• Với k = 1 Þ \[\frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{3}\] ta có điểm M

• Với k = 2 Þ \[\frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3}\] ta có điểm N

• Với k = 3 Þ\[\frac{{k2\pi }}{3} = 2\pi \] ta có điểm A

• Với k = 4 Þ \[\frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{3}\] ta có điểm M

Tương tự với các giá trị khác của k ta cũng chỉ thu được 3 điểm M, N, A trên đường tròn lượng giác và ba điểm đó tạo thành một tam giác đều.

Vậy cung lượng giác \[\frac{{k2\pi }}{3}\] có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều.

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm.

Vậy phương trình f(x) = 3 có 3 nghiệm phân biệt.

Trong hình bình hành có các góc đối nhau và tổng các góc trong hình bình hành phải bằng 360°

Mặt khác ta có: 40° . 2 + 50° . 2 = 180° ≠ 360°.

Vậy hai góc kề của hình bình hành không thể có số đo 40° và 50°.

Tập xác định: D = [0; +∞).

Với x = 0 Þ x – T = −2π ∉ D

Do đó ∃x ∈ D: x – T ∉ D với ∀T > 0

Vậy hàm số không tuần hoàn.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình y' = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Đặt t = x², t ≥ 0 Þ y = t² + 2mt +9

Hàm số y cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Û t² + 2mt +9 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Û D' = m² – 36 > 0

Û m > 6 " m < −6

Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua hai điểm cực trị cần lập là \[{\rm{y}} = - \frac{2}{{9{\rm{a}}}}\left( {{{\rm{b}}^2} - 3ac} \right){\rm{x}} + d - \frac{{bc}}{{9a}}\]

Với a = 1; b = −3; a = 1; b = −3; c = m; d = 0

suy ra \[{\rm{y}} = - \frac{2}{9}\left( {9 - 3{\rm{m}}} \right){\rm{x}} + 0 + \frac{{3{\rm{m}}}}{9} = \frac{{m - 6}}{3} + \frac{m}{3}\] hay \[y = \frac{{m - 6}}{3}x + \frac{m}{3}\]

Do A và B đối xứng nhau qua đường thẳng x − 2y – 5 = 0.

Suy ra \[\frac{{{\rm{m}} - 6}}{3} \cdot \frac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow {\rm{m}} = 0.\]

Vậy m = 0.

Ta có y' = −3x² + 6mx

y' = 0 Û x² – 2mx = 0

Û x = 0 hoặc x = 2m

Đồ thị hàm số có 2 cực trị khi m ¹ 0.

Khi đó 2 điểm cực trị là

M (0; −3m – 1) và N(2m; 4m³ – 3m – 1)

Gọi I là trung điểm MN Þ I(m; 2m³ – 3m – 1)

Vì M, N đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8y – 74 = 0 nên I Î (d) Þ m = 2.

Vậy m = 2.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

Đường thẳng (d₁) là trục tung Oy nên có phương trình x = 0.

Đường thẳng (d₂) đi qua hai điểm (0;2) và \[\left( {\frac{5}{2};0} \right)\] nên có phương trình:

\[\frac{x}{{\frac{5}{2}}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{5} + \frac{y}{2} = 1\]

Û 4x + 5y = 10

Đường thẳng (d₃) đi qua hai điểm (2; 0) và \[\left( {0;\,\, - \frac{5}{2}} \right)\] nên có phương trình:

\[\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - \frac{5}{2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{{2y}}{5} = 1\]

Û 5x – 4y = 10

Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị x dương (kể cả bờ (d₁)).

Lại có (0; 0) là nghiệm của cả hai bất phương trình 4x + 5y ≤ 10 và 5x – 4y ≤ 10.

Vậy miền tam giác ABC biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5x - 4y \le 10\\4x + 5y \le 10\end{array} \right.\].

Ta có \[B = \sqrt {4{a^2} - 4a + 1} \; + \;\sqrt {4{a^2} - 12a + 9} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} \; + \;\sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} \]

\[ = \left| {2a - 1} \right| + \left| {2a - 3} \right|\].

Ta có \[\left| {2a - 1} \right| + \left| {2a - 3} \right| = \left| {2a - 1} \right| + \left| {3 - 2a} \right| \ge \left| {2a - 1 + 3 - 2a} \right| = 2\]

Dấu “=” xảy ra khi 2a – 1 = 3 – 2a

Û 4a = 4 Û a = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2 với a = 1.

\[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x + 5}}\] (x ≥ 0; x ¹ 25)

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \frac{5}{{\sqrt x + 5}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \frac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right) - 10\sqrt x - 5\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 5\sqrt x - 10\sqrt x - 5\sqrt x + 25}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\]\[ = \frac{{x - 10\sqrt x + 25}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 5}}\].

Vậy \[A = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 5}}\].

\[A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}\] (x > 0, x ¹ 1)

\[ = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {x\sqrt x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {x - 2\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\sqrt x - 2x + x - 1 + 1 + 2x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\sqrt x + x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {x + \sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}\]

Vậy \[A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}\].

Điều kiện: x ¹ –y

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y)}^2}\left( {8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13} \right) + 5 = 0}\\{2x + \frac{1}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13 + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{{\left( {x + y} \right)}^2} + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2} = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{{\left( {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right)}^2} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2} = 23\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Đặt \[x + y + \frac{1}{{x + y}} = a;\,\,\,x - y = b\,\,\,\,\,\,\]

Ta có: \[\left( {\frac{{ - 5}}{4};\,\frac{9}{4}} \right)\]

Khi đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{a^2} - 6a + 3 = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2} - 6a - 20 = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 2)(4a + 5) = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

• Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\], ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2(x + y) + 1 = 0}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y - 1)}^2} = 0}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.\]

• Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\], ta có

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{ - 5}}{4}}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)}^2} + \frac{{39}}{{64}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]   (2)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2 \cdot \frac{5}{8}(x + y) + \frac{{25}}{{64}} + \frac{{39}}{{64}} = 0}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)}^2} + \frac{{39}}{{64}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Vì \[{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)^2} + \frac{{39}}{{64}} > 0,\,\,\forall m\] nên không có giá trị m thoả mãn hệ phương trình (2)

Vậy nghiệm (x; y) của hệ phương trình là (0; 1).

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{{(1 - a)}^2} = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{a^2} - 6a + 3 = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2} - 6a - 20 = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 2)(4a + 5) = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

Vậy các nghiệm (a; b) của hệ phương trình là: (2; –1) và \[\left( {\frac{{ - 5}}{4};\,\frac{9}{4}} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có tam giác đều ABC

Þ \[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} \] không cùng hướng

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {BC} \]

Do đó A sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “13 là số nguyên tố” là mệnh đề: “13 không phải là số nguyên tố”.

Gọi P: “2020 chia hết cho 3”

Ta có: 2 + 0 + 2 + 0 = 4 không chia hết cho 3 nên 2020 không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề P sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \[\overline P \]: “2020 không chia hết cho 3”.

Vì khi Cường và Bình giữ nguyên vận tốc thì quãng đường của Bình và Cường không thay đổi thì khi Bình đến đích (là cách 40 m) thì Cường sẽ cách đích là: 

100 – 40 = 60 (m)

Đáp số: 60 m

Ta có: a² = b² + c² – bc nên b² + c² − a²  = bc

Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác, ta có:

\[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow \widehat A = 60^\circ \]

Vậy \[\widehat A = 60^\circ \].

Điều kiện: x ≥ 6

\[\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \]

\[ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {5{x^2} + 4x} - 21} \right) - \left( {\sqrt {{x^2} - 3x - 18} - 6} \right) = 5\sqrt x - 15\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{5{x^2} + 4x - 441}}{{\sqrt {5{x^2} + 4x} + 21}} - \frac{{{x^2} - 3x - 18 - 36}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 18} + 6}} = \frac{{25x - 225}}{{5\sqrt x + 15}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{(x - 9)(5x + 49)}}{{\sqrt {5{x^2} + 4x} + 21}} - \frac{{(x - 9)(x + 6)}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 18} + 6}} - \frac{{25(x - 9)}}{{5\sqrt x + 15}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 9)\left( {\frac{{5x + 49}}{{\sqrt {5{x^2} + 4x} + 21}} - \frac{{x + 6}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 18} + 6}} - \frac{{25}}{{5\sqrt x + 15}}} \right) = 0\]

Dễ thấy \[\frac{{5x + 49}}{{\sqrt {5{x^2} + 4x} + 21}} - \frac{{x + 6}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 18} + 6}} - \frac{{25}}{{5\sqrt x + 15}} > 0\]

Þ x – 9 = 0

Û x = 9 (TM)

Vậy x = 9.

Điều kiện: x² + 2x + 3 ≥ 0

\[{x^2} + 6x + 1 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} \]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 + 4x + 2 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} \]

Đặt \[a = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \]; b = 2x +1, phương trình trở thành:

a² + 2b = ab + 4

⇔ a² − 4− ab + 2b = 0

⇔ (a − 2)(a + 2) − b(a − 2) = 0

⇔ (a − 2)(a – b + 2) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a - b = - 2}\end{array}} \right.\].

Với a = 2 \[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2\]

Û x² + 2x – 1 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 - 1\,\,(tm)}\\{x = - \sqrt 2 - 1\,\,(tm)}\end{array}} \right.\]

Với a – b = −2\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} - (2x + 1) = - 2\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2x - 1\]

⇔ x² + 2x+ 3 = 4x² − 4x + 1

⇔3x² − 6x − 2 =0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {15} }}{3}(tm)}\\{x = \frac{{3 - \sqrt {15} }}{3}\,\,(tm)}\end{array}} \right.\]

Vậy tập hợp giá trị x thỏa mãn là: \[S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 2 ;\frac{{3 \pm \sqrt {15} }}{3}} \right\}\].

sin² x + 2sin x – 3 = 0

Û sin² x – sin x + 3sin x – 3 = 0

Û (sin x – 1)(sin x + 3) = 0

Vì –1 £ sin x £ 1 nên sin x + 3 ¹ 0

Do đó sin x – 1 = 0

Û sin x = 1

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy \[x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\].

• Trường hợp 1: cos x = 0 \[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\].

Khi đó sin² x = 1 ⇔ sin x = ±1

Thay sin x = 1vào phương trình ta có: 4.1− 3.0 − 3.1 − 1.0 = 0 ⇔ 1 = 0 (vô lý)

 \[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]không là nghiệm của phương trình.

• Trường hợp 2: cos x ≠ 0 \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos³ x ta được:

\[4\frac{{si{n^3}x}}{{co{s^3}x}} + 3 - 3\frac{{sinx}}{{cosx}}\frac{1}{{co{s^{_2}}x}} - \frac{{si{n^2}x}}{{co{s^2}x}} = 0 \Leftrightarrow 4ta{n^3}x + 3 - 3tanx(1 + ta{n^2}x) - ta{n^2}x = 0\]

⇔ 4tan³ x + 3 − 3tan x − 3tan³ x − tan² x = 0 ⇔ tan³ x − tan² x − 3tan x + 3 = 0

⇔ tan² x(tan x − 1) − 3(tan x − 1) = 0 ⇔ (tan x − 1)(tan² x − 3) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \sqrt 3 \\\tan x = - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\]

Vậy \[x = \frac{\pi }{4} + k\pi \]hoặc \[x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \].

\[3\sqrt 5 a - \sqrt {20} a + 4\sqrt {45} a + \sqrt a \]

\[ = 3\sqrt 5 a - 2\sqrt 5 a + 12\sqrt 5 a + \sqrt a \]

\[ = 13\sqrt 5 a + \sqrt a \]

Vậy \[3\sqrt 5 a - \sqrt {20} a + 4\sqrt {45} a + \sqrt a = 13\sqrt 5 a + \sqrt a \].

\[5\sqrt {\frac{1}{5}} + \frac{1}{{20}}\sqrt {20} + \sqrt 5 \]

\[ = \sqrt {\frac{{{5^2}}}{5}} + \frac{1}{{\sqrt {20} }} + \sqrt 5 \]

\[ = \sqrt 5 + \frac{1}{{2\sqrt 5 }} + \sqrt 5 \]

\[ = 2\sqrt 5 + \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\]\[ = \frac{{21}}{{2\sqrt 5 }}\].

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\]

Xét: y' = 6x² – 6

Cho y' = 0 ⇔ 6x² – 6 = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = –1 và đạt cực tiểu tại x = 1.

9 m 50 cm = 950 cm

Mà 950 cm > 905 cm.

Vậy 9 m 50 cm > 905 cm.

40 m/s = 144 km/h.

Ta có: \[A = \left( { - \infty ;\,\,m} \right)\]; \[B = \left( {2; + \infty } \right)\]

Để \[A \cup B = \mathbb{R}\] thì m ≥ 2.

Vậy m ≥ 2 thì \[A \cup B = \mathbb{R}\].

Ta có: \[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|1 \le \left| x \right| \le 2} \right\};\,\,B = \left( { - \infty ;m - 2} \right)\, \cup \left[ {m; + \infty } \right)\]

Để \[A \subset B\]thì:

• Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 1\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\]

• Trường hợp 2: m £ –2

Trường hợp 3: m – 2 ≥ 2 Û m ≥ 4

Vậy tập hợp các giá trị m thoả mãn là \[( - \infty ; - 2) \cup 1 \cup (4; + \infty )\].

Để \[A \cap B \ne \emptyset \] thì \[\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 1\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 4\end{array} \right.\]

Vậy để \[A \cap B \ne \emptyset \] thì m Î (0; 4).

Ta có: \[{C_\mathbb{R}}A = [m; + \infty )\]

Để \[({C_\mathbb{R}}A) \cap B \ne \emptyset \]thì 2m + 2 ≥ m Û m ≥ –2

Vậy m ≥ –2.

Gọi x (x ≥ 0 )  là số kg loại I cần sản xuất, y (y ≥ 0 ) là số kg loại II cần sản xuất.

Þ Số nguyên liệu cần dùng là: 2x + 4y

Thời gian làm việc là: 30x + 15y

Mức lời thu được là: 40.000x + 30.000y

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc

Þ 2x + 4y ≤ 200 hay x + 2y – 100 ≤ 0

 30x+ 15y ≤ 1200 hay 2x + y – 80 ≤ 0

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\end{array} \right.\]   (*)

Cần tìm giá trị x, y sao cho L(x; y) = 40.000x + 30.000y đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng (d) : x + 2y – 100 = 0 và (d’) : 2x + y – 80 = 0

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng (tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của L(x; y) đạt tại một trong các điểm là: (0; 0); (40; 0); (0; 50); (20;40)

Ta có:

L(0; 0) = 0;

L(40; 0) = 1 600 000;

L(0; 50) = 1 500 000;

L(20; 40) =  2 000 000.

Þ Giá trị lớn nhất của L(x; y)  là 2 000 000 khi (x; y) = (20; 40).

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.

Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (x ≥ 0)

Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (y ≥ 0)

Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.

Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A và B nên:

400 ≤ x + y ≤ 1000

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn  số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên: \[\left\{ \begin{array}{l}y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3x\end{array} \right.\]

Ta có hệ bất phương trình giữa x và y:

\[\left\{ \begin{array}{l}x \le 600\\y \le 500\\x + y \ge 400\\x + y \le 1000\\y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3x\end{array} \right.\]

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

- Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600.

Vậy miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa điểm O.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

- Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≤ 500: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 500) chứa điểm O.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≥ 400: là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃: x + y = 400) không chứa điểm O.

- Miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + y ≤ 1000: là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄: x + y = 1000) chứa điểm O.

- Miền nghiệm D₅ của bất phương trình \[y \ge \frac{1}{2}x\]: là nửa mặt phẳng bờ d₅ (kể cả bờ d₅: \[y = \frac{1}{2}x\]) chứa điểm M(0; 50).

- Miền nghiệm D₆ của bất phương trình y ≤ 3x: là nửa mặt phẳng bờ d₆ (kể cả bờ d₆: y = 3x) không chứa điểm M (0; 50).

Ta có đồ thị sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của đa giác ABCDEF với:

A(100; 300); \[B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right)\]; C(500; 500); D(600; 400); E(600; 300); \[F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\]

Số tiền trả cho x đơn vị vitamin A và y đơn vị vitamin B là: F (x; y) = 9x + 7,5y.

Để có số tiền phải trả là ít nhất thì F(x; y) phải nhỏ nhất.

• Tại A(100; 300): F = 9.100 + 7,5. 300 = 3150;

• Tại \[B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right)\]: F = 9.  + 7,5. 500 = 5250;

• Tại C(500; 500): F = 9. 500 + 7,5. 500 = 8250;

• Tại D(600, 400): F = 9. 600 + 7,5. 400 = 8400;

• Tại E(600, 300): F = 9. 600 + 7,5. 300 = 7650;

• Tại \[F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\], ta có: \[9 \cdot \frac{{800}}{3} + 7,5 \cdot \frac{{400}}{3} = 3\,\,400\]

Vậy F(x; y) nhỏ nhất là 3150 khi x =100 và y = 300.

Vậy mỗi người sẽ dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo các điều kiện số lượng sử dụng và chi phí phải trả là ít nhất.

x² – 4x + m = 0

Δ = (−4)² − 4.1.m = 16 − 4m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 

16 − 4m > 0 ⇔ −4m > −16 ⇔ m < 4

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1}.{x_2} = m}\end{array}} \right.\]

Ta có: x₁³ + x₂³ − 5(x₁² + x₂²) = 26

⇔(x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂) − 5[(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂] = 26

⇔ 4³ − 3.m.4 – 5(4² − 2m) = 26

⇔ 64 − 12m – 80 + 10m = 26

⇔ −2m = −18

⇔ m = 9 (không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn đề bài.

x² – 4x + m + 1 = 0

Δ = (−4)² − 4.1.(m + 1) = 16 − 4m – 4 = 12 − 4m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thì Δ ≥ 0

⇔ 12− 4m ≥ 0

⇔ m ≤ 3

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1}{x_2} = m + 1}\end{array}} \right.\]

Khi đó x₁² ​+ x₂² = 12

⇔ (x₁​ + x₂​)² − 2x₁​x₂ ​ = 12

⇔ 16 − 2m – 2 = 12

⇔ 14 − 2m = 12

⇔ 2m = 2

⇔ m = 1 (TMĐK)

Vậy m = 1.

Nhận thấy đây là phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow v = (1;5)\]

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = ( - 2; - 10) = - 2\overrightarrow v \] (1)

Vì C, D lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow v = (1;5)\] nên \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow v \] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {AB} \] cùng phương hay AB // AC // BD

Vậy A, B, C, D thẳng hàng.

Với mỗi M(x; y) gọi M' = D_Ox(M) = (x'; y') thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' = - y\end{array} \right.\]

Thay M(2; 3) ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x' = 2\\y' = - 3\end{array} \right.\]

Với mỗi A(x; y) gọi A' = D_OY(A) = (x';y') thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right.\]

Thay A(3; 5) ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - 3\\y' = 5\end{array} \right.\]

Vậy ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục Oy là M’(−3; 5).

Vì \[{T_{\overrightarrow u }}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow {MM'} = (0;3)\]

Lại có: \[{T_{\overrightarrow u }}(A) = A' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + {x_{\overrightarrow u }} = 2 + 0 = 2\\{y_{A'}} = {y_A} + {y_{_{\overrightarrow u }}} = 5 + 3 = 8\end{array} \right.\]

Vậy A’(2; 8).

Phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow v \] biến điểm A thành điểm A′ thì \[\overrightarrow v = \overrightarrow {AA'} = ( - 3;1)\]

Do đó phép tịnh tiến này biến B(0;1) thành B’(0 – 3; 1 + 1) = (–3; 2)

Vậy B’(–3; 2).

Ta có: y = 2x – 1 (1)

y’ = –x + m (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

Û 2x – 1 = –x + m

Û 3x = m + 1

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 nên:

m + 1 = 3. 2

Û m = 5

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 5.

9^x  − 2.3^{x + 1} + m = 0 (1)

Đặt 3^x = t, (t > 0)

Phương trình: t² − 6t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂  phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm t₁, t₂ cùng dương.

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' \ge 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - m \ge 0}\\{ - \frac{{ - 6}}{1} > 0\,\,(tm)}\\{\frac{m}{1} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 9}\\{m > 0}\end{array}} \right.\]

Û 0 < m ≤ 9

Ta có: \[{t_1} = {3^{{x_1}}},\,\,{t_2} = {3^{{x_2}}}\]

\[{t_1}{t_2} = {3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}} = {3^{{x_1} + {x_2}}} = {3^0} = 1\]

Mà t₁t₂ = m nên m = 1

Vậy m = 1.

Với m − 1 ≠ 0 ta xét phương trình: (m – 1)x² – 2mx + m = 0 (1)

Ta có: Δ’ = m² − m(m − 1) = m

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì: Δ′ > 0 ⇔ m > 0

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của (1) và x₁ > 1, x₂ < 1

Ta có: (x₁ − 1)(x₂ − 1) < 0

⇔ x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 < 0 (∗)

Theo Vi-et ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{m}{{m - 1}}}\end{array}} \right.\]

Thay vào (∗) ta có:

\[\frac{m}{{m - 1}} - \frac{{2m}}{{m - 1}} + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\].

Vậy với m > 1thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đường phân giác của góc phần tư thứ hai có phương trình d: y = −x

Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng đường phân giác d: y = −x

Gọi P′(x′;y′) = D_d[P(x;y)] thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2\\y' = - 5\end{array} \right.\]

Vậy P’(2; −5).

Ta có:

y′ = −3x² + 6mx = −3x(x − 2m)

y′ = 0 ⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\]

Khi đó gọi A(0; −3m − 1) và B(2m;4m³ − 3m − 1) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của AB là điểm I(m; 2m³ − 3m − 1) và \[\overrightarrow {AB} = \left( {2m;4{m^3}} \right) = 2m\left( {1;2{m^2}} \right)\]

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( {8; - 1} \right)\]

Theo bài: I Î d và \[\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow u = 0\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 8\left( {2{m^3} - 3m - 1} \right) - 74 = 0\\8 - 2{m^2} = 0\end{array} \right.\]

Û m = 2

Vậy giá trị m thoả mãn là 2.

Ta có: cos x = −1

Û x = p + k2p (k là số nguyên)

Vậy x = p + k2p (k là số nguyên).

Ta có: B = [3; +∞); C = (−∞; −2)

Þ B Ç C = Æ

Vậy B Ç C = Æ.

Mỗi cách xếp 20 thí sinh vào 20 vị trí của một phòng thi là một hoán vị của 20 phần tử,

Số cách xếp là:

P₂₀ = 20! (cách)

Vậy có 20! cách sắp xếp thoả mãn đề bài.

Số phần tử của không gian mẫu là: n(W) = (24!)⁴

Gọi A : “Bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí”

Chọn 2 lượt thi mà Nam ngồi trùng vị trí có: \[C_4^2\] cách

Trong 2 lượt đó, lượt đầu: Nam có 24 cách chọn vị trí, có 23! cách xếp vị trí cho 23 thí sinh còn lại; lượt sau: Nam có 1 cách chọn vị trí, có 23! cách xếp vị trí cho 23 thí sinh còn lại.

\[A_{23}^2.{(23!)^2}\]

\[n(A) = (24.23!)(1.23!).\left( {A_{23}^2.{{(23!)}^2}} \right)\]

\[ = {(23!)^4}.24.22\]

\[ \Rightarrow P(A) = \frac{{C_4^2.{{(23!)}^4}.24.23.22}}{{{{(24!)}^4}}}\]

\[ = \frac{{6.23.22}}{{24.24.24}} = \frac{{253}}{{1152}}\]

Vậy xác suất để trong 4 lần thi bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí là \[\frac{{253}}{{1152}}\].

Ta có:

\[A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| > 4} \right\} = ( - \infty ; - 4) \cup (4; + \infty )\];

\[\,B = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 5 \le x - 1 < 5} \right\} = [ - 4;6)\].

Þ A Ç B = (4; 6)

Vậy A Ç B = (4; 6).

Ta có: sin x + cos x = m

⇔ (sin x + cos x)² = m²

⇔ sin² x + 2sin x.cos x + cos²x = m²

⇔ (sin² x + cos² x) + 2sin x.cos x = m²

⇔ 1 + 2sin x.cos x = m²

\[ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\]

\[ \Rightarrow M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\]

Vậy \[M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\].

Ta có: sin 2x + sin x = 0

Û sin 2x = –sin x

Û sin 2x = sin (–x)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = - x + k2\pi \,\,\,\,\,}\\{2x = \pi + x + k2\pi }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = k2\pi \,\,\,\,\,}\\{x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k2\pi \,}}{3}\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\]

Vì \[x \in \left[ {0;2\pi } \right)\] nên tập nghiệm của phương trình là \[\left\{ {0;\frac{{2\pi }}{3};\pi ;\frac{{4\pi }}{3}} \right\}\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[\left\{ {0;\frac{{2\pi }}{3};\pi ;\frac{{4\pi }}{3}} \right\}\].

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] (a khác 0; a, b, c < 10)

Hàng nghìn a có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4; 5)

Hàng trăm b có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4; 5)

Hàng chục c có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4; 5)

Hàng đơn vị d có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4; 5)

Lập được số các số có 4 chữ số là: 5 . 5 . 5 . 5 = 625 (số)

Vậy lập được 625 số thoả mãn đề bài.

Toạ độ điểm A là:

\[{x_A} = \overline {OA} = - 10\,\,m\]

Toạ độ điểm B là: x_B = 40 m

Độ dời khi đến O là:

s₁ = x_O – x_A = 0 – (–10) = 10 (m)

Vậy độ dời từ A khi người này đến O là 10 m.

Từ đồ thị ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0\]

Gọi x₁ và x₂ lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho (x₁ < x₂)

Từ đồ thị ta thấy: x₁ + x₂ > 0

Þ ab < 0 Þ b > 0

Lại có: x₁.x₂ > 0 Þ ac > 0 Þ c > 0

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ y

Þ d > 0

Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương.

Do chữ số 1 có mặt 3 lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ 8 số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5

Chọn số cho ô đầu tiên có 7 cách.

Chọn số cho ô thứ hai có 7 cách.

…

Chọn số cho ô thứ 8 có 1 cách.

Suy ra có 7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7! cách xếp 8 chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5

vào 8 ô.

Mặt khác chữ số 1 lặp lại 3 lần nên số cách xếp là \[\frac{{7.7!}}{{3!}} = 5880\] (số)

Vậy có 5 880 cách chọn.

B_n là tập hợp các số nguyên chia hết cho n. 

B_m  là tập hợp các số nguyên chia hết cho m.

Để B_n ⊂ B_m thì các phần tử thuộc B_n  cũng thuộc B_m, tức là n chia hết cho m hay n là bội số của m.

Vậy n là bội số của m.

Lớp học 100 học sinh được chia làm 3 nhóm:

Không nói được tiếng

Nói được 1 thứ tiếng hoặc Anh hoặc Pháp

Nói được cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp

Tổng số học sinh không biết và nói được 1 thứ tiếng là:

100 – 23 = 77 (học sinh)

Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là:

70 – 23 = 47 (học sinh)

Số học sinh nói được tiếng pháp là:

45 – 23 = 22 (học sinh)

Số học sinh nói được tiếng Anh hoặc Pháp là:

47 + 22 = 69 (học sinh)

Ta có số học sinh không biết tiếng và số học sinh chỉ biết 1 thứ tiếng là 77 học sinh. Trong đó 69 học sinh chỉ nói được 1 thứ tiếng.

Số học sinh không biết tiếng Anh hoặc Pháp là:

77 – 69 = 8 (học sinh)

Đáp số: 8 học sinh

Ta có: \[\frac{4}{5} = \frac{{40}}{{50}}\]; \[\frac{7}{{10}} = \frac{{35}}{{50}}\]; \[\frac{{12}}{{25}} = \frac{{24}}{{50}}\].

Mà \[\frac{{40}}{{50}} > \frac{{35}}{{50}} > \frac{{24}}{{50}}\].

Vậy môn Toán là môn học được yêu thích nhất.

A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 10 hoặc học môn Tiếng Anh của trường em.

A ∩ B: tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường em.

A \ B: tập hợp các học sinh học lớp 10 nhưng không học môn Tiếng Anh của trường em.

B \ A: tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh của trường em nhưng không học lớp 10 của trường em.

Ta có: A = {1; 3} và B = {1; 2}

A ∪ B = {1; 2; 3}

A ∩ B = {1}

A \ B = {3}

B \ A = {2}

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: y′ = 3x² − 6x = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = - 3\\x = 0 \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\]

Þ A(0; 1) và B(2; −3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

\[\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}\]
⇔ −2x = y – 1 ⇔ y = −2x + 1 (d′)

Vì d ⊥ d′ Þ (2m − 1).(−2) = −1

\[ \Leftrightarrow 2m - 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\]

Vậy \[m = \frac{3}{4}\].

Vì đường thẳng y = 2m – 1x + 3 song song với đường thẳng y = 5x – 1 nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \ne 0\\2m - 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{1}{2}\\m = 3\,\,(TM)\end{array} \right.\]

Vậy với m = 3 thì đường thẳng y = 2m – 1x + 3 song song với đường thẳng y = 5x – 1.

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua 2 điểm (0; 2) và (–1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có: 0 – 2.0 = 0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua 2 điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0;0) thay vào phương trình đường thẳng ta có:

 2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc nềm nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Miền nghiệm của hệ là tam giác ABC với A(1;4), B(0;2), C(2;3)

Ta tính giá trị của F(x; y) = y – x tại các giao điểm:

Tính F(x; y) = y – x suy ra F(1; 4) = 4 – 1 = 3

Tính F(x; y) = y – x suy ra F(0; 2) = 2 – 0 = 2

Tính F(x; y) = y – x suy ra F(2; 3) = 3 – 2 = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) là 1 khi x = 2, y = 3.

Xếp 6 học sinh có 6! cách xếp.

Giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống.

Xếp 3 thầy giáo A, B, C vào 5 khoảng trống trên có: \[A_5^3\] cách

Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là: \[A_5^3.6! = 43\,\,200\] (cách)

Vậy có 43200 cách sắp xếp thoả mãn đề bài.

Gọi số cần lập là \[\overline {abcd} \], \[(a,b,c,d \in \mathbb{N},a \ne 0,\,a,b,c,d < 10)\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn nên d ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.

Xét các trường hợp sau

• d = 0. Số cách lập \[\overline {abc} \] trong đó có các chữ số 8 và 9 là: \[C_7^1.3! = 42\]

• d = 8. Số cách lập \[\overline {abc} \] trong đó có chữ số 9 là: \[C_8^2.3! - C_7^1.2! = 154\]

• d ∈ {2; 4; 6}. Số cách lập \[\overline {abc} \] trong đó có các chữ số 8 và 9 là \[3(C_7^1.3! - 2) = 120\]

Số các số lập được là: 42 + 154 + 120 = 316 (cách)

Vậy có 316 cách thoả mãn.

S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Điều kiện xác định:

x² + 5x – 6 > 0 \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 6\\x > 1\end{array} \right.\]

Vậy tập xác định D là: D = (–¥; –6) È (1; +¥).

Điều kiện xác định: (x³ − 8)¹⁰⁰⁰ > 0 Û x ≠ 2

Vậy tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \].

Dựa vào bảng biến thiên đã cho, phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −1 < m < 2 hay m ∈ (−1; 2) vì lúc đó, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại ba điểm phân biệt.

\[\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Mỗi họ nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác 2 điểm và các điểm khác nhau nên số điểm biểu diễn các nghiệm là 4.

Ta có: \[y' = \frac{{ - {m^2} + 2m + 3}}{{{{(x - m)}^2}}}\]

Hàm số đồng biến trên:

(2; +¥) Û y’ > 0, " x Î (2; +¥)

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 2m + 3 > 0\\x \ne m \in (2; + \infty )\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 3\\m \le 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow - 1 < m \le 2\]

Þ m Î {0; 1; 2}

Vậy S có 3 phần tử.

Điều kiện xác định: mx – m + 2 > 0 ⇔ m(x − 1) > −2

Để hàm số xác định trên [1;+∞) thì m(x − 1) > −2 ∀x ≥ 1 (∗)

+) x = 1Û 0m > −2 đúng với mọi m

+) x > 1\[ \Leftrightarrow m > \frac{{ - 2}}{{x - 1}},\,\,\forall x > 1\,\,\](**)

Xét hàm số \[f(x) = \frac{{ - 2}}{{x - 1}},\,\,\forall x > 1\]

\[f'(x) = \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in (1; + \infty )\,\,\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên:

 Þ m ≥ 0

Vậy để hàm số \[y = {\log _{2020}}(mx - m + 2)\] xác định trên \[[1; + \infty )\] thì m ≥ 0.

Điều kiện: x > 0

Đặt t = log₃x phương trình trở thành t² − 2t – 7 = 0

Có ac = 1.(−7) = −7 < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm t₁, t₂ phân biệt thỏa mãn

\[\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2\\{t_1}{t_2} = - 7\end{array} \right.\]

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = {3^{{t_1}}};\,\,{x_2} = {3^{{t_2}}}\].

Khi đó \[{x_1}.{x_2} = {3^{{t_1}}}{.3^{{t_2}}} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = {3^2} = 9\]

Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho bằng 9.

Ta có: log₂(x² + x + 2) = 3

⇔ x² + x + 2 = 8

⇔ x² + x – 6 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; −3}.

C = 6x(x + 3y −1) − 6x² − 8xy

 = 6x² + 18xy − 6x − 6x² − 8xy

 = (6x² − 6x²) + (18xy − 8xy) − 6x

 = 10xy − 6x

Vậy C = 10xy − 6x.

Ta có: A = 2x²(−3x³ + 2x² + x − 1) + 2x(x² – 3x + 1)

A = 2x²(−3x³) + 2x².2x² + 2x².x+ 2x².( −1) + 2x.x² + 2x.( −3x) + 2x.1

A = − 6x⁵ + 4x² + 2x³ − 2x² + 2x³ – 6x² + 2x

A = − 6x⁵ − 4x² + 4x³ + 2x

Vậy A = − 6x⁵ − 4x² + 4x³ + 2x.

Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

\[\frac{1}{m} = \frac{m}{9} \ne \frac{m}{{m + 6}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{m} = \frac{m}{9}\\\frac{m}{9} \ne \frac{m}{{m + 6}}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 3\end{array} \right.\\{m^2} + 6m \ne 9m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 3\end{array} \right.\\m \ne 0\\m \ne 3\end{array} \right.\]Þ m = −3

Vậy với m = −3 thì hệ phương trình vô nghiệm.

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + my = m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\(m + 1)x + 2my = 2m + 4\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\,\,\\\frac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)(m + 1) + 2my = 2m + 4\,\,\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\left( {m + 2 - my} \right)\,\,\\m(m - 3)y = (m - 3)(m + 2)\,\,\end{array} \right.\]

Để hệ có vô số nghiệm khi phương trình m(m − 3)y = (m − 3)(m + 2) có vô số nghiệm

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m(m - 3) = 0\,\,\\(m - 3)(m + 2) = 0\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]Þ m = 3

Vậy với m = 3 thì hệ phương trình sau vô số nghiệm.

Ta có: 2³ = 8 ; 3² = 9

Vì 8 < 9 nên 2³ < 3²

Vậy 2³ < 3².

a) 2.4.8.8 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 2⁹

b) x.x.x.x.x = x⁵

Giả sử x, y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế

(x, y ≥ 0)

Suy ra 30x + 10y là số gam đường cần dùng;

x + y là số lít nước cần dùng;

x + 4y là số gam hương liệu cần dùng

Theo giả thiết ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 1y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.\]

Theo bài số điểm thưởng nhận được sẽ là P(x;y) = 60x + 80y.

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x, y thỏa mãn hệ bất phương trình.

Miền nghiệm là phần hình vẽ không tô màu ở hình trên hay là ngũ giác OBCDE với O(0; 0), B(0 ;6), C(4; 5), D(6; 3), E(7; 0).

Biểu thức P = 60x + 80y đạt GTLN tại (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Thay lần lượt tọa độ các điểm O, B, C, D, E vào biểu thức P(x; y) ta được:

P(0; 0) = 0; P(0; 6) = 480; P(4; 5) = 640; P(6; 3) = 600; P(7; 0) = 420

Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất là 640.

Phương trình đường thằng d: 2x – y + 1 = 0

Ta thấy vecto chính phương của d là \[\overrightarrow u = (1;2)\]

Do đó phép tính tiến theo \[\overrightarrow u \] biến d thành chính nó.

Vậy \[\overrightarrow v = (k;2k),\,\,k \in \mathbb{Z}\] thì được phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \]  biến d thành chính nó.

Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Đáp án đúng là: C

Giải thích:

• Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

• Hình tròn có tâm đối xứng là tâm của nó.

• Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

• Tam giác đều không có tâm đối xứng.

Hàm số \[y = \frac{1}{{\sin \,\,2x}}\] khi:

sin 2x ¹ 0 Û 2x ¹ kp

\[ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy tập xác định của hàm số \[y = \frac{1}{{\sin \,\,2x}}\] là \[D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,\,(k \in \mathbb{Z})} \right\}\].

Hàm số \[y = \frac{{3\sqrt {\sin \,x} }}{{\cos x + 1}}\] khi: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\]

Vậy tập xác định của hàm số \[y = \frac{{3\sqrt {\sin \,x} }}{{\cos x + 1}}\] là \[D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge k\pi ,\,x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,(k \in \mathbb{Z})} \right\}\].

Ta có: y = 7 + x – x²

Þ y' = 1 – 2x

Þ  y'(1) = 1 – 2. 1 = –1

Vậy y'(1) = –1.

Ta có: y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y' = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’

= (2x – 3)'.(x⁵ – 2x) + (x⁵ – 2x)'.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3)

= 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6

Vậy y' = 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6.

Ta có: A ∩ B = Æ

⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ \[m \ge \frac{1}{2}\]

Vậy \[m \ge \frac{1}{2}\].

G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + 1 + 5}}{3} = 3}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + 2 + 2}}{3} = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy trọng tâm tam giác ABC có toạ độ G(3; 3).

Ta có trong ΔABC có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC

Þ PM là đường trung bình của ΔABC

Þ PM // AB và \[PM = \frac{1}{2}AB = NC\]

\[\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {NC} \]

Ta có:

• \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} \]

• \[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} \]

• \[\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NP} \]

• \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NP} \]

\[ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {CN} \]

\[ = - \left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} } \right) + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NC} \]

\[ = \overrightarrow 0 \]

Vậy \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \].

Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng (d): 2x – y = 0

(d) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M(1;0), ta thấy (1;0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm M(1;0) (miền không được tô màu trên hình vẽ).

Gọi số cần tìm là \[\overline {abcba} \] \[(a \ne 0;\,a,b \in \mathbb{N};a,b < 10)\]

Có 9  cách chọn a ( vì a khác 0)

Có 10 cách chọn b .

Có 10 cách chọn c .

Þ Có số số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau là:

9.10.10 = 900 (số)

Vậy có 900 số thoả mãn.

Ta có: \[AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = 3\]

Vậy AB = 3.

Xét hàm số: \[y = \frac{1}{x}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\] nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{x}\] có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

Xét hàm số: \[y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = - \infty \] nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\]không có tiệm cận ngang.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

• \[{(a + b)^2} \ge 4ab\]\[ \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}}\,\,\,\,\,(1)\]

• \[{(b + c)^2} \ge 4bc\]\[ \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{4} \ge \frac{{bc}}{{b + c}}\,\,\,\,\,(2)\]

• \[{(c + a)^2} \ge 4ac\]\[ \Leftrightarrow \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ca}}{{c + a}}\,\,\,\,\,(3)\]

Cộng 3 vế (1); (2) và (3) ta có:

\[\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}}\]

Hay \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{(a + b) + (b + c) + (c + a)}}{4}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{2(a + b + c)}}{4}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Do đó, giá trị lớn nhất của A = 3 Û a = b = c = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của A = 3.

Ta có: y = (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)

y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)’(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(3 – 4x³)’

y’ = 2(2 + 3x²)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x³) + (1 + 2x)(2 + 3x²)(– 12x²)

y’ = 12 – 16x³ + 18x² – 24x⁵ + 18x – 24x⁴ + 36x² – 48x⁵ – 72x⁵ – 36x⁴ – 48x³ – 12x²

y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12

Vậy y’ = – 144x⁵ – 60x⁴ – 64x³ + 42x² + 18x + 12.

(sin² x)’ = 2sin x.(sin x)’ = 2sin xcos x = sin 2x.

Vậy đạo hàm của hàm số sin² x là sin 2x.

Hai đường tròn phân  biệt có cùng bán kính thì có 1 tâm đối xứng

Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn nối tâm.

d:x + y + 2 = 0 lấy 2 điểm A(0; −2), B(−2; 0) thuộc d.

Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_A}^\prime = 2{x_I} - {x_A} = 2\\{y_A}^\prime = 2{y_I} - {y_A} = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'(2;2)\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_B}^\prime = 2{x_I} - {x_B} = 4\\{y_B}^\prime = 2{y_I} - {y_B} = 0\end{array} \right. \Rightarrow B'(4;0)\]

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. Khi đó d’ đi qua 2 điểm A’B’ nên có phương trình d': x + y − 4 = 0

Vậy ảnh của d là d': x + y − 4 = 0.

Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I(x₀; y₀) biến M(x;y) thành M'(x',y') thì

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2{x_0} - x' = 4 - x'\\y = 2{y_0} - y' = - 8 - y'\end{array} \right.\]

Thay vào phương trình d ta được:

2(4 − x') − 6(−8 − y') + 5 = 0

⇔ 2x' − 6y' − 61 = 0 hay 2x − 6y − 61 = 0

Vậy phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I là 2x − 6y − 61 = 0.

Ta có: B = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ….+ 4⁵⁰

 = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + …. + (4⁴⁸ + 4⁴⁹ + 4⁵⁰)

 = (1 + 4 + 4²) + 4³(1 + 4 + 4²) + …. + 4⁴⁸(1 + 4 + 4²)

 = 21 + 21 . 4³ + …. + 21 . 4⁴⁸

 = 21(1 + 4³ + …. + 4⁴⁸)

Vậy B chia hết cho 21.

Đáp án đúng là: C

• A sai vì: Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

• B sai vì: Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

• D sai vì:Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Phép quay tâm O góc quay  90° biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) với biểu thức tọa độ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - y\\y' = x\end{array} \right.\]

Với M(−6; 1) suy ra M’ có tọa độ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - y = - 1\\y' = x = - 6\end{array} \right.\]

Vậy M' (−1; −6).

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: y′ = 3x² – 3

Cho y′ ≥ 0

⇔ 3x² − 3 ≥ 0

⇔ x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞).

Ta có y’ =3x² – 6x = 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Ta có: dy = y' dx = (sin x – 3cos x)’dx = (cos x + 3sin x)dx

Vậy vi phân của hàm số là (cos x + 3sin x)dx.

Ta có: \[dy = y'dx = {\left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime }dx\]

\[dy = y'dx = {\left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime }dx = \frac{{{x^2} + 1 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx\]

Vậy vi phân của hàm số là \[\frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx\].

\[1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x\]

\[ = \frac{{{{\cos }^3}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{{\cos }^2}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}.\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^3}{\rm{x}}}}{{{{\cos }^3}x}}\]

\[ = \frac{{{{\cos }^2}x.({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}.({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x)}}{{{{\cos }^3}x}}\]

Vậy \[1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{{{\cos }^3}x}}\].

\[\left( {1 + sinx} \right)\left( {\cot x--cosx} \right)\]

\[ = (1 + \sin x)(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \cos x)\]

\[ = \cos x(1 + \sin x).\frac{{1 - \sin x}}{{\sin x}}\]

\[ = \frac{{\cos x(1 - {{\sin }^2}x)}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x.{{\cos }^2}x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}\]

Vậy (1 + sin x)(cot x – cos x) = cos³ x.

Ta có: \[f'(x) = \frac{{1.(x - 1) - 1.(x - 2)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\]

Gọi M(x_M; y_M) là tiếp điểm

Theo bài: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 0\\{y_M} = \frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} - 1}}\end{array} \right. \Rightarrow M(0;2)\]

Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M 

Þ k = f’(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y =1.(x − 0) + 2 hay y = x + 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M là y = x + 2.

Ta có: n(Ω) = 2⁵ = 32.

Biến cố A: “Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó: \[\overline A \]: “Tất cả đều là  mặt ngửa”.

\[ \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{{32}} \Rightarrow P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{32}} = \frac{{31}}{{32}}\].

Vậy xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là \[\frac{{31}}{{32}}\].

Đáp án đúng là: A

Vì 0° < α < β < 90° nên:

0 < sin α < sin β; cos α > cos β > 0; 0 < tan α < tan β; cot α > cot β > 0

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có: y′ = 3x² + 6x – 9

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Þ Hàm số đồng biến trên các khoảng: (−∞; −3) È (1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1)

Xét hàm số: g(x) = f(2x) – 2x + 1 trên đoạn \[\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\]

Ta có: g' (x) = 2f '(2x) – 2

g' (x) = 0 Û f '(2x) = 1

Û 2x = 1 \[ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]

Số nghiệm của phương trình g’(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f’(2x) và đường thẳng y = 1.

Bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x) − 2x + 1 trên đoạn \[\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\]bằng:

g(1) = f(2) – 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x) − 2x + 1 trên đoạn \[\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\] là f(2) – 1.

Ta có: tan a. cot a = 1

\[ \Rightarrow \cot \,\alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\]

Vậy cot a = 2.

Ta có: sin⁶ x + cos⁶ x = (sin² x)³ + (cos² x)³

= (sin² x + cos² x)³ − 3(sin² x + cos² x).sin² x.cos² x

= 1 − 3sin² x.cos² x

Vậy sin⁶ x + cos⁶ x = 1 − 3sin² x.cos² x.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là:

\[\left\{ \begin{array}{l}4 - {x^2} > 0\\2x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 2\\x \ne \frac{3}{2}\end{array} \right.\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( { - 2;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};2} \right)\].

cos² x – sin 2x = 0

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos \,2x + 1}}{2} - \sin \,2x = 0\]

Û cos 2x – 2sin 2x = –1

\[ \Leftrightarrow \sqrt 5 \left[ {\frac{{\sqrt 5 }}{5}\sin \,x - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\cos \,x} \right] = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \sin \,(x - \alpha ) = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\], với a là cung thỏa mãn \[\sin \,\alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]và \[\cos \,\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \\x = \alpha + \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \alpha + \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \] hoặc \[x = \alpha + \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + k2\pi \] \[(k \in \mathbb{Z})\].