Ta thấy các số hạng có dạng tổng quát là k.(k + 4) = k² + 4k

Do đó: A = 1.5 + 2.6 + 3.7 + … + 2023.2027

A = (1² + 2² + 3² + … + 2023²) + 4.(1 + 2 + 3 +… + 2023)

Mà ta có công thức: 1² + 2² + 3² + … + n² = $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Nên A = $\frac{\mathrm{2023.2024.4047}}{6}+4.\frac{2023.\left(1+2023\right)}{2}=\frac{\mathrm{2023.2024.4047}}{6}+\mathrm{2.2024.2023}$

Ta thấy: 2024 chia hết cho cả 11, 23 nên $\frac{\mathrm{2023.2024.4047}}{6}$ chia hết cho 11, 23, 2023 đồng thời 2.2024.2023 chia hết cho 11, 23, 2023.

Vậy A chia hết cho 11, 23, 2023.

Điều kiện xác định: x – 1 ≥ 0 hay x ≥ 1.

$x-\sqrt{x-1}=3$

⇔ $\left(x-1\right)-\sqrt{x-1}-2=0$

Đặt $\sqrt{x-1}=t\left(t\ge 0\right)$

Ta có: t2 – t – 2 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}t=-2\left(L\right)\\ t=1\end{array}\right.$

Với t = 1 thì $\sqrt{x-1}=1$

⇔ x – 1 = 1

⇔ x = 2.

Vậy x = 2.

Ta có: 2n + 3 = 2(n – 2) + 7

Vì 2(n – 2) chia hết cho n – 2 nên để 2n + 3 chia hết cho n – 2 thì 7 chia hết cho (n – 2)

Hay (n – 2) ∈ Ư(7)

⇒ n – 2 ∈ {1;7} (vì n là số tự nhiên)

⇒ n ∈ {3; 9}

Vậy n = 3 hoặc n = 9.

A = tanα + cotα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha }=\frac{1}{\frac{1}{2}.\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}$.

a) Vì a // b nên $\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=180°$ (2 góc trong cùng phía)

Suy ra: $\widehat{B_1}=180°-120°=60°$

b) Lại có: $\widehat{A_1}=\widehat{B_4}=120°$ (2 góc đồng vị)

c) $\widehat{A_1}=\widehat{B_2}=120°$ (2 góc so le trong).

Gọi d = ƯCLN(3n + 11, 3n + 2)

⇒ 3n + 11 ⋮ d; 3n + 2 ⋮ d

Suy ra: (3n + 11) – (3n + 2) ⋮ d

Hay 9 ⋮ d

Suy ra: d = 1; 3; 9

Ta có: 3n chia hết cho 3 và 11 không chia hết cho 3 nên 3n + 11 không chia hết cho 3

Tức là 3n + 11 cũng không chia hết cho 9

Suy ra: d = 1.

⇒ ƯCLN(3n + 11, 3n + 2) = 1

Vậy 3n + 11 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau .

n² + n + 1 = n(n + 1) + 1

Vì n(n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1) chia hết cho 2 hay n(n + 1) là một số chẵn

Do đó n(n + 1) + 1 là một số lẻ

Mà số lẻ thì không chia hết cho 4.

Vậy n² + n + 1 không chia hết cho 4.

A = 7²⁰²² – 7²⁰²¹ + 7²⁰²⁰ – 7²⁰¹⁹ + … + 7² – 7

⇔ 7A = 7²⁰²³ – 7²⁰²² + 7²⁰²¹ – 7²⁰²⁰ + … + 7³ – 7²

⇔ 7A + A = 7²⁰²³ – 7²⁰²² + 7²⁰²¹ – 7²⁰²⁰ + … + 7³ – 7² + 7²⁰²² – 7²⁰²¹ + 7²⁰²⁰ – 7²⁰¹⁹ + … + 7² – 7

⇔ 8A = 7²⁰²³ – 7

⇔ $A=\frac{7^{2023}-7}{8}$

Ta thấy:

5 = 1.2 + 3

14 = 5.2 + 4

33 = 14.2 + 5

72 = 33.2 + 6

Số tiếp theo là: 72.7 + 7 = 151.

Với m = 2 ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2\\ 2x-2y=1\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}3x=3\\ 2x-2y=1\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ 2-2y=1\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy khi m = 2 thì phương trình có nghiệm (x; y) = $\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

Ta xét B = 1 + 2 + 3 + … + n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

2A = (n⁵ + 1) + [(n – 1)⁵ + 2⁵] + [(n – 2)⁵ + 3⁵] + … + (1 + n⁵)

Nhận thấy mỗi số hạng của 2A đều chia hết cho (n + 1) nên 2A ⋮ (n + 1) (1)

Lại có: 2A – 2n⁵ = [(n – 1)⁵ + 1⁵] + [(n – 2)⁵ + 2⁵] + … chia hết cho n

Do 2n⁵ ⋮ n nên 2A ⋮ n (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2A ⋮ n(n + 1) do đó 2A ⋮ 2B hay A ⋮ B.

Gọi x (triệu đồng) là giá ban đầu của xe

Sau hai lần giảm 10% và 5%, giá tiền là:

x.(100 − 10)%. (100 − 5)% = 0,855x

Sau lần tăng 8%, giá tiền là:

0,855x.(100 + 8)% = 0,9234x

Giá hiện tại là 7,3872 triệu đồng nên ta có:

0,9234x = 7,3872

⇔ x = 8

Vậy giá xe ban đầu là 8 triệu đồng.

5 – (1997 – 2005) + 1997

= 5 – 1997 + 2005 + 1997

= 5 + 2005

= 2010.

a) a = x² – xy = x(x – y)

Vì x khác 0 vì x khác y nên x – y ≠ 0

Suy ra: x(x – y) ≠ 0

Vậy a ≠ 0.

b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-xy=y^2-yz\left(1\right)\\ y^2-yz=z^2-zx\left(2\right)\\ z^2-zx=x^2-xy\left(3\right)\end{array}\right.$

Lấy (3) trừ (1): 2xy = xz + yz – z² + 2x² – y²

Lấy (3) trừ (2): 2zx = xy + yz + 2z² – x² – y²

Lấy (2) trừ (1): 2yz = 2y² + xy + xz – x² – z²

Cộng lại ta được: yz + xz + xy = 0 do đó: $\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$.

Diện tích viên gạch hình vuông là: 60.60 = 3600 (cm²)

Diện tích nền căn phòng hình vuông là: 3600.400 = 1440000 (cm²)

Đổi 1440000 cm² = 144 m²

Vì 144 = 12.12 nên cạnh nền căn phòng hình vuông đó là 12m.

x² – 4x + 4 = 25

⇔ x² – 4x – 21 = 0

⇔ x² – 7x + 3x – 21 = 0

⇔ x(x – 7) + 3(x – 7) = 0

⇔ (x – 7)(x + 3) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=7\\ x=-3\end{array}\right.$

Vậy x = 7 hoặc x = -3.

Xét: $\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n-1\right)}$

$\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

$\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}$

Suy ra: $1+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1+1-\frac{1}{n}$

Do trong mỗi phần thưởng, số bút bi, số bút chì và số tập giấy trong mỗi phần thưởng phải bằng nhau nên số bút bi, số bút chì và số tập giấy phải chia hết cho số bút bi, số bút chì và số tập giấy trong mỗi phần thưởng.

Vậy số phần thưởng phải là ước chung của 240, 210, và 180.

Do số phần thưởng là lớn nhất nên số phần thưởng sẽ là 

ƯCLN(240,210,180)

Ta có:

240 = 2⁴.3.5

210 = 2.3.5.7

180 = 2².32.5

Vậy ƯCLN(240,210,180) = 2.3.5 = 30

Mỗi phần thưởng có số bút bi là

240 : 30 = 8 (cái)

Mỗi phần thưởng có số bút chì là

210 : 30 = 7 (cái)

Mỗi phần thưởng có số tập giấy là

180 : 30 = 6 (tập)

Vậy có thể chia nhiều nhất thành 30 phần thưởng, mỗi phần thưởng có 8 bút bi, 7 bút chì, và 6 tập giấy.

Khi làm tròn a đến hàng đơn vị thì bằng 56 vậy a có số đơn vị là 56

Gọi số chữ số thập phân của a là x

Ta có 56 < 56,x < 56,5 với x lớn nhất vậy x là 49.

Số cần tìm là 56,49.

A = sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}.2\sin x.\cos x.\cos 2x.\cos 4x.\cos 8x \\ A=\frac{1}{2}.\sin 2x.\cos 2x.\cos 4x.\cos 8x \\ A=\frac{1}{4}.\left(2.\sin 2x.\cos 2x\right).\cos 4x.\cos 8x \\ A=\frac{1}{4}.\sin 4x.\cos 4x.\cos 8x \\ A=\frac{1}{8}.\left(2.\sin 4x.\cos 4x\right)\cos 8x \\ A=\frac{1}{8}.\sin 8x.\cos 8x \\ A=\frac{1}{16}\mathrm{.2.}\sin 8x.\cos 8x \\ A=\frac{1}{16}.\sin 16x \end{gathered}$$

cota = 15

⇔ $\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}+1={15}^2+1=226$

⇔ $\frac{1}{{\sin }^{2}a}=226$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{\sin }^{2}a=\frac{1}{226}\\ {\cos }^{2}a=\frac{225}{226}\end{array}\right.$

Suy ra: sin2a = 2sina.cosa = $\pm \frac{15}{113}$.

Điều kiện:

20 − 2x ≥ 0

⇔ 2x ≤ 20

⇔ x ≤ 10

a) Cạnh khu đất còn lại là:

20 − 2x (m)

Diện tích khu đất còn lại là:

(20 − 2x)(20 − 2x) = 4x² − 80x + 400 (m²)

b) Diện tích khu vườn là:

20.20 = 400 (m²)

Diện tích khu đất còn lại là:

400 – 144 = 256 (m²)

Ta có: 4x² – 80x + 400 = 256

⇔ 4x² – 80x + 144 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=18\\ x=2\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện: x = 2

Vậy x = 2.

Số chính phương có dạng n² là số có tận cùng bằng 0; 1; 4; 5; 6; 9.

Xét n² có tận cùng là 0, mà 0 : 5 = 0 dư 0

Tận cùng là 1; 1 : 5 = 0 dư 1

Tận cùng là 4; 4 : 5 = 0 dư 4

Tận cùng là 5; 5 : 5 = 1 dư 0

Tận cùng là 6; 6 : 5 = 1 dư 1

Tận cùng là 9; 9 : 5 = 1 dư 4

Vậy một số chính phương khi chia cho 5 có thể có số dư là 0, 1, 4.

Tổng 2 số là số lớn nhất chữ số: 99

Hiệu 2 số là số lẻ bé nhất có 2 chữ số: 11

Số lớn là: (99 + 11) : 2 = 55

Số bé là: (99 − 11) : 2 = 44.

Vậy số lớn là 55, số bé là 44.

Phần còn lại để trồng trọt là hình vuông có cạnh:    

20 - 2 - 2 = 16 (m)

Diện tích trồng trọt của mảnh vườn là:     

16. 16 = 256 (m²)

Vậy diện tích trồng trọt của mảnh vườn là 256m².

Số bé nhất có 4 chữ số là 1000. Vậy tổng là 1000

Số chẵn lớn nhất có 2 chữ số là 18. Vậy hiệu là 18.

Số lớn là:

(1000 + 18) : 2 = 509

Số bé là:

1000 – 509 = 491.

Vậy số lớn là 509, số bé là 491.

Số lớn nhất có 3 chữ số là 999. Nên tổng là 999.

Số lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số là 11. Nên hiệu là 11.

Số lớn là: (999 + 11) : 2 = 505

Số bé là: 505 – 11 = 494.

Vậy số lớn là 505, số bé là 494.

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA (định lí côsin)

⇔ BC² = 6² + 8² – 2.6.8.cos100°

⇔ BC² ≈ 116,7

⇔ BC ≈ 10,8.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

⇔ R = $\frac{10,8}{2\sin 100°}\approx 5,5$.

1. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² – mx – 3 = 0 (*)

∆ = m² + 12 > 0 với mọi m

Nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

2. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\left(2\right)\\ x_1{x}_2=-3\left(3\right)\end{array}\right.$

Theo đề bài: 2x₁ + x₂ = 1 (4)

Từ (2) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ 2x_1+x_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1-m\\ x_1+x_2=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1-m\\ x_2=2m-1\end{array}\right.$

Thay vào (3) ta được: (1 – m)(2m – 1) = -3

⇔ 2m² – 3m – 2 = 0

⇔  $\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

P = 2a³ + 6ab + 2b³ – 2024

P = 2[(a + b)³ – 3ab(a + b)] + 6ab – 2024

P = 2[1 – 3ab(a + b)] + 6ab – 2024

P = 2(1 – 3ab) + 6ab – 2024

P = 2 – 6ab + 6ab – 2024

P = – 2022.

Ta có: m + 2014n = 2015(m + n) – (n + 2014m)

Do 2015(m + n) ⋮ 2015 và m + 2014n ⋮ 2015

Nên: n + 2014m chia hết cho 2015.

ĐKXĐ: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+3\ge 0\\ 25-4x^2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge 3\end{array}\right.\\ \frac{-5}{2}\le x\le \frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \frac{-5}{2}\le x\le 1$

Bình phương 2 vế (*) ta được:

x² – 4x + 3 = 4(25 – 4x²)

⇔ x² – 4x + 3 = 100 – 16x²

⇔ 17x² – 4x – 97 = 0

∆ = 16 + 6596 = 6612

Suy ra phương trình có 2 nghiệm: $\left[\begin{array}{l}x=\frac{4+\sqrt{6612}}{34}\\ x=\frac{4-\sqrt{6612}}{34}\end{array}\right.$.

(a – 1)(x² – bx + 3) = 2x² + 5x + c

⇔ (a – 1)x² – (a – 1)bx + 3(a – 1) = 2x² + 5x + c

Suy ra ta có: $\left\{\begin{array}{l}a-1=2\\ -\left(a-1\right)b=5\\ 3\left(a-1\right)=c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=\frac{-5}{2}\\ c=6\end{array}\right.$.

Dựa vào số mũ ta có thể thấy A có tất cả 2022 số hạng nên chia làm 674 nhóm, mỗi nhóm 3 hạng tử

Ta có: A = 1 + 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰²¹

A = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + … + (4²⁰¹⁹ + 4²⁰²⁰ + 4²⁰²¹)

A = (1 + 4 + 4²) + 4³(1 + 4 + 4²) + … + 4²⁰¹⁹(1 + 4 + 4²)

A = (1 + 4 + 4²)(1 + 4³ + … + 4²⁰¹⁹)

A = 21.(1 + 4³ + … + 4²⁰¹⁹)

Vì 21 chia hết cho 21 nên 21.(1 + 4³ + … + 4²⁰¹⁹) chia hết cho 21.

Vậy A chia hết cho 21.

8,5 lít xăng nặng số kg là:

8,22 – 1,25 = 6,97 (kg)

1 lít xăng nặng số kg là:

6,97 : 8,5 = 0,82 (kg)

28,3 lít xăng nặng số kg là:

28,3 . 0,82 = 23,206 (kg)

Một thùng xăng chứa 28,3 lít xăng nặng số kg là:

23,206 + 3,08 = 26,286 (kg)

Đáp số: 26,286 kg.

x⁹⁹ + x⁵⁵ + x¹¹ + x + 7

= x(x⁹⁸ + 1) + x(x⁵⁴ + 1) + x(x¹⁰ + 1) – 2x + 7

Chú ý rằng (x²)⁴⁰ + 1, (x²)²⁷ + 1, (x²)²⁵ + 1 chia hết cho x² + 1.

Như vậy số dư cần tìm là –2x + 7.

Ta có:

x⁴ + ax³ + bx – 1

= x⁴ + ax³ + x² – x² + bx – 1

= x²(x² + ax + 1) – (x² + ax + 1) + bx – ax

= (x² + ax + 1)(x² – 1) + x(b – a)

Ta thấy: (x² + ax + 1)(x² – 1) ⋮ x² – 1 nên để x⁴ + ax³ + bx – 1 chia hết cho x² – 1 thì x(b – a) chia hết cho x² – 1

Suy ra: b – a = 0 hay a = b

Vậy a = b thì x⁴ + ax³ + bx – 1 chia hết cho x² – 1.

x thuộc B(12) ={12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108;...}

+ Mà 30 < x < 100

⇒ x = {36; 48; 60; 72; 84; 96}

Vậy x ={36; 48; 60; 72; 84; 96}.

Hai điểm bất kì trong n điểm trên tạo thành hai véctơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nên số các véctơ đó là: $2.C_n^2=2.\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=n\left(n-1\right)$

Nhận xét: Có thể hiểu mỗi véctơ là một chỉnh hợp chập 2 của n điểm.

Nên số véctơ là: $A_n^2=\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=n\left(n-1\right)$.

cos3x = cos7x

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}3x=7x+k2\pi \\ 3x=-7x+k2\pi \end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-k\frac{\pi }{2}\\ x=k\frac{\pi }{5}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

a) $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

⇔ $-2\overrightarrow{AI}+3\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $-5\overrightarrow{AI}=-3\overrightarrow{AB}$

⇔ $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$

⇔ $k=\frac{3}{5}$

b) $\overrightarrow{MI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{MB}$

⇔ $\overrightarrow{MI}=\frac{2}{5}\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)$

⇔ $\overrightarrow{MI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{MI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{MI}+\frac{2}{5}\overrightarrow{IA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IB}$

⇔ $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MI}+\frac{1}{5}\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}\right)$

⇔ $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MI}$ (Luôn đúng).

Đặt $\sqrt{\frac{a}{b}}=x;\sqrt{\frac{b}{c}}=y;\sqrt{\frac{c}{a}}=z$

BĐT cần chứng minh trở thành: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² với xyz = 1

Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi:

(x³ + y³ + z³)(x + y + z) ≥ (x² + y² + z²)²

⇔ x³ + y³ + z³ ≥ $\frac{{\left(x^2+y^2+z^2\right)}^2}{x+y+z}\left(1\right)$

Theo BĐT AM-GM có:

x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz

⇔ 3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)²

⇔ x² + y² + z² ≥  $\frac{{\left(x+y+z\right)}^2}{3}\ge \frac{\left(x+y+z\right).3\sqrt[3]{xyz}}{3}=x+y+z$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x³ + y³ + z³ ≥ x² + y² + z² (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.

$\overrightarrow{AB}=\left(4;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(3;3\right),\overrightarrow{BC}=\left(-1;3\right)$

AB = $\sqrt{4^2+0}=4$

AC = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$

BC = $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2}=\sqrt{10}$

Chu vi tam giác ABC = AB + AC + BC = $4+3\sqrt{2}+\sqrt{10}$

$\overrightarrow{BC}=\left(-1;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=\left(-3;-1\right)$

Phương trình đường thẳng BC là: -3(x – 3) + -1(y – 1) = 0 hay -3x – y + 10 = 0

d(A, BC) = $\frac{\left|\left(-1\right).\left(-3\right)+1.\left(-1\right)+10\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{12}{\sqrt{10}}$

S_ABC = $\frac{1}{2}d\left(A;BC\right).BC=\frac{1}{2}.\frac{12}{\sqrt{10}}.\sqrt{10}=6\left(dvdt\right)$.

Gọi chiều rộng là a, thì chiều dài là 4a.

Diện tích ban đầu là: 4a.a = 4a²

Ta có: (4a + 2)(a + 2) = 4a.a + 94

⇔ 4a² + 10a + 4 = 4a² + 94

⇔ 10a + 4 = 94

⇔ 10a = 90

⇔ a = 9

Vậy chiều rộng là 9m

Chiều dài là: 9.4 = 36 (m)

Chu vi hình chữ nhật là: (36 + 9).2 = 90 (m)

Diện tích hình chữ nhật là: 36.9 = 324 (m²).

A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰²¹

2A = 2(1 + 2¹ + 2² + … + 2²⁰²¹) = 2 + 2² + … + 2²⁰²²

2A – A = (2 + 2² + … + 2²⁰²²) – (1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰²¹)

A = 2²⁰²² – 1

Lại có: 2^x = A + 1 = 2²⁰²² – 1 + 1 = 2²⁰²²

Vậy x = 2022.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{2}$. ⇒ cosα = 2sinα

Ta có: $\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\frac{2\sin \alpha +\sin \alpha }{2\sin \alpha -\sin \alpha }=\frac{3\sin \alpha }{\sin \alpha }=3$.

Xét phương trình: cos²x – 4cosx + m = 0 (1)

Đặt t = cosx (|t| ≤ 1)

Khi đó phương trình (1) trở thành: t² – 4t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn |t| ≤ 1

Phương trình (2) có nghiệm khi: 

Δ′ ≥ 0 ⇔ 4 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4

Khi đó phương trình có nghiệm là: $\left[\begin{array}{l}t=2+\sqrt{4-m}\\ t=2-\sqrt{4-m}\end{array}\right.$

Mà |t| ≤ 1

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left|2+\sqrt{4-m}\right|\le 1\\ \left|2-\sqrt{4-m}\right|\le 1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{4-m}\le -1\left(L\right)\\ \left|2-\sqrt{4-m}\right|\le 1\end{array}\right. \\ \iff \left|2-\sqrt{4-m}\right|\le 1 \\ \iff \left[\begin{array}{l}2-\sqrt{4-m}\le 1\\ 2-\sqrt{4-m}\ge -1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{4-m}\ge 1\\ \sqrt{4-m}\le 3\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{4-m}\ge 1\\ \sqrt{4-m}\le 3\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge -5\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇔ -5 ≤ m ≤ 3.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được: −5 ≤ m ≤ 3

Vậy với −5 ≤ m ≤ 3 thì phương trình đã cho có nghiệm.

C = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{99}}$

4C = $2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{97}}$

4C – C = $\left(2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{97}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{99}}\right)$

3C = $2-\frac{1}{2^{99}}$

C = $\frac{2}{3}-\frac{1}{{3.2}^{99}}=\frac{3.\left(2^{100}-1\right)}{3^2{.2}^{99}}=\frac{2^{100}-1}{{3.2}^{99}}$.