20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)

Câu 1:

Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + (m + 3) x^{2} + 4 (m + 3) x + m^{3} - m$ đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn -2< $x_{1} < x_{2}$

A. m< -2.

B. m< 1.

C. m< -3

D. m>3

Xem đáp án

+ Ta có: y' = x² + 2(m+3)x + 4(m+3)

Yêu cầu của bài toán tường đương y’ =0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn: -2 < x₁< x₂

Chọn C

Câu 2:

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: $y = \frac{1}{3} m x^{3} - (m - 1) x^{2} + 3 (m - 2) x + \frac{1}{6}$

đạt cực trị tại $x_{1} < x_{2} t h ỏ a m ã n 4 x_{1} + 3 x_{2} = 3$

A. $1 - \frac{\sqrt{6}}{2} < m < 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

B. 1<m<2

C. 2< m<3

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có: y' = $m x^{2} - 2 (m - 1) x + 3 (m - 2)$

Yêu cầu của bài toán tương đương y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2} t h ỏ a m ã n 4 x_{1} + 3 x_{2} = 3$

Chọn D.

Câu 3:

Cho hàm số y= f(x) =ax³+ bx²+cx+d có đạo hàm là hàm số y= f’ (x) với đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y= f( x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương . Khi đó đồ thị hàm số y= f( x) cắt trục tung tại điểm có tung độ là bao nhiêu?

A. 2/3

B. 1

C. 3/2

D. 4/3

Xem đáp án

+ Ta có đạo hàm f’(x) = 3ax²+ 2bx+c .

+ Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0); (1; -1); (2; 0) nên a = 1/3; b = -1; c = 0.

Do vậy hàm số cần tìm có dạng y = 1/3 x³-x²+ d .

Điểm tiếp xúc với trục hoành là cực trị của đồ thị hàm số và tại đó ta có x = 0 hoặc x = 2.

+ Vì đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm x = 2 nghĩa là:

f(2) = 0 hay 8/3 - 4 + d= 0 nên d = 4/3

Chọn D.

Câu 4:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x} - 4 \sqrt{(x + 4) (4 - x)} + 5$ bằng

A. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = 10$

B. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = 5 - 2 \sqrt{2}$

C. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = - 7$

D. $\underset{[- 4; 4]}{m a x} y = 5 + 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

+) Điều kiện: -4 ≤ x ≤ 4.

Ta thấy hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ -4; 4]

đặt t = $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x}$

$\Rightarrow t^{2} = x + 4 + 4 - x + 2 \sqrt{(x + 4) (4 - x)}$

$\Rightarrow \sqrt{(x + 4) (4 - x)} = \frac{t^{2} - 8}{2}$

Ta có:

Câu 5:

Cho hàm số y= 2x³-3x²+1 có đồ thị và đường thẳng d: y=x-1. Giao điểm của (C) và d lần lượt là A( 1; 0); B và C. Khi đó khoảng cách giữa B và C là

A. BC= $\frac{\sqrt{30}}{2}$

B. BC= $\frac{\sqrt{34}}{2}$

C. BC= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

D. BC= $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Xem đáp án

2x³-3x²+1 =x-1 hay 2x³-3x²-x+2=0

Khi đó ta có A(1 ; 0) ; B( x₁; x₁-1) và C( x₂; x₂-1) ( x₁; x₂ là nghiệm của (1))

Ta có , suy ra

Chọn B.

Câu 6:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin⁴x+ cos²x+ 3 bằng

A. 5

B. 6

C. 4

D. tất cả sai

Xem đáp án

Ta có 2sin⁴x + cos²x + 3 = 2sin⁴x - sin²x + 4.

Đặt t = sin²x; 0 ≤ t = sin² x ≤1

Xét hàm số: f( t) = 2t⁴- t²+ 4 liên tục trên đoạn [0;1]

Có đạo hàm f’(t) = 8t³- 2t = 2t( 4t²- 1)

Trên khoảng (0;1) phương trình f’(t) =0 khi và chỉ khi t = 1/2

Ta có: f(0) = 4; f(1/ 2) = 31/ 8 và f(1) = 5.

Vậy

$\underset{t \in [0, 1]}{m i n} f (t) = \frac{31}{8} t ạ i t = 1 / 2 \Rightarrow \underset{R}{m i n} y = \frac{31}{8} k h i \sin^{2} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$

Chọn D.

Câu 7:

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2sin⁸x+ cos⁴2x. Khi đó M + m bằng

A. 28/27

B. 4.

C. 82/27

D. 2.

Xem đáp án

Chọn C.

Do $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ nên ta có

$s = y = 2 (\frac{1 - \cos 2 x}{2})^{4} + \cos^{4} 2 x = \frac{1}{8} . {(1 - \cos 2 x)}^{4} + \cos^{4} 2 x$

Đặt t = cos2x; $- 1 \leq t \leq 1$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

G(t)=1/8. ${(1 - t)}^{4} + t^{4} v ớ i - 1 \leq t \leq 1$

ta có:

$g' (t) = - \frac{1}{2} {(1 - t)}^{3} + 4 t^{3}; g' (t) = 0 \Leftrightarrow {(1 - t)}^{3} = 8 t^{3} \Leftrightarrow 1 - t = 2 t \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$

Lại có: g(1)=1; g(-1)=3; g(1/3)=1/27

Vậy m = 1/27; M=3

nên M+m=3+1/27= $\frac{82}{27}$

Câu 8:

Tìm m để đồ thị hàm số y = x³+mx+2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A.m > 1

B. m > 2

C. m > -3

D. m < -2

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

$x^{3} + m x + 2 = 0$

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

$m = - x^{2} - \frac{2}{x}$ . Xét hàm số:

$f (x) = - x^{2} - \frac{2}{x} v ớ i x \neq 0, s u y r a f^{'} (x) = - 2 x + \frac{2}{x^{2}} = \frac{- 2 x^{3} + 2}{x^{2}} . v ậ y f^{'} (x) = 0 k h i x = 1 .$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi m> -3.

Vậy m>-3 thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Câu 9:

Hàm số $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} + \sqrt{1 - x} . \sqrt{x + 3}$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:

A. $2 \sqrt{2} - 2; 2 .$

B. $2 \sqrt{2} + 2; 2 .$

C. $2 \sqrt{2}; 2 .$

D. 2; 0.

Xem đáp án

TXĐ: D= [ -3; 1].

Đặt:

Khi đó phương trình trở thành:

Do đó hàm số đồng biến trên D.

Chọn B.

Câu 10:

Cho f(x) = $(m^{4} + 1) x^{4} + (- 2^{m + 1} . m^{2} - 4) x^{2} + 4^{m} + 16$ . Số cực trị của hàm số y = |f(x)-1| là:

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Ta có:

Do pt có 3 điểm cực trị ( vì ab< 0) nên phương trình f’ ( x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Câu 11:

Cho hàm số y = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số y = |ax³+ bx²+ cx+ d + 1| có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = |ax³+ bx²+ cx+ d + 1| theo ba bước sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 5 cực trị

Chọn C.

Câu 12:

Hàm số $y = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x} + 2 \sqrt{4 - x^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại điểm có hoành độ là:

A. $2 \sqrt{2} + 4; 2 .$

B. $2 \sqrt{2} - 2; 2 .$

C. $2 \sqrt{2}; 2 .$

D. 4; 2

Xem đáp án

TXD: D=[-2;2].

Đặt:

$t = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 - x} (2 \leq t \leq 2 \sqrt{2}) \Rightarrow 2 \sqrt{4 - x^{2}} = 2 \sqrt{2 - x} \sqrt{2 + x} = t^{2} - 4$

Khi đó hàm số trở thành:

$y = f (t) = t^{2} + t - 4$ và có đạo hàm $f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0$ trên D

=> hàm số đồng biến với mọi $t \in [2; 2 \sqrt{2}]$

Do đó; min y = f(2)=2

$m a x y = 4 + 2 \sqrt{2}$

Chọn A

Câu 13:

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{x + 2}$ có đồ thị là (C) . Tìm m để đường thẳng d: y=2x-1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho AB = $\sqrt{10}$

A. m= 2

B. m=3

C. m= 1

D. m= 4

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{m x - 1}{x + 2} = 2 x - 1 (1)$

Điều kiện: x $\neq - 2$ Khi đó

(1) Suy ra: mx-1=(2x-1) (x+2) hay 2x²-(m-3)x-1=0 (2)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt suy ra (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆ = [- (m - 3)]^{2} + 8 > 0 \\ 8 + 2 m - 6 - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq - \frac{1}{2} (*)$

Đặt A( x₁; 2x₁-1); B( x₂; 2x₂-1) với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (2).

Theo định lý Viet ta có

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{m - 3}{2} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{2} \end{cases}, k h i đ ó$

$A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + 4 {(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow 5 [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] = 10 \Leftrightarrow (\frac{m - 3}{2})^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 3$

thỏa (*).

Vậy giá trị m cần tìm là m =3.

Câu 14:

Hàm số y = x⁸ + (x⁴ – 1)² + 5 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] lần lượt tại hai điểm có hoành độ x₁; x₂. Khi đó tích x₁.x₂ có giá trị bằng:

A. 1.

B. 2.

C. 3/2.

D. 0.

Xem đáp án

Đặt t= x⁴- 1( -1≤ t≤ 15).

Khi đó hàm số trở thành: y= ( t+1) ²+ t²+ 5=2t²+ 2t+6

Đạo hàm y’ = 4t+ 2> 0 mọi x thòa mãn 0≤ x≤ 2

Hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2].

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x= 2 tức là t= 15, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x= 0 hay t=1

Chọn D.

Câu 15:

Cho phương trình $\sqrt{4 x - 1} + \sqrt{4 x^{2} - 1}$ =1 có nghiệm duy nhất có dạng b/a, trong đó a; b là số tự nhiên, b/a là phân số tối giản. Hãy tính giá trị của a+ 2b

A. 4

B. 5

C. 6

D.7

Xem đáp án

Điều kiện:

Đạo hàm

Suy ra hàm số đồng biến trên

Do đó : phương trình

Chọn B.

Câu 16:

Cho phương trình x³- 3x²+ 1 - m = 0 (1). Điều kiện của tham số m để (1) có ba nghiệm phân biệt thỏa x₁< 1 < x₂< x₃ khi

A. m = -1

B. -1 < m < 3

C. -3 < m < -1

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có x³- 3x²+ 1 - m = 0 (1) là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số y = x³-3x²+1 và y = m (là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox).

Xét y = x³-3x²+1 .

Tính y’ = 3x²- 6x

Ta có

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow$

Ta có x = 1 thì y = -1

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị y = x³-3x²+1 và đường thẳng y = m .

Do đó, yêu cầu bài toán khi và chỉ khi -3 < m < -1

Chọn C.

Câu 17:

Cho phương trình: $2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 = 2 (3 x - 1) \sqrt{3 x - 1}$

Tính tổng các nghiệm cùa phương trình là :

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Điều kiện. x≥1/3

Ta có:

$2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 1 = 2 (3 x - 1) \sqrt{3 x - 1} \Leftrightarrow 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 2 {(\sqrt{3 x - 1})}^{3} + {(\sqrt{3 x - 1})}^{2} + 1 f (x) = f (\sqrt{3 x - 1})$

Xét hàm số f(t) = 2t³+ t²+ 1 liên tục trên R.

Ta có: đạo hàm f’(t) = 6t²+ 2t > 0 với t > 0 .

Do đó: hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞).

$f (x) = f (\sqrt{3 x - 1}) \Leftrightarrow x = \sqrt{3 x - 1} \Leftrightarrow x^{2} = 3 x - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} > \frac{1}{3} \\ x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > \frac{1}{3} \end{cases}$

Tổng các nghiệm là 3.

Chọn C.

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} m x^{2} + 2 m x - 3 m + 4$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?

A. m= -1; m= 9.

B. m= -1

C. m= 3.

D. Đáp án khác

Xem đáp án

+ Đạo hàm y’ = x²- mx+ 2m

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 khi và chi khi phương trình y’ =0 có 2 nghiệm x₁; x₂ ( chú ý hệ số a= 1> 0) thỏa mãn:

$|x_{1} - x_{2}| = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} ∆ > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m > 0 \\ {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 9 \Leftrightarrow S^{2} - 4 P = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 8 h a y m < 0 \\ m^{2} - 8 m = 9 \end{cases}$

Chọn A.

Câu 19:

Với giá trị nào của tham số m thì (C): y=x³-3(m+1) x²+2(m²+4m+1)x-4m(m+1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

A. $\frac{1}{2} < m \neq 1$

B. m> 1/ 2

C. m< 1/2

D. m

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục Ox:

x³-3(m+1) x²+2(m²+4m+1)x-4m(m+1)=0

hay (x-2) (x²-(3m+1) x+2m²+2m)=0

Chọn A.

Câu 20:

Cho hàm số y=x³-3x²+4 có đồ thị (C) . Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. 4

B. 1

C. 6

D. vô số

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng d: y = k(x - 1) + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

x³- 3x²+ 4 = k(x - 1) + 2.

Hay x³- 3x²- kx + k + 2 = 0 (1)

$\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x - k - 2) = 0$

( C) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 1

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} {∆^{'}}_{g} > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} k + 3 > 0 \\ - 3 - k \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow k > - 3$

Hơn nữa theo Viet ta có

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 = 2 x_{I} \\ y_{1} + y_{2} = k (x_{1} + x_{2}) - 2 k + 4 = 4 = 2 y_{I} \end{cases}$

nên I là trung điểm AB.

Vậy chọn k > -3, hay k ∈ (-3; +∞). Do đó có vô số giá trị k nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.