Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x, y nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}3x+2y\le 180\\ x+6y\le 220\\ x>0\\ y>0\end{array}\right.$

Miền nghiệm của hệ trên được biểu diễn như hình vẽ.

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5x + 0,4y (triệu đồng).

Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C. Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.

Tại A(60; 0) thì T = 30 triệu đồng.

Tại B(40; 30) thì T = 32 triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.

Ta có MN // BC, áp dụng định lý Ta-lét, ta có:

 $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ hay  $\frac{17}{10}=\frac{x}{9}$

 $\Rightarrow x=\frac{17.9}{10}=15,3$

Vậy AN = 15,3.

Tỉ số của các cặp đoạn thẳng đã cho là:

a)  $\frac{AB}{CD}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

b) Đổi AB = 2 dm = 20 cm

 $\frac{AB}{MN}=\frac{20}{4}=5$

c) Đổi PQ = 2 dm = 20 cm

 $\frac{MN}{PQ}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x ³ 0, y ³ 0 lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.

Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có: 400 ≤ x + y ≤ 1000.

Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: x ≤ 600, y ≤ 500.

Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0,5x ≤ y ≤ 3x.

Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T (x, y) = 9x + 7,5.

Bài toán trở thành:

Tìm x ³ 0, y ³ 0 thỏa mãn hệ:  $\left\{\begin{array}{l}0\le x,y\le 600\\ 400\le x+y\le 1000\\ 0,5x\le y\le 3x\end{array}\right.$ để T (x, y) = 9x + 7,5y đạt giá trị nhỏ nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên.

Miền nghiệm là lục giác ABCDEF với:

 $A\left(\frac{500}{3};500\right),B\left(100;300\right),C\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right),D\left(600;300\right),E\left(600;400\right),F\left(500;500\right)$

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F vào biểu thức T (x, y) = 9x + 7,5y và tìm GTNN của nó ta được:

 $T\left(\frac{500}{3};500\right)=5250,T\left(100;300\right)=3150,T\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)=3400$

T (600; 300) = 7650, T (600; 400) = 8400, T (500; 500) = 8250

Suy ra min T (x; y) = 3150 khi x = 100; y = 300.

Vậy mỗi ngày, một người dùng 100 đơn vị Vitamin A, 300 đơn vị Vitamin B để chi phí rẻ nhất.

Xét phép quay tâm A góc quay 60°:

- Biến C thành B;

- Biến D thành C.

Vậy ảnh của CD qua phép quay Q_{(A, 60°)} là BC.

Do ABCD là hình thoi suy ra BC // AD hay CB // HD

Mà CG // HF (gt) nên suy ra  $\widehat{BCG}=\widehat{DHF}$

Ta có ABCD là hình thoi nên suy ra  $\widehat{CBG}=\widehat{HDF}$

Xét DBCG và DDHF có:

 $\widehat{BCG}=\widehat{DHF}$ (cmt)

 $\widehat{CBG}=\widehat{HDF}$ (cmt)

Suy ra DBCG ᔕ DDHF (g.g)

 $\Rightarrow \frac{BC}{DH}=\frac{BG}{DF}\Rightarrow BG.DH=BC.DF$ (1)

Lại có:   $BE=\frac{4}{3}BC\Rightarrow \frac{BC}{BE}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{CE}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{CE}{AD}=\frac{1}{3}$ 

Với CE // AD nên theo định lý Ta-lét thì:

 $\frac{CF}{DF}=\frac{CE}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{DF}{CD}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{DF}{BC}=\frac{3}{4}\Rightarrow DF=\frac{3}{4}BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $BG.DH=BC.\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}B{C}^2$ (đpcm).

Miền nghiệm của hệ  $\left\{\begin{array}{l}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$ là miền trong của tam giác ABC kể cả biên (như hình vẽ trên)

Ta thấy F = y − x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.

Tại A(0; 2) thì F = 2 − 0 = 2

Tại B(1; 4) thì F = 4 − 1 = 3

Tại C(2; 3) thì F = 3 − 2 = 1

Vậy min F = 1 khi x = 2, y = 3.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình  $\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 2\\ x-y\le 2\\ 5x+y\ge -4\end{array}\right.$ trên trục tọa độ như hình vẽ.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x chỉ đạt được tại các điểm

 $A\left(-2;6\right),C\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right),B\left(-\frac{1}{3};-\frac{7}{3}\right)$

• Tại A(−2; 6) thì F = 6 − (−2) = 8

• Tại  $C\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$ thì  $F=-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-2$

• Tại  $B\left(-\frac{1}{3};-\frac{7}{3}\right)$ thì  $F=-\frac{7}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=-2$

Vậy min F = −2 khi  $x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$ hoặc  $x=-\frac{1}{3},y=-\frac{7}{3}$.

Vì M là trung điểm của BC suy ra  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Khi đó:  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}$

 $=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

 $=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

 $=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)$

 $=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}$

Đáp án đúng là: A

Ta có:  $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Với b, c là hai cạnh của tam giác thì 2bc > 0

Do đó:

Để góc A là góc nhọn thì: cos A > 0 suy ra b² + c² − a² > 0

Để góc A là góc tù thì cos A < 0 suy ra b² + c² − a² < 0

Để góc A là góc vuông thì cos A = 0 suy ra b² + c² − a² = 0

Đáp án đúng là: A

Số các đường chéo của đa giác lồi 6 cạnh bằng:

 $\frac{n\left(n-3\right)}{2}=\frac{6.\left(6-3\right)}{2}=9$.

Ta có công thức tính số đường chéo của đa giác lồi có n (n Î ℕ; n > 3) đỉnh là:  $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

+ Ngũ giác là đa giác lồi có 55 đỉnh nên số đường chéo là:

 $\frac{5.\left(5-3\right)}{2}=\frac{5.2}{2}=5$ (đường chéo)

+ Lục giác là đa giác lồi có 66 đỉnh nên số đường chéo là:

 $\frac{6.\left(6-3\right)}{2}=\frac{6.3}{2}=18$ (đường chéo)

Vậy ngũ giác có 5 đường chéo và lục giác có 9 đường chéo.

Tam giác OAB vuông tại B, có:

 $\tan \widehat{AOB}=\frac{AB}{OB}\Rightarrow AB=OB.\tan \widehat{AOB}=60.\tan 60°=60\sqrt{3}$

Vậy chiều cao của ngọn tháp là:

 $h=AB+OC=60\sqrt{3}+1\approx 104,923m$

Do đó chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị 105 m.

Gọi y (USD) là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có: x − 40 USD là số tiền lãi của một đôi giày nếu bán với giá x USD. Trong một tháng có (120 − x) đôi giày được mua. Như thế số tiền lãi của cửa hàng trong một tháng là:

y = (120 − x)(x − 40)

Để tiền lãi của cửa hàng nhiều nhất thì ta cần tính giá trị lớn nhất của y.

y = −x² + 160x − 4800 = −x² + 160x − 6400 + 1600

= −(x² − 160x + 6400) + 1600 = −(x − 80)² + 1600 ≤ 1600.

Dấu “=” xảy ra Û x = 80.

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD.

Có 3 mặt phẳng gồm mặt phẳng: (a, b); (A, a); (A, b).

Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến B rồi đến D là 3.2 = 6.

Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến C rồi đến D là 2.3 = 6.

Nên có : 6 + 6 = 12 cách.

Lời giải

• Từ A đến B có 3 cách.

• Từ B đến C có 4 cách.

Áp dụng quy tắc nhân có: 3.4 = 12 cách đi từ A đến C qua B.

Chọn 1 vở kịch có 2 cách

Chọn 1 điệu múa có 3 cách.

Chọn 1 bài hát có 6 cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 2.3.6 = 36 cách.

Đáp án đúng là: C

+) Có 5 vectơ mà điểm đầu là O, điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác:

 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}$

+) Có 5 vectơ gốc O có độ dài bằng nhau:

5 vectơ  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}$  có độ dài bằng nhau (tính chất của các đa giác đều)

+) Có 5 vectơ mà điểm đầu là A, điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác:

 $\overrightarrow{AA},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$

+) Các vectơ khác  $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh, giá là các cạnh của ngũ giác có độ dài bằng nhau, bằng cạnh của ngũ giác đều. 

Đáp án đúng là: B

+) Vectơ - không là vectơ có phương tùy ý

+) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác  $\overrightarrow{0}$ thì cùng phương với nhau

+) Điều kiện cần để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.

P = 3sin² x + 4cos² x

= 3sin² x + 3cos² x + cos² x

= 3(sin² x + cos² x) + cos² x

  $=3.1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{13}{4}$.

Ta có: 2cos 3x(2cos 2x + 1) = 1

Û 4cos 3x.cos 2x + 2cos 3x = 1

Û 2(cos 5x + cos x) + 2cos 3x = 1

Û 2cos 5x + 2cos x + 2cos 3x = 1 (*)

Ta nhận thấy x = kp không phải nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có: (*) Û 2sin x(cos x + cos 3x + cos 5x) = sin x

Û 2sin x.cos x + 2sin x.cos 3x + 2sin x.cos 5x = sin x

Û sin 2x + sin 4x − sin 2x + sin 6x − sin 4x = sin x

Û sin 6x = sin x

$\iff \left[\begin{array}{l}6x=x+k2\pi \\ 6x=\pi -x+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{k2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{7}+\frac{k2\pi }{7}\end{array}\right.$

Xét trên chu kì từ [0; 2p] ta có các nghiệm (loại đi nghiệm x = kp)

 $x\in \left\{\frac{2\pi }{5};\frac{4\pi }{5};\frac{6\pi }{5};\frac{8\pi }{5};\frac{\pi }{7};\frac{3\pi }{7};\frac{5\pi }{7};\frac{9\pi }{7};\frac{11\pi }{7};\frac{13\pi }{7}\right\}$

Tổng các nghiệm này trên đoạn [0; 2π] bằng 10p.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn [−4π; 6π] là:

5.10p + (−2 − 1 + 0 + 1 + 2).2p = 50p.

Đáp án đúng là: D

Hình a và hình b có trục đối xứng, ví dụ ta có thể vẽ trục đối xứng của chúng như sau:

 $\sqrt{3}\cos 5x-2\sin 3x\cos 2x-\sin x=0$

 $\iff \sqrt{3}\cos 5x-\left(\sin 5x+\sin x\right)-\sin x=0$

 $\iff \sqrt{3}\cos 5x-\sin 5x=2\sin x$

 $\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x-\frac{1}{2}\sin 5x=\sin x$

 $\iff \sin \frac{\pi }{3}.\cos 5x-\cos \frac{\pi }{3}.\sin 5x=\sin x$

 $\iff \sin \left(\frac{\pi }{3}-5x\right)=\sin x$

$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}-5x=x+k2\pi \\ \frac{\pi }{3}-5x=\pi -x+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3};-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Xét hàm số f (x) = x³ − 3x² − 9x + 5 có:

f ¢(x) = 3x² − 6x − 9 = 0

 $\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow y=10\\ x=3\Rightarrow y=-22\end{array}\right.$

Và ta tính được giới hạn:

•  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3-3x^2-9x+5\right)=+\infty$;

•  $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-3x^2-9x+5\right)=-\infty$.

Xét bảng biến thiên:

Vậy hàm số có cực đại là x = −1 và cực tiểu là x = 3.

Làm vòng tay mỗi giờ được 10 ngàn đồng.

Làm vòng đeo cổ mỗi giờ được  $\frac{40}{3}\approx 13$ ngàn đồng.

Vậy làm vòng đeo cổ có lợi hơn nên ưu tiên làm tối đa số vòng cổ trước.

Làm 4 vòng đeo cổ hết 4.6 = 24 giờ, bán được 4.80 = 320 (ngàn đồng).

Để làm được ít nhất 400 ngàn đồng cần làm thêm vòng tay để thu về 80 ngàn đồng hay cần làm thêm 2 cái vòng tay nên cần thêm 2.4 = 8 (giờ).

Vậy cần tối thiểu 24 + 8 = 32 giờ một tuần để An bán được ít nhất 400 ngàn đồng.

+) TH1:  $\left\{\begin{array}{l}{5}^n⋮63\\ 2^n⋮63\end{array}\right.$

Để 5ⁿ ⁝ 63 thì 5ⁿ = 63.k mà 5ⁿ ⁝ 5 tuy vậy  $63.k\cancel{⋮}5$ nên 5ⁿ không thể chia hết cho 63.

Vậy TH1 không thể xảy ra.

+) TH2: 5ⁿ chia cho 63 dư 1, 2ⁿ chia cho 63 dư 1.

- Xét n = 0 thì 5ⁿ = 1 và 2ⁿ = 1

Suy ra 5ⁿ − 2ⁿ = 1 − 1 = 0 ⁝ 63

- Xét n > 0 ta có:

Ta thử được 5⁶ = 15625 chia cho 63 dư 1

2⁶ = 64 chia cho 63 dư 1

Nên đặt n = 6k (k Î ℕ*) thì:

5^6k − 2^6k = (5⁶)^k − (2⁶)^k = (15625)^k − (64)^k

≡ 1^k − 1^k ≡ 0 (mod 63)

Vậy với n = 6k (k Î ℕ) thì: 5ⁿ − 2ⁿ chia hết cho 63.

Xét phép chia (5x³ − 7x² + x) cho 3xⁿ thì:

 $\frac{5x^3-7x^2+x}{3x^n}=\frac{5x^3}{3x^n}-\frac{7x^2}{3x^n}+\frac{x}{3x^n}$

 $=\frac{5}{3}.x^{3-n}-\frac{7}{3}.x^{2-n}+\frac{1}{3}.x^{1-n}$

Để phép chia sau là phép chia hết  $\iff \left\{\begin{array}{l}3-n\ge 0\\ 2-n\ge 0\\ 1-n\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}n\le 3\\ n\le 2\\ n\le 1\end{array}\right.\iff n\le 1$

Vậy n Î {0; 1} là các giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân.

b) Trục đối xứng của hình thoi là hai đường chéo của hình thoi.

c) Hình tròn có vô số trục đối xứng.

Quan sát các hình ảnh đã cho, ta thấy:

a) Hình không có trục đối xứng là: hình 4.

b) Hình có ba trục đối xứng là: hình 2.

c) Hình có vô số trục đối xứng là: hình 3.

+) TH1: 4 học sinh được trọn thuộc một lớp:

Thuộc lớp A: Có  $C_5^4$ cách chọn

Thuộc lớp B: Có  $C_4^4$ cách chọn

Trong trường hợp này có:  $C_5^4+C_4^4=6$ cách chọn.

TH2: 4 học sinh thuộc hai lớp:

Thuộc lớp A và B: có  $C_9^4-\left(C_5^4+C_4^4\right)=120$ cách chọn

Thuộc lớp B và C: có  $C_7^4-C_4^4=34$ cách chọn

Thuộc lớp A và C: có  $C_8^4-C_5^4=65$ cách chọn

Trong trường hợp này có: 120 + 34 + 65 = 219 cách chọn

Vậy có 219 + 6 = 225 cách chọn đội thanh niên xung kích thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: 

S_{xung quanh} = (a + b) ´ h ´ 2 = (20 + 7) ´ 10 ´ 2 = 540 (cm²)

Đáp số: 540 cm². 

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: 

S_{xung quanh} = (a + b) ´ h ´ 2 = (5,4 + 2) ´ 3 ´ 2 = 44,4 (cm²)

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: 

S_đáy = a ´ b = 5,4 ´ 2 = 10,8 (cm²) 

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: 

S_{toàn phần} = S_{xung quanh} + 2.S_đáy = 44,4 + 2.10,8 = 66 (cm²) 

Đáp số: 66 cm². 

Ta có: cos x = −1 Û x = p + k2p, (k Î ℤ)

Vậy nghiệm của phương trình cos x = −1 là: x = p + k2p, (k Î ℤ).

Ta có: cos x = 1 Û x = k2p, (k Î ℤ)

Vậy nghiệm của phương trình cos x = 1 là: x = k2p, (k Î ℤ).

Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác OAB ta có:

 $\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}$

 $\iff OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}=2.\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi  $\sin \widehat{OAB}=1\iff \widehat{OAB}=90°$.

Khi đó OB = 2.

Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác OAB, ta có:

 $\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}$

 $\iff OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}=4.\sin \widehat{OAB}$.

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi  $\sin \widehat{OAB}=1\iff \widehat{OAB}=90°$.

Khi đó OB = 4.

Đáp án đúng là: B

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa suy ra A đúng.

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng chung suy ra B sai.

Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất suy ra C đúng.

Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng cùng thuộc một đường thẳng nên chúng thẳng hàng suy ra D đúng.

Do hình vuông có diện tích bằng 4 nên từ giả thiết suy ra hình vuông ban đầu có độ dài cạnh bằng 2.

Qua phép vị tự V_{(I, −2)} thì độ dài cạnh của hình vuông tạo thành bằng |−2|.2 = 4.

Suy ra diện tích hình vuông mới là: 4.4 = 16.

Vậy diện tích tăng: 16 : 4 = 4 lần.

Gọi số học sinh chơi bóng đá là n (F) và số học sinh chơi bóng bàn là n (S). 

Ta có n (F) = 200, n (S) = 150 và n (F Ç S) = 100.

Ta biết rằng, n (F È S) = n (F) + n (S) − n(F Ç S)

Do đó, n (F È S) = (200 + 150) − 100

n (F È S) = 350 − 100 = 250

Vậy tổng số học sinh toàn trường là 250 em.

Đáp án đúng là: C

A È B = {a; b; c; d; e; f}.

Vì A là hai tập hợp khác rỗng, nên ta có điều kiện:

m − 1 < 5 Û m < 6

Để A \ B = Æ thì A Ì B ta có điều kiện:

m − 1 ≥ 3 Û m ≥ 4

Kết hợp điều kiện, 4 ≤ m < 6.

Vậy 4 ≤ m < 6 là tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) cos 2x = 1

Û 2x = k2p

Û x = kp, (k Î ℤ)

Vậy x = kp, (k Î ℤ) là nghiệm của phương trình.

b)  $\cos \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=1$

 $\iff 3x-\frac{\pi }{3}=k2\pi$

 $\iff 3x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$

 $\iff x=\frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy  $x=\frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ là nghiệm của phương trình.

(sin x + 1)(cos x − 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin x+1=0\\ \cos x-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=-1\\ \cos x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Gọi x; y lần lượt là số xe loại M, loại F cần thuê

Từ bài toán ta được hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}\right.\left(*\right)$

Tổng chi phí T (x; y) = 4x + 3y (triệu đồng)

Bài toán trở thành là tìm x; y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T (x; y) nhỏ nhất.

Khi đó T (x; y) = 4x + 3y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh:

 $A\left(5;4\right),B\left(10;2\right),C\left(10;9\right);D\left(\frac{5}{2};9\right)$

Ta tính được  $T\left(5;4\right)=32;T\left(10;2\right)=46;T\left(10;9\right)=67;T\left(\frac{5}{2};9\right)=37$

Suy ra T (x; y) nhỏ nhất khi (x; y) = (5; 4).

Từ đó ta cần thuê 5 xe hiệu M và 4 xe hiệu F thì chi phí vận tải là thấp nhất.

Gọi x, y lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê. ĐK: x, y Î ℕ.

Ta có hệ bất phương trình sau:  $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}\right.\left(*\right)$

Tổng chi phí T (x; y) = 4x + 3y (triệu đồng)

Bài toán trở thành là tìm x; y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T (x; y) nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ trên là tứ giác ABCD.

Ta có:  $A\left(\frac{5}{2};9\right);B\left(10;9\right);C\left(10;2\right),D\left(5;4\right)$

Ta thấy T đạt GTLN tại các điểm B, C, D (do A có tọa độ không nguyên).

Ta tính được: T (B) = 67, T (C) = 46, T (D) = 32

Vậy chi phí thấp nhất là 32 triệu đồng.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện để hệ phương trình trên vô nghiệm là:

$\frac{m}{1}=\frac{1}{m}\ne \frac{m}{m}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{m}{1}\ne \frac{m}{m}\\ \frac{m}{1}=\frac{1}{m}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m^2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m=-1$

Vậy m = −1 thì hệ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Þ D = m(m + 1) − m(m + 4) = m² + m − m² − 4m = −3m

Điều kiện để hệ phương trình trên vô nghiệm là:

D = 0 Û m = 0

Thử lại ta thấy m = 0 thỏa mãn điều kiện.

Vậy m = 0 thì hệ vô nghiệm.

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm A và sản phẩm B. 

Ta có:

x + 6y là thời gian hoạt động của máy I.

2x + 3y là thời gian hoạt động của máy II.

3x + 2y là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy: T = 4x + 3y (triệu đồng).

Bài toán trở thành:

Tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa mãn  $\left\{\begin{array}{l}x+6y\le 36\\ 2x+3y\le 23\\ 3x+2y\le 27\end{array}\right.$ để T = 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ là ngũ giác OABCD, ở đó:

 $O\left(0;0\right),A\left(0;6\right),B\left(\frac{10}{3};\frac{49}{9}\right),C\left(7;3\right),D\left(9;0\right)$

Thay tọa độ các điểm vào biểu thức T ta được T_max = 36 tại x = 7, y = 3.

Vậy nhà máy nên sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B để tiền lãi được nhiều nhất.

Đáp án đúng là: C

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): 2x + 3y − 6 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng đó.

Ta thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa điểm O(0; 0) kể cả (d).

Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

(d₁): 2x + 3y − 6 = 0

(d₂): x = 0

(d₃): 2x − 3y − 1 = 0

Ta thấy (1;1) là nghiệm của các ba bất phương trình.

Điều này có nghĩa là điểm (1;1) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình.

Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Vậy trong tất cả các đáp án, chỉ có một điểm thuộc miền nghiệm của hệ phương trình là:  $D\left(0;-\frac{1}{3}\right)$.

Giả sử ta có số phức z = a + bi (a, b Î ℝ)

Thay vào |z − (3 − 4i)| = 2 có:

|a + bi − (3 − 4i)| = 2

Û |(a − 3) + (b + 4)i| = 2

 $\iff \sqrt{{\left(a-3\right)}^2+{\left(b+4\right)}^2}=2$

Û (a − 3)² + (b + 4)² = 4

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(3; −4) và nán kính R = 2.

Giả sử ta có số phức z = a + bi (a, b Î ℝ)

Thay vào  $2\left|z-i\right|=\left|z-\overline{z}+2i\right|$ có:

2|a + bi − i| = |(a + bi) − (a − bi) + 2i|

Û 2|a + (b − 1)i| = |2bi + 2i|

Û 2|a + (b − 1)i| = 2|(b + 1)i|

Û |a + (b − 1)i| = |(b + 1)i|

 $\iff \sqrt{a^2+{\left(b-1\right)}^2}=\left|b+1\right|$

Û a² + (b − 1)² = (b + 1)²

Û a² + b² − 2b + 1 = b² + 2b + 1

Û a² = 4b

Vậy tập hợp các điểm M là một parabol có phương trình x² = 4y.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có:

 $D{M}^2=A{M}^2+A{D}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{5a^2}{4}$

 $\Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Suy ra  $\left|\overrightarrow{MD}\right|=DM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

(C): x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0

Û (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 25

Û (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Vậy đường tròn (C) có tâm là I(2; −3) và bán kính là R = 5.

C): x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0

Û (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 25

Û (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Suy ra đường tròn (C) có tâm là I(2; −3)

Thay toạ độ điểm M vào phương trình của đường tròn (C) ta có:

5² + 1² − 4.5 + 6.1 − 12 = 0 (luôn đúng)

Do đó điểm M thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên có một vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow{IM}=\left(3;4\right)$

Vậy phương trình của tiếp tuyến d là:

3(x − 5) + 4(y − 1) = 0

Û 3x + 4y − 19 = 0.

Các đa giác có trong hình vẽ là:

- Tam giác ABC; ACD; ADE

- Tứ giác ABCD; ACDE

- Ngũ giác là ABCDE.

Đa giác ABCDE không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh DC.

Đa giác GIJKLH không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh LK.

Đáp án đúng là: A

Ta có: V_{(O; −2)} (d) = d' Þ d' // d  hoặc d' ≡ d.

Þ d' có dạng: 2x − y + m = 0

Chọn N(1; 2) Î d: V_{(O; −2)} (N) = N'(−2 ; −4) Î d'

Þ 2.(−2) − (−4) + m = 0

Û m = 0

Phương trình đường thẳng d': 2x − y = 0

Qua phép đối xứng trục Oy: D_Oy (d') = d''

M(x; y) Î d' Þ D_Oy (M) = M'(x'; y') Î d''

Þ 2(−x)' − y' = 0

Suy ra phương trình ảnh d'' cần tìm là: −2x − y = 0.

Đáp án đúng là: B

Xét đường thẳng D có: 1 + 2.0 − 1 = 0 nên I(1; 0) thuộc đường thẳng D.

Do đó, phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng D thành D' trùng với D, với mọi k ¹ 0.

Vậy phương trình D': x + 2y − 1 = 0.

Đáp án đúng là: B

Đặt  $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\cos x\end{array}\right.$

Khi đó,  $\int x\sin xdx=-x\cos x-\int \left(-\cos x\right)dx=-x\cos x+\int \cos xdx$.

Đáp án đúng là: C

Đặt  $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Khi đó,  $I=\int x.e^{x}dx=x.e^x-\int e^{x}dx=x.e^x-e^x+C$.