{C}{2}\]
= \[2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{C}{2}\]
= \[2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)\]
= \[2\cos \frac{C}{2}\left( {2\cos \frac{{A - B + A + B}}{4}\cos \frac{{A - B - \left( {A + B} \right)}}{4}} \right)\]
= \[4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{{ - B}}{2}\]
= \(4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Câu 105:
Tìm các hệ số a,b,c sao cho đa thức 3x4 + ax2 + bx + c chia hết cho đa thức (x – 2) và chia cho đa thức (x2 – 1) được thương và còn dư (–7x – 1).
3x4 + ax2 + bx + c chia hết x − 2
3x4 + ax2 + bx + c ⇒ 3x4 + ax2 + bx + c 3x4 + ax2 + bx + c = (x − 2) . q(x)
3x4 + ax2 + bx + c chia x2 – 1 được thương v(x) dư −7x−1
3x4 + ax2 + bx + c = (x2 − 1).v(x) − 7x − 1
Cho x = 2
Suy ra: 48 + 4a + 2b + c = 0 (1)
Cho x = 1
⇒ 3 + a + b + c = −8
⇒ a + b + c = −11 (2)
Cho x = −1
⇒ 3 + a − b + c = 6
⇒ a – b + c = 3 (3)
(2) + (3) ⇒ a + c = −4 (4)
⇒ −4 – b = 3
⇒ b = −7
Từ (1) ⇒ 4a + c = −34 (5)
(4) − (5) ⇒ −3a = 30 ⇒ a = −10
⇒ c = 6
Vậy (a; b; c) = (−10; −7; 6).
Câu 107:
Cho mệnh đề “∀m ∈ ℝ, x2 – 2x – m2 = 0 có nghiệm”. Phủ định mệnh đề này là?
Phủ định mệnh đề này là: “∃m ∈ ℝ, x2 – 2x – m2 = 0 vô nghiệm”.
Câu 108:
So sánh 302mm2 và 3dm22mm2.
1dm2 = 10000mm2
Nên 3dm22mm2 = 30002mm2 > 302mm2
Vậy 302mm2 < 3dm22mm2.
Câu 109:
So sánh 32km245m2 và 3200hm2.
1km2 = 100hm2 nên 32km2 = 3200hm2
45m2 = 45.0,0001 = 0,0045hm2
Suy ra: 32km245m2 > 3200hm2.
Câu 110:
Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 220. Chứng minh rằng:
a) A chia hết cho 2;
b) A chia hết cho 3;
c) A chia hết cho 5.
a) A chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2.
b) Ta tách ghép các số hạng của A thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 3. Khi đó:
A = 2 + 22 + 23 + ... + 220
A = (2 + 22) + (23 + 24) + ... + (219 + 220)
A = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) +… + 219(1 + 2)
A = 3.(2 + 23 + … + 219)
Từ đó A chia hết cho 3
c) Tương tự câu b ta có:
A = 2 + 22 + 23 + ... + 220
A = (2 + 23) + (22 + 24) + ... + (218 + 220)
A = 5.(2 + 22 + 25 … + 218)
Từ đó A chia hết cho 5.
Câu 111:
Tìm các số nguyên x biết: (8x – 1)2x + 1 = 52x + 1.
(8x – 1)2x + 1 = 52x + 1
⇔ \({\left( {\frac{{8x - 1}}{5}} \right)^{2x - 1}} = 1\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\\frac{{8x - 1}}{5} = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\)
Ta thấy \(x = \frac{1}{2};x = \frac{3}{4}\) vào đầu bài ta thấy thỏa mãn
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right\}\).
Câu 112:
Tính giá trị: 36.4 – 4(82 – 7.11)2 : 4 – 20160.
36.4 – 4(82 – 7.11)2 : 4 – 20160
= 144 – 4(82 – 77)2 : 4 – 1
= 144 – 4.52 : 4 – 1
= 144 – 4.25 : 4 – 1
= 144 – 100 : 4 – 1
= 144 – 25 – 1
= 118.
Câu 113:
Một xe bus chạy đều trên quãng đường AB dài 120km mất 1 khoảng thời gian nhất định. Một lần sau khi khởi hành từ A được 60p thì xe bị ngăn lại 10 phút để nhường đường cho 1 đoàn xe công vụ. Để đi tiếp đến B theo đúng dự định thì xe buýt phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ban đầu của xe?
Gọi vận tốc của ô tô là (km/h); (a > 0)
Vận tốc của mô tô là b (km/h) ; (a > b > 0)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{120}}{a}\) (giờ)
Thời gian mô tô đi hết quãng đường BA là: \(\frac{{120}}{b}\) (giờ)
Sau khi gặp nhau tại điểm C, ô tô chạy thêm 20 phút = \(\frac{1}{3}\)giờ, thì đến B, mô tô chạy thêm 3 giờ thì đến A.
Nên thời gian ô tô đến C là \(\frac{{120}}{a} - \frac{1}{3}\)thời gian , thời gian mô tô đến C là \(\frac{{120}}{{b - 3}}\)
Thời gian từ lúc hai xe xuất phát đến lúc gặp nhau là bằng nhau, và tổng quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp nhau là 120km.
Suy ra vận tốc của ô tô là 90km/h, vận tốc của mô tô là 30km/h.
Câu 114:
Có 10 người ngồi xung quanh bàn tròn, mỗi người cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 10 người cùng tung đồng xu của họ, người có đồng xu ngửa thì đứng, người có đồng xu úp thì ngồi. Tính xác suất để có đúng 4 người cùng đứng, trong đó có đúng hai người đứng liền kề?
Không gian mẫu là: n(Ω) = 210
Xem như hai người cùng đứng liền kề là một vị trí
Suy ra: Ta còn 9 vị trí
Số cách chọn ra bốn người đứng trong đó có hai người đứng liền kề là: \(C_9^3\)
Xác suất cần tìm là: \(\frac{{C_9^3}}{{{2^{10}}}} = \frac{{21}}{{256}}\).
Câu 115:
Nghiệm kép là gì?
Nghiệm kép là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.
Phương trình có nghiệm kép khi Δ = 0.
Câu 116:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.
b) Mọi số tự nhiên đều là dương.
c) Có sự sống ngoài Trái Đất
d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.
a) Phát biểu “Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm” là một mệnh đề toán học.
b) Phát biểu “Mọi số tự nhiên đều là dương” là một mệnh đề toán học.
c) Phát biểu “Có sự sống ngoài Trái Đất” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).
d) Phát biểu “Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).
Câu 117:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng Em cắt tia By tại F.
a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.
c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.
a) Xét ΔAOE và ΔMOE có:
AO = MO = R
AE = ME (gt)
OE chung
⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c)
⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO}\)
⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)
⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
b) EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(\widehat {MOF} = \widehat {BOF}\)
Mà \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE}\) (ΔAOE = ΔMOE)
⇒ \(\widehat {MOE} + \widehat {MOF} = \widehat {AOE} + \widehat {BOF} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
⇒ \(\widehat {EOF} = 90^\circ \) ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)
c) EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E
⇒ EA = EM mà OA = OM
⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)
ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M
⇒ MA ⊥ MB (2)
Từ (1), (2) suy ra OE // MB
⇒ \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\)(so le trong)
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\)(ΔMOB cân tại O)
⇒ \(\widehat {ABM} = \widehat {MOE}\)
Lại có \(\widehat {AMB} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)
⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)
⇒ \(\frac{{EM}}{{OE}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) ⇒ EM.AB = AM.OE (3)
Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)
⇒ \(\frac{{FM}}{{FO}} = \frac{{BM}}{{AB}}\) ⇒ FM.AB = BM.OF (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm).
Câu 118:
Cho tam giác MNP vuông tại M đường cao MH. Gọi D, F lần lượt là chân các đường vuông góc HA từ H xuống MN và MP.
a) Chứng minh tứ giác MDHE là Hình chữ nhật.
b) Gọi A là trung điểm HP. Chứng minh ∆DEA là tam giác vuông.
c) Tam giác MNP có thêm điều kiện gì để DE = 2EA.
a) Tứ giác MDHE có \(\widehat M = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \)
Vậy tứ giác MDHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.
b) Ta có: \(\widehat {DEH} = \widehat {MHE}\) (do MDHE là hình chữ nhật)
\(\widehat {HEA} = \widehat {EHA}\) (dễ dàng chứng minh được △HEA cân tại A nhờ giả thiết A trung điểm HP và HE⊥MP)
Mà \(\widehat {MHE} + \widehat {EHA} = 90^\circ \)nên \(\widehat {DEH} + \widehat {HEA} = \widehat {DEA} = 90^\circ \).
⇒ Tam giác DEA vuông tại E.
c) Ta có: DE = MH
2EA = HP
Để DE = 2EA thì MH = HP
⇔ Tam giác MHP cân tại H
⇔ Tam giác MHP vuông cân tại H
⇔ \(\widehat P = 45^\circ \)
⇔ Tam giác MNP vuông cân tại M.
Câu 119:
Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng với yêu cầu tối thiểu hằng ngày qua thức uống là 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp 60 ca – lo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp 60 ca – lo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C.
a) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
b) Chỉ ra hai phương án mà bác Ngọc có thể chọn lựa số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
a) Gọi x, y lần lượt là số lượng cốc đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ (điều kiện x, y ∈ ℕ).
Tổng số ca – lo mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 60x + 60y (ca – lo).
Tổng số đơn vị vitamin A mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 12x + 6y (đơn vị).
Tổng số đơn vị vitamin C mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 10x + 30y (đơn vị).
Vì tối thiểu hằng ngày cần 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C.
Nên ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}60x + 60y \ge 300\\12x + 6y \ge 36\\10x + 30y \ge 90\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 5\\2x + y \ge 6\\x + 3y \ge 9\end{array} \right.\)(I).
b) Số cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của hệ (I).
+ Phương án 1: Chọn x = 1, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:
1 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;
2 . 1 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;
1 + 3. 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.
Vậy (1; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (1; 4) là nghiệm của hệ (I).
Do đó, bác Ngọc có thể chọn 1 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.
+ Phương án 2: Chọn x = 3, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:
3 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;
2 . 3 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;
3 + 3 . 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.
Vậy (3; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (3; 4) là nghiệm của hệ (I).
Do đó, bác Ngọc có thể chọn 3 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.
Câu 120:
Số các ước tự nhiên của 252 là bao nhiêu? Liệt kê các ước của 252.
Ta có: 252 = 22.32.7
Số 252 có số ước là:
(2 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 18 (ước)
Ư(252) = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 12; 14; 18; 21; 28; 36; 42; 63; 84; 126; 252}
Vậy số 252 có 18 ước.
Câu 121:
Tháng 11 vừa qua, có ngày Black Friday phần lớn các trung tâm thương mại đều giảm giá rất nhiều mặt hàng. Mẹ bạn An có dẫn An đến một trung tâm thương mại để mau một đôi giày. Biết đôi giày đang khuyến mãi giảm giá 40%, mẹ An có thẻ khách hàng thân thiết của trung tâm thương mại nên được giảm thêm 5% trên giá đã giảm nữa, do đó mẹ An chỉ phải trả 684.000 cho đôi giày. Hỏi giá bán ban đầu của đôi giày nếu không khuyến mãi là bao nhiêu?
Khi giảm giá lần thứ 1 thì đôi giày còn:
100% – 40% = 60%( giá ban đầu)
Nếu giảm thêm 5% giá đã giảm nữa thì 684000 đồng ứng với:
60% : 100 . (100 – 5) = 57% (giá ban đầu)
Giá bán ban đầu của đôi giày là:
684000 : 57 . 100 = 1200000 (đồng)
Đáp số: 1200000 đồng.
Câu 122:
Dưới đây là phép nhân sai, hãy tìm phép nhân đúng?
Ta thấy rằng khi nhân với 11 thì ta được hai tổng riêng bằng nhau và bằng thừa số đầu tiên.
Lại có tổng của 2 tổng riêng là 680. Vậy mỗi tổng riêng là
680 : 2 = 340
Vậy thừa số đầu tiên là 340. Do đó tích đúng là
340 . 11 = 3740
Đáp số: 3740.
Câu 123:
Bạn thứ nhất có 1 con súc sắc, bạn thứ 2 có 1 đồng tiền(đều cân đối đồng chất). Xét phép thử : “Bạn thứ nhất gieo con súc sắc, sau đó bạn thứ hai gieo đồng tiền”.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định biến cố A: “Con súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”. Tính P(A).
a) Ω = {1S,2S,3S,4S,5S,6S,1N,2N,3N,4N,5N,6N}
b) |Ω| = 12
Để xuất hiện mặt 4 chấm thì có 1 cách để bạn thứ nhất gieo súc sắc.
Bạn thứ hai gieo tuỳ ý nên có 2 cách.
\(P\left( A \right) = \frac{{1.2}}{{12}} = \frac{1}{6}\).
Câu 124:
Giả sử ta dùng thước và compa vẽ hình thoi ABCD, biết AB = 5cm và AC = 8cm.
Bước 1. Dùng thước vẽ đoạn thẳng AC = 8 cm.
Bước 2. Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 5 cm.
Bước 3. Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm C bán kính 5 cm; phần đường tròn này cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm B và D.
Bước 4. Dùng thước vẽ các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
Câu 125:
Một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có kích thước trong lòng hồ là: Chiều dài 12m, chiều rộng 5m, chiều sâu 3m.
a) Tính thể tích của hồ bơi.
b) Tính diện tích cần lát gạch bên trong lòng hồ (mặt đáy và 4 mặt xung quanh).
c) Biết gạch hình vuông dùng để lát hồ bơi có cạnh 50cm. Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu viên gạch để lát bên trong hồ bơi.
a) Thể tích của hồ bơi là:
V = 12.5.3 = 180 (m3)
b) Diện tích cần lát gạch xung quanh là:
S = Sxq + Sđáy = 2.3.(12 + 5) + 12.5 = 162 (m2)
c) Đổi 50cm = 0,5m
Diện tích 1 viên gạch là:
0,5.0,5 = 0,25 (m2)
Cần mua ít nhất số viên gạch để lát bên trong hồ bơi là:
162 : 0,25 = 648 (viên).
Câu 127:
So sánh 0,0125 và 0,005.
Ta thấy: 0,0125 > 0,005 vì chữ số thứ hai sau phần thập phân 1 > 0.
Câu 128:
Tìm cạnh của hình vuông nếu cạnh của hình vuông giảm đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m2.
Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).
Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).
Diện tích hình vuông ban đầu là: a . a.
Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:
(a – 7) . (a – 7) = a . a – 84.
a . a – 7 . a – 7 . a + 7 . 7 = a . a – 84.
–14 . a + 49 = –84.
14 . a = 133.
a = 133 : 14.
a = 9,5 (m).
Đáp số: 9,5 m.
Câu 129:
Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Phép quay nào sau đây biến ngũ giác thành chính nó?
Đáp án đúng: D
Dễ thấy: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA} = \frac{{360^\circ }}{5} = 72^\circ \).
Và OA = OB = OC = OD = OE nên các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là:
Q(O, ±72° + k360°) , Q(O, ±144° + k360°).
Q(O, ±216° + k360°) , Q(O, ±288° + k360°).
Đối chiếu các đáp án A, B, C đều sai.
Câu 130:
Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang (như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao 60 m.
Ta có: \(\widehat {CBA} = \widehat {CBE} + \widehat {EBA} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ \)
\(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} - \widehat {CAD} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {BCA} = 180^\circ - 55^\circ - 105^\circ = 20^\circ \)
Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác CBA ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {CBA}}}\)
Suy ra: \(AC = \frac{{AB.\sin \widehat {CBA}}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{60.\sin 105^\circ }}{{\sin 20^\circ }} = 169,4506909\left( m \right)\)
Xét tam giác CAD vuông tại D ta có: CD = \(AC.\sin \widehat {CAD} \approx 97,193\left( m \right).\)
Câu 131:
Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng. Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?
Làm vòng tay mỗi giờ được 10 ngàn đồng
Làm vòng đeo cổ mỗi giờ được: 40 : 3 ≈ 13 ngàn đồng
Vậy làm vòng đeo cổ có lợi hơn nên ưu tiên làm tối đa số vòng cổ trước.
Làm 4 vòng đeo cổ hết 4.6 = 24 giờ, bán được 4.80 = 320 ngàn đồng.
Để làm được ít nhất 400 ngàn đồng cần làm thêm vòng tay để thu về 80 ngàn đồng hay cần làm thêm 2 cái vòng tay
⇒ Cần thêm 2.4 = 8 giờ
Vậy cần tối thiểu: 24 + 8 = 32 giờ một tuần để An bán được ít nhất 400 ngàn đồng.
Câu 132:
Để kích cầu tiêu dùng sau mùa dịch Covid –19 lần thứ 4, một cửa hàng giày có chương trình khuyến mãi như sau:
1. Giảm giá 30% so với giá niêm yết cho tất cả sản phẩm của cửa hàng.
2. Nếu khách hàng có thể thành viên của của hàng thì được giảm thêm 20% so với giá đã giảm. Bình có thể thành viên của cửa hàng trên và mua một đôi giày có giá niêm yết là 2 triệu đồng.
Hỏi Bình phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền?
Sau khi giảm giá, Bình được giảm:
30% . 2000000 = 600000 (đồng)
Sau khi quẹt thẻ thành viên, Bình được giảm:
600000 – (20% . 600000) = 480000 (đồng).
Câu 133:
Bạn An viết một trang web để kết bạn. Trang web đã nhận được 3 lượt truy cập trong tuần đầu tiên. Nếu số lượt truy cập tuần tiếp theo gấp 3 lần số lượt truy cập tuần trước thì sau 6 tuần đầu tiên, trang web của bạn Na có tất cả bao nhiêu lượt truy cập?
Số lượt truy cập trag web của bạn Na trong tuần thứ nhất là 3 lượt; tuần thứ hai là 32 lượt; …; tuần thứ sáu là 36 lượt.
Như vậy, sau 6 tuần đầu tiên, số lượt truy cập trang web của bạn Na có tất cả là:
3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36
= 3 + 6 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1092 (lượt).
Vậy sau 6 tuần đầu tiên, số lượt truy cập trang web của bạn Na có tất cả là: 1092 lượt.