R(x) = x² – 2x = x(x – 2)

R(3) = 3² – 2.3 = 3(3 – 2) = 1.3

R(4) = 2.4

R(5) = 3.5

….

R(2023) = 2021.2023

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{R\left(3\right)}+\frac{1}{R\left(4\right)}+\mathrm{...}+\frac{1}{R\left(2022\right)}+\frac{1}{R\left(2023\right)} \\ S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2021.2023}+\frac{1}{2.4}+\mathrm{...}\frac{1}{2020.2022} \\ S=\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.3}+\mathrm{...}+\frac{2}{2021.2023}+\frac{2}{2.4}+\mathrm{...}\frac{2}{2020.2022}\right) \\ S=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2023}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\mathrm{...}\frac{1}{2020}-\frac{1}{2022}\right) \\ S=\frac{1}{2}.\left(\frac{2022}{2023}+\frac{505}{1011}\right) \\ S\approx 0,7496 \end{gathered}$$

(4x – 1)³ - (4x − 3)(16x² + 3)

= 64x³ – 48x² + 12x – 1 – (64x³ + 12x – 48x² – 9)

= 64x³ – 48x² + 12x – 1 – 64x³ – 12x + 48x² + 9

= 8.

Xét △PAB:

AB² = AP² + BP² − 2.AP.BP.cos$\widehat{APB}$ = 8² + 7² − 2.8.7.cos40° ≈ 27,2

Suy ra: AB ≈ 5,22 (km)       

cos$\widehat{PAB}=\frac{P{A}^2+B{A}^2-P{B}^2}{2.PA.BA}=\frac{8^2+5,{22}^2-7^2}{\mathrm{2.8.5},22}\approx 0,51$

⇒ $\widehat{PAB}\approx 60°$
Suy ra: $\widehat{BAD}\approx 100°-60°=40°$

Xét △ABD:

DB² = AD² + BA² − 2.DA.BA.cos$\widehat{DAB}$= 3² + 5,22² − 2.3.5,22.cos40° ≈ 12,26

⇒ DB ≈ 3,5 (km)

Vậy Hưng phải đi khoảng 3,5m nữa để đến được đích.

B = 3 + 3² + … + 3⁹⁹

3B = 3² + 3³ + … + 3¹⁰⁰

3B - B = (3² + 3³ + … + 3¹⁰⁰) – (3 + 3² + … + 3⁹⁹)

2B = 3¹⁰⁰ – 3

$B=\frac{3^{100}-3}{2}$

Mà $B=\frac{3^{100}-3}{2}$ không thể viết được dưới dạng n²

Nên B không phải số chính phương.

x² – xy + y + 2 = 0

⇔ x² – 1 – xy + y = -3

⇔ (x – 1)(x + 1) – y(x – 1) = -3

⇔ (x – 1)(x + 1 – y) = -3

Vì x, y là số nguyên nên x – 1 và x – y + 1 là số nguyên

Nên x – 1 và x – y + 1 đều là ước của -3

Suy ra: x – 1; x – y + 1 ∈ {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng:

Vậy (x;y) ∈ {(-2;-2), (0;-2), (2;6), (4;6)}.

12x.(3 - 4x) + 7(4x - 3) = 0

⇔ (3 – 4x)(12x – 7) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}3-4x=0\\ 12x-7=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}\\ x=\frac{7}{12}\end{array}\right.$

A = x² – 6x + 6

A = x² – 6x + 9 – 3

A = (x – 3)² – 3

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)² – 3 ≥ – 3 với mọi x

Vậy GTNN của A là – 3 khi x – 3 = 0 hay x = 3.

⇔ cotx + tanx = cotx + tanx (vì tanx.cotx = 1 luôn đúng)

Vậy $\left(\frac{\tan x}{1-\tan {\left(x\right)}^2}\right)\frac{\cot {\left(x\right)}^2-1}{\cot \left(x\right)}=1$

18650 < X . 3 < 18920

⇔ $\frac{18650}{3}<X<\frac{18920}{3}$

⇔ 6216,67 < X < 6306,67

Vì X là số tròn trăm nên X = 6300.

Vậy X = 6300.

Gọi số học sinh khối 6 là a (a ∈ ℕ*, 400 < a < 500).

Theo đề bài ta có a ∈ BC(6, 8, 10)

Ta có

6 = 2 . 3

8 = 2³

10 = 2 . 5

Suy ra BCNN(6, 8, 10) = 2³ . 3 . 5 = 120

Suy ra BC(6, 8, 10) ={0; 120; 240; 360; 480; 600; ...}

Mà 400 < a < 500

Suy ra a = 480

Vậy số học sinh là 480 em.

Ta có: S = 30 + 42 – 6 + c = 66 + x

Để S chia hết cho 6 thì (66 + x) chia hết cho 6

Mà 66 luôn chia hết cho 6.

Suy ra: x ⋮ 6

Hay x = 6k (k ∈ ℕ).

a) A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

2A = 2² + 2³ +....... + 2⁶¹

2A – A = (2² + 2³ +....... + 2⁶¹) – (2 + 2² +....... + 2⁶⁰)

A = 2⁶¹ – 2.

b) A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) +....... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2⁵⁹(1 + 2)

A = (1 + 2)(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) ⋮ 3

Lại có: A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

A = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ....... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸(1 + 2 + 2²)

A = (1 + 2 + 2²)(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)

A = 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) ⋮ 7

Lại xét: A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴)+ ....... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

A = (1 + 2 + 2² + 2³)(2 + … + 2⁵⁷)

A = 15.(1 + 2 + 2² + 2³)

A = 3.5.(1 + 2 + 2² + 2³) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 3, 5, 7.

$\overline{abcd}=100.\overline{ab}+\overline{cd}=99\overline{ab}+\overline{ab}+\overline{cd}=99\overline{ab}+\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)$

Ta thấy: $\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)⋮11$, lại có 99 ⋮ 11 nên $99\overline{ab}⋮11$

Suy ra: $99\overline{ab}+\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)⋮11$

Vậy $\overline{abcd}⋮11$

Do ƯCLN(a, b) = 12

⇒ a = 12m; b = 12n (với m, n là 2 số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a – b = 12(m − n) = 84

⇒ m – n = 7; mà m, n là hai số nguyên tố cùng nhau và ƯCLN(12m, 12n) = 1

⇒ m = 8; n = 1

⇒ a = 96; b = 12

Vậy 2 số cần tìm là 96 và 12.

Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là p₁; p₂; p₃; …; pn và giả sử p₁ < p₂ < p₃ < ... < p_n.

Xét tích A = p₁. p₂. p₃. …p_{n + 1}. Rõ ràng A > p_n nên A là hợp số, do đó A có ít nhất một ước nguyên tố p.

Khi đó p₁; p₂; p₃; …; pn là tất cả các số nguyên tố nên tồn tại I thuộc {1, 2, …, n} sao cho p = p_i.

Như vậy A chia hết cho p; p₁; p₂; p₃; …; pn chia hết cho p nên 1 chia hết cho p, mâu thuẫn.

Do đó, giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là sai.

Vậy có vô hạn các số nguyên tố.

36 chia hết cho 4; 6; 9; 12

Suy ra có 4 hàng 

Hàng 4 người thì có số nhóm là:

36 : 4 = 9 (nhóm)

Hàng 6 người thì có số nhóm là:

36 : 6 = 6 (nhóm)

Hàng 9 người thì có số nhóm là:

36 : 9 = 4 (nhóm)

Hàng 12 người thì có số nhóm là:

36 : 12 = 3(nhóm)

Đáp số: 4 nhóm

Nhóm 4 người: 9 nhóm

Nhóm 6 người: 6 nhóm

Nhóm 9 người: 4 nhóm

Nhóm 12 người: 3 nhóm

A = 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 91 - 93 + 95 - 97 + 99

= 99 - 97 + 95 - 93 + 91 -...+11 - 9 +7 - 5 +3 - 1

= (99 - 97) + (95 - 93) + ... + (7 - 5) + (3 - 1)

= 2 + 2+ ... + 2 + 2 (có 25 số 2 vì có (99 – 1) : 2 + 1 = 50 số hạng, mỗi nhóm 2 số hạng)

= 2.25

= 50.

25 < 3ⁿ < 250

Ta có: 3³ = 27 > 25; 3² = 9

Theo đề: 25 < 3ⁿ; 3ⁿ > 3² (1)

Lại có: 3⁵ = 243 < 250 < 3⁶

Suy ra: 25 < 3³, 3⁴, 3⁵ < 250

Vậy n ∈ {3; 4; 5}.

TXĐ: D = ℝ

Ta có: $y=\frac{\sin x+1}{\cos x+2}$

⇔ ycosx + 2y = sinx + 1

⇔ ycosx – sinx = 1 – 2y

Phương trình có nghiệm khi: y² + 1 ≥ (1 – 2y)²

⇔ 3y² – 4y ≤ 0

⇔ $0\le y\le \frac{4}{3}$

Vậy $y\in \left[0;\frac{4}{3}\right].$

A = 2 + 2² + … + 2¹⁰⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + … + (2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2⁹⁹(1 + 2)

A = (1 + 2)(2 + 2³ + … + 2⁹⁹)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁹⁹)

Vì 3 chia hết cho 3 nên 3.(2 + 2³ + … + 2⁹⁹) chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 3.

(x – 1)⁵ = 32

⇔ (x – 1)⁵ = 2⁵

⇔ x – 1 = 2

⇔ x = 3

Vậy x = 3.

Chọn D.

- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì có thể trùng nhau ⇒ A sai.

- Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song hoặc chéo nhau ⇒ B sai.

- Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt, trùng hoặc chéo nhau ⇒ C sai.

- Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng ⇒ D đúng.

Tuổi mẹ hiện nay là:

(24 + 56) : 2 = 40  tuổi)

Tuổi con hiện nay là:

56 - 40 = 16 (tuổi).

Vậy tuổi con là 16 tuổi, tuổi mẹ là 40 tuổi.

Số tiền ông A còn nợ ngân hàng sau lần trả thứ nhất:

(100 + 100. 0,01) – m = 100.1,01 – m (triệu đồng)

Số tiền ông A còn nợ ngân hàng sau lần trả thứ hai:

(100 + 1,01 - m) .1,01 – m = 100.1,012 - (1,01 + 1) m (triệu đồng)

Vì ông A đã hoàn cho ngân hàng toàn bộ số tiền nợ, sau lần trả thứ ba, nên

0 = [ 100.1,012 - (1,01 + 1)m] .1,01 - m= 100.1,013 - [ 1,012 + 1,01 + 1]m

Xét tam giác ACF có:

$\widehat{A}+\widehat{ACF}+\widehat{AFC}=180°$

⇔ $60°+\widehat{ACF}+90°=180°$

⇔ $\widehat{ACF}=180°-60°-90°=30°$

Xét tam giác IEC có:

$\widehat{IEC}+\widehat{ECI}+\widehat{EIC}=180°$

⇔ $30°+x+90°=180°$

⇔ $x=180°-30°-90°=60°$

x(x − 3) – x + 3 = 0

⇔ x(x − 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(x – 1) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3 hoặc x = 1.

(x – 1)⁵ = 32

⇔ (x – 1)⁵ = 2⁵

⇔ x – 1 = 2

⇔ x = 3

Vậy x = 3.

A = cosx + cos3x + cos5x + cos7x

= 2cos4x.cos3x + 2cos4x.cosx

= 2cos4x.(cos3x + cosx)

= 4cos4x.cos2x.cosx

Xét x = y = z = 0 là nghiệm của phương trình do 0 = 0 (thỏa mãn)

Xét x, y, z đều khác 0 ta có:

5(xy + yz + zx) = 4xyz

⇔ $\frac{5\left(xy+yz+xz\right)}{xyz}=4$

⇔ $5.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4$

Vì 5 không chia hết cho 4 mà 4 ⋮ 4 nên $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)⋮4$

Ta có: $\left|x\right|\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\left|x\right|}\le 1$

Tương tự: $\left|y\right|\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\left|y\right|}\le 1;\left|z\right|\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\left|z\right|}\le 1$

Suy ra: $\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\le 3$

Mà $\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\ge \left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\Rightarrow \left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\le 3$

Suy ra: $3\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge -3$

Mà từ 3 đến -3 chỉ có 0 chia hết cho 4 mà x, y, z khác 0 nên vô lí

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = y = z = 0.

1km ô tô tiêu thụ là:

12 : 100 = 0,12 (lít)

Cả hai quãng đường ô tô tiêu thụ là:

(169 + 131) . 0,12 = 36 (lít)

Đáp số: 36 lít.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác)

Suy ra: $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-\widehat{A}=180°-100°=80°$

$$\begin{gathered} \widehat{B}=\left(80°+50°\right):2=65° \\ \widehat{C}=65°-50°=15° \end{gathered}$$

Phương trình tương đương: sin2x = m + 1

Vì sin2x ∈ [-1;1] nên để phương trình có nghiệm thì: -1 ≤ m + 1 ≤ 1

Suy ra: -2 ≤ m ≤ 0.

Vậy -2 ≤ m ≤ 0.

sin3x – cos2x = 0

⇔ sin3x = cos2x

⇔ $\sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x=\pi -\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \end{array}\right.$

$E=\frac{a+1}{a-2}=\frac{a-2+3}{a-2}=1+\frac{3}{a-2}$

Để E ∈ ℤ thì 3 chia hết cho a – 2

Hay a – 2 ∈ Ư(3)

Suy ra: a – 2 ∈ {-1; 1; 3; -3}

⇒ a ∈ {1; 3; 5; -1}

Vậy a ∈ {1; 3; 5; -1}.

Ta có: $\frac{A+B+C}{2}=\frac{180°}{2}=90°\Rightarrow \cos \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=\cos \left(90°\right)=0$

⇔ $\cos \left[\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)+\frac{C}{2}\right]=0$ 

⇔ $\cos \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right).\cos \frac{C}{2}-\sin \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right).\sin \frac{C}{2}=0$

⇔ $\left(\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}+\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}\right).\cos \frac{C}{2}-\left(\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}\right).\sin \frac{C}{2}=0$

⇔ $\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}-\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}-\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}=0$

Ta có: 50 ⋮ (x + 1) nên x + 1 ∈ Ư(50)

Suy ra x + 1 ∈ {±1; ±5; ±10; ±25; ±50}

Hay x ∈ {-2; 0; -6; 4; -11; 9; -26; 24; 49; -51}.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{x-1-y+2+z-3}{2-3+4}=\frac{x-y+z-2}{3}=\frac{-4-2}{3}=\frac{-8}{3}$

Suy ra: $\frac{x-1}{2}=\frac{-8}{3}\Rightarrow x=-\frac{13}{3}$

$$\begin{gathered} \frac{y-2}{3}=\frac{-8}{3}\Rightarrow y=-6 \\ \frac{z-3}{4}=\frac{-8}{3}\Rightarrow z=\frac{-23}{3} \end{gathered}$$

Ta có hình vẽ sau:

Vì góc giữa hướng đông và hướng nam là bằng 90 độ nên $\widehat{AHB}=90°$

 do đó tam giác AHB vuông tại H.

Xét ΔAHB vuông tại H, áp dụng định lí Py – ta – go ta có: AB² = AH² + BH²

Thay số: AB² = 102 + 10 = 100 + 100 = 200

⇔ $AB=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\left(km\right)$

ΔAHB vuông tại H, có AH = BH = 10 km nên ΔAHB cân tại H

Suy ra: $\widehat{HAB}=45°$

Do đó nếu đi từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B thì phải đi theo đường thẳng AB chính là hướng đông nam, tạo với hướng đông một góc 45°.

Vậy nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng đông nam, tạo với hướng đông một góc 45° và đi quãng đường dài $10\sqrt{2}km.$

Gọi số tự nhiên n có dạng là $\overline{abc}$

Nếu xóa c ta được $\overline{ab}$ và $\overline{abc}⋮\overline{ab}$

Tương tự nếu xóa b ta được $\overline{ac}$ và $\overline{abc}⋮\overline{ac}$

Nếu xóa a ta được $\overline{bc}$ và $\overline{abc}⋮\overline{bc}$

Vì $10\overline{ab}⋮\overline{ab}\Rightarrow c⋮\overline{ab}$

Để $c⋮\overline{ab}$ thì c = 0

Lại có: $\frac{\overline{abc}}{\overline{ac}}=\frac{\overline{ab0}+10c}{\overline{a0}+c}=\frac{100a+10b+10c}{10a+c}=\frac{10\left(10a+c\right)+10b}{10a+c}$

Suy ra: 10b ⋮ (10a + c) mà c = 0 nên 10b ⋮ 10a hay b ⋮ a

Tức a là ước của b (1)

Lại có: $\frac{\overline{abc}}{\overline{bc}}=\frac{\overline{a00}+\overrightarrow{b0}}{\overline{b0}}=\frac{100a+10b}{10b}=\frac{10\left(10a+b\right)}{10b}=\frac{10a+b}{b}=1+10.\frac{a}{b}$

Để $\overline{abc}⋮\overline{bc}$ thì a ⋮ b

Suy ra: b là ước của a (2)

Từ (1) và (2) ta có: a = b và khác 0.

Suy ra: n = {110; 220; 330; 440; 550; 660; 770; 880; 990}.

Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1)

Khi đó y = 2t² – t - 1

y' = 4t – 1

Xét y' = 0 ta có: 4t – 1 = 0 ⇔ $t=\frac{1}{4}$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: $y\in \left[\frac{-9}{8};2\right]$

Suy ra: $m=\frac{-9}{8};M=2$

Khi đó $8m-3M=8.\left(\frac{-9}{8}\right)-3.2=-9-6=-15$

Ta có: y' = 3x² + 4x + m – 3

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆' > 0 ⇔ $m<\frac{13}{3}\left(*\right)$

Ta có: $y=y\text{'}\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}\right)+\left(\frac{2m}{3}-\frac{26}{9}\right)x+\frac{7m}{9}+\frac{2}{3}$ nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Thay M(9;-5) vào ta có: $-5=\left(\frac{2m}{3}-\frac{26}{9}\right).9+\frac{7m}{9}+\frac{2}{3}$

⇔ m = 3.

Vậy m = 3.

Gọi điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua là M(x₀; y₀)

Ta có: (2m + 10)x₀ - 4m - 1 = y₀

⇔ 2mx₀ + 10x₀ – 4m – 1 – y₀ = 0

⇔ 2m(x₀ – 2) + (10x₀ – y₀ – 1) = 0

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_0-2=0\\ 10x_0-y_0-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=2\\ y_0=19\end{array}\right.$

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua M(2; 19)

Gọi khoảng cách từ A đến d là AH

Xét trong tam giác vuông AHM luôn có: AH ≤ AM

Vậy AH_max khi AH = AM tức AM ⊥ d

Gọi phương trình đường thẳng AM có dạng y = ax + b

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}19=2a+b\\ 3=-2a+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=11\end{array}\right.$

Vậy AM có phương trình: y = 4x + 11.

Để AM ⊥ d thì 4.(2m + 10) = -1

Suy ra: $m=\frac{-41}{8}$

Vậy $m=\frac{-41}{8}$ thì khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn nhất.

Ta có: 3n + 7 = 3(n – 2) + 16.

Vì 3(n – 2) chia hết cho (n – 2) nên để (3n + 7) chia hết cho (n - 2) thì 16 chia hết cho n – 2

Hay n – 2 ∈ Ư(16)

Mà n là số tự nhiên

Suy ra: n – 2 ∈ {1; 2; 4; 8; 16}

Vậy n ∈ {3; 4; 6; 10; 18}

Ta có: 6n + 9 = 3(2n + 1) + 6

Vì 3(2n + 1) chia hết cho 2n + 1

Để 6n + 9 chia hết cho 2n + 1 thì 6 chia hết cho 2n + 1

⇒ 2n + 1 ∈ Ư(6)

Do n ∈ ℕ mà 2n + 1 là số lẻ

⇒ 2n + 1 ∈{1; 3}

⇒ n ∈ {0; 1}

Vậy n ∈ {0; 1}.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

Lại có: BH² = AB.BE ⇒ BE = $\frac{B{H}^2}{AB}$

CH² = AC.CF ⇒ CF = $\frac{C{H}^2}{AC}$

Khi đó: $BE.CF=\frac{B{H}^2}{AB}.\frac{C{H}^2}{AC}=\frac{A{H}^4}{AB.AC}$ (Vì AH² = BH.CH)

Vậy BC.BE.CF = $\frac{AB.AC}{AH}.\frac{A{H}^4}{AB.AC}=A{H}^3$

a) Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:

OA = OC (giả thiết)

$\widehat{O}$ chung

OD = OB

Do đó: ∆OAD = ∆OCB (c.g.c)

Suy ra: AD = BC

b) Do OA = PC, OB = OD nên OB – OA = OD – OC hay AB = CD

Do ∆OAD = ∆OCB (c.g.c) nên $\widehat{ODA}=\widehat{OBC}$

$\widehat{ECD}$ là góc ngoài tại định C của tam giác OBC nên $\widehat{ECD}=\widehat{COB}+\widehat{OBC}\left(1\right)$

$\widehat{EAB}$là góc ngoài tại định C của tam giác OAD nên $\widehat{EAB}=\widehat{AOD}+\widehat{ODA}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{ECD}=\widehat{EAB}$

Xét tam giác EAB và ECD có:

$\widehat{ECD}=\widehat{EAB}$

AB = CD

$\widehat{EDC}=\widehat{EBA}$

Do đó: ∆EAB = ∆ECD (g.c.g)

c) Do ∆EAB = ∆ECD (g.c.g) nên BE = DE

Xét tam giác ODE và OBE có:

OD = OB

OE chung

BE = DE

Do đó: ∆ODE = ∆OBE (c.c.c)

Suy ra: $\widehat{EOD}=\widehat{EOB}$

Vậy OE là tia phân giác của $\widehat{xOy}$