36 câu hỏi trắc nghiệm thuộc DẠNG 1. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM, TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM

Câu 1:

Nếu hàm số \(y = f(x)\) có một nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là hàm số \(y = F(x)\) thì

A. \({f^\prime }(x) = F(x)\forall x \in \mathbb{R}.\)

B. \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) = {\rm{F}}({\rm{x}}) + {\rm{C}}({\rm{C}} \in \mathbb{R})\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R}\)

C. \({F^\prime }(x) = f(x)\forall x \in \mathbb{R}.\)

D. \({F^\prime }(x) = f(x) + C(C \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} )\forall x \in \mathbb{R}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 2:

Cho hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) có đạo hàm là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int f (x)dx = {f^\prime }(x) + C.\)

B. \(\int {{f^\prime }} (x)dx = f(x).\)

C. \(\int f (x)dx = {f^\prime }(x).\)

D. \(\int {{f^\prime }} (x)dx = f(x) + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 3:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {(f(} x) + g(x))dx = \int f (x)dx + \int g (x)dx\) với \(f(x),g(x)\) là hai hàm bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

B. \(\int {({\rm{f}}(} {\rm{x}}) \cdot {\rm{g}}({\rm{x}})){\rm{dx}} = \int {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}} \cdot \int {\rm{g}} ({\rm{x}}){\rm{dx}}\) với \({\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{g}}({\rm{x}})\) là hai hàm bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

C. \(\int {(f(} x) + g(x))dx = \int f (x)dx - \int g (x)dx\) với \(f(x),g(x)\) là hai hàm bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

D. \(\int {\frac{{{\rm{f}}({\rm{x}})}}{{{\rm{g}}({\rm{x}})}}} {\rm{dx}} = \frac{{\int {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}}}}{{\int {\rm{g}} ({\rm{x}}){\rm{dx}}}}\) với \({\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{g}}({\rm{x}})\) là hai hàm bất kì liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 4:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {{\pi ^3}} {\rm{dx}} = \frac{{{\pi ^4}}}{4} + C.\)

B. \(\int {{\pi ^3}} {\rm{dx}} = 3{\pi ^2} + \) C.

C. \(\int {{\pi ^3}} {\rm{dx}} = 3{\pi ^2}.\)

D. \(\int {{\pi ^3}} dx = {\pi ^3}x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 5:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int 0 {\rm{dx}} = - {\rm{x}} + C.\)

B. \(\int 0 {\rm{dx}} = {\rm{x}} + C.\)

C. \(\int 0 {\rm{dx}} = {\rm{Cx}},{\rm{C}} \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} .\)

D. \(\int 0 {\rm{dx}} = {\rm{C}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 6:

Cho số thực \({\rm{k}} \ne 0.\) Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int k dx = x + C.\)

B. \(\int {{\rm{kdx}}} = {\rm{kx}} + {\rm{C}}.\)

C. \(\int k dx = C.\)

D. \(\int {{\rm{kdx}}} = {\rm{kx}}.\)C.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 7:

Cho số thực \(\alpha \ne - 1.\) Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^\alpha }\) ?

A. \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^{\alpha + 1}}.\)

B. \(y = (\alpha + 1){x^{\alpha + 1}}.\)

C. \({\rm{y}} = \frac{{{{\rm{x}}^\alpha }}}{{\alpha + 1}}.\)

D. \(y = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 8:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\sin } xdx = - \sin x + C.\)

B. \(\int {\sin } xdx = \sin x + C.\)

C. \(\int {\sin } xdx = - \cos x + C.\)

D. \(\int {\sin } xdx = \cos x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 9:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\cos } xdx = - \sin x + C.\)

B. \(\int {\cos } xdx = \sin x + C.\)

C. \(\int {\cos } xdx = - \cos x + C.\)

D. \(\int {\cos } xdx = \cos x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 10:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C.\)

B. \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \tan x + C.\)

C. \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = \cot x + C.\)

D. \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = \tan x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 11:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = - \cot x + C.\)

B. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = - \tan x + C.\)

C. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \cot x + C.\)

D. \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 12:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {{{\rm{e}}^{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}} + C.\)

B. \(\int {{{\rm{e}}^{\rm{x}}}} dx = {{\rm{e}}^{\rm{x}}} + C.\)

C. \(\int {{{\rm{e}}^{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = - {{\rm{e}}^{\rm{x}}} + C.\)

D. \(\int {{{\rm{e}}^{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = - {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}} + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 13:

Cho \({\rm{a}} \in (0; + \infty )\backslash \{ 1\} .\) Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {{{\rm{a}}^{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{a}}^{\rm{x}}}}}{{\ln {\rm{a}}}} + C.\)

B. \(\int {{a^{\rm{x}}}} dx = {{\rm{a}}^{\rm{x}}}\ln {\rm{a}} + C.\)

C. \(\int {{{\rm{a}}^{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{e}}^{\rm{x}}}}}{{\ln {\rm{a}}}} + \) C.

D. \(\int {{{\rm{a}}^{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\ln {\rm{a}} + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 14:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\frac{1}{{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = |{\rm{x}}| + {\rm{C}}.\)

B. \(\int {\frac{1}{{\rm{x}}}} {\rm{dx}} = \ln |{\rm{x}}| + {\rm{C}}.\)

C. \(\int {\ln } xdx = x + C.\)

D. \(\int {\ln } |x|dx = \ln x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 15:

Cho a là số dương khác 1. Hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{a}}^{\rm{x}}}\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \({\rm{y}} = {{\rm{a}}^{\rm{x}}}.\)

B. \({\rm{y}} = {{\rm{a}}^{{\rm{x}} + 1}}.\)

C. \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}.\)

D. \({\rm{y}} = {{\rm{a}}^{\rm{x}}}\ln {\rm{a}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 16:

Cho a là số dương khác 1. Hàm số \({\rm{y}} = {\log _{\rm{a}}}{\rm{x}}\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \({\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{x}}\ln {\rm{e}}}}.\)

B. \(y = \frac{1}{{x\ln a}}.\)

C. \(y = \frac{1}{x}.\)

D. \(y = \frac{{\ln {\rm{a}}}}{{\rm{x}}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 17:

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R},{\rm{a}} \ne 0.\) Hàm số \({\rm{y}} = \sin ({\rm{ax}} + {\rm{b}})\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \({\rm{y}} = {\rm{a}}\cos ({\rm{ax}} + {\rm{b}}).\)

B. \({\rm{y}} = \frac{{ - \cos ({\rm{ax}} + {\rm{b}})}}{{\rm{a}}}\)

C. \({\rm{y}} = - {\rm{a}}\cos ({\rm{ax}} + {\rm{b}}).\)

D. \({\rm{y}} = \frac{{\cos ({\rm{ax}} + {\rm{b}})}}{{\rm{a}}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 18:

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R},{\rm{a}} \ne 0.\) Hàm số \({\rm{y}} = \cos ({\rm{ax}} + {\rm{b}})\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \(y = - a\sin (ax + b).\)

B. \({\rm{y}} = \frac{{ - \sin ({\rm{ax}} + {\rm{b}})}}{{\rm{a}}}.\)

C. \({\rm{y}} = {\rm{a}}\sin ({\rm{ax}} + {\rm{b}}).\)

D. \({\rm{y}} = \frac{{\sin ({\rm{ax}} + {\rm{b}})}}{{\rm{a}}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 19:

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R},{\rm{a}} \ne 0.\) Hàm số \({\rm{y}} = \ln |{\rm{ax}} + {\rm{b}}|\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \({\rm{y}} = \frac{1}{{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}.\)

B. \(y = \frac{{ - 1}}{{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}.\)

C. \(y = \frac{{ - {\rm{a}}}}{{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}.\)

D. \({\rm{y}} = \frac{{\rm{a}}}{{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 20:

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R},{\rm{a}} \ne 0.\) Hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{e}}^{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}\) là một nguyên hàm của hàm số

A. \({\rm{y}} = - {{\rm{e}}^{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}.\)

B. \({\rm{y}} = {{\rm{e}}^{{\rm{ax}} + {\rm{b}}}}.\)

C. \(y = a{e^{ax + b}}.\)

D. \(y = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a}\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 21:

Cho hàm số \(y = F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2}\), Biểu thức \({{\rm{F}}^\prime }(25)\) bằng

A. 25.

B. 625.

C. 5.

D. 125.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 22:

Nếu hàm số \(y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f(x)\) thì ?

A. \(f(x) = \sin x.\)

B. \(f(x) = - \cos x.\)

C. \(f(x) = - \sin x.\)

D. \(f(x) = \cos x.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 23:

Hàm số nào sau đây có một nguyên hàm là hàm số \(y = \sin 2x\) ?

A. \(y = \cos 2x.\)

B. \({\rm{y}} = \frac{{\cos 2{\rm{x}}}}{2}.\)

C. \(y = 2\cos 2x.\)

D. \(y = \frac{{ - \cos 2x}}{2}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 24:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) ?

A. \(y = \cos 2x.\)

B. \({\rm{y}} = \frac{{\cos 2{\rm{x}}}}{2}.\)

C. \(y = 2\cos 2x.\)

D. \(y = \frac{{ - \cos 2x}}{2}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 25:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = {x^5}\) ?

A. \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^6}.\)

B. \({\rm{y}} = 5{{\rm{x}}^4}.\)

C. \({\rm{y}} = \frac{{{{\rm{x}}^6}}}{6}.\)

D. \({\rm{y}} = 6{{\rm{x}}^5}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 26:

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^3}\) ?

A. \({\rm{y}} = \frac{{{{\rm{x}}^4}}}{4} + 1\)

B. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + 2\)

C. \({\rm{y}} = \frac{{{{\rm{x}}^4}}}{4} + 3.\)

D. \({\rm{y}} = 3{{\rm{x}}^2}.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 27:

Họ nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{x}\) là

A. \(\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln |x| + C\)

B. \(\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln |x| + C.\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{2} + x - \ln |x| + C.\)

D. \({x^2} - x - \ln |x| + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 28:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{{\rm{x}}^3}}}} = \frac{1}{{{{\rm{x}}^2}}} + C.\)

B. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} = \frac{2}{{{x^2}}} + C.\)

C. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} = \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + C.\)

D. \(\int {\frac{{dx}}{{{x^3}}}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2}}} + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 29:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {\frac{{{\rm{dx}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^3}} }}} = \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + C.\)

B. \(\int {\frac{{{\rm{dx}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^3}} }}} = \frac{2}{{3\sqrt {\rm{x}} }} + \) C.

C. \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^3}} }}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {\rm{x}} }} + C.\)

D. \(\int {\frac{{{\rm{dx}}}}{{\sqrt {{{\rm{x}}^3}} }}} = \frac{2}{{\sqrt {\rm{x}} }} + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 30:

Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2}\) là

A. \( - \cos x + x + C.\)

B. \( - \cos x - x + C.\)

C. \(\cos x + x + C.\)

D. \(\cos x - x + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 31:

Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\) là

A. \(\frac{{x + \sin x}}{2} + C.\)

B. \(\frac{{x - \sin x}}{2} + C.\)

C. \(\frac{{x - \cos x}}{2} + C.\)

D. \(\frac{{x + \cos x}}{2} + C.\)

Xem đáp án

\(\int {{{\sin }^2}} \frac{x}{2}dx = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int {(1 - \cos x)} dx = \frac{{x - \sin x}}{2} + \) C. Chọn B.

Câu 32:

Họ nguyên hàm của hàm số \(y = {\cos ^2}\frac{x}{2}\) là

A. \(\frac{{x + \sin x}}{2} + C.\)

B. \(\frac{{x - \sin x}}{2} + C.\)

C. \(\frac{{x - \cos x}}{2} + C.\)

D. \(\frac{{x + \cos x}}{2} + C.\)

Xem đáp án

\(\int {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos x)} dx = \frac{{x + \sin x}}{2} + \) C. Chọn A.

Câu 33:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x\) ?

A. \({\rm{y}} = \frac{{{{\tan }^3}{\rm{x}}}}{3}.\)

B. \(y = \tan x - x.\)

C. \(y = - \tan x + x.\)

D. \(y = \tan x.\)

Xem đáp án

\(\int {{{\tan }^2}} xdx = \int {\left[ {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 1} \right]} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)} dx = \tan x - x + C.\) Chọn B.

Câu 34:

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \({\rm{y}} = {\cot ^2}{\rm{x}}\) ?

A. \({\rm{y}} = \frac{{{{\cot }^3}{\rm{x}}}}{3}.\)

B. \(y = \cot x - x.\)

C. \(y = \cot x.\)

D. \(y = - \cot x - x.\)

Xem đáp án

\(\int {{{\cot }^2}} xdx = \int {\left[ {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - 1} \right]} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)} dx = - \cot x - x + C.\)

Chọn D.

Câu 35:

Họ nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{2^x} - {3^{x + 1}}}}{{{5^{x + 2}}}}\) là

A. \( - \frac{1}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,4)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,4}} + \frac{3}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,6)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,6}} + C.\)

B. \(\frac{1}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,4)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,4}} + \frac{3}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,6)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,6}} + C.\)

C. \( - \frac{1}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,4)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,4}} - \frac{3}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,6)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,6}} + C.\)

D. \(\frac{1}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,4)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,4}} - \frac{3}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,6)}^{\rm{x}}}}}{{\ln 0,6}} + C.\)

Xem đáp án

\(\int {\frac{{{2^x} - {3^{x + 1}}}}{{{5^{x + 2}}}}} dx = \frac{1}{{25}}\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} dx - \frac{3}{{25}}\int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} dx = \frac{1}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,4)}^x}}}{{\ln 0,4}} - \frac{3}{{25}} \cdot \frac{{{{(0,6)}^x}}}{{\ln 0,6}} + C.\)

Chọn D.

Câu 36:

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}} \in \mathbb{R},{\rm{a}} \ne 0.\) Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\int {{e^{ax + b}}} dx = {e^b}\int {{{\left( {{e^a}} \right)}^x}} dx = {e^b} \cdot \frac{{{{\left( {{e^a}} \right)}^x}}}{{\ln {e^a}}} + C = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C.\)

B. \(\int {{e^{ax + b}}} dx = {e^b}\int {{{\left( {{e^a}} \right)}^x}} dx = {e^b} \cdot {\left( {{e^a}} \right)^x} + C = {e^{ax + b}} + C.\)

C. \(\int {{e^{ax + b}}} dx = {e^b}\int {{{\left( {{e^a}} \right)}^x}} dx = {e^b} \cdot \frac{{{{\left( {{e^a}} \right)}^x}}}{{\ln {e^a}}} + C = \frac{{{e^{bx + a}}}}{a} + C.\)

D. \(\int {{e^{ax + b}}} dx = {e^b}\int {{{\left( {{e^a}} \right)}^x}} dx = {e^b} \cdot \frac{{{{\left( {{e^a}} \right)}^x}}}{{\ln {{\rm{e}}^a}}} + C = \frac{{{e^{ax + b}}}}{b} + C.\)

Xem đáp án

Chọn đáp án A