- Nếu x,y,z khác số dư khi chia cho 3

+ Nếu có 2 số chia hết cho 3. Số còn lại không chia hết cho 3.

Giả sử đều chia hết cho 3, z không chia hết cho 3

Do x, y đều chia hết cho 3 nên

⇒ (x − y)(y − z)(z – x) ⋮ 3 (Vô lý)

+ Nếu có 1 số chia hết cho 3, 2 số còn lại khác số chia khi chia cho 3, không chia hết cho 3.Tương tự dẫn đến vô lý.

Vậy cả 3 số có cùng số dư khi chia cho 3

⇒(x − y)(y − z)(z − x) ⋮ 27

⇒ x + y + z ⋮ 27

$P=\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{a}{y}\right)\left(1+\frac{a}{z}\right)=\left(1+\frac{x+y+z}{x}\right)\left(1+\frac{x+y+z}{y}\right)\left(1+\frac{x+y+z}{z}\right)$

$=\frac{\left(x+x+y+z\right)\left(x+y+y+z\right)\left(x+y+z+z\right)}{xyz}\ge \frac{4\sqrt[4]{x^{2}yz}.4\sqrt[4]{y^{2}xz}.4\sqrt[4]{z^{2}xy}}{xyz}=\frac{64xyz}{xyz}=64$

Ta có:

x³ - x² + 9x²y - 9y² + 27xy² + 27y³ - 6xy

= x³ + 3x²y – 4x² + 3x² + 9xy – 12x + 6x²y + 18xy² – 24xy + 9xy² + 27y³ – 36y² + 9xy + 27y² + 12x

= x²(x + 3y – 4) + 3x(x + 3y – 4) + 6xy(x + 3y – 4) + 9y²(x + 3y – 4) + 9y(x + 3y) + 12x

= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 9y.4 + 12x

= 36y + 12x

= 12(x + 3y)

= 12.4

= 48.

2²⁰²² + 2²⁰²¹ + 2²⁰²⁰  = 2²⁰²⁰(2² + 2 + 1) = 2²⁰²⁰.7

Ta thấy 7 ⋮ 7 nên 2²⁰²⁰.7 ⋮ 7

Vậy (2²⁰²² + 2²⁰²¹ + 2²⁰²⁰) chia hết cho 7.

(ax + b)(x² – cx + 2) = x³ + x² – 2

⇔ (ax + b)(x² – cx + 2) = x³ – x² + 2x² – 2

⇔ (ax + b)(x² – cx + 2) = x²(x – 1) + 2(x – 1)(x + 1)

⇔ (ax + b)(x² – cx + 2) = (x – 1)(x² + 2x + 2)

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\\ c=-2\end{array}\right.$

F = 10²⁸ + 8 ⋮ 9 vì tổng các chữ số bằng 9

F = 10²⁸ + 8 ⋮ 8 vì có tận cùng là 008

Do đó: F = 10²⁸ + 8 ⋮ 72 vì cùng chia hết cho 8 và 9.

$\frac{1-2{\sin }^{2}x}{1+\sin 2x}=\frac{1-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x.\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\left(\cos x+\sin x\right)}^2}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\left(1\right)$

$\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1-2{\sin }^{2}x}{1+\sin 2x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$

Gọi d = ƯCLN (n + 1; 2n + 3)

Suy ra: n + 1 ⋮ d; 2n + 3 ⋮ d

⇒ $\left\{\begin{array}{l}2n+2⋮d\\ 2n+3⋮d\end{array}\right.\Rightarrow \left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d$ hay 1 ⋮ d

Suy ra: d = 1

Vậy (n + 1; 2n + 3) = 1 tức n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

với mọi x

–x² – 6x – 15 = –(x² + 6x + 15) = –(x + 3)² – 6

Vì –(x + 3)² ≤ 0 với mọi x nên –(x + 3)² – 6 ≤ -6 với mọi x

Vậy –x² – 6x – 15 luôn âm với mọi x.

Có tồn tại. 

Chứng minh:

Đặt: A =  2 . 3 . 4... 2019. 2020

Xét 2019 số tự nhiên liên tiếp:

A + 2; A + 3; ... ; A + 2020.

Ta có: A + 2 = 2 . 3 . 4... 2019. 2020 + 2 = 2 . ( 3 . 4... 2019. 2020 + 1 ) là hợp số.

A + 3 = 2 . 3 . 4... 2019. 2020 + 3 = 3 . ( 2 . 4... 2019. 2020 + 1 ) là hợp số.

 ...

A + 2020 = 2 . 3 . 4... 2019. 2020 + 2020 = 2020 . ( 2 . 3.  4... 2019 + 1 ) là hợp số.

Vậy tồn tại dãy số gồm 2019 số tự nhiên liên tiếp là hợp số. 

cot³x + cotx + 1 = cot²x(cotx + 1) + (cotx + 1)

= (cotx + 1)(cot²x + 1)

$=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}.\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$

$=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}.\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

$=\frac{\cos x+\sin x}{{\sin }^{3}x}$

Vậy $\frac{\left(\sin x+\cos x\right)}{{\sin }^{3}x}={\cot }^{3}x+{\cot }^{2}x\cot x+1$

n⁵ – n = n(n⁴ – 1)

= n(n² – 1)(n² + 1)

= n(n – 1)(n + 1)(n² + 1)

= n(n – 1)(n + 1)(n² – 4 + 5)

= n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1)

Vì n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) chia hết cho 5

Và 5n(n – 1)(n +1) chia hết cho 5

Nên: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 5 (1)

Lại có: n(n – 1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Suy ra: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 30

Vậy n⁵ – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Ta có: ab ⋮ c suy ra: $\left[\begin{array}{l}a⋮c\\ b⋮c\end{array}\right.$

Nếu a ⋮ c: theo giả thiết ƯCLN (a,c) = 1 tức a và c là hai số nguyên tố cùng nhau

Suy ra vô lý

Vậy b ⋮ c.

Ta có: $\overline{aaa}$= 100.a + 10.a + a = (100 + 10 + 1).a = 111.a = 3.37.a ⋮ 37 (điều phải chứng minh)

Vậy số có dạng $\overline{aaa}$ bao giờ cũng chia hết cho 37.

Vì p và 2p + 7 đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên cả hai đều không chia hết cho 3.

Giả sử: p chia 3 dư 1, giả sử p = 3k + 1 thì 2p + 7 = 2(3k + 1) + 7 = 6k + 9 ⋮ 3 nên mâu thuẫn

Vậy p chia 3 dư 2, giả sử p = 3k + 2

Khi đó 4p + 7 = 4(3p + 2) + 7 = 12p + 15 ⋮ 3, mà 4p + 7 lớn hơn 3 

Vậy 4p + 7 là hợp số.

Trong tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

⇒ $\widehat{A}+\widehat{B}=180°-\widehat{C}$

Ta có: sinα = sin(180° – α ) nên sinC = sin(180° – C ) = sin (A + B).

Vậy sinC = sin (A + B).

Dựa vào số mũ ta có thể thấy A có tất cả 2022 hạng tử nên chia làm 674 nhóm, mỗi nhóm 3 hạng tử.

A = 1 + 4 + 4² + … + 4²⁰²¹

A = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + … + (4²⁰¹⁹ + 4²⁰²⁰ + 4²⁰²¹)

A = (1 + 4 + 4²) + 4³(1 + 4 + 4²) + … + 4²⁰¹⁹(1 + 4 + 4²)

A = (1 + 4 + 4²)(1 + 4³ + … + 4²⁰¹⁹)

A = 21.(1 + 4³ + … + 4²⁰¹⁹) ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21.

A = 3^{5n + 2} + 3^{5n + 1} – 3⁵ⁿ

A = 3⁵ⁿ.3² + 3⁵ⁿ.3¹ – 3⁵ⁿ

A = 3⁵ⁿ(3² + 3 – 1)

A = 3⁵ⁿ.11 ⋮ 11

Vậy A ⋮ 11.

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + … + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) +… + 2⁵⁹(1 + 2)

A = (1 + 2)(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3

Lại có:

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

A = (2 + 2² + 2³) +( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + … + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸.(1 + 2 + 2²)

A = (1 + 2 + 2²)(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)

A = 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) ⋮ 7

Giả sử p là số nguyên tố và p = 30k + r (0 < r < 30)

Nếu r là hợp số thì r co ước nguyên tố q ≤ $\sqrt{30}$

⇒ q = 2, 3, 5

Nhưng với q = 3, 3, 5 thì p lần lượt chia hết cho 2, 3, 5  vô lí . Vậy r = 1 hoặc r là số nguyên tố.

Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa

Chẳng hạn p = 109 = 60.1 + 49 (49 là hợp số)

Có (n + 2022)(n + 2023) là 2 số tự nhiên liên tiếp (n ∈ ℕ).

⇒ Luôn có 1 số chia hết cho 2

⇒ (n + 2022)(n + 2023)`⋮ 2

Giả sử a chia 4 dư 1; b chia 4 dư 2; c chia 4 dư 3 ta có

(a − 1) ⋮ 4; (b − 2) ⋮ 4; (c − 3) ⋮ 4

⇒ (a −1) + (b − 2) + (c − 3) ⋮ 4

⇒ (a + b + c) – 2 – 4 ⋮ 4

⇒ (a + b + c) – 2 ⋮ 4

⇒ (a + b + c) – 2 ⋮ 2

⇒ a + b + c ⋮ 2

Vậy a + b + c chia hết cho 2

Tổng số bi là: 35 bi

Số bi màu xanh chiếm: $\frac{7}{35}=\frac{1}{5}$(tổng số bi).

1 giờ 5 người làm được số sản phẩm là

120 : 6 = 20 (sản phẩm )

1 giờ 1 người làm được số sản phẩm là

20 : 5 = 4 (sản phẩm )

4 người làm trong 1 giờ được số sản phẩm là

4 . 4 = 16 (sản phẩm)

96 sản phẩm làm trong số giờ là

96 : 16 = 6 (giờ)

Đáp số: 6 giờ.

Ta có :

1) 6 người vào 6 chỗ.

Có 6! cách xếp.

2) Xếp học sinh A ngồi cạnh học sinh B

Ghép học sinh A và B thành 1 người.

Xếp 5 học sinh vào 5 chỗ ngồi ta có 5! cách xếp.

Bản thân 2 học sinh A và học sinh B có thể đổi chỗ cho nhau.

Do đó có: 2.5! cách để xếp 2 học sinh A và B ngồi cạnh nhau.

Có : 6! − 2.5! = 480 cách xếp 22 học sinh A và B không ngồi cạnh nhau.

Tính BC dựa vào công thức tính độ dài đường trung tuyến BM.

$B{C}^2=2\left(B{M}^2+\frac{A{C}^2}{4}\right)-A{B}^2=2\left(3^2+\frac{6^2}{4}\right)-4^2=20$

Suy ra: $BC=2\sqrt{5}$

Xét tam giác ABC có: $\cos \widehat{B}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{11}{16}$

Xét tam giác ABM có: $\cos \widehat{B}=\frac{A{B}^2+B{M}^2-A{M}^2}{2.AB.BM}=\frac{11}{16}$

⇔ $\frac{11}{16}=\frac{6^2+4^2-A{M}^2}{\mathrm{2.6.4}}$

⇔ $AM=\sqrt{19}$

Ta có công thức tính đường trung tuyến AM:

$AM=\sqrt{\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}}=\sqrt{\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}}$

Mà AM = c nên: c² = $\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

⇔ $\frac{2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}=c^2$

⇔ 2(c² + b²) – a² = 4c²

⇔ 2b² – 2c² = a²

⇔ a² = 2(b² – c²)

Vậy a² = 2(b² – c²)

Gọi M là trung điểm của AC suy ra $AM=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}$.

Do tam giác BAM vuông tại A nên $BM=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Giả sử a = BC = 5; b = AC = 6; c = AB = 7.

Ta cần tính độ dài đường cao ứng với cạnh AC

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+6+7}{2}=9$

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=6\sqrt{6}$

Mà $S=\frac{1}{2}{h}_b.b=6\sqrt{6}\Rightarrow h_b=2\sqrt{6}$

Ta có: y’ = 3x² – 6mx = 3x(x – 2m)

Xét y’ = 0 ⇒ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=4m^3\\ y=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}A\left(0;4m^3\right)\in Oy\\ B\left(2m;0\right)\in Ox\end{array}\right.$

Do ba điểm O, A, B không thẳng hàng nên 2m ≠ 0 hay m ≠ 0

Ta có: $S_{OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}\left|4m^3\right|.\left|2m\right|=4m^4=4$

Suy ra: m = ±1.

Chọn A

2h_a​ = h_b ​+ h_c

⇔ $\frac{4S_{ABC}}{a}=\frac{2S_{ABC}}{b}+\frac{2S_{ABC}}{c}$

⇔ $\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}=\frac{2R}{b}+\frac{2R}{c}=2R\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2R.\frac{2}{a}=\frac{2}{\sin A}$

Vậy $\frac{2}{\sin A}=\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C}$

Chọn D

+ Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau

+ Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau

+ Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180° mà 3 góc trong tam giác đều bằng nhau mà 3 góc trong tam giác đều bằng nhau nên mỗi góc trong tam giác đều bằng nên mỗi góc trong tam giác đều bằng 180° : 3 = 60°

Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được một khối nón.

Chọn đáp án C.

Chú ý: Một số em nhầm sang đáp án A là hình nón. Ở đây chúng ta lưu ý rằng khi quay tất cả các điểm bên trong tam giác quanh cạnh góc vuông thì ta sẽ được một khối đặc nên ta được một khối nón chứ không phải hình nón.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c.

1. Định lý: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng

- Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

- Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề.

2. Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có hệ thức

• b = a.sinB = a.cosC = c.tanB = c.cotC

• c = a.sinC = a.cosB = b.tanC = b.cotB

Phương pháp giải:

 Áp dụng định lý Py-ta-go để tìm cạnh còn lại.

• Xác định cạnh kề, cạnh đối, viết tỉ số lượng giác.

• Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.

Gọi độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a;b;;c (a;b;c > 0) 

Theo bài ra ta có : a + b +c = 81

Lại có: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a+b+c}{2+3+4}=\frac{81}{9}=9$

Suy ra: a = 2.9 = 18;

b = 3.9 = 27 ;

c = 4.9 = 36

Vậy độ dài 3 cạnh tam giác là 18 cm ; 27 cm ; 36 cm.

Xét $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}$

Vậy $\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

10a² – 3b² + ab = 0

⇔ 10a² + 6ab – 5ab – 3b² = 0

⇔ (2a – b)(5a + 3b) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}2a-b=0\\ 5a+3b=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2a=b\\ 5a=-3b\left(L\right)\end{array}\right.$ (loại 5a = - 3b vì b > a > 0).

Vậy 2a = b.

Khi đó $M=\frac{2a-b}{3a-b}+\frac{5b-a}{3a+b}=\frac{2a-2a}{3a-2a}+\frac{5.2a-a}{3a+2a}=0+\frac{9}{5}=\frac{9}{5}$.

Các số nguyên tố > 3 có dạng: 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k ∈ ℕ)

Có 3 số mà chỉ có 2 dạng nên tồn tại 2 số thuộc cùng 1 dạng, hiệu của chúng là d hoặc 2d chia hết cho 3,

Do đó d chia hết cho 3. (1)

Mặt khác: d chia hết cho 2 (vì d là hiệu của 2 số lẻ) (2)

Từ (1) & (2) ⇒ d chia hết cho 6 (đpcm).

a) m = -5 thì (d): y = -4x + 12

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = -4x + 12

⇒ x^2 + 4x-12= 0

⇒ x= 2 hoặc x= -6

Với x = 2 ⇒ y = 4

Với x = -6 ⇒ y = 36

Vậy 2 điểm cần tìm là (2; 4) và (-6; 36).

b) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là:

x² = 2(m + 3)x – 2m + 2

⇔ x² – 2(m + 3)x + 2m – 2 = 0 (*)

∆' = (m + 3)² – (2m – 2) = m² + 4m + 11 = (m + 2)² + 7 > 0 với mọi m

Nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+3\right)\\ x_1{x}_2=2m-2\end{array}\right.$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung thì hai điểm có hoành độ dương

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+3\right)>0\\ x_1{x}_2=2m-2>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m>-3\\ m>1\end{array}\right.\Rightarrow m>1$.

Vậy m > 1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm cùng nằm bên phải trục tung.

Ta thấy từng số hạng của M đều chia hết cho 2

Nên M = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰ chia hết cho 2 (1)

Lại có: M = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰

M = (2 + 2³) + (2² + 2⁴) + … + (2¹⁷ + 2¹⁹) + (2¹⁸ + 2²⁰)

M = 2(1 + 2²) + 2²(1 + 2²) + … + 2¹⁷(1 + 2²) + 2¹⁸(1 + 2²)

M = (1 + 2²)(2 + 2² + … + 2¹⁷ + 2¹⁸)

M = 5.(2 + 2² + … + 2¹⁷ + 2¹⁸) ⋮ 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M chia hết cho 10.

Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3

⇒ a² ≡ 1 (mod3) và b² ≡ 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod3) nhưng c² ≡ 1 (mod3) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1)

+ Tương tự, có ít nhất 1 số chia hết cho 4, vì giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 4

⇒ a² ≡ 1 (mod4) và b² ≡ 1 (mod4)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod 4) nhưng c² ≡ 1 (mod 4) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)

+ Tương tự a² = 1 (mod 5) hoặc a² = -1 (mod 5) hoặc a² = 4 (mod 5) và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3

⇒ phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ abc chia hết cho BCNN(3, 4, 5) = 60 hay abc chia hết 60.

c² = a² + b² − 2ab.cos$\widehat{C}$

= 7² + 5² − 2.5.7.cos60° = 74 – 35 = 39

⇒ c =$\sqrt{39}$.