a) Ta có C = 5 + 5² + … + 5²⁰

= 5(1 + 5 + 5² + ... + 5¹⁹) ⋮ 5

Vậy C ⋮ 5.

b) Ta có C = 5 + 5² + … + 5²⁰

= (5 + 5²) + 5²(5 + 5²) + ... + 5¹⁸(5 + 5²)

= 30 + 5².30 + ... + 5¹⁸.30

= 30(1 + 52 + ... + 518)

= 5.6.(1 + 52 + ... + 518) ⋮ 6

Vậy C ⋮ 6.

c) Ta có C = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) +... + (5¹⁷ + 5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

= (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁴(5 + 5² + 5³ + 5⁴) + ... + 5¹⁶(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

= 780 + 5⁴.780 + .... + 5¹⁶.780

= 780(1 + 5⁴ + ... + 5¹⁶)

= 13.60.(1 + 5⁴ + ... + 5¹⁶) ⋮ 13

Vậy C ⋮ 13.

x + y = 12

⇔ (x + y)² = 144

⇔ x² + 2xy + y² = 144

⇔ x² + y² = 144 – 2xy

⇔ x² + y² = 144 – 2.32 = 80

Bình phương 2 vế:

(x² + y²)² = 80²

⇔ x⁴ + y⁴ + 2x²y² = 6400

⇔ x⁴ + y⁴ = 6400 - 2(xy)²

⇔ x⁴ + y⁴ = 6400 – 2.32²

⇔ x⁴ + y⁴ = 4352.

Vậy x⁴ + y⁴ = 4352.

Tổng số hạng của dãy là:

(200 – 1) : 1 + 1 = 200 (số hạng)

Số lẻ bắt đầu từ 1 và kết thúc là 199, mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ là:

(199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số lẻ)

Số các số chẵn là:

200 – 100 = 100 (số chẵn).

Xét từng hàng, ta có:

Hàng đơn vị và hàng chục: b + c + 1 = 10 + c

⇒ b = 9

Hàng trăm: a + a + 1 = 9

⇒ a + a = 9 – 1 = 8

⇒ a = 4

Hàng đơn vị: c + 9 = 4 (loại vì không có số tự nhiên + 9 = 4)

⇒ c + 9 = 14

⇒ c = 14 − 9

⇒ c = 5

Vậy phép cộng trên là: 495 + 459 = 954.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}z+\left(\frac{3}{4}x+\frac{3}{x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{9}{2y}\right)+\left(\frac{4}{z}+\frac{1}{4}z\right) \\ A\ge \frac{1}{4}\left(x+2y+3z\right)+2\sqrt{\frac{3}{4}x.\frac{3}{x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y.\frac{9}{2y}}+2\sqrt{\frac{4}{z}.\frac{1}{4}z} \\ A\ge \frac{1}{4}.20++3+3+2=13 \end{gathered}$$

Gọi số nhà của Alice là $\overline{abcd}$

Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 5 nên d = 0 hoặc d = 5.

* Nếu d = 0 thì số nhà Alice có dạng $\overline{abc0}$

Ta có: $\overline{bc0a}-\overline{abc0}=4707$

Ta thấy: a – 0 = 7 (hàng đơn vị) nên a = 7.

Suy ra có: $\overline{bc07}-\overline{7bc0}=4707$

⇔ $\overline{bc07}=\overline{7bc0}+4707$

Giả sử số nhỏ nhất của $\overline{7bc0}$ là 7000 thì 7000 + 4707 = 11707 là số có 5 chữ số. Nên loại.

* Nếu d = 5 thì số nhà Alice có dạng $\overline{abc5}$

Ta có: $\overline{bc5a}-\overline{abc5}=4707$

Xét hàng đơn vị: a – 5 = 7, vì a có 1 chữ số nên a = 2

Xét hàng chục: 5 – c = 0 (nhớ thêm 1 từ hàng đơn vị) nên c = 4

Khi đó: $\overline{b452}-\overline{2b45}=4707$ (*)

Xét chữ số b có: 4 – b = 7 (nên b = 7)

Thay vào (*): 7452 – 2745 = 4707 (đúng, thỏa mãn)

Vậy số nhà Alice là 2745.

(2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4cos²x

⇔ (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4(1 - sin²x)

⇔ (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4 + 4sin²x

⇔ (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 4sin²x – 1

⇔ (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = (2sinx – 1)(2sinx + 1)

⇔ (2sinx – 1)(2sin2x + 1 – 2sinx - 1) = 0

⇔ 2.(2sinx – 1)(sin2x – sinx) = 0

⇔ 2.(2sinx – 1)(2sinxcosx – sinx) = 0

⇔ 2.(2sinx – 1).sinx(2cosx – 1) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=0\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Vì số nam và số nữ chia đều vào các tổ nên 24 ⋮ x, 28 ⋮ x

Hay x thuộc ƯC(24;28)

Có ƯCLN(24;28) = 2² = 4.

Nên x ∈ Ư(4) = {1;2;4}

Có 2 cách để chia đều số học sinh là chia thành 2 tổ và 4 tổ

Nếu chia thành 2 tổ thì mỗi tổ sẽ có: 28 : 2 = 14 nam và 24 : 2 = 12 nữ

Nếu chia thành 4 tổ thì mỗi tổ sẽ có: 28 : 4 = 7 nam và 24 : 4 = 6 nữ

Vậy chia thành 4 tổ thì mỗi tổ sẽ có ít học sinh nhất.

Xét góc vuông $\widehat{mOn}$ quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D nên $\widehat{COD}=90°$

a) Kẻ OH ⊥ CD

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao nên DO đồng thời là phân giác của $\widehat{CDE}$

Suy ra $\widehat{CDE}=\widehat{CDO}$

Xét ∆HOD và ∆BOD có

$\widehat{DHO}=\widehat{DBO}=90°$

OD là cạnh chung

$\widehat{H}=\widehat{ODB}$

Suy ra ∆HOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó OH = OB, HD = BD (các cặp cạnh tương ứng)

Mà OB là bán kính của (O)

Suy ra H thuộc (O)

Lại có OH ⊥ CD nên CD là tiếp tuyến của (O)

c)  Xét ∆HOC và ∆AOC có

OH = OA (= OB)

$\widehat{CHO}=\widehat{CAO}=90°$

OC là cạnh chung

Suy ra ∆HOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó HC = AC

Xét tam giác COD vuông tại O có OH ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác có

OH² = CH . DH

Ta có: $AC.BD=CH.DH=O{H}^2=O{A}^2={\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=\frac{B{C}^2}{4}$

Vậy $AC.BD=\frac{A{B}^2}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}.\frac{b+1}{8}.\frac{c+1}{8}}=\frac{3a}{4}$

Tương tự: $\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c+1}{8}+\frac{a+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}.\frac{c+1}{8}.\frac{a+1}{8}}=\frac{3b}{4}$

$\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c+1}{8}+\frac{a+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}.\frac{c+1}{8}.\frac{a+1}{8}}=\frac{3c}{4}$

Suy ra: $\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge \frac{3}{4}\left(a+b+c\right)$

$\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge \frac{3}{4}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$ (BĐT Cô-si)

Vậy $\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Khái niệm khối đa diện:

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện và kể cả hình đa diện đó.

* Khối đa diện cần biểu diễn: 3 hình chiếu (hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh)

* Nếu mặt đáy của hình lăng trụ đáy tam giác đều song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh thì hình chiếu cạnh là hình chữ nhật.

(x + 2)(x + 2) – (x – 2)(x – 2) = 8x

⇔ (x + 2)² – (x – 2)² = 8x

⇔ (x + 2 + x – 2)(x + 2 – x + 2) = 8x

⇔ 2x.4 = 8x

⇔ 8x = 8x (luôn đúng)

Vậy phương trình có vô số nghiệm

x⁴ – 2x³ + 2x – 1

= x⁴ – x³ – x³ + x² – x² + x + x – 1

= x³(x – 1) – x²(x – 1) – x(x – 1) + (x – 1)

= (x – 1)(x³ – x² – x + 1)

= (x – 1)[x²(x – 1) – (x – 1)]

= (x – 1)(x – 1)(x² – 1)

= (x – 1)³(x + 1).

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

⇔ $\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$

⇔ (ab + bc + ca)(a + b + c) = abc

⇔ (ab + bc + ca)(a + b) + (abc + bcc + cca - abc) = 0

⇔ (ab + bc + ca)(a + b) +c²(a + b) = 0

⇔ (a + b)(a + c)(b + c) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}a+b=0\\ b+c=0\\ c+a=0\end{array}\right.$

Suy ra: trong a, b, c có 2 số đối nhau

Giả sử a, b đối nhau khi đó vì n lẻ nên $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{{\left(-a\right)}^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+{\left(-a\right)}^n+c^n}$ (đúng)

Vậy $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$

Các tập con của A là: ∅; {1}; {2};{3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}.

Vậy tập hợp A có 8 tập hợp con.

A∩B = ∅ ⇔ $\left[\begin{array}{l}m+2\le 0\\ m\ge 5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le -2\\ m\ge 5\end{array}\right.$

Vậy A∩B ≠ ∅ khi -2 < m < 5.

Vậy m ∈ [-1;4]

Có: 4 – (-1) + 1 = 6 số nguyên m.

tan5x.tanx = 1

⇔ $\tan 5x=\frac{1}{\tan x}$

⇔ tan5x = cotx = $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

⇔ $5x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi$

⇔ $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{6}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Nghiệm âm lớn nhất khi k = -1

Vậy $x=\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{6}=\frac{-\pi }{12}$

Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ 0)

Vậy đồ thị của hàm số y = ax + 3 song song với đường thẳng y = -2x khi và chỉ khi a = a' tức là: a = -2.

Hàm số có dạng y = 2x + 3.

sin⁴a + cos⁴a = (sin²x + cos²x)² – 2sin²xcos²x = 1 – 2(sinxcosx)²

$$\begin{gathered} =1-2{\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2 \\ =1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x \\ =1-\frac{1}{2}\left(1-{\cos }^{2}2x\right) \\ =\frac{1}{2}+{\cos }^{2}2x \\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a \end{gathered}$$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

a² = b² + c² = 2bc.cosA = 7² + 5² - 2.7.5.$\frac{3}{5}$ = 32

Nên $a=4\sqrt{2}$

Mặt khác: sin²A + cos²A = 1 nên sin²A = 1 - cos²A = $\frac{16}{25}$

Mà sinA > 0 nên  sinA = $\frac{4}{5}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.b.c.\sin A=\frac{1}{2}.a.h_a$

Suy ra: h_a = $\frac{bc\sin A}{a}=\frac{\mathrm{7.5.}\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$

(x + 5)(4 − 3x) − (3x + 2)² + (2x + 1)³ = (2x − 1)(4x² + 2x + 1)

⇔ −3x² − 11x + 20 − 9x² − 12x – 4 + 8x³ + 12x² + 6x + 1 = 8x³ – 1

⇔ −17x + 18 = 0

⇔ $x=\frac{18}{17}$

Ta có: 6n + 16 = 6(n + 2) + 4

Vì 6(n + 2) chia hết cho n + 2

Để 6n + 16 chia hết cho n + 2 thì 4 chia hết cho n + 2

Hay n + 2 ∈ Ư(6)

⇒ n + 2 ∈{1; 2; 3; 6}

⇒ n ∈ {-1;0;1;4}

Vì n là số tự nhiên nên n ∈ {0; 1; 4}.

Vậy n ∈ {0; 1; 4}.

cos4a = cos(2.2a) = 2cos²2a – 1

Mà cos2a = 2cos²a – 1

Suy ra: cos4a = 2cos²2a – 1 = 2(2cos²a – 1)² – 1 = 8cos⁴a – 8cos²a + 1.

Ta có: 7a + 4b = 1994 nên 7a = 1994 – 4b

⇒ $a=\frac{1994-4b}{7}=\frac{1994}{7}-\frac{4}{7}b$

Thay $a=\frac{1994-4b}{7}=\frac{1994}{7}-\frac{4}{7}b$ vào điều kiện $\frac{4}{7}<\frac{a}{b}<\frac{2}{3}$ ta được: 

$\frac{4}{7}<\frac{\frac{1994}{7}-\frac{4}{7}b}{b}<\frac{2}{3}\iff \frac{4}{7}<\frac{1994}{7b}-\frac{4}{7}<\frac{2}{3}\iff \frac{8}{7}<\frac{1994}{7b}<\frac{26}{21}\iff 8<\frac{1994}{b}<\frac{26}{3}$

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}8<\frac{1994}{b}\\ \frac{1994}{b}<\frac{26}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}8b<994\\ 26b>5982\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b<249\frac{1}{4}\\ b>230\frac{1}{13}\end{array}\right.$

⇒ $230\frac{1}{13}<b<249\frac{1}{4}$

Suy ra: 231 < b < 249

Vậy b = 243

Suy ra: $a=\frac{1994-4.243}{7}=146$

Vậy phân số cần tìm là $\frac{a}{b}=\frac{146}{243}$

2015(x² + y²) – 2014(2xy + 1) = 25

⇔ x² + y² + 2014(x – y)² = 2039

Nếu $\left|x-y\right|\ge 2$ thì ${\left(x-y\right)}^2\ge 4$

Suy ra: Vế trái > 8056 > 2039 (loại)

⇒ $\left|x-y\right|\le 1$

⇒ $\left[\begin{array}{l}\left|x-y\right|=0\\ \left|x-y\right|=1\end{array}\right.$

Nếu x = y thì 2x² = 2039 (vô lý)

Nếu y = x – 1 thì ta có: 2x² – 2x + 1 = 25

⇔ x² – x – 12 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-3\end{array}\right.$

Suy ra: $\left[\begin{array}{l}y=3\\ y=-4\end{array}\right.$

Nếu y = x + 1 thì: x² + (x + 1)² + 2014(x – x – 1)² = 2039

⇔ 2x² + 2x + 1 + 2014 – 2039 = 0

⇔ 2x² + 2x – 24 = 0

⇔ x² + x – 12 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-4\end{array}\right.$

Suy ra: $\left[\begin{array}{l}y=4\\ y=-3\end{array}\right.$

Vậy (x,y) ∈ {(4;3), (-3;-4), (3;4), (-4;-3)}.

1 giờ cả 2 bác làm được: $1:2=\frac{1}{2}$ (công việc)

1 giờ bác Hùng làm được: $1:5=\frac{1}{5}$ (công việc)

1 giờ bác Long làm được: $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$ (công việc)

Một mình bác Long làm trong: $1:\frac{3}{10}=\frac{10}{3}$ (giờ) = 3 giờ 20 phút.

2 học sinh nữ ứng với: $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ (học sinh).

Số học sinh của lớp 5A là: $2:\frac{1}{12}=24$ (học sinh).

9^{x – 1} = 9

⇔ 9^{x – 1} = 9¹

⇔ x – 1 = 1

⇔ x = 2

Vậy x = 2.

Ta có:

cotA = -cot(π – A) = -cot(B + C)

$$\begin{gathered} =-\frac{1}{\tan \left(B+C\right)}=-\frac{1-\tan B.\tan C}{\tan B+\tan C}=\frac{\tan B.\tan C-1}{\tan B+\tan C} \\ =\frac{1-\frac{1}{\tan B.\tan C}}{\frac{\tan B+\tan C}{\tan B.\tan C}}=\frac{1-\frac{1}{\tan B}.\frac{1}{\tan C}}{\frac{1}{\tan C}+\frac{1}{\tan B}}=\frac{1-\cot B.\cot C}{\cot C+\cot B} \end{gathered}$$

Suy ra: cotA(cotC + cotB) = 1 – cotB.cotC

Xét cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA

= cotA(cotB + cotC) + cotB.cotC

= 1 – cotB.cotC + cotB.cotC

= 1.

Vậy cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Ta thấy: a,b,c,d,e,g ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

$A=\overline{abc}-\overline{\mathrm{deg}}$ có giá trị nhỏ nhất thì a – d = 1

$\overline{bc}=01$ (nhỏ nhất)

$\overline{eg}=98$ (lớn nhất)

khi đó: $A=\overline{abc}-\overline{\mathrm{deg}}=\overline{a01}-\overline{d98}=3$

Vậy b = 0, c = 1, e = 9, g = 8

a và b là một trong các cặp số sau: 3 và 2, 4 và 3, 5 và 4, 6 và 5, 7 và 6.

Vì 18 chia hết cho x nên x ∈ Ư(18)

Mà x > 3 nên ta chọn các ước dương của 18

Các ước dương của 18 là: Ư(18) ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Vậy x ∈ {6; 9; 18}.

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

⇔ $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vì π ≤ x ≤ 5π nên $\pi \le \frac{\pi }{2}+k2\pi \le 5\pi$

⇔ $1\le \frac{1}{4}+2k\le 5$

⇔ $\frac{3}{8}\le k\le \frac{19}{8}$

Vì k ∈ ℤ nên k = 1 hoặc k = 2.

Vậy phương trình có hai nghiệm nằm trong đoạn [π; 5π].

$P=\frac{x}{\sqrt{x}-3}=\frac{x-9+9}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}-3}+\frac{9}{\sqrt{x}-3}=\sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}+6$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

$\sqrt{x}-3+\frac{9}{\sqrt{x}-3}+6\ge 2\sqrt{\sqrt{x}-3.\frac{9}{\sqrt{x}-3}}+6=12$

Vậy GTNN của P là 12 khi ${\left(\sqrt{x}-3\right)}^2=9\iff \sqrt{x}-3=3$ (do $\sqrt{x}-3>0$) ⇔ x = 36.

Do π < a < 2π nên $\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\pi$. Suy ra: $\sin \frac{\alpha }{2}>0$

Ta có: ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}=\frac{1-0,2}{2}=0,4$

a) Diện tích một bồn cỏ hình tam giác là: $\frac{1}{2}\mathrm{.2.3}=3\left(m^2\right)$

Diện tích bốn bồn cỏ hình tam giác là: 4.3 = 12 (m²)

b) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: 10.6 = 60 (m²)

Diện tích trồng hoa là: 60 – 12 = 48 (m²)

Chi phí làm mảnh vườn đó là:

(25000 + 30000).12 + (80000 + 35000).48 = 6180000 (đồng).

Xét bản vẽ 1: diện tích phần màu trắng là:

2.1.7 – 1.1 = 12 (m²)

Diện tích phần màu xám là:

7.7 – 12 = 37 (m²)

Xét bản vẽ 2: (2 hình màu trắng là hình bình hành có đáy là 1m, đường cao 7m)

Diện tích phần màu xám là:

7.7 – 2.7.1 = 35 (m²)

Xét bản vẽ 3:

Ta có: $AE=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}$ (m)

$S_{ABE}=\frac{1}{2}.AB.BE=\frac{1}{2}.BH.AE\Rightarrow BH=\frac{AB.BE}{AE}=\frac{7.6}{\sqrt{85}}=\frac{42}{\sqrt{85}}$ (m)

Tam giác BHE vuông tại H nên $HE=\sqrt{B{E}^2-B{H}^2}=\frac{36}{\sqrt{85}}$ (m)

Diện tích phần màu xám là: $4.\frac{1}{2}.BH.HE=2.\frac{42}{\sqrt{85}}.\frac{36}{\sqrt{85}}=35,57\left(m^2\right)$

Suy ra: Chọn bản vẽ 1 để diện tích phần màu xám là lớn nhất.

Nếu xếp 28 học sinh vào một phòng thì thừa 1 phòng

Số học sinh chênh lệch trong 2 trường hợp xếp phòng là:

5 + 28 = 33 (học sinh)

Số học sinh chênh lệch ở mỗi phòng trong 2 trường hợp là:

28 – 25 = 3 (học sinh)

Số phòng thi là:

33 : 3 = 11 (phòng)

Số học sinh dự thi là:

25.11 + 5 = 280 (học sinh).

a) Ta thấy: Hệ số góc của d₁ và d₃ bằng nhau và – 1 khác - 4

Nên d₁ // d₃

Xét vị trí tương đối của d₂ với d₃ thấy: $-2\ne \frac{1}{2}$ nên d₂ cắt d₃

Tương tự: d₁ cắt d₂.

b)

Ta thấy: (d₂) ⊥ (d₁), ⊥ (d₃) vì: $\left(-2\right).\frac{1}{2}=-1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm (d₂) và (d_1­):

$\frac{1}{2}x-1=-2x-4$

⇔ $x=\frac{-6}{5}$

Suy ra: $A\left(\frac{-6}{5};\frac{-8}{5}\right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm (d₂) và (d_3­):

$\frac{1}{2}x-4=-2x-4$

⇔ $x=0$

Suy ra: B(0;-4)

Có: C thuộc Ox nên y_C  = 0

Lại có C thuộc d₁ nên: $\frac{1}{2}x-1=0\iff x=2$

Suy ra: C(2;0)

$$\begin{gathered} AC=\sqrt{{\left(2+\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(\frac{8}{5}\right)}^2}=\frac{8\sqrt{5}}{5} \\ AB=\sqrt{{\left(0+\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(-4+\frac{8}{5}\right)}^2}=\frac{6\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

S_ABC = $\frac{1}{2}.AC.AB=\frac{1}{2}.\frac{8\sqrt{5}}{5}.\frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{24}{5}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

$$\begin{gathered} P=\left(x+\frac{1}{4}y\right)\left(y+\frac{1}{9}z\right)\left(x+\frac{1}{36}z\right)\ge 2.\sqrt{x.\frac{1}{4}y}\mathrm{.2.}\sqrt{y.\frac{1}{9}z}\mathrm{.2.}\sqrt{x.\frac{1}{36}z} \\ P=8.\sqrt{x^2{y}^2{z}^2.\frac{1}{4}.\frac{1}{9}.\frac{1}{36}}=8\sqrt{{144}^2.\frac{1}{4}.\frac{1}{9}.\frac{1}{36}}=32 \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}y\\ y=\frac{1}{9}z\\ z=\frac{1}{36}x\end{array}\right.\iff \left(x;y;z\right)=\left(1;4;36\right)$

Vậy GTNN của P là 32 khi (x; y; z) = (1; 4; 36).

Vì 24 ⋮ x, 30 ⋮ x, 48 ⋮ x và x lớn nhất

Nên x = ƯCLN(24, 30, 48)

Ta có:

24 = 2³.3

30 = 2.3.5

48 = 2⁴.3

Suy ra: ƯCLN(24, 30, 48) = 2.3 = 6

Vì x lớn nhất nên x = 6.

Vậy x = 6.

Chọn B

Vì cứ 15 phút thì kim giờ lại nhích 1 vạch.

Vì kim giờ nhích 1 vạch thì kim phút cũng nhích một vạch nên thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên là: 15 + 1 = 16 (phút).

Ta có: A ⊂ X nên X có ít nhất 3 phần tử {1; 2; 3}.

Ta có: X ⊂ B nên X phải có nhiều nhất 5 phần tử và các phần tử thuộc X cũng thuộc B

Do đó các tập X thỏa mãn là: {1; 2; 3}, {1; 2; 3; 4}, {1; 2; 3; 5}, {1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy có 4 tập X thỏa mãn.

Ta có:

M = sin⁶x – cos⁶x

M = (sin²x – cos²x)(sin⁴x + sin²xcos²x + cos⁴x)

= – cos2x(1 - sin²xcos²x)

$=-\cos 2x\left(1-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\right)$

$=-\cos 2x\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{\cos }^{2}2x\right)\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}{\cos }^{2}2x\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ (do cos2x ≤ 1)

Vậy GTLN của M bằng 1 khi cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ nên 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.